Tema 3: Localización

Tema 3. Localización

Anillos locales

Anillos de fracciones

Espectro primo, topología de Zariski.

Localización de módulos

Propiedades locales.

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3.1 Anillos locales

Definición

Un anillo A es local si tiene un único ideal maximal.

Ejemplos

i) Kii) Z/ < pn > (p es un número primo)

iii) Si n ∈ Z entonces Z/ < n > es un anillo local si y solosi

iii) Si p(x) ∈ K[x ] entonces K[x ]/ < p(x) > es un anillolocal si y solo si

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Proposición

Sea A un anillo y sea a 6= 1 un ideal de A. Entonces, A esun anillo local de maximal a si y solo si los elementos de Aque no pertenecen a a son invertibles.

Demostración

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El Lema de Nakayama proporciona una potenteherramienta para estudiar módulos sobre anillos locales,pues reduce muchas cuestiones al caso de espaciosvectoriales sobre un cuerpo.

Lema de Nakayama (local).

Sea O un anillo local de maximal m y cuerpo residualK = O/m.

Si M es un O−módulo finito generado, entonces:

M = 0⇐⇒ M ⊗OOm

=MmM

= 0⇐⇒ mM = M.

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Consecuencias:

Sea O un anillo local de maximal m

I M un O-módulo finito generado y N un submódulo deM. Si N +mM = M entonces M = N.

I {m1, . . . ,mr} es sistema de generadores de M si ysólo si {[m1], . . . , [mr ]} es sistema de generadores deM/mM como O/m−espacio vectorial.

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3.2 Anillos de fracciones

Definición

Un subconjunto S de un anillo A es sistemamultiplicativo S de A si se cumple que

(a) 1 ∈ S;

(b) S es cerrado para la multiplicación, es decir, sia,b ∈ S, entonces a b ∈ S.

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Ejemplos

i) Si A es un anillo íntegro, S = A− {0} es un sistemamultiplicativo.

ii) Si p es un ideal primo de A, entonces S = A− p es unsistema multiplicativo.

iii) Dado un elemento f ∈ A, sus potencias forman unsistema multiplicativo S = {f n}n≥0.

iv) El menor sistema multiplicativo de Z que contiene a 2y a 3 es

S = { }

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Vamos a construir el anillo de fracciones con numeradoren A y denominador en S; para ello consideramos enA× S la siguiente relación:

(a, s) ≡ (a′, s′)⇔ ∃s1, s2 ∈ S : s1a = s2a′ y s1s = s2s′.(1)

Esta relación puede definirse también:

(a, s) ≡ (a′, s′)⇔ t(as′ − a′s) = 0 para algún t ∈ S. (2)

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a/s = clase de equivalencia de (a, s).

AS = S−1A = A× S/≡ es un anillo:

as+

bt=

at + bsst

yas· b

t=

abst.

El anillo S−1A = AS se llama anillo de fracciones de Arespecto de S, anillo de fracciones con numerador enA y denominador en S o localización de A por S.

La aplicación δ : A→ AS = S−1A; a 7→ a/1 es unmorfismo de anillos que se llama morfismo delocalización.

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1 Ejercicio

I Si s ∈ S, entonces s1 es invertible en AS y ( s

1)−1 = 1

s .I a

1 = 0⇔ a s = 0 para algún s ∈ S. Por tanto, si elanillo A es íntegro, entonces δ : A→ AS es inyectivo,para todo sistema multiplicativo S de A tal que 0 6∈ S.

I AS es el anillo nulo si, y sólo si, 0 ∈ S.

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Ejemplos

i) Si A es un anillo íntegro y S = A− {0} entonces AS

es un cuerpo, el cuerpo de fracciones de A.

ii) Sean f ∈ A y S = {f n}n≥0. En este caso, AS se sueledenotar por Af , y es el anillo de fracciones de la formaa/f n, con a ∈ A y n ≥ 0. Por ejemplo, dadom ∈ Z \ {0}, se tiene que Zm es el conjunto de todoslos números racionales cuyo denominador es unapotencia de m.

