temat 8 (2 godziny):

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Kierunek: Mechatronika

Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów

Semestr Liczba tygodni

w semestrze

Liczba godzin

w tygodniu

Liczba godzin

w semestrze Punkty

kredytowe A Ć L S Σ A Ć L S

III 15 1 1 – – 30 15 15 – – 3

IV 15 1E 1 2 – 60 15 15 30 – 4

Razem w czasie studiów 90 30 30 30 – 7

Semestr IV

8. Zależności różniczkowe przy zginaniu. 4 2 2 – –

9. Ścinanie ze zginaniem, wzór Żurawskiego. 2 1 1 – –

10. Obliczenia belek, wymiarowanie ze względu na naprężenia

dopuszczalne.

4 2 2 – –

11. Odkształcenia belek podczas czystego zginania. Całkowa-

nie równania różniczkowego.

4 2 2 – –

12. Metoda Clebsch’a całkowania równania różniczkowego

osi odkształconej belki.

4 2 2 – –

13. Wyboczenie, siła krytyczna, smukłość prętów, wzory Eulera

i Tetmayera.

4 2 2 – –

14. Belki statycznie niewyznaczalne, wyznaczanie reakcji me-

todą całkowania równania różniczkowego i porównywania

odkształceń.

4 2 2 – –

15. Hipotezy wytrzymałościowe Hubera, Coulomba, De Sa-

int Venanta, Galileusza, złożone przypadki wytrzymałości,

skręcanie ze zginaniem, ściskanie mimośrodowe.

4 2 2 – –

Temat 8 (2 godziny):

Zależności różniczkowe przy zginaniu.

Jeżeli wytniemy myślowy odcinek belki o długości elementarnej to działanie lewej i

prawej części belki możemy zastąpić siłami jak na rys.1

Pochodna siły poprzecznej względem współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest równa

natężeniu obciążenia ciągłego :

Pochodna momentu gnącego względem współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest równa

sile poprzecznej :

Z równań powyższych wynika również:

Przykład

Wyznaczyć wykres sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.8.2.

Równanie obciążenia ciągłego:

Równanie sił tnących

T

x

Rys.8.1 Równowaga

elementarnego wycinka belki

zginanej.

y

T+dT

+d

Z warunku sumy rzutów sił na oś

pionową:

Z warunku sumy momentów względem

punktu :

odrzucając :

stałą całkowania C wyznaczmy z warunku brzegowego:

Równanie momentów gnących

stałą całkowania D wyznaczmy z warunku brzegowego:

Wykresy sił tnących oraz momentów gnących przedstawione

są na rys.8.2.

Temat 9 (1 godzina):

Ścinanie ze zginaniem, wzór Żurawskiego

Rys.8.2 Schemat obciążenia belki

Przy zgięciu ogólnym w przekroju poprzecznym belki występuje, oprócz momentu

zginającego wywołującego naprężenia normalne , siła tnąca , powodująca powstanie

naprężeń stycznych (tnących). Przy założeniu, że naprężenia tnące są równomiernie

rozłożone na całym przekroju poprzecznym pręta ich wartość średnia wynosi . W

rzeczywistości naprężenia styczne są zmienne w przekroju, tak co do wartości jak i kierunku,

nie tylko wzdłuż wysokości, lecz także szerokości belki. Pomijając składowe poziome tych

naprężeń stycznych jako nieistotne, obliczamy średnią wartość składowych pionowych w

warstwie odległej o „z” od warstwy obojętnej w danym przekroju z tzw. wzoru Żurawskiego :

Jak wynika z wzoru Żurawskiego maksymalne naprężenia styczne występują w warstwie

obojętnej, gdyż wtedy moment statyczny osiąga wartość ekstremalną, a w warstwach

zewnętrznych są równe zeru. Dla jest , dla jest , lecz

, gdyż oś przechodzi przez środek geometryczny .


Obliczenia belek, wymiarowanie ze względu na naprężenia dopuszczalne

C

u(z)

Rys.9.1 Rozkład naprężeń tnących od siły

poprzecznej.

gdzie: - siła tnąca w danym

przekroju belki, wzięta z wykresu

sił tnących,

- moment statyczny części

pola przekroju poprzecznego belki

, znajdującego się ponad

rozpatrywaną warstwą ,

- moment bezwładności

przekroju względem osi obojętnej

zginania ,

- szerokość przekroju dla

danego .

