teodor stihi - introducere in logica simbolica.pdf

7/23/2019 Teodor Stihi - Introducere in logica simbolica.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/teodor-stihi-introducere-in-logica-simbolicapdf 1/110



Ă Sl

Copyight © 1999 Be

Toat drepturil sn z Eii e Nici o pt din ast volm nu poa opiaă ră pmisina

sis a ditui Be Dreptie de dibuţi î sna pţi

exclusivitate di

Copyight © 99 by Be

right reseed.

The dsrbuio of this ook ousid Romani, withot

e wrtten peis sion of Be is

tritly pohibd

Descriea Bibiotii Nţonl

T TODRItoducee ogic mbcă Teor Sih Bucueşti:

Editua BI 110 ; 20 cm ACCETEBbiogr.Idex

ISB 73-57285

6

Eiua e

paamentulifuae

uceşti Bd Timioa n 58,

r co 548

V 40220 0

: 02 2 0

V 022620: 02 230

dactor: Radu Soboden

peta Dominic enea



Colecţa Accent

ape sub îngrijireaPrf. Unv. r Paul Fodor

EODOR STIHI

NTRDUERE.

IN

LGICA SMBOiCĂl eu. EUGC

TODR"

TiMIş

BIBLIOECA CN1IVRST

TMŞ

1 1 1 1 III II II � 1 1 I 02282153



aaă aă:

Cum ne ţesem eul argument, selecţie ş trducere

Cntaache

Agorimi getici eiţie îngijită dePaul Fodo ş Cza Ionec

a aaă:

Geică şi pagie ar Anto ş

Minea Mrar

Muţii, funcii curiv apiaii on ŢevCniiţa şi idiaa a eiţie ngriiă de

onsdae



ATR CTITOR

Limbajul licsimbolic a devenit prin inducrea În ma-nualee de liceu element d cultură enerală Ceea ce este recind sama de faptul aeat a rit dup dasfârşitului mileiului nosu sa Îmbrăca şi bună part din a-

diionala loică aristotecă a cei peste 00 de ani e eitenDânduşi mâna duă dintre artele liberale ale înăămân

tului medeval lia ş matematica au prou În ultimulecol şi jumătate ceea ce âniori i mari creatri e alia lui Leibniz au imaiat fără a putea reaiza un calculusraticinatr (calcul arumentatr

painile urtare om ncerca să prezentăm chiarpenr crul c un ne mnm e cnone maemaceelemenele de bază ale calcululi loic Ce i se cer acestui citi-tor unt mai puţin aete cunoştinţe cât răbdarea şi peree-reţa d a urmări deniţiile prrietăţile i mai ale eem-plele cu care leam ilustrat Cei oritri de amăune şi justi-

cri omplete (demonstrai pot consulta desiur cu flouna itre ecelntele epuneri detaiate pe această temă(câea n mennae nr cu bblogae la ag 00

n plu pnru a oferi aluiaş tior nin rl jul şi satisfacţia de aşi vedea puse în lucru cuoştiele do-bdie prin efrtu acestei lecturi am adăuat În nalu

ecăreia dnt cele două r dn a ete aătută artacâeva eerciii aâd rezolvare n a Nurm sperana că prin această poartă eshis pe n

dmeniu tradiţinal i în acelaş timp actual vor ptrunecât mai muli Şi mai sprăm că aceaă eeen îi a aasăşi devolte riarea în ândire i În eprimare Le urămtuturor ucces şi aşeptăm cu interes reaciile şi suestiile ci-torilor oştri

A



CUPRS

CLCUL OOZIŢIONA

A nrodc . . . . . l§ . Cacu gc l§2 z oge .. . l§3. Oa og . . . . . . .

§ ima naua ima gic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3§5 Fc ... . . . . 5§6 Imcaa ş cana gcă .

B Dzoara calcll propozţinal . . . . mu za . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08. ada aă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Subie daa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§0 canţa mu a . . . . . . . . . . . . . . 0 Duaaa orer propoo . 2§2. oe o .........................

C Axizaa calclli propoziionl . . . . 28

§3 a amacă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814 . Am regu dduci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9§ Demonstaţ u . . . . 3 § 6 m d a ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § Ncnadca cacuuu za . . . . . . . . . . . . . 3 §8 egu i eve erve .

§9 Cmea cacuuu a . . . . . . . . . . . . 3XRCIII 47



I AUL REIA TEOR

. dei inroduve . . 50§20 Insciene ae cac popoziiona . . . 50§2 tca oică a popozi o impe §22 . uancaea ieci oic . .. . . . . 53§23. Amene expimate imba

cac peicae . .. . .. 4

E. Dezvolre lululu predielor . . . . . . .. . 56

§24 ome c pedicate . . 6§25 Vai itae n cac pecae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58§26. sit i n cac peicateo . . .. .. 63§7 Ecaena fomeo c peicate . 66§28 . Da izaea omeo c pedicae . . . . . . . §2 Re de cantcae . 7

omazre lululu predaelor . 73§30. Aiome ş i e i dece . . . . . 73§3 1 . emote şi dedcie n cac pecteo 7§32 Ppieă ae eae e eci i ae . . 7§33 . onstenă i cometitdin . . . . .. . . . . 7§3 Re i edctve evate 8

XRIŢI . . 85

Axa oi i e execii i . . . . . . 88

Anexa ciaee ice . .. . . .. . . 9

Anexa I oică ş metamatemaică . . ......................

iboae . . 00ibo tizae . . 0

nde 02



CALUL ROPOZOA

A di itroductive

§ acu ogic

n pă n ă (155) z (6466) D p v (85864) cre pe zee n cc ănă c n n n ărl nr lcn

en emc ăz c n nn r n n xc n n pnne Prncp n n că e ecă cc e phe ze

V pzn n pn le ăe ee pncp mpr

pn n ă vn l propozţlo u a p

o

c ne nv ppzn

Auu "g t ia a a ma â în v



uu ppia

Exemple. ă sae sae ec n pă

neae (m pate fs a a ceva?) ecame (ne-e!) ec n t caaezate în nc ncnte aevăae a fse n ma snpz c

cz nu n v nesa cn ecve saseve e ae dend adevă sa asaea pz

ce ee da ca eca e aee să s A (aevăă) su F (asă)A s v nm valori de adevă

Operor oc

Cac c n e se maecă

Mjscee P ec evea neae v epeenappz e smân pn P Q cee teppz ce e ma ss ep eme acem paseecva ă nsa ca c Aca eece

peem ase n veee fap ă ma e ee E se, ec n ă) s ae ne n pmee ă pnme ansfmă

Cea a mă dne ansmă eeNegaţia logcă / za P (ă) se anfmă p

nee n P p) ese u pea c

neaeConjunc ocă ansmă pze P (uă) ş

e) n ppza că

P A Q (ă şi e sae)

Î ba j aea o atfe de tafoae e umeşte oo aid oba de u opeaor lo e opeato og de neae.



tdut

A este mou acestui opeatr gic Dsjunţ logiă transo aceeaş propozţ P În

P o au se

avâ a smol a suI c logă raso P n

P P Q)

are ca s

hivln logică tasfo P i Q P � (P caln Q

aând ca smo � reei acu a li e ee eee teo: soae, c plo.

smând pe "eci" cu impl c o om smoz cofom eo ex cate, pQ

§ ibaj aa ba oc

u ogc sm es gmen a ce lmba cs i v it ntrocere sa ogce ut emne uo mpecz eho e cestn u Desgu c pn cesa ma gci smbo ceer presvttea ş uare spe m natural.

El se apope e apt e lmaj r

a set rept mode) ste motnt de emt c ote est, Într-un

semeea m spuem de c iente moace e epresepr re evre format t ate c oeir e a cer n aematc

ar ee c ez am es et eempe o etras

dn tetra să Em age



ulul propozna

a n umea ea mun a a e un puă de a umva u eşt pedut ş eşt du

. c Soaea a a

en ne c ă venecee v z ăe nţ (ţn")

P de a umva u eşt pedut eşt duQ: a n umea ea omun a va e un pe

m cn ppzţ căQ că P

ncă p cţ

PQ

mp c Q ppzţe m' P pe ce ez nmă u ppzţ c că empu

nnuă cţ n c

R: a uma uz;S: et pedut ş eşt du

e, P v p eă n j

pRS

Azd fe c m c ă cpnene empţ, cnăm că p e pă n p e e cp n

S: e pedut;S eşt du

Am S ă

S S

Numm ppze gă u pt bnută tnân pz g p inteedul p g



d nrodu 5

ed d ee "ee treu frame o em

Paratezee aea o a aer d ordeaal oeraţ or a a oer oro log

eu am nm nfre l doupree treute x mu l rbnl!

a roare perdu na -a

ext d et reotrţ a oă reu omt tepretare O vom a te

Daă) eu am (u nm nre auni l upreereue x m du l rbunl

Propoz e loge e P e m (re

: l douăpree treute x mă u la trbunl,ar rae ăt erretare dt fora oă:

§Fc e evr

o ra etr are a o re aj o eeae e a er a ve adev " a emee ao lz orăru roe exr u loale l

ege o a o e er ato roozţ de ader at opozţ onroar transfer" de evăr ee menţnut pnânoeatoror o o ode etu e ver ee e a ţ de aer

meăfuni ete o oreodeă îte e u ţ şi eementee ae sa aceleaş) mţm O

I Pecz mbu mue emee nee c cue ee e



ppţ

nc asocaă că mt a pm mm ce nsngu mt n a oa mlm

NEGŢI ogcă nşt o ast unc Cân poo

a poă s avăată (), popoa "n pă" easă (F) Ia cân plouă" st alsă (F), "nu poă" ese evăaă (A)

Epa sttcă a acst cosponn Î mlmeavaoo d avă {, } ş a săş s aba

TA

lF

s ca avă a nga ogc u

a nga oo P, c ngi ocă popo oic

CONJN loă ş a nl să o ami ad o coc c oao tasoăo peeche o ) o o / , ca avă cosuto oc va tansoa ca n

cl tu lo avă( ), (, ) ), (, F)

Îno vaoa avăaba avă a conc st ăo

P /Q

A FF F F

TA /



7

Ca c aat c ppa Q avăaă ntn sng a ân pi P Q s aavăa

SA ă fca e adevă ea îab

P QPvQ

A

A F A F F F

A

pia P sa Q s aaă a cal ca cel care cele ă ppi i P Q s as.bseae Aceaă aevă cepe

sa xc v lba nă apae "a" excvca xps ia l au c)

