TEMAS Y POLÉMICAS

Abre hoy esta nueva Sección la REVISTA DE ECONOMÍA POLÍTICA cor»

idéntico fin instrumental que anima a las restantes que desgranan elcontenido de cada número: el procurar los medios precisos para c¿-mentar una sólida cultura económica en España.

Gran parle de los temas económicos —a la cabeza las cuestionesfundamentales de concepto y método— han pasado en época recientepor ¡a fase critica de la polémica y la controversia públicas. No siem-pre de éstas salió la luz, quizás porque los debates fueron más mo-nólogo que diálogo. Pero si el lector, poseído de actitud científica,entra en el seno de la discusión no saldrá de ella sin fruto. Verásentadas las posiciones, tensados los argumentos, esparcida la criticasobre los puntos' esenciales. Contemplar los temas económicos desdetal cota polémica sugestionará, sin duda, la inteligencia del lector,reafirmando el saber adquirido y colocándolo en el rumbo depuradorde la crítica.

Procurar la contemplación —bajo esta especial perspectiva deldebate— de los temas económicos es, pues, el objetivo de esta Sec-ción. El afán de la REVISTA será llenarla de contenido eficaz: procu-rando atinar con la elección de las controversias que merezcan eltiempo que el lector gaste en su estudio.

UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO

MATEMÁTICO EN ECONOMÍA

Se inicia con la polémica de que ha dado cuenta la "Rcviewof Economics and Statistics", en su número de noviembre de 1954.

La aplicación de las Matemáticas a las Ciencias Sociales ha idoadquiriendo tal intensidad, en el campo concreto de la Economía,que la convierten en el tema metodológico de más relieve en los

M\YO-ACOSTQ 1955] UNA DISf.LSIO.N SOBRK El. MÉTODO... 407

últimos años; la utilización de las matemáticas ha cambiado elcariz Je las revistas profesionales, de los ensayos sobre temas eco-nómicos concretos, del enfoque de las cuestiones de economía apli-cada, de los '"Manuales" introductorios, en fin.

Esta acelerada penetración de las Matemáticas en Economía haproducido una escisión inevitable: la de aquellos economistas que,conocedores del instrumento matemático, lo aplican con utilidaden su propia investigación o para el entendimiento de las ajenas;de los economistas que, sin conocimientos de Matemáticas, no re-nuncian al ejercicio de su profesión operando con ayuda de lalógica ordinaria. Una barrera cada vez más elevada —constituidapov la intensiva aplicación de las Matemáticas— separa a ambos¡mipos.

Y como, entre otras cosas —según advirtió Willard Gibbs—."las Matemáticas son un lenguaje", una confusión babélica ame-naza a la construcción de la torre de la Economía moderna, en laque será imposible progresar en el futuro, 6i no se resuelve el pro-blema básico del mutuo entendimiento de sus constructores.

Eíla razón ha vuelto a plantear de nuevo, con intensidad y re-lieve incomparables a otras épocas, la cuestión —casi clásica—del empleo de las Matemáticas en la Economía.

La "Review of Econoinics and Statistics" invitó a discutir eltema a destacadas personalidades de nuestra Ciencia, dirigiendoel original debate, que a continuación se inserta, una de las me-jores cabezas que actualmente cultivan la Economía: Paul Antho-ny Samuelson, Profesor de Economía del "Massachusetts Instituteof Technology" y autor de dos libros básicos: "Economics: anIntroductor)- Analysis" —quizás el mejor "Manual" de iniciaciónhoy— y "Foudations of Economic Analysis", premio (1941) D. A.Wells de Investigación Económica.

Abre la controversia el artículo de D. Novick, que constituyela base de la misma y que se mueve en un sentido de abierta cen-sura contra la aplicación de la Matemática a la Ciencia Económi-ca. Samuelson ordena y présenla las comunicaciones enviadas pordestacados economistas: Klein, Ducsenberry, Chipraan, Tinbergen,Champernowne, Solow, Dorfman y Koopmans, que contemplan el

408 ' TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P-, VI, 2

problema bajo sus múltiples perspectivas a raíz de la critica ini-cial de Novick. El editor Harrís cierra el debate con una sustan-ciosa reviviscencia de textos clásicos sobre el tema.

Aunque —con un sentido ampliamente deportivo— Samuelsonda el "tanteo" del encuentro, el lector debe presenciar detenida-mente el debate y obtener su particular conclusión. Para ello leinvitamos a que siga leyendo (*).

MATEMÁTICAS: LÓGICA, CANTIDAD Y MÉTODO

David Novick

Ha sido corriente durante mucho tiempo, en aquellos que poseenuna suficiente preparación matemática, la expresión de sus ideasmediante símbolos algebraicos. Este método de expresión se ha uti-lizado a veces en Economía, pero durante los últimos quince años,y en especial desde 1945, las Matemáticas se han empicado cada dinmás, como medio de exposición en las ciencias sociales. El resultadoha sido muy desafortunado.

El científico social medio, sin preparación en Ciencias Matemá-ticas o Físicas, pero que en algún momento de su educación ha cur-sado Algebra o Geometría, asocia inmediatamente el uso corrientede notaciones, con símbolos en forma de una ecuación, a los postu-lados, teoremas, axiomas, que estudió en el Bachillerato. Poresta razón supone que la presentación de un concepto ecouómico-

N

social en términos como X,— £ a¡. X. — Y. significa:

a) Que la ecuación es correcta matemáticamente, esto es, puedeser probada, de forma similar a las estudiadas por él, en Aleebray Geometría.

6) Que la ecuación es lógicamente consistente y, por consi-guiente, representa algo que debería ser reconocido y aceptado.

(*) La versión e interpretación del texto original h;i sido realiz.nLj porACUSTÍN COTORRUKLO SENDACOIITA.

MAYO-ACOSTO 1 9 5 5 ] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 4 0 9

c) Que la expresión algebraica significa que los datos cuantita-tivos están disponibles en la realidad y pueden emplearse de acuer-do con el concepto matemático establecido.

Por desgracia, lo que el científico social o el economista medioatribuye a estas notaciones, se reduce en muchos casos a esperanzasde los expositores más que a realidades de la situación.

Las Matemáticas se utilizan principalmente en las ciencias socia-les, como en la Química o Física teórica, y no como se aplican enla mecánica e ingeniería corrientes los resultados matemáticos dela teoría probados por la estadística en Física o Química. El usonormal del lenguaje matemático en las ciencias sociales es, engran parte, una forma de taquigrafía intelectual, y no demuestrade ninguna manera que los métodos seguidos hasta hoy con tantoéxito, en las Ciencias Físicas, se hayan adaptado repentinamente alas sociales. Para el científico, físico o natural, o para el que estébien entrenado en Matemáticas, este nuevo lenguaje no es impre-sionante ni aterrador porque considera lo escrito estrictamentecomo teoría. Gracias a su conocimiento, identifica el primer pasoen el proceso investigador como la expresión de un teorema, quees seguido de la comprobación cuantitativa o estadística esencialpara la aplicación de la teoría. Igualmente, el iniciado sabe quelos datos cuantitativos del tipo necesario para que la prueba tengaéxito, o para la aplicación de la teoría, pueden no bailarse jamásdisponibles en la realidad; o aunque se obtengan algunos datos,la forma de compilarlos requiere, quizás, la introducción de tan-tas consideraciones adicionales que hagan el cálculo prácticamenteimposible, incluso con materia] electrónico u otros adelantos mo-dernos. Es decir, que la teoría puede ser interesantísima, suscep-tible de pruebas de "juguete", pero inadaptable totalmente a lo»hechos del mundo real.

Desgraciadamente, los no iniciados en las Matemáticas saltan dela teoría a la prueba, y de ésta a la aplicación, sin percatarse de lospasos intermedios que generalmente deben seguirse. Es hora dediscutir a fondo estas limitaciones de las expresiones matemáticasque se emplean cada vez con más frecuencia en las ciencias socia-les. De ningún modo pretendo que se abandonasen los intentos deordenar los fenómenos sociales de forma que sean susceptibles decálculo matemático y, por consiguiente, de una aplicación más ge-

410 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI , 2

neral y uniforme. Sin embargo, sería prudente que aquellos queno incluyen entre sus métodos de lógica las Matemáticas, sepanque no existe ninguna diferencia fundamental entre el uso de letrasgriegas, ordenadas en forma algebraica, y el empleo de palabrascombinadas en forma de frase9 y párrafos. Análogamente, en lamayor parte de los casos, las deducciones de los datos cuantitati-vos o estadísticos, resultarán tan lógicas utilizando la Aritméticacomo el cálculo y las Matemáticas superiores. Por cualquier mé-todo, las proposiciones de utilidad general deben seguir el caminonormal de la investigación, es decir, la observación y el subsi-guiente establecimiento de la teoría, con la esperanza de que enúltimo término dicha teoría será corroborada con estadísticas, yquizás ulteriormente consiga una utilidad general, gracias a laintroducción del método matemático. Teniendo esto presente, de-beríamos considerar los esfuerzos actuales para aplicar las Mate-máticas a la Economía y a las ciencias sociales, como una simpleadición a la esotérica de las Ciencias.

La riqueza de las ciencias sociales se deriva hoy, principalmen-te, del estímulo que representa para el pensamiento, el hecho deque poco o nada, en los teoremas actuales, es susceptible de prue-ba absoluta; por consiguiente, no pueden aceptarse sin discusión.Existe una tendencia a suponer que, al expresar esas mismas teoríasen forma matemática, se crea un conocimiento absoluto y se eli-mina la controversia. En realidad, aquellos que tenemos sólo unentrenamiento limitado y una experiencia aún más escasa en ma-temáticas, estamos con mucha frecuencia intimidados por los sím-bolos y temerosos de discutirlos para no pasar por el apuro demanifestar nuestra ignorancia. Esto es una lástima, puesto que elempleo de las Matemáticas como una forma de comunicación noda mayor entereza a las ideas que el procedimiento verbal, el mástípico, hasta hoy, de las ciencias sociales.

El creciente número de científicos sociales, con preparaciónmatemática aumenta la importancia de esta experiencia en losmomentos actuales. En tanto que la exposición verbal de las ideany BU interpretación permitían BU lectura y discusión, la tendenciapresente de las Matemáticas como lenguaje ha separado a unagran parte de los economistas, debido a la diferente capacidad paraleer o comprender gran parte del pensamiento nuevo. El aepecto

MAYO-ACOSTÓ 1 9 5 5 ] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 4 1 1

más desagradable de esto ha sido que aquéllos que cuentan conpreparación matemática han establecido un refugio precario don-de todos viven, alimentándose de sus mutuas ideas, y aquél quedesde el exterior estuviere en condiciones de señalar las limitacio-nes intelectuales de este género de existencia, ha sido separado deellos por la barrera del lenguaje.

Es hora, por consiguiente, de que nos percatemos de la dife-rencia entre las matemáticas como lenguaje y como un métodocuantitativo tal como se emplea en las ciencias físicas y naturalesaplicadas. JVo es imposible que algún día los métodos matemáticospuedan aplicarse a la actividad económica y social. Sin embargo,ese día parece lejano, y mientras tanto, los que sólo poseen unaexperiencia y unos conocimientos limitados de matemáticas o deciencias físicas y naturales, deben tratar los modelos y otras for-mas de expresión matemática como lo que son, es decir, comonuevos esfuerzos interesantes y, fundamentalmente, nada más queeso. Será también muy provechoso que los que utilicen el lengua-je matemático empleen mayor tiempo y trabajo en reproducir,tanto la teoría como los datos, en forma literaria, con lo cual po-drán estudiar, y se beneficiarían de ello, un grupo más numerosode economistas.

LAS MATEMÁTICAS EN LA ECONOMÍA

Discusión del artículo de Mr. Noviek (*)

INTRODUCCIÓN

LAS MATEMÁTICAS EN LA ECONOMÍA ¿SI O NO?

Paul A. Samuelson

El editor Harria me ha proporcionado la diversión de actuarcomo Maestro de Ceremonias en la controversia suscitada por elataque de David Novick. contra la economía matemática. Siete eco-

(*) El editor solicitó de varios economistas de primer orden que discutie-sen el papel de las matemáticas en la economía, ofreciendo el articulo del Doc-tor Novick como base de la polémica. El Profesor Samuelson aceptó amable-mente comentar la serie completa.

412 TE.M4S V POLÉMICAS [R. E. P-, VI , 2

nomistas han replicado a Novick, y, de acuerdo con mi cómputo, eltanteo es el siguiente: A favor de Novick, siete épgilons; contra él,ocho menos siete épsilons. (Sólo Solow se niega a conceder ni si-quiera un épsilon.) Por supuesto, el tanteo se refiere a aquellos quecayeron en el señuelo de Seymour Harris. Uno de los dos que nohan respondido a la invitación hubiera superado en vehemencia alos siete defensores de las matemáticas.

¿En qué orden colocaré las respuestas? Puesto que LawrenccKlein se enfrenta con la oculta premisa principal que yace bajo lasafirmaciones de Novick (Axioma básico: la economía matemática esy ha sido estéril para la ciencia económica), le pondré el primero.Como James Duesenberry y John Chipman, revelan una gran sim-patía por la opinión de que debería dedicarse mayor atención a lainvestigación empírica, aun a costa del esfuerzo teórico, situaré susartículos a continuación (1).

Después, para contrapesar la docta digresión de Jan Tinbergen6obre cuestiones metodológicas sustantivas y los consejos de DavidChampcrnowne sobre presentación de originales, seguirán las refle-xiones de Robert Solow acerca de las relaciones adecuadas entrelos economistas matemáticos y I03 literarios. (Mi diccionario define"economista literario", como "eufemismo para designar al econo-mista no matemático".)

Robert Dorfnian y Tjalling Koopinans han restado tiempo desus investigaciones en la frontera de la ciencia económica para saliral paso de algunos errores que creen ver en las afirmaciones de -No-vick. Sus aportaciones quizás demuestran que los eslabones de lacontroversia no siguen las leyes de los procesos lógicos: del errorpuede salir la verdad.

Un maestro de ceremonias debe permanecer fuera del acto. Nohe considerado correcto rectificar el desliz del lenguaje matemáticoen la única ecuación de Novick, como tampoco me parece adecuadocorregir el desliz literario de su último párrafo. Con todo, he aña-dido, al final de esta serie de opiniones, algunos pensamientos per-sonales míos.

ll) Observo, con interés y 6orpresa, que por lo menos seis de los ocho de-fensores del empleo de las matemáticas en la teoría, son brillantes investigado*res empíricos.

MWO-ACOSTO 1955] UNA DISCUSIÓN SOBRE ti. MÉTODO... 413

I

LA CONTRIBUCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS

A LA ECONOMÍA

L. R. Klein

Se ha criticado frecuentemente el uso de los métodos matemáti-cos en Economía. Mr. Novick plantea de nuevo e9ta cuestión, perocon carácter posiblemente diferente. Otros han pedido mejor co-municación, más realismo o más flexibilidad por parte de los eco-nomistas matemáticos. Hasta cierto punto, Novick describe aleconomista o al científico social matemático como un charlatán y"dilettante". Es verdad que algunos quizás utilicen las Matemáticaspara confundir o impresionar a los demás, pero ello no resta méri-tos a los esfuerzos constructivos de aquellos que utilicen el métodomatemático. Trataré de demostrarlo indicando los resultados posi-tivos alcanzados por los métodos matemáticos, y, ciertamente, creoon su futuro e ilimitado desarrollo.

Me ocuparé principalmente del empleo del método matemáticoen la Economía, porque conozco mucho mejor la situación en esteterreno, pero seguramente se podrían aplicar argumentos similaresÍI las otra» ciencias sociales. A este respecto, sin embargo, es nece-saria una observación. Mientras que, en Economía, la tradición deCournot, Walras y Pareto han conducido a un cierto conocimientodel método matemático casi general, la situación es algo diferenteen psicología y sociología. Fuera de la Economía se pueden observarhuellas de ingenuidad entre los científicos sociales. Algunos de ellosesperan resultados poco razonables de la simple aplicación de esteinstrumento poderoso. El hecho de que se hayan impresionado sinsuficiente justificación no es tampoco un argumento aceptable con-tra la metodología.

