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1
Indice
Descripción de la posición y orientación.
Transformaciones básicas: traslación y rotación.
Composición de transformaciones.
Velocidades y aceleraciones.
Momento de inercia, centro de masa y tensor de
inercia.
TEMA 5. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
2
1. Descripción de la posición y orientación
Se empleará el término localización para referirse conjuntamente a una
posición y orientación en el espacio.
Es por tanto necesario establecer una herramienta matemática capaz
de cuantificar y representar las magnitudes que indican, tanto la
posición, como la orientación de un cuerpo rígido en el espacio con
respecto a un sistema de referencia.
3
Sistemas de referencia
4
Descripción de la posición
Una posición se establece de forma unívoca mediante un vector de
posición pM con tres componentes con respecto a un sistema de referencia
M, con origen el del sistema de referencia y extremo la posición.
Al tener asociado cada objeto de interés un sistema de referencia O, el
vector pM representa la posición del origen de dicho sistema O con
respecto al M
5
Notación
O
O
M
O
M
OPPP
6
Coordenadas cartesianas
Las componentes del vector pM son las proyecciones sobre
cada uno de los ejes del sistema de referencia M pM(x,y,z)
7
Coordenadas cilíndricas
pM (r, )
Las componentes del vector pM en un sistema de referencia
M se corresponden, con el módulo de la proyección del
vector pM sobre el plano xy, el ángulo que forma dicha
proyección con el eje x, y la proyección del vector pM sobre
el eje z, respectivamente pM (r, , z).
8
Coordenadas esféricas
M
Pr
),,r(PM
Coordenadas esféricas pM (r`, , )
. ),,r(pr
MM
P
9
Descripción de la orientación (1)
La orientación del cuerpo con respecto al sistema de
referencia M vendrá dada por la orientación relativa de
los ejes del sistema de referencia O asociado a él con
respecto al sistema M.
10
Descripción de la orientación (2)
Para ver mejor la orientación, se suele representar
ambos sistemas coincidentes en el origen.
11
Matrices de rotación
Una forma de indicar la orientación de un sistema O con
respecto a otro M es hacerlo mediante las coordenadas en
el sistema M de los vectores unitarios en la dirección de
los ejes del sistema O
12
Matrices de rotación
Y de forma matricial como las columnas de una matriz de dimensión
3x3, cuyos 9 elementos escalares son las coordenadas de los vectores
unitarios del sistema O en el sistema M, denominada matriz de
rotación
Al ser los vectores unitarios y los sistemas referencia ortogonales y
dextrógiros, con tres parámetros, la orientación de un sistema con
respecto a otro queda determinada.
13
Matrices de rotación
Los 9 elementos de la matriz de rotación representan las
proyecciones de los vectores unitarios xO, yO, zO sobre los
ejes del sistema M.
MOMOMO
MOMOMO
MOMOMO
MO
MO
MOO
M
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyxRot
···
···
···
La matriz de rotación a veces recibe el nombre de matriz
de cosenos directores
14
Matrices de rotación
OMOMOM
OMOMOM
OMOMOM
OM
OM
OMM
O
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyxRot
···
···
···
La orientación del sistema M respecto al O es la orientación
inversa y viene expresada por:
M Rot O = ( O Rot M )T = ( O Rot M )-1
La matriz de rotación inversa es la matriz de rotación
traspuesta
15
Matrices y coordenadas homogéneas
T =
rotación traslación
perspectiva escalado
= 3x3 3x1
1x3 1x1
En 1969 Forest introduce las coordenadas homogéneas y la matriz de
transformación homogénea para resolver diferentes problemas de
gráficos por computador a través de operaciones con matrices
16
Matrices y coordenadas homogéneas
• Las coordenadas homogéneas en un espacio n-dimensional son n+1.
En 3D un punto p(x,y,z) en coordenadas homogéneas es:
p(wx,wy,wz,w) donde w es un factor de escala (se considera w=1).
• Matriz de transformación homogénea. Representación de la
posición y orientación de forma conjunta de un sistema de
coordenadas.
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Matrices homogénea de transformación inversa
La matriz de transformación permite localizar un sistema O respecto a
otro M. En ocasiones interesa conocer la relación inversa, es decir,
conocer la localización de M respecto a O, lo que se corresponderá
con la matriz de transformación inversa a la primera.
T1 AAdj·A
1A
18
Indice
Descripción de la posición y orientación.
Transformaciones básicas: traslación y rotación.
Composición de transformaciones.
Velocidades y aceleraciones.
Momento de inercia, centro de masa y tensor de inercia.
TEMA 5. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
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2. Transformacipones básicas
Las matrices homogéneas pueden emplearse para:
• Para transformar un vector expresado con respecto a
OXYZ (sistema transformado) a su expresión en MXYZ
(sistema original).
20
Transformacipones básicas
• Localización de un sistema
de referencia con respecto a
otro.
• Descripción del movimiento
de un objeto o sistema de
referencia de una
localización inicial M a otra
final M’.