Depe fc e aevă v ca cae

§ Ipicaia i echivaena ogică

ă pp i lc P Q po ea dă p deea l pan aa va

MPLC A gcă P s expa bajn p expre a aă P ac Q Q a P a P P ma ac Q

În mamacă s a ş siagm P s o onscn pt Q Q s c e csa n

n gc st a maa: P c Q



ulul oozon

VAŢA ocă pmă pn P acă nma acă P ac anc n ec . ia În mamacă pn nama: P e cona nceaă cnă pn

n oc apa ma cn pmaa: P hană QFn opao og aâ mp caţa c chae n

aoca no nţ aăen ehaenţ acas ne es en pn aea

P Pţ:

A A F FF A F F A

AB

aa P s aăaă ac anc cân P aaceeaşi aoa aă

Pn a nţeg cm s-a an a aa a a mpca om ca în peaa n emp e paţ ocă

D m d luru un vn u Dfăm naţa ocă a ac popoz ana zn

c pa aane po am c n âz acaă am e c n n âz aas;3) n am c n âz aas

4) n am n n âz aaăn o ca popoza onaă e aă în pmcaz aă în a o ea az

Ma pţn a n ao e ae e aeă n mee oăcaz nc ă pa aan e ag a o omaaa eca aană n pae.



d nodu 9

p

Vaana a aaa b Vaaa c aaa A A A A A F F F A F A F F A A

Lna îepă epae a e ae e ee peae vaaa a, eaa ogă a pz a a n

e c ecaa ppzţe m de luu v n u

A e cpaa va e e aevă vaaa a c A vaana b aceaă enaţe a cnce c cea a p

pzţeVn

(A aa a a ca a oa apaa)

n vaana c ecaţa gcă a aceea c a ppzţem de luu d ş num vn zu

(A e opaa vaaa c AB ae acee ţ ge e accepa e p aşaa

a aaa a a a

aă p aea p QP�Q

AA F A AF F A

T Obeve egăă c eaţa Q pezam căpopozţa P e meşe edn a pm a mpcaţa popozţa ne onvn a lu a a

Aaa aţa e pca fa na caz în cae

eeen (pea) ee A ş oecenu cocz)



pp

pia Q P s meşte onvesa ipiiei P liţi1 1P se eşte pa ipiiei P

Dezvoltarea calculului propzfnal

Foule ooole

Revem l imul sml gci nine meeleete specce lm mc tre ese pe ceae vaibil ; ici de viai l ppziia

m c p, q r, PI t ese eă ppz log

R = (S I A S 2» Q

e ep î i gic ee d veri eiesciee c

îim ppziiie S, S, Q pin viaeleppzţinle r, sI S2 q ţem

(r (S A S2» q

cest u epreztă pzţi gic de i ss, cistrta ei lgic Ş n m pe ei şi l vd

eeşi f c ea e eea se va m formulă popoziională



B D luuu proponl

Sp mp, stca popoi ogc

= Q

pin c m tnscis ca ă a u Fid dnciso ptă (c ) s on înocn P c ncr c doă ap sa ş Q c q E v pim n omu

= q

Cnstrr s forur Cacu ogicopaă cu omu ogic a cum gc opa comu gbc aca om opoo) tun nnt ooţi oc căo su oexpimă. cee ce m fce în continuae plecând de a

c a sm ş rc, s cu s s c m compMod asa s indi s mă doăgui.

B idţii Oc vaiaiă oooa st oouă oooaă

di ac a i su ou ooiţio

na]

atn a, a / a = a �

snt o ooion.stă castă mtoă pxm ab popoona r] r sun om

popoţa cs omu obinm (cf omu

Apicâd in o R consuim ou

qvq

Notăm y etc. frmulele onstuie cu ajuorul ceo două reg.



lulul prpţnJ

Dpă a e ea pa n oţnem omee

q v qs

Opeao (pă înoa) no e ea R enee operatru princi pa a ome epeeaaneze pe ae e-am no a o e a ema

opeao pncpa, a căe oe, e e omePeu n pnăc o pm ena a o p ee aopân ăoaea

onenţie no oă n cae apae n n �acea ee opeao pncpa

aă � n apae apae n n = acea a opeao pnpa, am

Ae am o pen eae ne e opeao

âe n on e poae: e m pen � apo = epână a aă onea copeă a o

= V /

xem pe n oua (ă paaneze)

p v q / r � p q / r

opeaou pncpa ee � e oă o n ae aoţn, pn ap caea ee R aeaă oă n

p v q r p = q / r

e a ca opeao pncp epec =.

S ă paanez, oma n aă a ( v q / r «p q / r

Obseraţie Sn caz n ae paanezee en npeae

D u ri apă variaă itiă cr; pă cau aă a pa

p ) (



B Dvoaa alululu 1

cn aa do opeato dentc sau câd oeatul pc nu , te ceaţ oeto a fmue, odnu xid ioae.

xem pe ) p q q oae cită dept q q sau dept q p q

2 oa q q în absena aantez ar b c <

e popozoă

L cum cacuu gebc se deotă e a identiă bice cacuu ogc se dezotă e b dettăţi o ogceÎn ccuu oooa acesea , !�lee pooionaae În ecăea dnte ee om une sbl: F

xem pe: F p v p (eu excs) (egae negţieiF p q q md pnen

Î ateă a adăugat dee pco gice ec cae dte aceste fomue e tascu în bjsboc Aste pcu teuu a ozţe og dat au a; inc ăingei (sau dube egţ aă că oice ţe esechtă negăi negae sale asu inciu mdusnen e o i în gn ăoa

Pentu a exa u at d icu r trbui ăenă etu ecae oozţe ogc Q R etc n ate;să sce e d

Qv Q Rv Retc

cs se a pea eaa on aaa -zoaă abiă ce e cu căe oz oice

n se c a

vp



lulul ppiţi

ee popoona vaă eege fap c oce ocă Q R ec) a pune n ocu p po cobnuă p aeaă ocue ee aevărată De u

a n poă", "e oae au n e ae" nt aee eafe e epă oeă neeant n punct e a cuoate oofu oan aac L Wgee econeă "oaua u"

ăe ec pobea c pt sb see ouă ete up eea lu gente, o tauog

aă u ave pobaea e a oc p c ecae trpopo e ogce acetea n n nuă ne a)

Taba juca d adeăr a une ore ppoae De năpotea t, ooe oce pa o caego evăate ae

aă ee aevăaă ee aă AB ), a ee aă acă ee aă, ee aevăaă, a ee A

ac P ae, eoaee egaa unca ogcă un unc

ua) e vaoaea avă a , ee cen ă eă

ă popoza ee aevăaă pen o ngă popoeaeăaă epev penu o ngă opoe eu a tage cocuza că foru a p p et va

oc a, a geneaă, ce e poe ae n- at aonaen ee ă ecare fouă popoo eneşecte o fune e aevă

e p ă, foeep p qp V qp � q q efunce e aevă epae pn AB TB TA AB � epetv

n eea ot AB tabe e aeă a aeă ce e c eaă uca e aev n e

Tracttus Logico-Phloophu, prooziţia 6 . 1 4 .



B. Dezoltarea calculului ppz 15

Exemp e. 1) eu a: p v lp tel v cofo ceo ema sus

pA

p

A

TABp lp

pv p

AA

2) Peru a: PA ( � ) tel v

p P

A � q

A A A A

A

F A A

A

TAB p A � )

3 ) Peru a p A ( q) modus ponens) tel e

devr v

p p

(q

)

�

q

A A A A A

A A

F A A A

F F A A

TAB P ( ) = q

A conenst În est tbă su fo t co-

a fal elat , În abel aerar e rere-

ea seaa. Sub ee inte ce e oeo i oule aa a ln val lo de dev oesze



uu prp

a modus ponens

P Î ( q = q

rpţa vaă aân p aa pa spnpa . 3 n ş nîntrrp

Dpă trtra t oan T ppzoa Împat Î ade coninene nconsisene ân ma ană nn

a) a dă

: et conneă) nma : et nconssenă prm oă azur mt conssenă a În

m ă neadăEempu Fa p Î avân taba avă

pF

TpÎ

t nsnă a Î p va , vă

a pncpu necondicţiei ă În aaş mp avăa asă



B Doaa a propoona

ăutara u traxm pu tura ta ur ar attu val ng a nnssn) ân a n p n varab r

na tab va ava 2 2 pruâ ar a.âa p aa ş ta tân

ss var avr a vara sa prpzna nr ar n az n traxm p a ş az t va

ân utara a atâ n ra x aata vş ra st va

xm pu v r p v q r : v q rf

O r f s a A f s AB)

Pnr a s A r AB ) a p v ş p v r A

tr a f s F trb AB v a

p ş q s F

rb val p p q r atfa ş 2)pb ar q F a a q sa r F . Da

p p v q p v va F a (1).Ba apr vş ă ra nseraă e

va

r a maa ma tr traxp a a tab avr v rata t aa nvrs

f .



c rpzn

b cz st

r r ) q r

f

) 1

f

A

f

c

;

/

F o

t o

�

AB

cititl tbi să cmt c şs iii mselib dă md c dă cmt Um că v

lcită di C c dvdşt că şi s vOrv. dta c dă imlici cc vidi chvlţi a � ( dică

1 p (q A r � ( q A ( V r.

Subst ş şr

icii i lgic i zii s iă siml ic mii fl v id c dsci c dii s fcî gic s i ic, i dti fl vid

A t d dv, cât ş vl s c d

ct tc sunt ci d vrcre vlidiii fm dt tim c ti s descoperm fl vlid i td i sm civ s îscii şi deşr.

pb vlidit fi zii

S emn e ecen E e p 5



B Daa auuu propoa

( 1 ) ( A (q V r v 1( A q V r»

cititr e pate aştepta a cpetarea ei tabee e aevcpcte gel ele e a a pvi ai ae epate b e c d fapt aceast frl are tct a imp perfect imi ar c a fei

(2 p

t dt s staeşte pt-o opeae sstt a cost, caz fa, n loca cea

t ce o apa a aal popozoa p (2c frmla A q V )

Îtct (2 este ad c TAB p p foa ) a şa ad De ce?

are C trăm t ao d adae q ş ate aloaea d a a li (1), calcm at aoaa d ade a foe A V r ap todc ca aloa a aba ade a (2 eaceea, coaa a gsm taa A

ba ceastă ppetat a o a btta fae pee a nm

Spe ep, ac loc

p v

a mu p c (q V r a a do a l nenlitbţe fa

( A (q V r» v lp .

a este faă când p es a q ş t (efca!



20 uu prpn

) D

Pott t n TAB= ân oo

o P P = Q t ăt ooa Q t ăta nt ta modus ponens ă a ă) o t n tă) o ot ) = .

