07-05-2015

Bent Lindhardt 1

Bent Lindhardt 1

Hvad er matematik anno 2015?

Matematikbog i 50’erne

Bent Lind

hard

t

2

En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr.

Fremstillingsomkostningerne er 4/5 af salgsindtægterne.

Hvor stor er fortjenesten?

Matematikbog 60’erne

Bent Lind

hard

t

3

En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr.

Fremstillingsomkostningerne er 32 kr.

Beregn venligst fortjenesten.

Matematikbog 70 – 80’erne

Bent Lind

hard

t

4

En bonde sælger en mængde kartofler K for en mængde penge P. P har størrelsen 40. For mængden P gælder at, et hvert element p er en krone. I stregmængder må du for mængden P sætte 40 streger, nemlig for hvert element P en streg.

Fremstillingsomkostningernes mængde F er otte streger mindre end mængden P. Tegn et billede af mængden F som en delmængde af P og angiv løsningsmængden L som svar på spørgsmålet:

Hvor stor er fortjenstmængden?

07-05-2015

Bent Lindhardt 2

Matematikbog 90’erne

Bent Lind

hard

t 5

En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kroner.

Fremstillingsomkostningerne er 32 kr. Fortjenesten er 8

kr.

Understreg ordet kartofler og diskuter med din

sidemand.

Kompetencer i 2002

Bent Lind

hard

t

6

EVA – rapport 2012

Bent Lindhardt 7

Undersøgelse af læreres brug af Fælles Mål i dansk

og mat 4. og 7. klasse:

”Lærerne er ikke målstyrede i den måde, de

planlægger og tilrettelægger deres undervisning

på. Lærernes planlægning og tilrettelæggelse af

undervisningen tager derimod afsæt i emner og

aktiviteter.”

Man skelner mellem langsigtede og kortsigtede

læringsmål og udelader undervisningsmål

EVA-rapport 2012 - fortsat

Bent Lindhardt 8

”Indtrykket fra de fem skoler er i stedet, at mange lærere

finder deres egen vej i den måde, de arbejder med

læringsmål og gør brug af Fælles Mål på, enten ud fra,

hvad de hver især finder gavnligt, eller ud fra, hvad de

mere eller mindre formelt vurderer, at der er forventet

af dem.”

07-05-2015

Bent Lindhardt 3

En fascination – Ontario

Bent Lindhardt UCSJ 9

Fælles mål 2009

kende til de rationale tal

Ontario

By the end of Grade 4, students will:

• read, represent, compare, and order whole numbers to 10

000, decimal numbers to tenths, and simple fractions, and

represent money amounts to $100;

• demonstrate an understanding of magnitude by counting

forward and backwards by 0.1 and by fractional amounts;

Rammer for skrivningen

Bent Lindhardt 10

Kompetencer, viden og færdigheder (OECD).

4 kompetenceområder for hvert fag

fx tal og algebra, geometri osv

Målpar som viden og færdighed

fx

Normalmål for årgange som blev til faser inden for 3

alderstrin 1. – 3. kl., 4. – 6. kl. og 7 . – 9. kl.

Eleven kan anvende

flercifrede naturlige tal til

at beskrive antal og

rækkefølge

Eleven har viden om

naturlige tals opbygning i

titalssystemet

Hvad leverer UVM?

Bent Lindhardt 11

Målbeskrivelse – forenklede Fælles Mål (lovbefalet)

Læseplan (lovbefaler hvis ikke kommunen ændrer

den)

Vejledning (inspiration)

Ideer til læringsmål – tegn på målopfyldelse og

udfordringer samt opmærksomhedsmål (Inspiration)

Eksemplariske forløb og ideer (Lige nu 3 stk – et til

hvert trin)

