TEMA 8

COORDENADAS, VECTORES, SIMETRAS, TRASLACIONES Y GIROS EN EL PLANO

Se llaman coordenadas a unas lneas que nos sirven para buscar el lugar, la posicin de un punto en un mapa, en un plano, etc. Se llaman coordenadas cartesianas porque parece que la idea primera la tuvo all por los aos 1640 el seor Ren Descartes. Lo mejor es pasar a la accin. En tu cuaderno de trabajo en una hoja limpia (la hoja es un plano), dibuja, acompandote de una regla una recta vertical y luego otra horizontal, cortndose por la mitad de la recta vertical, como tienes debajo:

Ahora vamos a dividir en partes aproximadamente iguales cada una de las lneas. El lugar donde se cortan las dos lneas, sealas con un punto rojo, es el cero. Los nmeros positivos se colocan a la derecha del cero

y los negativos a la izquierda. Cuando hace mucho fro hablamos de temperaturas bajo cero o temperaturas negativas y las temperaturas por encima de cero las situaremos en la recta vertical encima del cero.

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Ahora colocas unas pequeas divisiones que haces en cada recta. Las tenemos que numerar, siempre a partir del cero o punto rojo. Tendrs que hacer 4 numeraciones: dos positivas, a la derecha y sobre cero y dos numeraciones negativas, a la izquierda y bajo cero tal como las tienes en la figura siguiente: La lnea horizontal se llama EJE DE ABSCISAS. La lnea vertical se llama EJE DE ORDENADAS. Un poco rara la palabra abscisa. Como sabes, el idioma espaol procede en su mayor parte del latn. En latn, la palabra abscissa significa lnea que est cortada. La palabra ordenada hay quien dice que tambin procede del latn ordintae, otros opinan que viene de la palabra griega orthia que significa recto y hacia arriba.

Eje X o

Eje de abscisas

Eje Y o

Eje de ordenadas

CUADRANTES: Como estamos viendo, dos ejes cartesianos son dos rectas perpendiculares que dividen a un plano en cuatro partes, cuatro zonas, cuatro cuadrantes. El punto donde se cortan estos dos ejes llamamos origen de coordenadas. En estos cuadrantes representamos los puntos y el origen de coordenadas se encuentra en el punto cero (el punto donde se cortan los dos ejes).

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Los puntos se refieren primero, al valor de la abscisa o eje x se le agrega una coma y a continuacin se escribe el valor de la ordenada o eje y. Los cuadrantes se numeran en el sentido contrario a la marcha de las agujas de un reloj. En el PRIMER CUADRANTE la abscisa es positiva y la ordenada tambin. En el SEGUNDO CUADRANTE la abscisa es negativa y la ordenada positiva. En el TERCER CUADRANTE la abscisa es negativa y la ordenada tambin. En el CUARTO CUADRANTE la abscisa es negativa y la ordenada positiva. A continuacin tienes la numeracin de los cuadrantes y cuatro puntos representados, uno en cada cuadrante:

8.1 Dibuja el primer

cuadrante y coloca el punto (3,8) Respuesta:

3

Como comprobars hemos hecho uso solamente del primer cuadrante. No hace falta ms para representar del punto solicitado. 8.2 Dibuja el tercer cuadrante y coloca el punto (-5,-8) Respuesta: 8.3 Dibuja el segundo cuadrante y coloca el punto (-2,6) Respuesta: 8.4 Dibuja el cuarto cuadrante y coloca el punto

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(10,-6) Respuesta: 8.5 Sita el punto (0,-6) Respuesta: Como el cero, tanto para la abscisa como para la ordenada se encuentra en el punto donde se cortan los dos ejes tendremos que el valor de x es cero y el valor de y -6: 8.6 Sita el punto (7,0) Respuesta: En este caso vemos que el valor de abscisa o x es 7 y el de ordenada o y es cero cuyo valor se encuentra en el punto donde se cortan las rectas de abscisas y ordenadas:

5

8.7 Coloca el punto (0,7) Respuesta:

En este caso el valor de abscisa es cero.

que los une.

8.8 Dnde colocas el punto P(0,0)? Respuesta: Como los dos valores son iguales a cero, se encontrar exactamente en el punto de corte de ambas perpendiculares: REPRESENTAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Vamos a fijar dos puntos sobre un plano y luego dibujamos con una recta la distancia entre ambos puntos:

Hemos fijado dos puntos en el primer cuadrante; los puntos A(2,2) y B(9,9). La distancia entre ambos puntos queda sealada por la recta Podemos deducir que para trazar una recta sobre una hoja de papel, la pizarra de clase, etc., necesito dos puntos.

