tema 3

TEMA 3TEMA 3

LA TRANSFORMADA Z Y LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONESSUS APLICACIONES

IntroduccionIntroduccion

Dada una secuencia x(n), se define su Dada una secuencia x(n), se define su Transformada Z como: Transformada Z como:

(Transformada bilateral)(Transformada bilateral)

En el caso de sistemas y señales En el caso de sistemas y señales causales: causales:

(Transformada uniteral)(Transformada uniteral)

siendo siendo zz una variable compleja: z=x+jy una variable compleja: z=x+jy

Sustituyendo z por su expresión en forma polar, podemos Sustituyendo z por su expresión en forma polar, podemos interpretar X(z) en términos de la Transformada de Fourier interpretar X(z) en términos de la Transformada de Fourier

Luego, la Transformada Z puede interpretarse como la Luego, la Transformada Z puede interpretarse como la transformada de Fourier multiplicada por una secuencia transformada de Fourier multiplicada por una secuencia exponencial. exponencial.

A partir de la definición es fácil observar que la Transformada de A partir de la definición es fácil observar que la Transformada de Fourier de una secuencia coincide con la transformada Z de la Fourier de una secuencia coincide con la transformada Z de la misma, evaluada sobre el círculo unidad. misma, evaluada sobre el círculo unidad.

Los principales motivos para introducir esta Los principales motivos para introducir esta generalización son que: generalización son que:

• La Transformada de Fourier no converge para La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias. todas las secuencias.

• Facilita la resolución de problemas analíticos. Facilita la resolución de problemas analíticos.

• Permite la utilización de la Teoría de variable Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas compleja en problemas de señales y sistemas discretosdiscretos

En este tema estudiaremos la representación de la TZ de una En este tema estudiaremos la representación de la TZ de una secuencia y veremos la relación existente entre las secuencia y veremos la relación existente entre las propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ. propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ.

Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z convierte una convolución en el domino temporal en una convierte una convolución en el domino temporal en una multiplicación en el dominio Z. multiplicación en el dominio Z.

Su utilidad principal consiste en el análisis y síntesis de filtros Su utilidad principal consiste en el análisis y síntesis de filtros digitales. digitales.

La configuración de las singularidades determina el tipo de La configuración de las singularidades determina el tipo de filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse para filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse para interpretar su comportamiento frecuencial. interpretar su comportamiento frecuencial.

La cuestión de la La cuestión de la estabilidadestabilidad puede enfocarse en términos de puede enfocarse en términos de la localización de los polos en el plano Z (Dentro del circulo la localización de los polos en el plano Z (Dentro del circulo unidad) unidad)

CONVERGENCIA DE LA CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA ZTRANSFORMADA Z

La Transformada Z no converge para todas las secuencias, La Transformada Z no converge para todas las secuencias, ni para todos los valores de z. ni para todos los valores de z.

Para una determinada secuencia, el conjunto de valores de Para una determinada secuencia, el conjunto de valores de z para los cuales la Transformada Z converge, se denomina z para los cuales la Transformada Z converge, se denomina REGIÓN DE CONVERGENCIA. REGIÓN DE CONVERGENCIA.

Para que la TZ de una secuencia sea convergente es Para que la TZ de una secuencia sea convergente es necesario que la serie sea absolutamente sumable, es necesario que la serie sea absolutamente sumable, es decir: decir:

EJEMPLOEJEMPLO

Sea la secuencia x(n)=anu(n): Sea la secuencia x(n)=anu(n):

Propiedades de la región de convergencia:Propiedades de la región de convergencia:

1)1) En general, la región de convergencia (RdC) de X(z) es En general, la región de convergencia (RdC) de X(z) es un anillo centrado en el origen del plano z, y es una región un anillo centrado en el origen del plano z, y es una región conectada. conectada.

2) 2) La RdC de una X(z) no contiene polos y está limitada por La RdC de una X(z) no contiene polos y está limitada por polos ó el cero o el infinito. polos ó el cero o el infinito.

3) 3) Si la secuencia x(n) es de longitud finita, la RdC es el Si la secuencia x(n) es de longitud finita, la RdC es el plano completo excepto, z=0 y/o z=¥ . plano completo excepto, z=0 y/o z=¥ .

4) 4) Si x(n) es una secuencia por el lado derecho y si el círculo Si x(n) es una secuencia por el lado derecho y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| >R. | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| >R.

5) 5) Si x(n) es una secuencia por el lado izquierdo y si el Si x(n) es una secuencia por el lado izquierdo y si el círculo círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| <R. | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| <R.

6) 6) Si x(n) es una secuencia por ambos lados, la RdC, es un Si x(n) es una secuencia por ambos lados, la RdC, es un anillo centrado en el origen. anillo centrado en el origen.

LA TRANSFORMADA Z INVERSALA TRANSFORMADA Z INVERSA

Expansión en fracciones parciales o en series de Expansión en fracciones parciales o en series de potencias.potencias.

