TEMAINECUACIONES

Profesor: Juan Sanmartín

Matemáticas

Inecuaciones de Primer Grado Inecuaciones de Segundo Grado. Inecuaciones de Grado Mayor que dos

Recursos subvencionados por el…

Primer Grado

0 bax

Al igual que en una ecuación, pasamos las x para un lado y lo que no tiene x para el otro

La forma de una ecuación de primer grado puede ser de la siguiente:

La solución de una inecuación no va a ser un número concreto, sino un intervalo, es por lo que, debemos tener en cuenta el primer tema de este curso.

0 bax0 bax

0 bax

495325392 xxxxx

Ejemplo

¡¡¡ATENCIÓN!!! . Al tener que despejar la x y multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad invierte su sentido.

4144

xxx

444 xxx

En ambos casos tiene que dar el mismo resultado

1 2 3 4 5

Podemos comprobarlo pasando la x para el otro lado y el número para el sitio donde está la x

Solución de la inecuación

4,

Ejemplo

1252

313

342

xxx

12

5212

13412

42412

523

133

42

xxxxxx

1252

12412

12168

xxx

45162128 xxx

187

x

-3 -2 -1 0 1718

Solución de la inecuación

718 x

187,

52412168 xxx

4722

21

xxxx

Resuelve

Resolvemos…

728224 xxxx

¡¡¡ATENCIÓN!!! .El signo negativo delante de la fracción, cambia el signo del numerador de la misma.

4728

4224

4722

21

xxxxxxxx

4994 xx

-3 -2 -1 0 1

-94

,

49

Solución de la inecuación

Cambiamos el sentido de la desigualdad

272284 xxxx

01032 xxEjemplo

10c3b1a

Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada

2

409312

101433 2

x

2

493x

2224

273

11

xx

55210

273

22

xx

Importante, hay que tener en cuenta el signo

01030103 22 xxxx

Segundo Grado

5x2x

2

1

-5 26 0 3

01032 xx

08101836106366 2 x

Tramo I Tramo II Tramo III

Se cumple

010100300 2 x

081099103333 2 x Se cumple

No se cumple

SOLUCIÓN: ,25,

En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación

En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto no es solución de la inecuación

En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación

Representamos los puntos en la recta

real.

Tomamos puntos representativos de cada tramo

Ejemplo

1c4b

4a

Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada

Importante, hay que tener en cuenta el signo

0144 2 xx

8

1616442

14444 2

x

01440144 22 xxxx

224

204

x Obtenemos una única solución al ser la

raíz cero

2x 2

0 3

Tramo I Tramo II

Se cumple

SOLUCIÓN: 2

En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación

En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación

Representamos el punto en la recta

real.

Tomamos puntos representativos de cada tramo0144 2 xx

01104040 2 x

02511236134340 2 x Se cumple

La inecuación se cumple en toda la recta real menos en 2, ya que en ese punto vale 0

094 2 xResuelve la siguiente inecuacióm…

Resolvemos…

49

492 xx

23

49

2 x

23

49

1 x

La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la raíz del denominador (propiedades de los

radicales)

94094 22 xx

23x

23x

2

1

-32322 0 2

079242 2 x

Tramo I Tramo II Tramo III

Se cumple

Se cumple

No se cumple

SOLUCIÓN:

,

23

23,

En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación

En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación

En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación

Representamos los puntos en la recta

real.

Tomamos puntos representativos de cada tramo094 2 x

099040 2 x

079242 2 x

0123 2 xxResuelve la siguiente inecuación

Donde…

6

124232

13422 2

x

682

x La ecuación no tiene solución ya que la raíz negativa no existe.

1c2b3a

Como no tenemos punto de inflexión, comprobamos si la desigualdad se cumple o no en toda la recta real.

011230 2 xxx La inecuación no tiene solución

0123 2 xx

6154

43

252 222

xxxxxxResuelve

123082

1293

1230126 222

xxxxxx

30829330126 222 xxxxxx

030309812236 222 xxxxxx

0130132 xxxx

00 1 xx

13013 2 xx

Calculamos el m.c.m. para obtener denominador común

El signo negativo cambia la fracción

0132 xxPlanteamos ahora la ecuación

13x0x

2

1

0 131 2 14

01413111311 2 x

Tramo I Tramo II Tramo III

No se cumple

No se cumple

Se cumple

SOLUCIÓN: 13,0

En el Tramo I NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación

En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación

En el Tramo III NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación

Representamos los puntos en la recta

real.

Tomamos puntos representativos de cada tramo0132 xx

02226421322 2 x

01518219614131414 2 x

Ecuaciones de grado mayor que 201213 234 xxxx Descomponemos la ecuación

en factores.

0411233

0121112111

012112112112111211311

043111213 234 xxxxxxxx

Aplicamos RUFFINI para

factorizar la ecuación

01213 234 xxxx

Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..

04

03

01

01

04311

x

x

x

x

xxxx

404

303

101

101

4

3

2

1

xx

xx

xx

xx

Solución

043111213 234 xxxxxxxx

4311

4

3

2

1

xxxx

+1 +4-1-34 2 0

Tramo I Tramo II Tramo III

Tomamos puntos representativos de cada tramo

Tramo IV Tramo V

2 5

0124124413444 234 x

018122213222 234 x

012120013000 234 x

En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Se cumple

No se cu

mple

En el Tramo II NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación

En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Se cumple

030122213222 234 x

0192125513555 234 x

En el Tramo IV NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación

En el Tramo V se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Se cumple

No se cu

mple

SOLUCIÓN:

,11,13,

FIN DE TEMA

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