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8.9 Traza una recta que pasa por los puntos A(2,5) y B(10,1). Respuesta: 8.10 Traza una recta que pase por los puntos A(-3,5) y B(10,-6). Respuesta: VECTORES: La palabra vector procede de una palabra latina que significa el

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que acarrea, el que lleva, el que transporta. Como ves, podemos traducir como el conductor, portador, Se llama vector a un trozo, parte, porcin o segmento de una recta pero que nos indica algo ms que su longitud o mdulo como son la direccin y el sentido. Sobre una recta x (sera la direccin) tomo un trozo, una parte o un segmento de la misma y sealo su longitud con las letras A y B y a la derecha le dibujo una flecha para indicar el sentido. A B x Los vectores se representan con las letras que determinan su mdulo (comienzo y fin). En el ejemplo anterior, el comienzo del vector se encuentra en A y el final en B. Los vectores se representan con las letras de comienzo y fin del segmento con una recta con flecha sobre ellas indicando el sentido del desplazamiento o una sola letra mayscula o minscula:

o .

ABuuur

Aur

ur

Muchas personas nos liamos con las palabras direccin y sentido. El motivo es que cuando hablamos, utilizamos ambas palabras como si significasen lo mismo y no es as. Direccin es la lnea donde se realiza un movimiento mientras que el sentido nos indica hacia dnde se realiza el movimiento, hacia uno u otro lado.

Imagina una carretera que va desde Almera a Granada, en este caso, nos referimos a la direccin. Esa carretera se podra haber trazado por otros lugares, es decir, que direcciones de Almera a Granada podran existir muchas, pero en cada caso, solo habra dos sentidos o vamos hacia Granada o vamos hacia Almera.

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De un modo grfico lo expresamos con el ejemplo siguiente:

Las vas del tren nos indican la direccin. El tren o va en el sentido Madrid o en el sentido Irn. Direcciones puede haber muchas (lugares escogidos para trazar la lnea del ferrocarril). Sentidos no puede haber ms de dos.

8.11 En este ejercicio tienes unos vectores que debes agruparlos: 1 por los que tienen iguales mdulos 2 por los que tienen la misma direccin 3 por los que tienen el mismo sentido

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Respuestas: Iguales mdulos: CD, JK y HLuuur uur uuur

AB,EF y MNuuur uur uuuur

Iguales direcciones: RT y UVuuur uuur

CD,JK y HLuuur uur uuur

AB,EF y MNuuur uur uuuur

Iguales sentidos: JK y HLuur uuur

; EF y MNuur uuuur

OPERACIONES CON VECTORES: Si los vectores podemos representarlos grficamente tambin podemos representar su suma grficamente.

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Sumar vectores: Para sumar dos o ms vectores grficamente unimos sus orgenes en un mismo punto tal como los tienes en la figura 1 en ella vers que los hemos hecho coincidir en el punto (0,0). Vamos a sumar los vectores: uuu uuu

. El primer vector tiene su origen en el punto (0,0) y su extr mo en (2,2) y el vector uuu

su origen o punto de aplicacin en (0,0) y su extremo en el punto (5,2).

OA OB+

fig.1

r r

er

e A

OB

Es aconsejable que los dibujes en un eje de coordenadas.

La suma puedes realizarla de dos modos: a) grficamente b) sumando sus componentes.

a) Una vez que hayas dibujado lo vectores en los lugares correspondientes, trazas a partir duna paralela a OB

uuur y

otra paralela a OAuuur

unt

a partir de B como lo tienes en la figura 2: Estas dos rectas se cortan en un punto C y este p o lo unes con el origen de las dos rectas y obtienes el vector OC

u

fig.2

uur cuyo origen

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est situado en (0,0) y su extremo en (7,4) y es el resultado de la suma OA

uuu uuu.

b) El extremo del ve r OA

OB+r r

ctouuur

r est situado en el punto (2,2) y el extremo del vector

uuu en (5,2). Los dos valores que definen a

un punto, es decir, los valores de x y de y se llaman componentes (las componentes). Si sumamos ordenadamente las componentes de x e y tenemos (2+5,2+2) = (7,4) que es el valor obtenido grficamente.

OB

8.12 Sumar grficamente los vectoresOAuuur

y OBuuur

cuyas longitudes, direcciones y sentidos figuran en la figura a partir del punto (1,2).

Solucin:

En la figura 3 hemos colocado los dos vectores a sumar en un punto distinto de (0,0), se encuentra en el punto (1,2).

Fig. 3

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Resolvemos, figura 3, grficamente por medio del trazado de las paralelas a ambos vectores a partir de A y B, como en el caso anterior. Se cortan en el punto C. Unimos este punto con O y tenemos el vector resultante de la suma de los vectores OA OB+uuu = OC cuyas coordenadas corresponden al punto (8,6). Esta respuesta no sera correcta porque hemos partido del punto (1,2). Esto quiere decir que hemos de restar las componentes de los puntos (8,6) y (1,2); (8,6) - ( 1,2) = (8 1, 6 2) = (7,4). Grficamente tienes representados estos clculos en la figura 4: En el eje de ordenadas vemos que el punto C alcanza el valor 6, pero como ha partido desde el valor 2 y no desde el (0,0), en realidad su valor es de 6 2 = 4 y lo mismo sucede con el valor de la abscisa que alcanza el valor 8 pero ha partido desde el 1 y no

desde (0,0) en cuyo caso tendremos que restarle 1 a 8 con lo que vemos que el valor de la suma es igual a (7,4).

fig.3

r uuur uuur

fig.4

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El resultado es el mismo al obtenido al sumar sus componentes.