Gran parte de la economía matemática trata de la formulacióny el redescubriniiento de soluciones a problemas que constituyen yapartes conocidas de la Economía "literaria". ¿Ello supone un es-fuerzo inútil? Yo respondo que no, porque nuestra materia se en-frenta con problemas verdaderamente difíciles, que deberían consi-derarse desde muchos puntos de vista diferentes, a fin de lograr pe-

414 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI , 2

netraciones más profundas. Los trabajos de Pareto, Slut9ky, Hicksy Alien aclararon tremendamente algunos puntos esenciales de lateoría de la utilidad y de la conducta del consumidor. Yo creo queeste trabajo significó una aportación mucho mayor que la simplereíormulación de los principios de la economía literaria. Quizás nose dispondría de la "ecuación fundamental de la teoría del valor"(la ecuación de Slutsky) sin la ayuda de las Matemáticas. El trabajollevado a cabo hoy en el campo de la programación lineal, nosha proporcionado análogamente nuevos conocimientos de la natu-talcza del sistema de precios. Esto ha sido un subproducto valiosode la reformulación de la economía clásica en las condiciones dela programación lineal. Seria seguramente difícil, para una personasin preparación matemática, apreciar el valor total de estos resul-tados, que son, no obstante, importantes, y dentro de las posibili-dades de todos los estudiantes que dispongan de la oportunidad deestudiar tales innovaciones.

El concepto walrasiano del equilibrio general es considerado pormuchos como una de las mayores ideas económicas de todos lostiempos. El concepto es esencialmente matemático, aunque se po-dría haber alcanzado partiendo de una base intuitiva no matemática.Sin embargo, la formulación intuitiva no nos habría servido bienpara algunas aplicaciones estadísticas recientes sobre las cualeshablaré más adelante. Otra idea profunda del razonamiento econó-mico es la descripción del ciclo económico como la solución de unsistema de ecuaciones matemáticas dinámicas. Es cierto que existenteorías cíclicas no matemática?, ¿pero pueden compararse en be-lleza y elegancia con la clásica de Frisch, "problemas de propaga-ción y problemas de impulso en la Economía dinámica? Hemosaprendido mucho acerca de- la naturaleza de los ciclos económicosmediante el estudio de modelos matemáticos, y estas ideas no sehabrían desarrollado salvo en los esquemas más simples, con méto-dos no matemáticos. Asimismo, como se discutirá más adelante, lateoría matemática ha preparado el camino para nuevos avances enla economía aplicada.

Muchas de las aportaciones no matemáticas al análisis económicotienden a ser con frecuencia groseras, chapuceras y vagas. Es deverdadero mérito condensar volúmenes o artículos farragosos en unaspocas páginas comprensibles. A raí me gustan los argumentos ele-

MWO-ACOSTO 1955J L'IVM DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 4 1 5

gantes y densos y me atrevo a suponer que a otros muchos les gus-tarían también si participasen en el desarrollo del tratamiento ma-temático de la Economía. Para mí la lectura de extensos tratadosde Economía literaria es la labor que me parece más ingrata-

La claridad de pensamiento caracteriza a la Economía mate-mática. Después de haber estudiado cuidadosamente casi toda laliteratura surgida alrededor de la "Teoría General" de Keyncs, lle-gué a la conclusión de que las confusiones se debían, principal-mente, a autores no matemáticos. Los estudiantes de la materiainclinados a las Matemáticas, acudían casi 6¡empre directamentea los puntos principales, sin interpretarlos mal. Se podría discutirinteligentemente la "Teoría General" si la gente empezase por de-finir cuidadosamente las variables y escribiese las ecuaciones rele-vantes del sistema con sus propiedades. Una de las mejores formasde comparar sistemas distintos de pensamiento consiste en estudiarel esqueleto de los modelos matemáticos de cada sistema y contem-plar las diferencias en la estructura de las ecuaciones relevantes.

Un intelectual distinguido y economista matemático observóen cierta ocasión que Tinbcrgcn, después de su estudio para laSociedad de las Naciones, podía ser considerado como el "ingenie-ro"', en contraste con Frisch, Samuelson, Marshall y otros queserían los "físicos". Esta caracterización no encaja ciertamente conel comentario de Novick, que "las Matemáticas se utilizan princi-palmente en las Ciencias Sociales como en la Química o Físicateóricas; y no es como se aplican en la Mecánica e Ingeniería co-rrientes los resultados matemáticos de la Teoría, probados por laestadística en Física o Química". Toda la tendencia de la Econo-metría moderna se dirige a comprobar la teoría y a estimar lasestructuras teóricas de forma bastante parecida a los métodos em-pleados por la Ingeniería, en relación con la Física y Químicateóricas.

No sólo la Econometría da contenido empírico a la teoría, 6¡noque ello sería imposible sin ayuda de las Matemáticas. La teoríaeconómica, a fin de ser convenientemente probada o estimada pormétodos estadíslicos, debe ser fundida en un molde matemático,a pesar del disgusto de Novick hacia estas cosas. Las hipótesis bá-iicas deben ser lo bastante específicas para que sepamos en casosparticulares si los hechos las refutan o, por el contrario, son con-

416 TEMAS Y POLKMICAS IR. E. P., VI , 2

sistemes con ellas, o bien si las hipótesis están formuladas pobre-mente. La especificación matemática de las variables y sus rela-ciones previene contra la posibilidad de formulaciones incorrectas.Las Matemáticas no son sólo esenciales en el momento de la for-mulación del problema en teoría económica, sino también para elempleo de métodos estadísticos. Algunas ramas de la estadísticadescriptiva implican poca o ninguna matemática, pero la teoríade la inferencia estadística parte de la teoría matemática de laprobabilidad, y no puede aplicarse a problemas de comprobaciónde hipótesis o estimación estructural en sistemas económicos sinuna gran utilización de las Matemáticas.

El análisis "input-output", la construcción de modelos econo-métricos así como la predicción del futuro, el análisis estadísticode la demanda, la estimación de las funciones de producción yotros estudios econométricos similares, «e tambalearían irreme-diablemente sin el uso de las Matemáticas. Es difícil imaginar aalguien siguiendo los efectos de una elevación de las exportacionesmediante un cuadro del "input-output" sin el uso de la teoría dematrices y de las ecuaciones lineales simultáneas.

Hace veinte o treinta años, la Economía matemática de aqueltiempo parecía muy abstracta y difícil de comprender. Desde en-tonces, hemos realizado enormes progresos. Las ideas de aquelperíodo son muy conocidas y comprendidas por un conjunto deestudiantes cada vez más numeroso. Actualmente, los últimos ade-lantos en programación lineal, teoría de los juegos, economía delbienestar matemática o econometría teórica, pueden parecer igual-mente abstractos y difíciles a la generación presente. Pero tam-bién serán asimilados. La tendencia actual hacia la comprobaciónestadística servirá para podar los excesos inútiles.

II

LA BASE METODOLÓGICA DE LA TEORÍA ECONÓMICA

James S. Dursenberry

Mr. Novick critica la Economía matemática con el mismo es-píritu con que mucha gente critica el arte moderno. Admite que

:no lo comprende, pero está seguro de que no le gusta.

MAYO-ACOSTÓ 19551 UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 4 1 7

Primero dice que no puede lograrse con matemáticas lo que nopuede hacerse mediante la lógica verbal. Esta afirmación, literal-mente, puede ser cierta. Pero Mr. Novick continúa, para concluir,que "teniendo esto presente deberíamos considerar loe esfuerzosactuales para aplicar las Matemáticas a la Economía y a las Cien-cias Sociales como una simple adición a la esotérica de lae cien-cias". Esta conclusión es inadecuada. Probablemente no se podrárealizar con grandes excavadoras lo que DO «e logre hacer con picosy palas. ¿Deberemos considerar, por tanto, las excavadoras mecá-nicas como parte de la esotérica de la industria de la construcción?La justificación del empico de las Matemáticas en cualquier terre-no e% su eficacia como método de análisis. Me parece innegableque existen muchos casos en los que el análisis matemático es máseficaz que la lógica verbal. Hay también otros en los que sucedelo contrario.

En segundo lugar, Mr. Novick presenta un cuadro exageradode charlatanes matemáticos vendiendo mercancías falsas a loseconomistas no matemáticos. No cabe duda que los economistasmatemático» han producido (y a veces vendido) algunas proposi-ciones falsas empíricamente o desprovistas de sentido. La historiade la Economía está llena de tales proposiciones. El fallo no estáen el método del análisis, sino en la forma en que se aplica.

En tercer lugar, Mr. Novick distingue entre "las Matemáticascomo una forma de lenguaje y como un método cuantitativo'".Parece pensar que las Matemáticas como una forma de lenguajepueden utilizarse en Economía (aunque sea un esfuerzo inútil),mas no como un método cuantitativo. Pero si decimos que las Ma-temáticas pueden emplearse como una forma de lenguaje en Eco-nomía afirmamos que es factible establecer una formulación de lasrelaciones entre cantidades. Y si podemos realizar esto, serviránlas Matemáticas para deducir las consecuencias de grupos de talesrelaciones, que es exactamente lo que se hace- en las Ciencias Fí-sicas.

Quizás suceda que no sea posible establecer ecuaciones rela-cionando las cantidades manejadas por los economistas. En eatecaso no alcanzaremos conclusiones aceptables por el análisis ma-temático ni por ningún otro método. Si Mr. Novick lo cree así,

1T

418 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P , VI, 2

debería dirigir sus ataques DO contra la economía matemática 6¡nocontra toda la economía analítica.

Sin embargo, existen algunos problemas reales en la formacomo se ha desarrollado la teoría económica. No ha surgido por-que a hora utilizamos símbolos en vez de palabras o gráficos, sinopor razones mucho más fundamentales. Las discusiones metodoló-gicas resultan muy pocas veces fructíferas, pero ya que el profesorHarria ha organizado una, debe ser a fin de replantear algunasviejas cuestiones acerca de la ba6e metodológica de la teoría eco-nómica.

La ciencia económica ha sufrido, durante mucho tiempo, unadesastrosa falta de comunicación entre los teóricos (es decir, aque-llos implicados en el estudio de teorías) y los empíricos (aquellosdedicados al estudio de los datos de la realidad para contrastar lasteorías). La {unción de los teóricos en casi todas las disciplinas esdesarrollar esquemas conceptuales que unifican y organizan lostlaloa empíricos. Una teoría acertada no solamente explica el sen-tido de observaciones previas, sino que predice otras y, por consi-guiente, guía el trabajo empírico de comprobar dichas prediccio-nes. Puesto que los resultados no 6on siempre totalmente satisfac-torios, el trabajo empírico origina la revisión de la teoría, deforma que existe una continua interacción entre el trabajo empíricoy la reformulación de la teoría.

En Economía se levanta un gran aparato teórico sobre unabase muy estrecha de generalización empírica. Ciertamente, casitoda la teoría económica se basa en la proposición harto compro-bada de que nadie arreja el dinero por la ventana; más seriamente,quo la mayoría de las personas actúan de forma que, después deconsideradas todas las cosas, obtengan el resultado más deseable.Por supuesto que los economistas disponen de otras muchas pro-posiciones empíricas, tales corno que las curvas de demanda, nor-malmente, son descendentes, los costes marginales de las empre-sas, ascendentes, etc. Pero estas proposiciones se hallan siempresujetas a cualificaciones que han servido, a su vez, para cubrircualquier discrepancia entre las observaciones y las implicacionesde la teoría. Una gran parte del trabajo teórico reciente se ha de-dicado a englobar las cualificaciones en un modelo de mayor

MAYO-ACOSTÓ 1955} CNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 4 1 9

generalidad. El triunfo final de la generalización completa impon-drá quo ninguna observación será inconsistente con la teoría dela maximización. Esto parece un juego estéril desde el punto devista de la ciencia positiva. Igualmente lo es el juego de establecerhipótesis condenadas a no ser tomadas en serio, y deducir de ellassus consecuencias.

La base empírica de nuestra estructura teórica es muy escasa,pero ello no se debe a falta de material. Actualmente exislen enor-mes cantidades de material empírico disponible que no se empleanen el trabajo teórico. Ello ocurre así por la forma peculiar en quese formulan los problemas teóricos. El teórico-económico no tratade explicar un grupo particular de observaciones. Por el contrario,intenta demostrar las consecuencias generales de un conjunto depremisas. Deja a otros la aplicación de la teoría, e6to es, la esti-mación de los parámetros de sus funciones generales. Este sería unprocedimiento satisfactorio con tal que a), las premisas generalescubran realmente todas las posibilidades, y b), que se formulende tal forma quo los parámetros de las funciones que las represen-ten puedan medirse en la práctica. En el estado actual de la teoríade la empresa y de la unidad económica de consumo, sucede confrecuencia que las premisas son lo suficientemente amplias parareducir el contenido empírico de sus consecuencias a un mínimoque, además, es erróneo. Existen enormes diferencias en los sala-rios pagados a los trabajadores de la misma categoría y habilidadtécnica en diferentes industrias (dejando aparte los Sindicatos).Esto no es necesariamente incompatible con una teoría que com-prenda costes por desplazamientos geográficos, diferencias en elcoste de vida, ventajas y desventajas no pecuniarias, etc. Pero silas implicaciones de la teoría de la empresa y de la unidad eco-nómica de consumo exigen una investigación empírica de estosfactores, a fin de explicar los tipos de salarios, todo el esfuerzosería inútil. Un breve examen de Ja evidencia empírica al comienzonos conducir/a a hipótesis mucho más fructíferas, por ejemplo,que las diferencias de salarios entre las industrias están relacio-nadas con las diferencias en los niveles de beneficios, o que los tiposde «alario históricos influyen sobre los actuales.

Las formulaciones teóricas son enunciadas con frecuencia, de

420 TEMAS Y TOLEMICAS [R. E. P., VI , 2

forma que es difícil comprobarlas, aunque no sean demasiadoamplias ni excesivamente reducidas. Por ejemplo, las teorías delequilibrio son difíciles de probar cuando los retrasos en el reajusteresultan largos en relación al ritmo del cambio de los parámetrosen la teoría. Una teoría de la competencia es probablemente apro-piada al mercado de la vivienda de alquiler. Pero es de poca ayudasi los alquileres precisan de varios años para desplazarse de unnivel de equilibrio a otro. La teoría sigue siendo válida, aunquelos alquileres desciendan durante varios años, mientras la deman-da de alojamientos aumenta.

Lo que se desprende de todo lo anterior es que la actual divi-sión entre el trabajo teórico y el "aplicado" es francamente des-afortunada. El trabajo teórico no debería tender a formulacionesgenerales en las que se encajen los dato» (si se hallan disponibles)sino a la explicación sistemática de conjuntos específicos de fenó-menos, a la luz de las circunstancias, que rodean a los actores queproducen los fenómenos en cuestión. Ello no significa que se con-fíe en el puro empirismo. Una regresión no es una explicación; essólo la enunciación de la regularidad observada en la conductado ciertas clases de actores. La tarea de la teoría es explicar aque-llas regularidades en términos de regularidades técnicas, legales osociológicas, que estamos dispuestos a aceptar como dadas. Unateoría debería demostrar que un conjunto particular de tales regu-laridades es consistente con un conjunto particular de observacio-nes. Es mucho más útil hacer esto que tratar de demostrar lasobservaciones que se producirían por cualquier conjunto imagi-nable de leyes de conducta. En primer lugar, nuestras imaginacio-nes no son lo suficientemente poderosas para hacerlo, y, si lofueran, sería un ejercicio inútil, puesto que no conoceríamos nadade la situación real.

Las Matemáticas no juegan un papel especial en la creación dela situación desafortunada presente de la teoría, salvo que las for-mulaciones matemática» de teoría esencialmente vacua aparentandecir más de lo que en realidad dicen. La crítica de los métodosmatemáticos puede ser un poco infantil, pero, después de todo, fueun niño quien vio que el rey no iba vestido.