Zginanie płaskie zachodzi wtedy, gdy płaszczyzna obciążenia belki leży w jednej z głównych

centralnych płaszczyzn bezwładności, a druga główna płaszczyzna bezwładności jest warstwą

obojętną. Przy zginaniu w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego belki występuje

naprężenie normalne oraz naprężenia styczne , przy czym naprężenia zależą tylko od

momentu gnącego w danym przekroju, a naprężenia styczne zależą tylko od siły tnącej,

czyli:

co znacznie ułatwia obliczenia jednych i drugich naprężeń.

gdzie: - moment zginający w przekroju belki o odciętej ,

- moment bezwładności pola przekroju poprzecznego belki względem osi obojętnej

przekroju ,

- odległość rozpatrywanej warstwy od osi obojętnej.

Największe naprężenia normalne w danym przekroju występują w warstwach skrajnych (dla

), przy czym dla przekrojów symetrycznych względem osi obojętnej zginania ,

maksymalne naprężenia rozciągające i ściskające będą sobie równe. Największe naprężenia

normalne w belce o stałym przekroju wystąpią tam, gdzie jest maksymalny moment

zginający. Dla przekroju symetrycznego względem osi (rys.1.a) otrzymamy:

gdzie:

jest wskaźnikiem wytrzymałości na zginanie. Zgodnie z podstawowym warunkiem

wytrzymałościowym maksymalne naprężenia nie mogą przekroczyć naprężeń

dopuszczalnych , czyli:

y

Rys.10.1

z Przy założeniu słuszności

hipotezy płaskich przekrojów,

naprężenia normalne w

przekroju poprzecznym belki w

warstwie odległej o od osi

obojętnej przekroju określone

jest wzorem:

y

z

z

y

a) b)

Wzór powyższy stosuje się do materiałów jednakowo wytrzymałych na rozciąganie i

ściskanie (stal, dural). Dla materiałów o niejednakowej wytrzymałości na rozciąganie i

ściskanie (drewno, żeliwo) należy za naprężenie dopuszczalne wstawić to naprężenie, które

jest mniejsze. Zakładając, że belka wyginana jest dodatnim momentem zginającym (włókna

dolne rozciągane, a górne ściskane) dla przekroju niesymetrycznego z rys1.a otrzymamy:

Ustawienie przekroju jak na rys.1a dotyczy belki wykonanej z materiału o np. z

żeliwa. W przypadku, gdy (np. belka drewniana) należałoby przekrój obrócić.

Najkorzystniejszy dla danego materiału będzie taki przekrój, dla którego naprężenia w

warstwach skrajnych osiągną jednocześnie wartości dopuszczalne na rozciąganie i na

ściskanie. Nastąpi to wtedy, gdy będzie spełniona zależność:

Przykład

Wyznaczyć maksymalną siłę P dla belki drewnianej wolnopodpartej, jeżeli ,

. Wymiary przekroju poprzecznego podano na rys.10.2 w cm.

Maksymalny moment zginający dla powyższej belki wystąpi w środku belki i wyniesie:

Naprężenia w tym przekroju wynoszą:

Rys.10.2

gdzie jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie. Aby wyznaczyć ten

wskaźnik, należy określić położenie środka ciężkości przekroju . W tym celu obieramy

układ osi x i y w ten sposób, że oś x przechodzi przez dolną podstawę przekroju, a oś y jest

pionową osią symetrii przekroju. Przekrój poprzeczny dzielimy na trzy prostokątne pola

. Położenie środka ciężkości przekroju wyznacza się ze wzoru:

Osiowy moment bezwładności przekroju względem osi przechodzącej przez środek

ciężkości przekroju C wyznacza się ze wzoru (przy zastosowaniu wzorów Steinera):

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie wyniesie:

Po podstawieniu tej wartości do wzoru na siłę P otrzymamy:

Rys 10.3 Naprężenia w belce otrzymane za pomocą programu NASTRAN FX. Niebieski

kolor odpowiada naprężeniom ściskającym -10 MPA, natomiast kolor czerwony odpowiada

naprężeniom rozciągającym +6.43 MPa. Górny, powiększony rysunek przedstawia

naprężenia w przekroju poprzecznym belki w środku rozpiętości belki.


Odkształcenia belek podczas czystego zginania. Całkowanie równania różniczkowego

Skutkiem działania sił zewnętrznych na belkę jest, poza naprężeniami, jej odkształcenie, które

przy zgięciu płaskim polega na zakrzywieniu os belki w płaszczyźnie działania sił

zewnętrznych.

Kątem ugięcia (obrotu) przekroju belki nazywamy kąt o jaki obraca się przy zginaniu dany

przekrój belki w stosunku do swego położenia pierwotnego. Jak widać z rys.1 jest on równy

kątowi, jaki tworzy styczna do odkształconej osi belki w danym przekroju z osią

nieodkształconą, dlatego nazywa się go powszechnie kątem ugięcia belki w danym przekroju.