Otro modo de calcular una suma de vectores grficamente es el de trasladar el segundo vector al final del vector primero y unir el origen del primer vector con el final del segundo. Lo entenders al observar la figura 5 donde hemos colocado el vector OB

uuu a

continuacin del vector . Unimos el emo del vector con e igen del vector

r

xtruuurl or

OAuuur

eOB

OAuuur

uuur

es +uuur uuur =

y obtenemos el vector que corresponde a la suma de las componentes de

los dos vector B C

OC

OA O O

Fig. 5

uuur).

s r

(7,4

8.13 En el primer cuadrante de un eje de coordenadas cartesianas dibujas dos vectores y calculas la suma. Resuelve, al menos, de dos maneras diferentes. Solucin: En la figura 6 suponemo dosvectores

uu y M N

uK

fig. 6

r

con origen, ambos en el punto (2,3) y final en (3,5) y (5,2) respectivamente.

En este caso representamos los vectores con una sola letra mayscula.

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El resultado queda representado por el vector OKuuur

= (6,4)

Sumando las componentes tenemos: (3+5, 5+2) = (8,7) pero este valor no procede del origen de coordenadas, del punto (0,0) sino del punto (2,3). A las componentes (8,7) hemos de restar las componentes (2,3) para que la medida proceda del punto (0,0): (8 2, 7 3) = (6,4).

SUMA DE VARIOS VECTORES: Si tienes que sumar varios vectores, primero sumas dos y hallas el valor resultante de esta suma. Despus, tomas este vector resultante con otro vector y los sumas. Obtienes un nuevo vector procedente de la suma anterior y lo sumas con otro vector, y as, hasta que hayas acabado con todos.

VECTOR OPUESTO: Llamamos vector opuesto al AB

uuur

uuurse

a otro vector que tiene el mismo mdulo, la misma direccin pero de sentido opuesto:

El vector opuesto a AB ra BAuuur

ruuurr

Grficamente: Vecto Vector opuesto

uuu

ABBA

Si las coordenadas del vector ABuuur uuur

fuesen (5,7) las del vector seran ( 5 , 7) que podemos escribir

BAABuuur

y tambin:

(5,7) Recuerda que si quitas parntesis cuando hay un signo menos por delante del primer parntesis, los trminos que se encuentran dentro, cambian de signo: 5 , 7.

Grficamente representamos el vector ABuuur uuur

y su opuesto BA:

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VECTOR DE POSICIN: Se llama vector de posicin al que tiene su origen en el centro de coordenadas, es decir, en el punto (0,0). Muchas veces al sumar o restar vectores nos resulta ms fcil posicionar el origen de los vectores a sumar o restar en este punto.

8.14 Cunto vale la suma de dos vectores opuestos? Respuesta: Cero.

fig. 7

Opuesto de a

b=-3

a=3

Solucin:

Al tener el mismo mdulo y direccin pero sus sentidos contrarios la suma ser cero. Si un mdulo vale 3 la suma con su opuesto, que es 3 el resultado de 3 3 = 0

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RESTAR VECTORES: Si queremos restar dos vectores A

ur y B

ur sumamos al primero el

opuesto del segundo. Procura seguir paso a paso lo que se explica a continuacin:

Los dos vectores tienen el mismo origen: (0,0). El vector A

urur tiene su extremo

en el punto (1,5) y el en el punto (5,4). Resolvemos primeramente restando sus componentes: Restamos a las componentes de

B

Aur

las deBur

rv

; hacemos el clculo aritmtico: (1 5, 5 4) =( 4 , 1) que como obse ars en la figura este

punto coincide con el extremo del vector Cu

fig.8

r.

Grficamente, tras colocar los dos vectores a restar, lo primero que debemos hacer es situar el opuesto del vector sustraendo o negativo, en nuestro caso el opuesto del vector B

ur L ie

(iguales mdulos, direcciones pero sentidos opuestos. o t nes en color rojo. Trazamos las paralelas de los vectores A

ur y B

ur

i

teniendo en cuenta que hemos de referirnos al opuesto del vector sustraendo que es el B

ur. Un mos la interseccin de ambas paralelas con el

origen de A y Bur

, es decir, el (0,0) y obtenemos el vector Cur

cuyas coordenadas corresponden a ( 4, 1).

ur

8.15 Tenemos dos vectores, el vector Muur

cuyo valor de origen es el (0,0) y extremo (1,5) y el vector N

ur con origen en (0,0) y final

de segmento en el punto (6,1). Calcula grficamente su diferencia.

