•~

"',

Antes de empezar

Objetivos En esta quincena aprenderás a:

• Comprender que las fuerzas se originan en las interacciones y cuántas surgen en cada una.

• Saber cómo se representan las fuerzas y cómo se suman y restan.

• Conocer las Leyes de Newton. • Conocer la importancia que

tuvieron en el origen y prestigio de la Física y también como columna vertebral de la Mecánica.

• Comprender el Principio de conservación de la cantidad de movimiento.

• Resolver ejercicios de aplicación de las Leyes de Newton, suma de fuerzas, efecto de giro y Conservación de la cantidad de movimiento.

Las Fuerzas 2

2. Composición y descomposición …. pág. 7 Descomposición de una fuerza Suma de fuerzas Resta de dos fuerzas

1. Definición y características ………… pág. 4 Definición y representación Origen Efectos generales Efectos (giros: momento) Medida de F: Ley de Hooke

3. Equilibrio: fuerza equilibrante ….. pág. 9 Fuerzas concurrentes Fuerzas paralelas mismo sentido Fuerzas paralelas sentido opuesto Par de fuerzas

4. Los principios de la Dinámica ……. pág. 14 1ª Ley de Newton 2ª Ley de Newton 3ª Ley de Newton

5. Cantidad de movimiento ……………. pág. 17 Definición Principio de conservación

Ejercicios para practicar................. pág. 20

Para saber más ............................ pág. 21

Resumen ..................................... pág. 22

Mas información y otras actividades..pág. 25

Autoevaluación ............................. pág. 23

2

Antes de empezar

Recuerda

Este tema estudia las fuerzas desde el punto de vista estático y dinámico y complementa el estudio del movimiento desde el punto de vista cinemático. Repasa los conceptos estudiados en Cinemática.

Investiga

Investiga la importancia que históricamente tuvo poder relacionar los movimientos con las causas que las producen (Galileo-Newton: explicación del movimiento de los astros y deducción de que las leyes que rigen los cielos son iguales a las de la Tierra); la unión entre la Geometría y el Álgebra con el establecimiento de ecuaciones de posición realizadas por Descartes, que además aportó su "duda metódica" como método para llegar al conocimiento. Todo esto junto con la experimentación, la expresión matemática de las relaciones entre magnitudes y la comprobación de las hipótesis, dio lugar al nacimiento del "Método Científico" y al desarrollo de las Ciencias.

Las Fuerzas

3

1. Definición y Características

Definición y representación

Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo o de producir en él una deformación.

La fuerza es una magnitud vectorial: se representa por una flecha (vector) y necesitamos conocer no sólo su módulo, sino también su dirección, sentido y punto de aplicación.

Su unidad es el Newton (1kg pesa 9,8 N en un lugar en que la gravedad es 9,8 m/s2). Verás su definición en el apartado de la 2ª Ley de Newton pues es a partir de ella como se define.

Origen

Una interacción entre dos objetos siempre produce dos fuerzas iguales y opuestas, aplicadas una en cada objeto.

Las interacciones pueden ser a distancia como la gravitatoria y la electromagnética o por contacto (como las originadas en un choque).

Representación de la fuerza

Origen: en O

Dirección: la de la flecha

Sentido: el que indica la punta

Módulo o intensidad: 5

Unidad: el Newton

La fuerza peso se origina por la atracción entre la masa de la Tierra y la del cuerpo. En un punto de la Tierra donde los cuerpos caigan con una aceleración de g=9,81 m�s-2 el peso vale: P=m�g=m�9,81 N

Las Fuerzas

Su módulo es la intensidad o valor, su dirección es la del segmento que soporta el vector y su dirección es la que indica la punta de la flecha.

las dos fuerzas de una interacci·n aunque sean iguales no se anulan porque act¼an cada una en un cuerpo diferente.

No se puede saber lo que puede hacer una fuerza sin conocer su valor, donde est§ aplicada y con qu® direcci·n y sentido.

4

Debido a que no se anulan las fuerzas originadas en los choques, porque están aplicadas una en cada objeto, éstos rebotan o se deforman.

Efectos que producen

Las fuerzas producen deformaciones (recuerda sus efectos en muelles, gomas, carrocerías, etc.) y también cambios de velocidad (aceleración).

Una fuerza, cuya dirección de aplicación no pasa por el centro de gravedad de un objeto libre, le produce un giro y una traslación. Si el cuerpo está sujeto por un punto y la dirección de la fuerza aplicada no pasa por ese punto, también girará.

Efectos que producen (giros: momento)

El momento de la fuerza (M) respecto a O, es el vector que expresa la intensidad del efecto de giro con respecto a un eje de rotación que pase por O.

La distancia de F al eje de giro es r. El ángulo a es el que forma la dirección de la fuerza con r. (Podemos tomar en su lugar el ángulo que forma con su prolongación, sen a = sen (180 - a).

Dado que: r · sen α = d; M = F·d

El valor del momento de una fuerza es el producto de la fuerza por la distancia más corta (la perpendicular) desde su dirección al eje de giro. Su dirección es perpendicular al plano formado por F y r y su sentido es el del avance del tornillo que gire con el sentido con que atornilla la F.

La unidad del momento en el S.I. es el N�m.

Las fuerzas

Una fuerza actuando, ya sea durante un tiempo pequeño ("golpe seco" o durante poco recorrido) o durante mucho tiempo, produce una aceleración que cambia el valor de la velocidad y/o su sentido.

5

Cómo medir las fuerzas

Aprovechando la propiedad que tiene la fuerza de producir deformaciones en un muelle podemos construir con él un aparato para medir fuerzas: el dinamómetro. Consiste en un muelle que se estira al colgarle un cuerpo, descubriendo una escala graduada donde se lee el peso correspondiente al cuerpo que produce esa elongación.

Podemos fabricar un dinamómetro "casero" calibrando cualquier muelle con sólo dos pesas de valores conocidos, una de valor bajo y la otra de un valor alto (que casi lleve al muelle a su limite de elasticidad). Las colgamos y anotamos en la pared, en la posición de alargamiento, no la distancia alargada, sino el valor del peso colgado.

Una vez realizadas las marcas, colgando de él cualquier masa comprendida entre los valores de uso, podemos leer el valor de su peso en la escala que hemos fabricado.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dibuja un vector indicando sus características. Escribe las expresiones algebraicas

2. Describe una interacción e indica cómo son, donde están aplicadas las fuerzas que

surgen y sus direcciones. Solución: Ver animaciones en la página web

3. Menciona los efectos que puede producir una fuerza.

4. Halla el momento de una fuerza de 100 N aplicada perpendicularmente a una puerta de ancho 0,9 m. Indica la dirección del momento haciendo un dibujo. Ojo con la dirección de la fuerza. Solución: M = F�d = 100N� 0,9 m� sen 90º = 90 N.m

5. Calcula la constante de un muelle al que una fuerza de 1N lo alarga de 0,3 cm a

1,55 cm Solución: F = k �∆x ; 1 = k�(1,55- 0,3) ; K = 1 / 1,25 = 0,8 N/m

Las Fuerzas

de sus proyecciones sobre los ejes.

