TEMA 4 PROGRAMACIÓN LINEAL

4.1 Inecuaciones lineales con dos incógnitas . Interpretación geométricaEjercicios propuestos página 801. Representa los semiplanos determinados por las siguientes expresiones:

f 2x3

�3y2

� �6

Hemos de representar la recta 2x3

�3y2

� �6 � 4x � 9y � �36

Consideramos una tabla de dos valores (recordemos que una recta queda univocamentedeterminada cuando conocemos dos de sus puntos):

x y

0 4

�9 0

Si x � 0 � 4 � 0 � 9y � �36 � y � �36�9

� 4

Si y � 0 � 4x � 9 � 0 � �36 � x � �364

� � 9

2x3

�3y2

� �6

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

Ahora hemos de determinar que semiplano verifica la inecuación. Para ello tomamos un puntode uno de estos semiplanos. Por comodidad tomo �0, 0� y lo sustituyo en la inecuación:2 � 0

3� 3 � 0

2� �6 � 0 � �6 es cierto. Luego el punto �0, 0� está en el semiplano que verifica la

inecuación.La solución es la recta y todo lo que queda por debajo de la recta.

Tareas 13-11-13: todos los ejercicios que faltan de la página 80

4.2 Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas . Interpretacióngeométrica .Ejercicios propuestos página 814 Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales, representa la solución,

calcula las coordenadas de sus vértices e indica si es o no acotada.

1

a.

y � 2

x � �4

x � 2y � 3

Para representar la inecuación x � 2y � 3, hemos de representar la recta x � 2y � 3Consideramos una tabla de dos valores (recordemos que una recta queda univocamentedeterminada cuando conocemos dos de sus puntos):

x y

1 �1

3 0

Si x � 1 � 1 � 2y � 3 � y � 2�2

� � 1

Si y � 0 � x � 2 � 0 � 3 � x � 3

y � 2 �4 � x x � 2y � 3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

1. Ahora hemos de determinar que semiplano verifica la inecuación x � 2y � 3. Para ello tomamosun punto de uno de estos semiplanos. Por comodidad tomo �0, 0� y lo sustituyo en la inecuación:0 � 2 � 0 � 3 � 0 � 3 es cierto. Luego el punto �0, 0� está en el semiplano que verifica lainecuación.La solución es la recta y todo lo que queda por encima de la recta x � 2y � 3.Nos queda determinado un triángulo del cual hemos de calcular sus vértices que vienen dados

2

por las soluciones de los siguientes sistemas:

a.1)y � 2

x � �4El punto de corte es el ��4, 2�

a.2)y � 2

x � 2y � 3

Sencillamente sustituimos el valor de y en la segunda ecuación para hallar el valor de x que lecorresponde:x � 2 � 2 � 3 � x � 3 � 4 � 7El punto de corte es el �7, 2�

a.3)x � �4

x � 2y � 3

Sencillamente sustituimos el valor de x en la segunda ecuación para hallar el valor de y que lecorresponde:�4 � 2y � 3 � �4 � 3 � 2y � y � �7

2El punto de corte es el �4, �7

2Tareas 15-11-2013: todos los ejercicios que faltan de la página 81

4.4 Formulación matemática . Resolución analítica .Ejercicios propuestos página 855 Resuelve de forma analítica el siguiente problema de programación lineal.

� Max y Min z � 3x � 8y

� sujeto a

y � 4

x � 0

2x � 3y � 0

x � y � 5

5.1 Para representar la región 2x � 3y � 0, hemos de representar la recta 2x � 3y � 0Consideramos una tabla de dos valores (recordemos que una recta queda univocamentedeterminada cuando conocemos dos de sus puntos):