Dla belki w konkretny sposób podpartej i obciążonej ugięcie oraz kąt ugięcia są

wyłącznie funkcjami położenia tego przekroju, czyli:

Równanie nazywamy równaniem linii ugięcia belki, a równanie

nazywamy równaniem kątów ugięć. Znając te równania możemy określić ugięcie i kąt ugięcia

belki w każdym przekroju (dla każdego ). Ugięcie maksymalne belki oznaczamy

przez i nazywamy strzałką ugięcia. Z definicji pochodnej funkcji wynika zależność:

Dla belek o dużej sztywności, z jakimi mamy do czynienia w konstrukcjach, możemy z

bardzo dużym przybliżeniem zastąpić przez :

Czyli kąt ugięcia belki w danym przekroju jest pierwszą pochodną ugięcia w tym przekroju

względem zmiennej niezależnej . Pomijając wpływ naprężeń tnących na kąt obrotu

przekroju i jego ugięcie jako nieistotne, związek między odkształceniem belki w danym

przekroju a momentem gnącym w tym przekroju przedstawia równanie różniczkowe

linii ugięcia belki:

P

Rys.11.1 Schemat odkształceń belki.

Wielkościami charakteryzującymi

odkształcenie belki w danym

przekroju są: ugięcie i kąt ugięcia

(kąt obrotu) belki w danym

przekroju, które będziemy określali w

stosunku do prostokątnego układu

współrzędnych osi , przyjmując

oś odciętych za nieodkształconą oś

geometryczna belki, a oś skierowaną

prostopadle do niej w górę, jak na

rys.1. Ugięciem belki w danym

przekroju nazywamy przesunięcie

środka geometrycznego tego przekroju

w kierunku prostopadłym do

nieodkształconej osi belki.

przyjmujemy, że , wtedy otrzymujemy przybliżone równanie różniczkowe linii

ugięcia belki:

gdzie jest modułem Younga, a jest momentem bezwładności względem osi zginania.

Zależność powyższa jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu

drugiego, zawierającym tylko drugą pochodną zmiennej zależnej, a więc bardzo łatwym do

rozwiązania. Całkując je otrzymamy równanie kątów ugięć:

czyli:

a po powtórnym scałkowaniu otrzymamy równanie linii ugięcia belki:

czyli:

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, wynikających przede

wszystkim ze sposobu podparcia belki. Obliczenie całek występujących w równaniach

różniczkowych nie przedstawia trudności merytorycznych, ponieważ moment gnący w

przekrojach wyrażamy zawsze wielomianem.


Metoda Clebsch’a całkowania równania różniczkowego osi odkształconej belki

Aby uzyskać tylko dwie stałe całkowania, przy kilku przedziałach całkowania trzeba przy

układaniu równań różniczkowych linii ugięcia belki przestrzegać następujących reguł,

zwanych warunkami Clebscha:

1. Odcięte we wszystkich przedziałach muszą być liczone względem tego samego

początku układu współrzędnych, lewego lub prawego końca belki.

2. Jeżeli obciążenie ciągłe nie działa aż do końca belki, należy dodać i odjąć takie

samo obciążenie do końca belki, jak to pokazano na rys.1

3. Jeżeli na belkę działa moment , to do wzoru na moment gnący należy wprowadzić

wyrażenie: , jak to jest pokazane na rys.2

4. Stałe całkowania i należy umieszczać w pierwszym przedziale.

5. Całkowanie równań różniczkowych należy przeprowadzać bez rozwijania wyrażeń w

nawiasach, traktując jako zmienną nie lecz .

Przykład

Wyznaczyć równanie linii kątów ugięć i linii ugięci belki na dwóch podporach o stałym

przekroju, obciążonej siłą P w odległości a od podpory A, jak na rys.12.3. Wyznaczyć kąty

podporowe oraz strzałkę ugięcia i ugięcie u środku.

Rys.12.2 Ilustracja fikcyjnego ramienia momentu:

Rys.12.1 Dodawanie i odejmowanie obciążenia ciągłego, jeżeli nie działa do końca

belki

Wyznaczamy reakcje z warunków równowagi:

1.

2.

Belka ma dwa przedziały, w których momenty zginające wyrażają się różnymi równaniami.

W przedziale pierwszym dla :

W przedziale drugim dla :

Dla ułatwienia rozwiązania korzystamy z zapisu w tabeli nr 12.1. Z warunków brzegowych

wyznaczamy stałe całkowania C i D :

1.

2.