6

2. Composición y descomposición

Las Fuerzas

Suma de fuerzas

Si las fuerzas tienen la misma dirección se suman sus módulos sin más (o resta si su sentido es opuesto). La suma resultante representa el efecto combinado de todas las fuerzas y tiene su misma dirección.

Si las fuerzas tienen diferentes direcciones, se sustituyen por sus proyecciones en los ejes. A continuación se suman las componentes del mismo sentido y se restan las de sentido opuesto. Finalmente sólo queda una resultante en el eje x y otra en el eje y, que se componen aplicando el T. de Pitágoras: la hipotenusa da la dirección y el módulo es la fuerza total resultante.

A veces las componentes en un eje se neutralizan.

Otra forma de explicar como se suman las fuerzas concurrentes que tienen diferentes direcciones es aplicando la regla del paralelogramo:

En el extremo de una de las fuerzas se dibuja una paralela a la otra. Se une el extremo de esta fuerza desplazada con el origen de las fuerzas y éste vector será la resultante de las dos. Observa en la escena de la derecha como el efecto de poner una fuerza paralela a continuación de la otra es como sumarle sus componentes.

Regla del paralelogramo para sumar fuerzas

La fuerza ejercida por las dos gomas tiene su componente dirigida entre los dedos.

7

Resta de dos fuerzas

Restar una fuerza de otra es igual a sumarle su opuesta: F1 - F2 equivale a F1 + (-F2).

Por tanto para restar una fuerza de otra, primero hallamos su opuesta (misma dirección pero sentido contrario: los signos de sus componentes son los contrarios) y una vez hallada la sumamos aplicando los métodos vistos en la suma (suma gráfica o sumando las componentes).

Si las dos fuerzas tienen la misma dirección se cambia de sentido la que se debe restar. La resultante es una fuerza de la misma dirección y su módulo es la resta aritmética de los módulos de las dos, su sentido coincidirá con la mayor.

Para restarle varias fuerzas a una fuerza F1 se halla la suma de todas las fuerzas a restar y la resultante se resta de F1 (hallando la opuesta a la resultante y sumándosela a F1)

Una fuerza que se resta siempre es la fuerza de rozamiento que se opone siempre a la fuerza de tracción que marca la dirección del movimiento.

Resta F1 – F2

Ejercicios:

Realiza en la página web los ejercicios interactivos que te permitirán comprender mejor la resta de dos fuerzas.

Las Fuerzas

Descomposición de una fuerza

Resulta útil para resolver muchos problemas descomponer una fuerza en otras dos en la dirección de los ejes de coordenadas, cuyos efectos sumados sean iguales a la propia fuerza.

Las proyecciones sobre los ejes son sus componentes. Aplicando la definición de seno al ángulo que forma el vector con el eje x (en un triángulo rectángulo el seno es el cateto opuesto al ángulo dividido por hipotenusa), y de coseno, podemos calcular las componentes:

Fx = F� cos αααα ; Fy = F� sen αααα

Conocidas las componentes de F sobre los ejes, no sólo conocemos la orientación (el ángulo con el eje x define su dirección), sino que podemos hallar su módulo por medio del Teorema de Pitágoras.

8

EJERCICIOS RESUELTOS

6. Halla el ángulo formado con el eje de las x por una fuerza de módulo 3,2 si su componente en el eje de las x es 2,2 Solución: cos a = Fx / F : a = a cos (Fx /F) ; a = a cos ( 2,2/3,2) = 50º

7. Halla la suma de tres fuerzas en el plano, F1 (-3, 4), F2 (6,-3), F3 (-1, 4)

Solución: Sumando entre sí las primeras componentes y también entre sí las segundas

obtenemos una resultante R = (-3+6-1, 4-3+4) = 2,5

8. Halla la diferencia F1- F2 siendo F1 (4,-3) y F2 (-2,4) Solución: Para efectuar la resta, vamos a sumar a F1 la opuesta a F2. Para hallar la opuesta cambiamos de signo sus componentes. R = F1- F2 = F1 + (-F2) R = (4,-3) + (2,-4) = (6, -7)

3. Equilibrio: fuerza equilibrante

Fuerzas concurrentes

Dos fuerza concurrentes se suman tal como vimos en el apartado de composición de fuerzas. Si existen más de dos fuerzas, se hallan las proyecciones sobre los ejes de todas y se suman aritméticamente estas componentes. Se aplica el T. de Pitágoras a estas resultantes tomadas como catetos. La hipotenusa será la resultante final (define su dirección, módulo y sentido).

Para neutralizar todas las fuerzas concurrentes aplicadas en un punto de un sólido rígido, sólo debemos aplicar en ese punto una fuerza de igual valor y opuesta a la resultante: Fequilibrante. Entonces, si la suma de todas las fuerzas incluida la resultante es igual a cero no hay desplazamiento:

F1+F2+F3 + Fequilib. =0; No hay desplazamiento.

Si el sólido en el que actúan las fuerzas es un punto, no hay giro. (M= F�d, porque d= 0 ; M= 0).

Al estar reducidas las dimensiones del cuerpo un punto, no existe distancia desde la dirección de la fuerza resultante de todas al eje de giro: d=0. Por lo tanto el momento de las fuerzas será cero.

Fuerzas concurrentes

Ejercicios:

Realiza en la página web ejercicios gráficos para ver como se halla la resultante y la fuerza equilibrante

Las Fuerzas

9

Fuerzas paralelas de igual sentido

La fuerza resultante es una fuerza, FR, de:

• Intensidad (módulo) suma de los módulos de F1 y F2.

• Dirección paralela a F1 y F2 • Sentido el de las fuerzas. • Punto de aplicación situado en el segmento que

une los puntos de aplicación de F1 y F2 y lo divide en dos partes, x1 y x2, inversamente proporcionales a los módulos de F1 y de F2 (la fuerza mayor está al lado del segmento menor).

La fuerza que las equilibra es igual y opuesta a la fuerza resultante (Fequilibrante= -FR)

Fuerzas paralelas de sentido opuesto

La fuerza resultante es una fuerza, Fr, de:

• Intensidad (módulo) diferencia de los módulos de F1 y F2.

• Dirección paralela a F1 y F2 • Sentido el de la fuerza mayor. • Punto de aplicación situado en la prolongación

del segmento que une los puntos de aplicación de F1 y F2. Su distancia a éstas es inversamente proporcional a los módulos de F1 y F2 (fuera del segmento de unión y del lado de la fuerza mayor).