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2 Ejercicio

En el anillo de polinomios Z[X ] consideramos el sistemamultiplicativo S = {(2x)n,n ≥ 0} y construimos el anillo defracciones Z[X ]S. Determinar si cada uno de los siguientespolinomios es invertible en Z[X ]S

X , 2X + 2, 3X 2, 2

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Propiedad universal de la localización

Sean S un sistema multiplicativo de un anillo A yδ : A→ AS el correspondiente morfismo de localización. Sif : A→ B es un morfismo de anillos tal que f (s) esinvertible en B para todo s ∈ S, entonces existe un únicomorfismo de anillos ϕ : AS → B tal que f = ϕ ◦ δ :

A f - B@@@Rδ

����ϕ

AS

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Ideales de la localizaciónDado un ideal a de A, su imagen en AS genera un ideal:〈δ(a)〉 = δ(a)AS que, por comodidad, denotaremos aAS oaS:

〈δ(a)〉 =

{∑i

aibi

si=

∑i aibis′i

s′: ai ∈ a

}={a

s: a ∈ a

}= aS

3 Ejercicio

Comprueba que aS = AS si y solo si S ∩ a 6= ∅

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Cada ideal b de AS define un ideal δ−1(b) de A quedenotaremos b ∩ A:

b ∩ A ={

a ∈ A|a1∈ b}.

4 Ejercicio

Comprueba que si b 6= AS entonces S ∩ (b ∩ A) = ∅

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Hemos establecido correspondencias:

{Ideales de A

que no cortan a S

}−→

{Ideales propios

de AS

}a → aS

(3)

{Ideales de A

que no cortan a S

}←−

{Ideales propios

de AS

}b ∩ A ← b

(4)

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Proposición

Para todo ideal propio b de AS se cumple que:

b = (b ∩ A)S.

Luego, si b es un ideal de AS existe un ideal a de A tal queb = aAS = aS.

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Si a es un ideal de A que no corta al sistema S, entoncesa ⊆ (aS ∩ A), pero estos dos ideales pueden no seriguales.

Ejemplo

En el anillo de los enteros Z consideremos el ideal primop = 〈2〉 y localicemos en el sistema multiplicativoS = Z− 〈2〉. Comprueba que:

〈6〉S ∩ Z = 〈2〉

y

〈2〉S ∩ Z = 〈2〉18 / 92

5 Ejercicio

Determina los ideales de ZS, para cada uno de lossiguientes sistemas multiplicativos.

S = Z− (3)

S = {3k ; k ≥ 0}

S = {nk ; k ≥ 0,n = pn11 · · · · · p

nrr }

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Teorema

Sean A un anillo y S un sistema multiplicativo de A. Existeuna correspondencia biyectiva, que conserva lasinclusiones, entre los ideales primos de A que no cortan aS y los ideales primos de AS. Concretamente,{

Ideales primos de Aque no cortan a S

}←→

{Ideales primos

de AS

}p ←→ pS

(5)

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6 Ejercicio

En el anillo de polinomios Z[X ] consideramos el sistemamultiplicativo S = {(2x)n,n ≥ 0} y construimos el anillo defracciones Z[X ]S.

Determinar si cada uno de los siguientes ideales de Z[X ]Ses primo: ⟨

31

⟩= 3Z[X ]S,

⟨61

⟩= 6Z[X ]S,

⟨31,

X1

⟩= 3Z[X ]S + xZ[X ]S,

⟨X + 3

1

⟩= (X + 3)Z[X ]S

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3.3 Espectro primoEn esta sección ampliaremos de un modo natural lasnociones de punto y de cero de una función. Dado unanillo A, llamaremos puntos a los ideales primos de A yfunciones a los elementos del anillo. Este planteamientoda lugar a una teoría geométrica de los anillos.

Geométricamente, los ideales primos se correspondencon los conjuntos algebraicos irreducibles. En el espectroprimo consideramos cada subconjunto irreducible comoun punto. Este modo de proceder, dota de rigor aargumentos clásicos que se basan en “tomar un puntosuficientemente general de una variedad”. En el espectro,este punto “suficientemente general” será un punto más,el punto genérico de la variedad irreducible.

