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Tratamiento Digital de Señales
Tema 2 Muestreo y Reconstrucción de Señales
José Sáez Landete Fernando Cruz Roldán
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1. Introducción
2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
4. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto
Contenidos
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Saber pasar una señal del dominio analógico al discreto, y viceversa, mediante muestreo ideal.
Establecer las condiciones para realizar procesado digital de señales analógicas.
Diseñar sistemas digitales para realizar procesado analógico.
Diseñar sistemas analógicos para realizar procesado digital.
Objetivos
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Muchas señales provienen del dominio analógico Para realizar un procesado digital es necesario
digitalizarlas
1. Introducción
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Digitalización: discretización temporal, y discretización de amplitud:
1. Introducción
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Muestreo ideal o uniforme
Uno de los procedimientos más sencillos para discretizar el tiempo consiste en:
Normalización del tiempo Esta operación se realiza con un conversor C/D:
x[n] = xc (nT ),−∞ < n < ∞donde:fs = 1 /T , o bien ω s = 2π /T
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Muestreo ideal o uniforme
Es una operación no invertible ciertas restricciones sobre la señal analógica…
Dividimos el proceso en dos etapas:
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Muestreo ideal o uniforme
Las relaciones en el dominio de la frecuencia:
s t( ) = δ t − nT( )n=−∞
∞
∑ → S ω( ) = 2πT
δ ω − k 2πT
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k=−∞
∞
∑
xs t( ) = xc (t)s(t) → Xs ω( ) = 1T
Xc ω − kω s( )k=−∞
∞
∑
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Muestreo ideal o uniforme
La señal modulada consiste en una repetición periódica de copias de Xc(ω).
ω ω ω ω
ω
ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω
ω
ω ω ω
ω
ω
ω ω ω ω
S ω( ) = 2πT
δ ω − k 2πT
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k=−∞
∞
∑
Xs ω( ) = 1T
Xc ω − kω s( )k=−∞
∞
∑
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Muestreo ideal o uniforme
si se cumple: la señal analógica se puede recuperar con un filtro ideal paso-bajo. En la frecuencia:
ω s > 2ωN
ω ω ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω
Hr ω( ) = T ω <ω s
20 resto
⎧⎨⎪
⎩⎪Xr ω( ) = Xs ω( )Hr ω( ) = Xc ω( )
ω
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Muestreo ideal o uniforme
La señal recuperada, en el tiempo:
Si no se cumple se produce solapamiento alrededor de la frecuencia ωs/2.
ω s > 2ωN
ω
ω
ω ω ω ω
ω
Xr ω( ) = Xs ω( )Hr ω( )xr t( ) = xs t( )∗hr t( )
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ω ω
ω
ω
ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω
ω
2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Muestreo ideal
Ejemplo de solapamiento:
se produce solapamiento de espectros sin deformación confusión de frecuencias:
xc t( ) = cos ω0t( )
xc t( ) = cos ω0t( )′xc t( ) = cos ω s −ω0( )t( )
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Teorema de Nyquist
Sea una señal limitada en banda:
La señal está completamente determinada por sus muestras: siempre que:
Xc ω( ) = 0, ω >ωN
x n[ ] = xc nT( ) ω s > 2ωN
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Teorema de Nyquist – ejemplo 1
¿Cuál es la mínima frecuencia de muestreo de la siguiente señal sin perder información?
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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo
Teorema de Nyquist – ejemplo 2
¿Qué ocurre si muestreamos el sen(t) a la frecuencia de Nyquist?. Realizar el muestreo en el tiempo y representar las transformadas de Fourier.
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3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Conversión A/D en el dominio del tiempo
Introducimos la conversión t n
Relación E/S en el dominio del tiempo:
Sistema no invariante Demostrar!!
x n[ ] = xc n ⋅T( )
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Conversión A/D en el dominio de la frecuencia
Relación entrada/salida:
xs t( ) = xc nT( )δ t − nT( )n=−∞
∞
∑
X Ω( ) = x n[ ]e− jΩnn=−∞
∞
∑
Xs ω( ) = xc nT( )e− jωTnn=−∞
∞
∑ = 1T
Xc ω − k 2πT
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k=−∞
∞
∑
X Ω( ) = Xs ω( ) ω=ΩT= 1T
XcΩT− k 2π
T⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k=−∞
∞
∑
x n[ ]TF
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
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es una versión escalada de con .