Wstawiając obliczone stałe do równania kątów ugięć dla obu przedziałów otrzymamy:

Rys.12.3

Tab.14.1 Obliczanie linii ugięcia belki pokazanej na rys.12.1

Wstawiając obliczone stałe do równania linii ugięcia belki otrzymamy ostatecznie:

Kąty ugięcia na podporach wyznaczamy z równań kątów ugięć. Kąt ugięcia nad podporą A :

Kąt ugięcia nad podporą B :

Dla obliczenia strzałki ugięcia musimy najpierw określić współrzędną przekroju w którym

ona wystąpi. W tym celu przyrównujemy do zera pochodną linii ugięcia belki czyli równanie

kątów ugięcia (kąt ugięcia jest pochodną ugięcia). Strzałka ugięcia wystąpi w pierwszym

(większym) przedziale, dlatego przyrównujemy do zera równanie :

stąd:

Analizując powyższe wyrażenie na stwierdzimy, że gdy , czyli gdy siła P zbliża się

do podpory B, to i analogicznie gdy , , czyli gdy siła P zbliża się

do podpory A, to . Oznacza to, że maksymalne ugięcie występuje zawsze

w pobliżu środka. Ponieważ w sąsiedztwie przekroju kąty są bardzo małe, to ugięcie w

środku niewiele różni się od maksymalnego. Dlatego w praktyce przyjmuje się, że przy

działaniu na belkę dowolnych obciążeń wyginających ją w tę samą stronę, to maksymalne

ugięcie występuje w środku rozpiętości belki. W rozpatrywanym przypadku, wstawiając

do równania ugięć otrzymamy przybliżoną strzałkę ugięcia:

W szczególnym przypadku gdy siła P jest przyłożona w środku rozpiętości belki tzn. gdy

wtedy i kąty podporowe wynoszą:

a strzałka ugięcia :


Wyboczenie, siła krytyczna, smukłość prętów, wzory Eulera i Tetmayera

Zniszczenie elementu konstrukcyjnego może nastąpić nie tylko dlatego, że zostanie

przekroczona wytrzymałość tego elementu, lecz także dlatego, że element ten odkształcając

się nie zachowa kształtu przewidzianego przez konstruktora. Inaczej mówiąc postać

odkształconego elementu konstrukcyjnego, typowa dla danego rodzaju obciążenia, stanie się

niestateczna, a stateczna okaże się inne odkształcenie. Zmiana postaci statecznej

odkształconego elementu konstrukcyjnego występuje przy odpowiednio dużej wartości sił

obciążających.

Jak wykazują doświadczenia dla prętów ściskanych osiowo, stateczną postacią

odkształcenia jest początkowo postać prostoliniowa. Przy odpowiednio dużych wartościach

sił ściskających i długości postać ta staje się niestateczna, a stateczna okazuje się postać

wygięta. Utratę stateczności prostoliniowej postaci pręta ściskanego osiowo nazywamy

wyboczeniem. Gwałtowność pojawienia się jest cechą charakterystyczną dla zjawiska

wyboczenia.

Wartość siły ściskającej osiowo, po przekroczeniu której następuje utrata stateczności

prostoliniowej postaci pręta, a stateczną staje się postać wygięta, nazywa się siłą krytyczną

. Siłę krytyczną uważamy za siłe niebezpieczną , a odpowiadające jej naprężenia

zwane naprężeniami krytycznymi za naprężenia niebezpieczne , czyli:

Ponieważ sile krytycznej odpowiada jeszcze postać prostoliniowa lub postać wygięta o

ugięciach małych, to naprężenia krytyczne wyniosą:

gdzie: A – jest polem przekroju poprzecznego pręta.

Naprężenia dopuszczalne z punktu widzenia wyboczenia (wykluczające

wystąpienie tego zjawiska) otrzymamy, dzieląc naprężenia krytyczne przez współczynnik

bezpieczeństwa na wyboczenie :

Współczynnik bezpieczeństwa na wyboczenie przyjmuje się na ogół jako równy

współczynnikowi bezpieczeństwa na ściskanie lub jako funkcję smukłości, przy czym im

większa smukłość tym większa wartość współczynnika .

Wzór określający siłę krytyczną dla prętów o stałym przekroju, przy załażeniu że

wyboczenie zachodzi w obszarze sprężystym, został wyprowadzony przez Eulera w postaci:

gdzie: - najmniejszy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta względem osi

przechodzącej przez jego środek geometryczny,

- długość wyboczeniowa pręta, która zależy od sposobu zamocowania końców pręta,

wg rys.13.2.

n =1,2,3…. liczby, przy których możliwa jest krzywoliniowa postać równowagi.

Odkształcenia pręta ściskanego dla n=1,2 i 3 pokazane są na rys.13.1

Rys13.1 Kształty linii ugięcia dla różnych wartości n, otrzymane za pomocą programu

NASTRAN FX.