MWO-ACOSTÓ 1955] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 421

III

COMPROBACIÓN EMPÍRICA Y MODELOS MATEMÁTICOS

John S. Chipman

Aunque simpatizo con muchos de los sentimientos expresadosjx>r Mr. Novick acerca del papel de las Matemáticas en la Econo-mía, no estoy de acuerdo con su afirmación de que el uso crecien-te de las Matemáticas haya tenido un resultado "sumamente, des-afortunado". Su principal crítica se refiere a la falta de contenidoempírico de la economía matemática. Creo que esta crítica e6válida; una ojeada general a las publicaciones económicas con-firmará la impresión de que se elaboran más teorías de las que secomprueban. Sin embargo, esta cuestión debe plantearse con unaperspectiva histórica más extensa.

La falta de contenido empírico en nuestra ciencia no es exclu-sivo de la economía matemática. Es característico a lo largo detoda la historia de la Economía. Cuando se pasa revista al desarro-llo del pensamiento económico desde el tiempo de los fisiócratas, setropieza, muy de tarde en tarde, con la comprobación de las teo-rías frente a los hechos. La Economía ha progresado mucho desdelos días en que se pensaba que la determinación del precio en unaeconomía industrial podía explicarse por el comercio de manzanasy peras entre Pedro y Pablo, y desde los años de la depresión,cuando ee consideraba un gran logro el dibujar la curva marginalpartiendo de la media. Y es difícil encontrar en la economía mate-mática discusiones nm abstrusas de seguir que los grandes debalesverbales entre las escuelas austríaca y americana sobre la teoríadel capital.

Estoy muy lejos de sugerir que esas primeras etapas de laciencia económica no tengan un lugar importante en la historiadel pensamiento económico. Fueron pasos inevitables en el des-arrollo de los conceptos. El principio de la aproximación sucesivaes tan antiguo como la ciencia misma. Existen poderosas razonespor las que ha logrado más éxito en las Ciencias Físicas que cu

422 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. 1'., VI , 2

las Económicas: en la mayor parte de las Ciencias Físicas la expe-rimentación es posible en todos los pasos, mientras que en Econo-mía, una teoría sólo puede aplicarse después de suavizada la rigidezde muchas hipótesis y de que el proceso de aproximación sucesivaha ido muy lejos.

Mientras alguna escuela de economistas está preparada paraverificar teorías basadas en hipótesis poco realistas, los economis-tas matemáticos han seguido la dirección de construir modelos conhipótesis más realistas. Al mismo tiempo, han tenido lugar tresfenómenos importantes: 1), ha aumentado muchísimo la cantidady calidad de los datos disponibles; 2), se ha desarrollado extraor-dinariamente la ciencia de la estadística, y 3), más recientementeaún, ha progresado notablemente la ciencia de la computación,haciendo posible que problemas que hubiesen requerido miles delloras se resuelvan rápidamente mediante calculadores mecánicosy electrónicos. Sólo en los últimos tiempos se ha hecho posible lacomprobación de modelos económico-matemáticos en gran escala.En estas circunstancias, no es sorprendente que los economistasmatemáticos hiciesen públicas sus teorías antes de comprobarlas;frecuentemente, sólo después de que una teoría ha gozado de pu-blicidad y ha sido objeto de críticas profesionales, es cuando lasinstituciones privadas y oficiales se deciden a recoger los datosnecesarios y financiar los cálculos.

Algunos economistas sostienen que pueden comprender con suintuición cómo funciona la Economía, sin utilizar matemáticas.Siento verdadera admiración por tales economistas y espero quesiempre los tendremos entre nosotros. Sin embargo, la intuición noso comunica con facilidad, y dudo del progreso de la Economía, amenos que la teoría tenga unos cimientos lógicos firmes.

Creo que el fenómeno importante que Novick subraya es psi-cológico. Ningún economista matemático admitiría realmente que"la expresión de estas mismas teorías en forma matemática pro-duzca un conocimiento absoluto". No obstante, sospecho que lagran fuerza de las matemáticas lia conducido a alguno, más o me-nos conscientemente, a considerar el trabajo empírico como unaforma inferior de actividad intelectual. Es cierto que el conoci-miento matemático se usa a veces como una cubierta protectora o

MAYO-ICOSTO 1955] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 423

una especie de juego - de ilusionismo para ganar argumentos. Ysiendo los economistas humanos, les será difícil resistir a la tenta-ción de exhibir su» conocimientos matemático», aun cuando exis-tan razonamientos más sencillos. Pero no creo que la mayor partedo los economistas matemáticos ee entreguen deliberadamente aeste tipo de actividad, aunque en ocasiones lo parezca. Los no ini-ciados se desaniman indebidamente en presencia de terminologíaextraña; expresiones como "principio niinimax", "servomecanismo","espacio do inercaucía8" y "hipersuperficie poliédrica convexa" sue-nan aparatosamente hasta que se descubre qué conceptos tan senci-llos representan. Un esfuerzo expositivo algo mayor por parte delos autores ampliaría mucho su auditorio.

Yo encarezco a Mr. Novick que no se asuste, y aplaudo su pe-tición de un mejor entendimiento mutuo y de más trabajo empí-rico. Les economistas matemáticos deberían tomar estas críticasmuy en serio. Está llegando el momento en que la mayor parte delos grandes obstáculos para comprobar las teorías económicas ma-temáticas (datos y métodos estadísticos inadecuados, falta de facili-dades do cálculo) están siendo rápidamente superados; confío quoen el próximo decenio se avanzará mucho en la comprobación delas teorías. Pero es preciso tener en cuenta que los métodos mate-máticos y la investigación empírica no son sustitutivos entre sí.Por el contrario, el trabajo empírico puede ser inútil, a no ser quevaya acompañado por buena teoría y buenos métodos estadísticos,y tanto éstos como aquéllos, son de carácter esencialmente ma-temático.

IV

FUNCIONES QUE REALIZA EL TRATAMIENTOMATEMÁTICO

J. Tinbergen

1. Es indudable que la situación actual es desafortunada —enrelación con el uso de las matemáticas en la ciencia económica— yque puede mejorarse con una comprensión más clara de las fun-ciones que cumplen las matemáticas. Me complace el intento reali-

424 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI , 2

zado por el Dr. Novick, aunque me inclino a situar las cosas deforma algo diferente. No sé exactamente hasta qué punto existeentre nosotros sólo una diferencia en las palabras o también en elfondo. Por consiguiente, expondré mi opinión personal con miépropias palabras.

Las funciones del tratamiento matemático en la investigacióneconómica se discutirán, quizás mejor, partiendo de una divisiónen varios elementos de la pieza completa de investigación econo-métrica. No todas las piezas importantes de análisis económico nonnecesariamente completas; algunas veces se hallan ausentes cier-tos elementos, como consecuencia de aspectos especiales del pro-blema tratado. No diré, por tanto, que todas las aportaciones a laciencia económica deberían mostrar la totalidad de los elementosque enumeraré a continuación, pero la función de las matemáticasse hace más clara si consideramos el siguiente grupo completo deelementos:

1.° Se dará una lista de los fenómenos que han de incluirseen el análisis, a fin de delimitar claramente la extensión del mismoy el grado de detalle admitido.

2.° So darán símbolos, por razón de la claridad o de la bre-vedad, 6Í el número de fenómenos excede de unos pocos. Esto eauna cuestión de "administración".

3.° Se resumirán las hipólefis o teorías (parciales) que sesupone determinan las relaciones caúsale* y otras existentes entrelos fenómenos introducidos. Este es el elemento de teoría eco-nómica.

4.° A estas hipótesis se dará la forma de ecuaciones, todavíade una forma más bien general, utilizando símbolos aún no espe-cificados, para indicar relaciones que la teoría no e9 capaz deespecificar "a priori". Nos hallamos ante la formulación matemá-tica de las teorías.

5.° Se ofrecerá una especificación mediante la determinaciónnumérica de ciertas funciones, basada en la observación de cifras,incluyendo una indicación de "intervalos de confianza" para cier-tos números, bajo ciertas hipótesis. Este es el elemento de com-probación estadística.

6.° Se dará una combinación de las así especificadas teorías

MVYO-ACOSTO 195S] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 4 2 5

parciales, a fin de solucionar el problema planteado. Lo que cons-tituye la solución del problema o la aplicación de las teoríasutilizadas.

2. Las funciones que cumplen las matemáticas en este procc-60 son especialmente las indicadas en los apartados 2.\ 4.*, 5." y6." Las discutiré, más detalladamente, a continuación.

La función 2.*, es decir, la de la notación, es más importantede lo que a veces se cree. Como ya he observado, representa loque una buena administración con respecto a una actividad prác-tica. Los problemas económicos son, generalmente, de muchasvariables, en los cuales juegan su papel numerosos fenómenos, yla mente humana tiene una capacidad limitada para retener dememoria. Es ineficaz, ai posible, el intento de memorizar sin unaayuda especial. Esta ayuda será tanto mayor cuanto mejor ee hayaconcebido el sistema de silabólos. Ello explica por qué algunaspersonas muy capacitadas para la abstracción ansian, sin embargo,obtener grupos bien organizados de símbolos.

La función 4.*, la de la traducción (a forma matemática) delas hipótesis económicas, o de la» teorías (parciales) económicas,aunque sólo preparatoria y auxiliar, es muy útil, puesto que fre-cuentemente nos obliga a exponer con más precisión nuestro pen-samiento. Nos fuerza a distinguir entre demanda, oferta y rela-ciones técnicas, para citar sólo algunas; exige una clara indicaciónde los fenómenos que se supone afectan a la demanda, cuáles a laoferta, y a la demanda y oferta de exactamente qué. ¿Queremosexplicar la demanda do los automóviles directamente en forma dela atracción de un coche, o, indirectamente, en términos de laatracción de sus servicios? ¿En qué forma precisa influyen loscoste» de la gasolina y los impuestos sobre esta atracción? ¿Lacantidad ofrecida es una reacción ante los precios, o esos preciosson una reacción de los oferentes a la cantidad demandada? Sitratamos de la influencia de los tipos de interés eobre la inversiónen stocks, ¿queremos decir que el tipo de interés es un factor de-terminante do la cantidad total poseída de stocks o de la adicióna los stocks ya existentes durante un cierto período de tiempo? Sepodrían aducir numerosos ejemplos mucho más complicados ymodernos.

La función 5.*, la de la especificación sobre la base de la ob-

426 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI, 2

servación, es realmente muy complicada; representa, en es,ta breveojeada, la totalidad de la estadística matemática. La tarea central,en este elemento de la técnica matemática, es el cálculo de pro-babilidades sobre un número de hipótesis. ¿Cuál es la probabili-dad de encontrar cierto conjunto de observaciones (dadas las tole-rancias) si suponemos que la teoría económica de los fenómenosmedidos es tal y tal —con valores numéricos para toda clase deelasticidades, etc.— y los residuos no explicados tienen ciertas pro-piedades específicas? ¿Y para qué valores numéricos de las elas-ticidades, etc., será mayor esta probabilidad? En el caso más sen-cillo, cuando tenemos que explicar sólo un fenómeno, por ejemplo,los precios del azúcar, y lo intentamos suponiendo que sólo lascosechas de azúcar, más el transporte, son relevantes, ¿quécifra tomaríamos para la elasticidad de la demanda, a fin de quenuestras observaciones fuesen más probables? ¿Es dicha elastici-dad 0,3 ó 0,25? La solución de un problema tan sencillo no puedeconcebirse sin la ayuda de las matemáticas.

Finalmente, la función 6/, la de combinar teorías parciales enuna teoría completo, necesaria para la solución del problema quese considere, adopta la forma matemática de la solución de unsistema de ecuaciones, o si tal solución es ya conocida para uncaso más general, la aplicación de la última al caso especial con-siderado. Esta es la función más típica de la economía matemáti-ca. En investigaciones más abstractas puede adoptar la forma dela prueba de un teorema, tal como las leyes de Gossen o los teore-mas de Wald, es decir, la prueba de que bajo ciertas hipótesisexiste una situación de equilibrio, y solamente una, para un.sis-tema de mercados coherentes.

3. Después de haber enumerado las funciones que cumplen,a mi entender, las matemáticas, desearía indicar qué funciones nocumplen en la ciencia económica, y por qué, a e.'tc respecto, losmétodos matemáticos pueden ser a veces peligrosos. No participancu la función indicada en el apartado 1.° de la sección 1, es decir,la enumeración de los fenómenos que han de incluirse en el aná-lisis. Esta es una parte de la investigación, esencialmente cualita-tiva, caracterizada por la distinción de diferentes categorías deconceptos, económicos y, por su exacta difinición, una larea típicafiel economista "literario".

MAYO-ACOSTO 1 9 5 5 ] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 427

Tampoco cumplen las matemáticas ningún papel en el aparta-do 3.° de la sección 1, es decir, la función de formular las hipótesiso las teorías (parciales). Esta formulación consiste en la enumera-ción de tales principios básicos como el "principio económico" o,en hipótesis institucionales, como la libre concurrencia u otra es-trategia del mercado seguida por los sujetos considerados, y otrashipótesis, como las funciones de la producción y del coste rele-vantes en la economía estudiada, los instrumentos de la políticaeconómica escogidos, etc.

Además de las dos funciones citadas, a las que las matemáticas,por principio, no pueden aportar nada, existen caso9 especiales enlos que tampoco es necesario el empleo de las matemáticas paralas restantes funciones. Volveré sobre ello en la próxima sección.

Pero antes debo señalar algunos peligros del tratamiento rea-temático, relacionados con las dos funciones de la investigacióneconómica que acabo de enumerar. Si el análisis es efectuado porpersonas demasiado entusiastas de Ia9 matemáticas, pueden o biendescuidar dichas funciones o aceptar ciertas hipótesis básicas por-quo sean fácilmente tratables matemáticamente. Si haciendo estoescogen hipótesis irreales no rinden ningún servicio a la Economía.!\o es necesario consignar que los grandes economistas matemáticosno cometerán tales errores. Pero existen ejemplos de ingenieros yfísico?, a la caza de "analogías" entre la Física y la Economía;perjuicio que evidentemente se manifiesta en sus teorías. Yo aña-diría, sin embargo, una observación que puede interpretarse malcon facilidad: no es siempre una desventaja el investigar aquelloscasos que, aun siendo poco representativos, son susceptibles deanálisis matemático; se puede realizar descubrimientos de un ca-rácter más general que, con cl tiempo, demuestran su utilidad.

4. Ahora consideraré algunas funciones ya resumidas en lasección 2, que las matemáticas realizan en competencia con otrosmétodos o lenguaje. El que para las funciones 2.*, 4.*, 5." y 6." sepreciso la ayuda matemática depende evidentemente de cada pro-blema económico concreto. En problemas sencillos no será necesa-rio el empleo de la "artillería pesada" matemática. No siemprecompensa el rodeo que la introducción de símbolos supone. Inclu-so en los casos en que la utilización de las matemáticas constituyeuna ventaja es muy defendible el empleo «leí tipo más sencillo

428 • TEMAS Y POLÉMICAS IR. E . P., VI , 2

posible, aunque sólo sea para que el número de lectores capaz decomprenderlo llegue al máximo. Siendo yo mismo un matemáticocon conocimientos modestos, experimento frecuentemente conside-rables dificultades al leer literatura de la comisión Cowles. Yo meatrevo a aconsejar que un nuevo método o idea debería siempreilustrarse primeramente con el caso más sencillo concebible, para,sólo después, tratarse de una forma general. Este tratamiento ge-neral se necesita, por supuesto, para averiguar cuan lejos nos con-duce dicho método o idea; pero, si se comienza por el caso mássencillo, será mucho más fácil comprenderlo. Donde las matemáti-cas se hallen realmente en competencia con otros métodos debenconducirso como competidoras, mostrándose tan atractivas y efica-ces como sea posible.