Este escalado hace que , de modo que la señal se transforma en una señal con la periodicidad adecuada…
Esta es la consecuencia de la normalización temporal normalización en la frecuencia.
X Ω( ) Xs ω( ) Ω =ωT
ω =ω s ⇒Ω = 2πX Ω( )
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Conversión A/D en el dominio de la frecuencia
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Ejemplo: Sea una señal , que muestreamos a t = nT:
como corresponde a la relación:
xc t( ) = Acos ω0t( )
x n[ ] = Acos ω0Tn( ) = Acos Ω0n( )
Ω =ωT
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Conversión A/D en el dominio de la frecuencia
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En general, el intervalo de posibles frecuencias es:
Al muestrear introducimos la relación y las frecuencias que podemos representar son:
Si el sistema analógico contiene frecuencias mayores a π / T, se van a convertir en “alias” de las del rango [-π,π] generando ambigüedad.
Ω =ωT
−πT<ω <
πT
−π <Ω < π
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
−∞ <ω < ∞−π <Ω < π
Conversión A/D en el dominio de la frecuencia
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Estrictamente, la relación entre las frecuencias es:
Ω
-π
π
ω ωs ωs/2 -ωs/2
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Conversión A/D en el dominio de la frecuencia
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Representar los espectros de las señales intermedias cuando fs=2,3,5 KHz
cuando:
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Conversión A/D -- Ejemplo
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Conversión D/A– dominio del tiempo
Sistema no invariante
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
xs t( ) = x k[ ]δ t − kT( )k=−∞
∞
∑ xr t( ) = x k[ ]hr t − kT( )k=−∞
∞
∑ =
= x k[ ]sen π t − kT( )
T⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π t − kT( )T
k=−∞
∞
∑Hr(ω)
ω
Hr(ω)
hr t( ) =sen πt
T⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
πtT
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Conversión D/A– dominio del tiempo
en los instantes de muestreo: En el resto interpolación ideal
xr t( ) = x k[ ]sen π t − kT( )
T⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π t − kT( )T
k=−∞
∞
∑
xr mT( ) = x m[ ]
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Hr(ω)
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Conversión D/A – dominio de la frecuencia
Xr ω( ) = Hr ω( )X ωT( )
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Hr(ω)
Xs ω( ) = X ωT( )
Hr(ω)
ω
Xr ω( ) = T ⋅ X ωT( ) ω <πT
0 resto
⎧⎨⎪
⎩⎪
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Ejemplo: representar las TF de las señales intermedias
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Conversión D/A – ejemplo
Hr(ω)
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Conversión A/D y D/A -- ejemplo
Ejemplo: Señal muestreada a diferentes frecuencias
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
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Ejemplo: Señal no limitada en banda
xa t( ) = e−A t
Xa F( ) = 2AA2 + 2πF( )2
Importancia de realizar un pre-filtrado antes de muestrear
3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Conversión A/D y D/A -- ejemplo
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3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Sistema equivalente de tiempo continuo
Limitar en banda la señal para evitar aliasing y ruido aditivo
Hay que ajustar T El sistema puede no ser LTI, ya que los A/D y
D/A no son LTI. Vamos a calcular el sistema equivalente
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3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Sistema equivalente de tiempo continuo
x n[ ] = xa nT( )
X Ω( ) = 1T
XaΩT− k 2π
T⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k=−∞
∞
∑ya t( ) = y k[ ]
k=−∞
∞
∑ ⋅hr t − kT( )
Ya ω( ) = Y ωT( ) ⋅Hr ω( )
Sistema disccreto LTI: Y Ω( ) = X Ω( )H Ω( )
Ya ω( ) = Hr ω( )H ωT( ) 1T
Xa ω − k 2πT
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k=−∞
∞
∑
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3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Sistema equivalente de tiempo continuo
Si la señal es limitada en banda y se muestrea cumpliendo el C. de Nyquist:
El sistema se comporta como un sistema analógico LTI con:
Ya ω( ) = H ωT( )Xa ω( ) ω <πT
0 resto
⎧⎨⎪
⎩⎪
Heff ω( ) = H ωT( ) ω <πT
0 resto
⎧⎨⎪
⎩⎪
Ya ω( ) = Heff ω( )Xa ω( )
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3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Sistema equivalente – diseño de filtros
Realizar un filtrado analógico con un filtro digital:
Depende de Ωc y T. Con un mismo filtro digital podemos conseguir diferentes analógicos modificando T.