La fuerza que las equilibra es igual y opuesta a la fuerza resultante (Fequilibrante= - Fr).

La fuerza resultante neutraliza la traslación y el giro del cuerpo sobre el que actúan las fuerzas.

Fuerzas paralelas de igual sentido actuando sobre una roca.

1. Hallar la F resultante

2. Hallar la F equilibrante

Fuerzas paralelas de distinto sentido actuando sobre una roca.

1. Hallar la F resultante

2. Hallar la F equilibrante

Las Fuerzas

10

Par de fuerzas .

Un par de fuerzas lo forman dos fuerzas paralelas, separadas por una distancia, de igual intensidad y dirigidas en sentido contrario.

La fuerza resultante de un par es cero (F1- F2= 0) y, por lo tanto, no pueden ser neutralizados sus efectos por una única fuerza porque, al añadir esa fuerza, la suma de fuerzas que antes era cero no lo sería ahora. Se requiere otro par para neutralizarlo.

Al girar el volante con las dos manos, tirando con igual fuerza con las dos y en paralelo, ejercemos un par de fuerzas.

Ejercemos un par de fuerzas al apretar con una llave fija o una llave inglesa por la forma en que actúan sobre la cabeza del tornillo. A veces interesa saber el par que estamos ejerciendo para no pasarnos apretando y para eso existen las llaves dinamométricas que aprietan justo hasta el valor fijado previamente.

Al tirar tangencialmente con una sola mano de un volante se origina en eje situado en el centro del volante una fuerza igual y opuesta que impide su desplazamiento. Esta fuerza junto con la de tracción origina un par de fuerzas. La distancia entre ellas es el radio del volante

El par motor en los automóviles indica el valor del par de fuerzas implicadas en el giro que transmite a las ruedas. Cada motor alcanza un par máximo a unas revoluciones por minuto determinadas (altas siempre).

Si se multiplica el valor del par máximo por la velocidad angular de giro (medida en rad/s) a las que el motor alcanza ese par, ese producto indica la potencia del motor en watios.

Potencia = Par motor (N�m)�Velocidad angular (rad/s)

Par de fuerzas y su momento

Llave dinamométrica

Las Fuerzas

11

EJERCICIOS RESUELTOS

9. Halla la fuerza equilibrante de las tres siguientes: F1 (2,9, 4,3); F2 (3, -1); F3 (-1, 2).

Solución: La suma es R= (4,9, 5,3) se suman las componentes sobre los ejes. La fuerza equilibrante es la opuesta a la resultante Feq= (-4,9, -5,3)

10. Hallar la fuerza equilibrante de dos fuerzas de 0,5 N y 1,5 N del mismo sentido aplicadas al extremo de una barra de 5 m y su punto de aplicación.

Solución: Hallamos primero la resultante porque la F equilibrante es su opuesta. Para que no exista traslación F1 + F2 + Feq = 0; la suma de las tres debe dar

el equilibrio de traslación: R = F1 +F2 = 0,5 +1,5 = 2N en la dirección de F1 y F2.

La Fuerza equilibrante es 2 N en sentido opuesto. El punto de aplicación se halla para que ΣM=0. Tomamos momento en el

punto en que debe estar aplicada la fuerza equilibrante: a una distancia x de F2 el giro que originaría F1 estará contrarrestado con el que originaría F2:

F2�X –F1 (d-x) = 0 ; 0,5�x -1,5�(5-x) = 0 Resolvemos la ecuación y x = 3,75 M

Las Fuerzas

12

EJERCICIOS RESUELTOS

11. Halla la fuerza equilibrante y su punto de aplicación, de dos fuerzas F2 = -1,5 N y F1 = 3,5 N de distinto sentido aplicadas al extremo de una barra

de 2m de longitud. Solución: Hallamos primero la resultante porque la F equilibrante es su opuesta. Para que no exista traslación F1 +F2 + Feq = 0. La suma de las tres debe dar

el equilibrio de traslación: R = F1 +F2 = 3,5-1,5 = 2 N en la dirección de F1 La Fuerza equilibrante es 2 N en sentido opuesto. El punto de aplicación se halla para que Σ M=0. Tomamos momento en el

punto en que debe estar aplicada la fuerza equilibrante: a una distancia x de F2 el giro que originaría F1 estará contrarrestado con el que originaría F2:

F1 �X –F2 (d+x)= 0 ; 3,5�x -1,5�(2+x)= 0 Resolvemos la ecuación y x = 1,5 M

12. Halla el momento del par de fuerzas de módulo 2,33 N separadas por 1,22 m y la fuerza equilibrante.

Solución: El momento del par de fuerzas es M = F�d = 2,33�1,22 = 2,84 N�m El efecto de giro del par no se puede neutralizar con una sola fuerza, se

requiere otro par que ejerza un momento igual en sentido contario. Solución: no existe una única fuerza equilibrante.

Las Fuerzas

13

4. Los principios de la Dinámica

1ª Ley de Newton (ley de la inercia)

En ausencia de fuerzas externas un cuerpo permanece en reposo si su velocidad inicial es cero. Si tiene velocidad inicial se mueve con movimiento rectilíneo uniforme, manteniendo su velocidad constante, mientras no actúen fuerzas sobre él.

La inercia expresa la tendencia de un cuerpo a mantenerse en el estado en que está. Si está en reposo y no actúan fuerzas sobre él, continúa en reposo.

Biografía de Newton

Isaac Newton (1642 - 1727). Físico, matemático, astrónomo inglés, hijo póstumo y prematuro, delicado, con una gran habilidad manual y soltero empedernido, es uno de los más grandes genios de la humanidad. Su mayor mérito fue demostrar que las leyes físicas que se cumplen en la Tierra también se cumplen en los "cielos": en su libro "Principios matemáticos de la filosofía natural" describió la Ley de la Gravitación Universal que lo explica y demuestra (las fuerzas que gobiernan todo el Cosmos son debidas a la atracción de las masas).

También estableció las bases de la Física Clásica mediante las tres leyes que llevan su nombre. Al establecer las Leyes de la Dinámica y completar la relación de fuerzas y movimientos, logra explicar que le pasará en el futuro a un cuerpo sabiendo las condiciones iniciales y las fuerzas que actúan sobre él durante ese tiempo. ¡Por primera vez se podía predecir el futuro! Los astrónomos y los físicos de la NASA saben que un cohete lanzado con un ángulo determinado llegará a la Luna y donde impactará pese a estar moviéndose la Tierra y la Luna. Los "astrólogos", saben poco y, aunque vaticinan sobre lo divino y lo humano, sólo aciertan por puro azar.

