temas y errores comunes que han provocado baja en...
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Temas y errores comunes que han provocado baja en el desempeño
matemático de los alumnos de primer ingreso a la Universidad
Investigación sobre la Educación Superior
Resumen
De 2003 a la fecha los conocimientos matemáticos en los exámenes de
ubicación de los alumnos universitarios de primer ingreso han bajado
significativamente. Se determinan los temas y los errores algebraicos más
comunes con base en el análisis de cada uno de los reactivos, proponiendo
estrategias para solventar estas deficiencias.
Justificación
Año tras año nuevos alumnos de diferentes centros educativos ingresan a la
Universidad. Estos alumnos son producto de un mismo programa educativo el
cual, a lo largo de los años, se ha modificado buscando que los alumnos salgan
mejor preparados. Pero la realidad es que los alumnos presentan cada vez
más dificultades en el área de matemáticas.
En la universidad hay una alta incidencia de reprobación en las materias de
Álgebra y de Cálculo Diferencial y alta deserción a causa de las materias
numéricas. Se ha visto la necesidad de abrir nuevos grupos de regularización
para los alumnos de primer ingreso, siendo este estudio la base para
determinar los temas y las áreas en las que los alumnos requieren de mayor
apoyo.
Surge entonces una pregunta: ¿cuál es el nivel de matemáticas de los alumnos
cuando entran a la universidad?
En todas las carreras de Ciencias Económicas y Administrativas, se aplica a los
alumnos de primer ingreso a la universidad un examen de ubicación de
matemáticas, resultando preocupante, el notar que, el promedio en el examen
ha bajado significativamente a lo largo de los años 2003-2011 como se ilustra
en la figura 1.
Como se puede observar en la figura 1 el promedio de las Carreras de Ciencias
Empresariales y Administrativas muestra una tendencia a la baja aunque en los
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años 2005 y 2010 se presentan ligeros repuntes. En el año 2007 no se realizó
el examen de ubicación, por lo cual en la figura 1 no se presentan datos.
Figura. 1 Relación de promedios de 2003 a 2011
De 2003 en adelante el primer cambio significativo en los promedios del
examen de ubicación se encontró tres años después en 2006 con una
probabilidad de 0.017 (F=5.683). Partiendo 2006, el siguiente cambio
significativo se vuelve a encontrar tres años después con una probabilidad de
0.0041 (F=8.3144). Del 2009 al 2011 el cambio no es significativo aunque se
nota una ligera baja en el promedio de 2011.
Ya que en 2011 se tiene el promedio más bajo y el estudio inició en 2003, éstos
años serán representativos para la presente investigación. En la comparación
de medias, el cambio de 2003 a 2011 fue muy significativo (las varianzas de
estos años son estadísticamente diferentes, y en la prueba t de comparación
de medias se obtuvo un valor de t= 5.945 y un valor de probabilidad a una cola
de 2.36 x 10 -9).
Debido al cambio muy significativo a la baja en los promedios de 2003 a 2011,
y que el examen de ubicación ha permanecido sin modificaciones a lo largo de
los años, surge en los investigadores la inquietud de analizar cada uno de los
42 reactivos del examen de ubicación de matemáticas, para detectar los temas
en los cuales se presentan más dificultades, así como las concepciones
2003 2004 2005 2006 2008 2009 2010 2011
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erróneas comunes a las que podrían deberse los cambios a la baja en los
porcentajes de acierto.
Palabras clave
Conocimiento Matemático, Examen de Ubicación de Matemáticas, Alumnos
Universitarios, Errores Algebraicos y Análisis de Reactivos
METODOLOGÍA
1. Planteamiento
A) Objetivo
El objetivo primordial de este estudio es detectar y profundizar en las
problemáticas y deficiencias en conocimientos y habilidades matemáticas que
tienen los alumnos de primer ingreso a la universidad, por lo cual se realiza el
análisis de los cambios significativos en cada reactivo del examen de
ubicación, siendo de especial interés aquellos en los cuales los cambios
significativos fueron a la baja, ya que si hubo un cambio significativo a la baja
en los promedios de los exámenes de ubicación 2003 y 2011, esto se debe
reflejar en cambios significativos en algunos reactivos. El determinar temas o
reactivos en que los alumnos han disminuido su desempeño no sería una
interpretación satisfactoria a los resultados encontrados, por lo cual se tratará
de analizar muy brevemente cuáles pudieron haber sido las posibles causas de
concepciones erróneas, con la finalidad de que los hallazgos de esta
investigación sean aprovechables para otras instituciones.
B) Preguntas de investigación:
Las tres preguntas a las que se tratará de dar respuesta en esta investigación
son:
1. ¿Cómo ha cambiado el porcentaje de acierto en cada uno de los 42
reactivos del examen de ubicación, en 2003 y 2011?
2. ¿En qué temas se presentan dificultades mayores en 2011 que en
2003?
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3. ¿Cuáles son las concepciones erróneas que se presentan con mayor
frecuencia en 2011 que en 2003?
C) Hipótesis:
Tanto para la justificación como para la respuesta a la primera pregunta de
investigación de cómo ha cambiado el porcentaje de acierto en cada uno de los
42 reactivos, se utilizó una investigación cuantitativa, en la cual se hace un
contraste de medias. Las respuestas a las dos siguientes preguntas de
investigación son de carácter cualitativo, analizando a qué temas y
concepciones erróneas se debe que en 2011 los alumnos tengan más
dificultades que en 2003.
Para la justificación de esta investigación, se hizo un estudio preliminar sobre
los cambios significativos en los promedios del examen de ubicación de los
alumnos de primer ingreso de varios años, pero en especial de 2003 al 2011.