Det står på EMU

Bent Lindhardt 12

07-05-2015

Bent Lindhardt 4

Målopbygningen

Bent Lindhardt Side 13

Kompetencemål

flerårige mål

Færdigheds- og vidensmål

etårige mål

Læringsmål

for et undervisningsforløb

Kompetencemål

Bent Lindhardt Side 14

Kompetencemål

flerårige mål

Færdigheds- og vidensmål

etårige mål

Læringsmål

for et undervisningsforløb

Kompetenceområde 3. klassetrin 6. klassetrin 9. klassetrin

Matematiske

kompetencer

Eleven kan handle

hensigtsmæssigt i situationer

med matematik

Eleven kan handle med

overblik i sammensatte

situationer med

matematik

Eleven kan handle med

dømmekraft i komplekse

situationer med matematik

Tal og algebra Eleven kan udvikle metoder

til beregninger med naturlige

tal

Eleven kan anvende rationale

tal og variable i beskrivelser

og beregninger

Eleven kan anvende reelle tal

og algebraiske udtryk i

matematiske undersøgelser

Geometri og måling Eleven kan anvende

geometriske begreber og

måle

Eleven kan anvende

geometriske metoder og

beregne enkle mål

Eleven kan forklare

geometriske sammenhænge

og beregne mål

Statistik og

sandsynlighed

Eleven kan udføre enkle

statistiske undersøgelser og

udtrykke intuitive

chancestørrelser

Eleven kan udføre egne

statistiske undersøgelser og

bestemme statistiske

sandsynligheder

Eleven kan vurdere statistiske

undersøgelser og anvende

sandsynlighed

Bent Lindhardt Side 15

Planlægningsredskab

Bent Lindhardt Side 16

Kompetenceomr

åder

Pro

blem

beha

ndli

ng

Mod

elle

ring

Ræ

sonn

emen

t og

tank

egan

g

Rep

ræse

ntat

ion

og

sym

bolb

ehan

dlin

g

Kom

mun

ikat

ion

Hjæ

lpem

idle

r

Tal og algebra

Geometri og måling

Statistik og sandsynlighed

07-05-2015

Bent Lindhardt 5

Hvad er matematik?

Bent Lindhardt 17

Produkter Vide hvad en ligesidet trekant

er (fakta)

Kan løse en enkel ligning… (færdighed)

Indse at en figur med samme areal kan have forskellig omkreds (forståelse – faglig pointe)

Processer (kompetencer)

Ræsonnere

Kommunikere

Problembehandle

Generalisere

Matematisere

…..

Problembehandlingskomp.

Bent Lindhardt 18

”Problembehandling” vedrører løsning og opstilling af

matematiske problemer, dvs. matematiske spørgsmål der

ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder.

Problembehandling

Bent Lindhardt 19

= 290 kr.

= 195 kr.

Åben Lukket

Bent Lindhardt 20

Der er tre variable som indgår i graden af

åbenhed/lukkethed: Problemet åbent – eleverne formulerer selv

spørgsmålet ( hvilket er givet ved den mundtlige

prøve som udgangspunkt)

Metoden åbent – ved grublere (alders og

personafhængigt)

Svaret åbent – ved målingen, ved inddragelse af

antagelser.

07-05-2015

Bent Lindhardt 6

Goddag …. Hvor mange håndtryk skal der til

hvis alle i en gruppe skal have sagt

goddag til hinanden?

Fremstil en regel

Gennemfør en fase hvor i:

1 – laver enkle eksempler

2 – ser på fællestræk

3 – systematiserer

Bent Lindhardt 21

Mulige svar

Bent Lindhardt 22

2 3 4 5 6

1 3 6 10 15

2 * 3 : 2

3 * 4 : 2

4 * 5 : 2

……..

N(n-1)/2

Finde vinderstrategier

Bent Lindhardt 23

Problembehandling - i børnehøjde

Bent Lindhardt 24

07-05-2015

Bent Lindhardt 7

Modelleringskomp.

Bent Lindhardt 25

”Modellering” vedrører dels processer, hvor matematik anvendes til

behandling af situationer og problemstillinger uden for

matematikken dels analyse og vurdering af matematiske modeller,

som beskriver forhold i virkeligheden.

Modellering

Bent Lindhardt 26

Viktor er vinduespudser. Han skal pudse alle vinduerne på

skolen, men han ved ikke hvor stort et arbejde det er?

Kan du hjælpe ham?

Menneskets overflade

Bent Lindhardt 27

Timm Ulrich

Tysk kunstner som forsøgte

at dække sin krop med

”kvadratcentimetre”

Hvor meget tandpasta i morges?

Bent Lind

hard

t

28

07-05-2015

Bent Lindhardt 8

Simpel modelleringscyklus

Bent Lindhardt 29

Virkelighed Matematik

Matematiske

resultater

Beskrive

Tolke Analysere

Menneskets overflade

Bent Lindhardt 30

Timm Ulrich

Tysk kunstner som forsøgte

at dække sin krop med

”kvadratcentimetre”

Modelovervejelse (Detektorleg)

Bent Lindhardt 31

”Hvis man fylder en

beholder med centicubes

og ganger antallet med

1,5, så er man tæt på

rumfanget af beholderen”

Lav en undersøgelse af

om denne regnemodel er

god eller dårlig.