En casos menos 6encillos, la balanza se Inclina, en mi opinión,a favor de las matemáticas. El disponer de una lista restringidade variables, y de un número de ecuaciones que representen elmecanismo discutido, supone siempre mucha más claridad, agudezay brevedad, incluso para los que lo niegan. Desde luego, todosdesean que la exposición se adapte a su nivel de conocimientos yfamiliaridad con las matemáticas. Hablaré de nuevo sobre ello enla sección 7.

En contra de lo que sostiene el Dr. Novick, opino que el usodo los signos matemáticos resulta también muy útil cuando se apli-ca a conceptos que no han sido todavía medidos exactamente; esperfectamente posible el indicar, al mismo tiempo, los márgenes deer.ror, como sucede en las ecuaciones estocásticas. Una ventaja es-pecial es la que yo llamo la posibilidad de localizar ciertas influen-cias. Si se mantiene, por ejemplo, "que el tipo de descuento influ-ye sobro el ciclo", deberíamos estar exactamente informados acer-ca del lugar en el que, es decir, la ecuación o ecuaciones en lasque tal influencia se manifiesta. El tratamiento matemático nosfuerza a especificar, mientras que con el no matemático hay el pe-ligro de ser menos claro.

5. Existen, con todo, situaciones en las que las matemáticasconstituyen el único camino para resolver un problema. Ello suce-de claramente con las funciones (5.*) y (6.*), en los problemas má3complicados. La especificación de los valores numéricos de loa pa-rámetros es en sí misma un proceso matemático, aunque en los

MAYO-ACOSTO 1955] UNA DISCUSIÓN S03RE EL MÉTODO... 429

casoa más simples sea tan sencillo que resulta accesible incluso alos legos. En los casos complicados de estadística matemática nohay otro camino, y no creo que se haya propuesto nunca la esti-mación de los parámetros, por métodos literarios. El economistaliterario considerará, probablemente, que esto se halla fuera delcampo de la Economía, y no existirá una gran diferencia de opi-nión respecto a la necesidad de las matemáticas en esta ocasión.

Pero se dan casos de un segundo tipo, es decir, aquellos dentrode la función 6.*, para los cuales, algunas veces, las matemáticas sonindispensables. Hallar el resultado conjunto de un número de teo-rías parciales o ecuaciones no es siempre posible mediante rezona-micntos. No es correcto, incluso en mi opinión, sostener que todoslos resultados del tratamiento matemático pueden ser expresadosen forma verbal. Depende de lo que signifique exactamente estafrase. Intenté aclarar estas cuestiones en un trabajo leído ante laReal Academia Holandesa de Ciencias (2), cuyo contenido resumiréaquí brevemente. Por "razonamiento" entendemos en la conversa-ción ordinaria una especie de lógica de una dimensión (o de unaeola dirección), consistente en una sucesión de afirmaciones, cadauna de las cuales puede probarse con la ayuda de la precedente. Noes siempre posible resolver un sistema de ecuaciones simultáneasmediante tal razonamiento, es decir, hallar cada incógnita en formasncesiva. Esto es, en general, imposible, y sólo será posible si elsistema de ecuaciones pertenece al tipo que Wold llama recursivo.En este caso habría una ecuación conteniendo sólo una incógnita,y tal incógnita podría asi hallarse. Habrá una segunda ecuaciónconteniendo la primera y otra incógnita; la última se hallará en unsegundo paso. Y así podrán despejarse todas, sucesivamente. Estono sucedo en un sistema de ecuaciones simultáneas, generalmente, yno existe un equivalente a] "razonamiento" en la] caso. Por consi-guiente, no será posible ofrecer una deducción verbal de la 6oluciónquo sólo puede ser comprobada después. En este sentido, no es co-rrecto mantener que las matemáticas no añaden nada nuevo, o queel proceso matemático puede siempre traducirse al lenguaje ordina-

(2) J. TINBEHCEN, "In hoeverre kirnncn economische Bteblingen sovder wis-knndo worden bewezcn?", Mcded. Ron. Ned. A kad. v. Wet. afd. Ielt, 13 (1950),No. 10.

430 TEMAS V POLÉMICAS [R. E . P , VI, 2

rio. Los resultados pueden traducirse, pero el proceso económico nopuede traducirse a "razonamiento". Otra cosa es, por supuesto, quea toda ecuación económica quepa darle interpretación verbal, lo queno sería demasiado útil para comprender el proceso.

6. Existen también algunas ideas equivocadas acerca de las ma-temáticas. Se cree, a veces, que sólo algunas relaciones muy senci-llas y, por tanto, rígidas, son reprcsentables por las matemáticas, yquo la realidad es más flexible. Esto es infraestimar el poder de lasmatemáticas: el análisis superior es capaz de explicar relacionesmucho más complicadas y flexibles, y manipularlas hasta ciertopunto. Por otra parte, se olvida con frecuencia que los argumentoscontra los tipos más generales de las matemáticas son, en realidad,argumentos contra la ciencia en general, es decir, contra la suposi-ción de que podemos comprender las conexiones entre los fenóme-nos —en este caso los fenómenos económicos— en alguna formageneral. Si no se acepta la determinación, no habrá economía: nieconomía matemática ni economía literaria. Quizá quedasen nove-las económicas; personalmente, preferiría las otras.

7. Terminaré con algunas recomendaciones. Como dije, es unadesgracia que diferentes grupos de economistas no se entiendan lo»unos a los otros. La razón es, en parte, porque algunos se expresantan matemáticamente que no pueden ser comprendidos. A ellos lesaconsejo que utilicen las matemáticas más sencillas, compatibles conel problema que traten, y que siempre que puedan comiencen conun ejemplo simple. Otra recomendación es que se dediquen a estu-dios empíricos, ya que hay cierta superproducción de trabajo teóricoal que falta base real (3).

Hay, sin embargo, otra razón de la falta de comprensión entrelos dos grupos: el conocimiento insuficiente de matemáticas por par-te de bastantes economistas. Está hoy perfectamente claro (paraalgunos lo estaba ya hace medio siglo) que las matemáticas son uninstrumento indispensable en e] análisis económico moderno. Lasconsecuencias deben afrontarse; por fortuna, lo han sido ya en lamayor parte de las Universidades. Y es alentador ver cuan fácil-mente las generaciones más jóvenes de estudiantes manejan las

(3) Cf. J. TINBERCEN: "Eficacia y futuro de la investigación económica",Kyklos, vol. V (1953), pág. 309.

MAYO-AGOSTO 1 9 5 5 ] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 4 3 1

cuestiones matemáticas. El temor de que la introducción de lasmatemáticas como curso obligatorio reduciría mucho el número deestudiantes de economía no se ha visto confirmado por la realidad.

Queda una división natural del trabajo: entre aquellos más in-teresados en la investigación cualitativa y descriptiva y los queprefieren el trabajo cuantitativo y analítico. Ambos tienen su pues-to en la ciencia económica, y el segundo grupo precisará más delinstrumento matemático que el primero.

SOBRE EL USO Y ABUSO DE LAS MATEMÁTICASUTILIZADAS EN TEORÍA ECONÓMICA

D. G. Champernowne

Los artículos sobre Teoría Económica tratan de explicar gene-ralmente al lector los resultados que pueden esperarse de la con-secución de diversas políticas u otras alteraciones en circunstan-cias dadag. Esta tarea es difícil, teniendo en cuenta la distintacapacidad y exigencias de los lectores. Si la Teoría ha de ser rea-lista, esas circunstancias dadas deberán reflejar muchísimas com-plicaciones del mundo real. Una exposición exhaustiva de lasmismas, aunque necesaria para lograr una solidez lógica, sería deuna extensión intolerable para el lector que eatá bien informadoacerca de la situación a la cual se ha de aplicar la Teoría. Conoceya muchas de las hipótesis implícitas acerca de las instituciones yla pcicología que justifican los razonamientos de lo? buenos artícu-los no matemáticos sobre Teoría Económica. Pero a algunos lec-tores les faltará experiencia o flexibilidad, y tratarán bien de apli-car la Teoría a circunstancias impropias, o atacarán al escritorpor no ofrecer una relación exhaustiva de sus hipótesis.

El teórico económico cauto, cuya mayor ambición es no equi-vocarse nunca, tiene pocas perspectivas fuera de la discusión delos modelos económicos. Estos son sombras de las situaciones rea-les, simplificadas tan drásticamente, que pueden ser completamen-te descritas y su funcionamiento exactamente reflejado dentro dela extensión de un solo artículo. El proceso lógico que conduce

4J2 TEMAS Y POLÉMICAS IR. E. P., VI, 2

desde lae hipótesis del modelo hasta las conclusiones acerca de suconducta, es ahora riguroso c independiente de] conocimiento dellector sobre el mundo real. Gracias a tales modelos, se consiguealcanzar un completo acuerdo dentro de un tiempo razonable. Mu-chas veces el estudio de los mismos revelará que discrepanciasanteriores ee han debido a diferencias sobre las hipótesis intuiti-vas acerca del mundo real. Desgraciadamente para el teórico cau-to, sus modelos económicos serán juzgados según su grado derelevancia en relación con el mundo real, de forma que al evitartoda apariencia de error puede caer en la necedad de publicar unlargo artículo cuya importancia para cualquier cuestión prácticasea escasa. Este peligro de fabricar meros "juguetes" es conside-rable, puesto que las hipótesis más convenientes para construirmodelos rara vez son las más acordes con el mundo real. Muchosconsiderarán eomo los mejores artículos sobre Teoría Económicaaquellos que revelen más aguda observación y buen juicio en laelección de las hipótesis que encajen bien con los hechos y quepermitan demostrar convincentemente poderosas conclusiones denaturaleza sencilla.

La capacidad para juzgar la relevancia de una Teoría econó-mica, y de sus conclusiones respecto al mundo real, está poca* vecesasociada con la capacidad para comprender matemáticas superio-res. Un artículo importante sobre Teoría Económica 6e desperdi-ciará probablemente a menos que sea expuesto en prosa apoyadaen las más elementales matemáticas. "Es obvio que no hay lugaren Economía para largos procesos de razonamiento deductivo" (4),por lo que aquellos modelos económicos que sean realistas y losuficientemente simples para poder extraer de ellos conclusionesútiles, pueden normalmente ser expresados en prosa. Su simplici-dad permite la obtención directa y obvia de las conclusiones endiagramas o matemáticas elementales cuya traducción a la prosadescriptiva es inmediata.

Aunque la argumentación no sea tan simple, es ventajosa latraducción del proceso matemático a prosa. Ello puede atraer laatención hacia algún paso que sea incongruente en relación con

(4) MARSHALL, "Principios de Economía", 8.» edición, Apéndice D, pági-na 781.

MAYO-A.C0ST0 1955] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 433

el mundo real, pero cuya implicación se habría perdido tanto encnanto la argumentación quedara como una secuencia do las ma-nipulaciones algebraicas.

Estas y otras consideraciones pueden invocarse para demostrarque "seria • muy útil que aquéllos que empleen las matemáticascomo lenguaje dedicasen el tiempo y esfuerzo adecuados para tra-ducir, así la teoría como los datos, a forma literaria, con lo cualun grupo mayor podría estudiar y beneficiarse del trabajo querealizan" (5). Pero los editores y lectores que acepten esta opinióndeberán tener presente los siguientes puntos.

Existe el peligro de que la traducción en prosa de una argu-mentación matemática la conviertan en inexacta e incompleta. Lapresentación matemática de los axiomas, razonamientos y deduc-ciones, -es una disciplina que, seguida estrictamente, depurará lashipótesis, expondrá los puntos débiles a la crítica de los especia-listas y reducirá las conclusiones a sus justos límites. Cuando elrazonamiento haya resistido el juicio de economistas matemáticosidóneos, el lector no matemático puede sentirse seguro de que laparte en cuestión del artículo es correcta. Al mismo tiempo, lapresentación matemática logrará un ahorro de espacio en un gra-do del que pocos no matemáticos se percatan.

El modelo económico tiene otra ventaja que compensa «u aban-dono de tantas circunstancias particulares del mundo real: ella essu generalidad, en el sentido de que puede abarcar simultánea-mente una familia completa de situaciones concebibles, como re-sultado directo del empleo de notación algebraica. Corresponde,"grosso modo", al hecho de que una igualdad tal como

xJ~f = (x~y) (x + y)

es válida simultáneamente para

(33—25) = (3—2) (3 + 2)(lOV— 99') = (101 — 99) (101 + 99)

y para una serie infinita de otras igualdades del mismo tipo.

." .(5) NOVJCJC, pig. 358: "

28

434 TEMAS Y POLÉMICAS IR. E. P-, V) , 2

Las ventajas de esta generalidad en Teoría Económica no deben,sin embargo, valorarse demasiado. Pocas vece9 se obtienen conoci-mientos por ella ei no se seleccionan e interpretan conveniente-mente aquellos casos particulares más relevantes respecto a situa-ciones reales.

A pesar del comentario desolador de Marshall sobre los largosprocesos de razonamiento deductivo, algunos desarrollos teóricosen Economía lo precisan: son modelos cuya conducta es lo bas-tante complicada para exigir la ayuda de la alta matemática. Ex-presar la argumentación brevemente, y revelar su estructura, puedeobligar al empleo de una notación condensaría y de teoremas gene-rales de nivel superior. Traducir los axiomas, la prueba y los re-sultados, a prosa aumentaría la longitud del artículo diez veces,'a la par que disminuiría la precisión considerablemente. Ademásde ahorrar espacio, el uso elegante de las matemáticas eimplificala comprensión de una prueba empleando métodos que son fami-liares para los matemáticos.

Aunque estas razones animen al lector matemático, no sirvende consuelo para el no matemático. El autor se encuentra ante ladisyuntiva de parecer completamente ininteligible al no matemá-tico o de que su artículo resulte muy largo, impreciso c innecesa-riamente oscuro para los que tienen conocimientos matemático».Con el fin de orientarle en esta elección, los editores del EconomicJuorruil lo han ofrecido recientemente consejos útiles (6). Dichospreceptos los consideraremos como un ideal al que han de aproxi-marse los autores y deben estimular los editores.

He aquí tres parles esenciales de un artículo sobre un modeloeconómico:

1. Exponer los' axiomas que determinan el funcionamiento delmodelo y el grupo de condiciones iniciales o alteraciones cuyosrfectos han de ser investigados.

2. Manifestar los resultados que se desprenden de los axiomas.3. Dar una completa y rigurosa prueba de los resultados, te-

hiendo en cuenta los axiomas.Muchos lectores no matemáticos pueden hallarse especialmente

Reparados para juzgar la relevancia del modelo respecto del mun-

Economic Journal, LXIII (marzo de 1954). Nota de lo» editores, pif. 1.

MAYO-ACOSTÓ 1 9 5 5 ] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... *35

do real. Por lo que es importante que, además de la presentaciónmatemática de los axiomas, se Intente una traducción suficiente-mente exacta, a prosa. Análogamente, al no matemático puedeinteresarle estudiar las posibles consecuencias que, de los resulta-dos obtenidos por el modelo, se deriven en el mundo real; de ahíque estos resultados deberían traducirse, ei es posible, en una seriede conclusionee expresadas en prosa. Por otra parte, no es de pri-mordial importancia hacer las pruebas comprensibles para los nomatemáticos; lo fundamental es que dichas pruebas ee expongande forma que eean fácilmente captadas y criticadas por los queposean conocimientos matemáticos. Esto, sin embargo, no excluyeel empleo de diagramas para ilustrar el razonamiento, ni el usode procesos algebraicos y notaciones elementales cuando no gemejora la argumentación con otros superiores, y sin prolongar laextensión de la prueba más de dos o tres veces. Por ejemplo, haymotivos muy suficientes para escribir las ecuaciones de matri-ces (7) tales como

Y=AX+B •• AY = AAX

en la forma más extensa

¿ •= 1,2, . . . m j = 1,2, ... n

o, como en ciertas revistas,

Yi = An X> -|" Au X» -f- ... A'" X" -|- Bi

Y. = A»X.+ A»X>+ ...A in Xn + B,

Ym = A mi Xi - j - Ami Xi -)- ... A»"> X n -f- Bm

por lo que si XiX--... X " se convierten en Xi 'X» ' . . . X n ' entonces

YiY=. . . Ym se convierten en Yi1 Y>'... Y™ * en

Y," = Y> + A- (X.1 — X.) + A«

(X»1 — X.) + ... + A- (X"' —Xm)

(7) En estas ecuaciones y las siguientes el símbolo A denota "cambio en".

