tema 31. integración numérica. métodos de...

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 31. Integración numérica. Métodos de integración

TEMA 31. Integración numérica. Métodos de integración.

1. Introducción

El origen de la integración es el cálculo del área de diferentes superficies, así el comienzo

del cálculo integral puede fijarse en la matemática de la Grecia clásica donde ya estaba presen-

te el concepto de área así como los métodos para el cálculo de las mismas mediante el méto-

do de exhaución. Arquímedes es el matemático más importante en el cálculo de áreas en esta

época.

En el siglo XVII destacan los trabajos de Newton y Leibnitz, que continúan con los métodos

de exhaución para el cálculo de áreas de diferentes curvas. Si bien no es hasta el siglo XIX

cuando los matemáticos Rieman y Cauchy dieron al método de exhaución una base matemáti-

ca, surgiendo el concepto de integral y relacionando la misma con el concepto de derivada

utilizada con anterioridad.

La mayoría de áreas encerradas por una curva y el eje se realiza por la regla de Barrow

|)()(||)(|∫ −==b

aaFbFdxxfarea , pero algunas veces no se puede hacer por este método:

- No hay expresión algebraica de f(x) (tenemos tabla de valores o curva)

- No siempre es posible calcular la primitiva F(x).

Si esto ocurre se usan métodos numéricos de integración que nos das valores aproximados

del resultado, siendo los más importantes: la integración por Suma de Riemann, Integración

por interpolación, método de Newton-Cotes. También son estos los métodos usados por los

programas informáticos para calcular las integrales definidas, dado su gran potencia de cálculo

su resultado puede ser prácticamente exacto.

2. Conceptos previos.

2.1. Método de exhaución.

El método de exhaución fue descrito por Eudoxo matemático griego pupilo de Platón y

completado con posterioridad por Arquímides.

Consistente en recubrir las superficies por figuras cuyas áreas se conozcan (cuadrados) de

forma iterativa (aproximaciones sucesivas) hasta que los cuadrados tengan tamaño casi infi-

nitésimo y recubran exactamente la superficie. Este método se completa con el paso al límite,

concepto que se desarrolló mucho después de manos de Barrow y Rieman. Veamos un ejem-

plo gráfico:

Area(R’)≤area(A)≤area(R’’)

A

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

TEMA 31.

Este método fue usado por la Grecia clásica

círculo a partir de recubrir este por polígonos inscritos e inscritos regulares de n lados y hacer

tender n a infinito.

2

·cos···2·

2

·

==r

nsenrn

apperan

π

2.2. Cálculo de áreas de algunas superfici

Ejemplo 1, cálculo del área de un segmento de longitud L

ciones y traslaciones podemos suponer el segmento centrado en el origen y sobre el eje OX:

A={0}x[0,l]. Se cumple que A

Todos los segmentos {0}x[i,i+1] tienen la misma área pues se pueden obtener a partir de tra

laciones del segmento 0[}0{ x

Po otro lado ( )]1,0[}0{ xa

rectángulos

]1,0[]

1,0[ xm

cubrimos un cuadrado [0,1]x[0,1] cuyo área es 1. De esta forma se

cumple ( )xanAa ≤ ]1,0[}0{·)(

se cumple que como el area definida positiva a(A)=0.

Ejemplo 2, área encerrada por la curva y=x

Dividimos el segmento [0,1] en n partes iguales (partición), y recubrimos A con dos familias

de rectángulos:

1. Superiores al área, A1

2. Inferiores al área, A2: formados por la base

dor oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)


fue usado por la Grecia clásica también para calcular el área aproximada del


Utilizando el límite y el área de un

polígono regular se calcula el área

exacta: An=área polígono n lados in

crito en la circunferencia de radio r

·cos

n

π

2

·cos···2·

limlimn

rn

senrn

Aarean

nn

ππ

==∞→∞→

Cálculo de áreas de algunas superficies por exhaución.