Ho: μ2003 = μ2011
HA: μ2003 > μ2011
Una vez realizado el estudio preliminar y con base a los resultados de cambio
estadísticamente significativo; se plantea para cada uno de los 42 reactivos del
examen de ubicación, la siguiente hipótesis:
Ho: μ2003,i= μ2011,i
HA: μ2003,i>μ2011,i
donde el subíndice representa el año e “i” representa el número del reactivo
correspondiente.
2. Marco Teórico:
En estudios como PISA (Programme for International Student Assessment) y
ENLACE (Evaluación Nacional de Logros Académicos en Centros Escolares)
se ha detectado que México presenta niveles bajos de desempeño en el área
de matemáticas. Por ejemplo, en el estudio PISA 2009, se reportó que México
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tiene un promedio de 419 puntos, que está asociado a un nivel 1 de
desempeño, que significa que, alumnos de 15 a 16 años de edad pueden
emplear algoritmos y fórmulas sólo en situaciones explícitas y sencillas.
Inclusive el 22% de los alumnos no son capaces de realizar las tareas
matemáticas elementales. Estos niveles equivaldrían a procesos matemáticos
de 3º a 4º de primaria.
La prueba ENLACE (prueba a nivel nacional) mide los procesos de
reproducción, conexión y reflexión de los contenidos matemáticos en los
diferentes ejes de conocimiento de cantidad, espacio, forma y medida, cambios
y relaciones. Esta prueba se aplica a alumnos de primaria, secundaria y
preparatoria, sin embargo, para esta investigación sólo se contemplan los
resultados del último grado de bachillerato. En 2011 el 75.3% de los alumnos
se encuentran en un nivel de dominio de habilidad matemática insuficiente y
elemental, lo cual significa que el alumno que está a punto de ingresar a la
universidad no ha rebasado el nivel básico de 1º de secundaria, con
estructuras mentales algebraicas muy simples. Sólo el 24.7% del alumnado se
encuentra en un nivel bueno y excelente, lo cual significa que es capaz de
resolver problemáticas complejas utilizando las herramientas matemáticas a su
alcance. El propósito de la prueba ENLACE es precisamente mostrar a
directivos y profesores las áreas en las que se encontraron dificultades.
Si la prueba ENLACE muestra estas deficiencias en el desempeño de las
matemáticas, es importante para las universidades conocer el nivel de
conocimiento matemático con el que ingresan sus alumnos. Soares, Inzunza &
Rousseau (2009) reportan los resultados del examen de ubicación de
matemáticas (EXUMAT 2.0) en la facultad de ingeniería en Ensenada, de la
Universidad Autónoma de Baja California. Determinaron que el nivel de los
alumnos en habilidades matemáticas se encuentra entre 2º de secundaria y el
primer semestre de preparatoria (hay que considerar que los alumnos quieren
ingresar a una carrera ingenieril).
El problema no es ajeno a universidades en otras partes del mundo. Las
universidades de Holanda están consternadas por la baja significativa en el
conocimiento y destrezas de los alumnos que entran a la universidad (Heck y
6
van Gastel; 2006). Inclusive mencionan que el hecho de tener que aplicar un
examen de diagnóstico al entrar a las universidades en Holanda es un
fenómeno que no había sido necesario anteriormente. La London Mathematical
Society (1995) menciona a su vez, que en temas como manipulación
algebraica y simplificación encuentran deficiencias serias y que ha bajado la
capacidad analítica para la resolución de problemas en los alumnos. El
Engineering Council (2000) considera que, un objetivo importante de los
exámenes de ubicación, es poder identificar a alumnos en riesgo de fracasar
en las materias matemáticas de los primeros semestres de su carrera
universitaria.
Martio (2009) investigó el conocimiento de los conceptos básicos de
matemáticas en un examen similar en los años 1981 y 2003, en alumnos que
terminaron la preparatoria, en Finlandia. Encontró que el nivel de matemáticas
había bajado durante este período. Se analizaron tanto cuestiones aritméticas
como algebraicas. En el reactivo correspondiente a la operación
, el
porcentaje de acierto en el 1981 fue de 56.5% mientras que en el 2003 fue sólo
del 28.3%. En el reactivo el porcentaje de acierto en el 1981 fue de
71.7% mientras que en el 2003 bajó al 47.3%.
En Finlandia, los alumnos al terminar la preparatoria toman un test de
“matriculación”, en el cual pueden escoger entre una prueba básica en
matemáticas y una prueba avanzada (la mayoría de los alumnos eligen la
prueba básica). Martio encontró que los porcentajes de acierto de los alumnos
que tomaban el test básico eran muy diferentes a los que decidieron tomar el
test avanzado. Por ejemplo: en el reactivo ( ) , el porcentaje
de acierto en el test básico fue de 17% mientras que en el avanzado fue de
50%. En otro reactivo √ , el porcentaje de acierto en el test básico fue
de 55% mientras que en el avanzado fue de 78%.
Las dificultades que tienen los alumnos pueden ser de muy diversa índole. Los
autores consideran que destrezas y buenas habilidades en matemáticas
permitirá a los alumnos desempeñarse mejor en cualquier materia numérica.
Se limita en este espacio la presentación y discusión breve de algunos errores
7
y sus causas que se mencionan en la literatura. La discusión de los errores
más comunes es importante para comprender posteriormente, en qué temas
los alumnos presentan más dificultades actualmente que en años anteriores, y
poder dirigir los contenidos y el plan curricular a la corrección de estas
dificultades.