Rys.13.2 Długości wyboczeniowe dla różnych zamocowań końców pręta. Odkształcenia

pręta ściskanego przy różnych zamocowaniach, otrzymane programem NASTRAN

n=1 n=2 n=3

W wątpliwych przypadkach należy przyjmować , wtedy obliczona siła

krytyczna jest mniejsza.

Znając siłę krytyczną obliczamy naprężenie krytyczne:

gdzie:

nazywamy smukłością pręta. W powyższym wzorze jest najmniejszym

promieniem bezwładności przekroju pręta:

Wzory Eulera na siłę i naprężenia krytyczne możemy stosować tylko dla wyboczenia

sprężystego, czyli :

Czyli dla smukłości nie mniejszych od smukłości granicznej:

Granica proporcjonalności rzadko kiedy jest dana i na ogół utożsamia się ją z granicą

sprężystości .

Jeżeli zjawisko wyboczenia występuje przy naprężeniach większych od granicy

proporcjonalności wówczas mamy do czynienie z wyboczeniem sprężysto-plastycznym.

W tym przypadku dla obliczenia naprężeń krytycznych stosuje się powszechnie wzory

empiryczne Tetmajera-Jasińskiego i Johnsona-Ostenfelda. Wzór Tetmajera-Jasińskiego

przedstawia naprężenia krytyczne jako funkcję liniową smukłości (tzw. prosta Tetmajera):

gdzie: granica plastyczności,

współczynnik kierunkowy prostej Tetmajera-Jasińskiego.

Wzór Johnsona-Ostenfelda przedstawia naprężenie krytyczne jako funkcję kwadratową

smukłości :

gdzie: granica plastyczności,

Wierzchołek paraboli Johnsona-Ostenfelda znajduje się w punkcie określonym przez

, a parabola ta jest styczna do hiperboli Eulera w punkcie o współrzędnej

równej:

Dla stali konstrukcyjnej mającej granicę proporcjonalności , granicę

plastyczności i moduł Younga , wykresy naprężeń

krytycznych przedstawione są na rys.1. Smukłości graniczne wynoszą :

Smukłość graniczna wg Eulera:

Smukłość graniczna wg Johnsona-Ostenfelda:

Rys.13.2 Naprężenia krytyczne w funkcji smukłości dla stali konstrukcyjnej mającej

granicę proporcjonalności , granicę plastyczności i moduł

Younga .


Belki statycznie niewyznaczalne, wyznaczanie reakcji metodą całkowania równania różniczkowego i

porównywania odkształceń

Belka statycznie niewyznaczalna ma więcej podpór niż to jest konieczne, aby znajdowała się w stanie

równowagi pod obciążeniem. Zamocowania czy podparcia, które nie są konieczne dla utrzymania

belki w stanie równowagi pod każdym obciążeniem nazywamy podporami nadliczbowymi lub

hiperstatycznymi. Podpory hiperstatyczne możemy, ogólnie biorąc, wybrać w sposób dowolny, przy

zachowaniu jednak warunku stateczności. Na przykład w belce przedstawionej na rys.14.1 jako

podporę hiperstatyczną możemy wybrać każdą z podpór.

Belkę statyczne wyznaczalną, jaka powstaje z belki statycznie niewyznaczalnej przez

odrzucenie podpór przyjętych za hiperstatyczne, nazywamy belką podstawową dla danej belki

statycznie niewyznaczalnej. Ponieważ podpory hiperstatyczne możemy wybierać różnie,

dlatego dana belka statycznie niewyznaczalna może mieć kilka belek podstawowych. Na

przykład belką podstawową dla belki z rys.14.1b może być belka wspornikowa lub belka na

dwóch podporach, jak na rys.14.2

Reakcje odrzuconych podpór hiperstatycznych traktujemy jako obciążenia belki

podstawowej. Belka podstawowa pod działaniem zadanych obciążeń i reakcji

hiperstatycznych musi odkształcać się w sposób identyczny, jak dana belka statycznie

niewyznaczalna. Każda podpora hiperstatyczna, wprowadzając dodatkowo niewiadomą

reakcję, powoduje jednocześnie ograniczenie odkształcenia belki podstawowej w tym

przekroju, dając dodatkowe równanie do jej wyznaczenia. Wynika stąd, że każde zadanie

statycznie niewyznaczalne jest rozwiązalne.

Istnieje szereg metod rozwiązywania belek statycznie niewyznaczalnych. Wszystkie

opierają się na rozwiązywaniu belki podstawowej. Różnica polega tylko na sposobie

wykorzystania warunków zgodności odkształceń lub wyborze belki podstawowej. W

rozwiązywaniu należy zawsze stosować tę metodę, która najprostszą drogą prowadzi do

Rys.14.2 Przykład belki rzeczywistej statyczne niewyznaczalnej i belek podstawowych

Belka rzeczywista

statycznie niewyznaczalna

Belka podstawowa

wspornikowa

Belka podstawowa

na dwóch podporach

Rys.14.1 Przykłady belek statyczne niewyznaczalnych.

