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Campos ElectromagnéticosCurso 2008/2009

Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III

Tema 3: Campos Estáticos1

Tema 3: Campos estáticos




Índice

Ecuaciones en el caso estacionario

Electrostática

Solución del problema electrostático

Cálculo de campos mediante Ley de Gauss

Energía electrostática

Desarrollo multipolar

El dipolo eléctrico

Campo magnético de corrientes estacionarias

Solución del problema magnetostático

Ley de Biot-Savart

Cálculo de campos mediante Ley de Ampere

Energía magnetostática


Dipolo magnético




Caso estacionario

Ecuaciones de Maxwell:

Suponemos distribuciones de carga y corriente estacionarias:

No dependendel tiempo

No dependendel tiempo

.




Las ecuaciones de Maxwell quedan entonces:

Quedan definidos dos problemas desacoplados (el campo eléctrico no aparece en las fuentes del campo magnético ni viceversa)

Cada pareja de ecuaciones puede resolverse usando el Teorema de Helmholtz: campo electrostático y campo magnetostático

Caso estacionario

Electrostática

Magnetostática

.




Electrostática

Solución:

Con:

Teorema de Helmholtz: Electrostática:

Solución:

Con:

Potencial electrostático

.




Campo eléctrico

Expresión para el campo eléctrico en función de ρ:

Usando:

.




Ejemplo: carga puntual

Ley de Coulomb

Sobre una carga en la carga ejerce una fuerza :

.




Diferencia de potencial

El potencial es en principio una herramienta matemática útil para calcular el campo electrostático

Conocido el campo eléctrico es posible también obtener valores de diferencia de potencial

Diferencia de potencial entre dos puntos:

.




Supongamos una región donde existe un campo eléctrico

Sea una carga puntual q que traemos desde el infinito hasta un punto

Hacemos el proceso muy lentamente (cuasi-estático)

: fuerza que ejerce el campo eléctrico en cada instante

: fuerza que debemos ejercer sobre la carga

We : Trabajo realizado por la fuerza eléctrica

W : trabajo realizado por nosotros sobre la carga

Significado físico del potencial

.




Significado físico del potencial

Balance energético:

El potencial electrostático en un puntorepresenta el trabajo realizado sobre

la unidad de carga para llevarla desdeel infinito hasta ese punto mediante un

proceso cuasi-estático .




Energía potencial de interacción

Puede definirse para fuerzas conservativas

La energía potencial de interacción entre un campo eléctrico y una carga puntual situada en un punto es el trabajo realizado para traer la carga desde el infinito hasta dicho punto mediante un proceso cuasiestático:

La fuerza electrostática es conservativa y deriva de un potencial, que es la propia U:

.




Relaciones en electrostática

Falta

pdi1

Diapositiva 12

pdi1 pdi; 17/10/2008




En una región libre de cargas (ρ=0) :

V es un campo escalar armónico

Ecuaciones de Poisson y Laplace

Ecuación de Poisson

Ecuación de Laplace




Relaciones en electrostática




Cálculo del campo a partir de ρ




Cálculo del campo a partir de ρ

El cálculo directo del campo requiere resolver en realidad tres integrales (vector)

El cálculo a través de V suele ser más sencillo

Este camino no puede emplearse en el caso de fuentes idealizadas que se extienden hasta el infinito: V diverge

Ejemplos: hilo de carga infinito, plano cargado...

La razón es que en este caso no se cumplen los requisitos que exige el teorema de Helmholtz (ausencia de fuentes en el infinito)

Para este caso sí es posible realizar un cálculo directo del campo eléctrico o aún mejor...

Aprovechar la simetría del problema idealizado para calcular el campo eléctrico mediante Ley de Gauss

.




Ley de Gauss

Forma integral de la Ley de Gauss:

Se cumple siempre

En situaciones de alta simetría permite calcular el campo eléctrico evitando la integración directa

Simetrías posibles: plana, esférica y cilíndrica

.