x y

0 0

3 2

Si x � 0 � 2 � 0 � 3y � 0 � y � 0�3

� 0

Si x � 3 � 2 � 3 � 3y � 0 � y � �6�3

� 2

Ahora hemos de determinar que semiplano verifica la inecuación 2x � 3y � 0. Para ello tomamosun punto de uno de estos semiplanos. Por comodidad tomo �1, 1� y lo sustituyo en la inecuación:2 � 1 � 3 � 1 � 0 � �1 � 0 es cierto. Luego el punto �1, 1� está en el semiplano que verifica lainecuación.5.2 Para representar la región x � y � 5, hemos de representar la recta x � y � 5Consideramos una tabla de dos valores (recordemos que una recta queda univocamentedeterminada cuando conocemos dos de sus puntos):

x y

0 5

5 0

Si x � 0 � 0 � y � 5 � y � 5Si y � 0 � x � 0 � 5 � x � 5

3

Ahora hemos de determinar que semiplano verifica la inecuación x � y � 5. Para ello tomamosun punto de uno de estos semiplanos. Por comodidad tomo �1, 1� y lo sustituyo en la inecuación:1 � 1 � 5 � 2 � 5 es cierto. Luego el punto �1, 1� está en el semiplano que verifica la inecuación.

y � 4 0 � x 2x � 3y � 0 x � y � 5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

1. 5.3 Como la región factible está acotada, hemos de calcular los vértices de la región convexa,que vienen dados por la intersección de los siguientes pares de rectas:

y � 4

x � y � 5, Solution is: �x � 1, y � 4� � A � �1, 4�

y � 4

x � 0, Solution is: �x � 0, y � 4� � B � �0, 4�

2x � 3y � 0

x � y � 5, Solution is: �x � 3, y � 2� � C � �3, 2�

x � 0

2x � 3y � 0, Solution is: �x � 0, y � 0� � D � �0, 0�

Estos cuatro sistemas de dos ecuaciones lineales se resuelven por uno de los tres métodosanalíticos (reducción, igualación, sustitución).

4

5.4 Hemos de evaluara la función objetivo z � 3x � 8y sobre estos cuatro vértices.� zA � 3 � 1 � 8 � 4 � 35� zB � 3 � 0 � 8 � 4 � 32� zC � 3 � 3 � 8 � 2 � 25� zD � 3 � 0 � 8 � 0 � 0

5.5 El máximo de la función objetivo se alcanza en A; mientras que su mínimo se alcanza en D.Tareas 18-11-13: ejercicio 6 de la página 85.

4.5 Método gráfico para el cálculo de solucionesEjemplo de haz de rectas paralelas1. Haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo z � 3x � 4y

El haz de rectas paralelas será �k � 3x � 4y/k � R�Vamos a representar las rectas paralelas asociadas a k � ��4,�8, 0, 8, 4�3x � 4y � �4

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Se ve que según aumenta el valor de k las rectas van subiendo por el plano.Por otro lado la pendiente de este haz de rectas paralelas viene dado por

k � 3x � 4y � 4y � �3x � k � y � � 34

x � k4

Por lo tanto la pendiente es m � � 34

cuya interpretación geométrica es partiendo de un punto

cualquiera de la recta desplazándome cuatro lugares a la derecha y tres hacia abajo acabo enotro punto de la recta.

Por otro n � k4

es la ordenada en el origen, es decir, nos da el punto de la recta de

5

coordenadas 0, k4

está sobre el eje de ordenadas.

2. Haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo z � 3x � 4yEl haz de rectas paralelas será �k � 3x � 4y/k � R�Vamos a representar las rectas paralelas asociadas a k � ��4,�8, 0, 8, 4�

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

1. Se ve que según aumenta el valor de k las rectas van bajando por el plano.Por otro lado la pendiente de este haz de rectas paralelas viene dado por

k � 3x � 4y � 4y � 3x � k � y � 34

x � k4

Por lo tanto la pendiente es m � 34

cuya interpretación geométrica es partiendo de un punto

cualquiera de la recta desplazándome cuatro lugares a la derecha y tres hacia arriba acabo enotro punto de la recta.