1. Errores en la jerarquía de operaciones y signos de agrupación (Eccius,
2008): Toda operación algebraica o aritmética se rige por reglas de cuál es
el orden en que se debe llevar a cabo una operación. Así, operaciones
como: 4 + 5 x 3 – 2 = suelen ser realizadas equivocadamente de la manera
siguiente; 9 x 3 – 2 = 27 – 2 = 25; en donde la operación se ha realizado de
izquierda a derecha.
Los signos de agrupación rompen este orden. Alumnos en general pueden
operar muy bien, cuando los signos de agrupación son visibles, pero
presentan dificultades cuando los signos de agrupación son implícitos, es
decir, no se escriben, pero se “sabe” que se tiene que operar como si
estuvieran. Un ejemplo es: , donde no se ha considerado
que el 16 + 9 es una entidad.
En otros casos, alumnos “inventan” o parecen “ver” signos de agrupación
que no están escritos, para ellos;
4 + 5 x 3 – 2 = (4 + 5)x(3 – 2)= 9x1 = 9
Un paréntesis con un signo negativo anterior a él, implica la aplicación de la
ley distributiva, la cual a menudo sólo es aplicada por los alumnos al primer
sumando.
2. Operaciones con fracciones
Automatización de reglas de operaciones con fracciones en base
sintáctica (Padberg, 2002); no consideran opciones de simplificación, lo
cual en ocasiones lleva a operaciones aritméticas tediosas y largas con
probabilidad de error. La operación , podría realizarse
1394916
48
72
163
98
16
9
3
8
8
con más facilidad y obtener una fracción simplificada, si se aplica el
principio fundamental de las fracciones
.
3. Errores de perseverancia
Radatz (1985) refiere a los errores de perseverancia como aquellos que
se cometen, cuando una parte de la información recibida se sigue
utilizando, por ejemplo: 3 x 0 = 3
4. Errores de Concatenación:
La concatenación en expresiones aritméticas es de suma, mientras que
en el álgebra se pueden dar concatenaciones de multiplicación y suma.
3x tiene una concatenación de multiplicación, muy frecuentemente los
alumnos no llegan a entender la diferencia entre 3x y 3 + x (Nolte, 1991;
Malle, 1993).
5. Manejo del cero
Cuando se tiene la idea de que el cero “no es nada y se puede omitir”
(Tietze, 2000) o “el cero no cambia nada” (Padberg, 2005); se generan
errores como: a / 0 = a y 0 x 5 = 5.
6. Interpretación del signo de igualdad como orden de acción
Nolte (1991), Malle (1993) y Tietze (2000) encontraron errores debidos a
la interpretación del signo de igualdad como una orden a realizar una
operación. Así, una expresión como 4a + 5 = se tiene que reducir al
máximo, y el resultado equivocado es: 9a
Otros ejemplos a esta percepción del signo de igualdad son:
7. Asociaciones erróneas entre elementos del ejercicio y acciones
La captación parcial de las características de la operación, encuentra en
la memoria un esquema o procedimiento no adecuado. En la operación:
no fue analizada en sus características específicas, es
decir, no se analizó el tipo de operación a realizar (Tietze, 2000).
8. Metacognición o limitación a los esquemas producidos
Malle (1993) y Tietze (2000) hacen referencia a una falta de limitaciones
o metacognición en algunos esquemas. Por ejemplo; si la ley distributiva
baba
xx
22
33
9
no se limita a la multiplicación (división) sobre una suma (resta),
suceden errores del tipo: .
9. Frecuentemente los alumnos tienen falta de sentido de estructura
Hoch & Dreyfus (2006) analizaron los errores debido a la falta de
capacidad para interpretar estructuras similares, lo cual limita la
aplicación de reglas algebraicas como: De a
10. Repacaciones
Partes y elementos molestos se omiten o desechan (Malle, 1993), como
sucede en el caso de: √
11. Esquemas de tachado en las fracciones
Muy frecuentemente los alumnos aplican esquemas de tachado sin
analizar la estructura del término. Un ejemplo clásico es: .
Dentro de estos esquemas se generan otro tipo de errores que pueden
deberse a que en un esquema de tachado la idea es la “eliminación” y
subsecuentemente, no “queda nada” (Malle, 1993;
Tietze, 2000)
12. Sobre-generalizaciones
El esquema Δ (b ● c) = (Δ b) ● (Δ c) es válido si Δ es la operación de
radicación y ● es la operación de multiplicación; pero resulta inválido, si
la operación ● es una suma o resta, por ejemplo: √ .
Otro tipo de sobre-generalización son las linearizaciones, en las cuales,
los alumnos consideran que pueden realizar las operaciones en orden:
(Malle, 1991; Tietze, 2000).
13. Elementos neutros
Para la multiplicación y división el elemento neutro es el 1, mientras que
para la suma o resta el elemento neutro es el 0. Cuando no se asocia el
elemento neutro a la operación, se generan errores como (Tietze, 2000):
a · 0 = a y a ·1/a = 0.
64232 )( baba
2)( ba 2)32( cab
2
3
2
3
x
x
yyyx
x
2
22
222)( baba
baba
10
14. Confusión visual y percepción incompleta
Similitudes en la notación o una percepción no precisa o incompleta,
llevan a errores como: la multiplicación se confunde con la suma, la
división con la resta y la potenciación con la multiplicación. (Nolte, 1991;
Malle, 1993). 4 x 4 = 4 + 4; 25 : 5 = 25 – 5 = 20 y 23 = 2 x 3 = 6. Casi
siempre se confunde la operación a realizar con la asociada.