21
Transformacipones básicas
• Localización de un sistema O’ respecto a otro M tras un
movimiento de O
22
Traslación
Se pueden considerar tres traslaciones básicas sobre cada
uno de los ejes principales de un sistema de referencia.
23
Traslación
Traslación compuesta
24
Traslación
OiO
OOi p)·z,y,x(Trasp
El orden en que se efectúan las operaciones básicas de
traslación entre sí, no afecta al resultado de la traslación
total.
25
Traslación
El sistema O`X`Y`Z` está trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto
del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r
cuyas coordenadas con respecto al sistema O`X`Y`Z` son r (-2, 7, 3)
1
11
4
4
1
3
7
2
·
1000
8100
3010
6001
1
r
r
r
z
y
x
OrO
OOr p)·8,3,6(Trasp
26
Traslación
Calcular el vector r`xyz resultante de trasladar al vector rxyz (4, 4, 11) según
la transformación Tras (6, -3, 8)
1
19
1
10
1
11
4
4
·
1000
8100
3010
6001
1
´r
`r
`r
z
y
x
27
Rotación respecto al eje x
28
Rotación respecto al eje y
29
Rotación respecto al eje z
30
Indice
Descripción de la posición y orientación.
Transformaciones básicas: traslación y rotación.
Composición de transformaciones.
Velocidades y aceleraciones.
Momento de inercia, centro de masa y tensor de
inercia.
TEMA 5. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
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3. Composición de transformaciones
La composición de transformaciones, al estar representadas por matrices,
supone que el orden en que se aplica cada una de las transformaciones
básicas que la componen es relevante, puesto que el producto de matrices
no es conmutativo.
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C.T. expresadas con referencia a un sistema fijo (1)
Supóngase que un robot, cuya base tiene asociada un sistema de referencia R,
debe girar con respecto a él -90° en la dirección del eje zR un objeto, cuyo
sistema de referencia asociado es O, desde su posición inicial PRO (a, b, c)
O
iO
RR
ip)·c,b,a(Trasp
33
R
inicialiORR
finali pzRotp )·90,(
Oi
Oi pp
O
iO
RR
i p)·c,b,a(Traspinicial
O
iO
R
O
RR
i p)·c,b,a(Tras)·90,z(Rotpfinal
C.T. expresadas con referencia a un sistema fijo (2)
34
Ejemplo. Enunciado (1)
))·,,((·)90,( O
iO
R
O
RR
i pcbaTraszRotpfinal
35
Ejemplo. Cálculo (2)
1
5,0
5,0
0
·
1000
2100
4010
0001
·
1000
0100
00)90cos()90(
00)90()90cos(
sen
sen
1
5,2
0
5,4
1
5,2
5,4
0
·
1000
0100
0001
0010
36
Será necesario en primer lugar, que el sistema H se traslade hasta el objeto, o
lo que es lo mismo, que los orígenes de ambos sistemas de referencia, H de la
herramienta y O del objeto, sean coincidentes
En segundo lugar será necesario que el sistema asociado a la herramienta,
el H' (sistema H trasladado hasta O), se oriente de forma adecuada para
que finalmente coincida plenamente con el del objeto O
C.T. expresadas con referencia a un sistema móvil (1)
37
H
H
HHp)·90,z(Rotp
HH
H
HH p)·90,z(Rot)·c,b,a(Trasp H
HH
HH p)·c,b,a(Trasp
C.T. expresadas con referencia a un sistema móvil (2)
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Composición de transformaciones (3)
No sólo es importante el orden en que se aplican las
transformaciones, sino que también es necesario identificar
en cada transformación con respecto a qué sistema se
realiza.
• Si la transformación se realiza con respecto al sistema
fijo se premultiplica sobre las transformaciones ya
efectuadas.
• Si la transformación se realiza sobre el sistema móvil,
es decir, con respecto a la última localización del sistema
transformado, la nueva transformación se posmultiplica
respecto a las aplicadas previamente.
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C.T. Ejemplo 1 (a)
Ejemplo 1: La localización del extremo de un robot viene determinada
por la siguiente matriz homogénea con respecto al sistema de
coordenadas situado en la base.
Obtener la localización del extremo si éste sufre en primer lugar una
traslación de un vector p(5,10,5) y posteriormente una rotación de -90°
con respecto al eje y, expresando ambas transformaciones con respecto
al sistema de coordenadas de la base del robot.
40
C.T. Ejemplo 1 (b)
La matriz homogénea que representa el sistema transformado es:
41
C.T. Ejemplo 2 (a)
Ejemplo 2: Obtener la matriz de transformación que representa al
sistema obtenido a partir de un sistema de referencia fijo sobre el que se
le ha aplicado un giro de 90° alrededor del eje x, un giro de 180°
alrededor del eje y (estas dos rotaciones se realizan respecto al sistema
de coordenadas fijo); y por último un giro de -90° alrededor del eje y"
del sistema transformado.
