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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 5Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

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Tema 5: Energía y Leyes

de Conservación*

*Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez y Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez

Física I

Grado en Ingeniería Electrónica,

Robótica y Mecatrónica (GIERM)

Primer Curso


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Índice

Cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza.

Momento cinético. Teorema del momento cinético.

Fuerzas centrales. Ley de las áreas.

Trabajo. Energía cinética.

Fuerzas conservativas. Energía potencial.

Fuerzas no conservativas.

Ley de conservación de la energía.


3

3

Cantidad de movimiento.

Definimos la cantidad de movimiento o momento lineal

de una partícula como

𝑝 = 𝑚 𝑣

Podemos reescribir la 2ª ley de Newton:

𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚𝑑 𝑣

𝑑𝑡=𝑑 𝑚 𝑣

𝑑𝑡=𝑑 𝑝

𝑑𝑡 𝐹 fuerza neta


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Impulso de una fuerza.

Integrando para un intervalo de tiempo dado:

𝑝𝑖

𝑝𝑓

𝑑 𝑝 = 𝑡𝑖

𝑡𝑓 𝐹𝑑𝑡 ; Δ 𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 =

𝑡𝑖

𝑡𝑓 𝐹𝑑𝑡

La variación de la cantidad de movimiento de la

partícula es igual al impulso que ha recibido

en el intervalo de tiempo considerado.


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Índice









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Momento cinético (I)

Momento cinético o angular de una partícula,

situada en un punto B, respecto de un punto dado

A:

𝐿𝐴 = 𝐴𝐵 × 𝑝

En particular, si A coincide con el origen de

coordenadas:

𝐿𝑂 = 𝑂𝐵 × 𝑝 = 𝑟 × 𝑝 = 𝐿

Derivando:

𝑑𝐿

𝑑𝑡=𝑑 𝑟 × 𝑝

𝑑𝑡=𝑑 𝑟

𝑑𝑡× 𝑝 + 𝑟 ×

𝑑 𝑝

𝑑𝑡= 𝑣 × 𝑚 𝑣 + 𝑟 × 𝐹


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Momento cinético (II)

Momento de una fuerza 𝑭 aplicada en un punto

B, respecto de un punto dado A, 𝑀𝐴 = 𝐴𝐵 × 𝐹.

Respecto al origen: 𝑀𝑂 = 𝑂𝐵 × 𝐹 = 𝑟 × 𝐹 = 𝑀

Entonces, podemos escribir: 𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝑀

Teorema del Momento Cinético: La derivada

temporal del momento cinético de una partícula es

igual al momento de la fuerza resultante sobre

ella.


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Momento cinético (III)

Conservación del momento cinético:

Para 𝐹 = 0:𝑑 𝑝

𝑑𝑡= 0 → 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒

𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝑀 = 𝑟 × 𝐹 = 0 → 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒

Fuerzas centrales: 𝐹 = 𝑓 𝑟 𝑟

𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝑀 = 𝑟 × 𝐹 = 𝑟 × 𝑓(𝑟) 𝑟 = 0 → 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒


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Índice









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Ley de las áreas: El área barrida por el vector posición de una partícula

sometida a una fuerza de tipo central es proporcional al tiempo empleado

en

el recorrido. A tiempos iguales, áreas barridas iguales.

(2ª ley de Kepler)

𝑑 𝐴 =1

2𝑂𝑃 × 𝑑 𝑟 (prod. vectorial)

𝑑 𝐴

𝑑𝑡=1

2𝑂𝑃 ×

𝑑 𝑟

𝑑𝑡=𝐿

2𝑚= 𝑐𝑡𝑒

Llamamos velocidad areolar a

𝑉𝐴 =𝑑 𝐴

𝑑𝑡. No tiene dimensiones de velocidad, es el ritmo (tasa) de variación

del área con el tiempo.

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Segunda-ley-kepler-planeta.gif

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Archivo:Segunda-ley-kepler-planeta.gif


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Índice









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Trabajo (I)

Trabajo elemental realizado sobre una partícula por la fuerza 𝐹produciendo el desplazamiento 𝑑 𝑟 :

𝛿𝑊 = 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟

Evidentemente, si la fuerza o el desplazamiento son nulos, no

se realiza trabajo.

Pero, dado que en la expresión hay un

producto escalar, ¿qué pasa si la fuerza

es perpendicular al desplazamiento?

𝛿𝑊 = 𝐹 𝑑 𝑟 cos 𝜃

Para 𝐹 ⊥ 𝑑 𝑟 , cos𝜋

2= 0 → 𝛿𝑊 = 0


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Trabajo (II)

Integrando el trabajo elemental:

𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙

𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟

El trabajo realizado por una fuerza sobre una

partícula entre dos posiciones depende del camino

seguido, 𝑙. Por eso usamos 𝛿 y no 𝑑 para su

diferencial, para indicar que no es una diferencial

exacta.