15. Errores que se pueden atribuir a expresiones verbales
El referirse como dos, tres a 23; el tres pierde su característica de
potencia y se convierte en 23 = 2 ·2 · 2 = 3 veces 2 = 6.
De procesos de manipulación concreta y la interpretación de las
variables como objetos, resultan errores como: x3 – x = x2 (Eccius, 2008;
Nolte, 1991 y Tietze, 2000).
16. Errores con la interpretación y comprensión de la estructura de los términos
Expresiones algebraicas como: , suelen ser simplificadas con
esquemas de tachado como: , en la cual se interpreta, que x+y
es una entidad (Malle, 1993).
17. Origen en fases de aprendizaje anteriores
Procesos de simplificación con coeficientes se aplican a las potencias,
debido a que las potencias se interpretan en una fracción como
coeficientes: (Shevarev en Malle, 1993).
18. Errores al no diferenciar entre ecuaciones y expresiones algebraicas.
Frecuentemente los alumnos cometen dos tipos de errores, al no
comprender del todo, el significado de una expresión algebraica y su
diferencia con una ecuación. Suelen, por ejemplo, cuando se les pide
una factorización de una expresión algebraica, factorizar e igualar a
cero, obteniendo valores para las variables. El otro error común es dividir
una expresión algebraica arbitrariamente entre un valor, o radicar una
expresión algebraica, para que “se vea más sencilla”.
cyx
yx
cyx
yx
53
64
106
128
ba
ba
ba
ba
11
3. Desarrollo Metodológico:
Con base en el objetivo primordial de este estudio se establece la siguiente
metodología.
El examen de ubicación de matemáticas (ver anexo I) se ha estado aplicando
cada año (con excepción de 2007) a los alumnos de primer ingreso a la
universidad a las carreras de Ciencias Económicas y Administrativas. El
examen no ha sido modificado, lo cual permite hacer un estudio longitudinal
siendo de especial interés para este estudio los exámenes de los años 2003 y
2011.
El examen se aplica en la semana de inducción a la universidad, con la
finalidad de tener una idea clara de cómo están ubicados los alumnos en sus
conocimientos, habilidades y destrezas en el área de matemáticas. Se les da
una hora para contestar el examen de 42 reactivos, sin calculadora, diciéndoles
que no tiene consecuencias ni para su admisión a la universidad, ni para su
calificación posterior en el curso de álgebra.
Cada uno de los reactivos, desde su creación, fue analizado para asignarle la
habilidad o destreza matemática a la cual se refiere y las problemáticas
asociadas a otros contenidos matemáticos subyacentes. Los temas que abarca
el examen de ubicación son básicos para un buen desempeño durante su
estancia en la universidad, y corresponden a los planes de estudio oficiales de
la escuela secundaria. Incluye: jerarquía de operaciones, operaciones con
fracciones, radicales, leyes de exponentes, operaciones con monomios y
polinomios, factorización de expresiones algebraicas, simplificación de
fracciones algebraicas, resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas,
ecuaciones simultáneas, función lineal y porcentajes. Los reactivos en
ocasiones tienen una secuenciación en la cual se detecta si el alumno tiene
conocimientos básicos y posteriormente se le enfrenta a reactivos en los cuales
tiene que hacer uso de la metacognición, para discriminar entre operaciones
semejantes, pero con condiciones diferentes.
En la tabla 1 se hace referencia al número del reactivo con su tema principal y
las problemáticas asociadas. Pueden presentarse otras problemáticas distintas
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aisladas, pero se tomaron como base aquellas, que son las más frecuentes o
que se denominan errores de patrón.
Tabla 1: Número de reactivo con tema y problemáticas asociadas
No. Tema Problemática asociada
1 Jerarquía
2 Jerarquía Radicales
3 Jerarquía
4 Jerarquía Potenciación
5 Multiplicación de fracciones Simplificación
6 División de fracciones Simplificación
7 Raíz cuadrada de un número decimal Decimal entre 0 y 1
8 Raíz cuadrada de una fracción Leyes de radicales
9 Raíz cúbica de un número negativo Raíz cuadrada
10 Radical numérico con suma Paréntesis implícitos, linearización
11 Leyes de exponentes con base 10 Exponentes positivos y negativos
12 Multiplicación de monomios algebraicos Leyes de exponentes con exponentes algebraicos
13 División de bases algebraicas con exponentes algebraicos.
Leyes de exponentes
14 Leyes de exponentes con exponentes fraccionarios
Resta de fracciones
15 Leyes de exponentes (potencia de potencia) Jerarquía
16 Leyes de radicales y exponentes Potencia de potencia
17 Leyes de exponentes con radicales Simplificación de fracciones
18 Radicales de una suma de cuadrados Signos de agrupación implícitos
19 Simplificación de monomios Leyes de exponentes
20 Reducción de términos semejantes Operaciones con cantidades con signos
21 Operaciones con monomios y polinomios Ley distributiva, signos de agrupación y reducción de términos semejantes
22 Multiplicación de un trinomio por un binomio Ley distributiva, signos de agrupación y reducción de términos semejantes
23 Radicales y jerarquía Signos de agrupación implícitos
24 Factorización de un trinomio cuadrado
perfecto Identificación del tipo de factorización
25 Factorización de un trinomio cuadrado
perfecto Identificación del tipo de factorización
26 Factorización de una expresión algebraica por factor común
Identificación del tipo de factorización
27 Factorización de una expresión algebraica
por término común ( )
Identificación del tipo de factorización
28 Doble factorización, factor común y diferencia de cuadrados
Identificación del tipo de factorización
29 Simplificación de una fracción algebraica, que consta de factores en el numerador y el denominador (Se puede aplicar un esquema de tachado)
Pretender realizar las operaciones de multiplicación de los factores algebraicos
30 Simplificación de una fracción algebraica, donde se requiere factorizar el numerador para poder simplificar.
Factorización y concepto de factor, automatización de esquemas de tachado.