Ejemplo 1, cálculo del área de un segmento de longitud L: por invariancia del área a rot


( )],1[}0{...]2,1[}0{]1,0[}0{ nnxxx −∪∪∪⊆ con n

Todos los segmentos {0}x[i,i+1] tienen la misma área pues se pueden obtener a partir de tra

]1,0 , así se cumple: ( )]1,0[}0{·)( xanAa ≤

)

≤ ]1,0[]1

,0[ xm

a ∀m∈��, y xm

a ]1,0[]1

,0[ =


)m

n≤ ∀m∈��. Haciendo m tender a ∞, se cumple a(A)

se cumple que como el area definida positiva a(A)=0.

o 2, área encerrada por la curva y=x2 y el eje OX (A={(x,y)∈��: 0≤


1: formados por la base

+n

k

n

k 1, y altura

1

+n

k

: formados por la base

+n

k

n

k 1, y altura

2

n

k

2

Integración numérica. Métodos de integración

calcular el área aproximada del


Utilizando el límite y el área de un

polígono regular se calcula el área

=área polígono n lados ins-

crito en la circunferencia de radio r

2·2

1····2

r

rnrn

π

π

==

es por exhaución.

: por invariancia del área a rota-


con n∈� y n≥l.

Todos los segmentos {0}x[i,i+1] tienen la misma área pues se pueden obtener a partir de tras-

m

1= pues con m


, se cumple a(A)≤0, luego

≤x≤1, 0≤y≤x2}


21



Se cumple que para todo n a(A1)≥a(A)≥a(A2), y cuanto más grande sea n mas se aproximan

las dos áreas. Calculemos a(A1) y a(A2):

6

)12)(1·(·

11)1(

11·

)1()(

31

2

3

1

0

2

3

1

02

2

1

++==+=

+= ∑∑∑

=

−

=

−

=

nnn

ni

nk

nnn

kAa

n

i

n

k

n

k

6

)12)()·(1(·

1)(

11·)(

3

1

0

2

3

1

02

2

2

−−=== ∑∑

−

=

−

=

nnn

nk

nnn

kAa

n

k

n

k

Haciendo tender n a infinito se cumple 3

1

6

)12)(1·(·

1lim)(lim

31 =++

=∞→∞→

nnn

nAa

nn y

3

1

6

)12)()·(1(·

1lim)(lim

32 =−−

=∞→∞→

nnn

nAa

nn y por tanto como a(A1)≥a(A)≥a(A2) el área exacta

es a(A)=1/3.

3. Integración definida, integral de Riemann

3.1. Partición de [a,b]

Se llama partición de un intervalo [a,b] a un conjunto finito de puntos denotados

Π([a,b])={x0,x1,…,xn} donde se verifica a=x0<x1<x2<…<xn=b. Lo más usual es que las particiones

sean con los puntos equiespaciados, es decir xi+1-x1=cte ∀i∈{0,1,…,n-1}. La separación máxima

entre dos puntos de la parición se denomina diámetro.

Veamos un ejemplo: {0, 1/n, 2/n, …,(n-1)/n, 1} es una partición de [0,1] ∀n∈�*. Denota-

remos por ℘[�, ] al conjunto de todas las particiones del intervalo [a,b].

Sean Π([a,b]) y Π’([a,b])∈�℘[�, ] se dice que Π([a,b]) es más fina que Π’([a,b]) si se cum-

ple que Π’⊆Π, es decir Π tiene al menos los mismos puntos que Π’. Por ejemplo Π([0,1])={0,

0.1, 0.2,…,0.9,1} es más fina que Π’([0,1])={0.2, 0.4,…,0.8,1}

3.2. Sumas de Riemann

Sea f una función real acotada y definida en [a,b] y Π([a,b]) ])∈℘[�, ] se llama suma infe-

rior de Riemann de la función f y partición Π y se denota como s(f, Π) a la siguiente suma:

∑−

=+ −Π=Π

1

0

1 ))·(,(),(n

k

kkk xxfmfs con Π={x0=a, x1, x2, …, xn=b} y mk =inf{f(x): x∈[xk, xk+1 ]}

Sea f una función real acotada y definida en [a,b] y Π([a,b]) ])∈℘[�, ] se llama suma su-

perior de Riemann de la función f y partición Π y se denota como S(f, Π) a la siguiente suma:

∑−

=+ −Π=Π

1

0

1 ))·(,(),(n

k

kkk xxfMfS con Π={x0=a, x1, x2, …, xn=b} y Mk =sup{f(x): x∈[xk, xk+1 ]}

Notación: por comodidad trabajaremos con Mk y mk

Un ejemplo de sumas de Riemann superior e inferior es el ejemplo 2 del anterior apartado,

donde f(x)=x2 donde Π={0.1/n,…,(n-1)/n,1} y al ser f(x) creciente Mk=((k+1)/n)

2 y mk=(k/n)

2 y se

cumple S(f,Π)= 6

)12)(1·(·

13

++ nnn

n y s(f,Π)=

6

)12)()·(1(·

13

−− nnn

n



Observaciones:

1. Mk·(xk+1-xk) define al área de los rectángulos sobre la curva f(x)

y mk·(xk+1-xk) el área de los rectángulos bajo la función f(x).

2. La condición de que f esté acotada en [a,b] es necesario para

que mk y Mk definidos.

Proposición: ∀ Π, Π’ ∈℘[�, ] tal que Π⊇Π’ se cumple la si-

guiente desigualdad: s(f, Π’)≤s(f, Π ) ≤S(f, Π)≤S(f,Π’)

Demostración: la igualdad s(f, Π ) ≤S(f, Π’) es trivial por la de-

finición de mk y Mk de mínimo y máximo.

Para demostrar la desigualdad S(f, Π)≤S(f,Π’) la demostramos

suponiendo que tiene un punto más Π que Π’ si tuviera más pun-

tos a mayores repetimos el procedimiento Π’={x0,x1,…,xk,xk+1,…,xn}

y Π={x0, x1,…,xk,y, xk+1,…,xn}. Las sumas S(f, Π) S(f,Π’) sólo se diferencian en las áreas en el in-

tervalo [xk, xk+1] que en el caso de S(f,Π) tiene dos intervalos [xk,y] e [y,xk+1]. Se cumple que el

máximo en [xk, xk+1] es mayor o igual que el máximo en [xk,y] e [y,xk+1] pues el primer intervalo

incluye a los dos anteriores, es decir Mk(f,Π’)≥Mk(f, Π) y Mk(f,Π’)≥Mk+1(f, Π). Calculemos

S(f,Π’)-S(f,Π)=Mk(f,Π’)·(xk+1-xk)-Mk+1(f,Π)·(xk+1-y)- Mk(f,Π)(y - xk)≥ Mk(f,Π’)(xk+1-xk)- Mk(f,Π’)(xk+1-

y)- Mk(f,Π’)(y-xk)= Mk(f,Π’)(xk+1-xk)- Mk(f,Π’)((xk+1-y)-(y-xk))=0, se cumple así que S(f,Π’)-S(f,Π)≥0

� S(f,Π’) ≥S(f,Π).

La demostración s(f, Π’)≤s(f, Π ) es equivalente.

Veamos gráficamente la demostración:

Corolario: Para cualquier partición de [a,b] se cumple que s(f,Π)≥S(f,Π`).

Demostración: tomamos Π’’=Π∪Π’ que es más fina que Π’ y Π. Así por la proposición ante-

rior: s(f, Π’)≤s(f, Π’’ ) ≤S(f, Π’’)≤S(f,Π)

3.3. Integral superior e inferior de Riemann

Dada una función f definida y acotada en [a,b] se llama integral superior de Riemann de f

en [a,b] y se denota como )(xfb

a∫ a la suma superior de Riemann con menor valor:

{ }],[),(inf)( bafSxfb

a∈℘Π∀Π=∫

≤ ≤ ≤ ≤



Dada una función f definida y acotada en [a,b] se llama integral inferior de Riemann de f

en [a,b] y se denota como )(xfb

a∫ a la suma inferior de Riemann con mayor valor:

{ }],[),(sup)( bafsxfb

a℘∈Π∀Π=∫

Observación: por la proposición vista en apartado anterior tendremos que la partición que

nos generan las integrales superior e inferior de Riemann es la más fina.

Ejemplo: f(x)=x2 y [a,b]=[0,1] Π={0,1/n,2/n,…,(n-1)/n,1} se cumple s(f,Π)=

26

13

3

1

n

n −− y

S(f,Π)=26

13

3

1

n

n −+ , luego las integrales de Rieamann serán con n→∞

3

12 =∫ xb

a,

3

12 =∫ xb

a.