§ ch omo popozol

Ută Î at a nota

-·

Contata hn a ătn o aă ă t âoă o â oe ooţon î

Eempu D

pv

lp =q ş { q



B Doaa alululu nal 21

an aea aeă a eo oă peaă e a aaeeponal p q

p q v � q

A

aena a - ă n ma onaă ă a a a ană n

bseraţe Daă a f aă epaa aea e q ae ee

o ompaa eă în ooane a n e paa!

aa d hvţă joă î u log o pe care

enttata l aă în a aea a e ppeă mpoante anmea) ent e ă a a -a;

pn o fml a aă a atn -a

) pn o m a y aă a -y a-y

Pa nm rexae do metre a a eatazttate

În uta ast hanţ n spun u nam a aece ecue x m c bn! Fu am apt aouăpee teute x m bn ( e ve 3A).



22 Cuu prpz

â r poă hnă în no n ogă) oooo î cse de echenă

O oă or ă h , r or n nhvA o or v ă o ă ă

ş oor non); p p ş ă rp ş q ă n r

Pâ o hv oă

-p or no h n oă no xr o

Atf ă Y o foră poooă n r r ar ăă bor onv oropozonă vo no Y no

în n a n p n YE xemplu . Y a: ( : p v q) 1 ( V q)

a p v q qvp

n Y o or n o :( : qvp 1 (vq), ( P q) 1 ( q p)

(:qv p) ( q p).

A, o oo pvq-q p

zăY Y

pr or Y n .Pror r m onn , n

o

La pa 94 o s u 50 de ehiaene oice aide oa E>0 0



B Doaa alululu propoziţional

Oba rmee au u u prpzna a ftn a a n perat g

/ v

n ea ppetă 4B ş a nra nte ehvaeeeE E E 14 E7 I8 eare ntre ee ete ehvaetă te ă nnân ar peatr l / repetv , v

Ex mpu Y a: p

q

a Dacă ntă : / , f Ia -

e apân 4BY -Y

ne YP l/

Substiuind În E14' q cu l ( q/ r), obţinem confor m 9B

Y/ / » // » DN

Afe pn tranziviaea ehaleţe

Y a/ / »

) aă năm l v , nf Ea

pn 4B

n

Y Y'

/ p r.

Stn În E v bne f B



2 Cuu pp

p e

p v q v

uazaea foueo oozoae

haeee

/f v f v / f

p. 4 m legle De Morgan ă e pe / v a pe aă p amă me ppzae e e

pe ae ppe mp e eExempl:

y p v q /

y p/1 q 1 - p / q v - p / q v

ăm p / q v ezuă

y

Logicianul cae, deşi nu e-a descoet aă ae.



B ol lll oool

N duaa rzţna a nţnoa oear A v vaabl onae l /ane o a ' bntă n e nn oeo \

n e Eempu Daă : p v A q a : A v q Săbvă ă ) e a.

a on rpatea ră z pă a

1'

ă:

Vm m aa az a p v ( qAr 1 v qA

n a 1 z obaa a a rză, 1B

a 1P altă at, av:

a şi D ă

Sbstitnd p p q q of 9B rză

11pA(11q 1 (pA 1 ( 1pA 11

n a pâ ub na aza r i

obţn



2 p

q V A q Ast s popi isibiv onjn

f sjnAş, l oă lg stbtv aă v v fă

s ual una ilalt aliita i o mpliă, v poptăii 7 p a lal

12. Foe oe

Fo mno mă counc Viaa valăi nfo popoziional pin l osnzăo văs n po nomo anm fol nsă, vliaa sa nva aa s poa osa d ec

As s az isjno oă s a m vibl popozionl smp s nga

Exem p e sjn

p v q v ponin aaşi vaabilă popoiţoaă ) smplă şi ngată.Di bla avă va ava p ultim ooaă vloa şi p st ş â s ; isjua s va idă

Dimovă, di sjţa

p v q v st F ân p q snt şi st A

Concuzi isjn vbl ppozol smlis s vlă ă ş um ă i vblă

simpă ş ngă3) Fol a p v q v q p st hvalnă

vit sbtvăi i sjni fă onjn lap

În vea echalenţe

y ( y (ocaaea dce)paraezele po în ace az, ome



B Dele lulul ppil

v q v q v q v p

coucţ s adă nma a nd ar tmna t o ormă adă a c s cazu d fa, advat Aşada a s adă

Î n genr orc fmă prnă a pa tranomată n uă, chană cu , d fora

car ca ai s dsncţ d arab propzionasmp şsau na asa s mş fm nma ă

cnjncă a a.

Dac în car a gurază c pn ara ă popozţioaă a smă ngaă nc a dă

Dc n c c n s nmpă auc

nu s adă.) Fom nmă d juncă ul a dă daa st nnssnă dn alsă

rpra n propzţon a d dntifasă poa nsaa ră alăura n a d adăr prn tansfaa r fouă echivalntă d p

a v al v v nd c a s o nnţi d ara propozţiop şsa ga

Confom v s idnc fasă numa atunci cndcar a t dic a

a rnd să fomua a s dc asă aci ş nmaiatnc cd n a grază o acş aai propoziţioaat simpă c ngă.

Exemplu orma a 1 q 1 p v 1 ) tanm na stă onunţ aţ de disjuncţe (E25 e apg ) n oma ciană

Oia paanto se atoaă chvaiE22. y - ( (oiaaa onjun)



Calcul propoziţona

( q ) y ( q ra repreznă o oă noraă dsjnctv a l rucâ

a oea teren al sjncţe este ncossent a valoaeaA câd ş q sn A ar ese ) ci n ese ncosse( ind A pen aceeaş vaori ae l i q şi r

Pr ure ese va

C. omatzaea calculuui popozfioa

Meoda aoaică

n crare "eeee" uc Aexaa e axav c 300 e Îate de Hstos o expnere ssteatcă a ropoz or undametae ae geometrie i n vreea sa lecând de la n nă esâns de oe ş polae edede pe cae ogc oae celeae prooziţi Deş apoaă a sandarele de az lucarea conţne nee peecţuea a ăas ode de conczne ş rgoare n prezenarean ansab de cnoşnţe teoece a bcra de aşa demare scces Îcâ În seco a XIea oso oae .poza ş sc ratatu său e eică î oa axoatcdedctivă a eeeor

Apogeu metoe axoaice să e ans tot În geoere 2200 de an p Ecl p eretăr eate e ost

atul paraeeor

• Apariţa no geomei "neeciene

"

ncare aces posua ese as a conds a o sae a concepţe despe "adevăra ş "als În şnţee dedcte

nto ue odeă, cest pos "L deptă dtru unc dt cr ă pe drpă tree o peă i m un



oncomient apaa no paadox În teoa mm o

a focazat ea cecetăo de aspra demonstae mateatce tdcd standade dcate de gae

fomaă. a s astfe deea dpă cae însăş ogca componentă esenţa ă a ocăe deosta să e oganzatădpă mde axomac dedct os e c d

Aceasta pesupune o eahizare a pnclo ogce, neend aese det axoe dn cae tat ceelat s euc b uno egu expct foulte. ed capăă caeul

nor tasfomăr ce se fac î ttea fe ş n a connutuu

Axome e ecve

a) Axoe n oce ştină dedctă n adeă este eu

nosct ca ae dacă pdce o eonsae a s Cum oicedemostae peacă de a adeă ane ecoscte, oexsta, c ecestate, adeă ă desae Acestea sutoee.

Aegeea axoe o cac popzona este abtaă, deş est a te aeg ps

n pm ând axoee tebe să e foe aeAxomele tebe să e scene în ses de a ptea dedce d ee oate fomee a de ntoteana ecă ş i codia e a epezenta n" scent adcă să n puededuce pe na dn ce ealte.

Peă c c meă lcă t n x

ome pops de ogcan gea G Getzen. e se pa

A se vede anexa Acet ip e egenţe au fos olae în cadru proram de

damar a egi maemac ni ş ond e memugea Hber 1862-1943 - umi "proam oa (ane II

Utece be d oce Scee MhemaischeZechri, vo 39 p 1 76 0 053



pp

5 grue ere oresuzâd âte ua ntre e 5 eto ogc.

Pee oă snt axoee de tocee oeou

oruă ogcă e st: axioe de = itroducee:

rmtoree tre se referă a oeratou / ia ee

oa de ntroduere oeator / ocere ouă ogcă

. �_

cee ate doă nd axoe de e inare a sa / ere

A t gr de tre axoe se eeră a oerator două st de troducere

ir ua de eae

i ceat e ere de at eiae

n sârşt tre xoe reertore a se t : de <ntrodere

ş i ouă de enare



Axia lll prpzna

Regl dedc

'

- _ - _

, ' �;X

�

-

"

.

, f . "

-

D oa popoziionaă se dedce oa

a(P1 p;Jo bind în aiabie ooiţiona diic

" c oe e opozţionae B . . B" eseciv

D o ooiţionae ş = B s dedce oa

Osţ Rga D niă şi = einae ţin ocu oe de = eiinae c n geaă inte cee 1 3o d mai sus

§ Demona ş edce

Înan de a ecia ce ese deonsaţia să consideă un

Exepl d demonsaţie n cac opoiţiona

= = a q/ S

W � (p �

q/ p r/p S3 p ((p = p p» = (p = D

4 = = p p

=

a qp=p S

43 D



2 a popozona

şr u şir e 5 orme propoz ne obnute ecree n sbsţe r ax e pin etaşare n ouore teoe e în şr

Şiru e ai su ese eonsa uei � p ceevne n viutea exseţe aceste eonstra o eeăa cc propozţona

Eel q p � q � � este o ree eecbitate

It euc orspztare:

1 q2p

3 p � q � r

pote

otez

potz



Axiomatizarea calculului popozţina

4 q � r5)

14

33

S obsvă că o demosaţe se au paica a idducţi ioee Aşda, ecae eoem ese nliauni ddcţ poez. Mov pnr ca om p aa ecă eom sm � D i dă:

p � p

D obc, pi nsi, acaşi semn s p n aaaiome lo, ce o cosida ca un caz imiă d om acăo dmosţ s edc a o sigă fomă aomasşi

§ Eemene de eoa demoae

oeţle elaţei de ddcibiia şi azuui săupaicu a - dmonsb oaă obct tormonsrţi Ea sa deoa c o combinaoiă iuone de simboli ce s asfomă duă gi a ielcie

E oiue oie a la d ddb l a, n cae a a ] . sn fom popooa

a" a ai pu oc m

6C. Dac a am � I ; ; a , am dacă B , . .