)

wyznaczenia wielkości niewiadomych. Najczęściej stosowane metody to metoda całkowania

równania różniczkowego linii ugięcia belki oraz metoda porównywania odkształceń.

Metoda całkowania równania różniczkowego linii ugięcia belki.

Tok rozwiązywania przy zastosowaniu tej metody jest nastepujący:

1. Obieramy podpory hiperstatyczne, ustalając tym samym belkę podstawową, którą

obciążamy zadanymi siłami i reakcjami hiperstatycznymi.

2. Traktując reakcje hiperstatyczne jako wiadome, obliczamy reakcje belki podstawowej

z równań statyki.

3. Układamy równanie różniczkowe linii ugięcia belki i dwukrotnie je całkujemy. Przy

układaniu i całkowaniu równań różniczkowych przestrzegamy warunków Clebscha.

4. Z warunków brzegowych wyznaczamy stałe całkowania i reakcje hiperstatyczne.

Warunków tych będzie zawsze wystarczająco dużo, ponieważ każda podpora czy

zamocowanie hiperstatyczne, powoduje ograniczenie odkształcenia.

5. Wyznaczamy pozostałe reakcje i wykonujemy wykresy sił tnących i momentów

gnących i na ich podstawie projektujemy belkę.

Metoda ta jest szczególnie przydatna wtedy, gdy musimy znać równanie linii ugięcia belki.

Jeżeli nie musimy znać równania linii ugięcia belki, należy zastosować inne metody np.

metodę porównywania odkształceń.

Metoda porównywania odkształceń.

Metoda ta polega na wyznaczeniu odkształceń belki podstawowej, w miejscu działania reakcji

hiperstatycznej, osobno od zadanych obciążeń i osobno od reakcji hiperstatycznej.

Odkształcenia te dodaje sie algebraicznie (zasada superpozycji), z uwzględnieniem warunku

narzuconego przez daną podporę hiperstatyczną. Odkształcenia wyznacza się z reguły metodą

sumowania znanych odkształceń najprostszych belek statycznie wyznaczalnych,

zestawionych w tabelach [4]. Rozwiązanie polega na obliczeniu pozostałych reakcji z równań

statyki i wykonaniu wykresów momentów zginających i sił tnących.

Przykład

Belka dwuprzęsłowa ABC obciążona jest na podporze A parą sił o momencie ,

jak na rys.14.3. Rozpiętość każdego przęsła . Rozwiązać belkę, oraz obliczyć kąty

podporowe.

Jako podporę hiperstatyczną przyjmujemy podporę B. Z warunków równowagi wyznaczamy

reakcje:

1.

2.

Belka ma dwa przedziały, w których momenty zginające wyrażają się różnymi równaniami.

W przedziale pierwszym dla :

W przedziale drugim dla :

Dla ułatwienia rozwiązania korzystamy z zapisu w tabeli nr 14.1.

Tab.14.1 Obliczanie linii ugięcia belki pokazanej na rys.14.3

Rys.14.4 Belka podstawowa

Rys.14.3 Belka rzeczywista

Z warunków brzegowych wyznaczamy stałe całkowania C i D :

1.

2.

3.

Wyznaczamy pozostałe reakcje:

Wartość stałej C:

Wstawiając obliczone stałe do równania kątów ugięć dla obu przedziałów otrzymamy:

Kąt ugięcia nad podporą A:

Kąt ugięcia nad podporą B:

Kąt ugięcia nad podporą C:

Rys.14.6 Wykresy sił tnących i momentów zginających dla belki z rys.14.3

Rys.14.7 Wykresy linii ugięcia belki i kątów ugięć dla belki z rys.14.3


Hipotezy wytrzymałościowe Hubera, Coulomba, De Saint Venanta, Galileusza, złożone przypadki

wytrzymałości, skręcanie ze zginaniem, ściskanie mimośrodowe

Wytrzymałość materiału jest to jego odporność na działanie sił zewnętrznych. Jest określana przy

pomocy wskaźników wytrzymałościowych, wyznaczalnych doświadczalnie dla każdego materiału

oddzielnie. Najważniejszymi wskaźnikami wytrzymałościowymi są: granica plastyczności i

granica wytrzymałości doraźnej , określane w statycznej próbie rozciągania.

Wytężenie materiału określa w jakim stopniu jego wytrzymałość jest wykorzystana w danym

elemencie konstrukcyjnym w czasie eksploatacji.