Cálculo del campo mediante Ley de Gauss

Ejemplo: carga puntual en el origen

Simetría esférica: forma general del campo:

Argumentos de simetría:

Ley de Gauss: superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen




Esfera uniformemente cargada en superficie

Simetría esférica: igual que carga puntual

Ley de Gauss con superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen:

Caso r<R: no hay carga dentro de Sr





Caso r>R: toda la carga se encuentra dentro de la superficie gaussiana

El campo eléctrico es nulo en el interior de la esfera cargada, mientras que fuera es el mismo campo que

crearía una carga puntual de valor igual a la carga total en la superficie de la esfera que estuviese situada en el

centro de la esfera




Esfera uniformemente cargada en volumen

Simetría esférica:

Ley de Gauss con superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen:

Caso r<R:

El campo aumenta linealmente con r





Caso r>R: toda la carga se encuentra dentro de la superficie gaussiana

El campo eléctrico en el exterior de la esfera de carga el mismo campo que crearía una carga puntual de valor igual a la carga total de la esfera y que estuviese situada en el centro de la esfera

En este caso no aparece una discontinuidad del campo eléctrico en la superficie de la esfera, ya que no hay ρS




Hilo infinito cargado

Argumentos de simetría: simetría cilíndrica

Ley de Gauss con superficie gaussiana = cilindro de radio r y altura L coaxial con el hilo




Plano infinito de carga

Simetría plana:

Ley de Gauss: superficie gaussiana=cilindro recto de Sarbitraria

Es impar

Además




Plano infinito de carga

Entonces:

Se cumple la condición de discontinuidad del campo:




Índice (I)


Electrostática










En general, la energía almacenada por el campo eléctrico es:

En electrostática puede obtenerse una expresión alternativa en función del potencial y la densidad de carga:

Y la integral queda:

Extendido a la región donde hay fuentes




¿Cómo se llega a la conclusión de que el primer término es nulo?

SR puede hacerse infinitamente grande: esfera que rodea a todo el espacio

Cuando , pero el integrando decrece más rápido:


Teorema de la divergencia




En electrostática:

Es el trabajo necesario para traer las cargas que conforman la distribución de cargas ρ desde el infinito hasta el lugar que ocupan mediante un proceso cuasiestático

Para distribuciones superficiales:


.




Ejemplo

Energía de una esfera de radio R uniformemente cargada

Método 1:




Ejemplo


Método 2:





Haciendo : energía de una carga puntual

Ejemplo

La carga puntual es una idealización que supone una energía almacenada infinita

(El trabajo necesario para llevar todos los dq a un mismo punto es infinito) ‏




Energía de una distribución de cargas puntuales

El potencial creado por la carga i-ésima evaluadosobre ella misma es infinito

Porque incluye la parte de energía debida a la formación de las cargas puntuales




Energía de una distribución de cargas puntuales

Obtenemos una expresión útil si eliminamos el término divergente:

Se usa el potencial creado en la posición de cada carga por todas las demás cargas

En este caso UE representa la energía necesaria para traer todas las cargas puntuales desde el infinito hasta sus posiciones actuales mediante un proceso cuasi-estático, pero sin incluir la energía necesaria para crear cada carga puntual, que es infinita

.




Índice (I)‏


Electrostática










Determinar el campo electrostático y el potencial en cualquier punto debido a una distribución de carga ρarbitraria puede ser complicado en general:

Desarrollo multipolar: se trata de analizar el campo electrostático creado por la distribución de carga cuando el punto de observación está alejado de ella

Permite simplificar el problema

Permite definir un concepto útil: dipolo eléctrico





Si el punto campo está muy alejado de la fuente:

Tiende al potencial de una carga puntual (lógico). Veamos que obtenemos si hacemos una aproximación más cuidadosa...





Cuando





Tiene la forma del potencial de una carga puntual:

Donde Q es la carga de la distribución:

Este término domina a grandes distancias cuando Q≠0

Potencial dipolar




Potencial dipolar

Potencial dipolar:Domina a grandes distancias cuando Q=0Decae como r-2

No posee simetría radial

Se define: Momento dipolar de la distribución





Sistema más sencillo que no presenta el primer término del desarrollo multipolar

Importancia para el modelado de la reacción de materiales dieléctricos (no conductores) frente al campo eléctrico

Sistema constituido por dos cargas iguales y de signo contrario separadas por una distancia d :

Momento dipolar del dipolo




Esta expresión es correcta en el caso límite (dipolo ideal):

Superficies equipotenciales:(línea discontinua)

Potencial del dipolo

.