B � ac . m �

Daă a B, auc a � B

ac a am- am � B, ac , m- a ·

că a � B, unci � a � B



Calculu propozifiona

Daă , , m ( a , m � (

Prma dntre propretăţ se referă az e în

ar za one na tre ote. e sere în aest a, a pote ;

etr peă e a o ee ( ( st şr e orme eraă, în aţa ăr rpre-eâ a ( ezee , m No r e orme aste obnt va reprezent ea m

Exemplu. Î eţa

poteză), (poteză), p ( p A ) a 2), p A r (D),p A r (D)jstâ reaa e eb te

p p A

eraăm î aa prme potee, ea

P A q ) ( p ) p A q = p (a 3a), p D),

stâ reaa e etb tae

p = r) pÎ a e e oa poeze terăm e

P A q ) (i, p A (q q = 3b,q = r (), q (p, (D),

stân re e ebeq p A q

Şr e forme ont prn aeste neraăr

) p A q = )

2) A q = )

p

p

a 3 S



lll ppl

3 )p

4 q = = q =

q = ) q

7)

p p

9 = p / ( ) p /

tc reaa de edct tate

q q

2 D

b S

1 ,4 Dp

5 D

a 2

3 ,8

7,9 D

C este un caz artcuar a prorieti i n caz ee d entr a găi o deuc a rme dn otezee al a o de a deci a u am = notezee a . . . , a] dedce e care o competm aste

+ k+ 2

pk k+ 1 D

Acet i e 2 oe rereznt dedca naai ipoeze şi iă raia uii a

a - C este n ca patcua a ropeă n

teorema deduc/iei. a aentează na ntre cee a arndte eode de demoare a ue mpca a ame aceea cae pecd e a oteza dececoncuza (

ustăm ntrun exemu metda d a emonsra



uu opozon

ecd d a dduca c 4C cosuzoa ae ddedclae

q, � q � r rvom cosu deducţa coszăoa a d dduca

q, p � q r p � reamm că ma dde e acăuă d 5 omu:

q, , pqr q � r, reu a o cosu ca de a doua căm d a u d 5

omue:

p � q p � pp � q � r p � q � r p r se emă c oua-cocz a c da du

ea de deducae, e u , cm se oe ova, odducţ poez q ş p q r scm, eză sceu e ca om cosu o

ase de deduc Ş aum ecaâd aa căeade omue u * o ddcţe a omu sc doezee q p � q � r eu a u umă ma se

ocedeu, zăm cooa aae deducţa aă ca ouă d * ecaae



e

d

ţ ţ l ă

D e

d u c ţ o

b ţ t ă

d i n ( * ) r

n i e

r e

1 )

q

o e ă

2 )

q �

�

q

d a S

q

( 3 )

p q

2

D

( 4 )

p �

P p

5 )

( p � �

�

d e m o n s ţ a

( 6 )

�

« = p = »

= p

d n

( 7 )

=

« = p = p

e x e m

C

( 8 )

=

9 )

=

q =

r

p o t e z ă

0

=

q = =

=

q =

r

a

l a

/ p q = r , q S

p

( q r

I l

p =

=

q r »

9 , 1 0

D

( 1 2 )

{ = } =

=

q

r » =

(

q r } a

l b q p , r

r )

S

3

=

q =

r

q r

,

1 2

D

1 4

P =

, 3

D

5

p =

[

q r

= =

r ]

a

b

S

6

=

q

r

8 ,

5

D

r

7

p r

4 , 6

D



Cac popozoa

§ Neconadca cac oooa

ioul a uu ace dea o ăe asua modlo n

cae se obţn emonsaţle Î calcull ooziioa Ude iml scou a le oe dmonsraţiei st a arăacă În uma ocesului emosav u se oa ang a eoemă a aca m a eoma a. oiaa cauză se nm nconadcţia a onsistna cacliroozţoal Ea decuge n urmăoaea

Acasă oeae s cosc ţa umăoaelo apea ele axom ale cacullui roozional s

rooziţonal valeb) oom 9 o ouă obnă n egula subsiiei

d no omuă val dă se l a ndul ei , vaidă.c onom I l o lă obţiuă n egula aar

di ouă omue val de s şi ea vl dă.in mae eoeee calcu lulu oozţional cae s

ţn i axome cele doă gui dedcv, vo ropozţonal valid

onom dacă a i � a ar adevăae, a şi a oozţonal valde ceea ce conazc dniţiaval idăţ oozţoa 6 i TA



iomazaa uuu pţn

b n uu oozo ar o nrr o oozona a r a ub

a

a

nara vz

18

şar ă pnu o oru roozona a â a âtş a ar eonra aun oae oe ropooea onab A înâ oraa nar aputa sevi ep e a ae

onen u nonra ă ar n a

e pn n omue nonra

§ 1 8 Reg ecve eve

u aan ou eonrar a ormeor au roozona nra vn ung

gr onu r uă ovu înnu guor uv ou a uza g Înă nur on r oât o rguă v ornzor A fo a r uba r or n§ 16) şi a o n E nu ru u

rvnru a n 5 oo og un gue nrour u nae a oraouv

f nu oror

f f

Aea guă n ar o ob orm poon on roă

i e u m pm gu î c eşte ep



Cuu pp

Acasa st gla taşa sa mduspnenst opato A

Ş

Aşada, o gă d nodc ş doă d l mna .t opato v:

� v f Ş

y jy

j y a acaş smca ca în ga = noct opatorl

� Ş I �

ma n c doă gl d 1 lmna s ma mşt aa ga Dln)



ooal 1

u oul

vând l dâ ot S-10C l 4 gld ddi sun ut bt n o s d I, l, onst gliitanziţii

a = f f = l a( 1 ) = 1 a, 1 � a = SC

(2) a a, a SC

(3 ) , a = 1 � 1 -

4 a

1

1� f 1 6C

( a = 1 SC

(6 a = 1 1 � a 4 S l -o

7 a 1 � 1 a 6 OC

14C Cnai zâd st l tv,

ol ot n vn sg ons s n s- vo ug s l d l

t s n dostt:

a f

Rt că caa e eşe sps ca



4 Cacl ppa

Trecâ reă cle egu ecte cotata căire ce au î raa lu peraru �, ut �- tr. şi - e im . Deoarec iptez elae e etra

reaă e x apra � - tr temeul aceteregl , reţa emtra e oi d reaţa

a a ccza a ar opr t a cr

trcer u c r regla l td . ă r la

e rma a ş a � a l

Răâe g ormuă etru car cle oă reaiă e aeăe. u st geu de osrat că o ate eru ete char te e

a a ş a = a

o pe aza eg la ş a ppr ăi mle par d dtra u u decâ o ca de

a ace acet ucu t âd ş opieate 6C .

ată cu acş c, dsaţa r c p u m

non ul cu v laue a ee uă o.

( a a v a(2 v a) a3 la a v a(4) a v l ll(5) lla l

v - .

trap

3 trap

2 4 t

Aceaă rea dedcă corpnd n pcp dcv pe areprmi cen cpâd ca c Aro 84-22 nae d Ho) aurmaca aăr d o ps E a nm ll



xmazea lll ppţl

) l (a v a � a v a eli

(7 � a v 1 a 5, C

opeudea cacuuu opooa

Cniea calcululu prp ete, cn C c demnr te ulele prpe

omi ee da de pa era ae

ulee aide şi e ma numeşte de aeea ompn Înrpot v emrarea e aea pe mătarea cntatare

Vm eemp ar d reţe de utb ate cepnătare elr uă l n i d TB ]

p

p

A F

F

cer patu l d A 1

p q p l q

F F

F F

F F

p, � P 1 q

p q lp, q 1

q � 1 q



44 C l

ă, c exeplu, ducţ crepuăre relţe ededucle p, q q

p q, p q q SC2 p, q, P q p q 5C

P q elm

p, q, p q q

(5) p, l q r ( A q) 1 4 l -intr od.e e 8 re de dece dăre ce

puăre cr 8 cee 5 t exee peru ecr rmulă prpă

e creuzătr ecăre l el de aeăr câe rel e euc l e

pre exeplu peru rmup q

âd pg. , crepur celr pru ec p rel e de uc

p q P

� qp, q q»

p q

p, q q

ă d pldă c du re ce dduc :

p, q, p q q SC

( p q p em

( P q p q em

p p q q� - el

5 P q 2 , C



Aom uuu ppţ

6) l q, = q) P = q ) C

7 p q P p = q) q 5, 6 6C

p q = q » 1 7 -tr caul ue mule prpal aie şi care ce

a aalele prpale p ş q reale e ececepătare celr par l B r :

1 ) p q 2) q ) p q 4 p q

cae eem:

6

p q v q p v q

7 p v p q v q aag

1 2 -e

4 v-elm

, 6 el

bs Drept ca parcuar a prpretă 6C câm

B > şi y relă y

utea erae e la pag 42

rPI v p Pn v P.



C popoo

Deci ent orce fouă proozţonaJ vadă conf. 1 6 Cel:

r



Exerc (Sol la pag.

ăr raael ărAalee îl ec ă le ănete n

loeeE le hăeş ş otş alee îl ecD lot

a tlza rătol car:1 lee îl ec

e hăeteL e ete

trc î l lc cele te prp l-eulu . Culechee ce c c

zae ce ea c Deeal aâ ece dcuae î cptll A

) locu ecar r cele 3 propz pe pr aee roozaep q ş ce lle

coesze cel te z ae aetl c) Verca alea că a raaet ca

tate oozo ce

a a2 �

d Aa că la ese nconsstentă C eztă

d c c re alae raetlu câ se lcete coclz "le ete" c rce ată re ogă?

e c deă oeul Dcă p uc s îtaă u ct

eta

ac e îează u ct eta ele alcteatee ocale sc



Cacu popoitoba

Impztele cecDec umele alcate ateţ cale u cada) Determaţ pre mpl perar gc pr

aplcarea cărra puteţ rcre Î lmaj ppal celepatru prpz ale aţametuu ) Cruţ cele patu rmule prpzale \, , , �

cepuzătae acetr patr prpz c) eca val taea ppzlă a mule

a2 = � Ce ezut e c cu rvre la vltaea lcă a raa

meulu î cauză?