31 Fracción algebraica no simplificable Automatización de esquemas de tachado , propiedad distributiva, reducción de términos semejantes
32 Resta de fracciones algebraicas, con denominadores diferentes
Común denominador, reducción de términos semejantes, propiedad distributiva
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33 Solución de una ecuación lineal Propiedad distributiva , reducción de términos semejantes, signos de agrupación, operaciones inherentes a la resolución de ecuaciones
34 Solución de una ecuación lineal Fracciones, automatización de “pasar” multiplicando cuando no es posible
35 Solución de una ecuación fraccionaria igualada a cero
Fracciones dan como resultado cero, cuando el numerador es cero, sin que el denominador se vuelva cero. Multiplicar ambos lados por el denominador y cometer un error de que el cero no cambia nada.
36 Resolución de una ecuación cuadráticas por
factorización
Identificación del tipo de factorización. Saber que dos factores dan como resultado cero, si un factor es cero o el otro factor es cero.
37 Resolución de una ecuación cuadrática por factorización de un factor común.
Identificación del tipo de factorización. Saber que dos factores dan como resultado cero, si un factor es cero o el otro factor es cero
38 Resolución de una ecuación cuadrática por fórmula general con valores de “a”, “ b” y “c” diferentes de cero.
Conocimiento de la fórmula general para resolución de ecuaciones cuadráticas y sustitución correcta de los valores
39 Resolución de una ecuación cuadrática por fórmula general con valores de “a” y “c” diferentes de cero.
Conocimiento de la fórmula general para resolución de ecuaciones cuadráticas y sustitución correcta de los valores
40 Resolución de un sistema de ecuaciones simultáneas 2 x 2
Si se resolvió gráficamente: Gráfica de las rectas, intersección entre rectas Si se resolvió por métodos algebraicos: No recordar los métodos algebraicos, interpretación de la solución como un par ordenado de valores “x” y “y”.
41 Gráfica de una función lineal: y = mx + b Concepto de pendiente y ordenada al origen Por tabulación: error en la sustitución de valores de “x”.
42 Problema del valor de un bien, con IVA desglosado
Porcentajes Identificación de la cantidad desconocida como el 100%
Como lo indica la justificación, se han dado cambios significativos alrededor de
cada 3 años, empezando en el 2003, y la prueba estadística de comparación
de medias entre 2003 y 2011 fue muy significativa. Se llega a la conclusión, de
que estos cambios tienen que deberse a cambios significativos en varios
reactivos. En el año de 2003 se capturaron las respuestas de 303 alumnos de
primer ingreso y en el año de 2011, las de 311 alumnos por reactivo: 0 si no
contestó o lo contestó equivocadamente; 0.5 si le faltó al alumno un último
paso, por ejemplo, simplificar una fracción; y 1 si la respuesta fue correcta.
Después se corrió, por reactivo, de todos los alumnos de primer ingreso en
2003 y 2011, un análisis de contraste de medias para saber en qué reactivos
se tenía una baja o alza significativa o muy significativa (comprobando, con
14
anterioridad, si las varianzas eran estadísticamente diferentes, con el propósito
de elegir entre una prueba F o t). La intención era poder distinguir entre
aquellos reactivos que pudieran ser la causa de la disminución en el promedio
del examen de ubicación del 2003 al 2011.
Sabiendo cuáles son los reactivos con cambios a la baja muy significativos, se
pudieron establecer los temas matemáticos en los cuales los alumnos del 2011
presentan mayor dificultad que los del 2003. Para tener una visión un poco más
clara sobre el tipo de errores, se procedió a analizar cualitativamente las
respuestas de los alumnos en los exámenes de ubicación. En los resultados y
la discusión se comentan los errores más comunes que se encontraron en
aquellos reactivos con baja muy significativa.
4. Sistema de Referencias (Bibliografía)
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24.
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Czech Republic: PME.
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Obtenido el 8 de Diciembre del 2005, desde www.lms.ac.uk/policy
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Nolte, M. (1991). Strukturmomente des Unterrichts und ihre Bedeutung für das
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Padberg, F. (2002). Didaktik der Bruchrechnung, Gemeine Brüche-
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Tietze, U.P., Klika, M., Wolpers, H. (Hrsg), (2000). Mathematikunterricht in der
Sekudarstufe II, Band 1, 2. Germany: Vieweg.
APLICACIÓN E INNOVACIÓN
1. Resultados
En la tabla 2 se da respuesta simultánea a las tres preguntas de investigación.
En ella se muestran los resultados, por reactivo: en la columna de “cambio” se
distingue si el promedio entre 2003 y 2011 fue al alza o a la baja; en la columna
de “significancia” se puede analizar qué tan significativo fue el cambio. Tres
asteriscos (***) equivalen a un nivel de significancia menor que el 1%, dos
asteriscos (**) a un nivel de significancia menor al 2%, y un asterisco (*) si el
nivel de significancia es menor al 5%.
En la última columna (a manera de discusión de los resultados) “Reactivo,
tema relacionado y errores más comunes”, sólo se comentarán aquellos
16
reactivos con niveles de significancia menores al 1%, que probablemente han
aportado en mayor proporción a la baja tan significativa en el desempeño
matemático entre los años 2003 y 2011. En el inciso a) se indica el tema
relacionado y en el inciso b) el error más común encontrado en la revisión de
los procedimientos de los alumnos y entre paréntesis se encontrará la
referencia al número de error en el marco teórico.