Isaac Newton

Las Fuerzas

14

La peste bubónica de 1665 originó un "bien colateral" al obligar a cerrar Cambridge y a que el joven Newton de 22 años se dedicara a pensar en su aldea de Woolsthorpe. Como ya había aprendido a aprender solo, fue en tres años maravillosos, que empezaron un poco antes de ese retiro y continuaron casi un año más, cuando se le ocurrió todo lo que desarrollaría después: binomio de Newton, cálculo diferencial, cálculo integral, teoría del color, teoría de la Gravitación Universal, etc. Además, consolidó la forma de investigar mediante la aplicación del Método Científico iniciado por Galileo.

2ª Ley de Newton

La fuerza aplicada a un cuerpo modifica su velocidad tanto más cuanto más tiempo se aplique. La a expresa el cambio de v.

El vector aceleración tiene la misma dirección que la fuerza.

La segunda Ley de Newton nos proporciona la respuesta al problema de saber cuál debe ser la fuerza necesaria para lograr un movimiento con una determinada aceleración: una fuerza produce siempre una aceleración cuando está actuando sobre un cuerpo.

La fórmula que expresa la segunda Ley de Newton constituye la fórmula principal de la dinámica, rama de la física que relaciona el movimiento con las causas que lo producen

Unidad de Fuerza

La unidad de fuerza en el S.I. es el Newton y se define a partir del 2º Principio de la dinámica.

1 N es la fuerza que al mantenerla aplicada sobre una masa de 1 kg le produce una aceleración de 1 m/s2 (incrementa su velocidad en 1 m/s cada segundo).

Tumba de Newton

Efecto de la fuerza

La fuerza, representada de rojo, cambia la velocidad de valor y de dirección

Las Fuerzas

Por tanto. 1 N = 1 kg �1 m/s2

15

3ª Ley de Newton

Al interaccionar dos partículas, la fuerza F1/2 que la primera ejerce sobre la segunda es igual y opuesta a la fuerza F2/1 que la segunda ejerce sobre la primera, estando ambas sobre la recta que las une.

Se escribe F1/2 para indicar la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el 2 y F2/1 para indica la fuerza que el cuerpo 2 ejerce sobre el 1. Son iguales y opuestas.

Características de las fuerzas de Acción - Reacción

• Surgen de una interacción. • Nunca aparece una sola: son dos y

simultáneas. • Actúan sobre cuerpos diferentes: una en cada

cuerpo. • Nunca forman un par de fuerzas: tienen la

misma línea de acción. • Un cuerpo que experimenta una única

interacción no está en equilibrio (Σ F #0), pues sobre él aparece una fuerza única que lo acelera. Para estar en equilibrio se requieren por lo menos dos interacciones.

Ejemplo de fuerzas de acción y reacción que se crean en la interacción de la pelota con la mesa al impactar. (Ver animación en la página).

Al impactar una pelota en la mesa, y mientras dura el impacto, aparecen las dos fuerzas iguales, opuestas y de sentido contrario, aplicadas en los objetos que interaccionan: una aplicada en la mesa y la otra en la pelota.

Ley de acción y reacción

Al empujarse se crean dos fuerzas iguales aplicadas en el hombre y en el niño

Las Fuerzas

16

EJERCICIOS RESUELTOS

13. ¿Qué dirección seguirá una piedra que gira sujeta por el cuero de una honda en el momento en que el hondero suelta una de las partes de la correa?

Solución: Sale tangencialmente a la trayectoria (consultar la animación del 1er principio de la Dinámica).

14. Halla la aceleración que experimenta un bloque de 500 g de masa apoyado en una superficie horizontal que lo frena con una fuerza de 3 N al aplicarle una fuerza de 9 N.

Solución:

Aplicamos F= m�a; sabiendo que en realidad esa fórmula es ΣF = m�a. La suma de los efectos de todas las fuerzas debe comunicarle una aceleración.

Otra condición para que la utilización de la fórmula sea correcta es que estén sus unidades en el mismo sistema de unidades (usamos el S.I). En este caso la masa debemos expresarla en kg.

M=500 g = 0,5 Kg

ΣF =m�a: 9 - 3 = 0,5� a Despejando: a= 12 m�s-2

15. Al caer sobre una mesa una pelota la golpea. ¿Qué dirección y sentido tiene la fuerza con que la pelota golpea la mesa? ¿Qué otras fuerza surgen? ¿Dónde están aplicadas y cual es su valor con respecto a la que se ejerce sobre la mesa?

Solución:

En la interacción del choque surgen dos fuerzas iguales y opuestas una aplicada sobre la mesa y otra, igual y opuesta, aplicada en la pelota. Éstas fuerzas existen durante el tiempo en que la pelota y la mesa están en contacto.

5. Cantidad de movimiento

Definición de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento o momento lineal, p, de un objeto en movimiento se define como:

P es un vector que tiene la misma dirección de v.

El concepto es importante porque combina dos magnitudes que intervienen en el cambio de movimiento que produce la fuerza: la masa, que refleja la tendencia del cuerpo a permanecer como está (inercia), y la velocidad.

Se define incremento de p como: ∆p = m·∆v

La llamada “cuna de newton” es un ejemplo de la conservación de la cantidad de movimiento.

Sean del tipo que sean, en los choques, siempre se conserva la cantidad de movimiento.

Las Fuerzas

17

El Impulso mecánico (I = F·t) equivale al incremento de p, ∆∆∆∆p. Es decir, una fuerza actuando un tiempo t sobre un objeto origina un incremento en su cantidad de movimiento.

--------------F�t = m�∆∆∆∆v

Conservación de la cantidad de movimiento

En ausencia de fuerzas externas la suma de la cantidad de movimiento de los cuerpos que intervienen en un choque no varía:

(Pantes= Pdespués).

Dos partículas de masa mA y mB que se mueven con VA y VB chocan. Sus masas se conservan igual y su cantidad de movimiento total también. Aplicando la definición de cantidad de movimiento, tenemos que antes del choque la suma de las dos (debemos tener en cuenta en esta suma la dirección de la velocidad que puede ser negativa o positiva según vaya hacia la izquierda o a la derecha) cantidades es igual a la suma de las dos después del choque.

Pantes= mAVA+ mBVB ; Pdespués= mAV´A+ mBV´B

Pantes= Pdespués

mAVA + mBVB= mAV´A+ mBV´B

mAVA -mAV´A= - (mBVB- mBV´B ) fórmula (I)

La variación de la cantidad de movimiento de A es:

∆pA = mAVA- mAV´A; sustituyendo en la fórmula (I)

∆pA= - ∆pB fórmula (II)

Esta expresión matemática expresa que, en la interacción de A con B, lo que aumenta la cantidad de movimiento de A es igual a lo que disminuye cantidad de movimiento la de B.

