tema9 solicitaciones-combinadas

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS z

1

T N

x

y

L

Mz

My

Vy

Vz


9.1.-INTRODUCCIÓN En los temas precedentes se ha estudiado el cálculo de las tensiones y deformaciones producidas por las siguientes solicitaciones actuando de forma aislada: TRACCIÓN-COMPRESIÓN:

• Tensiones normales: σx (N) • Deformaciones: alargamientos o acortamientos: ∆L

FLEXIÓN SIMPLE:

• Tensiones normales: σx (Mz, My) • Tensiones cortantes: τ (Vy, Vz) • Deformaciones: Giros: θz, θy • Deformaciones: Flechas: y, z

TORSIÓN:

• Tensiones cortantes: τ (T) • Deformaciones: Giros: θx

En este tema se estudiarán las tensiones y deformaciones que se producirán cuando actúen a la vez varias de éstas solicitaciones: Tracción + Flexión, Flexión + Torsión, etc.. Cálculo de las Tensiones: Se obtendrán aplicando el Principio de Superposición: ( ) ( , )

( , ) ( )x x x z y

y z

N M M

V V T

σ σ σ

τ τ τ

= +

= +r r r

(la suma de las tensiones cortantes:τ, será vectorial, pues pueden llevar distintas direcciones) Cálculo de las Deformaciones: Se pueden obtener a partir del Principio de Superposición, igual que con las tensiones, o a través de los teoremas energéticos que se verán a continuación:

• Teorema de CASTIGLIANO

2

• Teorema de los TRABAJOS VIRTUALES

Sección 9.2.1: Energía de deformación

9.2.-TEOREMAS ENERGÉTICOS 9.2.1.- ENERGÍA DE DEFORMACIÓN La energía de deformación de un elemento estructural se podrá obtener a partir de las expresiones dadas en 3.4:

• Energía de deformación por unidad de volumen:

(9.1)

[ ] ).(.21....(.2.

.21 222

)222

zxyzxyxzzyyxzyx GEu τττσσσσσσνσσσ +++++−++=

• Energía de deformación:

(9.2) ∫=

V

dVuU .

Se calculará a continuación la Energía de deformación: U, para el caso de elementos estructurales sometidos a una sola solicitación:

A. TRACCIÓN-COMPRESIÓN: N

Componentes del estado de tensiones: z

0 0

0

x y zNA

σ σ σ= = =

0 0xy yz zxτ τ τ= = =

N Nx

L y y llevando estos valores a ):

Fig.9.1

las expresiones (9.1) y (9.2

221 1. .

2. 2.xNu

E E Aσ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2

0

.1 1. . . . .2. 2 .

L

V L

N dxNU u dV A dxE A E A⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ (9.3)

3


B. FLEXIÓN SIMPLE: B1.-Momento Flector: Mz (caso particular: Ejes z, y →Ejes principales de inercia: Izy = 0) Componentes del estado de tensiones:

z

000

00.

===

===

zxyzxy

zyz

zx I

yM

τττ

σσσ

Mz x

L y y llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2): Fig.9.2

2

2 ...21.

.21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

z

zx I

yMEE

u σ

∫∫∫∫∫ ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

L

z

z

AL z

z

z

z

VV IEdxM

dAyIEdxM

dVI

yME

dVuU0

22

2

22

..

.21..

..

.21..

..

.21. (9.4)

B2.-Momento Flector: My (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de inercia: Izy = 0) Componentes del estado de tensiones:

z

000

00.

===

===

zxyzxy

zyy

yx I

zM

τττ

σσσ x

4

y por un procedimiento análogo al anterior, llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2) se llegaría a la siguiente expresión::

∫=L

y

y

IEdxM

U0

2

..

.21 (9.5)

My

yL

Fig.9.3


B3.-Fuerza Cortante: Vy (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de inercia: Izy = 0)

• Caso de secciones macizas

Componentes del estado de tensiones: z

0 0 0

. ( ) . ( )0

( ). ( ).

x y z

y z y zxy yz zx

z z

V Q y V Q zt y I t z I

σ σ σ

ττ τ

= = =

= = =x

5

siendo: Observaciones:

Vy

yy llevando estos valores a las expresiones (9.1) y (9.2): L

Fig.9.4

2 22 2 . ( ) . ( )1 1.( ) .

2. 2. ( ). ( ).y z y z

xy zxz z

V Q y V Q zu

G G t y I t z Iτ τ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟= + = +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞⎟⎠

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2

. ( ) . ( )1 . . . .2. 2. . ( ). 2. . ( ).

. .( ) ( ). . . .2. . ( ) 2. . ( )

y z y z

z zV V V

y yz z

z zL A L A

V Q y V Q zU u dV dV dV

G G t y I G t z I

V dx V dxQ y Q zdA dA multiplicando y dividiendo por AG I t y G I t z

= = + =

= + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ =

2 22 2

2 2 2 2

2 22 2´ ´́

2 2 2 20 0

. .( ) ( ). . . . . .2. . ( ) 2. . ( )

. .( ) ( )1 1. . . . . . . .(2 . ( ) ( ) 2 .

y yz z

z zL A L A

L Ly yz z

y yz zA A

V dx V dxQ y Q zA AdA dAG I A t y G I A t z

V dx V dxQ y Q zA AdA dAG A I t y I t z G A

)β β

= + =

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ +

2

0

.1 . .2 .

