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Tema 6. Integración
6.1 Cálculo de primitivas.
6.2 Área e integral definida.6.2 Área e integral definida.
6.3 El Teorema fundamental del cálculo
6.4 Área de una región entre dos curvas.
6.5 Cálculo de volúmenes.
6.6 Longitud de arco y superficie de revolución.
1E.U.Politécnica de Sevilla. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Electricidad, Electrónica y Mecánica. Curso 2007-08.
6.1 Cálculo de primitivas
D fi i ió
Una función es una primitiva de la función , si para todo del dominio
de se verifica que '( ) ( ).
F f x
f F x f x=
Definición
Una función es una primitiva de en un intervalo cada una de lasF f I
Teorema
Una función es una primitiva de en un intervalo , cada una de las
funciones , tales que ( ) ( ) , también es una primtiva de .
F f I
G G x F x C f= +
El símbolo ( ) representa al conjunto de todas las primitivas de , y se f x dx f∫Definición
denomina integral indefinida de .
( ) ( )
f
f x dx F x C= +
∫
∫
2
Reglas básicas de integración
( ) ( )Kf x dx K f x dx=∫ ∫
g g
( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫
∫ ∫ ∫( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫1nx +
, 11
n xdx x C x dx C n
n= + = + ≠ −
+∫ ∫d
ln x xdxx C e dx e C
x= + = +∫ ∫
sen cos cos senx dx x C x dx x C= − + = +∫ ∫3
tg ln cos cotg ln senx dx x C x dx x C= − + = +∫ ∫
2 2sec tg cosec cotg x dx x C x dx x C= + = − +∫ ∫
sec tg sec cosec cotg cosecx x dx x C x x dx x C= + = − +∫ ∫
2arcsen arctg
dx dxx C x C= + = +∫ ∫ 22
arcsen arctg11
1
x C x Cxx
d
+ ++−
∫ ∫
2 22 2
1arctgarcsen
dx xdx x CC a x a aaa x= += + +−
∫∫
4
Mét d d tit ió ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C= +∫Método de sustitución ( ( )) ( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C= +∫Si ( ) se tiene ( ) ( )u g x f u du F u C= = +∫
Integrales de funciones racionales( )
( )
P xdx
Q x∫ Descomposición en fracciones simples
Integración por partes udv uv vdu= −∫ ∫, sen , cos
|| , sen , cos
n ax n n
n ax
x e dx x ax dx x ax dx
u x dv e dx ax dx ax dx= =
∫ ∫ ∫
ln , arcsen , arctg
ln , arcsen , arctg ||
n n n
n
x ax dx x ax dx x ax dx
u ax ax ax dv x dx= =∫ ∫ ∫
ln , arcsen , arctg || u ax ax ax dv x dx
sen , cos , ax axe bx dx e bx dx∫ ∫5
sen , cos || axu bx bx dv e dx= =
∫ ∫
Integrales trigonométricasg g
sen( )sen( ) , sen( )cos( ) , cos( ) cos( ) . mx nx dx mx nx dx mx nx dx∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
Integrales de funciones racionales de senos y cosenosg y
R(sen , cos ) x x dx∫1) R impar en seno: R( sen ,cos ) R(sen ,cos ) cos .x x x x x t− = − ⇒ =
2) R impar en coseno: R(sen , cos ) R(sen ,cos ) sen .
3) R par en seno y coseno: R( sen , cos ) R(sen ,cos ) tg
x x x x x t
x x x x x t
− = − ⇒ =
− − = ⇒ =) p y ( ) ( ) g
4) Ninguno de los casos anteriores tg 2
xt⇒ =
6
Integrales de funciones racionales de senos y cosenosg y
2 2 2 2
tg
1 1sen cos 1 tg 1 cos
x t
x x x x
=
+ = ⇒ + = ⇒ =2 2
2
sen cos 1 tg 1 coscos 1
x x x xx t
+ ⇒ + ⇒+
22 2 2
2sen 1 cos 1 sen
1
tx x x
t= − = ⇒ =
+
2
1tg artg
1x t x t dx dt
t= ⇒ = ⇒ =
+1 t+
7
Integrales de funciones racionales de senos y cosenosg y
2
2 2 2 2
tg
cos sen 1 tg 1
x
x x x
t
t
=
2 2 22 2 2 2
2 2 2
cos sen 1 tg 1cos cos
cos sen 1 tg 1x x x
tx x
t
− − −= = ⇒ =
+ + +
2 2 22 2 2 2
2 2 2
2 sen cos 2tg 2sen sen
cos sen 1 tg 1
x x x
x x x
tx x
t= = ⇒ =
+ + +2 2 2cos sen 1 tg 1
22
t
d d
+ + +
2 2tg 2 arctg
1x t x t dx dt
t= ⇒ = ⇒ =
+
8
Á6.2 Área e integral definida
R
y=f(x)y
R
0 a b xb
f continua en [a,b], f(x)≥ 0. Región R: f, eje x, x=a, x=b.