La fórmula anterior no es más, como vemos por la demostración, que una consecuencia de que:

= Pdespués

Cantidad de movimiento de dos bolas antes del choque.

Cantidad de movimiento de dos bolas después del choque. Observa que lo que aumentó la cantidad de movimiento de una es igual a lo que disminuyó la de la otra.

Las Fuerzas

Pantes

18

EJERCICIOS RESUELTOS

16. Una escopeta de 2 kg dispara cartuchos que contienen 100 perdigones de 0,5 g cada uno con una velocidad de 300 m/s. ¿Cuál será la velocidad de retroceso del arma?

Solución: Pasamos todos los datos a unidades del S.I.: masa perdigones=100�0,5 =50 gramos = 0,05 kg : Vperdigones = 300 m/s ; Mescop = 2 kg

No intervienen fuerzas externas al sistema. En realidad actúan el peso y la fuerza de la explosión y las dos son internas al sistema. Por lo tanto se conserva la cantidad de movimiento: P antes de la explosión = P después

P antes = 0;

La velocidad hacia la derecha la consideramos positiva y hacia la izquierda negativa. Los perdigones salen disparados hacia la derecha y la escopeta retrocede hacia la izquierda.

0 = Mp � Vp – Me � Ve; 0 = 0,05�300- 2�Ve

Ve = 7,5 m/s

17. Un cañón dispara un proyectil de 2000 g de masa que por su boca van a una

velocidad de 432 km/h. Considerando que la fuerza expansiva mantiene un valor constante mientras la bala recorre el cañón y tarda 0,06 segundos en salir calcula:

a) Aceleración en el interior del cañón. b) Fuerza media en el interior. c) Impulso que sufre la bala en el interior.

Solución: Unidades en el S.I

Masa bala=Mb =2000g � 1 kg/1000g = 2 kg

Velocidad bala =Vb = 432 km/h � 1000 m/ 1km� 1h/3600 s =432 /3,6 = 120 m/s

a) La bala acelera a = ∆v / t = (120-0) /0,06 = 2.000 m�s-2 (aceleración enorme)

b) Se trata de un impulso de los gases sobre una masa. Aplicamos la definición de impulso:

F�t = m� ∆v ; F�0,06 = 2� (120-0) ; despejando F = 4.000 N

c) Impulso es F�t ; por lo tanto 4.000� 0,06 = 240 N�s

Las Fuerzas

19

Para practicar

1. Halla la suma de tres fuerzas F1 (-1,3) F2 (5,-3) F3 (-1,4) y el módulo de la resultante.

2. Halla las componentes según los ejes de una fuerza de 10 N que forma 30º con el eje de las x. Nota: la calculadora debe estar en degre.

3. Halla la diferencia de F1– F2, siendo F1 (4,-3) y F2 (-2,3).

4. Halla la fuerza necesaria para alargar 2 cm la longitud inicial de un muelle de constante elástica k= 400 N/m.

5. Halla la resultante y su punto de aplicación de dos fuerzas de 12 y 3 N aplicadas en los extremos de una barra de 5m.

6. Un padre soporta 3 veces más carga que su hijo. En qué punto de una barra de 1 m debe colgarse una masa de 80 kg. Nota: peso = m�g = (m kg�9,8 m/s2) N.

7. Una fuerza de 2 N está aplicada en el extremo de una barra de 6m y a 1m de ella se aplica sobre la barra otra fuerza de 3 N paralela a ella y de sentido contrario. ¿Qué fuerza debemos aplicar y dónde?

8. Un objeto se mueve sin rozamiento sobre una pista de hielo con una velocidad de 3m/s ¿Qué fuerza debemos aplicar para mantener esa velocidad? ¿En qué dirección?

9. Una fuerza de tracción paralela al suelo de 60 N debe vencer un rozamiento de 10 N cuando arrastra un bloque de 50 kg sobre una superficie horizontal ¿Qué aceleración le comunica? ¿Qué distancia recorre si la fuerza permanece aplicada 4 s sobre el cuerpo e inicialmente éste estaba en reposo sobre la superficie horizontal?

10. Una fuerza de frenada actúa sobre un coche de 800 kg haciendo pasar su velocidad de 90 km/h a 18 km/h en 20 s a) ¿Qué distancia recorre?

b) ¿Cuánto vale la fuerza?

11. Un conductor empuja con una fuerza

de 400 N su coche averiado de 1000 kg por una carretera horizontal durante 60 s ¿Qué velocidad adquiere al cabo de ese tiempo?

12. Un camión de 18 toneladas pasa de 36 a 72 km/h en 20 s. ¿Cuánto varió su cantidad de movimiento? ¿Qué fuerza (supuesta constante) ejerció el motor?

13. Una pelota de 50g impacta con una velocidad de 3 m/s sobre una mesa y rebota con la misma velocidad. Si el impacto dura 0,01 s ¿cuanto vale la fuerza ejercida sobre la pelota?

14. Un cañón que dispara una bala de 1 kg la hace salir por su boca con una velocidad de 300 m/s permaneciendo en su interior 0,1 s. Calcula:

a) La variación de la cantidad de movimiento de la bala.

b) La fuerza media de los gases.

c) El impulso de los gases de explosión.

15. Calcula la velocidad de retroceso de un fusil de 2,5kg que dispara una bala de 20 g con una velocidad de 200m/s

16. Dos bolas que se desplazan sobre una superficie sin rozamiento chocan y al retroceder una recorre, en 1 minuto, cuatro veces mas distancia que la otra. ¿Cuál es la relación entre sus masas?

Las Fuerzas

20

Para saber más

La 2ª Ley lo explica todo

Casi todos los conceptos estudiados en el tema los sintetiza la 2ª Ley de Newton.

F= M�a; F = M�∆v / t Deducimos la expresión de Impulso y Cantidad de movimiento escribiendo de otra manera la fórmula F = M�a Sustituyendo el valor de a, de la forma F = M�a pasamos a la F� t = M�∆v y a F� t = ∆P que constituyen la definición del Impulso y de la Cantidad de movimiento. Deducimos el Principio de Conservación: La cantidad de movimiento antes es igual a la de después del evento (choque, etc.), si ΣFext = 0 Si la ΣFext = 0 (suma de fuerzas externas nula) en la expresión del impulso tenemos: 0� t= M� ∆v ; O sea ∆P= 0. Y por lo tanto: Pdespués - Pantes = 0 Deducimos el Principio de inercia: Si Σ F ext= 0 y la velocidad inicial tiene un valor, por ser Fext= 0, por del Principio de Conservación: Pantes= Pdespués tenemos, M�Vo = M�VF . Si Vo= 0 entonces VF = 0. El cuerpo que estaba en reposo, sigue en reposo (lo que constituye el Principio de Inercia). Si la velocidad inicial tiene un valor, la VF tendrá el mismo valor. El cuerpo sigue con la misma velocidad en valor dirección y sentido (Principio de Inercia).