3.4. Integral Riemann

Una función f(x) definida en [a,b] se dice que es integrable Riemann en este intervalo si y

sólo si se cumple la siguiente igualdad: )(xfb

a∫ = )(xfb

a∫ . Si la función es integrable Rie-

mann se llama integral de Riemann al resultado de las integrales superior o inferior y se deno-

ta como =∫b

axf )( )(xf

b

a∫ = )(xfb

a∫

Proposición: una función f(x) es integrable Riemann en [a,b] si y sólo si se cumple que para

todo ε>0 ∃Π∈℘[a,b] tal que S(f,Π)-s(f,Π)<ε.

Demostración: por definición de convergencia.

4. Integración basada en la Interpolación.

4.1. Interpolación polinómica

Consiste en obtener una aproximación de la función, llamado polinomio interpolador de

grado n y denotado como g(x), a partir de un conjunto de n+1 puntos de la grafica de la fun-

ción {(x0,y0), (x1,y1),…,(xn,yn)}. Tendremos así que el valor de la integral aproximada será igual a

∫ ∫≈b

a

b

axgxf )()( .

El polinomio interpolador es único, si bien hay diferentes métodos de cálculo, uno de ellos

es el método de Lagrange: )()·(...)()·()( 00 nn xfxLxfxLxP ++= , siendo Li(x) un polinomio

de grado n, interpoladores de Lagrange, que se anula en todos los valores de xj≠xi y que en xi

vale la unidad, es decir

≠

===

jisi

jisixL ijji

0

1)( δ . Por el teorema fundamental del ágebra

este polinomio será ))·....()()·...·((

))·...()()·...·()·((

1101

1110

niiiii

nii

ixxxxxxxx

xxxxxxxxxxL

−−−−

−−−−−=

+−

+−. De esta forma:

∑ ∑ ∏= =

≠= −

−===

n

i

n

i

n

ijj ji

j

iiinxx

xxxfxLxfxPxg

0 0 0 )(

)()·()()·()()(



Hay otros métodos de expresar una función de forma aproximada a partir de una función,

por ejemplo truncando una serie de Taylor en un orden n. Veamos un ejemplo.

∫ ∑ ∑∑∫= == +

=+

=≈1

00 00

1

0 )!1(

1

!)·1(

1

!

n

k

n

k

n

k

kx

kkkdx

k

xdxe

Este método basado en el desarrollo de Taylor no se puede usar sino tenemos la expresión

analítica de la función, así si tenemos sólo valores de la función o la gráfica debemos acudir a

la interpolación polinómica.

5. Fórmulas de integración de Newton-Cotes

Las fórmulas de integración numérica de Newton-Cotes más utilizadas son las que se des-

criben en los siguientes puntos.

5.1. Regla del trapecio simple

Es el caso más sencillo cuando sustituimos f(x) por un polinomio interpolador de grado 1,

es decir recta que pasa por los puntos (a,f(a)), (b,f(b)). Se llama así por ser el área de un trape-

cio como se puede ver en el siguiente gráfico.

2

))()()·((

·)()()(

)()(

bfafab

dxaxab

afbfafdxxf

b

a

b

a

rectaecuacion

+−=

=

−−−

+≈∫ ∫44444 344444 21

El error cometido en este método puede ser por

exceso o por defecto. En las sumas superiores e infe-

riores de Riemann por el contrario los errores eran por

defecto o por exceso respectivamente. Aunque no se

conozca si es por defecto o por exceso el error este es

inferior o igual al error cometido por las sumas de Riemann con un único intervalo:

)}(),()·min{(),(2

))()()(()}(),()·max{(),( 00 bfafabfs

bfafabbfafabfS −=Π≥

+−≥−=Π

El error cometido en la aproximación conocida la función f(x) vendrá marcada por la función de

error que en una interpolación se puede expresar como ))((!2

)('')( bxax

fxe x −−=

ξ, siendo

xξ ∈[a,b]. De esta forma el error de la integral es ∫ −−=b

a

x dxbxaxf

e ))((2

)('' ξ. Se cumple

por tanto |12

)()·(''|))((

2

)('' 3abfdxbxax

fe x

b

a

x −=−−= ∫ ξ

ξ con xξ ∈[a,b].