Se divide [a,b] en subintervalos, de longitud ∆x=(b-a)/n.
( ), 0,...,
0( ) 1( ) 2( ) ( )ix a i x i n
a a x a x a x a n x b
= + ∆ == + ∆ < + ∆ < + ∆ < < + ∆ =L14243 14243 14243
9
0 1 2x x x2 2 2
1( ) valor minimo de en [ , ]1i i if m f x x
i−= ⎫⎬
1
1
1,...( ) valor maximo de en [ , ]
i i i
i i i
i nf M f x x−
=⎬= ⎭
Rf(mi)
f(Mi)
f(m ) ∆x ≤ f(M ) ∆xR
a bx x
f(mi) ∆x ≤ f(Mi) ∆x
Para cada i=1,...,n
a bxi-1 xi
n
∑
n
1
Suma superior: S( ) ( )ii
n f M x=
= ∆∑
1
Suma inferior: ( ) ( )ii
s n f m x=
= ∆∑
lim ( ) lim ( )s n S n=Teoremaa bxi-1 xi
10 continua en [ , ], ( ) 0f a b f x ≥
( ) ( )n n→∞ →∞
1Para todo tal que [ , ] : lim ( ) lim ( ) lim ( )n
i i i i ic c x x f c x s n S n− → → →∈ ∆ = =∑
Teorema
1n n n
i→∞ →∞ →∞
=∑
n
1
= lim ( )in
i
A f c x→∞
=
∆∑Área de la región R :
f(ci)
R
a bxi-1 xi
ci
11
S d fi id [ ] i ió d [ ]f b b b∆ 0 1 2Sea definida en [ , ], una partición de [ , ] : nf a b a b a x x x x b∆ = < < < < =L
b0a x=1x 2x 3x 1nx − nx b=
n
[ ]11
Si , , ( ) se llama asociada a .n
i i i ii
c x x f c x−=
∈ ∆ ∆∑ Suma de Riemman
Nota a) Se llama norma de una partición ∆ a la longitud del mayor subintervalo, y se denota por || ∆||.
b) Si n es el número de subintervalos de una partición: (b-a)/ || ∆|| ≤ n, y se cumple que si || ∆||→0 entonces n →∞.
12
c) Si la partición ∆ es regular (todos los subintervalos son iguales): || ∆||= (b-a)/n
01
Si está definida en [ , ] y existe el límite lim ( ) se dice quen
i ii
f a b f c x∆ →
∆∑
Definición
1
es en [ , ]. El valor de este límite se llama
de entre y , y se denota
i
f integrable a b integral definida
f a b
=
por: ( ) lim ( )nb
i if x dx f c x= ∆∑∫de entre y , y se denota f a b0
1
por: ( ) lim ( )i iai
f x dx f c x∆ →
=
∆∑∫
Teorema
Si es continua en [ , ], entonces es integrable en [ , ].f a b a b
Teorema
Si es continua y no negativa en [ , ], el área de la región R, limitada f a b
Teorema
por la gráfica de , el eje , y las rectas , es:
Área ( )b
a
f x x a x b
f x dx
= =
= ∫
13
1: Usando sumas de Riemann calcula xdx∫Ejemplo
0: Usando sumas de Riemann, calcula .xdx∫Ejemplo
f es continua en [0,1], f(x)≥ 0
Consideramos una partición ∆ regular:
1, 0 ( ) , 0,..., .i
ix x i x i n∆ = = + ∆ = =
0 1 2
, ( ) , , ,
0 1
i
n
n nx x x x= < < < < =L
iTomamos ci como punto terminal derecho de cada subintervalo: .