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El concepto de espectro primo de un anillo nos permiteestudiar la geometría de los sistemas de ecuacionespolinómicas con coeficientes en un cuerpo cualquiera.

Además, podremos considerar con todo el rigor conceptoscomo el de “línea doble” o par de puntos confundidos.

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Espectro primo, topología de Zariski

Se llama espectro primo de un anillo A al conjunto de susideales primos y se denota Spec(A).

El espectro de un anillo no nulo es distinto del vacío, puestodo anillo no nulo tiene algún ideal maximal.

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Llamaremos puntos a los elementos de Spec(A). Cadapunto x ∈ Spec(A), se corresponde con un ideal primo deA que denotaremos px .

Llamaremos funciones a los elementos del anillo A.Diremos que una función f ∈ A se anula en un puntox ∈ Spec(A) cuando f pertenezca al ideal primo px :

f (x) = 0⇐⇒ f ∈ px .

px = {f ∈ A | f (x) = 0}

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Ejemplos

1. El ideal m = (X1 − a1, . . . ,Xn − an) del anillo depolinomios K[X1, . . . ,Xn] es maximal, luego define unpunto del espectro de K[X1, . . . ,Xn].La aplicación i es inyectiva

i : Kn → Spec(K[X1, . . . ,Xn])

(a1, . . . ,an) 7→ (X1 − a1, . . . ,Xn − an)

Identificaremos el punto Spec(K[X1, . . . ,Xn]) definidopor el maximal mp = (X1 − a1, . . . ,Xn − an) con elpunto p = (a1, . . . ,an).

Si K es algebraicamente cerrado, la imagen de estaaplicación está formada por todos los idealesmaximales de K[X1, . . . ,Xn].

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Un polinomio q(X1, . . . ,Xn) se anula en el punto,p = (a1, . . . ,an), es decir q ∈ mp cuandoq(a1, . . . ,an) = 0 . Por tanto, esta nueva noción de “cerode una función” generaliza la estudiada para ConjuntosAlgebraicos

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2 Sea V un subconjunto algebraico de Kn. Pordefinición, el anillo de funciones regulares en V esK[V ] = K[X1, . . . ,Xn]/I(V ). Cada puntop = (a1, . . . ,an) ∈ V define un punto de Spec(K[V ]), elideal maximal

mp = (X1 − a1, . . . ,Xn − an) = {f ∈ K[V ] | f (p) = 0}

3 Sea X = [0,1], con la topología usual. Consideremosel anillo de las funciones reales continuas en X :

C(X ) = {f : X → R | f es continua}

Cada punto x ∈ X define un punto de Spec(C(X )), elideal maximal

mx = {f ∈ C(X ) | f (x) = 0}30 / 92

Propiedades

1. La funcion 0 se anula en todo punto de Spec(A).

2. f (x) 6= 0,∀x ∈ Spec(A)⇐⇒ f es invertible.

3. f (x) = 0,g(x) = 0 =⇒ (f + g)(x) = 0.

4. f (x) = 0 =⇒ (f · g)(x) = 0,∀g ∈ A.

5. (f · g)(x) = 0⇐⇒ f (x) = 0 o g(x) = 0.

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Proposición

Sea A un anillo. El radical N = rad(A) =√

0 es laintersección de todos los ideales primos de A, es decir,

N =⋂

p∈Spec(A)

p

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Si p ∈ Spec(A), entonces S = A \ p es un sistemamultiplicativo de A. Escribiremos Ap en vez de AS.

Corolario

Sea A un anillo. Si p ∈ Spec(A), los ideales primos delanillo Ap, es decir, los elementos de Spec(Ap) están encorrespondencia biyectiva con los ideales primos de Acontenidos en p. En particular, el anillo Ap es local y suideal maximal es pAp.

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El proceso de paso de A a Ap se llama localización de Aen p

Ejemplo

Si A = Z y p = p Z con p un número primo, entonces Ap esel conjunto de todos los números racionales n/m tales quem es primo con p.

