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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TEMA 3.1Mecánica del sólido deformable:
Análisis de tensiones
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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3. 1. 1. Introducción
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
OBJETIVO:
- estudio del comportamiento de los medios deformables
- establecer las bases físicas que nos permitan determinar:
1) el material mas conveniente2) la forma 3) las dimensiones
más adecuadas de estos sólidos cuando se emplean como elementos de una construcción
3.1.1. Introducción
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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
MÉTODO DE TRABAJO:
Efectos que las FUERZAS APLICADAS provocan en el INTERIOR de un cuerpo cualquiera
SE ANALIZARÁN:
1) las TENSIONES INTERIORES que se engendran en un punto en el cuerpo:
- vector tensión- estado de tensiones: TENSOR DE TENSIONES
3.1.1. Introducción
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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
MÉTODO DE TRABAJO:
2) las DEFORMACIONES que se originan alrededor de un punto:
- vector desplazamiento- tensor de pequeñas deformaciones: deformación unitaria
ESTADO DE TENSIONES
SÓLIDO ELÁSTICO
ESTADO DE DEFORMACIONES
3.1.1. Introducción
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3.1.2. Concepto de medio continuo
MODELO DEL SISTEMA OBJETO DE ESTUDIO:
- SIMPLIFICACIÓN: útil y cómodo- CONCLUSIONES: buena aproximación de la realidad
PUNTO MATERIAL
- estudio de:
cuerpos celestes, moléculas de gas
- trayectorias >> dimensiones
SÓLIDO RÍGIDO
- modificaciones de forma despreciables
- fuerzas aplicadas no pueden ser arbitrariamente grandes
3.1.2. Concepto de medio continuo
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SÓLIDO DEFORMABLE:
- DISTANCIA ENTRE PARTÍCULAS: modificada por acciones externas
- MATERIA: constituida por partículas sometidas a complejasfuerzas de interacción, PLANTEAMIENTO COMPLEJO
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO:- MECÁNICA DEL SÓLIDO
- MECÁNICA DE FLUIDOS
MODELO DEL MEDIO CONTINUO:
- continuidad del sistema- no existen huecos, ni distancias intersticiales- continuidad de las funciones y magnitudes
3.1.2. Concepto de medio continuo
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3.1.3. Vector tensión (o esfuerzo)
A∆
Fr
∆
AFt A ∆
∆= →∆
rr
0lim
: fuerza por unidad de superficie en un punto O
¿ES ÚNICO EL VECTOR TENSIÓN ASOCIADO A UN PUNTO O?
tr
3.1.3. Vector tensión (o esfuerzo)
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DESCOMPOSICIÓN DEL VECTOR TENSIÓN tr
σ
τ
: TENSIÓN NORMAL
: TENSIÓN TANGENCIAL
Componentes intrínsecas de :tr
222 τσ +=t
3.1.3. Vector tensión (o esfuerzo)
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3.1.4. Estudio de los vectores tensión en un punto
CUESTIÓN:
¿Es posible calcular de una manera sencilla el valor de la tensión en O para cualquier orientación de S?
ESTADO DE TENSIONESDE UN PUNTO “O”
Vectores asociados a las superficies
S que pasan por O
tr
3.1.4. Estudio de los vectores tensión en un punto
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- paralelepípedo de lados dx, dy, dz con vértice en O
- en el límite: caras del paralelepípedo = superficies S
3.1.4. Estudio de los vectores tensión en un punto
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Paralelepípedo de lados dx, dy dz:
Para cada cara, :
- Tensión intrínseca normal:
i : eje normal a la cara
- Tensión intrínseca tangencial:
dos componentes
i : eje normal a la cara
j : eje paralelo a la arista
iσtr
ijτ
Signo de las componentes: según el sentido de los ejes coordenados
3.1.4. Estudio de los vectores tensión en un punto
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?¿ *yy σσ ≠ ?¿*yzyz ττ ≠