Ly

y

V dxU

G Aβ= ∫ (9.6)

2 2´ ´´ ´ ´´

2 2 2 2

( ). ( ).. .( ) ( )

z zy y y y y

z zA A

Q y dA Q z dAA AI t y I t z

β β β β β= + = =∫ ∫

9100

910:sec

560

56:tansec

´´´

´´´

=→==

=→==

yyy

yyy

circularescionesen

gularesreccionesen

βββ

βββ


6

• Caso de secciones abiertas de pequeño espesor

y por un procedimiento análogo al anterior:

Observaciones

siendo:

: alma

y AAIcionesen =β:sec

B4.-Fuerza Cortante: Vz (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de

• Caso de secciones macizas:

por un procedimiento similar al caso de Vy:

iendo:

bservaciones

inercia: Izy = 0)

y

s O :

Componentes del estado de tensiones:

≠=≠ zxyzxy

zyx

τττ

000 === σσσ

000

2 2 2.( ) .2. 2. ( ).

y zxy zx xs xs

z

u siendoG G t

τ τ τ τ= + = =. ( )1 1 V Q ss I

2.1.

L V dx

0

. .2

yyU

G Aβ= ∫

2 ( ).Q s dAA2 2.

( )z

yz AI t s

β = ∫

Vz

y

z

x

LFig.9.5

0 0 0

. ( ) . ( )0

( ). ( ).

x y z

z y z yxy yz zx

y y

V Q y V Q zt y I t z I

σ σ σ

τ τ τ

= = =

= = =

2.1 L V dx

0

. .2 .

zzU

G Aβ= ∫

(9.7)

2 2´ ´´ ´ ´´

2 2 2 2

( ). ( ).. .

( ) ( )y y

z z z z yy zA A

Q y dA Q z dAA AI t y I t z

β β β β β= + = =∫ ∫

910

9100:sec

550:tansec

´´´

´´´

=→==

=→==

zzz

zzz

circularescionesen

gularesreccionesen

βββ

βββ 66

(9.8)


7

• Caso de secciones abiertas de pequeño espesor

y por un procedimiento análogo al anterior:

. TORSIÓN: T

siendo:

C

• Caso de secciones macizas circulares

• Caso de secciones macizas no circulares o secciones de pequeño espesor

to →


≠=≠ zxyzxy

zyx

τττ

000 === σσσ

000

2 2 2.( ) .2. 2. ( ).

z yxy zx xs xs

y

u siendoG G t

τ τ τ τ= + = =. ( )1 1 V Q ss I

2.1.

L V dx

0

. .2

zzU

G Aβ= ∫

2 ( ).Q s dAA2 2.

( )y

zy AI t s

β = ∫

TTx

y

z

L Fig.9.6


000 =

"": eequivalenttorsorinerciademomentoIInsustituciólahaciendo

000 ≠=≠

==

zxyzxy

zyx

ττ

σ σσ

τ

22 2 21 1 1 ..( ) . .

2. 2. 2.xy zxo

T ruG G G I

τ τ τ⎛ ⎞

= + = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

.1 .2 .

L

o

T dxUG I∫

2 2 2. .T r T dx→= 2

2 2. . . .2. . 2. .o oV V L A

U u dV dV r dAG I G I

= = =∫ ∫ ∫ ∫

(9.9)

2.1 L T dx

0

.2 . t

UG I

= ∫

(9.10)

(9.11)


D. CASO GENERAL: TRACCIÓN-COMPRESIÓN (N) + FLEXIÓN (Mz, My, Vy, Vz) + TORSIÓN (T):

zVz

T N

8

Aplicando el Principio de Superposición, la energía de deformación total será la suma de las energías de deformación obtenidas para cada una de las solicitaciones actuando por separado, así será:

y sustituyendo los valores obtenidos para cada uno de dichos términos:

Observaciones: Todos los términos de la expresión (9.12) no tienen el mismo orden de magnitud. Así por ejemplo generalmente: con lo cual, en la mayoría de los casos, se suelen despreciar los términos debidos a las fuerzas cortantes: Igualmente, en la mayoría de los casos, se cumple que: salvo en los casos de Tracción-Compresión con pequeña excentricidad

x

y

L

Mz

My

Vy

Fig.9.7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z yU U N U V U V U T U M U M= + + + + + z

2 22 2 2

0 0 0 0 0 0

. .. . .1 1 1 1 1 1. . . .2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 .

L L L L L Ly yz z

y zt y

V dx M dxN dx V dx T dx M dxUE A G A G A G I E I E I

β β= + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫2.

z

(9.12)

( ), ( ) ( ), ( ), ( )y z yU V U V U T U M U M<<< z

( ), ( )y zU V U V

( ) ( ), ( )y zU N U M U M<<

Sección 9.2.2: Teorema de Castigliano

9.2.2.- TEOREMA DE CASTIGLIANO Sea un cuerpo elástico, apoyado de tal forma que le sea imposible moverse y sobre él se aplican gradualmente las fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn. Se supone que se cumplen las condiciones vistas en 3.3, por las que se podrá considerar que el trabajo que realizan las fuerzas externas se transforma todo en energía de deformación (campos conservativos) Los desplazamientos que sufren los puntos de aplicación de dichas fuerzas: ∆i ( i→i2 ), se descomponen en dos componentes, los desplazamientos δi (i→i1) que van en la misma dirección que los vectores fuerza Fi, y los desplazamientos (i1→i2) en direcciones perpendiculares a las anteriores. Esta descomposición se hace así para que en el cálculo del trabajo que realizan las fuerzas exteriores tan sólo haya que tener en cuenta las componentes δi, que van en la misma dirección que las fuerzas aplicadas, pues las otras componentes, al ser perpendiculares a las direcciones de las fuerzas aplicadas, no realizan trabajo.

9

F2F1

δ1 δ2 Fi δii i1

∆i i2 δn Fn

Fig.9.8.a La energía de deformación del cuerpo será función de las fuerzas aplicadas sobre él:

),..............,,( 21 ni FFFFUU = Si se diera un incremento infinitesimal a una cualquiera de las fuerzas aplicadas, por ejemplo la Fi, la energía de deformación sería:

F2F1

. (9.13)i

i

UU dFF∂

+∂

Fi dFi

FnFig.9.8.b


Si se considerase ahora un segundo estado de cargas, en el que se invierta el orden de aplicación de las fuerzas externas, así, se aplica en primer lugar dFi y a continuación las restantes fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn. La energía de deformación sería ahora:

10

eorema de Castigliano

F2F1

1 . . . (9.14)2 i i i idF d U dFδ δ+ +

En efecto: • al aplicar primero dFi, se realizará un trabajo de valor:

• al aplicar a continuación el resto de las fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn, se

realizará un trabajo: U+dFi.δi en donde el término: dFi.δi es el trabajo indirecto que realiza dFi, que ya estaba aplicado, al aplicar ahora el resto de las fuerzas y desplazarse su punto de aplicación δi.