Por otro n � � k4

es la ordenada en el origen, es decir, nos da el punto de la recta de

coordenadas 0,� k4

, que es un punto que está sobre el eje de ordenadas

Ejercicio 7 de la página 87Resuelve de forma gráfica el siguiente problema:Max y Min z � 10x � 5y

6

sujeto a

x � y � 5

x � y � 2

0 � x

1 � y

Lo primero es representar la región factible:

x � y � 5 2 � x � y 0 � x 1 � y

-2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Ahora hemos de representar la función objetivo para un valor de k. Es decir, de todas las rectas paralelasasociadas a la función objetivo, sólo vamos a pintar una para que nos de una idea de donde puedenalcanzar el mínimo y el máximo.

Tomamos k � 0 � 10x � 5y � 0 � y � �10x5

� � 2x � � 21

x

De aquí sacamos que la pendiente es m � � 21

que se interpreta como que desde cualquier punto de la

recta desplazándome uno a la derecha dos hacia abajo termino sobre la recta.De aquí también sacamos la ordenada en el origen; n � 0. Es decir, la recta pasa por el punto sobre el ejede ordenadas de coordenadas �0, 0�.Pintamos de esta manera dos puntos de la recta: ��0, 0�, �1,�2��.Trazamos la recta correspondiente queesta asociada a la función 10x � 5y � 0. Ahora con ayuda de escuadra y cartabón la desplazamosparalelamente a si misma para ver dónde se alcanzan el máximo y el mínimo. El primero se alcanza en elvértice para el cual la paralela nos queda más arriba, mientras que para el segundo será para la paralela

7

que queda más abajo. Los puntos determinados son respectivamente �4, 1� y �0, 2�. Indudablementenuestro dibujo es muy sencillo y limpio por lo que las coordenadas de esos puntos se ven a simple vista,en condiciones normales sabremos dónde se produce el corte y habremos de determinar esos puntosanalíticamente resolviendo el sistema de ecuaciones lineales correspondiente.Para terminar tenemos:� z�4, 1� � 10 � 4 � 5 � 1 � 45 es el máximo� z�0, 2� � 10 � 0 � 5 � 2 � 10 es el mínimo

Tareas 21-11-13: ejercicio 8 de la página 87.Tareas 21-11-13: ejercicios 9,10 de la página 91.

Ejercicios finales del tema19 Resuelve de forma analítica los siguientes problemas de programación lineal:

a. Min z � 9x � y sujeto a

x � y � 5

3x � y � 2

3x � 2y � 5

x � 0

Tenemos que representar cada una de las rectas asociadas a la desigualdades y establecer laparte del plano donde se cumple la desigualdad.x � y � 5

Tabla de valores:x y

0 5

5 0

Ahora cojemos el punto del plano �0, 0�, y lo sustituimos en la inecuación:0 � 0 � 5 � 0 � 5 cierto entonces el punto �0, 0� está en la región factible.

2. 3x � y � 2

Tabla de valores:x y

1 -1

0 2

Ahora cojemos el punto del plano �0, 0�, y lo sustituimos en la inecuación:2 � 3 � 0 � 0 � 2 � 0 falso entonces el punto �0, 0� no está en la región factible.3x � 2y � 5

Tabla de valores:

x y

0 �2. 5 � 5�2

3 2

Ahora cojemos el punto del plano �0, 0�, y lo sustituimos en la inecuación:3 � 0 � 2 � 0 � 5 � 0 � 5 cierto entonces el punto �0, 0� está en la región factible.

8

x � y � 5 2 � 3x � y 3x � 2y � 5 0 � x

-1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

1. Es la región factible, para la cual tenemos que calcular los vértices:

�x � y � 5

x � 0Claramente me da el punto A � �0, 5�

�x � y � 5

3x � 2y � 5

Método de reducción:3x � 3y � 15

3x � 2y � 5�resto en columna� 5y � 10 �

� y � 105

� 2

Entonces x � 3 �da el punto B � �3, 2�

�3x � y � 2

3x � 2y � 5

Método de reducción: �resto en columna� 3y � �3 � y � �33

� � 1

Sustituimos este valor de y para hallar x: 3x � 1 � 2 � x � 33

� 1 �da el punto

C � �1,�1�

9

�3x � y � 2

x � 0�da el punto D � �0, 2�

Ahora hemos de evaluar la función objetivo en estos puntos, los vértices de la región factible:� zA � 9 � 0 � 5 � 5� zB � 9 � 3 � 2 � 29� zC � 9 � 1 � 1 � 8� zD � 9 � 0 � 2 � 2