Heff ω( ) = H ωT( ) ω <πT
0 resto
⎧⎨⎪
⎩⎪
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3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo
Sistema equivalente -- ejemplo
Ejemplo: representar la TF de yc(t):
a) 1/T1=1/T2=104 b) 1/T1=1/T2=2×104
c) 1/T1 = 2×104, 1/T2= 104
d) 1/T1 = 104, 1/T2= 2×104
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36
4. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto
Simulación de sistemas--dominio de la frecuencia
Hd Ω( ) Hc ω( ) = Hd ωT( ) ω < πT
0 resto
⎧⎨⎪
⎩⎪
Hc ω( ), ω < πT
Hd Ω( ) = HcΩT
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , Ω < π
periodico 2π , resto
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Sist. equivalente
Simulación
Si no está limitado en banda, lo podemos limitar si la entrada está limitada en banda ejemplo.
Hc ω( )
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4. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto
Simulación de sistemas--dominio del tiempo
¿Qué ocurre con las respuestas al impulso? En el tiempo queda la “respuesta al impulso invariante”:
Hc ω( ) → Hd Ω( ) = HcΩT− k 2π
T⎛⎝⎜
⎞⎠⎟k=−∞
∞
∑hc t( ) → hd n[ ] = T ⋅hc nT( )
Hc ω( ), ω < πT
Hd Ω( ) = HcΩT
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , Ω < π
periodico 2π , resto
⎧
⎨⎪
⎩⎪
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4. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto
Simulación de sistemas--ejemplo
Ejemplo de respuesta al impulso invariante:
hc t( ) = sen ω ct( )π t
↔ Hc ω( ) = 1 ω <ω c
0 resto
⎧⎨⎪
⎩⎪
hd n[ ] = sen ω cTn( )πn
↔ Hd Ω( ) =1 Ω <ω cT
0 ω cT < Ω < πperiodica resto
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
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4. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto
Simulación de sistemas--ejemplo
Simular un diferenciador analógico mediante un sistema digital para procesar señales limitadas en banda con ωM = π/T
yc t( ) = dxc t( )dt
Yc ω( ) = jωXc ω( )
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4. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto
Situación complementaria
ω
xc t( ) = x n[ ]k=−∞
∞
∑ ⋅hr t − nT( )
Xc ω( ) = T ⋅ X ωT( ), ω <πT
0 resto
⎧⎨⎪
⎩⎪
y n[ ] = yc nT( )
Y Ω( ) =1TYc
ΩT
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Ω < π
periodico 2π resto
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Y ω( ) = X ω( )H ω( )Sistema continuo LTI:
Heff Ω( ) = HcΩT
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , Ω < π
periodico 2π resto
⎧
⎨⎪
⎩⎪
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ω
4. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto
Situación complementaria
Ejemplo: un sistema discreto:
– si Δ es entero el sistema es un retardo:
– si Δ no es entero, se puede definir mediante un sistema de procesado continuo:
– donde la señal analógica se desplaza: – Finalmente la señal queda:
H Ω( ) = e− jΩΔ Ω < π
y n[ ] = x n − Δ[ ]
Ha ω( ) = e− jωTΔya t( ) = xa t − ΔT( )
y n[ ] = ya nT( )
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