Y como según se sabe, en el caso de campos conservativos: “el trabajo que realizan las fuerzas externas es igual a la energía de deformación y su valor depende solamente de los valores iniciales y finales de dichas fuerzas y no de su orden de aplicación”. Como consecuencia de ello serán iguales los dos valores obtenidos de la energía de deformación para los dos estados de cargas considerados, ecuaciones: (9.13) y (9.14). Así pues se verificará: y despreciando infinitésimos de 2º orden frente a los de 1º:

T : “ el desplazexterior que actúa sobre un cuerpo, derivada parcial de la energía de defor

Fi dFi

Fn Fig.9.8.c

ii ddF δ..21

=∂∂

ii

dFFU . iiii dFUddF δδ ...

21

+++U

ii F

U∂∂

=δ→=∂∂

iiii

dFdFFU δ.. )
(9.15
amiento del punto de aplicación de una fuerza medido en dirección de la misma, es igual a la mación respecto de dicha fuerza”

Sección 9.2.2: Teorema de Castigliano

11

bservacionesO :

1. En el caso de que fuera un momento, en lugar de una fuerza, la carga que

2. La energía de deformación U, es la dada en (9.12)

3. El Teorema de Castigliano determina los desplazamientos de los puntos de

. Si se quisiera calcular el desplazamiento δi de un punto donde no actuase

actuase sobre el cuerpo, el giro producido se podría obtener de igual forma a través del Teorema de Castigliano. Siguiendo un proceso análogo al anterior, la relación sería en este caso:

ii

U∂M∂

=ϑ (9.16)

2 22 2 2 2. .. . . .1 1 1 1 1 1L L L L L L

z

V dx M dxN dx V dx T dx M dx

0 0 0 0 0 0

. . . .2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 .

y yz zy z

t y

UE A G A G A G I E I E I

β β= + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

aplicación de las fuerzas exteriores, en dirección de las mismas, así como los giros de las secciones de aplicación de los momentos exteriores.

Fi Fi

δi δi

θi

Mi

Fig.9.9.a

4

ninguna fuerza exterior, el Teorema de Castigliano se aplicaría de la siguiente forma: se supondría que hubiese una fuerza Fi actuando en dicho punto, a continuación se aplicaría el Teorema de Castigliano y finalmente se haría que dicha fuerza fuese nula (Fi = 0)

F1 F1 F2 F2 Fi

δi δi ⇒

Fig.9.9.b

0=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂

= ii

i FparaF

δ⎞⎛ ∂U


12

.2.3.- TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES9

ste Teorema dice: “ la condición necesaria y suficiente para que un cuerpo o sistema

iendo:

siendo: Fi cargas exteriores aplicadas

poyos ecciones Fi

direcciones Ri

Teniendo en cuenta que las fuerzas internas de una rebanada de un cuerpo, de longitud

e calculará a continuación el trabajo virtual de las fuerzas internas para dos tipos de

RACCIÓN-COMPRESIÓN (N)

bservación

Ematerial esté en equilibrio es que la suma de los trabajos de todas las fuerzas que actúan sobre él, tanto exteriores como interiores, para cualquier conjunto de desplazamientos que sean compatibles con los enlaces del cuerpo, sea nulo” s

→ Ri → reacciones externas en los a δí → desplazamientos virtuales en las dir ∆í → desplazamientos virtuales de los apoyos en las

dx, son iguales y opuestas a las fuerzas externas que actúan sobre ella, el trabajo virtual que realizarán las fuerzas internas, durante la deformación virtual, será igual y de signo opuesto al que realizan las fuerzas externas. Ssolicitaciones concretas: T

O : el signo menos es

s

nto irán en sentidos contrarios y el trabajo será negativo.

0 (9.17)Τ + Τ =

exterioresfuerzaslasdevirtualtrabajo´ →Τ

´ é i

erioresfuerzaslasdevirtualtrabajoi

e

int´ →Τ

debido a que las fuerzas interioresiempre se oponen a los desplazamientos, por lo ta

:´de Τ ´´´ .. RF ∆+=Τ ∑∑ δeCálculo iiiie

:´deCálculo Τi

Fe Fe NN

ε´x.dx dx

desplazamiento virtual

Fig.9.10.a

´ ´

( int )

.( . )

e

i x

N f erza erna F

dxε

u

N

= −

Τ = −

(9.18)

Sección 9.2.3: Teorema de los Trabajos Virtuales

FLEXIÓN (Mz) giro virtual

13

as expresiones de las deformaciones virtuales: ε´x, γ´xy, γ´xz, dϕ´x, dθý, dθ´z en

sustituyéndolas en la expresión

Repitiendo estos resultados para los restantes tipos de solicitaciones: Vy, Vz, T, My, se tendrá como fórmula para el caso general que actuasen todos ellos:

Lfunción de las correspondientes solicitaciones son:

y

del Tí se tendrá:

Sustituyendo finalmente los valores obtenidos de Té y Tí en la ecuación (9.17), quedará finalmente:

(9.20)

dθ´z

).(

)int(

´´zzii

ez

dM

MernomomentoM

ϑ−=Τ

−==

Me Me

Mz Mz

dx Fig.9.10.b

´ ´ ´ ´ ´ ´

0 0 0 0 0 0

.( . ) .( . ) .( . ) .( ) .( ) .( )L L L L L L

i x y xy z xz x y y zN dx V dx V dx T d M d M d ´zε γ γ ϕ ϑΤ = − − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ϑ

´´ ´´ ´ ´

´´ ´´ ´ ´

. .. . .