Tabla 2. Niveles de significancia y cambios por reactivo. Temas asociados a las bajas en
desempeño
# de reactivo
Signifi-cancia Cambio Reactivo, tema relacionado y errores más comunes
1 *** Baja
42525 a) Jerarquía Matemática b)Realizar las operaciones de izquierda a derecha (1)
2 *** Baja
4332
a)Jerarquía y Radicales b) No considerar que el radical está multiplicado por un valor o ignorar el radical (10)
3 ** Alza
4 No Alza
5 *** Baja
4
9
2
14
7
8
a)Multiplicación de Fracciones b) No simplificar la fracción resultante y errores en las multiplicaciones por no simplificar con anterioridad (2)
6 No Baja
7 No Baja
8 *** Baja
9
1
a)Raíz cuadrada de un fracción numérica b)Evadir la respuesta, no quitar el signo del radical después de radicar o sólo realizar la operación 1/9, sin radicar (10)
9 ** Baja
10 *** Baja
22 34
a)Radicación de la suma de los cuadrados de dos números b)Estrategia de tachado de radicales con potencias, linearizaciones (6)(12)
17
Continuación tabla 2
11 *** Baja
2
47
10
1010
a)Leyes de exponentes b)Confusión con las características generales y específicas de la operación. Suma de todos los exponentes (7)
12 No Baja
13 No Baja
14 *** Baja
5
2
2
3
x
x
a)Leyes de exponentes en una división de bases iguales b)División de los exponentes, en vez de resta, a menudo dejando como resultado una fracción ya sin la variable (7)
15 *** Baja
24 )3( x
a)Potenciación con exponentes negativos y coeficiente negativo b)No haber potenciado el coeficiente, aplicar erróneamente las leyes de exponentes cuando se tiene un exponente negativo (“bajar” al denominador también el coeficiente)(7 y 8)
16 *** Baja
3 6 36y
a)Leyes de radicales y exponentes b)Resta de los exponentes, 36 – 6 – 3; suma de los índices de los radicales (7)
17 ** Baja
18 *** Baja
22 yx
a)Radicales de una suma de cuadrados b)Simplificación del radical con las potencias, separación de los sumandos y su radicación (6,8 y 12)
19 *** Baja
412
241
5
25
zyx
zyx
a)Simplificación de monomios, leyes de exponentes
b)No considerar en las leyes de exponentes, que algunos exponentes son negativos; resta del 25 – 5 en vez de la división (7 ,14 y 15)
20 *** Alza
21 No Alza
22 No Baja
23 *** Baja
22 yx
Este ejercicio es idéntico al reactivo 18. Se puso en el examen
de ubicación, con la intención de medir para otra investigación
la consistencia en las respuestas (6,8 y 12)
18
Continuación tabla 2
24 *** Baja
64162 zz a)Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
b)No reconocer el tipo de factorización; confundir la expresión algebraica con una ecuación y dar valores de z; errores de concatenación, como 48z (4, 6 y 9)
25 *** Baja
169 2 yy
a)Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
b)Problemas con el sentido de estructura, es decir, no reconocer el tipo de factorización, debido al 9y
2; errores de
concatenación; confundir con una ecuación y resolver la
expresión algebraica (4, 6 y 9)
26 * Baja
27 *** Baja
35122 xx a)Factorización de una expresión algebraica por término común
( )
b)Reconocer por el – 12x un trinomio cuadrado perfecto; errores de signos y de concatenación (4, 6 y 9)
28 * Baja
29 *** Baja
3
)3)(5(
x
xx
a)Simplificación de una fracción algebraica
b)Resultado de la multiplicación del numerador como x2-15, sin poder simplificar posteriormente (9 y 11)
30 *** Baja
2
)2()2(
y
yyy
a)Simplificación de una fracción algebraica
b)Aplicación equivocada del esquemas de tachado, en muy diversas formas (11 y 16)
31 No Baja
32 *** Baja
baba
23
a)Resta de fracciones algebraicas, con denominadores diferentes
b) Resta de numeradores y denominadores, no buscar un común denominador (17)
33 *** Baja
0)3()1(4)3( xxxxx
a)Solución de una ecuación lineal
b)Ley distributiva en el segundo sumando (1)
34 *** Baja
93
26
x
a)Solución de una ecuación lineal
b)”Pasar” multiplicando el 3, falta de sentido de estructura de los términos (16)
19
Continuación tabla 2
35 *** Baja
04
3
x
x
a)Solución de una ecuación fraccionaria igualada a cero
b)”Pasar” multiplicando x–4 y multiplicado por cero obtener un valor de x–4; igualar tanto en numerador como el denominador a cero, dando dos valores, x = - 3 y x = 4 (3,5,13 y 16)
36 *** Baja
0342 xx a)Resolución de una ecuación cuadrática por factorización b)No reconocer la forma de factorización o factorización equivocada. Factorizar sin resolver la ecuación (9 y 18)
37 *** Baja
022 2 xx a)Resolución de una ecuación cuadrática por factorización b)Factorización de término común equivocada. Si hubo una factorización correcta, error en la interpretación de la solución 2x(x+1)=0, especialmente con el valor de x=0 (9 y 18)
38 No Baja
39 *** Baja
092 z a)Resolución de una ecuación cuadrática por fórmula general con términos faltantes. Se tomó como correcta la resolución por factorización o por métodos alternos. b)No recordar la fórmula general para solución de ecuaciones cuadráticas, no identificar cuál es el término faltante (b =0), y sólo dar como respuesta z = 3, por métodos alternos (9, 16 y 18)
40 No Baja
41 No Alza
42 No Alza
2. Discusión
En los resultados se observa que, de los 42 reactivos, sólo 6 de ellos, los
reactivos 3, 4, 20, 21, 41 y 42 mostraron promedios de acierto mayores en
2011 que en 2003, pero de éstos, sólo el reactivo 20 tuvo un alza con un nivel
de significancia menor al 1%. Este reactivo tiene como tema principal la
reducción de términos semejantes. Los otros 36 reactivos tuvieron promedios
más bajos en 2011 que en 2003 y de éstos, 24 reactivos tuvieron una fuerte
evidencia de cambio, con un nivel de significancia menor al 1%.