El mínimo se alcanza en DTareas 25-11-13: todos los ejercicios que faltana del 19.Tareas 25-11-13: 20, 21,22,24,2526 Una empresa cuenta con tres empleados que trabajan durante 40 horas semanales para

elaborar dos tipos de guitarras eléctricas, G1 y G2. Cada unidad de G1 requiere tres horas detrabajo, y cada unidad de G2,cuatro. Independientemente del tipo que sea, cada guitarraproporciona un beneficio de 75 euros.

Un estudio de mercado señala que no se deben producir en total más de 32 guitarras semanales.Determina la producción para que los beneficios sean máximos.

Llamamos x �Nº de guitarras G1

y �Nº de guitarras G2

� 3x � 4y � 40� x � y � 32� x � 0� y � 0� La función objetivo es z � 75x � 75y

Las restricciones que determinan la región factible son:

3x � 4y � 40

x � y � 32

0 � x

y � 0

Para maximizar la función objetivo z � 75x � 75y26.1) Vamos a pintar la recta 3x � 4y � 40

Tabla de valoresx y

0 10

4 7

26.2) Vamos a pintar la recta x � y � 32

Tabla de valoresx y

0 32

32 0

Las regiones determinadas por las desigualdades asociadas a cada ecuación serán las siguientes:� 3x � 4y � 40

Tomamos el punto �0, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda3 � 0 � 4 � 0 � 40 � 0 � 40 cierto, luego el punto está en esa región� x � y � 32

Tomamos el punto �0, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda0 � 0 � 32 � 0 � 32 cierto, luego el punto está en esa región.La región factible queda así:

10

3x � 4y � 40 x � y � 32 0 � x 0 � y

-4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

10

20

30

x

y

Vamos a encontrar el máximo por el método gráfico.Hemos de pintar una recta asociada a la función objetivo z � 75x � 75y. . Tomaremos la más sencilla75x � 75y � 0 � x � y � 026.3) Vamos a pintar la recta x � y � 0

Tabla de valoresx y

10 -10

5 -5

Desplazando esta recta hacia arriba, paralelamente a si misma, vemos que el máximo se alcanza en elpunto de corte de la recta 3x � 4y � 0 con el eje OX.Dicho punto es la solución al sistema:

3x � 4y � 40

y � 0, Solution is: x � 40

3, y � 0

Se resuelve por uno de los tres métodos conocidos (reducción, sustitución, igualación)

Es decir, la función objetivo es máxima en el punto 403

, 0 en el que alcanza el valor

z � 75 � 403

� 75 � 0 � 1000

Pero esto no tiene sentido en nuestro problema de las guitarras pues 403

no es exacto.

Entonces, ¿Cuántas guitarras podemos fabricar?11

Como 403

� 13. 333 � 13

Debemos fabrica 13 guitarras del tipo G1

Esta solución se debe a que una de las restricciones x � y � 32 es redundante.Tareas 10-12-12: 27,28,29,30Tareas 11-12-12: 32,33,34,3531 En un taller de confección se van a elaborar trajes de cocinero y de camarero. Se dispone para

ello de 30 m2 de algodón, 10 m2 de fibra sintética y 20 m2 de lana.Para hacer cada traje de cocinero se necesitan 1 m2 de algodón, 2 m2 de fibra sintética y 2 m2 de lana.Cada unidad de este tipo deja 20 euros de beneficios.Para hacer cada traje de camarero se necesitan 2 m2 de algodón, 1 m2 de fibra sintética y 1 m2 de lana.Cada unidad de este tipo deja 30 euros de beneficios.Se deben confeccionar mayor o igual número de trajes de camarero que de cocinero y, como mínimo, sedeben hacer un traje de cocinero y dos de camarero. El total no podrá ser superior a 20.a) ¿Cuántos trajes de cada tipo se deberán confeccionar de forma que el beneficio sea máximo?b) ¿Sobrará algún tipo de material?c) ¿Hay alguna condición redundante?