.. .. . .

y zx xy y xz z

y zx y z

t y z

VN VE A G A G A

M dxT dx M dxd d dG I E I E I

ε γ β γ β

ϕ ϑ ϑ

= = =

= = =

´ ´´ ´ ´´

0 0 0 0 0

´

0

. .. . .. . . . . . .. . . . .

. . (9.19)

.

L L L L Ly y y yz z

i y zt y

Lz z

z

V V M MN N V V T Tdx dx dx dx dxE A G A G A G I E I

M M dxE I

β βΤ = − − − − − −

−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

´´ ´ ´´ ´

0 0 0 0´ ´

0 0

.. . .. . . . . . . .. . . .

. .. .. .

L L L Ly y z z

i i i i y zt

L Ly y z z

y z

V VN N V V T TF R dx dx dx dxE A G A G A G I

M M M Mdx dxE I E I

δ β β+ ∆ = + + + +

+ +

∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫


14

bservacionesO :

1. N, Vy, Vz, T, My, Mz → solicitaciones reales s (las correspondientes a

2. El Teorema de los Trabajos Virtuales es más general que el Teorema de

3. Para aplicar el Teorema de los Trabajos Virtuales es conveniente hacerlo a

ÉTODO DE LA CARGA UNITARIA

N´, Vý, V´z, T´, Mý, M´z → solicitaciones virtuale los desplazamientos virtuales)

Castigliano y puede aplicarse también al caso de que hubiese asientos en los apoyos

través del llamado “Método de la Carga Unitaria”, que se expondrá a continuación a través de un ejemplo:

M

n la viga de la figura, se desea calcular la flecha en su punto medio C

e considera la viga sometida a dos sistemas de cargas:

Estado de carga 1

E

q kg/m

L L/2 A B

C

S

Estado de carga 2

viga sometida a las cargas reales la viga sometida a una carga unitaria

la aplicada en el punto medio C y en dirección de su desplazamiento

q kg/m

RÁ

CyC

deformación real

R´B

RÁ = R´B = q.L/2 Kg

1 kg

RA C

yC

deformación virtual = deformación real estado de carga 1

RB

RA = RB = 1/2 Kg

Sección 9.2.3: Teorema de los Trabajos Virtuales

15

plicando el Teorema de los Trabajos Virtuales, (ecuación (9.17)), a la viga del

e desprecia el trabajo interno debido a las fuerzas cortantes Vy, por ser de pequeño

endo:

sustituyendo todos estos valores:

Aestado de carga 2, a la cual se le ha dado una deformación virtual que sea la misma que la deformación real que tendrá la viga con el estado de carga 1, se tendrá:

´ ´ ´L L L

´ ´

0 0 0

. . .. . . . . .

. . .y y z z z z

i i i i yz z

V V M M M MF R dx dx dxG A E I E I

δ β+ ∆ = + ≅∑ ∑ ∫ ∫ ∫ (svalor con respecto al producido por los momentos flectores Mz, (ver 2.9.1 apartado D)) si

2...

2.)

2.(1.

212/

2...

2..

212/0

02

,1

´

´

´´

xxqxLqMLxxMLxL

xxqxLqMxMLx

yKgRRRKgF

zz

zz

iCiBAii

−=−−=−−

−==−−

=∆==== δ1 y

z

L L

LC IE

dxxxqxLqLxxdxxxqxLqxy

.

.2

...2..)

2.(1.

21.

2...

2...

21

0.1

2/

0 2/∫ ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+

operando:

zC IE

y..384

=Lq..5 4

y


16

.3.- FLEXIÓN Y TRACCIÓN-COMPRESIÓN COMBINADAS9

Sea el caso de un elemento estructural sometido, a las vez, a las solicitaciones: N, Vy,

álculo de Tensiones:

Vz, My, Mz

x

y C

e calcularán aplicando el Principio de Superposición:

RACCIÓN-COMPRESIÓN: (N) → σx (ver sección 4.2)

LEXIÓN SIMPLE: (Vy, Vz) → τ (ver secciones: 5.4.2, 5.4.3 y 5.4.4)

álculo del Eje

S T F (My, Mz) → σ (ver sección: 5.4.1) C Neutro: La ecuación del eje neutro, será:

bservación: El eje neutro ya no pasará por G y el punto de max será el más alejado del

z

L

Mz

My

N

Vy

Vz

G

Fig.9.11

( ) ( , )

( , )x x x y z

y z

N M M

V V

σ σ σ

τ τ

= +

=

0 ( ) ( , ) 0x x x x y zN M Mσ σ σ σ= → = + = O σmismo.

n

n

z

y

G

σmax

Fig.9.12

Sección 9.3: Flexión y Tracción-Compresión combinadas

17

Cálculo de Deformaciones:

Se podrán calcular aplicando igualmente el Principio de Superposición, empleando para ello las fórmulas obtenidas para el cálculo de las deformaciones en los capítulos correspondientes: TRACCIÓN-COMPRESIÓN: (N) → ∆L (ver sección: 4.3) FLEXIÓN SIMPLE: (Vy, Vz, My, Mz) → Giros:θy, θz, Flechas: y, z (ver secciones: 6.2, 6.3, 6.4) o bien a través del Teorema de Castigliano o el de los Trabajos Virtuales:

A- Por el Teorema de Castigliano:

y despreciando los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará:

B- Por el teorema de los Trabajos Virtuales:

despreciando igualmente los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z y zU U N U V U V U M U M= + + + +

0 0 0

. . .. . .

. . .

y zy zL L L

i i ii

i y z

M MNN M MF F FU dx dx dx

F E A E I E Iδ

∂ ∂∂∂ ∂ ∂∂

= = + +∂ ∫ ∫ ∫

´´ ´´ ´

0 0 0

.. .. . . . .. . .

