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ESTADÍSTICA II

Tema II 1

TEMA II: DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA NORMAL

II.1.- Distribución chi-cuadrado.

II.1.1.- Definición.

II.1.2.- Función de densidad. Representación gráfica.

II.1.3.- Media y varianza.

II.1.4.- Función de distribución. Uso de tablas.

II.2.- Distribución F de Fisher-Snedecor.





II.3.- Distribución t-student.




II.3.4.- Función de distribución. Uso de las tablas.

II.4.- Tablas.

ESTADÍSTICA II

Tema II 397

II.1.- Distribución chi-cuadrado (ji-cuadrado).


Sean x1, x2, ..., xn variables independientes que siguen una

distribución N(0,1).

Sea X una nueva variable definida según:

en este caso, se dice que X se distribuye como una CHI-

CUADRADO, con n grados de libertad, que representamos

como: χ2n X →


La obtenemos a partir de la función de densidad de la

distribución GAMMA:

x = x + ... + x + x = X 2i

n

1=i

2n

22

21 ∑

t > para )t-

( = G(t)

0 x si 0

0 > x si e X )(

= f(x)

x1-

λλλ

αλ

α

λαα

≤

Γ

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tema II 398

ESTADÍSTICA II

Tema II 399

sustituyendo los valores de 21

= y 2n

= λα en la función de

densidad y generatriz de momentos de la GAMMA, obtenemos

las funciones correspondientes de la distribución CHI-

CUADRADO.

≤

Γ

0 x si 0

0 > x si e X )

2n

(

)21

(

= f(x)

X2

1-1-

2

n

2

n

La representación gráfica de la función de densidad,

depende de los grados de libertad. Para valores pequeños

de n la función de densidad de χ2

n tiene una larga cola a

la derecha. Al crecer n, el centro de la distribución se

desplaza hacia la derecha y la forma de la función de

densidad se hace más simétrica; para n grande (n>30) la

función χ2

n se puede aproximar por una N(n, 2n).


Se puede demostrar fácilmente con el uso de la función

generatriz e momentos y de la relación de la chi-cuadrado

con la distribución Gamma que la media de una distribución

chi-cuadrado de n grados de libertad vale n y su varianza

2n.

II.1.4.- Función de distribución. Uso de las tablas.

La función de distribución de una distribución chi-


Tema II 400

cuadrado se obtiene mediante la integral de la función de

densidad.

0>Xpara dx f(X) = x)P(X = F(x) x

0∫≤

Llegando al siguiente resultado

dx e X )

2n

(

)21

( = F(x) x

2

1-1-

2

n2

n

x

0

Γ∫

que como se puede observar no es nada manejable. Es por

ello que en vez de trabajar con esta expresión, y tal y

como se hizo con la distribución normal, trabajaremos con

tablas. Estas tablas pueden informarnos bien del propio

valor de la función de distribución, o bien, el

complementario de la función de distribución. En el

apartado II.4 de este tema tenemos las tablas de la chi-

cuadrado en la cual se nos da el complementario de la

función de distribución. Como se puede observar, la tabla

de la chi-cuadrado se encuentra dividida en dos partes.

Centrándonos en la primera parte de la tabla (la segunda

es totalmente similar en cuanto a interpretación), la

primera columna no da los grados de libertad y la primera

fila la probabilidad que deja a su derecha el punto que

nos indica la parte central de la tabla.

Esto significa que, por ejemplo, el valor de la variable

2.55821 correspondiente a una chi-cuadrado de 10 grados de

libertad deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99.

Obsérvese que a partir de esta tabla calcular la función

de distribución es inmediato. De esta manera, la función

de distribución de una chi-cuadrado de 15 grados de

libertad en el punto 7.26094 es iagual a 1-0.95=0.05

ESTADÍSTICA II

Tema II 401

EJEMPLO: La variable aleatoria U sigue una distribución

Chi-cuadrado. Calcular "a" tal que:

P(U>a) = 0,05

a) Para 18 grados de libertad.

b) Para 55 grados de libertad.

SOLUCION:

a) P(U>28,9) = 0,05

b) P(U>73,3) = 0,05 En este caso hemos interpolado

entre 50 y 60 grados de libertad.

II.2.- Distribución F de Fisher-Snedecor.


Sean U y V dos variables aleatorias independientes, tal

que:

Sea una variable X definida como:

X así definida, sigue una distribución F DE FISHER-

SNEDECOR de m y n grados de libertad, que representamos

como: F x nm,→


La función de densidad de una F se obtiene a partir de la

χχ 2

n

2

m Vy U →→

V/nU/m = X


Tema II 402

función de densidad conjunta de U y V, y tiene la

siguiente expresión.

para todo valor de x>0. Es evidente, por su construcción,

que solo puede tomar valores positivos, como la chi-

cuadrado.

La forma de la representación gráfica depende de los

valores

m y n, de tal forma que si m y n tienden a infinitos,

dicha distribución se asemeja a la distribución normal.


La media existe si "n" es mayor o igual que 3, y la

varianza existe si "n" es mayor o igual que 5 y sus

valores son:


La función de distribución la tendremos que calcular

mediante la expresión general.

)xnm

+ (1 x )nm

( )

2n

( )2m

(

)2

n+m(

= f(x) 2

n+m-1-

2

m2

n

ΓΓ

Γ

4)-(n)2-m(n

2)-n+(mn2 = - =

2-n

n = =

2

2212

2

1

αασ

αµ

ESTADÍSTICA II

Tema II 403

dx f(x) = F(x) x

0∫

que dada la forma de la función de densidad se hace muy

poco manejable por lo cual tendremos que recurrir de nuevo

al uso de las tablas.