Utl zd ecmpura î ppzţ mpe ş a le cate î parateze peu acetea alţ valtatea prpzaă a ărul rmet

Dacă upectul cmte u ), atuc utlz pla Pa avea u cmp c rr )

Dacă ut l z u pa, auc ua valr mpae Dcă avea u cmplc î err, aceta r t ec

pet ()Nu a ur vlr mpa ş c u cmplc u a t

ecpertDec upectul u a cm ul

upă Keler) Tre perae X X, X, ue e evzuecală, eclară ecre pretae e urămât

X X ete vvat ş et evnva

X acăX ete vva, atuc X ete vvatX ut evva ş cel puţ ul tre cealţ evvat

a) racreţ lma prpzal cee tre eclaratl zâ cţau

P

te vvat 1 2 3 peatr lgc



I CALCUUL PRDCATELOR

D

§20 Insuficiente ale calculului propozitio

prima pa am sia isrmt i apabi asia vaiiaa amtr aam ar a trrara ptr ar avm mtiv tat s srmr ree p vr a

e, pa

pşti i tris î ap

m prpziia

şti i rpiri ris î ap,

em virtea priip

va at azri , s avra şi în ari spia rma s, prpii t prpzi sm,ai pt bite ras at prpzi piiri r prari mbz-e pri Pş rsptiv Q srra i a r armaii sra m p ş q, a varab pzia

isit Raia bi iap � q

s va, î vita 7C şi C,

� p .

Ca , m C şi 17C, hvaa Ip q



D e de

eat e e ept, earee ra e vi

eea nu pzintă a piva vaiiti

i a ii i exemp i r va mi aeeai prpzii ii e a tiaR ă m p vat iae

ptr atnra i ema p.

Sr ă a prope spe

ra rpzi imp, îr P ş Q xempteri u pre i ătur i şi f ăr xt ş v rbi pă î evi Vm a e aee ză ă tutu ei z

ai ramat m î bt priattribt, plet t

az ă i r ă p: sbog ş a o

xp, ppzii

nr es r ei

ee ătă di subiec i ri" şi priat i"et apei"

, r preiat pa ap ia şi atrb i v i

( ) t ri

e variaba pate a ane vari, pr eare iee expa (1 evei prpziie te eea e mtemat repezit fe; i ete vba e ernală

taia pe re p ete ea e aa fatmat, ame

(



5 predeo

r, zu ui roozoa 1 v

x

our ui x r ubu log Adr", o ou oar rooziţ u

1 • u xu

Ar ra d la

A pu odr vr pra og (uţ rozţo)

x ri d Ar ri d y;x ri d

O uiu dr gr dor oţra ror ou pr lour u rvrab x i y r u ubi og D l vo oa u

Ax

rooz xu va ora

i(i rprzd bu l logi I )

Coi ra xor u do roozi

Adri oriz

2 Ar r ia o

ru z u odra u ou r uopraz, ar d dv, ox,zr rulu Axy u o A Andr ardAr)

N es iverseă de uă: subeet Eserefră dee e m d geerz zl rdelr epă m mu sube ş u e v ede î ee e urză



I inou 5

Ruşm afl ă um Î vidă hlu om aoo lo rioar

om d a aum ooa 2

§22. Cantcaea bect oc

odd "oţ a ub logi - ă oăm - pmul ia alaş d a y u a 2 ub oma

azăm af a s umş o foă Î daod u

ouu! Căi "o u ră Î ) u ub rsoă a oiv d oa) a l aiaă Adr cia iă a aai or mua :

Ad apa d la Adr s ri d

Cu al u ă ru eae x roaă) Adi

aria d xAasă d - d anae a subului logi x o

ui oozoală a - s xmă mbo aşara anao genea au nea \x Î faaal u ooioal

\a

ia s şu oţ x Adi aia d x . Cuaiaa ubul og ua d mai

ud di a aaă aluul dao Cu auou u rma uld eda m ooil aaia

Ad s aaru aa vom aa Îă l lălal i d uaia'aa au exena a riă imbo ud aa daui a ana/o paa sa exena

A

A răturat ete aa uvânuu aI oţ eeă



5 lcll edcel

Exresia se citşteu u x: t prcat de x

sau

x u x p car dr ese arciat de x.Rgăsm ci o omuar xc cea c tro o

e itic, s ăsea xpria pr

Arei ete aprcia

Obseraţie Rţ odţa de existenţă a or pr

oa car rcaă r conu acea fde xpm.

Agumn xm lbju l pdcelo

Cotu ci ct ou m, judecă raţot d mu tur

D Un o u rc.U cp . u prţ cp

o

Ax x ete aprciatCx x ee cai

o, pe aza cacuuu proooa

Ax Cx x e aprecia ş (x ) caai Ast, trscir smoc a argumtuu actuit i

ce tre rmaţi i ee3 Ax, C � x (Ax Cx)

D bseraţe (universul u domeniul discrsi) Toţ

cuaticatoi (V c par Îtro expree smoic tru



D. Idei introductve 55

argmet, au hia tu şi d agumte crelate tre ele , ereeră ttua ş c d idi (praeoecte etc.) peciată î a pa. Ea paă umele

e omei au ue dicuulu D peă iă lgaă acea direr

agumete e aceea a pr a l a cet t de ooz d gc c lac

A t P u R (un aă

1 uii P R (paiua aă E: c n P u R nl gatO P u R acu a gă

ac acată t d R eicate u un gu c lg

x t PR x t R

Ate, " P n R" t l pe x a x R" c:

A x(x�

Poozţa n R, a dp "uui x x ş x t R" ş d i c

1 x Px /

Cel dă p E aceaşi d ar cid d c ga a R;

ateE: Vx (Px � RO (Px /

n duă d RMO O un n



56 l l edelo

Ră ă vd a zu c ăuă ac asci n a nu adca

vd a xul d a a 0 să tani sboc

cs od cl dou oozii i p a coin os dd dca

Px x s pAx x ăiş ăR x ăi

v ansci a poozi u foa

\x (Px Ai doa a

\x (Px Ax

Raia d di n c ă popoziii a coo xu

D \x (P x � \x (Px Ax

E. Dezvoltarea cacu l i predtor

§24 Formule cu pedicate

b ac nu ncd u ppzoal da c c o ap duă t u i d vaab

arabe ddae a x Z )

are d pedcaAcsa d uă v noa u acai i

va popozioa q ) ă ua d oă i c vaia ndva acăin aifore ace

Iaă l d foul aoc

p x p(x x p(x q c



Detaea cacuuu predcater 7

oll cu dca conc pa cu paia cu c poozona conf 3B n baa a oă l indciv.

Baza nu o aoc n ou cpica Pau nu a acă a şi n fol cu

pica anci

o c dca) acă x o vaablă ndvdaă a o oă

c pica anc

V a 3 a

n ol c dic. ona 4B c pvi a paanz ă vaabă

in copaă cu o cauză n ca cuanicaoii V aacai oa ca p xlu ola

3x p(x) q() va nna (3x p()) q()

[ i n x () q(x))] .

Apa ş gat a un vaa nvuaoa a d b n omnu cacaoi iv ca din apaii i a gaa

X oae oae vaablele e Î temioogia geneaă a alululi, vaabla este un siol e oae

oui vaoi d-o ie daă de vaoi Ese eea e oesudeaii oui de vaială lieă

Da în exes a L" sa fa xx vaiailelo i u se o

n.da valoi doaee expesile eea vaoi xae Ele se uescaiaile legte sau ente.



58 u u pede

Or aa a n aabi ca nu s aă s mşpaii bră.

Eempu aari ga

J

p() Vy ) q(ţ y»

l b

Fia aa aă a n vaia s ă d u n

uaao Asfl, n oru dn mu m a a a u ) s ag mu caor, ăor doă aa ga ( y) s aă d oaco.

§5 Vadiae În cacu predcaer

Inerpretarea ueorue rateLbaju l u pa p l ozio

na a vld fomul xid vaidiaomu or poozo .

Fu poooal su n vrbi oo

o ş opo og . O b ooiolă ot terpretaă a o văa sau as Irâ asf oa vb ou i prooziiona ş i âdab d avă o o da vaoara av a oul u a sa rar c 8

nru a o orl n varibl al ş ponm a o im nvă U nmăunivers a susu . 2.

4E. Exemplu. a( y): p(x) v (q , y) � (» osi U u d ouă m ( oă 1 2.

acst U vabl a () oa ava 2 4iră:



l lullu prediaelr

p(x

I I

A A 2 A C A

ABp(x) vaab a d da q y e e 24 1 6 er peări

q y

x y

II I I II II IX X XI XII XIII XI XV XI

A A A A F A A A A F F

2 A A A A A A F F F

2

A A A A �

A

2 A F A A A A F A FT q y

d p p vaa iere y ct şi vaall d da ş q y v pedee, ud eee TAB ş Bv l dvr frmu a a c auu

D pl pr 2 y 1 , p( v ierpretare iarq y pra X g i Î ee c p2) ee şi q(2 1 )t A Aadar a

px) v y = lp) dv v A ad A

r a este aidă n s2-lidă dă aritre cee 256 a fe e epeăi ea captă vaara

sai câ ce aar ş vaiagate vaiitata a vadiaa cti r pat

Naa ementeo i U va ca i i ro n c ă v con ee do nml acto elmete



6 alll pediaelo

verct mt mai simp ba cc propozioaAnme trtâ ecr ou tomi sict c o vabipopozon stct i acin o te cosztoe e

vr cz a e este

px qx q(x, =

p

(x)

p

(x) (q x y)

=(x

A A F AA F A AF A A A

F F A ATA x )

ş e rt i nmi o cooe e cc c ocm mlege voe x Î U i vaoi cosnta avrpet px ş qx oa este aevrat Ş cesta

mi cân U ae o eemente m orcât e mae(chiar iit !) e emete

Este cee ce cu c pcte vom nm ovi oe nives (a scsui ); nto expsie - orm unia aidă

N e sta ce c o o a oi canti

t C pr eten vor i se e ev tebes iem seam e teeare cestor ctictoi

Exmu Vx x) pAste e c U { 1 2} cat () c

intepetae i A px) oa x px va A [eoee

atâtp cât i p2 st A] tu etme vaoii e aev oe p) xm

o itet a vab iva xmp = ntcât p 1 ) est terete es o xem este = A ec

entr costta s c fo i 6E este nivs

vai vom ec e ives evi U avâ mt s eemete m ptem tbea ca m ss



Doaa auuu ao

terpretărie pret p(x Ni er e f Vîpă ee iterpretăr î dă ter:

ee î re x p(x ete evrtă t

vte, î re p(x ete evărt rire r x î ib ee re fr x p(x ete f rm ie rim a nepea aa a iv

y î Up ete evărt, e f 6E ee evărtă z b 6E e = A = ă

m ete ierret y U; d î bee zri 6E e

f A=, evără

xmu p = 3 p(De t et iterpretăre p veree iverr

evie U e o mpă î ee per re r px ete A

b ee petr re 3x p(x ee FLăă tt păere e defr î ere itre e

dă zr mtiv per re 7E ete evărtă

Macă vtt unvă ei e reie,aen aa e a în a popooa

Atfe d i ee d itte ă Fp(x (q y p(F x p(x = p x (x

Ct unu ontmpu per fră

preite U tfe de reep ee ăti iriver ev pe re eite ierreări pt ere vribi ee bere e pret r î fr reeivă Ciţ ete î ee iterpretăr f ă peevre e evăr F

Câ tfe e treemp etă f ee

vidă



luu edel

Vom căuta cot ae un neempl nt o

x 3 3

oom TA iterretăre ceor ouă aab dpedat p ş q teu aese aste Încât

a x p x e

b) x x » să e

onfo A ma od se poat om l atfela x s e A să e A

F e U uersu n cae o derăm cst ntprtr f ex n eemntle ş} as nct

p q) s A

onor od ţ e petru oce eet dn U ete

De a i reută Ţ ăi ae p u i =j a contrazcnd b

A eâd { 1 2 } ş nteretăle n U ae elo do

red cate du m ureaz:

x1

p

AF

costatăm ndep ra ond o b

q( )

otraelul astl etat pobază adtataoue

Obea a U ar fost alcătut dntn nlent cona b na putt dtă şaar nt

astfe de dome formua est a dă couie ste a dă dar st a dă pnu > 1



E. Dolaa auuu

Eem plu »

A z l n 8E

Fn , k, v nv pt p ' x J n n O i b ap al A a nz A

§26 Sb cc peceo

C lll ppa n l p ( a t

Feae dintre acese vable peat poate un uoaeae de vaae ndvae.