Wytężeniem materiału w danym punkcie nazywamy pewną funkcję wytrzymałości tego materiału

oraz panującego w tym punkcie stanu naprężenia lub odkształcenia, które określa niebezpieczeństwo

powstania odkształceń trwałych lub zniszczenia materiału.

Przy tych samych materiałach wytężenie jest tylko funkcją stanu naprężenia.

W prostych przypadkach obciążeń elementu konstrukcyjnego, wywołujących proste stany naprężenia i

odkształcenia (osiowe rozciąganie i ściskanie, ścinanie, skręcanie, czyste zginanie i większość

przypadków zgięcia płaskiego) dla określenia wytężenia porównujemy występujące w elemencie

naprężenia maksymalne z naprężeniami niebezpiecznymi, za jakie w budowie maszyn przyjmuje się

granicę plastyczności , natomiast wytężenia dopuszczalne określają naprężenia dopuszczalne.

W złożonych stanach naprężenia miarą wytężenia materiału są naprężenia zastępcze lub zredukowane,

to jest takie naprężenie rozciągające lub ściskające w jednoosiowym stanie naprężenia, przy którym

wytężenie materiału (wg danej hipotezy) jest takie samo, jak w danym złożonym stanie naprężenia.

Naprężenia zastępcze porównujemy z naprężeniami dopuszczalnymi przy osiowym rozciąganiu lub

ściskaniu i otrzymujemy podstawowy warunek wytrzymałościowy w postaci:

Zależność między składowymi stanu naprężenia w punkcie a naprężeniem zastępczym w tym

punkcie określamy przy pomocy hipotez.

Hipoteza Hubera, hipoteza energii sprężystej odkształcenia postaciowego.

Hipoteza ta słuszna jest dla materiałów sprężysto-plastycznych (np. stal). Naprężenia

zastępcze wg tej hipotezy w ogólnym przypadku trójwymiarowego stanu naprężenia wyrażają

się wzorem:

Dla innych prostszych stanów, naprężenia które nie występują w tym stanie, wstawiamy jako

równe zeru. Na przykład dla technicznie ważnego płaskiego stanu naprężenia, gdzie w

przekroju występuje jedno naprężenie normalne i jedno styczne ( ),

otrzymamy:

a dla czystego ścinania:

Jak wynika z powyższego wzoru ścinanie jest razy bardziej niebezpieczne od

osiowego rozciągania. Naprężenia dopuszczalne na ścinanie będą przy tym samym wytężeniu

razy mniejsze od dopuszczalnych na rozciąganie, czyli:

Hipoteza Coulomba, hipoteza największych naprężeń stycznych.

Hipoteza ta słuszna jest dla materiałów sprężysto-plastycznych. Naprężenia zastępcze wg tej

hipotezy dla technicznie ważnego płaskiego stanu naprężenia, gdzie w przekroju występuje

jedno naprężenie normalne i jedno styczne, otrzymamy:

a dla czystego ścinania:

Naprężenia dopuszczalne na ścinanie będą wg hipotezy Coulomba przy tym samym

wytężeniu razy mniejsze od dopuszczalnych na rozciąganie, czyli:

Hipoteza Galileusza, hipoteza największych naprężeń normalnych . Naprężenie

zastępcze wg tej hipotezy równe jest największemu naprężeniu normalnemu:

Hipoteza ta nie pokrywa się z doświadczeniami, dlatego ma znaczenie historyczne.

Hipoteza de Saint-Venanta, hipoteza największego wydłużenia względnego . Dla

jednoosiowego rozciągania naprężeniami wydłużenie względne wynosi:

Dla przestrzennego stanu naprężenia największe wydłużenie względne

wynosi:

stąd:

Obecnie ta hipoteza jest stosowana do materiałów kruchych (kamień, beton, żeliwo)

Podstawową zasadą, z której korzystamy przy rozwiązywaniu zagadnień wytrzymałości

złożonej jest zasada superpozycji skutków poszczególnych grup sił zewnętrznych,

stanowiących znane nam, proste stany obciążenia. Zasada ta nie jest słuszna wtedy, gdy

odkształcenie wywołane jedną grupą obciążeń będą miały wpływ na rezultat działania drugiej

grupy obciążeń. Np. przy zginaniu z osiowym ściskaniem, siła ściskająca spowoduje nie tylko

powstanie naprężeń ściskających, lecz także naprężeń zginających momentem siły ściskającej

na ramieniu , które jest ugięciem wywołanym wyboczeniem pręta.

Zagadnienia wytrzymałości złożonej dzielimy na dwie grupy.