El burro desanimado

Sabía el animal (más por animal que por burro) que, por la 3ª Ley de Newton, la fuerza con la que iba a tirar del carro era igual a la que el carro tiraría de él. Entonces, ¿por qué tirar? Mira esta animación y descubrirás los errores del animal. La solución está en las distintas interacciones. Comprueba en la animación las fuerzas de interacción.

Aparecen interacciones entre el suelo y las pezuñas del animal que generan dos fuerzas: una aplicada sobre el suelo y otra sobre la pezuña que lo impulsa. Al mismo tiempo entre el carro y el burro aparece otro par de fuerzas: la aplicada sobre el animal es aquella con la que el carro tira de él. Si la fuerza que ejerce con las pezuñas es mayor que la fuerza con la que el carro tira de él, el animal avanzará.

Las Fuerzas

21

Recuerda

lo más importante

Las fuerzas

Son vectores y, para poder utilizarlas, debemos conocer su módulo, dirección y sentido, y su punto de aplicación. Se suman aplicando la regla del paralelogramo. El módulo de la suma no es la suma aritmética de los módulos de los sumandos.

Equilibrio de fuerzas

Las Fuerzas

22

1. Calcula el momento de una fuerza de 92 N, aplicada, formando un ángulo de 20º con el plano de una puerta de 100 cm de ancha, en su borde más alejado del eje.

2. Halla las componentes de una fuerza de 83 N cuando forma un ángulo de 35º con el eje de las x.

3. Calcula la constante de un muelle al que una fuerza de 142 N le produce una elongación de 7 cm.

4. Calcula el módulo de la fuerza F (10, 3)

5. Dos fuerzas de 6 y 15 N paralelas del mismo sentido, aplicadas a una barra distan entre si 11 cm. ¿Cuánto vale la resultante? ¿A qué distancia está de la fuerza de 6 N?

6. Calcula las componentes de la suma de las fuerzas F1 (3,-8) F2 (-7,-2) y F3 (3, 2).

7. Dos fuerzas paralelas y de sentido opuesto de 10 N están aplicadas a los extremos de una barra de 0,5 haciéndola girar. ¿Cuál es su momento?

8. Una fuerza de 10 N se mantiene aplicada durante 4s a una masa de 22900 g que tiene una velocidad inicial de 5 m/s. ¿Cuál será su velocidad final? ¿Cuál es su aceleración?

9. Halla la fuerza que aplicada continuamente a una masa de 15 kg durante 6 s hace pasar su velocidad de 10 a 25 m/s

10. Calcula la velocidad de retroceso de un fusil de 4 kg que dispara una bala de 3 g con una velocidad de 100 m/s.

Las Fuerzas

Autoevaluación

23

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) R (3 ,4); b) M=5

2. Fx = 8,66 N; Fy = 5 N

3. R (6, -6)

4. F = 8 N

5. M =105,6 Nm

6. A 0,25m del padre

7. F=1 N a 3m de la de 2 N y en su sentido

8. Ninguna,

9. a) a= 1 m�s-2

b) d = 8m

10. a) d= 300m

b) F= 800N

11. V= 24 m/s

12. a) ∆p= 170.000kg�m/s

b) F= 9.000 N

13. F= 30 N

14. a) ∆p= 300 kg�m/s

b) F= 3000 N

c) I= 300 N�s

15. Vr = 1,6 m/s

No olvides enviar las actividades al tutor �

Las Fuerzas

Soluciones AUTOEVALUACIÓN

1. M = 31,4 N�m

2. Fx = 68,0 N; Fy = 47,5

3. k = 2028,5 N/m

4. Módulo = 10,4

5. R= 21N; P.a. a 7,85 de la de 6 N

6. Fx = -1; Fy = -8

7. –5 N�m

8. Vf = 6,7 m/s; a= 0,43 m�s-2

9. F = 37.5 N

10. Vr = 0,07 m/s

24

LAS FUERZAS Y EL MOVIMIENTO

DINÁMICA: Es la parte de la Física que estudia las fuerzas como productoras de movimientos. FUERZA: Es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo o de deformarlo. Las fuerzas pueden ser interiores o exteriores.

· Fuerzas interiores. Son aquellas que se ejercen entre partes de un mismo cuerpo o sistema. Ejemplo. La fuerza que hace que un muelle recupere su forma después de estirarlo.

· Fuerzas exteriores. Son aquellas que se ejercen entre cuerpos o sistemas diferentes.

Ejemplo. La fuerza que una persona hace al empujar un libro sobre una mesa. Las fuerzas que se producen entre los cuerpos pueden actuar a distancia o por contacto entre ellos. Ejemplos: a. Fuerzas a distancia son la atracción gravitatoria de los cuerpos en el Universo, atracción repulsión entre cargas o entre imanes… b. Fuerzas por contacto es la fuerza que hace un caballo tirando de un carro, una cuerda sujetando un objeto, la fuerza con que el suelo responde a un cuerpo apoyado en él,…

CARÁCTER VECTORIAL DE LAS FUERZAS. Las fuerzas son magnitudes vectoriales, por lo tanto, se representan mediante vectores. Para definirlas hay que conocer su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.

FUERZAS Y DEFORMACIONES: LEY DE HOOKE Ley de Hooke “ En todo cuerpo elástico se cumple dentro de ciertos límites, denominados límites de elasticidad, que la deformación producida es directamente proporcional al valor de la fuerza deformadora ” Matemáticamente se expresa: L0 F = K . ( L L0 ) = K . L L F = K . L F = Fuerza aplicada K = constante del muelle L = deformación = L L0 F L0 = longitud inicial del muelle L = longitud del muelle al aplicarle una fuerza F

Ejercicio 1. Un muelle tiene una constante K = 2500 N/m. Al aplicar sobre él una fuerza de 400 N alcanza una longitud de 60 cm. ¿Cuánto mide el muelle cuando no actúa ninguna fuerza?

Solución: F = K . L; 400 = 2500. L; L = 400/2500 = 0,16 m

25

TEMA 2. Dinámica y Gravitación. FÍSICA Y QUÍMICA. 4º ESO. _______________________________________________________________________________

Página 2

L = L L0; 0,16 = 0,6 L0 ; L0 = 0,6 0,16 = 0,44 m = 44 cm. Ejercicio 2. Un muelle alcanza una longitud de 35 cm si tiramos de él con una fuerza de

225 N Si tiramos con una fuerza de 420 N, la longitud es de 48 cm. ¿Cuánto mide cuando no actúa ninguna fuerza? ¿Cuál es el valor de la constante K del muelle? ¿Cuánto medirá el muelle al actuar sobre él una fuerza de 300 N?