i
ic
n=
1 1 1n n n i1
0 01 1 1
1 1 lim ( ) lim lim
1 1 1 1 1
n n n
i i in n
i i i
n
ixdx f c x c
n n n
n n
→∞ →∞∆ →= = =
= ∆ = =
+ +⎛ ⎞
∑ ∑ ∑∫
∑2 21
1 1 1 1 1 = lim = lim lim
2 2 2n n ni
n ni n
n n n→∞ →∞ →∞=
+ +⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
N C f( ) 0 [0 1] l l á b j l di h i l
14
Nota: Como f(x)≥ 0 en [0,1] este valor representa el área bajo la curva en dicho intervalo.
Nota :
Si es una función acotada en [ , ] con un número finito de puntos de
discontinuidad, entonces es integrable en [ , ].
f a b
a b
Nota :
En particular las funciones continuas a trozos son integrables.
Definición
a) Si está definida en , ( ) 0a
af x a f x dx= =∫
b) Si es integrable en [ ] ( ) ( )a b
f a b f x dx f x dx∫ ∫b) Si es integrable en [ , ], ( ) ( )b a
f a b f x dx f x dx= −∫ ∫
15
Propiedades
1.- Si es integrable en [ , ], [ , ] y [ , ], entonces :f a b a c c b y=f(x)
Propiedades
( ) ( ) ( )b c b
a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
a bc
y f(x)
2.- Si , son integrables en [ , ] y , son constantes, la funciónf g a b h k, g [ , ] y , ,
es integrable en dicho intervalo.
( )( ) ( ) ( )b b b
f g
hf kg
hf kg x dx h f x dx k g x dx
±
± = ±∫ ∫ ∫
b
∫
( )( ) ( ) ( )a a a
f g f g∫ ∫ ∫
3.- Si es integrable en [ , ] y ( ) 0, ( ) 0b
af a b f x f x dx≥ ≥∫
16
4.- Si , son integrables en [ , ] y ( ) ( ) para todo [ , ], b b
f g a b f x g x x a b≤ ∈
∫ ∫ ( ) ( )a a
f x dx g x dx≤∫ ∫
5.- Si es integrable en [ , ] entonces | | también lo es, y se cumplef a b f
a) ( ) ( ) b) ( ) ( )b b b b
a a a af x dx f x dx f x dx f x dx≤ ≤∫ ∫ ∫ ∫
a⎧ ∫02 ( ) , si es par 6.- Sea integrable en [ , ], ( )
0 , si es impar
aa
a
f x dx ff a a f x dx
f−
⎧⎪− =⎨⎪⎩
∫∫
17
6.3 El teorema fundamental del Cálculo
Teorema (del valor medio para integrales)
Si es continua en [ , ] entonces existe
[ ] tal que ( ) ( )( )b
f a b
c a b f x dx f c b a∈ =∫
Teorema (del valor medio para integrales)f(c)
[ , ] tal que ( ) ( )( )a
c a b f x dx f c b a∈ = −∫a bc
Si es continua en [ , ] el valor medio de en [ , ] es
1 b
f a b f a b
∫
Definición
1 ( )
-
b
af x dx
b a ∫
f(M)f(m)
f(M)
18a b a b
Si es continua en un intervalo abierto y , entonces para todo
ifi ( ) ( )x
f I a I
dI f d f
∈
∫
Teorema fundamental del Cálculo
se verifica: ( ) ( ).a
x I f t dt f xdx
∈ =∫
a x2
2x
∫1x
∫
a x1
2
2 ( ) ( )x
aA x f t dt= ∫
1
1 ( ) ( )x
aA x f t dt= ∫
( )= ( )x
aA x f t dt∫ ( ) = ( )
dA x f x
dx⇒
19
b
∫
Regla de Barrow
Si es continua en [ , ] entonces ( ) ( ) ( ),
siendo cualquier primitiva de de .