4 Cacl pecaeo

fe e acaş tip rintre ceste s aă susitiievrib r c par î oul

) Substituia variabilelor propozionae s ac în

escs î 9a, c păsare popietăţ d v idiateb) Substituţia variailelor individuale libere ş a ce depredicat este psă ni Î ante conţi p cr vmprecz în cinuare.

eu a ac ţeeasă "cca u se subst p ecă e n

Exempu oua va 6E

'x p(x) � p)

ssiu fo aocă p(x) âd cu car rfue

a) p(x x) ) :z p(x, z) c yp(x, yşi obţinm ăo t cosă

'x p(x x) �p, yb/ 'x :z p(x z) � :z p, z);C 'x yp(x y � p

a c n ca oa ăva i, n ou C isă uăo cntrun s U { 2 } pr i d dc p(x y)

s dnş ă t

x p( , )

1 F 2 A2 A2 2 F

acestă ta a 'x y p(x y) capăt

vaorea A ar oa y p, y) aoa F d c?)Cof TA� a flsă



D uu

aa aeă alăţii oe n sbsţa seaoeaă i e foă Ane aoă o enţe enoaţe ne aaba beă n ş aba ea n

omla î a ssţei aiabi la li beă y n 6 eieaab lă eaă î en eaea no ase e sai ae oaee

pec

pe eem y ese sbsii i u n z ( z a nese ss bi în y y

De l aţie u () foa 6 ( ş ( ) es sbs blă ( aeasă oă eoaee ş espei y sn ssi e l z

Dar y y) nu et bsb l n eaee yn ese sbs b l n y ( y.

n enea

Fol s prodc î cazl b când vra gă d ot

dfr (=), vrb Ibră y dn 6E rmân ş dp ssţ lbră

V> " V sz cr dnr arb dvdl x y Z X c



Ccl predcteo

acese pec a c mtaee ete e pe a ccu pedcae

Ca apcaie csde c pedicate va ndd y sstiii x n ( e eau acse ssi

baa eţii 7 di

e

Fx p(x � p F p � p(x

F Vx ( � F �

§27 Echvaea foelo c e

La e ca i uee ppiae, mue e c pecate se hvnt dc

F < .

t m aceea ne c ş în cc pna

Vezi noa 2 de a ag 65



Daa i ediel

vrtta d O a aldăi (rsal a) foor c prdcat ş a ta AB< rută mătoara

plu oul conuene Doă om c pcs conene acă dfă mai p otaa vaaieoe

Astf

\z x z \

st cog .ot cogt s ş l

p Vy p) v qx » y p) \y v q y»

da ic ua u s cogă u mu

pX \y v q

r p î iţă oga sau corit acs fou maă doa poz vaao lacu laa o c aicao a agă sfl

3

,

p

e

,

A t (r)

q"

»

st sch coă plor dă om, a -p- A ) q- -»

I

st schma a ia

Foull cgut ad aceeaşi shemă.

vitta proităi i 9



6 llu delo

Popt 14B xtnd nt oml as

La paga 95 a a o t 23 hn a oom p • •

Apcaţie: oa prenexă a om pdt

Aat pot dds l no p n ntto a n s, tptat, t a lo n opo popozona It m dg

n a o

y x p(x) l x q(x, y

bza hn 33 z

x qx y) "x qx y,

Foula est alcăiă dn m bol r coecv a foue Y



ezvoaea a pda

po popţ EY px x l x y

Cono Ex x y - z z y

po onom popţ E

Y 3x px z z y

Cono E4Y x x z l z y

Cono E

px l - x l z y

po cofo pop EY x Px z - x Px z y

69

Aa a g c n o pnx Y l oml Y ol

x Px z y

Ovţ Ea c p x on E

o lt o pnx p Y

z x Px z y)) .

28 Dazaea foeo c pedcae

t popţlo opoo popoţona vt ompltt l po d o t pop lo ano o 3 .

nt pv v 3 x ll o lg tânA l aţa oa x a popaa " bolz



7 Calculul prediatelo

c, n nv n U = { I , 2 n} aconncţ og

Aaa "n x o a" bo

x x)

n ş n o d n

( a ' " v (

e e o e Mo p d o pt

1 ) / ) / / » ) v 2) l a(n),

d p

2 » ) 2) l(.

C opn n oE32 . 1 'x x xE ' a 'x x

op 6 xnd l z o

pdt a l

Exemu a : x :y ) :z q(x z»

1 r î ojnţe dţ c d eei oe z gor oci (E2 i E2J



E D uuu prdaor 1

Uii echvaenţee oţa E empe d

� 3x

( ) / :z q(x, z» x Vy

)

EJ E) E ( p) v 3 x z V ) v V qx z

DN

Foula obţinută în a acestor transformr s

Eţă aa a d a c

edcae

Eempu haa

• Vx a(x) Vx (x) - Vx (a(x) xse tasmă da a n aa

ax) v x x) - x ax) x

§29 Regul i e cuaniicare

e a a vde pe cae e a ces a i eg e d caca

Meţnăm dou as d g i



7 acuu calo

ecă e V ene că

Fixă n nie ed şi aee ieeăi enece dine vi i e e ooziione de edica i iniv de iee ce a n oe e a Vx !x

nc x n e eă n a ioeză da ci ÎVx ! x, coo 3E ceei vi e o codă eei e enione nc o ineee

ă vaoae de adeă e ae o ia oa a Îneeăie aee di ine doă cazi

) a i vaoe ) a ia voe A.n i caz ou a � V !x e coo TB�,

advăă

czu end c ineeae e vaia eă dn ! e ndf eeen di U, vaoe d adeă i a nu e oică deoaece a u con ceă iăieă)

nc a = ! ee vdă confo » a = ! edevăă

a id adeăaă ! a adăă (TAB=



Axmazar aluuu pdca/

şaar n act caz ) va ăpă nterpretăr ea vaoarea la fl ca ş formla

a � /

Vercr reul e face ut l zân celeaş prn p rpnm

(2) x � / al n vs nevid U şi interetăi ale ara lr pzţnal e prca ş nvual re e apr n orule

3a()

Varal vuae ar u apar l ră

n c ua e ce o formue e ază ac nc o eretar .

a) Cnd / e n acete nteretăr formu a() / va

) Când / este F aleând ca inpta nr pe rna elnt i n U conform (2) i A� pntrua() vaoae F.

aar În act caz : a( va ua n ntprtăl an U vaoara F, ar foru

a( � /va evărată

a. pe lâ acete oă al reu e

antar varalo lee într-o fomuă a cu rara al t ar v vea n apolu uăor că l pot o nut p ae u n cl

Aomataea calcl predcteo

§30. xoe reg ecve

alculu precaelor ee o eolare lll ppozţonal.a) Aom le aoe a caculul popzna

(§ a) unt e ş pentru calu pecalor or l adaugă nă oă



ll reder

b gi civ .b Dr =-eae ese eg cae

i fome c peic = cem oma (cca f

a s oaz, e scu D

b gula ssţ oa S s ef l c 3 ' axom

opozoa secv a c o o axom: baz xoe a 9b ce zsbsttţe a sa m mo vb oozţoe fol cu peic

Toodă ea S e ee dedeea foelo

\ f( =

folo

=

î co ca ( se oc fol c cate s

o vab v sbsttb î f a statl acese sbstu

b3 gull cacaRga pm s c oce fol c p

ca

= f vaabi a ae b î foa

= f

Ra ee s cem foa c a

Substituţia trebuie să s facă, cono IOB

sa pest tot unde

aar acele vaiab le prpozţal . 14E



p

a(x) ,

vaibia x apar ă î , ma

3x a(x)

3 Deoae ş ecte Îca eceor

m rmăa ul u r diat aăt msai. Mţiăm, p ăra, mv

idrii a i (ofrm iii 1 ) p) x)

2) 3x (x» (\ (x (x» ) a

3) p) ) x x D

) \x x) ) (5) p(x) « \x x) ) px )

x(x) xx b

Conf eg dui În dmostraţ şi di a n i

nţona xi aa gi d bi Pn ă ii - b xpni dja aua - va i aaa



6 Cal cl pecaeo

6 V p = = p = V p = p 4, D

p = p 3 6 D

Eemlu ătoru şir de orue este o deducţie orue p = V q di ipoteza Vy = q

) y = 2 Vy = q re V

(3 Vy = q» ipoteză

(4) Vy ( = q( ( = (»

p = q ,4 D

6 p = y 5 V

y q = q = = Vy q = V q

8 p = Vy q = V q 27 D

9 = Vy » = « = Vy q V q == = q



Axomaara alll pdalo 77

( 0) = Hy ) � x (x))) � ( � x x» 6 9

( l ) p � x (x) 8 1 0

Aşadar vo utea scrie � q � p � x (x).

eaa � d dea se ueşe reaţie de deuctib/at î calcu u l cu predcae.