Ræsonnement og

tankegangskompetencen

Bent Lindhardt 32

”Ræsonnement og tankegang” vedrører matematisk

argumentation og karakteristika ved matematisk

tankegang.

07-05-2015

Bent Lindhardt 9

Bent Lind

hard

t 33

TANKEGANG

karakterisere og stille matematiske spørgsmål

At spørge matematisk

Bent Lindhardt 34

Sæt fokus på spørgsmålet

Bent Lindhardt 35

Er det firkanter?

Vi definerer at …..

Find grænsen

Bent Lindhardt 36

Gå til marginalerne af det definerede

og forklarede – hvor er grænsen?

Det tydelige og

almindelige

Det skæve

og

ualmindelige

Det skæve

og

ualmindelige

07-05-2015

Bent Lindhardt 10

En matematikdialog

Bent Lindhardt 37

Forestil jer en terning. Terningen er malet rød. Terningen saves ud i 27 små

terninger Argumenter for hvor mange små

terninger som har en side, der er rød to sider, der er røde tre sider, der er røde fire sider, der er røde ingen sider, der er røde

Repræsentations- og

symbolbehandlingskompetencen

Bent Lindhardt 38

”Repræsentation og symbolbehandling”

vedrører anvendelse og forståelse af

repræsentationer i matematik, herunder

matematisk symbolsprog.

Repræsentationsformer

Bent Lindhardt 39

Symbolbehandling

Yvonne og Peter skal dele 36 kr. Peter skal have

dobbelt så meget som Yvonne.

Kan oversættes til

x + 2 x = 36

Bent Lindhardt 40

07-05-2015

Bent Lindhardt 11

Symboler for tal

Bent Lindhardt 41

Hjælpemiddelkompetencen

Bent Lindhardt 42

• kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder it, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger

Hjælpemiddelkompetencen Computer

Lommeregner

Konkrete materialer

Mobiltelefonen

IWB

Osv ……

Multimodale virkemidler

Bent Lindhardt 43

Tankeforlænger eller erstatning?

Bent Lindhardt 44

Enten kan it benyttes som elevens forlængelse af tanken - hvor it er et hjælpemiddel til hurtigere og bedre at løse matematiske problemstillinger. Det centrale er, at eleven til en vis grad kunne have gennemført operationen, men det havde været meget mere kompliceret, mere tidskrævende og måske mere unøjagtigt.

Eller it kan træde ind som tankeerstatning for

matematiske aktiviteter og processer, som eleven selv

kun kender og forstår de mest indledende dele af.

Eleverne overlader i en vis forstand arbejdet til

maskinen uden at have indsigt i den matematik, der ligger bag.

07-05-2015

Bent Lindhardt 12

Kommunikationskompetencen

Bent Lindhardt 45

• udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation

… og så er der fagligt stof/emner

Bent Lindhardt 46

Stoffet er ikke ændret væsentligt

men struktureret anderledes.

Læringsmål for et

undervisningsforløb

Bent Lindhardt Side 47

Kompetencemål

flerårige mål

Færdigheds- og vidensmål

etårige mål

Læringsmål

for et undervisningsforløb

Tal og algebra

(3. kl.) Tal Regnestrategier Algebra

Eleven kan udvikle

metoder til

beregninger med

naturlige tal

1.

Eleven kan anvende

naturlige tal til at

angive antal og

rækkefølge

Eleven har viden

om enkle naturlige

tal

Eleven kan addere og

subtrahere enkle

naturlige tal

Eleven har viden

om strategier til

addition og

subtraktion

Eleven kan opdage

systemer i figur- og

talmønstre

Eleven har viden

om enkle figur-

og talmønstre

2.

Eleven kan anvende

flercifrede naturlige

tal til at angive antal

og rækkefølge

Eleven har viden

om naturlige tals

opbygning i

titalssystemet

Eleven kan udvikle

metoder til addition

og subtraktion med

naturlige tal

Eleven har viden

om strategier til

hovedregning,

overslagsregning,

regning med

skriftlige notater og

digitale værktøjer

Eleven kan beskrive

systemer i figur- og

talmønstre

Eleven har viden

om figur og

talmønstre

3.