En el equilibrio:
∑=
=n
iiF
10
r∑=
=n
iiM
10
r
⇒=∑=
n
iixF
1
0r
0)()()( =−+−+− ∗∗∗ dxdydzdxdydz zxzxyxyxxx ττττσσ
Despreciando el peso del paralelepípedo:
xx σσ =∗
yxyx ττ =∗
zxzx ττ =∗
⇒=∑=
n
iiyF
10
r
⇒=∑=
n
iizF
10
r
yy σσ =∗
zyzy ττ =∗
xyxy ττ =∗
zz σσ =∗
yzyz ττ =∗
xzxz ττ =∗
3.1.4. Estudio de los vectores tensión en un punto
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?¿ zyyz ττ ≠
∑=
=n
iiM
10
r
zyyz ττ =
xzzx ττ =
yxxy ττ =
⇒=−⇒=∑=
0)(2)(201
dzdxdydydxdzM zyyzn
iix ττ
⇒=−⇒=∑=
0)(2)(201
dxdydzdzdxdyM xzzxn
iiy ττ
⇒=−⇒=∑=
0)(2)(201
dydxdzdxdydzM yxxyn
iiz ττ
TEOREMADE
CAUCHY
3.1.4. Estudio de los vectores tensión en un punto
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6 valores independientes:
xσ yσ zσ
xyτ yzτ zxτ
3.1.4. Estudio de los vectores tensión en un punto
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3.1.5. Tensor de tensiones
- cara ABC
- áreas caras coincidentes con planos coordenados
Área: dA),,( γβαur
dAαdAβdAγ
3.1.5. Tensor de tensiones
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tr
),,( zyx tttt =r
Vector tensión asociado a ABC:
0=−−− dAdAdAdAt zxxyxx γτβτασ
∑=
=n
iiF
10
r0=−−− dAdAdAdAt yzyxyy γτβσατ
0=−−− dAdAdAdAt zyzzxz γσβτατ
3.1.5. Tensor de tensiones
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γτβτασ zxxyxxt ++=
γτβσατ yzyxyyt ++=
γσβτατ zyzzxzt ++=
Dividiendo por y reordenando los términos:dA
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γβα
στττστττσ
zyzzx
yzyxy
zxxyx
z
y
x
ttt
uTt rr
⋅=VECTOR TENSIÓN ASOCIADO A “S” EN EL PUNTO O:
3.1.5. Tensor de tensiones
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ESTADO TENSIONAL EN EL INTERIOR DE UN SÓLIDO
En todos los puntos del sólido:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zyzzx
yzyxy
zxxyx
στττστττσ
3.1.5. Tensor de tensiones
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PROPIEDADES DEL TENSOR DE TENSIONES:
1) TENSOR SIMÉTRICO: EJES PRINCIPALES
a) autovalores: tensiones principales
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zyzzx
yzyxy
zxxyx
στττστττσ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
000000
σσ
σ
στττστττσ
zyzzx
yzyxy
zxxyx
0=−
−−
σστττσστττσσ
zyzzx
yzyxy
zxxyx
0322
13 =+−+−⇒ III σσσ
3.1.5. Tensor de tensiones
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⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
000000
σσ
σ
στττστττσ
zyzzx
yzyxy
zxxyx
EN CADA PUNTO O:
- tres superficies perpendiculares entre sí- desaparecen tensiones tangenciales, solo tensiones normales
Para calcular las direcciones principales....
3.1.5. Tensor de tensiones
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b) autovectores: direcciones principales
0)( =⋅−⇒⋅=⋅ iiiii uITuuTrrr σσ
ANALÍTICAMENTE:
),,( iiiiu γβαr
0)( =++− izxixyiix γτβτασσ
0)( =+−+ iyziiyixy γτβσσατ
0)( =−++ iiziyzizx γσσβτατ
3,2,1=i
321 ,, uuurrr
3.1.5. Tensor de tensiones
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123
2
22
2
21
2
=++σσσzyx
ELIPSOIDE DE TENSIONES O ELIPSOIDE DE LAMÉ: lugar geométrico de los extremos de los vectores tensión en un punto P
1222 =++ γβα
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γβα
σσ
σ
3
2
1
000000
zyx
ασ1=x
βσ 2=y
γσ 3=z⇒
3.1.5. Tensor de tensiones
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2) INVARIANTES
322
13)det( IIIIT +−+−=− λλλσ
a) Invariante lineal o traza:
3211 σσσσσσ ++=++= zyxI
Suma de tensiones normales a tres planos perpendiculares entre sí es constante
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
000000
σσ
σ
στττστττσ
zyzzx
yzyxy
zxxyx
3.1.5. Tensor de tensiones
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b) Invariante cuadrático:
211332222
2 σσσσσστττσσσσσσ ++=−−−++= xyzxyzyxxzzyI
c) Invariante cúbico:
321
3
2
1
3
000000
σσσσ
σσ
στττστττσ
===
zyzzx
yzyxy
zxxyx
I
3.1.5. Tensor de tensiones