32 Propretă ae eae de deductbtate

eş otate a fe, reaa de deductbtate dn cacuupoozoa (c 3 ş cea d cacuu cu precae stdferte O parte dire roretăile cee dtâ rămâ adev

rate ş etr cea dea doua, ar atee se odcă î sesrestrictv

Vom oserva aste că dacă al , . am p sut foe credcate entru care

ar o î ccu propoziţionl (acă în v dii) atuc ea are oc ş î cacu lu cu predcate

schb proprietatea:daă a � p aunc a �

vaa tru deductibi iaea cacu popozoa (cf )u a este vaal ş cacuu predcateor aă aces

ses uExmpu. Icuzâd deducţa aneroară foa 5 ca po

teză pte reuna a formue le 3 ş pe care se bazează deduca S Asfel ct ce 9 forue ămas cottu odece calcul predcateor. tea aceste dcare loc eaa

p � ( � p � x q()



Cac dica

a ua

» \ q»este ea idă

tât aşa u aăta §33 i a pediat ste f adă z aa

q )) \

u ae eadtatea fei se pae pa ast a

petu p aaea de adevă A a u iesu U = { l , 2}

pediatu ) ă aiă iterpetaa

q

(x

A

2 Fş i aiai a idv iduaă .

Defeiuea apăută se datoează exusi aiăi pri cee ouă regu : uo aiae diuae eapa ere î potezee deducie .

Atfe î exepu aeo vara a eă din fua

pteză p ) este cuatată uversa î aza ru pe parcursu deucţe id îsă aceeaş fouă apae a iptez deusă

d ipteză î deducia di exeplu 4F) di rga un nu p un vb bre rpoă aui tate popietă l â aa

petu aeastă ouă eaie de deduct i i tate



Aximie cacuuu prcar 79

Cnssenţă ş cmledne

Aiml calculu pedicteo nt oe ade (p

1 s oziia valide ia ax V şi a ut cofE E isa vaid) oeă a cacul u i pdicto obi d (un

di acs axiom pi mai mute ranfomăr uccivsd dmtaa a aa F, cete tras pot

a) stti i (cf ul i i deductive ) dtaşăi cf u deductive c) apicăi ae u o V u ica ditr acete trafoăr pătză proptata de

vlidie un veă e o u formule e de a care p ecă:a) sttu cut piee aome couc a o

uea vali Ne opr u oet aupa acetepoităCnd înto oă popoa vidă ubttui o vara

i ppoziionaă pr ro foulă popoioa ă, va d itafui atfel obute e aea pe pt că tabea a deadvăr e deusă d n tbea de adevă a fruei în ae a

substitu ia (§ 9a Aaş apt ae oc ş atuc când vara propozoast sstituiă pit-o ormulă c predicate

empu btituid în fou popoional vidă

( ) p p

vaiaba prpoziionaă cu fora cu predcae ) / q y» ţne

(2) 3 ) q y q »

Va id ita uiaă ou 2 dcg dn lidataioa a fo ( ) atfe

i uivs evid) U şi orce tprtae î U avaa de pd icatp q şi a arabi e ndiduae)



0 alll edaelo

ib y a () 1 q( y ia aaa a aădiată, acaă vaar d advă t intrduă n tabad advă a ruli ca c n cndc cr

T p v p la aaa pu 2» .Subiuţiil cut a şi a 3 d a

tipul

() � )pctiv

) � ()ca unt uiera vaid 8

b) taşara: dacă ru cu prdicat a şi a � utu iva ai atuci fua ş i a unia va id

c apt deu dict i T� â nuiitpta a variabir c apar a şi a

� i şi )

aa iau vaara capă aceaşi aa d advăc) Cnr 26E şi 27E dacă piza rl i i ( au ) t

ral va iă, atuni cncuzia a ar acaşi prpitat a aşaar

arc c 12E pntru n ic i ruă cu prdicat a

F a ŞI F la

ult



Axmtare a/u/uu redaer 8

cproca roprtă 6 st u rzutat udata aoc prdcatlor '

onsaţa opttdn ac pdca n accteu eemea i calcu lu l popoziţio (§ 1 9) d aca o expe ac

întocând a ztau s i 6F i F sascchvalena petru or ce orulă c pdcate a, a condţ o

a ŞI � a.

C a et o oă propozoaă pra od poat vcată prtro todă car cha dacă ese aooasă co

dc dpă u uăr n d opra a răspnsu d vâd ă a este o oruă cu predcate vrcarea od

� a

prsupue detearea vaor de advăr a l a îro ta d trprtă po a vror r

prdcat o Aasta deoaree tepretăr truecut în ecar unvs nvd Vrcaa u s închpacc ncodată, as ncât no u n aă în saţa d apta da u răspus tv cstu propuse Proa îcă face pate c la poblem lo c iab

3•

Demosta de gcu l austac K Gde Î 1 930 "D V stdkeie ome es ischen FukonkkU n Monshee Mhmai Phyik, voI 7 49-60

Ee voba e acu ea unei abe e e aevăr Pobema nu ee eeiabă n a eăre m i

eea e afe pe a aceui ai vaaea a eai mi m fome preae. E ese neeab î eu osibiiăţii ăi unu i mnm (aoim) n care pnru fere orm

c reicae s m aicân ae aoim ă ece, ă unmă unoc e oea i , aă ee nvea va nu



l ede

nnd ama d as dul n c a verca valaa ursal a) un foul cu prca e prrat crca cpr msae a ue rpctve

34 Re dedcve devae

Ssmazara ş smpcara onstral n calculprca s fac ca ş n cl ppozna prn nceaaxmelor cu gl dc drate acea)

At cl 1 3 rgu d ntroucre nar acrua nr c 5 rar pozna ma apar ast e e uc ş mar a cr cuancar

Asf

l � a(x)1� Vxa()

und 1 rzt o să os d d omul cu rdcan car ala x nu aa r

a(v

n v maz vaa l na utub u a(x) cf 14) ar a(v) ratl acs u

a() r a()

und v ar aca mnca ca în rgua -l mna

, a(x f1 , 3xa(x)

n f foul cu prcat nu cnn vraba br

ar acaş mnca ca gua nrucre



ximaaea ee/

sut rit i d ddct b i d i acuu l rd it pot montra c A r g i stiz dm pn c eee d § 8

u roriăi 5C- OC § 1 Eempu. uăm r d dductbi t (g. 56 [

ar oat d rd c Px, u os oui ui d pdict () ) ]:

) � a(» � ) r) � a

V ) � a(» � ) � a()() () ) � ()(3 p) ) � � ) V � (» p) r() �

(5 V ) � ) ) � a)

V ) � a» � () r) �

V-ein.

I-in

�ei

C

4, �intr.

V- td

A d pez a al a dcd §0 lgl lg cll cpd i

Exemplu

V ) � q q) � � ) � r( Ast dţ pa d ogc um

siogim â mod AAA) E t ătut d dou ipot (pr ) e re e pxprim orma as

P u Q

to Q t .D aii u coa, a nrs amati

o P

rt ldt sa sa) roâd dmosta a i d ddcb r expm bo c .

i C g aa oi 5CIOC a a ciiiat



Ca dao

Nm muimea ce du pemze ale gsmu

Vx x) � qx» Vx qx) � x»

un( p(x) � q(x)

(2) r 1 q(x) � (x)

(3) r, p(x) 1 q(x)

4)

px)

x)

(5) px)� (x)

Vx x)� (x

- el im n C

V - emn C

1 � - e mn C

2 � e C

4 C

5 V nd



iţii

Exec (Sou a ag 92)

Cu ajutou caulu

Axy x ese apecia de a opaori lor oc i (opozoa ) şi a cuancaoi o ascri s io c cae dnte urăoae opozţ

a) Orc t arcat cnva Oic n apecază p civac) Orc ie s arcia sau arciază p cva

d) Orici s arca aprcază p cieva eru car variai ă de prdca qx s cosidră foue

A : 'x qx J x qx E 'x qx O x qX

Justica va d tata uvrsală a uăoae a)A � J, E � O

eaţii n viuea cărora s u ui A şi O uaeau E

b ) l A O Iaii vuta căroa A ş O, rscti E ş i se umesccoadcto;

c) A E

(a v iu r A ue d) I O

eţi viua căia şi O s umc ucont

st ht u ooz 30 a â (x o A o ( t ă

susttu fo

u

A o no ă uă ă o Bou 480-52

i l<

" o

'

lq 'c

�{

o

O

C

;-

t

1

t�

'



86 auul pedi

a cmpă a c pa p Ot c 30 ăaa

A: \ (x) q(x»

E \x (P(x) q(x»

1 :x P(x) q(x»

O (P(x) / q(x,

a utica val i tatea iversaă a echvae

l A < O E < 1b Arăta evad tatea r

E O l(A /

O

t-u ver acăt dtr- r em = { }

c) Va d atea uvrsaă a r

px) ( )pate proată cu ajutru urătri r ă addctive

) � p) q)

(2) p), p) q) � p)

3 ) p), p) q) � q)

() p q) � p) q)

5 p() / q() � 1

6 , p) �

(7 A, p(x) 1

: p(x) � A � :x p(x) (A ).

uscai- pe ecar d dp m d §



) Cruţ n r coepnzor d asma aiinru a juca va d iaa u vsaă a forle

p(x O) a a d aa u vraă a foru or

x x) � A / E � O



88 Souii execiiio

Anexa SOLUŢIILE EXERCIŢIILOR

a rar î ma mbol i aţioametu eeH v L 1 H l e L

) aaea propiiaă a imp iaţe (q v p) q p)

e poate proa u ajutoru tabele i de aeăr

p q (

q

v

l r� p

)

l

l lp � r

A A A A A F F A A A A A F

F A A F A AA F F A F A F A F A A F A A F F A F A F A

d) Cooaa ormue (q v p) p almai d , arată ă aeasă ouă este iosistetă .7 Coform T ea impă orie ormlă. r urmae aţoamel aâd-o a ipoteză este propoziioa aid depeet e olua sa

a iţioa1 impoite le re: e îreistea deit uetarS umele aloate aie soiae sad

aoametu ee aătt popoii i e oie 1 D D ei S

ormula î auză îod 1 u p, u q, S u r a



Sue rr

(lp � q) (q � ) p l r

ş ae vaoaea câ şi r su A

9

ocza aioae u rezu aşaar preseesae; ce pu i u v tuea eg o ogci i popoziioae

Raoameu ese actuit i popozi e ogce

S � P v C

ec l S.