𝑇 = 𝑅𝑜𝑡 𝑦, 180 · 𝑅𝑜𝑡 𝑥, 90 ∗ 𝑅𝑜𝑡 (𝑦", −90)
42
Gráficos de transformación (1)
El final de la herramienta puede
ser referido con respecto al
sistema OXYZ de dos maneras
distintas: a través del manipulador
y a través del objeto.
43
Gráficos de transformación (2)
44
Gráficos de transformación (3)
Cualquier otra relación puede ser obtenida fácilmente a partir del
gráfico. Para ello se irá desde el objeto inicial al final multiplicando las
matrices de transformación correspondiente a los arcos del gráfico, y
considerando que de recorrerse éstos en el sentido inverso a las
flechas deberá utilizarse una matriz inversa.
45
Hallar la matriz de transformación compuesta del sistema de
referencia asociado a la articulación 3 sobre la 0.
C.T. Ejemplo 3 (a)
46
C.T. Ejemplo 3 (b)
23
12
01 A·A·AT
)0,L,0(Tras·))90(,Y(Rot·)90,Z(Rot·)90,Y(RotA 00001
)L,0,0(Tras·))90(,Y(Rot·)90,Z(Rot·)90,Y(RotA 11112
)L,0,0(TrasA23
47
)0,L,0(Tras·))90(,Y(Rot·)90,Z(Rot·)90,Y(RotA 00001
)L,0,0(Tras·))90(,Y(Rot·)90,Z(Rot·)90,Y(RotA 11112
)L,0,0(TrasA23
·
1000
0100
00)90cos()90(sen
00)90(sen)90cos(
·
1000
0)90cos(0)90(sen
0010
0)90(sen0)90cos(
A01
1000
L010
0cos0sen
0sen0cos
1000
0100
L010
0001
·
1000
0)90(cos0)90(sen
0010
0)90(sen0)90(cos
·
C.T. Ejemplo 3 (c)
48
)L,0,0(Tras·))90(,Y(Rot·)90,Z(Rot·)90,Y(RotA 11112
)L,0,0(TrasA23
·
1000
0100
00)90cos()90(sen
00)90(sen)90cos(
·
1000
0)90cos(0)90(sen
0010
0)90(sen0)90cos(
A12
1000
0010
·cosLcos0sen
90·cosLsen0cos
1000
L100
0010
0001
·
1000
0)90cos(0)90(sen
0010
0)90(sen0)90cos(
·
1000
L100
0010
0001
A23
C.T. Ejemplo 3 (d)
49
C.T. Ejemplo 4 (a)
El sistema de referencia asociado al elemento 3 con respecto al 0
viene dado por la matriz de transformación homogénea
2
3
1
2
0
1A·A·AT
)0,L,0(Tras·),Y(Rot·)90,X(RotA00
0
1
)L,0,0(Tras·))90(,Y(Rot·)90,Z(Rot·)90,Y(RotA111
1
2
)L,0,0(TrasA2
3
Si las coordenadas de un punto i con
respecto al elemento 0 son (L, 2L, L)
¿Cúales serán esas coordenadas con
respecto al elemento 3 si α y = 90?
50
C.T. Ejemplo 4 (b)
51
C.T. Ejemplo 5 (a)
La muñeca de un robot está en la posición (0, 2L, L) con respecto a la
base del robot (sistema de referencia cartesiano dextrógiro X0Y0Z0 ) . El
versor j3 del sistema de referencia asociado a ella está en la dirección
positiva del eje x0 del sistema asociado a la base del robot, el k3 en el
del eje y0 positivo, siendo el sistema dextrógiro.
Las coordenadas de un punto i con respecto a la base del robot son (L,
2L, L).
Si el extremo del robot es sometido a una traslación Tras (0, L, 0)
respecto al sistema móvil X3Y3Z3 , y luego a otra traslación Tras (-L, 0,
0) con respecto a este último sistema.
1º ¿Cúal serán las coordenadas del punto i con respecto a ese sistema
X5Y5Z5 ?
2º ¿Y la matriz de transformación geométrica 0T5 ?
Resolverlo geométrica y matemáticamente.
52
C.T. Ejemplo 5 (b)
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Rotaciones compuestas (1)
Un giro general se puede descomponer en una
combinación de tres rotaciones básicas realizadas en un
cierto orden.
Existen 24 combinaciones definidas:
• 12 de ellas se obtienen mediante combinación de tres
rotaciones siempre realizadas sobre ejes principales del
sistema fijo. XYZ
• Las otras 12, conocidas como ángulos de Euler, se
definen mediante combinación de tres giros sobre ejes
principales del sistema móvil
54
Rotaciones compuestas (2)
Respecto a los ejes fijos: XYZ
(Roll, Pitch, Yaw)
Z Y X
Alabeo , Cabeceo, Guiñada
Balanceo, Inclinación , Orientación
55
Angulos de Euler
(X-Y-Z, X-Z-Y, Y-X-Z, Y-Z-X, Z-X-Y, Z-Y-X,
X-Y-X, X-Z-X, Y-X-Y, Y-Z-Y, Z-X-Z, Z-Y-Z)