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Topología de Zariski

Sea f ∈ A un anillo. Llamaremos ceros de la función f alsubconjunto

(f )0 = {x ∈ Spec(A) | f (x) = 0}.

Llamaremos ceros de un ideal a al subconjunto

(a)0 =⋂f∈a

(f )0 = {x ∈ Spec(A) | f (x) = 0, ∀f ∈ a}

= {x ∈ Spec(A) : a ⊆ px} =

[Ideales primos de Aque contienen a a

]

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Observemos que si S es un subconjunto de A y a es elideal generado por S entonces⋂

f∈S

(f )0 = (a)0

Ejemplos

(i) (0)0 = Spec(A).

(ii) (A)0 = ∅.

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Proposición

(a) a ⊆ b⇒ (a)0 ⊇ (b)0.

(b)(∑

i∈Iai

)0=⋂i∈I(ai)0, para cualquier familia de ideales

{ai}i∈I de A.

(c)( n⋂

i=1ai

)0=

n⋃i=1

(ai)0.

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Las igualdades: i), ii), (b) y (c) nos dicen que los ceros delos ideales de A son los cerrados de una topología sobreSpec(A), llamada topología de Zariski. De ahora enadelante consideraremos siempre el espectro de un anillocomo un espacio topológico.

Los cerrados de la topología de Zariski son lasintersecciones arbitrarias de ceros de funciones, de modoque los ceros de funciones forman una base de cerradosde Spec(A). Luego, una base de abiertos de la topologíade Zariski de Spec(A) está formada por los abiertos

Uf := Spec(A) \ (f )0 = {x ∈ Spec(A) : f no se anula en x}

que llamaremos abiertos básicos. Esta base de abiertoses estable por intersecciones finitas, pues

Uf ∩ Ug = Ufg . 40 / 92

Proposición

Sea A un anillo. La clausura de un punto x ∈ Spec(A) estáformada por los ceros de su ideal primo

{x} = (px)0.

Conclusiones: Spec(A) es un espacio topológico T0

(puntos distintos tienen cierres distintos).

Los puntos cerrados de Spec(A) se corresponden con losideales maximales de A. Por tanto, si hay primos que noson maximales en A, entonces Spec(A) no es T1.

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Definición

LLamaremos espectro maximal de un anillo A, y lodenotaremos MaxSpec(A) al subespacio de Spec(A)formado por los puntos cerrados, es decir:

MaxSpec(A) = {x ∈ Spec(A) | px es maximal}

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Ejemplos

1. El espectro de un cuerpo tiene un único punto.

2. Sea K→ A una K-álgebra finita de grado n, es decir,dimK(A) = n. Sabemos que todo ideal primo de A esmaximal (pues toda K-álgebra finita e íntegra es uncuerpo) y que el número de ideales maximales estáacotado por la dimensión.

Por tanto, Spec(A) = MaxSpec(A) es un espacio finito ydiscreto.

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3. El espectro de K[X ] tiene un punto cerrado por cadapolinomio irreducible y unitario p(X ) ∈ K[X ]: el idealmaximal (p(X )). Además, el ideal primo 0 define un puntoque es denso: (0)0 = Spec(K[X ]). Este punto se denominapunto genérico del espectro y se denota por pg .

Si el cuerpo K es algebraicamente cerrado yconsideramos la topología de Zariski en K, la aplicación ies un homeomorfismo:

i : K→ MaxSpec(K[X ])

a 7→ (X − a)

Llamaremos recta afín sobre el cuerpo K al espectroSpec(K[X ]) dotado de la topología de Zariski.

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4 Si p(X ) es un polinomio no constante, el cocienteK[X ]/(p(X )) es una K-álgebra finita, su espectro tiene unpunto cerrado por cada factor irreducible (unitario) dep(X ).

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5) La aplicación

i : Kn → MaxSpec(K[X1, . . . ,Xn])

(a1, . . . ,an) 7→ (X1 − a1, . . . ,Xn − an)

define un homeomorfismo de Kn con su imagen.

Si K es algebraicamente cerrado, i es un homeomorfismo.