L L Ly y z z

i i i iy z

M MN N M MF R dx dx dxE A E I E I

δ + ∆ = + +∑ ∑ ∫ ∫ ∫


18

9.3.1- CASO PARTICULAR: TRACCIÓN-COMPRESIÓN EXCÉNTRICA La Tracción-Compresión excéntrica es un caso particular de la Flexión + Tracción-Compresión combinadas visto en el apartado anterior. Caso particular 1º: Barra sometida a Tracción-Compresión excéntrica, actuando sobre uno de los ejes principales de inercia de la sección transversal (Izy = 0):

los ejes y, z son ejes principales de inercia → Izy = 0 Cálculo de las tensiones: TRACCIÓN (N): FLEXIÓN (Mz): Aplicando el Principio de Superposición , la tensión total será:

F F

G e x

y

z

L

x

z

y

G

a

b

N = F

Mz = F.e

F

F

F.e

x Fig.9.13

xN FA A

σ = = G

a

b

x

zz

zx I

yeFI

yM ...==σ G

a

b

x

. .( ) ( )x x x zz

F F e yN MA I

σ σ σ= + = +

G

a

b

x

yn

n

G

a

b

x

yn

n

G

a

b

x yn

n

( ) ( )a a zsi N Mσ σ> ( ) ( )a a zsi N Mσ σ= ( ) ( )a a zsi N Mσ σ<

Sección 9.3.1: Caso particular: Tracción-Compresión excéntrica

19

álculo del eje neutro:C

endo

2. .F e y( ) ( ) 0.

n z zx x x z n

z

I iFN M yA I A e e

σ σ σ= + = + = → = − = −

2 ""si inerciaderadioAIi z=z

bservaciones:

utro depende de la excentricidad “e” con la que se aplique

enta) esto al punt de aplicación de la carga (ello es

Cas

O

• La posición del eje neutro no depende del valor de la carga F aplicada • La posición del eje ne

la carga F y ocurrirá que: si: e ↑ (aumenta) ⇒ yn ↓ (disminuye) y viceversa: si: e ↓ (disminuye) ⇒ yn ↑ (aum

• El eje neutro estará del lado opu o debido al signo menos de la fórmula obtenida)

nn

G

F

z

o particular 2º:

céntrica, actuando fuera de los ejes

álculo de las tensiones:

Barra sometida a Tracción-Compresión exprincipales de inercia de la sección transversal (Izy = 0):

e

yn

FF

G ey

x

y

z

L

y

x

x z

y

G N = F Mz = F.e

C

RACCIÓN (N):

LEXIÓN (Mz, My):

T F

y

ez

My = F.ez F

F

F.ey

Fig.9.14

xN FA A

σ = =

y

z

z

y

y

y

z

zx I

zeFI

yeFI

zMI

yM ......+=+=σ

F.ez


20

plicando el Principio de Superposición , la tensión total será:

o:

A Cálculo del eje neutr

Para dibujar el eje neutro se hallarán sus puntos de intersección con los ejes coordenados

bservaciones: • La posición del eje neutro no depende del licada, pero sí

depende de la excentricidad con la que actúe dicha carga. • Si la carga F se aplica en el punto 1, de excentricidad ey1, el eje neutro será el

por lo v = - i2z / ey1.

Si la carga F se aplica en el punto 2, de excentricidad ez2, el eje neutro será el n2n2, siendo por lo visto anteriormente: zn2= - i2

y / ez2. Si la carga F se aplica en un punto cualquiera de la recta r, que une los puntos 1

1 y F2, aplicadas en los puntos 1 y 2 respectivamente y según el Principio de Superposición, su efecto

irán, actuando por separado, las cargas componentes F pasará necesariamente por el

1 1 2 2

Ovalor de la carga F ap

n1n1, siendo isto anteriormente: yn1

y 2, se podrá descomponer en sus dos componentes: F

será la suma de los efectos que produc1 y F2. Según ello la línea neutra

punto 3, intersección de los ejes neutros n n y n n

2 2z yi

. . . .( ) ( , ) 0 ( )n z nx x x z y

z y

F e y F e zFN M M dividiendo por FA I I

. .1 0 ( min )

. .. .1 0 1 0

y n z n

z y

y n y nz n z n

z y

e y e z dividiendo el deno ador por AA I I

e y e ye z e zA I I iA A A

σ σ σ= + = + + =

+ + =

+ + = + + =→

G

F

z

y

n ey

yn

ez

n

zn

z

yn

y

zn

ei

z

eiy

n

n

y2

2

0 −=→=

−=→z 0=

(9.22)

. . . .F e y( ) ( , ) y z

x x x z yz y

F e zFN M MA I I

σ σ σ= + = + + (9.21)

G

y

eF

zy1

e

1

n2

yn1

z2

n

z 2

(F1)

(F2)

n1

n2

3

n2

1

r

FF1 F2

1 2

Sección 9.3.1: Caso particular: Tracción-Compresión excéntrica

NÚCLEO CENTRAL:

cación de la carga F, el eje neutro podrá o Núcleo Central:

carga F para que el eje

rimer caso

Dependiendo de la posición del punto de aplicortar o no a la sección transversal. En función de ello se define com“la zona de la sección transversal donde podrá aplicarse laneutro no corte a la sección”

21

P : F se aplica dentro del Núcleo Central ⇒ El eje neutro no corta a la

cción ⇒ Todos los puntos de la sección trabajan a Tracción (σx >0) o a Compresión x <0)

egundo caso

se(σ S : F se aplica fuera del Núcleo Central ⇒ El eje neutro corta a la sección

Hay parte de la sección que trabaja a Tracción (σx >0) y otra parte a Compresión (σx 0).