Cabe destacar que debido al objetivo planteado, los reactivos que tuvieron
desempeños similares en 2003 y 2011 tanto bajos como altos, quedan fuera de
esta investigación y podrían ser motivo de investigaciones futuras.
20
Aunque algunos alumnos presentan procedimientos equivocados muy
particulares y singulares, se encontró que hay errores sistemáticos o de patrón,
que son procedimientos erróneos que cometen en forma similar varios
alumnos. Si los errores de concatenación son mucho más comunes de lo que
nos imaginamos, sería importante preguntarnos: ¿Cómo podría, por ejemplo,
un alumno, que no distingue entre 3 + x y 3x (problema de concatenación)
llegar a modelar matemáticamente situaciones administrativas de una empresa
para maximizar las operaciones de la misma?
3. Conclusiones
El hallazgo de la disminución en las destrezas y habilidades en el área de
matemáticas de los alumnos de primer ingreso a la universidad no es ajeno a
las universidades, sin embargo, viendo los cambios de año a año, puede no
parecer significativo. Sólo con una visión de varios años consecutivos, resulta
preocupante que hay una fuerte tendencia a que los alumnos de primer ingreso
lleguen cada año con más deficiencias en matemáticas. Desde que inició el
estudio en 2003, se presentó el primer cambio significativo en 2006, y el
segundo de 2006 a 2009, por lo cual la pregunta obvia es: ¿cuándo se dará el
siguiente cambio significativo? Se podría esperar que haya otro cambio
significativo de 2009 a alrededor de 2012 ó 2013. ¿Y hasta cuándo seguirá
deteriorándose el conocimiento matemático básico de los alumnos? Lo que es
un hecho es el cambio muy significativo que se dio del 2003 al 2011.
Las dificultades en el área de matemáticas que presentan los alumnos no se
generaron en el último año de la preparatoria, es indiscutible que es un proceso
que se remonta a los últimos años de la primaria y la secundaria, años en los
cuales se estudian las bases algebraicas. Siendo que los alumnos de primer
ingreso a la universidad vienen de una gran diversidad de preparatorias de la
región, se plantea la pregunta: ¿Qué podemos hacer como universidad para
mejorar esta situación?
Cabe destacar, que la universidad recibe a los alumnos con estas
problemáticas, y por ello, las estrategias que se proponen para alumnos de
primer ingreso son más de índole correctiva, sin embargo, pensando en la
21
posibilidad de dar acceso a la investigación también a escuelas, para ellas se
tendrían que plantear estrategias tanto correctivas como preventivas.
Dentro de la universidad.
En primera instancia es recomendable realizar un examen de ubicación de
matemáticas, en el cual, no sólo se vean los resultados como calificaciones,
sino que se analicen las problemáticas de los alumnos en temas específicos,
como se ha propuesto en este estudio. Malle (1993) indica, que los errores
conceptuales se pueden detectar en ejercicios muy sencillos, por medio de los
cuales se puede inferir sobre los pensamientos y procedimientos equivocados
de los alumnos (Ver anexo I, como ejemplo de un examen de ubicación de
reactivos sencillos pero representativos). Esto proporcionará a la universidad
una visión clara sobre las necesidades de los alumnos de primer ingreso.
La experiencia ha mostrado que alumnos con un bajo desempeño en el
examen de ubicación de matemáticas requieren de apoyo adicional, que hasta
ahora se ofrecía en forma de asesorías extra-clase. Este año, la universidad ha
visto la necesidad de implementar un curso de un semestre adicional a los
cursos regulares y como prerrequisito. Los temas a tratar en un curso de
regularización tendrían que ser aquellos en los que se encontró que hay
cambios significativos y aquellos en los que en general el desempeño ha sido
bajo a través de los años. La reflexión sobre cómo impartir este curso es
importante, ya que un curso en que haya práctica excesiva y repetitiva y sin
supervisión cercana, podría tener como consecuencia la cimentación de los
errores, que es lo que probablemente sucedió en los años escolares anteriores
a la universidad. Al error en general, y especialmente en matemáticas se la ha
dado una connotación negativa y muy frecuentemente los alumnos ven en los
errores matemáticos, más un fracaso que una oportunidad para aprender de
ellos. Es recomendable, confrontar a los alumnos con sus errores creando en
ellos un conflicto cognitivo, con el propósito de que puedan cambiar, modificar
o complementar sus esquemas anteriores.
Otra estrategia, que puede resultar efectiva, es aquella en la que los alumnos
analizan ejemplos y contraejemplos, cuándo es posible aplicar una regla
22
algebraica y qué condiciones no permiten la aplicación de la misma, con el fin,
de que se cuestionen sobre la viabilidad de sus procedimientos y mejoren su
metacognición.