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6) Sea V un subconjunto algebraico de Kn. La aplicación

i : V → MaxSpec(K[V ])

(a1, . . . ,an) 7→ (X1 − a1, . . . ,Xn − an)

define un homeomorfismo de V con su imagen.

Si K es algebraicamente cerrado, i es un homeomorfismo.

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(7) Consideremos el morfismo de R-álgebras:

R[X , Y ]→ CP(X ,Y ) 7→ P(i ,0)

Este morfismo es epiyectivo y su núcleo es el idealm = (X 2 + 1, Y ), que es maximal.

m = (X 2 + 1, Y ) define un punto de MaxSpec(R[X , Y ])

que no está en R2.

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(8) El ideal maximal m = (X 2 + 1, Y ) define un punto deMaxSpec(R[X , Y ]/(X 2 + Y 2 + 1)).

En general, si P(X ,Y ) ∈ R[X ,Y ] es tal que P(i ,0) = 0,entonces m = (X 2 + 1, Y ) define un punto deMaxSpec(R[X , Y ]/(P(X ,Y ))).

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(9) Dados dos números complejos z1, z2, consideremos elmorfismo de R-álgebras:

R[X , Y ]→ CP(X ,Y ) 7→ P(z1, z2)

Si alguno de los números z1 o z2 no es real, este morfismoes epiyectivo y su núcleo es un ideal maximal m, quedefine un punto de MaxSpec(R[X , Y ]) que no está en R2.

Si P(X ,Y ) es tal que P(z1, z2) = 0 , entonces m, quedefine un punto de MaxSpec(R[X , Y ]) que no está enV(P).

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(10) Si z1, z2 son dos números complejos, consideremosel morfismo de R-álgebras:

R[X , Y ]→ CP(X ,Y ) 7→ P(z1, z2)

Si alguno de los números z1 o z2 no es real, este morfismoes epiyectivo y su núcleo es un ideal maximal m, quedefine un punto de MaxSpec(R[X , Y ]) que no está en R2.

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(11) Dados n números complejos z1, . . . , zn, consideremosel morfismo de R-álgebras:

R[X1, . . . ,Xn]→ CP(X1, . . . ,Xn) 7→ P(z1, . . . , zn)

Si alguno de los números zi no es real, este morfismo esepiyectivo y su núcleo es un ideal maximal m, que defineun punto de MaxSpec(R[X1, . . .Xn]) que no está en Rn.

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Si z1, . . . , zn es solución del sistema de ecuaciones

p1(X1, . . . ,Xn) = 0...

pr (X1, . . . ,Xn) = 0

entonces m, que define un punto deMaxSpec(R[X1, . . .Xn]/(p1, . . . ,pr ) que no está enV(p1, . . . ,pr ).

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(12) Consideremos un sistema de ecuaciones enK[X1, . . . ,Xn]

p1(X1, . . . ,Xn) = 0...

pr (X1, . . . ,Xn) = 0

Si a1, . . . ,an es solución del sistema de ecuaciones enuna extensión L de K, entonces el núcleo del morfismo:

K[X1, . . . ,Xn]/(p1, . . . ,pr )→ LP(X1, . . . ,Xn) 7→ P(a1, . . . ,an)

es un ideal primo, es decir, un punto deSpec(K[X1, . . .Xn]/(p1, . . . ,pr ))

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Aplicación continua inducidaA cada anillo A le hemos asociado un espacio topológico,Spec(A). Vamos a ver que toda relación entre dos anillos(morfismo de anillos) da lugar a una relación entre susespectros (una aplicación continua).

Sea j : A→ B un morfismo de anillos. Si I es un ideal de B,entonces

I ∩ A = j−1(I) = {f ∈ A | j(f ) ∈ I}

es un ideal. Además, si p es un ideal primo de B entoncesp ∩ A es un ideal primo de A. Obtenemos así unaaplicación natural

j∗ : Spec(B) −→ Spec(A) ; j∗(p) = j−1(p) = A ∩ p

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7 Ejercicio

Comprueba que si j : A→ B y h : B → C son morfismosde anillos, entonces

(h ◦ j)∗ = j∗ ◦ h∗

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Dado un punto x ∈ Spec(B), por definición:

pj∗(x) = j−1(px).