uación el Núcleo Central para dos casos frecuentes de secciones

⇒< Se calculará a contin

ansversales: tr A.-SECCIÓN CIRCULAR Se situa el eje neutro n-n tangente al círculo, es decir haciendo: yn = R. Para e ello ocurra, la excentricidad ey, con la que habrá que aplicar la carga será:

por simetría de la figura se podrá concluir diciendo que: “el Núcleo Central de una cción circular es un círculo, con el mismo centro y con radio R/4”

qu

Yse

G F

z n

n

GF

z

y

n

n Núcleo Central Núcleo Central

Fig.9.15.a y Fig.9.15.b

G

F z

y

ey

yn = R

n n 2

2 2

(

4.:

4

zn

zz

yn n

iy ve

Ii

9.22)rye

4.R

RRAde donde ey y R

π

= −

π

= − = − = − =−

Fig.9.16.a


G

22

G R/4

B.-SECCIÓN RECTANGULAR Se sitúa el eje neutro n1-n1 en el borde superior del rectángulo, es decir haciendoyn = -h/2. Para que ello ocurra, la excentricidad ey1, con la que habrá queserá:

R

núcleo Fig.9.16.b central

: aplicar la carga

hac dzn = b rserá

Si se trla cargel p nt 2, sin cortar al interior del

des del rectángulo resultará ue: “el Núcleo Central de una sección rectangular es un rombo, con el mismo centro y e semidiagonal / b/6”

3 n1 n1

n2

Se sitúa ahora el eje neutro n2-n2 en el borde izquierdo del rectángulo, es decir ien o:

/2. Para que ello ocurra, la excentricidad e , con la que hab - z2 á que aplicar la carga :

aza ahora la recta r que pasa por los puntos 1 y 2 y por lo visto anteriormente: “si a externa F se aplica sobre la recta r, entre dichos puntos, el eje neutro pasará por o 3 de intersección de los ejes neutros: nu 1-n1 y n2-n

rectángulo. Repitiendo este q

procedimiento a los otros bor

d es h 6 y

b

h z

y

r 1

2

n2

zn = b/2

yn = h/2

ey1

ez2

Fig.9.17.a

2

1

3

( 9.22)

.

:/ 2 6

zn

y

zz

yn n

i vere

b hI

i hAe donde ey y h

= −y

12.b h

2

1d = − = − = − =−

62/.:)19.9( 2

2 bhb

zzedondedever

e nnz

z

=−

−=−=−=→12.

22

b

AI

ii yyy

3

b

h

zn −=

Sección 9.4: Flexión y Torsión combinadas

23

.4- FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS

9 Sea el caso de un elemento estructural sometido, a las vez, a las solicitaciones: N, Vy, Vz, T, My, Mz Cálculo de Tensiones:

Se calcularán aplicando el Pr

TORSIÓN: (T) → er seccion : 8.2, 8.3, 8.4 y 8.5) FLEXIÓN SIMPLE: y, Vz) → τ (ver secciones: 5.4.2, 5.4.3 y 5.4.4) (My, M

bservación

incipio de Superposición:

τ (v es

(Vz) → σ (ver sección: 5.4.1)

O : en la mayoría de los casos τ (Vy, Vz) << τ (T) y se suelen despreciar,

niendo en cuenta sólo entonces: τ (T) te

b

h z

y

h/6

b/6

núcleo central

Fig.9.17.b

zVz

x

y

Mz

My

T

Vy

G

Fig.9.18

( , )

( , ) ( )x x y z

y zV V T

M Mσ σ=

τ τ τ= +r r r


24

álculo de Deformaciones:C

e podrán c ición, empleando para llo las fórmulas obtenidas para e álculo de las deformaciones en los capítulos orrespondientes:

ORSIÓN: (T) → θx ,ϕx (ver secciones: 8.2, 8.3, 8.4, 8.5)

LEXIÓN SIM y, Vz, My, Mz) → G Flechas: y, z (ver secciones: .2, 6.3, 6.4)

stigliano o el de los Trabajos Virtuales:

bidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará:

B.-Por el teo

despreciando igualmente los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, edará:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z y zU V U V U T U M U M= + + + +

S alcular aplicando igualmente el Principio de Superpose l cc T

iros:θy, θz, F PLE: (V6 o bien a través del Teorema de Ca A.-Por el Teorema de Castigliano:

U

y despreciando los términos de

0 0 0

. . ..

.

y zy zL L

i ii

t y z

M MTT M MF FU dx dx dx

G I E I E Iδ

∂ ∂∂∂ ∂∂

= = + +∫ ∫. .L

iF∂∫ . .iF∂

rema de los Trabajos Virtuales:

qu

´ ´´ ´

L L LyM M M M´. .T T

0 0 0

. . . . .. . .

z zi i i i

t y z

.yF R dx dx dxG I E I E I

δ + ∆ = + +∑ ∑ ∫ ∫ ∫

Sección 9.5: Flexión y compresión combinadas en piezas muSección 9.5: Flexión y compresión combinadas en piezas muy esbeltas

25

9.5-FLEXIÓN Y COMPRESIÓN COMBINADAS EN PIEZAS MUY ESBELTAS

9.5.1-INTRODUCCIÓN En el caso de das a flexión-compresión combinadas, habrá que tener en consideración nuevas precisiones a lo ya visto anteriormente, en base a los siguientes hechos:

En la fig.10.29.a., se representa una viga sometida a la carga F de compresión y a la carga lateral P que produce flexión. Se indica así mismo la elástica y0 y el diagrama de momentos flectores Mz0 debidos a la carga P. Tanto la elástica como el diagrama de momentos flectores los podremos obtener con los conocimientos estudiados hasta ahora. En la fig.10.29.b., se representa de nuevo la misma viga con las mismas cargas, pero se ha tenido en cuenta que la elástica producida por la carga de flexión P se ha visto amplificada por la carga de compresión F, dando lugar a la elástica y. Así mismo ocurrirá con el diagrama de momentos flectores. Así pues ocurrirá: y0 , Mz

0 → elástica y momento flector debidos sólo a la carga lateral P (Tema 9) y, Mz → elástica y momento flector debidos a la carga lateral P y amplificados debido a la carga de compresión F (Tema 10) Observación: La amplificación de la flexión debido a la carga de compresión, es un efecto que habrá que tener muy en cuenta sobre todo en el caso de piezas muy esbeltas y sometidas a cargas grandes, pues es en estos casos donde dicha amplificación toma una importante relevancia. En el resto de los casos: piezas no muy esbeltas o piezas muy esbeltas pero con cargas no muy grandes, que son la mayoría de los casos que se nos darán en la práctica, no será necesario su consideración.