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Energía cinética (I)

Si en la expresión del trabajo usamos la 2ª ley de Newton,

𝐹 = 𝑚 𝑎, y la definición de 𝑎, 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡, obtenemos:

𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙

𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 =

𝑟1,𝑙

𝑟2

𝑚𝑑 𝑣

𝑑𝑡⋅ 𝑑 𝑟 =

𝑟1,𝑙

𝑟2

𝑚𝑑 𝑣 ⋅ 𝑣 =

= 𝑟1,𝑙

𝑟2 1

2𝑚𝑑( 𝑣 ⋅ 𝑣) =

𝑟1,𝑙

𝑟2 1

2𝑚𝑑(𝑣2) =

𝑟1,𝑙

𝑟2

𝑑1

2𝑚𝑣2 =

= 𝑟1,𝑙 𝑟2 𝑑 𝐾 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾 (𝐾, energía cinética)

Teorema trabajo-energía cinética o de las fuerzas

vivas: El trabajo realizado sobre una partícula entre dos

puntos es igual a la variación de su energía cinética entre

esos puntos.


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Energía cinética (II)

Hemos hallado que:

𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙 𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾

Por tanto, si el trabajo realizado sobre una partícula

entre dos puntos es nulo, bien porque la fuerza o el

desplazamiento sean nulos, o bien porque la fuerza y

el desplazamiento sean perpendiculares todo el

tiempo, Δ𝐾 = 0 → 𝐾 = 𝑐𝑡𝑒 →1

2𝑚𝑣2 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒.

Ojo: Estamos diciendo que la celeridad es constante

(movimiento uniforme), no que lo sea la velocidad.

Ej: Movimiento circular uniforme.


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Índice









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Fuerzas conservativas. Energía

potencial (I)

En general, 𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙 𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 , y por tanto, el

trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula

entre dos posiciones depende del camino seguido.

Cuando hay una fuerza para la que el trabajo entre

dos puntos no depende del camino, sino sólo de

las posiciones inicial y final, la llamamos fuerza

conservativa.

𝑊1→2,𝑙1 = 𝑟1,𝑙1

𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 =

𝑟1,𝑙2

𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑊1→2,𝑙2 = 𝑊1→2


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En el caso de las fuerzas conservativas,

𝑊1→2 = 𝑟1

𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟

Introduciendo 𝑑𝑈 = − 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 , queda:

𝑊1→2 = − 𝑟1

𝑟2

𝑑𝑈 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈

A 𝑈 𝑟 la llamamos energía potencial de la partícula

en la posición 𝑟. Para calcularla, elegimos 𝑈 𝑟0 = 0.

𝑈 𝑟 − 𝑈 𝑟0 = 𝑟0

𝑟

𝑑𝑈 → 𝑈 𝑟 = 𝑟0

𝑟

𝑑𝑈

Fuerzas conservativas. Energía potencial (II)


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Fuerzas conservativas. Energía potencial (III)

Significado físico de 𝑈 𝑟 :

𝑈 𝑟 = 𝑟0

𝑟

𝑑𝑈 = − 𝑟0

𝑟

𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = −𝑊 𝑟0→ 𝑟

La energía potencial de una partícula situada en la

posición 𝑟 es igual a menos el trabajo que hay que

realizar para llevar la partícula desde el origen de

potenciales 𝑟0 hasta la posición 𝑟. O, reescribiendo:

𝑈 𝑟 = 𝑟0

𝑟

𝑑𝑈 = − 𝑟0

𝑟

𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑟

𝑟0 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑊 𝑟→ 𝑟0

𝑈 𝑟 sería el trabajo para llevar la partícula de su

posición 𝑟 hasta el origen de potenciales 𝑟0.


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Fuerzas conservativas. Energía potencial (IV)

Desarrollando cada término de 𝑑𝑈 = − 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 en

cartesianas: 𝑑𝑈 =𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑑𝑦 +

𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑑𝑧

− 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = − 𝐹𝑥𝑑𝑥 + 𝐹𝑦𝑑𝑦 + 𝐹𝑧𝑑𝑧

Identificando : 𝐹𝑥 = −𝜕𝑈

𝜕𝑥; 𝐹𝑦 = −

𝜕𝑈

𝜕𝑦; 𝐹𝑧 = −

𝜕𝑈

𝜕𝑧

Entonces, 𝐹 = −𝜕𝑈

𝜕𝑥 𝚤 +

𝜕𝑈

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕𝑈

𝜕𝑧𝑘 = −𝛻𝑈

Siendo 𝛻 =𝜕

𝜕𝑥 𝚤 +

𝜕

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘 el operador gradiente.