Integral de inversión compleja Integral de inversión compleja

Inspección directa Inspección directa

Inspección DirectaInspección Directa

El método de El método de inspección directainspección directa se trata simplemente de se trata simplemente de familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares. familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares.

Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante división de polinomios. Podremos observar como división de polinomios. Podremos observar como precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya que por definición la TZ es: que por definición la TZ es:

Descomposición en Fracciones Descomposición en Fracciones SimplesSimples

Consiste en realizar una Consiste en realizar una Descomposición en Fracciones Descomposición en Fracciones SimplesSimples e identificar las transformadas simples de los e identificar las transformadas simples de los términos así obtenidos.términos así obtenidos.

M:orden de P(z) M:orden de P(z)

• Si siendo N orden de Q(z) Si siendo N orden de Q(z)

Si M<N y solo existen polos de primer orden:Si M<N y solo existen polos de primer orden:

Si M Si M ≥ ≥ N y solo existen polos simples: N y solo existen polos simples:

siendo los Bi los coeficientes obtenidos mediante siendo los Bi los coeficientes obtenidos mediante división hasta que el resto sea de un orden igual al división hasta que el resto sea de un orden igual al del denominador menos 1. Con este resto se procede del denominador menos 1. Con este resto se procede a descomponer en fracciones simples y el resultado a descomponer en fracciones simples y el resultado se añade al de la división.se añade al de la división.

TEOREMA DE LOS RESIDUOSTEOREMA DE LOS RESIDUOS

En el caso de polos múltiples, por ejemplo uno en z=pi , de orden de En el caso de polos múltiples, por ejemplo uno en z=pi , de orden de multiplicidad s, la descomposición resulta multiplicidad s, la descomposición resulta

En general, si es una función racional de z:

es decir, tiene 5 polos en z = z0 (4 f(z) no tiene polos en z = z0)

El residuo de dicha función en z = z0 es :

En particular si 5 = 1 para z0 es = p

Caso generalCaso general: Si la función a integrar : Si la función a integrar ΦΦ (z) tiene (z) tiene varios polos Pi, con grados Si,varios polos Pi, con grados Si, dentro de C:dentro de C:

Cálculo a partir del Teorema de los ResiduosCálculo a partir del Teorema de los Residuos

Teorema de la integral de CanchyTeorema de la integral de Canchy::

Transformada Z InversaTransformada Z Inversa

(Multiplicando por zk-1 a ambos lados e integrando...)

1 si – n + k = 0 => n= k , 0 otro caso

PROPIEDADES DE LA PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZTRANSFORMADA Z

LINEALIDAD:

Si

Entonces:

•DESPLAZAMIENTO:

Si

Entonces: (posible adición o desaparición de 0/ )


INVERSIÓN DE UNA SECUENCIA: Si Entonces:

MULTIPLICACIÓN POR UNA SECUENCIA EXPONENCIAL: Si Entonces:


•TEOREMA DEL VALOR INICIAL Si

CONJUGACIÓN DE UNA SECUENCIA COMPLEJA.- Si

Entonces:


CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS.

Si

Entonces:


CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS.

Sea

Entonces

EJEMPLOEJEMPLODeterminar la TZ inversa de:

Pero

Entonces Luego:

EJEMPLOEJEMPLODeterminar la TZ de las secuencias

TEOREMA DE LA TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN COMPLEJACONVOLUCIÓN COMPLEJA

Sean

Entonces:

Siendo

RELACIÓN DE PARSEVALRELACIÓN DE PARSEVAL

Sean

Si X(z) y*(n) convergen en el círculo unitario

FUNCIÓN DEL SISTEMA Y FUNCIÓN DEL SISTEMA Y FILTROS DIGITALESFILTROS DIGITALES

FILTROS FIRFILTROS FIR

(NO RECURSIVOS)

"La Función del Sistema puede expresarse como un polinomio en el numerador"

FILTROS IIRFILTROS IIR

N > 0

"La Función del Sistema tendrá polos,

de c/n de los cuales

contribuye con una sec. Exponencial a la k(n)"

FUNCIÓN DEL SISTEMAFUNCIÓN DEL SISTEMA

Estabilidad:

"Si la Rdc incluye el círculo unidad, el Sistema es ESTABLE y viceversa". Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitario

y la zona del plano z (se entiende hasta z = ∞ , desde aquel).

ESTABILIDADESTABILIDADSi evaluamos X(z) sobre el círculo unidad comenzando en z=1 (w=0) hasta z=-1 (w=Π), pasando por z=j (w=B/2), obtenemos la TF para 0<w<B. Continuando a lo largo de este círculo obtendríamos la TF desde B a 2B (\ desde -B a 0).

Con esta interpretación se hace evidente la propiedad de periodicidad de la TF de una secuencia.

•Cuando la serie de potencias puede sumarse y expresarse de forma sencilla decimos que la TZ está en forma cerrada.

•Toda secuencia que pueda representarse como suma de exponenciales puede representarse por una TZ de tipo racional.

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