436 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI, 2

YV = Y, + A:. (X.1 — X.) + AR

(X.1 — X.) + ... + A-" (Xn' — Xn)

Yn 1 = Y". + Am,(X.' — X.) + Am,

(X»' — X » ) + ... + Amn (X'-1— X»)

pero carece de sentido efectuar tales concesiones en algún momen-to de la prueba, a menos que toda la demostración pueda reducirsea términos igualmente sencillos. Es contraproducente para el lec-tor semimatemático atraerle por esos medios a la lectura de lasprimeras páginas y abandonarle, entonces, en las tinieblas de unanotación desconocida para él.

En el siguiente ejemplo se pone de manifiesto que el U90 denotaciones elementales no constituye siempre una ventaja: supou-ganios que y (reula) deba satisfacer la relación s y = b -\- i (inver-sión), en donde s y b son constantes. Con la ayuda.de un diagramano seria difícil explicar el razonamiento del multiplicador.

s y = b -\- i •'• A y = — A i (con tal que s^O)

en el que se establece la relación entre un incremento autónomoAt en la inversión, y el correspondiente incremento Ay en la renta.

Lo que puede generalizarse algebraicamente siendo Y un vectorde n variables económicas diferentes que deben satisfacer n rela-ciones dadas por

SY = B -f I

donde B es un vector de constantes e Y es un vector de parámetros,que refleja las coadiciones económicas autónomas, y S es una ma-triz n X "• Las modificaciones de AY pueden obtenerse entoncesen términos de cambios autónomos de Al, mediante el razona-miento:

S Y = B - f I ••• Y = S-» j Al ¡ (con tal que | S | ^ 0)

Esta demostración quedaría confusa ampliando la notación aotra que comprenda términos separados y fracciones incluyendo

MAYO-ACOSTO 1955] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 437

determinantes. Los diagramas no suponen aquí ninguna ayuda, yla traducción a prosa habría de contener una explicación sobre lainversión de matrices y el significado de las determinantes.

Este razonamiento de que A Y = S-1 (Al), o algo más compli-cado aún, se necesitará siempre que se desee encontrar el efectode una alteración dada sobre una posición de equilibrio con mu-chas condiciones simultáneas. El mismo Marshall insistió en quelas variables económicas están interrelacionadas y determinadasdo esta manera (8). La dificultad en hacer AY - = S ' (Al) inteli-gible a personas que no han tenido tiempo de aprender matriceses un obstáculo fundamental para que comprendan las derivacio-nes de cualquier cambio en el que estén implicadas tres o másvariables interdependientes. Un grupo de ejemplos numéricos po-dría ser un suslitutivo, aunque precario.

En tanto que los axiomas y resultados deberían traducirsetotalmente a prosa, sólo habrían de hacerse concesiones secundariasal semimatemático en la exposición de la prueba. Pero queda otracuestión de mucho interés para el lector no matemático. Son lo*posibles efectos de abandonar algunas de las hipótesis eimplifica-doras. Normalmente, el escritor puede adivinar tales efectos sóloempleando su criterio matemático. Por lo que únicamente los lec-tores matemáticos podrán pronunciar su veredicto sobre Ja valíade tales presunciones. Pero el lector no matemático estará muyinteresado precisamente en estos efectos, y es, por consiguiente,esencial, que las consecuencias previstas de ellos se traduzcan exac-tamente al idioma que comprendan los matemáticos y los que nolo son.

Los editores pueden solicitar de los autores que tengan pre-sentes estos preceptos al preparar artículos sobre Teoría Económi-ca. Si bien no lian de constituir más que una orientación- y eleditor que insista en que se obedezcan literalmente, se expondráa no publicar mucho en esta materia.

(8) Ver su analogía con el equilibrio de cierto número de holas apoyándo-se la una en la otra, en un recipiente. "Principios de Economía". Libro V, Ca-pítulo 1 y 16 y Apéndice 1, } p(. 4 y 5.

438 TCMAS Y POLÉMICAS [R. E . P., VI, 2

VI

LA SUPERVIVENCIA DE LA ECONOMÍA MATEMÁTICA

Robcrt Solow

Me ha costado mucho trabajo juzgar lo que debe decir un par-ticipante en esta discusión. Indudablemente, la investigación (decualquier clase) es una actividad más útil que los altercados. Em-pleando palabras de Edgeworth, "el margen de utilidad en elmundo, tanto intelectual como externo, diferirá con la personali-dad de los individuos. No existe ninguna regla general, salvo que,como los atenienses cultos, deberíamos huir del menosprecio en-vidioso de los estudios ajenos".

Por alguna razón, Novick basa sus quejas en la afirmación deque los economistas literarios tienen una mentalidad demasiadounilateral para las palabras (o más bien para los símbolos). Alparecer, el economista literario, en su medio ambiente, se encuen-tra alerta y lleno de penetración; puede hablar acerca de la raa-ximización de los beneficios, de manera perfectamente racional.

dC dRPero en cuanto aparece un y el desastre se cierne sobre

dq dqél. Sufre errores. Detrás de cada ecuación ve dificultades sincuento.

Sería pesado y reiterativo repasar aquí lo que son y para quésirven las Matemáticas. Mi opinión es que son sencillamente unvocabulario inmensamente poderoso y eficaz para pensar sobreciertos tipos de problemas. Pero creo que casi todos los economis-ta» académicos saben esto, y me hallo perplejo ante la creenciacontraria de Novick. Puesto que opino que su premisa básica sobrela cuestión de hecho es equivocada, no concedo mucha importan-cia al resto de sus quejas. Pero no puedo menos de admirar sudecidido consejo a los ya asustados y temblorosos economistasliterarios: abandonar la economía matemática como esotérica (tra-ducción inglesa: lo que no entiendo). Cuanto trata de las Mate-máticas, Novick esté de acuerdo con Lady Braicknell en "La

MAYO-ACOSTÓ 19551 UNA DISCUSIÓN SOBRE Er. MÉTODO... 4 3 9

importancia de ser Ernesto (formal)" (9); no aprueba nada que seoponga a la ignorancia natural.

Estoy completamente conforme en que se trata de un problemade entendimiento mutuo. Novick sugiere que los no matemáticosignorasen la economía matemática, y que los economistas matemá-ticos se esforzasen en que les comprendan. Traducir a idioma co-rriente demostraciones matemáticas complicadas es un trabajo duroe ingrato. La mayor parte de la gente tiene otras cosas más intere-santes en que ocuparse, otras investigaciones, lectura de libros,educación de niños. De todas formas, es de esperar que aumenteesta clase de traducción y de exposición. Y es también posibleque el principio de la igualdad de los rendimientos marginalesestimule el esfuerzo de los no matemáticos (10). La comunicacióndebe efectuarse en ambos sentidos.

En la realidad hay una mano invisible que tiende a resolverpor sí mismos tales problemas. Durante los últimos años, ha tenidolugar una lenta pero sensible transformación en la Teoría Econó-mica. Es fácil recordar los artículos publicados en las revistas cien-tíficas hace diez o quince años (por ejemplo, el de Samuelson,sobre la interacción de los principios del multiplicador y de ace-leración, o el de Metzler, sobre ciclos) que en aquel tiempo pare-cían matemáticas de una elevación sin precedentes. Mr. Novick lashabría clasificado como "esotérica".

Hoy forman parte del vocabulario de todos los economistas.Podrían citarse, a este respecto, numerosos ejemplos. Abundan loseconomistas que, aunque no sean, ni mucho menos, matemáticos,no se asustan ante el pensamiento de diferenciar un sistema deecuaciones para descubrir el efecto de un cambio en un parámetrosobre los valores de equilibrio.

¿Por qué la Teoría Económica se hace cada vez más matemá-tica? ¿Por qué tantos estudiantes superiores desean incluir algo

(9) LADV DRACKNELL continúa: "La ignorancia es como ana fruta delicaday exótica; se la toca y su lozanía desaparece... Afortunadamente, en Inglaterra,la educación no produce ningún efecto."

(10) En contra de lo que afirma Novick, el "refugio" de los economista»matemáticos es todo menos precario. La mayor parte de los mismos conocentanto sus propios escritos como los económico-literarios, aumentando constan-temente el número de loe que habitan ese precario "refugio".

440 TEMAS V POLÉMICAS IR. E. P., VI, 2

de Matemáticas en su educación1? ¿Por qué los editores de las re-vistas reciben cada día mayor número de artículos escritos, al me-nos parcialmente, en términos simbólicos? ¿Por qué la fronteraentre los economistas matemáticos y los teóricos económicos gene-rales se delimita cada vez más. vaga e imprecisa? Como buen se-guidor de Darwin, creo que todo esto no es casual. Sospecho quesucede así porque una parte importante, y que aumenta sin cesar,do lo interesante y valioso en Teoría Económica, durante loa últi-mos veinte años (y más lejos aún si nos remontamos a Jevons,Marshall, Wicksteed, Wicksell, etc.), ha sido escrita por teóricosquo han empicado las matemáticas. Si las técnicas matemáticas si-guen contribuyendo en el futuro a producir buena economía, lamayoría de la gente interesada en Teoría Económica aprenderá, enlo sucesivo, algunas matemáticas (11). (Dicho sea de paso, ¿es laTeoría lo que realmente Noyick deplora?)

¿Y qué opinar de la acusación de que gran parte de la Econo-mía matemática es meramente trivial? Ello eg cierto. Todos loseconomistas que aprenden cálculo comprueban que este poderosoinstrumento ofrece soluciones notoriamente sencillas cuando seaplica a problemas fáciles. Pero la trivialidad es un fallo univer-sal; se puede ser trivial en cualquier idioma, como lo demuestrauna simple ojeada a las revistas científicas. El remedio contra elloes la fortaleza de carácter; no el atraso tecnológico. Los problemasdeben dictar los métodos; no viceversa. Aparte de que cuando elconocimiento de las Matemáticas elementales se extienda desapa-recerá la mayor dificultad.

En ocasiones se abusa del empleo de las matemáticas intentan-do dar un contenido económico impropio o inexistente a demos-traciones puramente matemáticas. Más frecuentemente, el procesoes el siguiente: la intuición económica me dice que algo es verdad;¿cómo puedo descubrir su certidumbre y probarla? En todo caso,es fácil para un lector experto distinguir una clase de Economíamatemática de la otra.

(11) He considerado y rechazado otra respuesta a estas cuestiones, es de-cir, que existe una ley de Cresham según la cual la economía mala (matemática)expulsa a la buena (literaria). La ley de Cresham depende del hecho que lagente atesora la moneda infravalorada. No eetá probado que fascinantes ideaseconómico-literarias inéditas se almacenen en las arcas de la profesión.

MWO-ACOSTO 1955J UNA DISCUSIÓN SOBHE KL MSTODO... "Wl

Finalmentr, se oye muchas vece» esta pregunta: ¿Han llegadodemasiado lejos I09 economistas en el empleo de las Matemáticas?Como sí las Matemática* fuesen la ginebra en el Martini de la Eco-nomía. La única prueba es el sabor y fuerza del resultado, su con-tenido económico; no la proporción de los ingredientes. Sobre estola profesión (o selección natural «le la oferta y la demanda) serála que juzgue.

VII

LAS MATEMÁTICAS EN LAS CIENCIAS SOCIALES

(UN CATECISMO)

Robert Dorftnnn

La mejor manera de comentar el artículo de Novick es some-terme yo mismo a un breve catecismo y comparar mis respuestascon las que se hallan, explícitas o implícitas, en la argumentaciónde Novick.

¿Qué son las Matemáticas? Es una presunción en un economistael intentar responder a esta pregunta; pero, para seguir la contro-versia, sostengo que las Matemáticas 6on la técnica de expresarrelaciones normalmente mediante símbolos, de manera que se ma-nifiesto su estructura formal, y entonces, aprovechándose del cono-cimiento previo de las propiedades de tale» estructuras formales,revolar relaciones ulteriores que no son evidentes inmediatamente.La ventaja de este procedimiento es su enorme economía. Conside-remos, por ejemplo, la distinción entre productividad marginal yproductividad marginal neta, que preocupa a J. B. Clark y a J. Ro-binson, entre otros. Es posible probar "ab initio" que estos dosconceptos son idénticos (J. Robinson Jo hizo asi); se ahorra ungran esfuerzo sabiendo que el problema se refiere a las relacionesentre ciertas derivadas totales y parciales, que se pusieron de ma-nifiesto hace varias generaciones.

La mejor clave para la respuesta de Novick. está contenida enla frase "es tiempo de que apreciemos la diferencia entre las Ma-temáticas como lenguaje y las Matemáticas como un método cuan-

442 TEMAS Y POLÉMICAS' [R. E . P n VI , 2

titativo...". Novick parece opinar que existen dos clases de Mate-máticas: una, puramente lingüistica, y la otra que quizás corres-ponde al concepto que he propuesto. El viejo aforismo de que "lasMatemáticas eon un lenguaje" yace bajo su argumentación. Estamáxima es, en el mejor de los casos, sólo una verdad a medias; laparte verdadera es que las Matemáticas tienen un lenguaje, y queel primer paso al "elaborar Matemáticas" es traducir conceptos nomatemáticos a ese lenguaje. También, como idioma, cumplen lasMatemáticas un servicio. Todos los que conocen varios idiomassaben que, por ejemplo, hay expresiones que tienen sentido enfrancés, pero no en inglés, y viceversa. Igualmente existen cosasquo se pueden decir en Economía literaria, pero que escapan a laformulación matemática. Sin embargo, muchos economistas olvi-dan la inversa: que hay cosas que se pueden expresar en Mate-máticas, pero que no se pueden parafrasear, con una exactitudaceptable, en lenguaje ordinario. Recordemos, por ejemplo, estavieja cuestión: ¿es el coste marginal el coste de la última unidadproducida, o de la primera no producida?

Lag Matemáticas no son ni un lenguaje ni un método cuantita-tivo, sino una rama de la lógica. No eé exactamente cómo distin-guirla del resto de la lógica, y mi definición, aparte de la observa-ción sobre los símbolos, serviría tanto para la lógica como paralas Matemáticas. La nota distintiva de las Matemáticas se encuen-tra, probablemente, en la cantidad de conocimiento que se ha acu-mulado sobre ciertos tipos de relaciones formales.

¿Las teorías científicas se prueban, o no mediante las Matemá-ticas o la Estadística?

La primera pregunta se hallaba en el campo matemático; ahoraentramos en el dominio de la filosofía. Continuaremos con precau-ciones. La situación parece ser que las teorías científicas no seprueban nunca, pero que, lo mismo las Matemáticas como la Esta-dística, ofrecen criterios para la aceptación provisional de las teo-rías, con las finalidades y en el momento que son aceptadas. Elcriterio matemático consiste en que si dos teorías 6on lógicamentecontradictorias no pueden ser aceptadas ambas, o lo que es lo mis-mo, si se acepta una teoría, deben serlo todas sus implicacioneslógicas. Según el criterio estadístico, al elegir entre varias teorías

MAYO-ACOSTO 1935] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 443

internamente consistentes, se aceptará la que prediga con más éxitolos fenómenos observados.

Dos de los párrafos de Novick Be refieren a esta cuestión. Lariqueza de Jas Ciencias Sociales se deriva, principalmente, del es-timulo al pensamiento originado por el hecho de que pocos o nin-guno de los teoremas utilizados son susceptibles de prueba absolutay, por consiguiente, no pueden ser aceptados sin discusión. Estafuente de riqueza, ¡ay!, está abierta a todas las ciencias; ningunase halla paralizada por la desventura de la prueba absoluta.