Llamamos x � nº de trajes de camarero

y � nº de trajes de cocinero

Así para el algodón tendremos que: 2x � y � 30Para la fibra sintética será: x � 2y � 10Para la lana será: x � 2y � 20La relación entre los trajes ha de ser: x � y

Los mínimos son:y � 1

x � 2

Los máximos son: x � y � 20La función objetivo será: z � 30x � 20yRecapitulamos, hemos de maximizar z � 30x � 20y

sujeto a las siguientes restricciones:

2x � y � 30

x � 2y � 10

x � y

y � 1

x � 2

x � y � 20

x � 2y � 20

31.1) Vamos a pintar la recta 2x � y � 30

Tabla de valoresx y

15 0

0 30

Tomamos el punto �0, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda2 � 0 � 0 � 30 � 0 � 30 cierto, luego el punto está en esa región.31.2) Vamos a pintar la recta x � 2y � 10

Tabla de valoresx y

10 0

0 5

Tomamos el punto �0, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda0 � 2 � 0 � 10 � 0 � 10 cierto, luego el punto está en esa región.

12

31.3) Vamos a pintar la recta x � y

Tabla de valoresx y

10 10

5 5

Tomamos el punto �2, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda 0 � 2cierto, luego el punto está en esa región.31.4) Vamos a pintar la recta 1 � y

Tabla de valoresx y

10 1

5 1

Tomamos el punto �0, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda 1 � 0falso, luego el punto no está en esa región.31.5) Vamos a pintar la recta 2 � x

Tabla de valoresx y

2 1

2 10

Tomamos el punto �0, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda 2 � 0falso, luego el punto no está en esa región.31.6) Vamos a pintar la recta x � y � 20

Tabla de valoresx y

10 10

0 20

Tomamos el punto �0, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda0 � 0 � 20 � 0 � 20 cierto, luego el punto está en esa región.31.7) Vamos a pintar la recta x � 2y � 20

Tabla de valoresx y

20 0

0 10

Tomamos el punto �0, 0�, que no está en la recta, y lo sustituimos en la inecuación y nos queda0 � 2 � 0 � 20 � 0 � 20 cierto, luego el punto está en esa región.La región factible es;

13

2x � y � 30 x � 2y � 10 y � x 1 � y 2 � x x � y � 20 x � 2y � 20

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Vamos a resolver el problema por el método gráfico:31.) Hemos de representar una de las rectas del haz de rectas paralelas k � 30x � 20yPor comodidad tomamos 0 � 30x � 20y. Esta sabemos que pasa por el punto �0, 0�y su pendiente vienedada por:

y � � 3020

x � y � � 32

x � m � � 32

que nos dice que si nos desplazamos dos lugares bajamos tres.

Desplazando esta recta paralelamente a si misma hacia arriba(los valore de k se van haciendo mayores)vemos que el máximo se alcanza en el vértice de la región factible dado por el sistema:

y � 1

x � 2y � 10, Solution is: �x � 8, y � 1�

El máximo se alcanza en el punto �8, 1�a) Se deben fabricar 8 de camarero y uno de cocinero.Con un beneficio de z � 30 � 8 � 20 � 1 � 260 euros

b) Se gasta

camarero (8) cocinero (1) totales existencias

algodón 8 � 2 � 16 1 � 1 � 1 17 30

fibra sintética 8 � 1 � 8 1 � 2 � 2 10 10

lana 8 � 1 � 8 1 � 2 � 2 10 20

Sobran algodón (13m2� y lana (10m2�c) Me sobran tres restricciones:

2x � y � 30

x � y � 20

x � 2y � 20

14