5.2. Regla del trapecio con múltiples segmentos

Como se puede ver en el anterior apartado el error es proporcional al cubo de la longitud

del intervalo de integración (b-a), lo que hace que para intervalos grandes el error puede llegar

ser muy grande, cosa que intuitivamente se ve también de forma evidente.



Si tenemos la partición Π={a=x0, x1,….,xn=b}, podemos aplicar la regla del trapecio en cada

uno de de los n subintervalos (xi,xi+1) de forma análoga a lo realizado en las sumas de Riemann.

De esta forma el valor aproximado de la función se aproxima más que el método simple, y

como veremos cuando mayor sea el número de puntos (más pequeño el valor de los interva-

los) menor será el error. El error cometido por este método siempre será menor o igual que el

cometido con la sumas de Riemann con la misma partición, pues el trapecio se ajusta más a la

función que no los cuadrados.

Aplicando la regla del trapecio simple en los n intervalos el resultado será el siguiente:

∑∫∫ ∑∫=

−−

−−

= −−

−−

−+≈==

n

i

x

xi

ii

ii

i

b

a

n

i

x

x

i

i

i

i

dxxxxx

xfxfxfdxxfxfI

1

1

1

1

1

1 11

)()()(

)(()()(

Integrando el resultado es ∑=

−−

+−≈

n

i

ii

ii

xfxfxxI

1

1

12

)()()( .

Vemos una gran similitud con las sumas de Riemann con la diferencia de que en vez de

multiplicar el intervalo por el máximo Mk o el mínimo mk se multiplica por el valor medio de los

valores de la función de los extremos: 2

)()( 1 ii xfxf +− .

Si tomamos una partición con puntos equidistantes se cumple que (xi-xi-1)=(b-a)/n para to-

dos los valores de i de la suma. De esta forma la suma será

−+++

−=+

−≈ ∑∑

−

==−

1

11

1 )·(2)()(·2

)()(2

n

i

n

i

iin

abiafbfaf

n

abxfxf

n

abI

Gráficamente el método equivale a calcu-

lar el área por una línea poligonal que pase

por los n+1 puntos de la partición.

El error cometido será la suma de los erro-

res de cada trapecio respecto a la curva en

su intervalo. Aplicando la fórmula vista

para los trapecios simples se cumple:

b]}[a, x :sup{f(x)=M siendo··12

)(··

·12

)()(''

12 2

3

13

3

3

Mn

abnM

n

abf

n

ab

en

i

i

−=

−≤

−

= ∑=

ζ

Vemos que el error tienda a cero cuando el número de intervalos tiende a infinito (orden n2)

5.3. Regla de Simpson 1/3 simple

Buscamos que el error tienda a cero de forma más rápida que en los métodos anteriores.

En el método que vamos a tratar el error tiende a cero con orden n5. En este primer apartado

trataremos el caso simple donde n=1. Para el caso simple necesitamos tener una partición de 3

puntos Π={x0=a, x1,x2=b } , donde a<x1<b. A partir de estos tres puntos aproximaremos al fun-

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

TEMA 31.

ción como un polinomio interpol

)((

)(()()(

010

102

xxx

xxxxfxp

−

−−=

Generalmente se toma x1

forma la integral del polinomio interpolador en el intervalo (a,b) vendrá dada por:

∫ +=≈b

aaf

hxpI )((

3)(2

de de Taylor para n=4 tenemos que

x∈[a,b]} se cumple que (hE

funciones polinómicas de grado menor o igual que 3 el error es nulo

5.4. Regla de Simpson 1/3 con múltiples segmentos.

Como hemos visto en el apartado anterior el método de Simpson nos genera que el error

se proporcional a la quinta potencia de la separación de los puntos de la partición, h. De esta

forma si conseguimos que h sea muy pequeña el error decrece mucho más rápido que en los

métodos anteriores (sumas de Rieman y Trapecios).