Luego, si f ∈ A:

f (j∗(x)) = 0⇐⇒ j(f )(x) = 0,

es decir:(j∗)−1((f )0) = (j(f ))0 = (f · B)0

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Teorema

La aplicación j∗ : Spec(B)→ Spec(A) inducida por unmorfismo de anillos j : A→ B es continua:(j∗)−1(a)0 = (aB)0

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Ejemplos1.) Consideremos un morfismo de K-álgebras:

h : K[Y ] −→ K[X1, . . . ,Xn]

Y 7→ h(Y ) = h(X1, . . . ,Xn)

Sea h∗ : Spec(K[X1, . . . ,Xn])→ Spec(K[Y ]) la aplicacióncontinua inducida por h.

Si identificamos Kn y K con sus imágenes enSpec(K[X1, . . . ,Xn]) y Spec(K[Y ]) entonces

h∗(a1, . . . ,an) = h1(a1, . . . ,an)

La aplicación h∗ : Kn → K es la función polinómica(regular) definida por el polinomio h.

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2.) Consideremos un morfismo de K-álgebras:

h : K[Y1, . . . ,Ym] −→ K[X1, . . . ,Xn]

Yi 7→ h(Yi) = hi(X1, . . . ,Xn)

Sea h∗ : Spec(K[X1, . . . ,Xn])→ Spec(K[Y1, . . . ,Ym]) laaplicación continua inducida por h.

Si identificamos Kn y Km con sus imágenes enSpec(K[X1, . . . ,Xn]) y Spec(K[Y1, . . . ,Ym]) entonces

h∗(a1, . . . ,an) = (h1(a1, . . . ,an), . . .hm(a1, . . . ,an))

La aplicación h∗ : Kn → Km se llama aplicación regulardefinida por los polinomios h1, . . . ,hn.

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Espectro del cocienteTeorema

Sea a un ideal de un anillo A. La aplicación continua

π∗ : Spec(A/a)→ Spec(A)

inducida por la proyección canónica π : A→ A/a estableceun homeomorfismo de Spec(A/a) con su imagen, que es elcerrado (a)0:

Spec(A/a) = (a)0 =⋂f∈a

(f )0

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8 Ejercicio

Calcula los puntos y describe la topología de Zariski parael espectro de los siguientes anillos

I R[x ]/(x4 + x2).

I C[x , y ]/(x2 + y2).

I ZI Z/(30)

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Ejemplo

Sea V = V(I(V )) un conjunto algebraico de Kn. Elmorfismo canónicoπ : K[X1, . . . ,Xn]→ K[V ] = K[X1, . . . ,Xn]/I(V ) induce unainmersión π∗ : Spec(K[V ])→ Spec(K[X1, . . . ,Xn]) mediantela cual Spec(K[V ]) ' (I(V ))0.

Identificando V y Kn con su imagen en Spec(K[V ]) ySpec(K[X1, . . . ,Xn]) (respectivamente), obtenemos que π∗

es la inclusión de V en Kn.

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La imagen de Kn en Spec(K[X1, . . . ,Xn]) está formada porpuntos racionales, es decir, por puntos cerrados x talesque el ideal maximal mx tiene cuerpo residual K; es decir,la extensión K→ K[X1,...,Xn]

mxes de grado uno.

Además, todo punto racional de Spec(K[X1, . . . ,Xn]) estáen Kn:

Si K[X1, . . . ,Xn]/m = K y [Xi ] = ai , entonces〈X1 − a1, . . . ,Xn − an〉 ⊆ m, luego〈X1 − a1, . . . ,Xn − an〉 = m.

Análogamente, la imagen de V en Spec(K[V ]) estáformada por todos los puntos racionales.