Respuesta: Origen (0,0), extremo (5,4)

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Solucin: Tenemos que restar el vector M

uur del vector N

ur. Los tienes

colocados en la figura 9.

Trazamos (en rojo) el opuesto del vector N

ur y

sumam este vector con el

uu. Para esta

suma, como siempre, dibujamos las paralelas del vector

uu y e

vector opuesto a

osr

rl

M

MNur

y unimos el punto de corte de estas dos lneas paralelas con el origen de los vectores (0,0) y obtendremos el valor de la resta propuesta que como vers, sus componentes son (0,0) origen y ( 5, 4) fin de segmento.

fig.9

Para comprobar, sumamos las componentes del primer segmento con las opuestas del segundo: M

uur+( N

ur

o

) = (1 6, 5 1) = (5,4).

8.16 El vect r Rur

cuyo valor de origen es el (0,0) y extremo (5,6) y el vector S

r con origen en (0,0) y final de segmento en el punto

(6, 1). Calcula grficamente su diferencia.

Respuesta: Coordenadas: inicio (0,0) y extremo (1, 7)

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES: En primer lugar, conviene tener claro el significado de magnitud. Magnitud es lo mismo que tamao, dimensin, volumen, medida, etc.

Todos los cuerpos que pueden ser medidos o pesados tienen magnitud o medida o capacidad o peso, etc. Una piedra tiene la propiedad de poder ser pesada o calcular su

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volumen. El resultado de su peso lo escribimos con un nmero seguido del tipo de unidad correspondiente; por ejemplo: 5 Kg Si calculamos su volumen vemos que es de 2 dm3

Todas las magnitudes o medidas que hacemos y las podemos representar con un nmero y el tipo de unidad correspondiente (12 Kg, 4m3 , 4 Hl, 3 mm, etc.) se llaman magnitudes escalares.

Existen otras magnitudes que adems de escribir un nmero y tipo de unidad necesitan ms datos como: cantidad, direccin y sentido. Las magnitudes que necesitan que indiquemos su cantidad, direccin y sentido se llaman magnitudes vectoriales. Cuando hablamos de un coche que marcha a una velocidad de 120 Km en direccin vila Salamanca, sentido Salamanca adems de un nmero de kilmetros por hora indicamos su direccin y sentido. Esta magnitud sera vectorial.

VECTOR FIJO: Llamamos vector fijo a todo segmento, parte o trozo de una recta que est orientado y lo representamos por AB

uuur.

Los vectores fijos han de tener: - Origen y extremo del segmento. - Direccin que es la lnea sobre la que se asienta el vector. - Sentido si se dirige hacia la izquierda o derecha, arriba o abajo (slo hay dos sentidos para un vector). - Mdulo es el tamao del segmento.

VECTORES EQUIPOLENTES O EQUIVALENTES: Los vectores que tienen el mismo mdulo, direccin y sentido se llaman equipolentes o equivalentes (que valen igual). VECTOR LIBRE: Es todo vector que tiene el mismo mdulo, direccin y sentido y puede tener distintos puntos de origen y de extremo.

En la siguiente figura puedes ver un vector fijo con el origen en (0,0) y extremo del segmento en (3,4) y tres equipolentes, libres

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con distintos puntos de origen y extremo del segmento siendo iguales el mdulo, direccin y sentido:

8.17 Resuelve grficamente la diferencia de los vectores con origen en (0,0) y extremo en el punto (2, 4) y el vector con origen en (0,0) y extremo en el ( 5,4)

AurB

Respuesta: Vector C(7, 8)

Solucin: Por el procedimiento de resta de componentes tenemos (2 (5), 4 (4)) = (2+5, 44) = (7, 8)

En la figura tienes resuelto grficamente. El vector color naranja es el opuesto del vector B y en azul el vector C resultante de calcular la diferencia.

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TRASLACIONES EN EL PLANO: El hecho de cambiar de posicin una figura en un plano llamamos traslacin. Se trata de trasladar una figura a un lugar del plano a una distancia, direccin y sentido determinados.

8.18 Realizar la traslacin de un tringulo a otro lugar del plano tomando como gua un vector. Solucin Vas a ir haciendo paso a paso lo que se te va indicando: 1 En una hoja de papel cuadriculado dibuja un eje de coordenadas como tienes en F.1. Seala los puntos (-6,-2), (-9,-6) y (-2,-5) que sern los vrtices del tringulo.