𝐹 = −𝛻𝑈 es una propiedad característica de las

fuerzas conservativas.


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Fuerzas conservativas. Energía potencial (V)

Ej: Obtención de la energía potencial para el caso de

la fuerza conservativa 𝑭 = 𝒎𝒈 = −𝒎𝒈𝒌 (peso)

𝑊1→2 = 𝑟1

𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = −

𝑟1

𝑟2

𝑑𝑈 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈

Sustituyendo: 𝑊1→2 = 𝑟1 𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑟1

𝑟2 −𝑚𝑔𝑘 ⋅ 𝑑 𝑟 =

= −𝑚𝑔 𝑧1𝑧2 𝑑𝑧 = −𝑚𝑔 𝑧2 − 𝑧1 = 𝑚𝑔𝑧1 −𝑚𝑔𝑧2 =

= 𝑈 𝑧1 − 𝑈 𝑧2 = −Δ𝑈

Para una posición dada, 𝑈 𝑧 = 𝑚𝑔𝑧 , energía

potencial gravitatoria. Y 𝐹 = − 𝛻𝑈=−𝜕𝑈

𝜕𝑧𝑘 = −𝑚𝑔𝑘


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Fuerzas conservativas. Energía potencial (VI)

En el caso de las fuerzas conservativas,

𝑊1→2 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈

En general, para todas las fuerzas,

𝑊1→2 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾

Igualando:

𝑊1→2 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾

Definimos la energía mecánica, 𝐸, como 𝐸 = 𝐾 + 𝑈−Δ𝑈 = Δ𝐾 → Δ𝑈 + Δ𝐾 = 0 → Δ 𝑈 + 𝐾 = 0 → Δ𝐸 = 0

Por tanto, para el caso de que las fuerzas sean conservativas,

la energía mecánica se conserva.


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Índice









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Fuerzas no conservativas (I)

En general, para todas las fuerzas, se cumple

𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙

𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾

Pero sólo para las fuerzas conservativas, es cierto

que 𝑊1→2 = 𝑟1 𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈

Entonces, si descomponemos la fuerza neta en

suma de fuerzas conservativas y no conservativas,

nos queda:

𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙

𝑟2 𝐹𝑐 + 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟 = −Δ𝑈 +

𝑟1,𝑙

𝑟2 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟


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Fuerzas no conservativas (II)

𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙

𝑟2 𝐹𝑐 + 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟 = −Δ𝑈 +

𝑟1,𝑙


Llamamos trabajo de las fuerzas no conservativas al término

𝑟1,𝑙 𝑟2 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐

Entonces, Δ𝐾 = −Δ𝑈 + 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐 →

→ Δ𝐸 = Δ𝐾 + Δ𝑈 = 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐La variación de la energía mecánica es igual al trabajo realizado

por las fuerzas no conservativas.

Ojo: En el caso de fuerzas no conservativas, pero

perpendiculares al desplazamiento→ 𝑊𝑛𝑐 = 0


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Fuerzas no conservativas (III)

Ejemplos de fuerzas no conservativas:

Fuerzas de rozamiento (estático y dinámico)

Rozamiento estático :

𝐹𝑟 ≤ 𝜇𝑠 𝐹𝑛

Rozamiento dinámico:

𝐹𝑟 = 𝜇𝑑 𝐹𝑛

𝐹𝑟 es tangente a la superficie y con sentido

opuesto al de 𝑣.


27

Fuerzas no conservativas (IV)

Coeficientes de rozamiento estático y dinámico


28

Fuerzas no conservativas (V)

Tenemos que

Δ𝐸 = Δ𝐾 + Δ𝑈 = 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐= 𝑟1,𝑙


Para las fuerzas de rozamiento y las fuerzas de

viscosidad, el término 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐 = 𝑟1,𝑙 𝑟2 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟 es

siempre negativo.

Entonces Δ𝐸 < 0 : la energía mecánica disminuye

en presencia de las fuerzas de rozamiento y/o

viscosidad. ¿Qué pasa con esa energía que falta?

Se ha disipado en forma de calor.


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Índice









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Ley de conservación de la energía

“La energía total no aumenta ni disminuye en ningún proceso.

La energía puede transformarse de una forma a otra, y

transferirse de un objeto a otro; pero la cantidad total

permanecerá constante.”

Así,

Δ𝐾 + Δ𝑈 + Δ 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = 0

Ya hemos visto que Δ𝐸 = Δ𝐾 + Δ𝑈 = 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐Entonces,

Δ 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = − 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐Ejemplos de otras formas de energía no mecánica:

térmica, química, eléctrica, radiante, nuclear,…

La energía ni se crea ni se destruye: se transforma.

tema 5: energía y leyes de conservación*gierm)/apuntes/fi gierm pdf 15-16/7...física i.grado en...

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