Campo eléctrico del dipolo

Decae como

Tiene simetría axial

El campo producido por el dipolo puede calcularse del potencial:

Resultado:

Ver: http://www.falstad.com/vector3de/




Siendo el punto medio del dipolo

Interacción de un dipolo con un campo eléctrico externo

Energía de interacción:

La energía de interacción es mínima cuando el campo eléctrico y el momento dipolar son paralelos




Fuerza sobre el dipolo: con

Un campo eléctrico uniforme no ejerce fuerza neta sobre un dipolo

Fuerza sobre un dipolo

Electrostática no es función de




Campo uniforme:

Si el campo no es uniforme aparece una fuerza neta:

Fuerza sobre un dipolo

El dipolo tiende a girar, pero no se desplaza

El dipolo tiende a girar y desplazarse hacia la zona de campo eléctrico más intenso




Momento sobre un dipolo

El momento es nulo cuando el dipolo y el campo eléctrico son paralelos y máximo cuando son perpendiculares

Conclusión: el dipolo tiende a alinearse con el campo




Índice (I)‏


Electrostática









Índice (II)‏



Ley de Biot-Savart




Dipolo magnético




Ecuaciones de Maxwell en el caso estacionario:

Magnetostática implica que la corriente ha de ser solenoidal:

Las líneas de corriente son cerradas

La carga neta en cada punto no varía con el tiempo

Caso estacionario

Electrostática

Magnetostática

Condición de corriente estacionaria




Solución del problema de la magnetostática

Solución:

Con:

Teorema de Helmholtz:

Solución:

Magnetostática:

Con:

Potencial vector magnético




Campo magnético

Expresión para el campo magnético en función de :

Usando:




Corrientes filiformes

Gran interés práctico

Se pueden particularizar las fórmulas si hacemos el cambio:

Obtenemos:

En magnetostática se suele calcular el campo sin pasar por el potencial vector




Ejemplo: campo magnético de un hilo finito

( Coord. cilíndricas ) ‏

Cambio:




Ejemplo: campo magnético de un hilo finito

Campo del hilo infinito:




Ley de Biot-Savart

Sean dos espiras de corriente:

La espira 2 crea un campomagnético que realiza una fuerzasobre la espira 1:

Pero a su vez:

Combinado ambas expresiones:




Fuerza entre hilos paralelos

La fuerza es atractiva para corrientes con el mismo sentido y repulsiva si tienen sentido contrario

La fuerza es proporcional a las intensidades e inversamente proporcional a la distancia entre los hilos




Índice (II)‏



Ley de Biot-Savart




Dipolo magnético




Ley de Ampere

Donde:

es la intensidad que atraviesa cualquier superficie que se apoye en

El signo de la intensidad viene dado por la regla de la mano derecha

La Ley de Ampere nos permite calcular el campo magnético en situaciones con simetría de revolución (axial)




Simetría

Simetrías de revolución

Campo toroidal:

Campo poloidal:

(coordenadas cilíndricas)

Teorema:

Si es poloidal es toroidal

es poloidalSi es toroidal

Ejemplo: campo magnético de una espira

Ejemplo: campo magnético de un hilo infinito

.




Toroidal


Hilo recto infinito:

Simetría axial:

También se puede ver así:

Producto vectorial

Poloidal.





Camino de integración: circunferencia centrada en el hilo:

con:

.





Campo del hilo recto infinito:

Las líneas de campo son circunferencias centradas en el hilo

Sentido del campo: regla de la mano derecha

El módulo del campo decrece como la inversa de la distancia al hilo .




Simetría:

Línea de integración: circunferencia centrada en el eje z de radio r

Caso r<R:

Caso r>R:

Toroidal

Cilindro de corriente superficial

Poloidal

.




Simetría:

Línea de integración: circunferencia centrada en el eje z de radio r

Solución (se deja como ejercicio):

Cilindro de corriente volumétrica

Poloidal Toroidal

El campo dentro crece con la distancia al eje y fuera es el mismo que el de un hilo infinito de

corriente I situado en el eje z

El campo dentro crece con la distancia al eje y fuera es el mismo que el de un hilo infinito de

corriente I situado en el eje z .




Cuerpo toroidal

Bobinado uniforme (N vueltas) de un hilo que transporta una corriente I sobre un cuerpo toroidal




Cuerpo toroidal

Simetría:

Ley de Ampere: circunferencia de radio r centrada en eje z

Caso exterior:

Caso interior:

Poloidal Toroidal




visualización del campo de un toroide




Solenoide recto infinito

Podemos considerar una corriente superficial:

donde n =densidad de bobinado

Simetría:

Puede usarse un argumento adicional para simplificar aún más la forma del campo ...

Toroidal Poloidal





Ley de inexistencia de monopolos:

La aplicamos en un cilindro de altura d y radio rcomo el de la figura:

De donde:

Entonces, y el campo es de la forma:

ya que





Aplicamos Ley de Ampere con camino de integración: el rectángulo de la figura

Como el campo sólo tiene componente según z solo contribuyen los segmentos verticales:

De donde:




La Ley de Ampere nos da la diferencia entre el campo interior y el exterior:

Esta diferencia es independiente de ri y re

Se deduce que el campo es uniforme en cada región (interior y exterior)

Dado que el solenoide recto infinito puede considerarse un toroide de radio de revolución infinito, se deduce que el campo magnético en el exterior debe ser nulo

Entonces la solución es:


.