El segundo párrafo importante es: "Las Matemáticas se utilizanprincipalmente en las ciencias sociales, como en la Química o Fí-sica teórica, y no como se aplican en la mecánica e ingenieríacorrientes los resultados matemáticos de la teoría, probados por laEstadística en Física y Química." Así, pues, Novick sostiene quelas teorías pueden probarse; y es más, mediante la Estadística.Aludiré brevemente a las razones por las que rechazo estos puntosde vista. En primer lugar, el acuerdo entre la observación y lateoría nunca es perfecto. Queda ciempre la posibilidad de que sedescubra una nueva teoría que implique menos discrepancias quecualquier otra ya aceptada. En segundo lugar, el criterio estadís-tico no es el único que debe satisfacer una teoría, puesto que laconsistencia interna y con otras teorías aceptadas,, no puede com-probarse mediante la Estadística. Una teoría puede ser suplantadapor otra cuyo poder de predicción no es mayor, pero que sus im-plicaciones lógicas comprendan un sector más amplio del fenómeno.En tercer lugar, las observaciones no determinan únicamente unateoría. Por ejemplo, tanto las teorías cíclicas del gubconsumo comodel exceso de consumo, son consistentes, con los mismos datos. Alevaluar una teoría, la Estadística y las Matemáticas se complemen-tan mutuamente; la primera, comprobando su relevancia empíri-ca, y la segunda, su aceptabilidad lógica y su generalidad. No po-demos esperar a la prueba.

¿Es el papel de las Matemáticas diferente en las ciencias socia-les, en las ciencias físicas y en la ingeniería?

No lo es. En todos los casos las Matemáticas se usan para sacara la luz las relaciones implícitas en los postulados que han servidocomo punto de partida. A juzgar por el último párrafo que he ci-

444 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P.. VI , 2

tado, Novick sostiene que el papel de las Matemáticas en la inge-niería es diferente al que desempeña en las ciencias físicas; que eupapel en la Economía es análogo al que juega en las ciencias físi-cas, pero que debería ser similar al que desempeña en la ingenie-ría. Soy incapaz de apreciar esta distinción, ya que los ingenierosusan exactamente las mismas fórmulas que los físicos y losquímicos.

¿Son las Matemáticas necesarias en ¡as ciencias sociales?

< Supongo que no. Es perfectamente concebible que todos los pro-blemas so pudiesen resolver verbalmente, como es muy posiblebailar que la raíz cuadrada de 196 a 14. Pero tales métodosserían no sólo penosos, sino ineficaces. Supondrían, en efecto, re-descubrir o probar repetidamente teoremas matemáticos cada vezque surgieran en un tema nuevo. Eliminarían de la investigacióna muchos bombres que son competentes para aprender y utilizaralgunas matemáticas, pero no para rcinvcntarlas donde y cuandofuera necesario. Yo sostengo, en efecto, que las Matemáticas. sonuna necesidad práctica para la solución de muchos problemas eco-nómicos. Recordemos, por ejemplo, el complicado aparato que seprecisó para resolver el "problema de identificación", planteadopor E. J. Working en la década 1920-1930. Otro ejemplo es la teo-ría del equilibrio general. Nadie ha explorado con éxito lasimplicaciones del "bienestar", derivadas del equilibrio general, sinuna amplia aplicación de las Matemáticas. Los tratamientos super-ficiales de este problema han conducido a falacias que deberíanser extirpadas, aun a costa del esfuerzo de tener que aprenderMatemáticas.

Los físicos se han visto obligados a estudiar complicados aná-lisis, y los mismos estadísticos se hallan implicados en las altascimas de las teorías de la medida. Esto ha resultado ingrato paraaquellos físicos o estadísticos que carecían de los instrumentos exi-gidos por el progreso de 6us ciencias, pero nadie sostiene, por ello,que esos instrumentos sean inadecuados. Los economistas nos en-contramos en la misma situación. Si las Matemáticas resuelvenproblemas intratables por otros procedimientos, no hay razón paraatacar estas soluciones porque la mayoría de los profesionales nopuedan entenderlas.

MWO-ACOSTO 1955] LNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 445

Las Matemáticas son una ayuda para razonar. Si pudiésemosprescindir de ellas, todos se alegrarían mucho a la vez que exten-derían su auditorio. Pero algunos problemas importantes son de-masiado difíciles para resolverlos de otra manera. Por ello, loseconomistas debemos aprender Matemátieas.

Novick podría negar esto a duras pena9, y, sin embargo, escri-bió: "no es imposible que algún día los métodos económicos seapliquen a las ciencias económicas y sociales. Aunque ese día pare-ce remoto..." Estoy de acuerdo en que ese día está lejano, y aven-turaría, sólo como una predicción, la fecha de 1838 (Cournot).

¿Son los resultados matemáticos frecuentemente incomprensi-bles y sujetos a interpretaciones erróneas?

Desgraciadamente lo son. Esta es, desde luego, la principalacusación de Novick contra la economía matemática, y es realmenteperegrina. Yo he tenido que discutir muchas veces eobre el hechode que no puede atacarse a la Iglesia por I09 pecados de los cléri-gos, pero ésta es una de las pocas que he visto a la Iglesia conde-nada por los defectos de los laicos.

La falsa interpretación que preocupa a Novick se relacionaprincipalmente con la significación de los resultados matemáticos.Novick cree que algunos economistas consideran un teorema ma-temático como algo que se ha establecido de modo absoluto, inde-pendiente de las hipótesis. Tales economistas, si existen, debenprecaverse contra ese error. Lo que las Matemáticas permiten esapreciar, más clara y profundamente, las consecuencias de afirma-ciones que pueden ser o no ciertas.

¿Deberían los economistas matemáticos reproducir sus teoríasen forma literaria?

Novick les encarece para que lo hagan, y Marshall les da elmismo consejo. Yo disiento. Los profesionales de la economía roa-leuiáüca se hallan ya muy ocupados enfrentándose con los másduros problemas que presenta la ciencia, y es injusto imponerlesla obligación de la claridad literaria. El talento literario y mate-mático no siempre coincide en la misma persona. Es difícil mejo-rar el entendimiento mutuo mediante traductores o divulgadoresque adoptan la tarca ingrata de asimilar el contenido de las mate-máticas para reproducirlo con tolerable exactitud en el idioma

446 TEMAS Y POLÉMICAS IR. E . P. , VI , 2

corriente. La solución definitiva se encuentra en el lector profe-sional, que debe equiparse para leer lo que desea comprender.

Mi opinión es que cualquier discusión como la presente, sobrela .legitimidad de los métodos económicos en la Economía, estácondenada a ser estéril. La profesión no renunciará a poderososinstrumentos de razonamiento. El único problema real de esteasunto es una cuestión de hecho: saber si los métodos matemáti-cos tienen alguna fuerza. Que la poseen ha sido demostrado repe-tidamente por los problemas que han resuelto y por los obstáculosque el razonamiento literario no ha sido capaz de superar.

VIII

SOBRE EL EMPLEO DE LAS MATEMÁTICASEN LA ECONOMÍA

Tjalling C. Koopmans *

El Dr. Novick se ha unido al coro de exasperadas voces pro-testando do mil maneras, sin razón (12) o con ella (13) por el usocreciente del lenguaje matemático formal en el análisis estadísticoy económico, y por la especialización consiguiente. Es posible quela protesta no vaya dirigida contra el empleo de instrumentos ma-temáticos utilizados desde largo tiempo en la Economía, como larepresentación en diagramas o el cálculo sencillo. La mayor partede nosotros no hemos sido testigos de las batallas libradas sobrela utilidad de estos instrumentos, y decididas en épocas pasad ae.Ahora se discuten otros conceptos que se han introducido más re-cientemente en la Economía, tales como matrices, teoría de con-

* Debo agradecer a varios colegas de la "Cowles Commission" y, en par-ticular, al prolesor K. Arrow, de la Universidad de Stanford, «us valiosos co-mentarios al original de este escrito. La responsabilidad de los errores recaeexclusivamente sobre mi.

(12) Véase, por ejemplo, F. WAUCH, "Aplicación de recientes adelantos enMetodología » la Economía Agrícola", Journal of Farm Economics, 35 (diciem-bre de 1953).

(13) Véase J. M. CLARK, "Economistas Matemáticos y los otros: En favordel entendimiento mutuo". Economélrica, 15 (abril, 1947).

MAYO-ACOSTÓ 19551 UNA DISCUSIÓN SOBRE El. MÉTODO... 447

juntos, ecuaciones de diferencias, procesos estocásticos, inferenciaestadística y el método axiomático.

Existe una similitud notable entre la situación actual de laEconomía y la que surgió en la Física después de 1930. El usointensivo de la teoría de matrices y de Ja teorja de conjuntos,por los que elaboraban la mecánica del" quantum", dio lugar afuertes protestas por parte de los físicos experimentales generales,y hasta por algunos teóricos. Se alarmaron ante las tendenciascrecientes hacia un formalismo cuya función no estaba clara to-talmente, ni siquiera para los creadores de las nuevas teorías. Sinembargo, ese clamor de entonces ha desaparecido, y la mecánicadel "quantum" se lía convertido en una parte fructífera de la teoríafísica. El adelanto de la Física sobre las ciencias y las artes poli-liras y sociales es hoy la mayor amenaza a la civilización contem-poránea.

Nada hay en las dificultades actuales de entendimiento entrelos economistas matemáticos y no matemáticos —manifestadas tan-to por el contenido como por el tono emocional de los comentariosdel Dr. Novick— que no curará el tiempo y el esfuerzo. Casi todolo que conviene decir sobre estas cuestiones fue ya expuesto elo-cuente y agudamente por los profesores Samuelson (14) y Sti-gler (15). Otra discusión igualmente interesante, por el profesorAliáis (16), apareció quizá demasiado tarde para ser tenida encuenta por el Dr. Novick. Es una pena que el Dr. Novick no hayaaclarado su actitud ante los argumentos de Samuelson, en aquellospuntos de notoria discrepancia. Sin esta aclaración, "las Matemá-ticas como un método cuantitativo, tal como se emplea en lasciencias físicas, naturales y aplicadas", me parece todavía un caso—de verdadero éxito, por cierto— de "las Matemáticas como unlenguaje".

(14) PAUL A. SAMUELSON, "Teoría Económica y Matemática».—Una valora-ción." Papen and Proceedings, American Economic Revietv, 42 (Mayo, 1952),páginas 56-66.

(15) CEORCE J. Snci.tR, "El Método Matemático en Economía", cuarta delas Five Lectores on Economic Problema, pronunciadas en la London Scboolof Económica (Neiv York, 1950).

(16) M. ALLAIS, "La utilización del instrumento matemático en la Econo-mía". Econométrica, 22 (enero, 1954), págs. 58-71.

443 TEMAS Y POLÉMICAS (R. E. P., V I , 2

En algunas de sus afirmaciones, el Dr. Novick atribuye al ra-zonamiento matemático (cuando aplicado al mundo físico) unpoder de establecer la validez de las proposiciones, sin referirlasa un grupo de premisas. Y teme que el lector carente de estudiosde Economía matemática atribuya tales poderes a las demostracio-nes matemáticas en Economía. Pero, incluso en Algebra, Geometríao Física, el razonamiento matemático es sólo una técnica para ave-riguar las implicaciones de premisas dadas. No hay "prueba'" ma-lemática, ni de otra clase, de ninguna afirmación, excepto a par-lir de las premisas. La "prueba" sólo establece una dependenciaentro la validez de la conclusión y la validez de las premisas.

No puedo suponer que el economista medio o el científico so-cial, a quien se refiere el Dr. Novick, sea tan ingenuo. Ni he en-contrado a ningún expositor de teorías económicas matemáticasque haya pretendido impresionar a los crédulos empleando el ins-trumento al que ge imputan poderes sobrenaturales. Es verdad quemiC6tra cultura pasada y presente ofrece ejemplos numerosos deluso de símbolos esotéricos que sirven para impresionar más quepara comunicarse con los demás. (Desde las fórmula» del médicohasta el empleo del latín en las ceremonias religiosas.) Si se sos-pecha de los economistas matemáticos que incurren en tales prác-ticas, son victimas de circunstancias anormales.

Las diferencias relevantes entre las diversas ciencias mencio-nadas, residen en la naturaleza de las premisas y en la confianzaque inspiren. En las Matemáticas puras —reino de las ideas porexcelencia— vale cualquier grupo de premisas o axiomas no con-tradictorio, aunque se suele añadir la exigencia estética de la in-dependencia lógica de los axiomas. Además de esto, el factor psi-cológico del interés de la investigación influye en la elección de lasteorías matemáticas que se elaboran. Quizás un criterio más obje-tivo, adoptado últimamente por algunos, aunque no todos los ma-temáticos, es su posible importancia para aplicaciones fuera de lasMatemáticas.

En Ingeniería, Química y Física (excepto en "las fronteras delconocimiento"), se han encontrado premisas cuyas numerosas im-plicaciones han resistido con tanto éxito las pruebas de la obser-vación y la experimentación que tales premisas 9on frecuentementecalificadas como leyes de la naturaleza. En Economía descriptiva

MOO-ACOSTO 1 9 5 5 ] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 449

(dejando aparte el aspecto normativo de la Economía), las opor-tunidades para la experimentación son escasas (o inexplotadae); y,por ello, somos mucho menos afortunados en establecer las pre-misas con firmeza. Frecuentemente, premisas como la maximiza-ción de la utilidad o de los beneficios han sido adoptadas comohipótesis de trabajo sobre la base provisional de observacionesmás bien generales o introspectivas, en gran parte a causa de laimportancia de sus implicaciones si son ciertas, aunque las opor-tunidades para comprobar dichas implicaciones sean pocas.

Lo adecuado del razonamiento matemático en Economía nodepende de cuan firme o vacilantemente se establezcan las premi-sa?. Supongamos, dentro de nuestra línea argumental, que el in-tento de establecer premisas o, por lo menos, de explorar sus im-plicaciones, merece la pena, es decir, que la Economía, en símisma, tiene interés. En este caso, la justificación de la Economíamatemática depende simplemente de si los eslabones lógicos entrelas premisas básicas planteadas por los economistas, y muchas desus implicaciones observables o por otro motivo interesantes, sehan establecido más eficazmente mediante el razonamiento mate-mático que por el verbal. No es necesario insistir en el éxito delrazouamiento matemático en muchas clases de problemas importan-íes. Sin embargo, añadiré que muy recientemente se ha demostradototalmente el carácter no contradictorio de las premisas de la teo-ría del equilibrio económico en régimen de competencia, y queello se consiguió en una serie de estudios (17) empleando el ins-trumento de la topología que hasta aquí no se había utilizado enEconomía. ¿Hay alguna cuestión más básica en Ja Teoría Econó-mica contemporánea? ¿Hay algún instrumento menos conocido

117) A. WALD, "Sobre algunos sistemas de ecuaciones de la Economía ma-temática". Econométrica, 19 (octubre, 1951), págs. 368403, traducido del originalalemán in Zeilschrift jiir Notionalókonomic, 1 (1936), págs. 637-70. En algunasnotas y al final del artículo se cita literatura anterior, en alemán, por Wald yotro.'.

J. VON NELM\N>, "Un modelo de equilibrio económico general'1. Reineta o/Economic Studies, 13 (194546), págs. 1-9, traducido del original alemán enErgebnisse cines Mathematischen Kolíoquiums, vol. 81 (1937), págs. 73-83.

KENNETH J. ARROW y GERAI\D DEBRF.N, "La existencia de equilibrio para una

economía en régimen de competencia". Econométrica, 21 (julio, 1954).

29

450 TEMAS Y POLÉMICAS IR. E. P.. VI , 2

tanto para los economistas literarios como para los matemáticos?Este ejemplo, asi como los ofrecidos por Saimielsoii y Stigler,

so refieren a cuestiones de "teoría". La necesidad de las Matemá-ticas es asimismo muy considerable en el trabajo empírico. Ladificultad de estudiar intcrrelaciones complejas, que existe ya enla '^teoría", so agrava aquí por la de tener que extraer consecuen-cias sobre las relaciones de un número limitado de observacionesno experimentales, que son difíciles de crear. Sin el apoyo de laTeoría Económica y de la Estadística, gran parte de la informacióncontenida en esas observaciones no puede aplicarse a preguntasrelacionadas con los efectos de políticas económicas, para las quehacen falta respuestas.