Como tenemos que agrupar los puntos de 3 en

mos de los subintervalos pertenezca a dos de estos subintervalos se tiene que cumplir que el

número de puntos de la partición sea impar. Por comodidad en los cálculos to

tenemos n+1 puntos, siendo n=pa

de subintevalos que serán estarán formados por los puntos {x

esta forma se cumple ∫=I

puntos equidistantes una distancia

(4)((3

2/

1

222

n

i

ii xfxfh

I +≈ ∑=

−

El error será la suma de los errores parciales de cada subintevalo:

dor oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)


ción como un polinomio interpolador de segundo grado, cuya expresión será :

(

()(

))((

))(()(

)

)

2

2

2101

20

1

2

2

x

xxf

xxxx

xxxxxf

x

x

−

−+

−−

−−+

−

−

1 como el punto medio de a y b, 2

1

bax

+= , con lo que de esta


+++ bfhaf ))()(4 con h=tamaño intervalo= (b

Para el cálculo del error desarrollaremos por Taylor la

función del valor aproximado del error de

función de h:

∫+

+−=ha

aafaf

hdxxfhE

2

()((3

)()(

Siendo nulas las 3 primeras derivadas (las dos pr

era lógico pues si f(x) fuera polinomio de segu

el error sería nulo al ser p2(x)=f(x)). Calculando el error

mos que 5

4

90

)('h

fe

δ−= con δ ∈[a,b]. Si f’

4( xξ )=max{|f’

5

4

90

)(') h

fh xξ

≤ Notemos que además de que el error para

ciones polinómicas de grado menor o igual que 3 el error es nulo.

Regla de Simpson 1/3 con múltiples segmentos.


uinta potencia de la separación de los puntos de la partición, h. De esta


métodos anteriores (sumas de Rieman y Trapecios).

Como tenemos que agrupar los puntos de 3 en tres, de forma que los puntos de los extr


número de puntos de la partición sea impar. Por comodidad en los cálculos to

tenemos n+1 puntos, siendo n=par, siendo la partición Π={x0,x1,…,xn+1) entonces n/2 el número

de subintevalos que serán estarán formados por los puntos {x2i-2, x2i-1, x2i} con i={1,2,…n/2}. De

∫ ∑∫ ∑∫= =− −

≈=b

a

n

i

x

x

n

i

x

xi

i

i

dxxpdxxfdxxf2/

1

2/

1

2

21

22

2

22

)()()( . Si tomamos los

puntos equidistantes una distancia h=(b-a)/n y utilizando el resultado de Simpson simple

4)(2)((3

)()22/

1

2021

n

i

n

i

ii xfxfn

abxf ++

−=+ ∑∑

−

=−

El error será la suma de los errores parciales de cada subintevalo:

8

Integración numérica. Métodos de integración

dor de segundo grado, cuya expresión será :

))(

))(

120

10

xxx

xxx

−−

−−

, con lo que de esta


con h=tamaño intervalo= (b-a)/2

cálculo del error desarrollaremos por Taylor la

l error de la integral en

+++ hafha ))2()

Siendo nulas las 3 primeras derivadas (las dos primeras

nomio de segundo grado

(x)=f(x)). Calculando el error

)=max{|f’4(x)| con

ue además de que el error para


uinta potencia de la separación de los puntos de la partición, h. De esta


tres, de forma que los puntos de los extre-


número de puntos de la partición sea impar. Por comodidad en los cálculos tomaremos que

) entonces n/2 el número

} con i={1,2,…n/2}. De

. Si tomamos los

a)/n y utilizando el resultado de Simpson simple

))()(2/

1

12 ni xfxf +∑=

−



Mn

abnM

hf

he xi

n

··180

)(

2··

90|)('|

90 4

552/

1

45 −

=≤= ∑ ξ siendo M=max{|f’4(x)| con x∈[a,b]}

5.5. Método de Simpson 3/8 simple.

Este método aproximamos la función a un polinomio de interpolación de tercer grado, es

por ello necesitaremos 4 puntos {x0, x1, x2, x3}, siendo por tanto ∫ ∫≈b

a

b

adxxpxf )()( 3 . De igual

forma que en el polinomio interpolador de segunda grado podemos expresar el polinomio

como ))()((

))()(()(

))()((

))()(()()(

312101

3201

302010

3213

xxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxfxp o −−−

−−−+

−−−

−−−= +

))()((

))()(()(

))()((

))()(()(

321202

2103

321202

3102

xxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxf

−−−

−−−+

−−−

−−−+ , dondex0=a y x3=b

y tomaremos puntos equidistantes con lo que x1=a+h, x2=a+2h con h=(b-a)/3. Integrado p3(x):