En el epígrafe II.4 se muestran las tablas de la

distribución F de Fisher-Snedecor.

En este epígrafe se puede observar que las tablas de la

distribución F se han dividido en 10 partes. Vamos a

explicar la parte 1 solamente puesto que el resto tienen

una lectura similar.

En la tabla de la F de Fisher-Snedecor se presentan: en la

primera columna, los grados de libertad del denominador,

esto es el valor de n. En la primera fila se muestra

primero el valor de α, que como puede verse en la gráfica

de la tabla es la probabilidad que queda a la derecha del

punto seleccionado. A continuación aparecen los grados de

libertad del numerador, es decir, el valor de m. En el

interior de la tabla se muestran los valores que dejan a

su derecha una probabilidad α para los grados de libertad

m y n seleccionados.

Por ejemplo, el valor 9.12 de una distribución F de 4 y 3

grados de libertad deja a su derecha una probabilidad

igual a 0.05. Obsérvese que el cálculo de la función de

distribución es inmediato. De esta manera, la función de

distribución de una distribución F de 4 y 3 grados de

libertad en el punto 9.12 es 1-0.05=0.95

Una PROPIEDAD de esta distribución es que la inversa de

una variable aleatoria con distribución Fm,n sigue también


Tema II 404

una distribución F con n y m grados de libertad. Es decir,

Y como consecuencia de esta propiedad se cumple:

Con este resultado podemos obtener los valores de Fm,n

correspondientes al 0.9, 0.95, 0.975, 0.99 y 0.995 tomando

los valores inversos de los valores de Fn,m correspondientes

al 0.1, 0.05, 0.025 y 0.005 que son los que se muestran en

las tablas de la F que se presentan en el epígrafe II.4.

EJEMPLO: Las tablas nos dan, para m = 10 y n = 6, el

percentil 90 =2,94; el percentil 95 = 4,06. Calcular los

valores de la distribución F de 6 y 10 grados de libertad

que dejan a su izquierda una masa de probabilidad de 0.1 y

0.05 respectivamente.

SOLUCION:

0,05 = 0,25) FP(

0,1 = 0,34) FP(

0,25 = 4,06

1 0,34 =

2,941

0,95 = 4,06) FP(

0,9 = 2,94) FP(

6,10

6,10

10,6

10,6

≤≤

≤≤

II.3.- Distribución t-Student.

F X F XSi mn,-1

nm, →⇒→

)c1

FP( = )c1

F

1P( = C)FP( mn,

nm,nm, ≤≤≥

ESTADÍSTICA II

Tema II 405


Sea "U" una variable aleatoria que sigue una distribución

N(0,1).

Sea "V" una variable aleatoria que sigue una distribución

Chi-cuadrado con "n" grados de libertad. Ambas variables,

U y V, son independientes.

La nueva variable formada como:

sigue una distribución t-STUDENT con n grados de libertad.

II.3.2.- La función de densidad. Representación gráfica.

Esta variable toma valores en todo el conjunto de los

números reales y su función de densidad es de la forma:

∞≤≤∞

X - nx+1 K = f(x)

2 2

1+n-

n

Kn es el valor necesario para que sea una función de

densidad, es decir, que la integral extendida a todo el

campo de dicha función sea igual a la unidad.

Propiedades de la función de distribución t-Student:

V/nU

= X


Tema II 406

a) Es simétrica con respecto al origen.

F(-x) = 1 - F(x)

b) Su forma es muy parecida a la N(0, 1), aunque menos

apuntada.

c) La recta Y = 0 es una asíntota horizontal:

0 = f(x) = f(x) -xx

LimLim∞→∞→


La MEDIA Y VARIANZA de esta distribución son:

0 = E[x] = µ

2-nn

= 2σ

II.3.4.- La función de distribución. Uso de las tablas .

Tal y como hicimos con las distribuciones chi-cuadrado y F

de Fisher-Snedecor, para el cálculo de probabilidades en

la distribución t-Student utilizaremos tablas. La tabla

correspondiente se muestra en el epígrafe II.4

En la primera fila se muestran los valores de α, es decir,

la probabilidad de que la variable tome un valor mayor que

el considerado. En la última columna se muestran los

grados de libertad y en el centro de la tabla nos da los

valores de la probabilidad. De esta manera, una t-Student

de 10 grados de libertad deja a la derecha del punto 2.764

una probabilidad igual a 0.01. Con lo cual, la función de

distribución en el punto 2.764 para una t-Student de 10

grados de libertad vale 1-0.01=0.99

ESTADÍSTICA II

Tema II 407

EJEMPLO: Calcular la probabilidad de que "t" esté

comprendida entre 0,260 y 1,812 con 10 grados de libertad.

SOLUCION:

0,35 = 0,60 - 0,95 =

= F(0,260) - F(1,812) =

= 1,812] = t P[0,260 10≤


Tema II 408

II.4.- Tablas.

Tabla de la t de Student

ESTADÍSTICA II

Tema II 409

Tabla de la ji-cuadrado. Parte 1


Tema II 410

Tabla de la ji-cuadrado. Parte 2

ESTADÍSTICA II

Tema II 411

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 1


Tema II 412


ESTADÍSTICA II

Tema II 413



Tema II 414


ESTADÍSTICA II

Tema II 415



Tema II 416


ESTADÍSTICA II

Tema II 417



Tema II 418


ESTADÍSTICA II

Tema II 419



Tema II 420

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte10

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