F P

y0

Mz0

x

Mz0

P F

Mz

yy0

Mz0

Mz

Fig. 10.29.a Fig. 10.29.b

x

piezas muy esbeltas solicita


26

9.5.2-ESTUDIO DE LA FLEXIÓN-COMPRESIÓN EN PIEZAS MUY ESBELTAS SOMETIDAS A GRANDES CARGAS Ecuación de la elástica amplificada La ecuación diferencial de la línea elástica será:

sustituyendo: haciendo: La solución de la ecuación diferencial será de la forma: en donde yp, es la solución particular y será una expresión de la misma forma que Mz

0

Ejemplo: Resolvamos la ecuación diferencial para el siguiente caso concreto

P

F x

y x

y

Fig. 10.30

lateralesasclaasólodebidoflectormomentoM

yFMMsiendoIE

Mdx

yd

z

zzz

z

arg:

.:.

0

02

2

+=−=

elásticaladeldiferenciaecuación

IEMy

IEF

dxyd

IEyFM

dxyd

z

z

zz

z

..

... 0

2

20

2

2

−=+→+

−=

elásticaladeldiferenciaecuación

IEMyk

dxyd

IEFk

z

zz

zz .

..

02

2

22 −=+→= (10.36)

(10.35)

pzz yxkCxksenCy ++= .cos... 21 (10.37)

q

F x

y Fig. 10.31

L

RA= q.L/2 RB= q.L/2 ymax

y = y(x)

Sección 9.5: Flexión y compresión combinadas en piezas muy esbeltas

27

álculo de las const

542

321

054

23

20

...cos...

)(..2

..2.

CxCxCxkCxksenCyelásticaladeecuación

MquegradomismodelCxCxCyxqxLq

zz

zpz

++++=

++=→−=M

C antes C3, C4, C5 :

Cálculo de las constantes C1, C2 : poniendo ecuaciones de contorno de la elástica:

nte todas las constantes calculadas en la ecuación de la elástica 0.38. quedará:

jemplo de la fig.10.31)

álculo de la fle

y sustituyendo finalme1

”ecuación de la línea elástica amplificada” (para el e C cha máxima La flecha máxima, para el ejemplo que se está analizando, se dará en x = L/2 y valdrá:

:serála

21 2 3 4 5

1 2 3 4

22 2

1 2 32

. . .cos . . .vando estos valores a la ecuación

. .cos . . . . 2. .diferencialde la elástica (10.36) quedará:

. . . . .cos . 2.

z z

z z z z

z z z

C sen k x C k x C x C x Cy C k k x C k sen k x C x Cx

y C k sen k x C k k x C

⎫= + + + + ⎪y

lle

z

⎪= − + + →⎬

⎪⎪

= − − + ⎪⎭

(10.38)

d ⎪dddx

2 2 2 21 2 3 1 3 4 5

2

2 2 2 2 2

. . . . .cos . 2 .( . cos . . . )1 .. . . y operando :

. mi

z z z z z zk sen k x C k k x k C sen k x C x C x Cq L qx x

q q L

+ + + + + =

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎛ ⎞

C− − .C 2. .zk x C+

= −

3 4 3 5. ). ( . ). (2. . ) . . e igualando tér2. . 2. .z z z

z z

C x k C x C k C x xE I E I

+ + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

. 2 2zE I ⎝ ⎠

⎛ ⎞(k

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 4 52 2 4

nos :

..2. . .2. . .z z z z z z

q L qC C Ck E I k E I k I

− −= = =

q.E

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⇒=→=

=⇒=→=

LseLk

IqCyL

IEkqCy

z

z

z

zz

..cos1.

.0

..00

41

42x

xEkz . kn

⎥⎦

⎤⎡−

− )..cos1 22

xxkLkq (10.39) ⎢⎣

−−+= .(2

1.cos...

...4 Lxkxksen

LksenIEky z

zzz

z

zz

( )

2 2 2

max 4

24

max 4

. . cos . 1 .2 . . . 2 2 2 2 4

24. sec 1. 5. . 2haciendo : . "flecha máxima amplificada "2 384. . 3.

zz z

z z z

z

z

kL L L Lsen k kk E I sen k L

uuk L q Lu yE I u

⎤⎛ ⎞+ − − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

− −= → =

1 cos .( ) . zk LL qy y x⎡ −

= = =


28

bservaciones: O 1.- La carga F de compresión a amplificado la elástica producida por la carga lateral q En efecto: En el ejemplo visto anteriormente, si la viga sólo hubiese estado sometida a

resión F (ver fig.10.33), el valor

obt

omentos flectores amplificados

la carga lateral q, (ver fig 10,32), el valor de la flecha máxima que se obtendría sería:

q

En el caso de considerar también la carga de compenido para la flecha máxima ha sido:

C

omparando ambos valores se puede poner:

M Conocida ya la elástica amplificada, el momento flector amplificado se podrá obtener or dos procedimientos:

p

q F

Fig. 10.33

ymax

y y0

Fig. 10.32

y0max

y0 zIE

Lqy..384

..5 40max =

(valor obtenido de Tablas)

4

2

4

max .32

1sec.24.