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2 Unes los puntos AB del tringulo y dibujas un vector gua de traslacin, lo tienes en color amarillo. Observa que el extremo de este vector tiene de componentes (10,7). Un modo sencillo de hacer una traslacin es servirnos del vector gua. Para ello, a cada punto ABC del tringulo le colocamos el vector gua guardando el mismo mdulo, direccin y sentido del vector gua tal como lo tienes en F.3 con los colores verde, rojo y azul. Los extremos de cada uno de los vectores verde, rojo y azul son los nuevos vrtices del tringulo.

C

Si sumas las componentes de cada punto A, B y C con los del vector gua tendrs los puntos correspondientes al nuevo tringulo.

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Al extremo del vector verde que parte del punto A lo determinamos con A, al extremo del que parte del punto B, con B y con C al qEl tringulo ABC se ha convertido en el ABC de acuerdo con el vector gua. As pues, los vectores que unen los puntos ABC con ABC tienen el mismo mdulo, direccin y sentido. Los puntos A,B y C son los homlogos de A, B y C, es decir, que estn colocados en el mismo orden o posicin.

ue parte del punto C tal como lo tienes en F.4.

Si sumamos las componentes del punto A = (6, 2) con las del vector gua (10,7) obtenemos las componentes del punto A (6 + 10, 2 + 7) = A(4,5). Si sumamos las componentes del punto B = (9, 6) con las del vector gua (10,7) obtenemos las componentes del punto B (9+ 10, 6+ 7) = B(1,1). Si sumamos las componentes del punto C = (2, 5) con las del vector gua (10,7) obtenemos las componentes del punto C (2+ 10, 5+ 7) = C(8,2).

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TRASLACIONES SUCESIVAS: Tenemos el tringulo de la figura I cuyas coordenadas

corresponden a los puntos (2, 1), (3, 3) y (1, 2).

Vamos a hacer una traslacin tomando como vectores gua, la suma de los vectores: u

r y v

r

El vector ur

tiene como componentes (2,4) y el vector v

r (4,4).

Calculamos la suma de estos vectores:

r + u v

r = z

r

Las componentes de r

son: (2+4,4+4) = (6,8) zGrficamente lo tienes representado en la figura II.

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En color azul representamos el vector gua z

r = (6,8).

Para calcular los puntos homlogos de los vrtices del tringulo sumamos las componentes de cada punto de coordenadas de ste con las corresponden al vect

(2, 1) + (6,8) = (4,7) (3, 3) + (6,8) = (3,5)

or gua:

(1, 2) + (6,8) = (5,6).

Grficamente los tienes representados en la figura III.

8.19 Aunque te parezca un poco laborioso es conveniente que realices por tu cuenta la traslacin de una figura sencilla teniendo en cuenta que el vector gua sea la suma de otros dos vectores. Los valores de todas las componentes son de tu eleccin.

GIROS EN EL PLANO:

Girar significa dar vueltas sobre un eje o alrededor de un punto y tambin significa mover circularmente alguna cosa. Los giros los podemos hacer en dos sentidos, hacia la izquierda o hacia la derecha.

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Cuando movemos circularmente alguna cosa alrededor de un punto describimos un ngulo. Si lo giramos en el sentido contrario al de las agujas de un reloj, el ngulo es positivo. Cuando el giro es contrario al de las agujas de un reloj el ngulo

es negativo.

En la figura 1 tienes dos giros, de 90 y 180 ambos positivos pues las flechas te indican que los giros han sido efectuados en sentido contrario a

las agujas del reloj.

En la figura 2 tienes tres ngulos de 37, 90 y 143 grados, positivos porque giran en el sentido contrario al de las agujas de un reloj.

La mitad del eje de coordenadas corresponden a un ngulo de 180 grados (figura 3).

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Cuando el ngulo pasa de 180 nos adentramos dentro del tercer cuadrante (figura 4):

RECORDAMOS LA IDEA DE ARCO: Arco es una parte, un trozo, una porcin de curva. En la figura 5 puedes observar un dibujo en el que una manzana atada a una cuerda la hacemos describir una circunferencia.

Al trozo de curva llamamos

ABarco y es el camino recorrido por la manzana. Una vuelta completa equivale a la longitud de la circunferencia (cuando ms larga sea la cuerda o

mayor es el radio, la longitud de la circunferencia ser mayor y tambin el arco). Al arco de la figura 5 le corresponden 35. Una vuelta completa equivale a 360.

AB

CENTROS DE GIRO: a) El centro de giro se encuentra dentro de la misma figura que gira.

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En la figura 6 tomamos como centro de giro el punto rojo. Comprobars que dicho punto pertenece a la figura.

s e se

En la figura 7 tienes el resultado de

haber repetido 6 veces la figura que representa al nmero 7 con giros de 60 cada uno en sentido positivo.

EFECTOS INTERESANTES: Mediante los giros cuando el centro corresponde a la misma figura podemos obtener resultados interesantes.

Recordars que se llama ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas de un tringulo.