( )∫ +++=≈b

axfxfxfxfxpI )()(3)(3)(

8

3)( 32103

Para calcular el error cometido ( )∫+

−=ha

adxxpxfhE

2

)()()( que desarrollando por Tay-

lor al igual que hicimos con el método de 1/3 se cumple que el error (resto de Lagrange) es:

)('80

3 45 δfhe −= � Mhe ·80

3|| 5≤ siendo M=max{|f(x)|: a≤x≤b}

5.6. Método de Simpson 3/8 con múltiples segmentos.

Como hemos visto en apartado anterior el error del método de Simpson es proporcional a

la quinta potencia de h, si conseguimos reducir este intervalo el error será muy pequeño. Esto

es lo que vamos a conseguir dividiendo el intervalo [a,b] en una partición con múltiples puntos

y aplicando el método anterior cada 4 puntos. Para poder dividir el intervalo de 4 en 4 puntos

con dos los extremos en común es necesario que n-1 puntos sea múltiplo de 3 (una vez cogido

los 4 primeros puntos tenemos que añadir puntos de 3 en 3), Π={a=x0, x1, x2,…,xn=b} con n=3� .

Aplicamos así el método de Simpson 3/8 a cada uno de los intervalos [x3i-3,x3i] con i=1,2,…,n/3:

∑∫∫ ∑∫=

−=

−≈==

3/

1

3

333

3/

1

3

33)()()(

n

i

i

i

b

a

n

i

i

idxxpdxxfdxxfI . Tomando puntos equidistantes h=(b-a)/n

el valor aproximado de la integral numérica vendrá definido como:

++++=

+++≈

∑ ∑∑

∑−

= =−

=−

=−−−

33/

1

3/

1

133

3/

1

230

3/

1

3132333

)()(3)(2)(3)(8

3

)()(3)(3)(8

3

n

i

n

i

nii

n

i

i

n

i

iiii

xfxfxfxfxfh

xfxfxfxfh

I



Siendo el error cometido como la suma de los errores en cada subintervalo:

}|)(max{|··80

)(||

3··

80

3||)('

80

34

553/

1

45

bxaxfMsiendoMn

abe

nM

hef

he

n

i

≤≤=−

≤→≤→= ∑=

δ

Vemos que el error cometido es proporcional al cometido con el mismo número de

puntos es proporcional en el Simpson 3/8 respecto a Simpson 1/3 pero siendo inferior en la

proporción 8/18 en el método de Simpson 1/3.

5.7. Regla de Simpson para un número para de puntos.

Si tenemos una partición con un número n+1 par de puntos, {x0,…,xn}, no podemos aplicar

directamente el método de Simpson 1/3. Una solución es aplicar la regla de Simpson 3/8 para

los 4 primeros puntos {x0, x1, x2, x3} y la regla de Simpson 1/3 para los n-2 puntos {x3, x4, …,xn}

que son ahora sí son impares. Aplicando el método descrito con anterioridad su valor será:

( )∑−

=+− ++++++≈

2/)1(

2

122123210 )()(4)(3

))()(3)(3)((8

3 n

i

iii xfxfxfh

xfxfxfxfh

I

Y el error será:

∑−

=

+≤2/)1(

2

2

4

1

45 |)('90

1)('

80

3·

n

i

iffhMe δδ

6. Integral de Romberg.

6.1. Regla recursiva del trapecio n=2m.

Si denotamos por T(n) al valor numérico obtenido por integración numérica por el método

del trapecio con n subintervalos (n+1 puntos) de anchura (b-a)/n, se cumple que como vimos

∑=

−+

−=

n

k n

abkaf

n

abnT

0

(')( donde por ∑ ' indicamos que el primer y el último

término divididos entre dos, (f(a)+f(b))/2.