..384..5

u

uu

IELqy

z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

2

2

2 4

24. sec 1"coeficiente de amplificación de la flecha máxima2

siendo:producida por la carga Fde compresión"3.

u

uuk

u

⎛ ⎞

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠=

0 0max max 2 max4

24. sec 12

. .3.

uy y k y

u

− −⎜ ⎟⎝ ⎠= =

2

2

2

2

0

...

)

.)

dxydIEM

IEM

dxyd

yFMM

zzz

z

zz

−=→−=

+= (10.40)

(10.41)

1

2

Sección 9.5: Flexión y compresión combinadas en piezas muy esbeltas

29

0.39 y quedará:

Cálculo del momento flector máximo

Así para el ejemplo que nos ocupa, la elástica amplificada viene dada por la ecuación1

0

El momento flector máximo, para el ejemplo que se está analizando, se dará en x = L/2 y valdrá:

Observaciones: 1.- La carga F de compresión a amplificado el momento flector producido por la carga

teral q la En efecto: En el ejemplo visto anteriormente, si la viga sólo hubiese estado sometida a la carga lateral q, (ver fig 10.34), el valor del momento flector máximo que se obtendría sería:

22 2

4

1 cos .. . . . . . . cos . 1 .( . )2 2 . . . 2

z z

z zz z

k L kq L q qx x F sen k x k x L x xk E I sen k L

2

.

y operando

1 cos .. . . cos . 1 " mento flector amplificad.

z z z

zz z z

z z

F y

k LqM sen k x k xsen k L

= + =M M

⎡ ⎤−⎛ ⎞= − + + − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠

mo o"k

⎣ ⎦

⎡ ⎤−= + −⎢ ⎥

⎣ ⎦(10.42)

max 2

2

2

1 cos( ) . . . cos . 12 . 2 2

"momen. . 2.(1 cos )haciendo : .amplificado"2 8 .cos

zz z z z

z z

z

L q L LM M x sen k kk sen k L

k L q L uu Mu u

⎡ ⎤−= = = + −⎢ ⎥

⎣ ⎦−

=

.k L

to flector máximomaxz→ =

q

Fig. 10.34

Mz

L

x 8. 2

0 Lq=maxM z

or obtenido de Tablas) M0

max (val0 Mz

0


En el caso de considerar también la carga de compresión F (ver fig.10.35), el valor obtenido para el momento flector máximo ha sido: q

Mzmax

Mz M Fig. 10.35

30

álculo de las tensiones amplificadas

comparando ambos valores se puede poner:

z

L

x

F

M0z

uuuLqM z cos.

)cos1.(2.8.

2

2

max−

=

0max max 3 max2

3 2

2.(1 cos ). ..cos

"coeficiente de amplificación del momento flector2.(1 cos )sie :máximo, debido a la carga Fde compresión".cos

oz z z

uM M k Mu u

uk

−= =

−=

ndou u

C

plificadas las tensiones que él produce, sí para el ejemplo que se está estudiando sería:

s el mismo coeficiente que el de amplificación de los momentos flectores)

Al amplificarse el momento flector se verán ama

0 03 0

3 3

3

. ( . ). .. .

"coeficientedeamplificación de s debidas a la flexión2.(1 cos )ndo:producido por la car ompresión".cos

z y z y z yf

z

M v k M v M vF F F k kA I

uku u

σ σ= +

−=

( ) ( )total zz z

N MA I A I

σ σ σ= + = + = + = +

las tensionega Fdec

sie 2

(e

Sección 9.6: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas sometidas a solicitaciones combinadas

9.6-INTRODUCCIÓN AL DIMENSIONAMIENTO A RESISTENCIA DE VIGAS METÁLICAS SOMETIDAS A SOLICITACIONES COMBINADAS .(Normativa DB-SE-A) A.- RESISTENCIA DE LAS SECCIONES 1.-Caso de Flexión y Axil: N, Mz, My Criterio elástico de dimensionamiento Las fórmulas a aplicar serán: Criterio plástico de dimensionamiento Las fórmulas a aplicar serán: Observación: En los casos en que no existiesen algunas de las solicitaciones: N, Ma utilizar serían las mismas, sin más que hacer cero la solicitación que 2.-Caso de Flexión, Axil y Cortante: N, Mz, My, Vy, Vz

***

, , ,

1yz

pl d zel d yel d

MMNN M M

+ + ≤

***

, , ,

1yz

pl d pl d pl d

MMNN M M

+ + ≤

)

El estudio se hará indistintamente para las cortaduras: Vy o Vz y la degeneral: V

Siempre que: *,

1 1. . .2 2 3

ydpl d v

fV V A no habrá que hacer mas c≤ = →

tan sólo las correspondientes al caso 1º (sin cortantes) Los valores a considerar para el área Av de la sección son los siguient

• Secciones macizas de gran espesor: rectangulares, circulares,…

Con cortadura V

Av = A (área de la sección)

…• Perfiles abiertos de pequeño espesor: IPE, HEB, UPN,……

y: Av = Área del alma del perfil Con cortadura Vz: Av = Área de las alas del perfil

• Perfiles cerrados de pequeño espesor circulares:

Av = A.2/

π

(9.23

z

)

n

o

e

.

(9.24

, My, las fórmulas no actúe

ominaremos en

mprobaciones

s:

….

31


32

e no se cumpliese lo anterior, es decir:

uerza Cortante (ver Normativa DB-SE-A)

En el caso de qu habría que hacer una nueva comprobación combinando el Momento flector con la

*,

1 1. . . ydpl d v

fV V A> =

2 2 3

F

3.-Otros casos de combinaciones

Su estudio es objeto de otras asignatu

.- RESISTENCIA DE LAS BARRAS

ras específicas. (Ver normativa)

B

nes son objeto de otras asignaturas específicas.

Al considerar ahora la barra en su conjunto se tendrán que hacer nuevas comprobaciones, pero estas comprobacio(Ver normativas)

tema9 solicitaciones-combinadas

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