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Observación

Sea h : A→ B un morfismo de K-álgebras. Seax ∈ Spec(B) un punto racional, es decir, cerrado y tal quela extensión natural K→ B → B/mx es de grado uno.Dado que

K→ Amx ∩ A

↪→ Bmx

= K,

tenemos que K→ A/(mx ∩ A) es también una extensiónde grado uno, es decir, mx ∩ A es un ideal maximal de Ade cuerpo residual K. Es decir, si h∗ : Spec(B)→ Spec(A)es la aplicación continua inducida por h, entonces h∗(x) esun punto racional de Spec(A).

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Conclusión:

Sean W ⊆ Km y V ⊆ Kn dos conjuntos algebraicos. Dadoun morfismo de K-álgebras

h :K[Y1, . . . ,Ym]

I(W )→ K[X1, . . . ,Xn]

I(V )Yi 7→ hi(X1, . . . ,Xn),

consideremos la aplicación continua

h∗ : Spec(K[X1, . . . ,Xn]

I(V )

)→ Spec

(K[Y1, . . . ,Ym]

I(W )

).

Si identificamos V y W con sus imágenes en Spec(K[W ])

y Spec(K[W ]), respectivamente, entonces h∗(V ) ⊆W y larestricción de h∗ a V es precisamente el morfismo deconjuntos algebraicos V →W definido por el morfismo deK-álgebras h.

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Espectro de la localizaciónTeorema

Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Laaplicación

j∗ : Spec(S−1A)→ Spec(A)

inducida por el morfismo de localización j : A→ S−1Aestablece un homeomorfismo entre Spec(S−1A) y suimagen, que está formada por los puntos donde no seanula ninguna función f ∈ S:

Spec(S−1A) =⋂

f∈SUf = {x ∈ Spec(A) | px ∩ S = ∅}

En particular:

Spec(Af ) = Uf = {x ∈ Spec(A) | f /∈ px} 70 / 92

Ejemplo

Si x es un punto de Spec(A), denotamos por Ax o Apx lalocalización de A por el sistema multiplicativoSx = {s ∈ A | s(x) 6= 0} = A− px .

El espectro de Ax es

Spec(Ax) = {y ∈ Spec(A) | py ⊆ px} = {y ∈ Spec(A) | x ∈ {y}}

El anillo Ax tiene un único ideal maximal: pxAx

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9 Ejercicio

Si U es un abierto de Spec(A), denotamos por AU lalocalización de A por el sistema multiplicativoSU = {s ∈ A | s(x) 6= 0∀x ∈ U}.

Demuestra que si f ∈ A, entonces el morfismo natural

Af → AUf

es un isomorfismo.

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3.4 Localización de módulosSean A un anillo y S ⊂ A un sistema multiplicativo de A.Del mismo modo que construimos el anillo de fraccionesS−1A = AS, podemos construir el módulo de fracciones“S−1M = MS”; definimos la relación ≡ sobre M × S :

(m, s) ≡ (m′, s′)⇔ existe t ∈ S tal que t(sm′ − s′m) = 0.

Se trata de una relación de equivalencia que puededefinirse también de la siguiente forma:

(m, s) ≡ (m′, s′)⇔ existen s1, s2 ∈ S

tales que s1m = s2m′ y s1s = s2s′.

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Denotamos por m/s a la clase de equivalencia del par(m, s), y por MS = (M × S)/≡ al conjunto de talesfracciones.

Es un sencillo ejercicio comprobar que las operacionesms

+nt=

tm + snst

yas· m

t=

amst, (6)

dotan a MS de estructura de AS−módulo.

Definición

Con la notación anterior. Diremos que MS es el módulode fracciones con numeradores en M y denominadoresen S ó localización de M en S. Nótese que MS tiene unaestructura natural de A−módulo, dada por el productoa · (m/s) = (a/1) · (m/s) = (am)/s

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La aplicación

γ : M → MS; γ(m)→ m/1

es un morfismo de A−módulos, que llamaremosmorfismo de localización.

Propiedad universal de la localización demódulos .

Sean M un A−módulo y S un sistema multiplicativo de A.Si N es un AS−módulo y f : M → N es un morfismo deA−módulos, existe un único morfismo de AS−módulosφ : MS → N tal que f = φ ◦ γ, es decir,

HomA(M,N) = HomAS (MS,N).