A los pocos economistas que han invertido el tiempo y el es-fuerzo necesarios en comprender y utilizar estos instrumentos ma-temáticos y estadísticos, no les resulta práctico aceptar la peticióndel Dr. Novick de reproducir verbalmente los eslabones dn su ra-zonamiento. Habremos de confiar en que los economistas matemá-ticos dcscid)ran y corrijan sus propios errores, como se realiza enotras especialidades. No obstante, el economista general precisa deuna exposición verbal, completa y clara, de las premisas y las con-clusiones, a las que acompañarán explicaciones de los motivos delos problemas particulares considerados y de las construccionesteóricas empleadas.

En algunos casos, los creadores de las teorías económicas ma-temáticas ofrecen esas explicaciones. Otras veces prefieren uo aña-dir nada a la escueta lógica de un problema (curioía tendencia quelos matemáticos puros manifiestan más acusadamente) porqueconsideran cualquier discusión de los motivos, importancia u ob-jetivos subsiguientes, como una mezcla indeseable de elementossubjetivos. Bien sea que esta actitud refleje verdadera sabiduría ofalsa modestia, resultará, de todos modos, más eficaz, en "algunoscasos, que otras mentes actúen como intermediarias y proporcio-nen la traducción y evaluación necesaria de los estudios técnicos.Y, desdo luego, se necesita urgentemente el entendimiento mutuopara evitar la más seria consecuencia de la actual "dificultad delenguaje": los economistas tienden, más que a impresionarse, apasar por alto la significación de las aportaciones realizadas porel análisis matemático a la Economía, porque no disponen de una

MAYO-ACOSTO 1955] UNA DISCUSIÓN SOBRE EL MÉTODO... 451

verdadera oportunidad para asimilar y valorar su contenido. Cual-quier camino que se siga para comunicarse, exigirá mucho tiempo.Como cada día aumenta el número de instrumentos matemático!-,el economista matemático precisa dedicar mucho tiempo a explo-rar y aprender teorías matemáticas que no ÍC han empleado ante-riormente en Economía. Para que progrese en sus tareas necesitacomunicarse más con los matemáticos que con los economistas (18).Esto influye, inevitablemente, sobre el estilo de sus trabajos.

Probablemente, la irritación causada por estas cuestiones espasajera; como es inevitable el proceso de integración gradual delos recientes acontecimientos en Economía matemática, dentro delcauce principal de discusión económica. Este proceso puede acele-rarse si las voces de protesta concretan más. Ni el profesorJ. M. Clark ni el Dr. Novick han ordenado sus objeciones ni hanplanteado cuestiones sobre los artículos particulares que lian pro-vocado su decepción (19). Los problemas sobre la relevancia ymotivación de cualquier pieza de análisis económico conciemen eincumben a todos los economistas. Por tanto, las controversias es-pecíficas de esta clase (20) 6erán convenientes para los economis-tas matemáticos.

(18) Por este tipo de razones, discrepo, quizás con Samuelson, en un pumo.En su párrafo final, tal vez para calmar susceptibilidades y aprensiones, afirma"que la especie del economista matemático puro parece destinada a extinguir-so". Si fuera cierto lo consideraría como una pérdida. Pero no lo creo asi.Desde luego, no es verdad por lo que se refiere a la oferta. Mi confianza en )atolerancia y visión de los economistas me hace esperar que tampoco sea ciertoen lo relativo a la demanda.

Por razones similares anotaré otro desacuerdo con Sligler. Atribuye "el frj-caso del economista matemático de ofrecer esas traducciones" (es decir, lashipótesis y las conclusiones del análisis matemático en forma verbal) a perezao "snobismo", o vergüenza por la abstracción del análisis. Aunque han aparecidovarias traducciones desde que se afirmó lo anterior, la ausencia de un mayornúmero se explica por la simple consideración de que los pobres autores nece-sitan tiempo para consolidar sus avances antes de que verdaderamente puedaninvocar la realización de aportaciones valiosos. ¡Un poco de paciencia, porfavor!

(19) Ni el profesor Aliáis, en aquella parte de sus observaciones dondeseñala el abuso del formalismo matemático.

(20) Para que el editor de esta Revista (R. of E. and S.) no dude en impri-mir una llamada que pueda implicar a la Revista en más polémicas de las que

<Tl2 TEM4S Y POLÉMICAS [R. E. P., VI, 2

IX

ALGUNOS ASPECTOS PSICOLÓGICOSDE LAS MATEMÁTICAS Y LA ECONOMÍA

Paul A. Samuelson

Las Matemáticas presentan un problema psicológico para todoslos economistas de la generación actual. Cada uno afronta la si-tuación a su propio modo. Algunos elevan sus sentimientos y pasande la Teoría Económica a la Historia de las doctrinas, o... a laEconomía laboral. Oíros pasan soporíferos fines de semana ru-miando los primeros capítulos del inapreciable manual de R. G.D. AJlen; y no faltan quienes logran alcanzar un cierto equilibriopensando q:ie "las uvas están verdes".

Por supuesto que esta9 alusiones psicológicas nada tienen quever con los profundos problemas sustantivos de la metodologíacientífica. Mi opinión sobre estas cuestiones, y sobre I09 frutosprácticos de las Matemáticas, la he expresado en otro lugar (21).Efectuaré ahora algunas observaciones que pueden ofrecer interés.

desea, uña diré, con permiso de los editores de Economélrica, que la sección"Comunicaciones" (anteriormente denominada "Invitación a la Critica"), dedicha revista, está abierta, y desde luego se estableció con este propósito.

(21) Koopmans da la referencia exacta en su nota 14. Acepto su correc-ción a mi conjetura empírica de que la raza de los economistas matemáticospuros tal vez se esté extinguiendo. Añadiría también que el desacuerdo entreDorfman y yo sobre el sentido en el que las Matemática» son un lenguaje des-aparecerá en cuanto Be sepa que considero la lógica como un lenguaje, exacta-mente en el mismo sentido. No mantengo ninguna discrepancia fundamentalcon la admirable lista, confeccionada por Tinbergen, de los elementos queentran en cualquier aportación a la Economía; pero semánticamente preferiríareemplazar su contraste entre el empleo y no empleo de las Matemáticas por eldel aso de la inducción y la deducción. En mi opinión, el razonamiento ma-temático es de la misma naturaleza que todos los razonamientos lógicos, ya seexprese la lógica por medio de palabras, diagramas de Euler, o símbolos. Estoplantea otra cuestión tratada por Tinbergen. Como no conozco el holandés, nopuedo estudiar su escrito metodológico citado; pero, por lo que indica, mepreguntaría si a los silogismos corrientes de la lógica no se les puede dar laformulación de una "ecuación simultánea'', haciéndolos formalmente idénticosa las formulaciones matemáticas convencionales.

MAYO-ACOSTO I955J UNA DISCUSIÓN SOBKE EL MÉTODO... 453

1. Se piensa que las Matemáticas es un juego de jóvenes. Esverdad que se aprenden más fácilmente en Ja juventud que enépocas más tardías. Y es históricamente cierto que los mayoreslogros en Matemáticas puras han «ido alcanzados por hombres enplena juventud. Sin embargo, he observado el hecho consoladorde que las Matemáticas "aplicadas" se emplean satisfactoriamentepor personas de edad. Pigou, E. B. Wilson y otros muchos, ofrecenejemplos de hombres que han conservado su gusto por el trabajocreador durante muchas décadas.

2. Existe una opinión, que yo compartía, de que las Matemá-ticas, cuando son puras o aplicadas a la Física, son bellas intrínse-camente, en tanto que las Matemáticas en la Economía son de unorden estético inferior. Creo que esta opinión es equivocada. Lamisma teoría ricardiana de los costes comparativos es bonita, yno dejéis que ningún "snob"' matemático os persuada de lo con-trario. Pero no quiero ser mal interpretado. Parte de la bellezade las matemáticas aplicadas depende de su aplicación a la reali-dad. Se produce mayor placer respetando las reglas del juego; yestas reglas en la Teoría Económica establecen que las creacionesdeductivas tengan relevancia empírica. ¿Quién desea victorias fá-ciles?

3. Nadie negará que algunas investigaciones matemáticas son,en Economía, más bien triviales. Se puede encontrar, por lo me-nos, una razón psicológica de ello: la idea clásicí* de que los costeso penas pasadas producen valor se extiende a la esfera creadora;por eso, si hemos trabajado mucho en alguna cosa gana en valora nuestros ojos por esa exclusiva razón, e independientemente de*U3 méritos prácticos. líe observado bastantes casos en los que uneconomista ha realizado un largo y difícil trabajo creador, hallán-dose, al final, fascinado por su logro (22).

Esto sucederá seguramente a los matemáticos flojos y deficien-

(22) He aquí un ejemplo personal. Cuando era un joven estudiante que noíabía cálculo, apreudi las reglas de Joan Robiuson, para relacionar el ingresomarginal coa el ingreso medio. A la sazón aprendía algo de geometría nnalíticay me enteré de la regla para diferenciar una sencilla potencia Xn , .le formaque escribí un polinomio general, lo diferencié penosamente para ohttner laecuación de dicha tangente y apliqué la regla geométrica de Robinson para la»

4 } t TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI, 2

tes. Parece que el remedio se encuentra en que los economistasf.ean mejores matemáticos. Pero ello no resuelve totalmente elproblema.

Porque, independientemente de las Matemáticas que se estu-dien, existe una frontera en la que todo se hace difícil: trabajandocon premisas más generales (en las que 6e abandone, por ejemplo,la hipótesis de la continuidad) se conseguirá complicar cualquierproblema. El buen juicio del teórico determinará la solución óp-tima al discernir el tratamiento que cada problema merece y quesu? lectores desearán.

Aunque es un buen consejo indicar a los economistas queuprendan más matemáticas, muchos progresarán poco, y de elloparece desprenderse que deberían apartarse totalmente de la eco-nomía matemática. Reflexiones basadas en los costos comparativoscorroboran esa conclusión. Sin embargo, disiento enérgicamente dela idea carlyleana sostenida por Colín Clark y otros; según ella,sólo las preclaras inteligencias de cada generación deberían sorteóricos económicos. Los demás deben dedicarse a la recogida dedatos para que los genios los conviertan en grandes principios. Yocreo que el conocimiento se forma con muchos sumandos, y quela historia de las doctrinas económicas enseña que el progreso sederiva de diversas e impredecibles fuentes.

4. Mi última observación psicológica parecerá, a primera vista,contraria a la anterior, en la que sostenía que el científico sufrea veces espejismos sobre el valor real de su trabajo debido al es-fuerzo que le ha costado. Razonaré ahora de forma diferente. Alfinal de un razonamiento deductivo, cuando ya comprendemos la:implicaciones de nuestras premisas y sabemos exactamente cómoconducen a diversas conclusiones y teoremas, se produce, casi inc-

rectas; al fin, después de no cometer milagrosamente ningún error algebraico,en la larga cadena del razonamiento, alcancé el resultado de d

[x p (x)] / dx p (x) x d p <x) I dx,que tiene una interpretación literaria obvia. Por supuesto que si hubiese sabidola regla más sencilla de obtener le derivada do nn producto de dos funcioneshubiese llegado inmediatamente a ese resultado, y no sólo para los polinomios,sino para todas las funciones. Pero estoy seguro que no me hubiese quedadonunca tan impresionado con el resultado, de no haberlo logrado mediante unasúbita y hermosa simplificación, después de haber sudado largo rato.

MAYO-ACOSTO 1955] I NA DISCUSIÓN SOBl'.K EL MÉTODO... 4 5 5

vitablemente cierta desilusión. "¿Esto es todo?", pensamos. "¡Cuanobvio!"

Recordemos la famosa, afirmación de Newton: "No sé lo quepareceré al mundo, pero para mi soy como un inucbacho que jue-ga en la playa y se divierte en encontrar una picdrecita más suaveo una conclia más hermosa que lo ordinario, mientras el granocéano de Ja verdad yace impenetrable ante mi."

Casi todos los comentaristas lian tomado esto como excesivamodestia, falsa o genuina. Yo no estoy de acuerdo. Creo que esuna reacción totalmente honrada y característica. Otro gran nú-mero de grandes pensadores, como Lagrange y muchos más, com-partieron sentimientos análogos. Ernst Mach, el físico, se expresaiguahnen'.o: "... todo principio general, además de lucidez, pro-duce desilu-ión. Implica desilusión cuanto que en él reconocemoshechos conocidos e incluso instintivamente percibidos mucho tiem-po antes: y lucidez, porque nos permite contemplar los mismoshechos —aunque más claros y definidos— a través de complicadasrelaciones".

¿Por qué me ocupo de este aspecto psicológico? Porque fre-cuentemente individuos con escaso bagaje matemático, entre losque se incluye Novick, consideran necesario trabajar 6obre lasconclusiones lógicas de alguna rama de la Economía matemática.Ello se puede conseguir con esfuerzo, porque es completamentecierto el dicho de que '"lo que un tonto aprende puede aprenderlootro". ¿Qué 6ucede cuando, finalmente, asimila el contenido de laTeoría? Segurameutc dirá: "¿esto es todo? Si yo, pobre de mí,con mi infinita ignorancia, lo comprendo fácilmente, ¿por quétanlo alboroto?".

Esta desilusión, explicable por las razones que acabo de descu-brir, conduce de forma natural, pero ilegítima, a la suposición deque algún charlatán ha sido cogido cometiendo un timo. En reali-dad, para los adeptos a los símbolos, no ha habido alboroto nin-guno. Por el contrario, el asunto se ha despachado de la formamás sencilla hasta alcanzar sus conclusiones, de sentido común(pues todas las consecuencias lógico-matemáticas describen única-mente implicaciones de sentido común).

Charlatanes y estudiosos poseídos de sí mismos abundan entodos les campos. Pero nadie que estudie •seriamente las tensiones

456 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI, 2

psicológicas y la tirantez existente entre los economistas literariosy los matemáticos, las atribuirá a profesionales de segundo ordenquo especulan con los símbolos. Fueron Cournot, Walras, Edge-worth, Pareto —y también Marsliall— quienes perturbaron laexistencia de la generación más antigua de economistas. Y hoy sonPigou, Hicks, Hotelling, Koopmans, Frisch —¿para qué chai-mas?— los que plantean graves problemas a los estudiantes. Sólosi so acepta la opinión de Novick —que toda la obra de ellos liasido trivial— se considerará de importancia la cuestión del char-latanismo. El problema verdadero es mucho más profundo, y creoque persistirá durante largo tiempo.

UN COMENTARIO DEL EDITOR

Deseo, ante todo, expresar mi agradecimiento a los que han con-tribuido a esta controversia (y especialmente al profesor Sainuclsonpor su ayuda editorial), quienes han arrojado luz sobre el asuntodo la Economía matemática, no sólo para los lectores, sino también[•ara el editor, que se encuentra entre el deseo de publicar aporta-ciones al conocimiento, aunque no las comprenda, y la obligacióndo contar con sus suscriptores, la gran mayoría de los cuales noestán capacitados para Jeer Economía niatemática.

He aquí una cuestión editorial de difícil respuesta: ¿cuántosy qué artículos matemáticos debería aceptar el editor? Esta dudaaumenta ante las contestaciones dadas en el informe de Bowen(por profesores de escuelas graduadas) en relación con la capacidadactual de lo» candidatos a Doctores, para utilizar Matemáticas enel análisis económico. Las proporciones fueron: buena, 2 por 100;aceptable, 41 por 100; deficiente, 44 por 100; iucierta, 7 por 100;sin respuesta, 6 por 100; y los conocimientos matemáticos de losaspirantes a grados de licenciatura (master of arts) es menor, ymenor también la de los estudiantes antiguos en comparación conlos actuales (23). El hecho es que, en los último-; veinticinco aúor,las instituciones de enseñanza superior de Estados Unidos y Canadáhan expedido casi 4.000 títulos de doctor en Economía (300 por

(23) H. R. BOWEN, "La educación superior en Economía", A. E. R., XI.III(Febrero, 1953), pág. 134.