Se puede relacionar T(n) con T(2n) sin necesidad de calcular todo el sumatorio, pues las

mitad de los puntos ya están en T(n) aunque contribuyen la mitad al ser la mitad en intervalo

)2

)12((2

)(

2

)()2(

1

∑=

−−+

−+=

n

k n

abkaf

n

abnTnT

Podemos generalizar este método siempre que se divida el intervalo a la mitad respecto el

intervalo anterior, podemos empezar con 2 intervalos, luego con 4, 8; es decir de la forma 2m

:

)2

)12((2

)(

2

)2()2(

12

1

1

∑−

=

− −−+

−+=

m

kmm

mm ab

kafabT

T



Para asentar lo explicado veamos un ejemplo: queremos calcular la integral en [0,1] de f(x)

( ))4/3()4/1(4

1)2(

2

1)1(

2

1)4/3()2/1()4/1()0(

2

1

4

1)4(

)2/1(2

1)1(

2

1

2

)1()2/1(

2

)0(

2

1)2(

2

)1(

2

)0()1(

ffTfffffT

fTf

ff

Tff

T

++=

++++=

→+=

++=→+=

6.2. Método de extrapolación de Richardsom

Mediante este método podemos obtener una mejor aproximación de la integral, I, cono-

ciendo 2 valores aproximados de la misma, I(h1) e I(h2) cuyos errores llamaremos E(h1) y E(h2):

I=I(h1)+E(h1) (1) y I=I(h2)+E(h2) (2)

Como vimos en el apartado 5 el error es, usando el método del trapecio, para h1 y h2:

2

1

212

2

22

2

3

2

2

12

1

3

1

)·()(

)··()(

·)(

)··()(

·)(

≈

−=−

=

−=−

=

h

hhEhE

habCn

abChE

habCn

abChE

(3)

Igualando (1) y (2) utilizando el error de (3) tenemos que

2

1

2

1211 )·()()()(

+≈+

h

hhEhIhEhI

con lo que podemos aproximar el error de E(h1) mediante el valor de la integral en h1 Y h2:

2

1

121

1

)()()(

h

h

hIhIhE

−

−= �

2

2

2

1

1

2

22

2

1

2

1

2

12112

)(·)(·

1

)()()()(

hh

hIhhIh

h

h

hIhIhIhI

−

−=

−

−+=

Tenemos así que el nuevo valor de la integral I2(h2) es mejor aproximación que la inicial

I(h1), por lo que si procedemos de forma iterativa podemos mejorar el resultado en cada paso

6.3. Método de Romberg

Utilizando lo visto en los dos subapartados anteriores podemos construir un método itera-

tivo que nos mejore los resultado de la integral en cada paso. Veamos el procedimiento:

Calculamos a partir de la integral recursiva del trapecio 2m

I(h1), I(h2), I(h3),…,I(hn) cum-

pliendo que hj+1=hj/2, es decir el doble de intervalos. Una vez calculados aplicamos el método

de extrapolación de Richardsom de forma escalonada como veremos a continuación:

I(h1)

I2(h1)

I(h2) I3(h1)

I2(h2) I4(h1)

I(h3) I3(h2)

I2(h3)

I(h4)



Donde las únicas que hay que calcular son las 4 primeras, por ejemplo

3

)()(4

4

4

)()(

)( 12

2

12

1

1

2

12

2

1

12

hIhI

hh

hIhhIh

hI−

=

−

−=

3

)()(4

4

4

)()(

)( 23

2

22

2

2

2

23

2

2

22

hIhI

hh

hIhhIh

hI−

=

−

−=

…

Ejemplo: ∫=1

0

2dxxI h1=1, h2=1/2 y h3=1/4

2

1

2

)1(

2

)0(·1)( 11 =

+=ff

hI ; 8

3

2

)2/1()(

2

1)( 121 =+=

fhIhI ,

32

11

4

)4/3()4/1()(

2

1)( 231 =

++=

ffhIhI

3

1

3

)()(·4)( 1121

12 =−

=hIhI

hI, 3

1

3

)()(·4)( 2131

22 =−

=hIhI

hI

3

1

3

)()(·4)( 1222

13 =−

=hIhI

hI

I(h1)=1/2

I2(h1)=1/3

I(h2)=3/8 I3(h1)=1/3

I2(h2)=1/3

I(h3)=11/32

7. Contexto con secundaria.

Las integrales definidas y su aplicación en el cálculo de áreas se abordan en las Matemáti-

cas II de 2º de Bachillerato, siendo un ejercicio típico en la PAU. Los métodos numéricos abor-

dados es este temo no están en el currículo de secundaria ni de bachillerato.

tema 31. integración numérica. métodos de...

Documents