Eleven kan

genkende enkle og

brøker i hverdags-

situationer

Eleven har viden

om enkle decimaltal

og brøker

Eleven kan udvikle

metoder til

multiplikation og

division med naturlige

tal

Eleven har viden

om strategier til

multiplikation og

division

Eleven kan opdage

regneregler og enkle

sammenhænge

mellem størrelser

Eleven har viden

om

sammenhænge

mellem de fire

regningsarter

Bent Lindhardt 48

07-05-2015

Bent Lindhardt 13

Fælles Mål

Bent Lindhardt Side 49

2. Klasse

Pro

blem

beha

ndli

ng

Mod

elle

ring

Ræ

sonn

emen

t og

tank

egan

g

Rep

ræse

ntat

ion

og

sym

bolb

ehan

dlin

g

Kom

mun

ikat

ion

Hjæ

lpem

idde

l Tal og algebra

Eleven kan udvikle metoder til addition og

subtraktion med naturlige tal

Eleven kan give og følge uformelle matematiske

forklaringer

Eleven kan løse enkle matematiske problemer

Geometri og

måling

Statistik og

sandsynlighed

Nedbrudte Læringsmål

Bent Lindhardt Side 50

Forslag til færdighedsord

Bent Lindhardt 51

Matematiske emner (Stoffet) Eleven kan

Tal og størrelser Afrunde

Tælle

Måle

Beregne / regne ud

Give overslag

Fordoble/halvere

Omsætte

Omskrive

Kompetencer Eleven kan

Tankegang Spørge

Definere

Antage

Vælge

Forestille

Bent Lindhardt 52

Læringsmål 1

Eleven kan genkende hverdagssituationer hvori der indgår additive og subtraktive regneprocesser (stofområde)

Læringsmål 2

Eleven kan genkende og anvende ord som beskriver additive og subtraktive regneprocesser (stofområde)

Læringsmål 4

Eleven kan anvende hovedregning og overslag til vurdering af resultaters rigtighed

ved subtraktion og addition (stofområde)

Læringsmål 8

Eleven kan give en uformel forklaring på valg af additive eller subtraktive strategier

(ræsonnementskompetence)

07-05-2015

Bent Lindhardt 14

Valg af aktivitet

Bent Lindhardt Side 53

Effekt af læring ???

Bent Lindhardt 54

As Hattie says, the problem isn’t finding out what works, the issue is focusing on

what works best (2009, p. 18), because over 90% of all education interventions are

positive (Hattie, 2009, p. 15).

Tegn på læring

Bent Lindhardt Side 55

Tegn på læring og graduering af læring

Bent Lindhardt 56

Tegn er adfærd og synlighed handlinger som er iagttagelses mulige.

Det kan bestå af det, som eleverne kan kommunikere, færdigheder, de kan demonstrere i praksis, eller produkter de kan skabe.

Tegn er således ikke beskrivelser som ”har forstået at …”

Tegn er indikatorer ikke den endelige evaluering men det glider i min optik sammen med den formative evaluering.

07-05-2015

Bent Lindhardt 15

Tegn på læring - eksempler

Bent Lindhardt 57

Eleven

fortæller, hvor mange der er tilbage, når et antal fjernes fra

en kendt mængde, dog højst 20.

oversætter en situation, hvor to mængder sammenlignes, til

et regnestykke.

anvender ord, der knytter sig til en subtraktion, fx minus,

trække fra, tage væk, det der er tilbage, fjerne, mangler mv.

Overvejelser

Bent Lindhardt 58

Tegn på læring blandes for meget sammen med

delmål beskrevet som niveauer

Sæt ikke for meget fokus på niveauer men hellere

fokus på de misopfattelser og faser eleverne skal

gennemløbe for at opnå indsigt.

Blooms taxonomi

Bent Lindhardt 59

Grader af Tegn på læring eller delmål?

Bent Lindhardt 60

”evnen til at genkende træer er en nødvendig

forudsætning, men ikke i sig selv

ensbetydende med en forståelse af skoven.”

Kan tegn på færdigheder afsløre forståelsesniveau?

07-05-2015

Bent Lindhardt 16

Bent Lindhardt 61

SOLO – structure of the observed learned outcomes SOLO

1. trin 2. Trin 3. trin 4. trin 5. trin

Eleven kan

kun

usammenhængen

de

information

Eleven kan

identificere

omskrive

anvende simple

procedurer,

Eleven kan

opliste

beskrive

kombinere,

Eleven kan

sammenligne

kontrastere

forklare årsager

analysere

relatere

anvende,

Eleven kan

teoretisere

generalisere

danne hypoteser

perspektivere,

Med behersker kun enkeltdele

samt beherske

flere aspekter,

men integrerer

dem ikke til en

helhed

samt beherske og

integrere flere

aspekter

til en helhed

samt bevæge

sig fra

det specifikke

til det

abstrakte

Forstår ikke Overfladeforståelse Dybdeforståelse