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Teorema da Energia Cinéticae do Trabalho
Energia Cinética
• É a energia associada ao movimento da partícula
• [K] = kg.m2/s2 = Joule
• De onde vem isso? Porque o fator ½? Qual a utilidade?
Teorema da Energia Cinética e do Trabalho (KW)
• O trabalho dW da força total se manifesta na alteração da energiacinética da partícula
• Se há várias forças, 𝑑𝑊 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑑𝑊1 + 𝑑𝑊2 + 𝑑𝑊3
dK dW
𝐾1
𝐅𝑡𝑜𝑡
𝐾2𝑑𝐫
𝐾1 < 𝐾2
𝐾1
𝐅𝑡𝑜𝑡
𝐾2𝑑𝐫
𝐾1 = 𝐾2
𝐾1
𝐅𝑡𝑜𝑡
𝐾2𝑑𝐫
𝐾1 > 𝐾2
Somando os dW´s …
Teorema KW
𝐅 𝑡𝑜𝑡𝐴
𝐵
𝑑𝐫
𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝐴
𝐵
𝐅𝑡𝑜𝑡(𝐫) ∙ 𝑑𝐫
Forças Conservativas
Definição de Força Conservativa
Quando 𝑊𝐴→𝐵 tem o mesmo valor para qualquercaminho que vai de A até B, a força é conservativa
Forças constantes são conservativas:
Forças de atrito não são conservativas:
𝐴
𝐵
𝐅
𝐅
𝐅
𝑊𝐴→𝐵 = 𝐴
𝐵
𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝐅 ∙ (𝐫𝐵 − 𝐫𝐴)
𝑊𝐴→𝐵 = −𝜇𝑘𝑚𝑔(𝑑1 + 𝑑2)
𝑊𝐴→𝐵 = −𝜇𝑘𝑚𝑔𝑑
𝐝1 𝐝2𝐟𝑘
𝐟𝑘
𝐝𝐟𝑘𝐴 𝐵
Energia Potencial da Força Conservativa
No caso da força constante:
[K] = [W] = [U] = Joule
Energia Potencial Gravitacional (próximo à superfície da Terra)
Obs: Quanto mais alto um objeto, maior sua energia potencial gravitacional.
𝑈 𝐫 = −𝑚𝐠 ∙ 𝐫 = 𝑚𝑔𝑧
𝐠 = −𝑔 𝐤 𝐤
𝐣
𝐢
Conservação de Energia
Só acontece quando apenas forças conservativas trabalham
𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = 𝑊𝐴→𝐵𝑐 + 𝑊𝐴→𝐵
𝑛𝑐 = 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵
0
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
A Força Gravitacional é conservativa
𝐴
𝐵
𝑟
𝑊𝐴→𝐵 = − 𝑟𝐴
𝑟𝐵𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟2 𝑑𝑟
𝐴
𝐵
𝑟
𝑊𝐴→𝐵 = − 𝑟𝐴
𝑟𝐵𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟2 𝑑𝑟
Energia Potencial Gravitacional (a qualquer distância da Terra)
𝑊𝐴→𝐵 = − 𝑟𝐴
𝑟𝐵𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟2 𝑑𝑟
=𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟𝐵−
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟𝐴
𝑈 𝑟 = −𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑟
Obs: Quanto mais afastado um objeto, maior sua energia potencial gravitacional.
Perto do nível do mar....
𝑈 𝑧 = −𝐺𝑀𝑇𝑚
(𝑅𝑇 + 𝑧) 𝑧
= −𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇
1
(1 + 𝑧 𝑅𝑇) 1
(1 + 𝜖)= 1 − 𝜖 + 𝜖2 − ⋯
= 𝐶 +𝐺𝑀𝑇𝑚𝑧
𝑅𝑇2 = 𝐶 + 𝑚𝑔𝑧
Sistemas de 2 Corpos
𝐅𝑇
𝐅𝐿
𝐟
−𝐟
Equações de Newton – versão 1
𝑚𝑇𝐚𝑇 = 𝐅𝑇 + 𝐟
𝑚𝐿𝐚𝐿 = 𝐅𝐿 − 𝐟
|𝐅𝑇| =𝐺𝑀𝑆𝑚𝑇
𝑟𝑇2
𝐅𝐿 =𝐺𝑀𝑆𝑚𝐿
𝑟𝐿2
𝐟 =𝐺𝑚𝑇𝑚𝐿
𝐫𝐿 − 𝐫𝑇2
𝐫𝐿
𝐫𝑇
𝐫𝐿 − 𝐫𝑇
𝐫𝐿
𝐫𝑇
𝐫𝐑
𝐫 = 𝐫𝐿 − 𝐫𝑇𝐑 =𝑚𝑇𝐫𝑇 + 𝑚𝐿𝐫𝐿
𝑀
𝐫𝑇 = 𝐑 −𝑚𝐿
𝑀𝐫
𝐫𝐿 = 𝐑 +𝑚𝑇
𝑀𝐫
𝑀𝐀 = 𝐅𝑇 + 𝐅𝐿
𝑚𝑇𝑚𝐿
𝑀𝐚 = 𝐟
Equações de Newton – versão 2
CM orbita o Sol como uma partícula de massa 𝑀 = 𝑚𝑇 + 𝑚𝐿 o faria se estivesse sob ação da força externa total
Lua orbita a Terra como uma partícula de massa 𝜇 = 𝑚𝑇𝑚𝐿/𝑀 o faria se estivesse sob ação de 𝐟
Applet: Gravity and Orbits (selecionar Path)
Conservação de Energia
𝜇𝐚 = 𝐟1
2𝜇𝐯2 −
𝐺𝑚𝐿𝑚𝑇
𝑟= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜇 =𝑚𝐿𝑚𝑇
𝑚𝐿 + 𝑚𝑇= 0,988 𝑚𝐿
Para dois corpos de massas bem diferentes, a conservação de energia não envolve a energia cinética do corpo mais pesado.
1
2𝑚𝑣0
2 −𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇 + 200 km= 𝐾 −
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇 + 1000 km
1
2𝑚𝑣0
2 −𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇 + 200 km= 0 −
𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇 + ℎ
𝜇 =𝑚𝑚
(𝑚 + 𝑚)=
𝑚
2
0 −𝐺𝑚𝑚
𝐷=
1
2𝜇𝑣2 −
𝐺𝑚𝑚
(𝐷/2)=
1
2𝜇𝑣′2 −
𝐺𝑚𝑚
2𝑅
No referencial do CM...
𝐶𝑀
−𝐯/2 𝐯/2
No referencial de uma das estrelas
𝐶𝑀
𝐯/2 𝐯
Velocidade de Escape
𝐯𝑒𝑠𝑐
1
2𝑚𝐯𝑒𝑠𝑐
2 −𝐺𝑀𝑇𝑚
𝑅𝑇= 0
𝑣𝑒𝑠𝑐 =2𝐺𝑀𝑇
𝑅𝑇
Terra: 1,1 × 104 m/s
Lua: 2,4 × 103 m/s
Sol: 6,2 × 105 m/s
Estrela de Nêutrons: 1,6 × 108 m/s(𝑅 ~ 10 km, 𝑀 ~ 2 × 1030 kg)
E se 𝐯 não for puramente radial?