Solución: F = K. L = K. (L L0) ; F1 = K (L1 L0); 225 = K . (0,35 L0); K = 225 /(0,35 L0) F2 = K (L2 L0); 420 = K . (0,48 L0); K = 420 /(0,48 L0) 225 420 225. (0,48 L0) = 420. (0,35 L0) ----------- = ------------; 225. 0,48 225. L0 = 420. 0,35 420. L0 0,35 L0 0,48 L0 108 225. L0 = 147 420. L0; 420 L0 225 L0 = 147 108; 195 L0 = 39 ; L0 = 39 / 195 = 0,2 m = 20 cm. 225 225 225 K = ----------- = ------------ = -------- = 1500 N/m. 0,35 L0 0,35 0,2 0,15 F3 = K. (L3 L0); 300 = 1500. (L3 0,2); 300 = 1500 L3 1500. 0,2 300 = 1500 L3 300; 300 + 300 = 1500 L3; L3 = 600/1500 = 0,4 m. = 40 cm.

Ejercicio 3. Responde a los siguientes apartados: a) Un muelle mide 30 cm cuando sobre él no actúa ninguna fuerza. Si la constante K =

2000 N/m, ¿cuánto medirá el muelle si tiramos de él con una fuerza de 200 N? b) Un muelle alcanza una longitud de 40 cm si tiramos de él con una fuerza de 195 N; si

lo hacemos con una fuerza de 390 N, la longitud es de 55 cm. ¿Cuánto mide cuando no actúa ninguna fuerza? ¿Cuál es el valor de la constante del muelle?

Solución: a) 40 cm. b) 25 cm; 1.300 N/m.

MEDIDA DE FUERZAS

Basándonos en la ley de Hooke podemos medir fuerzas. Cuanta mayor sea la fuerza mayor será la deformación del muelle, es decir su alargamiento:

kxlkF F (N)

Pendiente = k =constante elástica del muelle (N/m) Alargamiento (m) Los aparatos que se utilizan para medir fuerzas se llaman dinamómetros. Existen diversos tipos, es muy frecuente el uso de los de muelles.

26

COMPOSICIÓN DE FUERZAS Componer un sistema de fuerzas es hallar una única fuerza llamada resultante que produzca el mismo efecto que las componentes. En la composición de fuerzas se pueden presentar los siguientes casos:

1) Fuerzas con la misma dirección.

2) Fuerzas con direcciones paralelas.

3) Fuerzas angulares.

1. FUERZAS CON LA MISMA DIRECCIÓN Si tienen el mismo sentido, la resultante es otra fuerza de la misma dirección y sentido y

cuyo módulo es igual a la suma de los módulos de las componentes.

Ejemplo. F1 = 4 N F2 = 7 N R = 11 N Si son de sentidos opuestos, la resultante es otra fuerza de la misma dirección, sentido el de la mayor y cuyo módulo es la diferencia de los módulos de las componentes. Ejemplo. F1 = 7 N F2 = 3 N R = 4 N 2. FUERZAS CON DIRECCIONES PARALELAS Si tienen el mismo sentido, la resultante es una fuerza paralela a ellas y del mismo

sentido. Su módulo es igual a la suma de los módulos. Su punto de aplicación está entre ambas fuerzas cumpliendo:

A O B F1 F1 . OA = F2 . OB F2 R R = F1 + F2

27

Ejercicio 4. Calcula la resultante y la posición del punto de aplicación de la resultante de dos fuerzas paralelas si tienen el mismo sentido y cuyos valores son de 20 N y 80 N La distancia entre los puntos de aplicación de las dos fuerzas es de 4 m.

Solución: A O B R = F1 + F2; F1 . OA = F2 . OB d 1 d 2 F1. d 1 = F2. d 2; R = 20 + 80 = 100 N F1 = 20 N F2 = 80 N F1. d 1 = F2. d 2 20 d1 = 80 d2 d1 = 3,2 m. R = 100 N d 1 + d 2 = 4 d 1 + d 2 = 4 d2 = 0,8 m. Si tienen sentidos opuestos, la resultante es una fuerza paralela a ellas, de sentido el de

la mayor y cuyo módulo es igual a la diferencia de los módulos. Su punto de aplicación es exterior a ambas y cumple:

F2 O A B F1 . OA = F2 . OB R F1 R = F1 F2

Ejercicio 5. Calcula la resultante y la posición del punto de aplicación de la resultante de dos fuerzas paralelas si tienen sentidos opuestos y cuyos valores son de 60 N y 20 N La distancia entre ellas es de 5 m.

Solución: F1 = 60 N R = F1 F2 = 60 20 = 40 N F1 . OA = F2 . OB ; F1. d1 = F2 . d2 R = 40 N F1. d1 = F2 . d2 60 d1 = 20 d2 A B O d2 = d1 + 5 d2 = d1 + 5 d1 5 m d2 F2 = 20 N d1 = 2,5 m. ; d2 = 7,5 m.

3. FUERZAS ANGULARES

La resultante de dos fuerzas F1 y F2 angulares se obtiene gráficamente mediante la formación de un paralelogramo cuyos lados coinciden con las fuerzas. El valor de la resultante R es la diagonal del paralelogramo. F1 R F2 Cuando hay varias fuerzas, podemos componer dos de ellas, después la resultante de esta composición con la tercera fuerza, y así sucesivamente hasta obtener la resultante final.

28

22

21

22

21

2

FFR

FFR

También se puede calcular la resultante de un conjunto de fuerzas por el método poligonal, que consiste en colocar una fuerza, a continuación otra y así hasta poner la última. La resultante se obtiene uniendo el origen de la primera con el extremo de la última. F1 F1 F1 F2 F2 F2 R R F3 F3 F3 Si tenemos dos fuerzas de direcciones perpendiculares, el cálculo numérico del módulo de la resultante resulta sencillo. F1 R F2

Ejercicio 6. Halla el módulo de la resultante de dos fuerzas perpendiculares de 5 y 10 N, respectivamente.

Solución:

F1 = 5 N R R = F12 + F2

2 = 52 + 102 = 125 = 11,18 N F2 = 10 N

Ejercicio 7. Halla el módulo de la resultante del siguiente sistema de fuerzas. F1 = 6 N F2 = 7 N F3 = 10 N F4 = 15 N Solución: El sistema dado se puede reducir al siguiente: F5 = 3 N F6 = 9 N R R = F5

2 + F6

2 = 32 + 92 = 90 = 9,48 N

29

Ejercicio 8. Responde a los siguientes apartados: a) Halla la resultante del sistema de fuerzas de la figura 1. b) Halla la resultante y el punto de aplicación de la resultante de la figura 2. c) Calcula el valor de la resultante e indica donde se encuentra el punto de aplicación de la

resultante en el sistema de fuerzas de la figura 3. d) Dibuja la resultante de la figura 4 e indica donde se encuentra su punto de aplicación.