I. Naprężenia wywołane przez poszczególne obciążenia czy grupy obciążeń są tego samego

rodzaju, a tylko w przypadku naprężeń normalnych mają ten sam kierunek (mogą się różnić

tylko zwrotem). Dla określenia wytężenia materiału obliczamy maksymalne naprężenia

wypadkowe będące sumą algebraiczną naprężeń od poszczególnych obciążeń i porównujemy

je z odpowiednimi naprężeniami dopuszczalnymi. W przypadku naprężeń stycznych może to

być suma geometryczna. Do grupy tej należą: zgięcie ukośne, zginanie z rozciąganiem lub

ściskaniem, ściskanie mimośrodowe, ścinanie w kilku kierunkach.

II. Naprężenia wywołane przez poszczególne grupy obciążeń są różnego rodzaju, a tylko w

przypadku naprężeń normalnych mają różne kierunki. Dla określenia wytężenia materiału

należy obliczyć naprężenia zastępcze wg odpowiedniej hipotezy i porównać je z naprężeniem

dopuszczalnym na rozciąganie lub ściskanie. Do tej grupy należą: płaski i przestrzenny stan

naprężeń, zgięcie płaskie z udziałem sił poprzecznych oraz najważniejszy w budowie maszyn

przypadek wytrzymałości złożonej zginanie ze skręcaniem.

Przykład

Stalowa belka o przekroju kwadratowym pełnym składa się z trzech równych odcinków o

długości każdy, wygiętych pod kątami prostymi jak na rys.15.1. Oś belki znajduje się

w płaszczyźnie poziomej, jeden koniec belki jest utwierdzony a do drugiego przyłożona jest

siła P. Określić dopuszczalną wartość twej siły, jeżeli , zas naprężenia

dopuszczalne wynoszą .

Jest to przypadek zginania ze skręcaniem. Zachodzi konieczność zastosowania jednej z

hipotez wytężeniowych. Moment zginający występujący w podporze A wynosi:

Moment skręcający występujący w podporze A wynosi:

Naprężenia normalne od zginania momentem wyniosą:

Naprężenia styczne od skręcania momentem skręcającym wyniosą:

gdzie: zastępczy wskaźnik wytrzymałości przekroju kwadratowego na

skręcanie

Przy zastosowaniu hipotezy Hubera naprężenie zredukowane wyniesie:

Rys.15.1

Przy zastosowaniu hipotezy Coulomba naprężenie zredukowane wyniesie:

Rys.15.2 Naprężenia zredukowane wg hipotezy Misesa (Hubera) wyznaczone za pomocą

programu NASTRAN FX. Belka obciążona jest na końcu swobodnym siłą pionową o

wartości P = 50 kN.

Największa wartość naprężeń zredukowanych, występuje w miejscu utwierdzenia w górnych i

dolnych włóknach przekroju. Te maksymalne naprężenia oznaczone są kolorem czerwonym i

wynoszą 179,7 MPA.

Rys.15.3 Przemieszczenia zredukowane wyznaczone za pomocą programu NASTRAN FX.

Jak widać z powyższego rysunku największe odkształcenie (kolor czerwony) wystąpi na

swobodnym końcu belki i wynosi 82,7 mm.

Obliczanie wałów pędnych.

Elementy jednocześnie zginane i skręcane występują w budowie maszyn jako wały pędne,

których zadaniem jest przenoszenie mocy (momentu skręcającego). Poza skręcaniem są

zawsze narażone na zginanie, wskutek działania ciężaru własnego wału i zamontowanych na

nim elementów, naciągu pasów przy przekładniach pasowych, nacisku międzyzębnego w

przekładniach zębatych itp. Maksymalne naprężenia tak od zginania jak i skręcania występują

we włóknach skrajnych wału i wynoszą:

od zginania:

od skręcania:

Dla określenia wytężenia materiału należy obliczyć naprężenia zastępcze, występujące we

włóknach skrajnych przekroju, w którym moment zginający i moment skręcający osiągają

wartości maksymalne. Jeżeli takiego przekroju nie ma, to obliczamy naprężenie zastępcze w

tych przekrojach, w których jeden z momentów przyjmuje wartość maksymalną a drugi

niemaksymalną, ale dużą. Zgodnie z hipotezą energii sprężystej odkształcenia postaciowego

Hubera w ogólnym przypadku zginania ze skręcaniem uzyskamy:

W przypadku wałów, które z reguły mają przekrój kołowy, jest:

oznaczamy jako moment gnący zastępczy .

Podstawowy warunek wytrzymałościowy przyjmie postać:

Na podstawie powyższego warunku projektujemy wał i obliczamy:

czyli:

W przypadku, gdy zginanie wału zachodzi w kilku płaszczyznach, należy dodać

geometrycznie (wektorowo) momenty gnące w tym przekroju.

temat 8 (2 godziny):

Documents