C D,

oa propozioa corepuzăoare va oc Scu p P c q C c r cu S cu t

( 1 ) ( � q v r) / q � s) / (r � t) / s / t � lp

uct aea sa e aevă ae 2 2 de ! ) vo acvericarea vaiii pri căuaea siseatic a uu coraexep c 8B)

etr ca p icaia 1 s e asă trebu ie ca

(2) p q v q � s r t l s t e

a lp să e eoaee p ş P � q v su

q v ese A

ac q este A trucât q s este A cf 2» s ese A ecl s ee ; ceea ce corazce 2

ă ese îtr A cf. 2» este ei l tese F cocân (2

şa 1 u poate asă ; ea este

a) Tascise iaj propozioa coor icoar prp cee rei ec ara vor

P2 PI � PX3 : P3 ( v P2)



Souţ exco

o propzia cospzar d(1 : P2 A p3 : PI P3 3 p3 A V P2

s sa ei A A prespe gsrea

vari d avr pru P P2 P3 ase vaarea acscoci ci i a cr fe pa s ese a 2 s P3 s aes az 2

s mai a ese ?

vao gsi, 3 s F A v ) ai . Ceeae prea cssţa.

c aţa d dduc a � 3 s poa obţ as

P2 A p3 �P2 ] A i( P2 A p3 � p3

(3) 2 P V P4) p3 P P2 � p3 A

A p3 � p A Pe 3 s vaidă d c?.

v ir A o

1 4 C

Vrca căud cotrap c ca cc ou

i � < evaieObeaie er obţra acs rezae ii poa

i ab d av

Dcăpt P2P3 s F ac 3 u F a 2

reupeea cu v, cazu u i X a pcţ

P � şi P . aza aspiii i a aţi ,

pa imp aie eem versa ee e a a

PI



ue err

Dec cr -r ret echaeţa

a ·

lar ceelate du caur 2 a

a3

Ctrun ae e aer

3 a .

[ A A

A A A A

a

: : t:

a3 · ·

cat că ra n n care aor e reor tre cloaecoc reec c or le r r r

chear pa)V ov r acet ca o ş •

P poe(2) pe

3 ) )

) a 5 ) ) « = = 1 6

6 = D

7 = D

8 ) ) = 5, 6 D

(9) 7 D



Slile eiil

În nal, t l zând omvea v E gm

(A � - (I v O).

a) Confo E ( ) Vx (x) � q(» 3x () q(» P de at art, cofo E

1 (x � q(» -p(x) / (x.

Aic roitatea e îocire a exreior echivae

2 E rezut(2)x (x) � q( - 3x ( q(x»

Di 1 ) şi (2), ri zviea ree (f. g. 19)ezt

O.

a e vec eaa E b e ege ( 1 ) fa) ( ) Ve; ) SC; 3 ) � e l . ; 4 nrod

(5 3introd; 6) 3 5 ; (7) 6 a ; 7 ;9) C

) e noc e q() pr q() î n rţ punctu c

e ) Au loc evaleeel A / E) (l A v l (A � E ) şi, oform a) l - I

de nde dedue A / -A c vi uvra a oru p(x A

ez in val ie nvea fole 3 p() � A )onform orţi e îlore a expreior hvlnt(2 E

Deoe A - O (untu ), rezu t

I ) ( I A) ( '

D unde ret, a ai u va d iata univer a foru:3 (x) � v O



9 Ehvaln log

Anxa II ECHIVALENTE LOGICE

a, rrznt orl oool sa

El o a - 1 1 lg gr g N)

E2 a - a /

30 a - a v a40 a - a = a

5 1 a - ( a = / 1

6 a - / E 0 v - v a

go ( / - 1 v 1 ] ( v ) - a / 1

a - )

l / - 1 ( v )

E a - 1 = 1 \ 3 a = - 1 v �E a � - (a / 1 �) I 1 (a � - a / 1

lgl m l

consequentia mirabls

reduco ad ahrdu

lg l comtatv

lgl og

pr 1 /e / pi 1 v

trasozadefn ţ = 1

d = n /

l6 a < � � < a smt e

7 a < � (a ) / ( = a e < / =

o a < � - (a / V a / ) n 1 / V

E9 a � - a ege oee

E 1 (a < � - < � en

2 1 (a < �) a < 1 � negae e



chenţe ogie

E22 • a ( y) - a / ) / Y En. a v ( f v y ( a v f) v

24 a = ( = y (a f) = y

9

g oci ăi

exporareE2 a / CP v ) (a f V (a ] ibuităţi

E26 a v f / q ) a v f l ( a v )

bob

echi E8 E29

fomu

a a u cn ibe x

E28 a a

2 3x a - a

ch 30 ş E3 vaaba ee ubuă

b x ax) [c 14E]

E30. \x ax - \y a()

E 1 a a)

E32 1 \x a - 3x a ng cuancaoru \

E3 3 . 1 3 a) - a() g cuancaouu 3

34 x a) - 3 a) fn p

E5 3x a( 1 \x 1 a() 3 \

hi E36-E45 foua a u o vrablli beră x.

E6 a fx - (a 1 f»

3 a 1 f( - 3 a f(»

E38 a v x fx) - a v x»

E39. a v (x - (a v f(x

4 a = x fx - (a fe»



96 Ehivalente ogic

4 1 • 3x �x) - 3 (� (x»

E42 • \x �(x) � 3 (j(x)� a)

E4• 3 �(x) \x f(x) a)4• a� x (x) - x (a� (x»

E4S � x (x) x (a � f(x»

46 x x) 1 \x j(x) x ((x) 1 x

E47 • x x) v (x) 3 (a(x) v j(x»

E4 • x (x)� x (x) x ((x)� f(x)

4 x y a(x, ) y x a(x y)

Eso . x y (x ) a(x )



Logică ş ttă 9

Anexa III: OGiCĂ Ş MTAMAEMACĂ

Orce iinţă su sism rganzat d �nde îi probeaaevrr l pn recus la gul - eer d se dedce loice

Maemaica a os pma care a ulizt n d sstematccest isret (oano") demnsr toeelo Şiu ntmlăt majottea xepll dmonst td Aistt n crr l l u i de ogc nt xmle matmatc

A rui să trc st 2 d n ca olure s s invrse ş memtc ai recs er s devnă di câ dl al l nsrmn de sge a sa. Cec!cue În ces ses d âru eman lz G Bo

a condus l aia unui cacul gc (cu propozii i siilarÎ m e prv inţe ce lu aebc cu ere.

Uătou major s cut de oicanu an GFreg ] 8481925 e dzvtă primul sism cupriăr diă smbolică Deşi iie cmce e cr e utliza au rza sdea pera sa iunat ărâor pariia

uu o u (n 9 ] d oala lae npahatca a ui AN Whehead R u s s e l '

Truie eca că a rg câ auor Pci or aurmări "redcee unr rţ d tc î pec arta l C alt cuve că nc p acs d scp ne mace ş au n În rncp

de locă. cee doedi l s d cs, dar dcosecn, ăc a rms csrur pmelor sisee axioatce fol. As dcpe tematce po, caieca i teora ullr u căătat udent axmce n cdu nr se fmle de ogic clcl udce

d d g ş



Lgă ş mamamaă

Neceaea de a fuaea afe aea zorâ dn doa e a pe one î bazele o p le le caece a ap - în caul ceor pr - uno concepe c

caace pdoa (conrdc)U eeplu de aemee concep dn era um -fo emnal ege de ce e .

Renn înr aceea olecţe obecee având propreae com, je l oaele conar

ele cz în coecţa aceor obece ee u obecad prpeae comn eemeneor e Afe, de p,coeca nun lor brace ee ea î o none brac

În bal ee or oec A nouoabce ee n eeen a A fap noa pr A A

pov, coec C - oţnor cncree - n u ee onone cocre ceea ce în lmbau meţona înea

C fp noa de obce p

C CReu Î-o colece - noa R oae obecele aândpopeaea X rea prncpl e excl

R R au R Rn l dne cee o cazur, R nd eemen coec

e den pr propeea X X rezul R Rn l doe cz având car acea popea, R trbu

e elemen al coece den p e, c al cece Rdec R R

lecând da de l ce dnre cele do aa ecm - p cal lgcă neaa a!

ra rec c o fel de procae nc aprne cro

ere pne logce aemce O pae dnre cea e , E. Zeelo al) cn

derând prncp e coene ae eore m lor rebue

\ Au fo decoere i e eenea enuri conraicori Ciioru oe ă informii uenre n crrea u A Duriu: Bucureş 975 ca L

2 Maemacu ean G Cnor 845- 9 ) ee ceaoru teorieiodee muimo.



i metamatmaic

enate, au creat aoae tat are perau e atfe ontrai u vor aare

J Brouwe mteatic ia olad şi ceator al şol i i e

gnire tă " intuio

face o rtă ever oduu care ateatien utieză aonaentee or noţuneae lme tă ş - ătă c ea o eie pp oge t e a ege etc. )

tca ntu aea drep oeă rectă anore ur ette e lr e taeă e patou ateatii Îepuuu e ecol oerată e ep pea aa nu rt e eze ageş a fot ută e u atetc ei taţ) .

e ae a ut ieat zi avorea atet c e a fot u reprezean tăucit a aetea - H eup e 89 reue oruea re aomazăr saiscătoae a geoere eudene, n 9 e propne penr a

ava "para u pe are -a ur ato raea ute fral axoma ar ă cupriă aeaa acă pea ă â d et e o e u aaşa-uite ter a motai a "eaeac - ă poat a j loaele n tte ae artei a ş d oş neo a eu u .

rramu foa uare u-a nuit poet ei, eara upă a nregtatcâteva uccee a o ite e pp u ecoperă n 93de K Ge a arătat c eota n eu tt rop dee - pent on tea u ăr pn - tzt z

ereăie - oretat atuc ăre eotaea coeeo fragte ateatcă ca pteză cniteato eltate eaa e onte aeată decţe a cuc te t etaaeaa enă cpă u te det î al l late a aema

I C m rmiăo a fo onri cu o nn a

nconrc or mc rtc dă G zcîn 196



00

ILIGI

. Ambrose A, Lazerowitz M Fundmtl f ymblog, ew Y 198

. Clk Welsh ntuton o lg net 963 Jonson DL: Elt of lg ubr nd t,

ew k 9984. Keene Sc : Mtm og, New k 967 ews Co thm ion, ew 9 86 Leis CI Lngford CH Sbol lg ew Y

9 7 Puri : Lg ploophr, ew rk 9 7

8 . Quine W Mmtl lg, ew Yk 9409 Sob M Udrdut og, cgan, 9960 . Stwo Indut to lgl t

1 9 . Suppe Intrduti log rnen 9



Smbouri tlzae 1 0

SIMBOLUR UTIZATE

1 /, v,= p ag 2

< pag. 3

� pag. ,56

pa 1 86

� ag 29 70

', : ag. 4 9



102

INDEX

nexl n 9

dmei i - d 28, 68

(dbl egie 20f n 5 , 5 8- i ite 5 , 5 8- i ei 5- nvr l d 2 8

ini tdiţei z i p / el btitie 28 68T 5T /, v 6

8

Inde

teodor stihi - introducere in logica simbolica.pdf

Documents