En la figura 8 tenemos un tringulo equiltero (lados iguales) sobre un eje de coordenadas. Vamos a trazar las tres alturas de este tringulo. Teniendo en cuenta que la altura es la perpendicular que une un vrtice con el lado opuesto tenemoen la figura 9 las tres alturas qucortan en un punto que se llama ortocentro.

Hacemos coincidir el ortocentro con el centro de coordenadas.

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En la figura 10 y con centro en el ortocentro dibujamos 4 tringulos de modo que vamos girando 90. Los tringulos los tenemos numerados. El tringulo 2 hemos girado 90 respecto del tringulo 1. Lo mismo hemos hecho del nmero 2 respecto al nmero 3 y de ste al nmero 4.

Para comprobar con mayor facilidad de cuanto acabamos de decir, cada tringulo va con un color diferente.

Cuando el nmero de tringulos u otras figuras es elevado conseguimos efectos interesantes como te muestra la figura 11.

Se trata de 30 tringulos equilteros que han ido girando de 12 en 12 grados:

GIROS EN EL PLANO CUANDO EL CENTRO DE GIRO NO PERTENECE A LA FIGURA: Consideramos el caso en el que el centro de giro se halla fuera de la figura (figura 12).

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En este caso hemos realizado 10 giros de 36 cada uno con centro en el punto (0,0) del eje de coordenadas y no desde un punto interior de la figura. En color rojo tenemos la distancia de cada figura al centro de coordenadas.

EFECTO DE REPETICIONES DE GIROS CON CENTROS FUERA Y DENTRO DE LA MISMA FIGURA: Partimos de la figura 13: Vemos que la base de la figura 13 descansa sobre el origen de coordenadas.

Tomando el centro de la base de la figura como centro de giro, colocamos 18 figuras repetidas, una cada 20 y obtenemos el

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contenido de la figura 14.

Si la figura la alejamos del centro de coordenadas como te indica la figura 15 y la repetimos 18 veces con ngulos de giro de 20 por cada figura, obtenemos el resultado de la figura 16:

FIGURAS SEMEJANTES: Se llaman figuras semejantes a las que tienen la misma forma aunque sus tamaos sean diferentes. Tambin son semejantes las figuras cuyos lados estn comprendidos por lneas paralelas (comprueba en la figura 17). En la figura 17 tienes tres figuras semejantes que como comprobars tienen la misma forma siendo distintos sus tamaos.

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LADOS HOMLOGOS: En las figuras semejantes, a los lados que se corresponden se les llaman lados homlogos. Al lado que ocupa el mismo lugar en otra u otras figuras llamamos lados homlogos. Lo mismo podemos referirnos a puntos. El lado AB (figura 17) es homlogo al lado AB (ocupa el mismo lugar en otra figura) y tambin es homlogo al lado AB (ocupa el mismo lugar). Lo mismo podemos decir del lado BC con BC y BC, CD con CD y CD,y as, con los dems lados.

FIGURAS HOMLOGAS MEDIANTE GIROS: En la figura 18 tienes el segmento AB al que hemos girado en sentido positivo 75 desde el punto O que es al mismo tiempo el centro de coordenadas. Los puntos A y B son homlogos a A y B ya que ocupan el mismo lugar. En la misma figura hemos rellenado con color gris el espacio

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interior formado por las lneas que partiendo de A, B, A y B se unen con O, punto comn para ambos tringulos.

Ambos tringulos son iguales por tener iguales sus lados homlogos y por tanto, sus ngulos.

En la figura 19 tienes el tringulo ABC que tras un giro de 80 se ha transformado en el tringulo ABC(puedes comprobar el giro de cada uno de los vrtices). Vemos que los lados homlogos de los tringulos son iguales y si sus lados son iguales, los ngulos tambin lo sern.

El tringulo ABC es homlogo del tringulo ABC.

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CIRCUNFERENCIA HOMLOGA: La circunferencia con centro en C y radio r ha efectuado un giro con centro eO de 1

n 06.

ue

iguales.

la que tiene su centro en C.

La circunferencia con centro en C y radio r es la homloga puesto qambos radios son

La circunferencia con centro en C ocupa otro lugar (106 positivos) de

HALLAR EL CENTRO DE GIRO DE DOS FIGURAS HOMLOGAS: En la figura 22 tienes dos tringulos iguales. Sus lados homlogos son iguales. El problema que vamos a resolver es el modo de hallar el centro de giro pues vemos que para pasar de una posicin a otra, hemos tenido que realizar una rotacin cuyo centro es un punto exterior a las figuras.

Antes vamos a recordar como se calcula el CIRCUNCENTRO de un tringulo (es vlido para cualquier polgono). El circuncentro es el punto donde se encuentran las mediatrices, en nuestro caso, del tringulo.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento exactamente en su punto medio. Analicemos paso como se determina el circuncentro:

En la figura 21 tienes un tringulo:

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Dibujamos la mediatriz de la recta AB. Necesitas primero saber la mitad de dicha recta. Tomamos un comps y con el mismo radio, haciendo centro en A trazamos dos arcos y despus hacemos lo mismo haciendo centro en B de modo que los arcos trazados desde los puntos A y B se corten como te indica la figura 22:

De este modo hemos calculado el punto medio del segmento AB y luego trazamos por ese punto una perpendicular (en verde). As hemos determinado la primera mediatriz.