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La localización AS es una A-álgebra vía δ : A→ AS. Lapropiedad universal de la localización de A−módulos porS es precisamente la propiedad universal del cambio debase δ : A→ AS:

HomA(M,N) = HomAS (MS,N),

para todo AS-módulo N.

Por tanto, la localización puede entenderse como uncambio de base:

Por la Propiedad universal del cambio de base, elmorfismo de localización M → MS; m 7→ m/1, define unmorfismo de AS−módulos

(AS)⊗A M −→ MS

(a/s)⊗m 7→ am/s. 77 / 92

Recíprocamente, por la Propiedad universal de lalocalización, el morfismo de cambio baseM → AS ⊗A M; m 7→ 1⊗m, define un morfismo deAS−módulos

MS −→ AS ⊗A M;

tal que m/s 7→ (1/s)⊗m.

Ambos morfismos son mutuamente inversos.

Corolario

Existe un isomorfismo natural de AS-módulos

AS ⊗A M ∼= MS a/s ⊗m 7→ am/s.

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Corolario

Cada morfismo de A-módulos f : M → N induce unmorfismo de AS−módulos,

fS : MS → NS; m/s 7→ f (m)/s.

Además, se cumple que:

I IdS = IdI (f ◦ g)S = (fS) ◦ (gS)

Nótese que el morfismo fS no es más que 1⊗ f .

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Proposición

Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. SiM ′ f−→ M

g−→ M ′′ es una sucesión exacta de morfismosde A−módulos, entonces la sucesión

M ′SfS−→ MS

gS−→ M ′′S

también es exacta.

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Corolario

Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Laoperación localizar por S transforma submódulos ensubmódulos, conmuta con la formación de cocientes,sumas finitas e intersecciones finitas. Concretamente, si Ny N ′ son submódulos de un A−módulo M, entonces

(a) NS = {n/s ∈ MS | n ∈ N} es submódulo de MS.

(b) Los AS−módulos (M/N)S y MS/NS son isomorfos.

(c) (N + N ′)S = NS + N ′S.

(d) (N ∩ N ′)S = NS ∩ N ′S.

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Observemos que, como todo ideal a de un anillo A es unsubmódulo suyo, tenemos que aS es un submódulo de AS,

es decir, aS es un ideal de AS.

10 Ejercicio

Sean a un ideal, S un sistema multiplicativo de un anillo Ay M un A-módulo. Comprueba que existen isomorfismosnaturales: (

Aa

)S

∼=AS

aS(MaM

)S

∼=MS

(aM)S

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3.5 Propiedades locales

Definición

Una propiedad P de los anillos (o de los A−módulos) esuna propiedad local cuando un anillo A (o un A−móduloM) tiene la propiedad P si y sólo si Ap (ó Mp) tiene lapropiedad P para todo p ∈ Spec(A).

En la siguiente proposición se prueba que la anulación deun A-módulo es una propiedad local.

Se llama espectro maximal del anillo A, y se denotaSpecm(A), al conjunto de ideales maximales de A.

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Proposición

Sea M un A−módulo. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(a) M = 0;

(b) Mp = 0 para todo p ∈ Spec(A);

(c) Mm = 0 para todo m ∈ Specm(A).

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Proposición

Sea f : M → N un morfismo de A−módulos. Lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) f es inyectiva.

(b) fp : Mp → Np es inyectiva para todo p ∈ Spec(A);

(c) fm : Mm → Nm es inyectiva para todo m ∈ Specm(A);

y análogamente, si reemplazamos “inyectiva" por“epiyectiva".

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Lema de Nakayama

Lema de Nakayama. Sean A un anillo, a un ideal de A yM un A-módulo finito generado. Si a está contenido entodo maximal de A, entonces aM = M si y solo si M = 0.

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Corolario

Sean A un anillo. Si {v1, . . . ,vn} es un sistema degeneradores de un A−módulo libre de rango n, entonces{v1, . . . ,vn} es una base de L.

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