Índice (II)‏



Ley de Biot-Savart




Dipolo magnético





En general, la energía almacenada por el campo magnético es:

En magnetostática puede obtenerse una expresión alternativa en función del potencial vector y la densidad de corriente:

Y la integral queda:

Extendido a la región donde hay fuentes




Energía de un conjunto de nespiras

Para corrientes filiformes:

Flujo del campo magnético a través de la espira i

definimos:




Energía de espiras: ejemplo

Solenoide toroidal de N espiras y sección rectangular:

Método 1:




Energía de espiras: ejemplo

Solenoide toroidal de N espiras y sección rectangular:

Método 2:




Índice (II)‏



Ley de Biot-Savart




Dipolo magnético





Potencial vector de la espira:

Para puntos lejanos hemos visto que:

Entonces:

El primer término no nulo del desarrollo es el término dipolar




Momento dipolar magnéticoEl término dipolar del potencial vector se puede escribir (no lo demostramos aquí):

Momento dipolar magnético de una espira:

Para espiras planas (caso habitual):

Cualquier superficie que se apoye en la curva que define la espira

Módulo: el de la sup. plana limitada por la espiraDirección: perpendicular al plano de la espiraSentido: regla de la mano derecha para sentido de circulación definido en la espira




Campo magnético creado por un dipolo magnético

Campo magnético que crea un dipolo magnético:

Misma forma que el campo eléctrico de un dipolo eléctrico

Esta expresión es correcta “suficientemente lejos” de cualquier espira de corriente

Esta expresión es exacta si se trata de un dipolo ideal:

Espira de área que tiende a cero e intensidad de corriente que tiende a infinito




Interacción de un dipolo magnético con un campo externo

Existe un fuerte paralelismo en las fórmulas con el caso de interacción de un dipolo eléctrico con un campo eléctrico

No vamos a demostrar las del caso magnético:

Energía de interacción:

Fuerza sobre el dipolo magnético:

Momento de las fuerzas sobre el dipolo:

La tendencia del dipolo magnético es:

Orientarse paralelamente al campo magnético externo

Desplazarse hacia las zonas de campo más intenso




Resumen Tema 3 (I)

En situación estacionaria las ecuaciones de Maxwell se desacoplan y pueden estudiarse por separado el problema eléctrico y magnético

Existe una solución para las ecuaciones de la electrostática a partir del teorema de Helmholtz

El campo electrostático puede obtenerse a partir del gradiente de un campo escalar: potencial electrostático

El potencial electrostático tiene sentido físico

Su expresión integral en función de la densidad de carga estacionaria es más fácil de evaluar que la del campo eléctrico

La Ley de Gauss nos permite calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo eléctrico en situaciones de alta simetría

.




Resumen Tema 3 (II)Existe una expresión específica para calcular la energía asociada al campo electrostático

Coincide con el trabajo necesario para llevar toda la carga de la distribución que crea el campo desde el infinito a su posición

El desarrollo multipolar nos permite obtener una aproximación del campo eléctrico para puntos “lejos” de la distribución de carga

El campo de una distribución con carga neta nula viene dominado por el término dipolar

El ejemplo más sencillo de este tipo de distribución es el dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico sufrirá fuerzas y momentos ante la presencia de un campos eléctrico externo .




Resumen Tema 3 (III)

Las ecuaciones de Maxwell para el campo magnético en el caso estacionario pueden resolverse con el teorema de Helmholtz: magnetostática

La solución para el campo magnético tienen la forma de una expresión integral en función de la densidad de corriente

Esta expresión se puede particularizar con facilidad para el caso práctico de corrientes filiformes

La Ley de Ampere nos permite calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo magnético en situaciones con alta simetría de revolución

Existe una expresión específica para calcular la energíaasociada al campo magnetostático

.




Resumen Tema 3 (y IV)

El desarrollo multipolar nos permite obtener una aproximación del campo magnético para puntos “lejos” de una espira de corriente

El primer término de la aproximación del campo magnético es el término dipolar

El campo magnético dipolar se escribe en función del momento dipolar magnético, que depende del área de la espira y de la intensidad que la recorre

Una espira “pequeña” constituye un dipolo magnético: el campo magnético que crea coincide esencialmente con el término dipolar del desarrollo

Un dipolo magnético sufrirá fuerzas y momentos ante la presencia de un campo magnético externo

.

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