MAYO-ACOSTO 1935] l̂ NA DISCUSIÓN SOBIIE EL MÉTODO... 457

año, desde 1945-1946 al 1950-1951), y deben de existir otros 500a 1.000 doctores en activo. Se aprecia claramente que, a pesar delmayor interés que despiertan hoy las Matemática?, transcurrirámucho tiempo antes de que la mitad de los economistas sean ca-paces de comprender lo que se publica, por ejemplo, en "Econo-metrica'". Tanto los profesores como los estudiantes, 6egún se des-prende del informe Bowcn, se percatan de las necesidades y sehallan igualmente confusos respecto a la solución. Que la escasapreparación matemática es un viejo problema para los economis-tas lo demuestra el hecho de que durante un período de sesenta ycinco años, sólo un presidente de la Asociación Económica Ameri-cana (Fisher) fue un matemático competente. Tiene también in-terés que, según el informe de Bowen, sólo el 9 por 100 de los pro-fesores de escuelas graduadas sostienen que la Economía matemá-tica o la Econométrica se hallan infraestimadas.

Las colaboraciones aquí recogidas revelan que los economistasmatemáticos tienen una gran fe en la potencia de las Matemáticascomo instrumento aplicable a la Economía. Su deseo y hasta an-siedad por exponer su caso es, en sí mismo, sintomático. No hanmostrado el mismo entusiasmo los economistas literarios, quizásporque, como Pigou, creen que "las objeciones de persona* queno saben Matemáticas son como objeciones a la literatura chinade quienes no pueden leer chino...". Hasta alguien, tan poco cono-i-edor de las Matemáticas como el que esto escribe, se ha impresio-nado al conocer las aportaciones que pueden realizarse gracias alempleo de las Matemáticas (24).

Como editor, invito a los colaboradores potenciales que utilizanMatemáticas que examinen las siguientes conclusiones que parecendesprenderse de todo lo dicho.

1. El economista matemático tiene la responsabilidad de que.su exposición sea inteligible para sus lectores.—El profesor Tinher-

(24) Por ejemplo, SAMUELSON, sobre la interacción de los principios delmultiplicador y de la aceleración; DOMAR, sobre la relación entre el creci-miento de la deuda pública, la renta y los rostos de financiación; LEONTIEF, sobreel análisis input-output; TI.MJERGEN, sobre las elasticidades tic la demanda. Véaseespecialmente el brillante ensayo de LEONTIEF, "Las Matemáticas en la Econo-mía", ñullelin o/ the American Malhemntical Society (1954).

458 TEMAS Y POLÉMICAS IR. E. P., VI , 2

gen (y otros) recomienda que, al menos las hipótesis y las conclu-siones, se pongan en forma comprensible para les no matemáticos,y también que se utilicen ejemplos sencillos, siempre que sea po-sible. Pero Tinbergcn demuestra que no es siempre práctico tra-ducir un razonamiento a lenguaje no matemático. (En este punto,Tinbergen discrepa de Marshall, buen matemático a la par queeconomista, porque Marshall destruiría las Matemáticas que nopueden traducirse para el lector no matemático. Aquí, Marshallparece más próximo a Novick que, por ejemplo, Dorfinan, quienconsidera a las Matemáticas no solamente como un lenguaje, sinotambién como una "Técnica para expresar relaciones").

Los profesores Koopmaas y Solow parecen menos preocupadospor la responsabilidad de lograr un buen entendimiento: "... pre-fieren (los economistas matemáticos) no añadir nada a la escuetalógica de su problema (curiosa tendencia que los matemáticospuros manifiestan más acusadamente) porque consideran cualquierdiscusión de los motivos, importancia y objetivos subsiguientes,como lina mezcla indeseable de elementos subjetivos". (Koopmans.)

2. El economista no matemático debe confiar en el matemá-tico i¡ara el descubrimiento de posibles errores.—Esto es inevita-ble, ya que la mayor parte de los economistas no saben Matemáti-cas. Los errores no son monopolio de los economistas matemáticoso no matemáticos. Cuanto menos personas capaces de comprenderhaya, es decir, cuanto más esotérica sea una materia, mayor seráel peligro de que no se descubran los errores. Tal vez esto explicapor qué no se descubrió durante muchos años uno cometido por«m íamoso matemático (¿Coumot?) cuando probó la convenienciadel proteccionismo (¿o era el comercio libre?), y, a causa de undesliz matemático, había demostrado precisamente lo contrario.

3. El economista matemático tiene otras responsabilidades.—Como dico Tinbergen, debería empezar con ejemplos sencillos y,sobre todo, no abusar de sus matemáticas. "Si el análisis ea efec-tuado por personas demasiado entusiastas de las Matemáticas pue-den o bien desandar esas funciones (que requieren un tratamientono matemático) o aceptar ciertas hipótesis básicas porque seanfácilmente tratables matemáticamente. Si haciendo esto escogenhipótesis irreales no rinden ningún servicio a la Economía."

MAYO-ACOSTO 1 9 5 5 ] UNA DISCUSIÓN SOBRE El. MÉTODO... 459

4. El economista debe aprender Matemáticas.—Este es un buenconsejo. Pero aquí se presentan problemas casi insolubles, comolia demostrado el informe de Bowen. Desde un punto de vistapráctico, parece aceptable la solución que ofrece el informe Bowen,según el cual deberían existir tres tipos de economistas: a), eco-nomistas (o matemáticos) preparados para economistas matemáti-cos; b), lectores matemáticos, y c), por lo nieno?, conocedores deun mínimo de Matemáticas.'En la próxima generación sería menos•rrave el problema del empleo de las Matemáticas y de la transmi-sión de los resultados; pero ello no soluciona suficientemente lasituación actual.

5. El empleo de las Matemáticas es conveniente también confines ahorrativos.—De espacio, si. No estoy seguro de que resultesiempre más barato el coste de imprenta, y dudo que 6e economicetiempo, excepto por los que poseen una enorme preparación ma-temática. Alfredo Marshall dijo en una ocasión: "Parece dudosoque se emplee bien el tiempo en la lectura de largos textos eeonó-?nicos expresados matemáticamente si no han sido elaborados poruno mismo" (25).

Por último, es lástima que el Dr. Novick no baya recibido apoyode los no matemáticos. Desgraciadamente, puede recibir poca ayu-da del que esto escribe; pero pueden interesar a algunos las opi-niones de Marshall, Keyncs y Pigou, economistas que ciertamenteno ignoran las Matemáticas (26).

Para Marshall, las Matemáticas eran un lenguaje taquigráficomás que una máquina de investigación. El profesor Samuelson mehace notar que Marshall empleaba las Matemáticas para sus in-vestigaciones en privado, pero no públicamente, es decir, no secomunicaba con los demás a través de las Matemáticas. En 1906escribió "que de un buen teorema matemático que utilice hipóte-sis económicas es muy improbable que salga buena Economía", ydijo a Fay que "esta parte de la Economía se halla ahora muysobrecargada". En su revista (recensión) de Edgeworth, manifestó

(23) J. M. KF.YNES, "Essays in Biography", pág. 193.(26) Véase especialmente: A. C. Picou (cd), "Meraorials of Alfred Mars-

hall" y "Alfred Marshall and Curren! Thought"; J. M. KEYMES: 1), "Essays inBiography"; 2), sobre "Jevons en el Journal of Roynl Statistical Sociely" (1936),y 3), "Ceneral Tbeory of F.mploymeni, Interest aud Money".

460 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI , 2

un gran temor de que dicho economista fuese desbordado por susmatemáticas.

Según Pigou, Marshall desconfiaba de la economía matemáticaporque en la vida real las variables son tan numerosas, y se bailanlan interrelacionada8 entre sí, que cualquier intento de plasmar-las en lenguaje matemático complicaría el problema desmensura-damente, y la omisión de las necesarias para que el problema 6eamanejable, daría lugar a una construcción irreal. Más tarde, Key-nes atacó el empleo de las Matemáticas por razones similares, y,especialmente, por su fracaso en incluir variables relevantes, ade-más do excluir las interrelacioncs entre las llamadas variablesindependientes. Pigou, concluye: "Con todo, no puedo pensar queMarshall hubiese condenado a un hombre de mentalidad mate-mática —Frank Ramsay, por ejemplo— por estudiar los problemaseconómicos reales con ayuda del aparato matemático" (27).

Volvamos a Keynes. Creo que mi distinguido colega, el profe-sor Leonticf, comete una injusticia con Keynes, cuando le atribuyela opinión de que la Economía matemática es "pura mezcolanza"(28). (La cita completa vendrá después.) ¡No es preciso sino leerlos ensayos de Keynes sobre Jevons, Ramsay y hasta Marshall, paraconvencerse de que Keynes se percataba de la importancia de lasMatemáticas. Bueno será recordar que Keynes destacó en Matemá-ticas, tanto en el colegio como en la Universidad. Abandonó elcultivo de las mismas, sólo cuando descubrió que no podría com-petir en los máximos niveles con los matemáticos de primer rango.Keynes quedó impresionado de la utilidad de las matemáticas,cuando numerosos economistas (Harrod, Hieles, Samuelson, Brycc)aclararon confusiones en su "Teoría General" y presentaron susistema nítidamente con la ayuda de las Matemáticas.

Como Marshall, Keynes creía quo se abusaba de la Economíamatemática. Ello se desprende de lo siguiente (29) :

"La economía matemática ejerce, frecuentemente, unafascinación e influencia excesivas sobre -los estudiantes

(27) A. C. Pivou, "Alfred Murshall and Curren! Thought", pág. 11.(28) "Las Matemáticas en la Economía", op. cit., pág. 215.(29) "Essays ¡n Riography", pág. 191.

UlVO-tGOSTo 195.r>J l'N* DISCUSIÓN SOBRE El. .•MKTODO... 461

que se inician en la materia sin una fuerte prepaiaciónprevia en Matemáticas. Resulta lo bastante sencilla paraser comprendida por casi todos, y, sin embargo, permiteal estudiante, en pequeña escala, saborear las delicia*de las construcciones puramente formales, a la par quecoloca en sus manos ladrillos de juguete que puedo ma-nipular él mismo; lo cual supone un nuevo atractivopara quienes no han contemplado la gigantesca arqui-tectura y los bellísimos monumentos de las matemáti-cas modernas."

Keynes, que se apoyaba en la intuición, no sobrevaloraba laimportancia de las Matemáticas (30) :

"El profesor Planck, de Berlín, famoso creador dela Teoría del Quantum, me contaba una vez que en sujuventud había pensado en estudiar Economía, ¡perole había parecido demasiado difícil! El profesor Planckpodía dominar lodo el contenido de la Economía mate-mática en pocos día?. No quería decir eso, sino que laamalgama de lógica e intuición y el vasto conocimien-to de hechos, la mayoría de los cuales son imprecisos,que se necesitan para la interpretación económica ensus formas superiores, es, sin duda alguna, extraordi-nariamente difícil para aquellos cuya principal cuali-dad radica en el poder de imaginar y perseguir hastasus últimas consecuencias las implicaciones y condicio-nes previas de hechos comparativamente sencillos, quese conocen con un alto grado de precisión."

La intuición precede al análisis, dijo Keynes interpretando aMarshall (cf. Chipinan a este respecto) (31):

"Pero fue una verdad esencial que sostuvo firmemen-te, que aquellos individuos que están dotados de ungenio especial para la materis y tienen una intuicióneconómica poderosa, acertarán con más frecuencia en

(30) Ibid, págs. 191-192.<31) Ibíd., pág. 232.

462 TEMAS Y POLÉMICAS [R. E. P., VI , 2

sus conclusiones y presunciones implícitas que en susexplicaciones y afirmaciones explícitas."

No sólo confiaba más en la intuición que en las Matemáticas,sino que criticaba el uso de pseudomatemáticas, que ocasionabanerrores (32) (obsérvese, especialmente, el último párrafo de la cita):

"El objeto de nuestro análisis rio es proporcionar unamáquina o método de manejo ciego que suministrarauna respuesta infalible, sino proveernos de un métodoorganizado y ordenado para pensar sobre problemasparticulares: y después de que hayamos alcanzado unaconclusión provisional aislando I03 factores uno a uno,tenemos entonces que volver sobre nosotros mismos ydescubrir, dentro de lo posible, las probables interac-ciones que existan entre los mismos factores. Esta esla naturaleza del pensamiento económico. Cualquierotro modo de aplicar nuestros principios formales depensamiento (sin los cuales nos perderíamos en la sel-va) nos llevará a error. Es un gran defecto de los mé-todos simbólicos pseudomatemáticospara formalizar unsistema de análisis matemático, el que expresamente su-pongan una estricta indej>endencia entre los factores,perdiendo toda su fuerza lógica y autoridad si esta hi-pótesis es desechada; mientras en el razonamiento or-dinario donde no operamos ciegamente, sino que sa-bemos todo el tiempo lo que hacemos y lo que laspalabras significan, podemos mantener las necesariasreservas y cualificaciones, así como los reajustes quedebemos efectuar má3 tarde, en tanto que las compli-cadas diferenciales parciales no pueden "cualificar" va-rias páginas de álgebra. Una parte excesiva de la Eco-nomía matemática reciente es simple mezcolanza, tanimprecisa como las hipótesis iniciales sobre las que des-cansa, que hacen perder al autor visión de las comple-jidades e interdependencia del mundo real, en un la-berinto de símbolos pretenciosos e inútiles."

(32) "The General Theory of Employment, Intcrest ;:nd Money", pág. 297.

MAYO-ACOSTO 19551 UN* DlSCliSION SOBIIE F.L MF.TOOO... 463

Keynes quería liacer de la Economía, sobre todo, un instrumen-to útil para remediar las enfermedades económicas; y parecía opi-ncr —como muchos de los que han colaborado a la polémica quenos ocupa se quejan de la mala distribución de los recursos entreel trabajo técnico y el empírico— que se concede demasiado tiempoa la Economía matemática, muy alejada de las exigencias "de lavida; descuidando, en cambio, la comunicación entre los econo-mistas.

En resumen: este editor espera que el economista matemáticotendrá presente el hecho de que, aun cuando el aprendizaje de lasmatemáticas disminuirá la gravedad del problema, actualmentesólo el 10 por 100 de los lectores de la revista económica media, enEstados Unidos y Canadá, comprende la Economía matemática(excluyo a los lectores do "Econométrica" c incluso del "Journal ofiho American Statistical Association"). De donde se infiere queel problema del entendimiento entre los economistas sigue siendoserio. Por consiguiente, el economista matemático tiene la respon-sabilidad de comunicar sus resultados al no matemático; y no debeabusar de las Matemáticas, tanto al elegir los problemas como altratarlos.

Los demás deberemos, siempre que s>ca posible, aprender Mate-máticas. Las desventajas de los economistas que no las poseen tien-den a aumentar.

Terminaré citando la opinión publicada por Harrod y Ro-binson, editores del "Econoniic Journal" (33):

"Consideramos tan inevitable como conveniente queen algunos casos los autores deseen presentar su trabajomatemático. Pero creemos que muchos de nuestro? lec-tores lamentan el reciente aumento de la barrera lin-güística entre ellos y tales autores. Al elegir los artícu-los, los editores deben tener en cuenta la difusión quecabo esperar alcance el artículo, y den alguna preferenciaen cada número a los autores cuyos escritos sean inteli-gibles para una proporción razonable de nuestros lecto-res-. Sugerimos que los autores eviten el empleo de Ma-

(33) Marzo, 1954, págs. 1-2.

461 'I KM AS Y I'OI.EMIC\S [R. E. P., VI, 2

temáticas superiores, excepto donde sea necesario paraofrecer una prueba rigurosa, o cuando la naturaleza delasunto irremisiblemente lo requiera. En todos los casos,los autores deberían —sugerimos también— exponer,tanto sus hipótesis como sus conclusiones, en lenguajeeconómico ordinario, y siempre que sea factible repro-ducir en tales términos los principales eslabones de susrazonamientos."