b
af a b f x dx F b F a
F f
= −∫
Si ( ) tiene derivada continua en [ , ] y es continua en el u g x a b=Cambio de variable
( )
( )
recorrido de , entonces
( ( )) ( ) ( )b g b
a g a
g
f g x g x dx f u du=∫ ∫ ( )a g a∫ ∫
20
6.4 Área de una región entre dos curvas
Si f i [ b] l á d l ió li i d di h
6.4 Área de una región entre dos curvas
Si f es continua en [a,b] el área de la región limitada por dicha curva, el eje x y las rectas x=a y x=b es:
y=f(x) y=f(x)
a ba b a ba ba b a b
y=f(x)
( )b
aA f x dx= ∫
21
Área de una región entre dos curvas
Si f y g son continuas en [a,b] y f(x) ≥ g(x), el área de la región limitada por l áfi d di h f i l t blas gráficas de dichas funciones y las rectas x=a y x=b es:
( )( ) ( )b
A f d∫ ( ) ( ) ( )a
A f x g x dx= −∫
f(x)f(x)∆xi
g(x)a
b
f(x)
ab
g(x)
a b g(x)
g(x)
22Ancho: ∆xi
Alto: f(xi)-g(xi)RectánguloRepresentativo: ( )
01
lim ( ) ( )n
i i ii
A f x g x x∆ →
=
= − ∆∑
6.5 Cálculo volúmenes
Método de discos: giro sobre el eje x
Si y=f(x) es continua en [a b] el volumen del sólido generado al girar la regiónSi y f(x) es continua en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas x=a y x=b, alrededor del eje x es :
( )2( )
bV f x dxπ= ∫
2
( )( )a
V f x dxπ∫
∆x
yy
f(x)( )2
( )i i iV f x xπ∆ = ∆∆xi
f(xi)
a b∆xi xx
( )2
0lim ( )
n
i iV f x xπ∆ →
= ∆∑ ( )2( )
bV f x dxπ= ∫
23
01i
∆ →=
( )( )a
f∫
Método de discos: eje de giro horizontalMétodo de discos: eje de giro horizontal
Si y=f(x) es continua en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de f la recta y=d y las rectas x=a y x=b alrededor de lalimitada por la gráfica de f, la recta y=d y las rectas x=a y x=b, alrededor de la recta y=d es :
( )2( )
b
aV R x dxπ= ∫
f(x)
( )a∫
f(x)yyy
∆xi
d ddR(xi)= f(xi)-d
∆xi ∆xi
ab
( )2( )V R∆ ∆
ab
xxx
24
( )2( )i i iV R x xπ∆ = ∆
Método de discos: giro sobre el eje y
Si x=g(y) es continua en [c,d] el el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de g, el eje y y las rectas y=c e y=d, alrededor del eje y es :
( )2( )
d
cV g y dyπ= ∫
∆d∆y
yy
( )2( )i i iV g y yπ∆ = ∆
g(yi)
∆yi
c
∆yi
( )x g y=
xx
( )2lim ( )
n
i iV g y yπ= ∆∑ ( )2( )
dV g y dyπ= ∫
25
( )0
1
( )i ii
g y y∆ →
=∑ ( )( )
cg y y∫
Método de discos: eje de giro verticalMétodo de discos: eje de giro vertical
Si x=g(y) es continua en [c,d] el el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de g, recta x=a, las rectas y=c e y=d, alrededor de la recta p g g, , y y ,x=a es :
( )2( )
d
cV R y dyπ= ∫
d
yy
x=g(y)R(y )=g(y ) a
∆yi
d∆yi
R(yi)=g(yi)-ac
x=a x=axx
( )2( )i i iV R y yπ∆ = ∆
x=a x=a
26
( )
Método de arandelas: giro sobre el eje xMétodo de arandelas:
Si f(x) y g(x) son continuas en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dichas curvas y las rectas x=a y x=b alrededor del eje x es:
giro sobre el eje x
región limitada por dichas curvas, y las rectas x=a y x=b, alrededor del eje x es:
( ) ( )2 2( ) ( )
bV f x g x dxπ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ ( ) ( )( ) ( )