Hacemos lo mismo desde los puntos BC y CA en rojo y azul para determinar las otras dos mediatrices.

Lo tienes dibujado en la figura 23:

35

El punto donde se cortan las tres mediatrices del tringulo se llama CIRCUNCENTRO.

En la figura 24 puedes ver la circunferencia que encierra o circunscribe al tringulo.

Vamos a determinar el centro de giro de dos segmentos homlogos.

En la figura 25 tenemos dos segmentos: AB y BB. El segmento AB es el homlogo del AB. Vemos que el segmento ABha girado desde un punto exterior a de ambos segmentos. Se trata de calcular el centro de giro y para ello unimos los puntos

A con A y B con B para calcular sus mediatrices (figura 26):

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Comprobars que las mediatrices de dos segmentos son dos rectas perpendiculares a los mismos en sus puntos medios. Los segmentos son AA y BB

Haciendo centro en el circuncentro dibujamos los arcos que han recorrido los puntos A y B hasta transformarse en sus homlogos A y B (figura 27).

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NGULO GIRADO: Conocido el centro de giro podemos determinar muy fcilmente el ngulo que han girado las figuras.

En la figura 28 los valores de los ngulos AOA y BOB son iguales, ambos valen 140 y es el ngulo recorrido por el

segmento AB hasta AB.

CENTRO Y NGULO DE GIRO DE DOS TRINGULOS HOMLOGOS:

El proceso es el mismo que lo estudiado hasta ahora.

En la figura 29 ves dos tringulos homlogos. Vamos a determinar el centro de giro y el valor del ngulo girado.

En la figura 30 tenemos las

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mediatrices de las rectas AA, BB y CC que nos definen el circuncentro. A partir de l, trazamos los arcos en colores verde, azul y rojo que han descrito los vrtices A, B y C en el giro hasta situarse en A, B y C.

Si te fijas bien en la figura 31, observars que los ngulos que forman AOA (en verde), BOB (en azul) y COC (en rojo) nos indican el ngulo de giro, que como es lgico, han de ser iguales, en este caso vemos que el ngulo de giro es de 157.

SIMETRAS EN EL PLANO:

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Cuando la posicin de una figura en el plano, sus dimensiones y su forma se corresponden a uno y otro lado de un punto, un eje o un plano decimos que se tratan de figuras simtricas. Dichas figuras se deben encontrar a la misma distancia del punto, eje o plano de simetra:

En F.1, el punto O, centro de la circunferencia, es el punto medio de todas las rectas.

Este punto O es el punto o centro de simetra.

Si tomases un segmento cualquiera, por ejemplo, OD y lo doblases por su mitad (punto O) veras que coincidira con OD.

El punto O est a igual distancia (equidista) de los puntos A y A, B y B, C y C y D y D.

Los puntos AOA, BOB, COC y DOD estn alineados.

en lugar de puntos, como en el caso anterior, analicemos ahora los segmentos que configuran los pentgonos de F . 2. En este caso,

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ambos pentgonos son simtricos respecto a un punto central O de simetra:

En la F. 3, vemos que los segmentos que unen los puntos homlogos AA, BB, CC, DD y EE pasan todos por el punto O y es el punto de simetra.

Si doblases una hoja de papel con el contenido de la F.3 por el punto O con la inclinacin debida, coincidiran los dos pentgonos.

SIMETRA AXIAL: La palabra axial viene de la palabra latina axis que significa eje

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y simetra axial significa simetra respecto de un eje, por ejemplo, en F.4(a) tenemos el punto A y su homlogo A de modo que si doblaras un papel que contiene esta figura por el eje de simetra, los puntos A y A coincidiran.

La recta ( en color verde) que pasa por los puntos A y A es perpendicular al eje de simetra y dichos puntos equidistan del eje. Aplicamos el eje de simetra a un tringulo:

Comprobars que ambas figuras son equidistantes respecto al eje de simetra y que si doblaras un papel que contuviese la F.5 por el eje de simetra, ambas figuras coincidiran.

Aplicamos el eje de simetra para realizar una figura que incluya varias lneas tal como puedes ver en F.6(a).

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Primero dibujamos la mitad de la figura, no hace falta dibujarla toda.

Luego trazamos el eje de simetra tal como tienes en la F.6(b) con la figura simtrica a F.6(a).

Puedes ver que hay una distancia entre ambas. Equidistan del eje de simetra F.6(b).