Muchas de las “estrategias” de resolución y/o transformaciones algebraicas de
los alumnos, con una alta propensión a cometer errores, son aprendidas y/o
permitidas por profesores tanto de secundarias, preparatorias como en
universidades, como por ejemplo los esquemas de tachado, el “pasar
multiplicando al otro lado de la ecuación”. Estas estrategias causan error,
cuando se pierde la visión de que son efectos de ciertos procedimientos que
están sujetos a limitaciones o condiciones para ser aplicables.
Ante esta situación parece inevitable dirigir la mirada hacia las escuelas, que
son proveedoras de los alumnos que ingresan a la universidad.
En las escuelas:
Si las medidas que se pueden tomar en la universidad ya sólo pueden ser
correctivas, en las escuelas secundarias y preparatorias, las medidas pudieran
ser preventivas y correctivas. Para poder ejercer medidas preventivas, es
necesario que los profesores conozcan los resultados de este tipo de
investigaciones y que se les capacite, para darse cuenta, que los alumnos muy
frecuentemente hacen generalizaciones y tienen creencias sobre las
matemáticas equivocadas o no limitadas, por lo cual en procesos similares con
características ligeramente diferentes incurren en errores. La cimentación o
arraigo de procedimientos, como “eliminaciones” en una fracción, o “pasar”
multiplicando al otro lado de la ecuación, con todas las consecuencias para el
desarrollo matemático posterior del alumno, sólo se puede evitar, si profesores
detectan estas dificultades desde sus inicios.
Cabe destacar que las estrategias mencionadas para su trabajo en la
universidad también serían útiles para los alumnos que cursan otros niveles.
Para futuras investigaciones se podría analizar el conocimiento profesional de
profesores de matemáticas, respecto a las técnicas permitidas por los mismos,
y buscar en sus alumnos las sobre-generalizaciones mencionadas, que son tan
23
propicias a error, debido a que aplican efectos y no las concepciones
específicas.
4. Aplicación a la Educación Superior
Al ser un estudio longitudinal y por el análisis de los resultados que se hizo, nos
encontramos no con una simple percepción sino con un cambio real y
significativo en los conocimientos de los alumnos.
Tal vez las universidades en general están consternadas sobre el conocimiento
matemático de sus estudiantes, pero teniendo la información reflejada en este
artículo, se ve la necesidad de implementar cursos adicionales en las
universidades e incursionar en presentar esta información a las escuelas, y
proponer capacitaciones a profesores de matemáticas en lo referente a las
causas de error y formas en que se puede ayudar a los alumnos.
Es evidente, que se tienen que dirigir los contenidos en el plan curricular para
mejorar el desempeño de los alumnos en temas específicos, con dificultad,
encontrados en este estudio. Pero siempre quedará la pregunta si la forma,
como ejercicios repetitivos para que “aprendan”, es la indicada. Aquí se
propone primordialmente:
a) Confrontar al alumno con sus errores por medio de un conflicto
cognitivo, mediante el cual sus conocimientos previos se vean en
“crisis”, para lograr cambiar sus creencias anteriores.
b) Trabajar con ellos en ejemplos y contraejemplos para crear la
metacognición, o sea, la discriminación de cuándo es aplicable una regla
o procedimiento y cuándo no.
Desde nuestro punto de vista la situación de los alumnos de primer ingreso a la
universidad es alarmante, sin la intención de generalizar, ya que se encuentran
también alumnos brillantes. Hasta ahora se han estado cambiando los planes
de estudio, de la DGB y la SEP, con la finalidad de crear en los alumnos la
flexibilidad y razonamiento que requieren para un buen desempeño
matemático, pero no se han podido detectar resultados favorables. La
necesidad de capacitación de profesores es imprescindible.
24
Apéndice I
EXAMEN DE UBICACIÓN DE MATEMÁTICAS
A) Calcula:
1. 42525 2. 4332
3. 0639 4. 28
5. 4
9
2
14
7
8 6.
15
7
45
21
7. 16.0 8. 9
1
9. 3 64 10. 22 34
B) Simplifica las expresiones, recuerda que no queden exponentes negativos.
11.
2
47
10
1010 12. xx bb 3113
13.
m
m
x
x
)5(
)5( 2
14.
5
2
2
3
x
x
15. 24 )3( x 16. 3 6 36y
17. 3
3 4
z
z 18. 22 yx
C) Realiza las siguientes operaciones y simplifícalas:
19.
412
241
5
25
zyx
zyx 20. 22 38614 yxyxyx
21. )5()3(4)2(3 xxx
22.
)1()45( 2 zzz
23. 22 yx
D) Factoriza completamente las expresiones algebraicas dadas:
24. 64162 zz 25. 169 2 yy
26. )1(31 22 xxx 27. 35122 xx
25
28. yy 93
E) Simplifica las fracciones algebraicas:
29.
3
)3)(5(
x
xx 30.
2
)2()2(
y
yyy
31.
4
2)1()4(
z
zz 32.
baba
23
F) Resuelve las siguientes ecuaciones
33. 0)3()1(4)3( xxxxx
34. 93
26
x
35. 04
3
x
x
G) Resuelve las ecuaciones cuadráticas:
a) por factorización
36. 0342 xx 37. 022 2 xx
b) por fórmula general:
38. 0152 2 xx 39. 092 z
H) Calcula la intersección entre las rectas:
40. x – y = 2
y – 2x = 1
I) Traza un sistema coordenado y grafica la función (no olvides indicar en los ejes tu escala):
41. 12
1 xy
J) 42. Un artículo está etiquetado en $232, ya con el IVA (16%) incluido. ¿Cuál es el precio
del artículo antes del IVA?