aV f x g x dxπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫
f( )y y
f(x)∆xi
g(x)
ab
x x
27V(sólido con agujero) = V(sólido macizo) – V(agujero)
Método de arandelas: giro sobre el eje yMétodo de arandelas: giro sobre el eje y
Si h(y) y k(y) son continuas en [c,d] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dichas curvas, y las rectas y=c e y=d, alrededor del eje y es:p , y y y , j y
( ) ( )2 2( ) ( )
d
cV h y k y dyπ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ ( ) ( )
c ⎣ ⎦∫
d
yy
h(y)
∆yi
d
k(y)c
xx
28
Método de capas: giro sobre eje y
Si y=f(x) es continua en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dicha curva, el eje x y las rectas x=a y x=b, alrededor del eje y es :
b2 ( )
b
aV xf x dxπ= ∫
y yyy
( )if x
y=f(x)
x
∆xi
xx∆xa b x
ix
01
lim 2 ( )n
i i ii
V x f x xπ∆ →
=
= ∆∑∆xi
f(xi)b
∫ 292π xi
2 ( )i i i iV x f x xπ∆ = ∆2 ( )
b
axf x dxπ= ∫
Método de capas: eje de giro vertical
Si y=f(x) es continua en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dicha curva, el eje x y las rectas x=a y x=b, alrededor de la recta x=d es :
b
∫y=f(x)
2 ( ) ( )b
aV R x f x dxπ= ∫
y f(x)
∆xi
yy
a b da b
R(xi)=d-xi
d
2 ( ) ( )i i i iV R x f x xπ∆ = ∆
d xx
01
lim 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )n b
i i i ai
V R x f x x R x f x dxπ π∆ →
=
= ∆ =∑ ∫30
1i=
Método de capas: giro sobre un eje horizontal
Si x=h(y) es continua en [c,d] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dicha curva, el eje y y las rectas y=c e y=d, alrededor de la recta y=e es :
2 ( ) ( )d
cV R y h y dyπ= ∫
x=h(y)
∆d
y y
∆yi
c R(yi)=yi-e
e
x x
31
Volumen de sólidos de secciones conocidas
1.- Sección de Área A(x), perpendicular al eje x.( )i i iV A x x∆ = ∆
y
( )b
aV A x dx= ∫ ix∆
x
2.- Sección de Área A(y), perpendicular al eje y.y
( )d
cV A y dy= ∫
( )V A∆ ∆
y
∆c∫ ( )i i iV A y y∆ = ∆
x
iy∆
32
6 6 Longitud de arco ∆sy
( )2a) ( ) 1 '( )
b
ay f x s f x dx= ⇒ = +∫
6.6 Longitud de arco
∆xi
∆yi
∆siy
a∫
( ) ( )2 2s x y∆ ∆ + ∆
a bxi-1 xi
( ) ( )i i is x y∆ = ∆ + ∆
i d i bl ( ) l d lf b b
x
1 1 .
es continua en [ , ] y derivable en ( , ), por el teorema del
valor medio existe ( , ), ( ) ( ) '( )i i i i i i i
f a b a b
c x x f x f x f c x− −∈ − = ∆
( ) ( ) ( )2 2 2
. .'( ) 1 '( )i i i i i is x f c x f c x∆ = ∆ + ∆ = + ∆
[ ] ( )22
01
lim 1 '( ) 1 '( )n b
i i ai
s f c x f x dx∆ →
=
= + ∆ = +∑ ∫
33( )2
b) ( ) 1 '( )d
cx g y s g y dy= ⇒ = +∫
S fi i d l ióSuperficies de revolución
( )2b
∫ ( )2 a) giro eje : 2 ( ) 1 '( )
ax S f x f x dxπ= +∫
∆si
∆x
∆yi
a bxi-1 xi a b
34
Á gÁrea lateral del cono: gS=πrg
r
r2r1Á l t l d l t d ( )S l r rπ + 21
l
x
lr
Área lateral del tronco de cono: 1 2( )S l r rπ= +
l2 1r r
x l x=
+1
2 1
lrx
r r⇒ =
−
2 1 2 2 1( ) ( )S r l x r x r l r r x
lr
π π π π= + − = + −
12 2 1 2 1
2 1
1 2
( )
= ( )
lrr l r r r l lr
r r
l r r
π π π π
π
= + − = +−
+
35
1 2( )
S fi i d l ióSuperficies de revolución
( )2b) giro eje : 2 1 '( )
by S x f x dxπ +∫ ( ) b) giro eje : 2 1 '( )
ay S x f x dxπ= +∫
∆x
∆y∆si
a bxi-1 xi a b
36