Si anulamos la distancia entre ambas figuras homlogas, obtendremos la figura completa F.6 (c):

HOMOTECIA: Se llama homotecia a la transformacin geomtrica que sufre una

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figura. A partir de un determinado punto, todas las medidas quedan multiplicadas por un mismo factor distinto de cero.

En la figura F.7 tienes unos ejes de coordenadas. El tringulo ABC tiene sus vrtices en los puntos A( 2,3), B(4,2) y C(1,2).

Multiplicamos a las coordenadas de cada punto por el factor 2 cuyos valores se transforman en: A( 4,6), B(8,4) y

C(2,4).

El centro de homotecia la hemos situado en O que corresponde a (0,0) del eje de coordenadas.

En F.8 los valores de los puntos de los vrtices del tringulo ABC son A(3,0), B(4,1) y C(2,4). El factor es 2 por lo que los vrtices del tringulo ABC sern:(6,0), (8,2) y (4,8) respectivamente.

Al unir los vrtices de figuras homotticas con rectas, stas se juntan en un punto llamado centro de homotecia (en los ejemplos anteriores y los prximos quedan sealados con la letra O).

En la homotecia tenemos en cuenta la figura original y la homottica, ambas tendrn la misma forma pero sus tamaos sern diferentes dependiendo del factor o razn de homotecia (generalmente se le representa con la consonante k) si es mayor o menor que la unidad.

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En la figura 9 vemos que no ha habido ninguna modificacin de tamao ya que estamos tratando un punto (A) pero s tenemos una modificacin de distancia: OA '

suuur = 4OA

suur.

En este ejemplo A es homlogo de A.

Si el factor k es menor que la unidad tal como lo tienes en F.10, el punto A queda situado entre el origen O y el punto A. La

distancia OA vale 15

de la

distancia OA (1 0,25= ) por lo

que podemos escribir: = OA 'suuur OA

5

suur

Lo mismo sucede con las figuras homotticas cuando k es menor que la unidad.

En la F. 11 ves que el tringulo ABC queda entre el centro de la homotecia O y el tringulo ABC.

Qu sucede cuando k

Tenemos un eje de coordenadas. Las coordenadas del punto A son (1,7), B(2,5) y C( 2,3).

La razn de homotecia o k = 2.

Las coordenadas de A son (4, 6), B(4, 10) y C(4, 14).

Al unir con lneas discontinuas (en rojo) AA, BB y CC vemos el centro de homotecia O y lo que es ms importante, se produce una figura mayor e inversa. El tringulo ABC es mayor e inverso respecto del tringulo ABC.

A MODO DE RESUMEN Es muy aconsejable que, dada la cantidad de conceptos que has visto en esta leccin y con la idea de aclarar y consolidar conceptos resuelvas las cuestiones que se te proponen. Cuando el tema ofrezca alguna dificultad encontrars la solucin. 8.20 Dados los puntos A y B en una recta y de ellos decimos que son simtricos es correcto? Respuesta: No, sern simtricos respecto a un punto, una recta,.. 8.21 Si decimos, en el problema anterior, que son simtricos respecto al punto O ste punto deber encontrarse en el medio de los puntos A y B? Respuesta: S 8.22 Son simtricas las figuras que tienes a continuacin? Si son simtricas qu tipo de simetra sera? por qu?

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Respuestas: Son simtricas. Simetra central en O (siguiente figura). Un giro en O se produce correspondencia de puntos.

El punto O es el punto medio de las rectas que unen los puntos homlogos. 8.23 Puede una recta ser un eje de simetra? Respuesta: S Solucin La recta ser mediatriz ya que ha de equidistar de los puntos homlogos . Esto lo puedes comprobar en la siguiente figura.

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8.24 Homotecia es:.. un giro, ..una ampliacin, . una traslacin, . una transformacin, ..de una figura en el plano? Respuesta: Homotecia es una transformacin geomtrica de un cuerpo que se produce a partir de un punto y aumenta sus medidas. El aumento de cada una de las medidas est originado por el mismo factor.

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A partir del punto O la segunda A tiene las medidas de la A pequea por el factor 3. La A pequea se ha transformado en la A grande. 8.25 Las figuras homotticas son semejantes? Por qu? Respuestas: Las figuras semejantes son homotticas y viceversa. Las figuras semejantes tienen la misma forma pero sus tamaos son diferentes. Las figuras homotticas son las que se han transformado porque todas sus medidas han sido alteradas por causa de un factor respecto a la figura original. 8.26 Puede la figura homottica ser ms pequea que la original? Cundo? Respuestas: S puede ser ms pequea Cuando el factor sea menor que 1.

8.27 Podemos afirmar que una homotecia es una ampliacin o reduccin de un original?

Respuesta: S.

8.29 Es correcto decir que dos figuras son semejantes si tienen reas diferentes y misma forma?

Respuesta: S.

8.30 Los lados de dos figuras homotticas pueden no ser paralelos?

Respuesta: No.

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