La resultante tiene un valor de 20 N e) Calcula el valor de la resultante de la figura 5. f) Halla el valor de R en la figura 6. g) Calcula la resultante del sistema de fuerzas de la figura 7.

F5 = 6 N F4 = 2 N F1 = 4 N F2 = 5 N F3 = 8 N figura 1. 4 m F2 = 30 N x 5 m F2 = 36 N F1 = 60 N figura 3. figura 2. R F1 = 80 N F1 = 80 N F1 = 12 N figura 5. 3 m F2 = 18 N figura 4. F2 F3 = 4 N F1 = 90 N F1 = 6 N R 2 m 4 m F2 = 4 N F3 = 8 N F4 = 10 N F5 = 5 N figura 7. F2 figura 6. F6 = 9 N Solución:

a) R = 9 N b) R = 96 N; x = 1,5 m. c) R = 50 N; O ( 3 m de la mayor )

d) 1ª Sol. F2 = 100 N; O (12 m de F2); 2ª Sol. F2 = 60 N; O (9 m de F1) e) R = 19,69 N f) R = 30 N g) R = 16,12 N

30

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO. Existen unas razones trigonométricas que relacionan, para un triángulo rectángulo, las longitudes de sus catetos con la hipotenusa y con los ángulos. cateto opuesto b c sen = ------------------- = ------ sen = ---- hipotenusa a a a cateto contiguo c b b cos = --------------------- = ------ cos = ---- hipotenusa a a 90º

c cateto opuesto b c tg = --------------------- = ------ tg = --- cateto contiguo c b

Ejercicio 9. En el triángulo rectángulo de la figura anterior = 30 º y la hipotenusa “a” mide 8 m. Sabiendo que el sen 30 º = 0,5, calcular: a) ¿Cuánto miden los catetos? b) ¿Cuánto valdrá el ángulo ? c) ¿Cuánto valdrá el sen de 60 º? d) ¿Cuánto valdrá la tangente de 30 º?

Solución: b b b a) sen = ------; sen 30 = -------; 0,5 = ------; b = 0,5. 8 = 4 m a a 8

Hallaremos el valor de c aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo dado:

a2 = b2 + c2; c2 = a2 b2; c = a2 b2 = 82 42 = 6,92 m b) Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180 º; = 60 º c) c 6,92 sen 60 = sen = ---- = ------- = 0,86 a 8 b 4 d) tg 30 = tg = ---- = ------- = 0,57 c 6,92

31

F1 = 5 N F3 = 8 N F4 = 8 N F2 = 5 N Sistema en equilibrio

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS Descomponer una fuerza en otras varias es hallar un sistema de fuerzas que produzcan el mismo efecto que la fuerza dada. Existen infinitos sistemas de fuerzas capaces de sustituir a la dada. Un caso muy interesante es la descomposición de una fuerza en dos componentes que sean perpendiculares entre sí.

Fy F senFFyFFysen .

Fx cos.cos FFxFFx

Ejercicio 10. Halla las componentes perpendiculares de la fuerza F = 20 N de la figura.

sen 45 = 0,7 ; cos 45 = 0,7 F Solución: Fy 45 º Fx = F. cos = 20. cos 45 = 20. 0,7 = 14 N Fx Fy = F. sen = 20. sen 45 = 20. 0,7 = 14 N

EQUILIBRIO DE FUERZAS. CONDICIONES DE EQUILIBRIO Un sistema está en equilibrio cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es nula. (O cuando una de ellas es igual y opuesta a la suma de todas las demás) Cuando un sistema está en equilibrio pueden darse dos casos:

Que el objeto sobre el que actúan las fuerzas esté en reposo y se llama “ equilibrio estático”.

Que el objeto sobre el que actúan las fuerzas esté siguiendo una trayectoria recta con velocidad constante y entonces se llama “equilibrio dinámico”.

32

LEYES DE LA DINÁMICA La dinámica se basa en tres leyes o principios que fueron enunciados por NewtoN Son:

PRIMERA LEY O LEY DE INERCIA “Sí sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero, el cuerpo estará en reposo o se moverá con movimiento rectilíneo y uniforme”. Conclusiones:

1. Todo cuerpo libre (no sometido a interacciones) estará en reposo o se moverá con velocidad constante en trayectoria recta.

2. Si un cuerpo está sometido a una aceleración, sobre él estará actuando alguna fuerza resultante.

3. Todo cuerpo en reposo seguirá en reposo mientras no se le aplique una fuerza.

4. La tendencia de los cuerpos a conservar su estado de reposo o de movimiento se llama inercia.

La inercia es la propiedad de un cuerpo que mide la resistencia del mismo a variar su estado de reposo o de movimiento. Cuanto mayor sea la masa de un cuerpo, mayor será su inercia.

SEGUNDA LEY

“Existe una relación constante entre las fuerzas aplicadas a un cuerpo y las aceleraciones que se producen en el mismo, siendo la constante de proporcionalidad la masa del cuerpo.” F1 F2 F ------ = ------ = ......... = ------ = cte. = m a1 a2 a Matemáticamente se expresa:

amF .

Es decir, la fuerza resultante (suma vectorial de todas las fuerzas) que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración. La última fórmula escrita se conoce como ecuación fundamental de la dinámica.

Consecuencias de la segunda ley de Newton

Una consecuencia de esta ley son las unidades de fuerza. En el S. I. es el Newton 1 Newton = 1N = 1 kg. 1 m/s2

Se define el Newton como la fuerza que aplicada a 1 kg de masa le produce una aceleración de 1 m/s2.

Otra unidad de fuerza es el kilopondio (kp) Kilopondio es la fuerza con que la Tierra

atrae a 1 kg de masa al nivel del mar y a 45º de latitud. 1 kp = 1 kg. 9,8 m/s2 = 9,8. 1 kg. 1 m/s2 = 9,8 N; 1 kp = 9,8 N

33

Otra unidad de fuerzas poco utilizada es la dina.

1 Newton = 105 dinas ; 1 kp = 9,8. 105 dinas.

Otra consecuencia de esta ley es el peso de un cuerpo. Como el peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra lo atrae:

P = m . g

TERCERA LEY. LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN “ Si un cuerpo actúa sobre otro con una fuerza (acción) éste reacciona contra el primero con una fuerza igual y de sentido contrario (reacción) ”. Estas dos fuerzas no se anulan porque actúan sobre cuerpos diferentes. Ejemplo. Cuando una persona intenta saltar a tierra desde una barca, la persona empuja la barca hacia atrás (acción) para que la barca le empuje hacia adelante (reacción).

Ejercicio 11. Sobre un cuerpo que pesa 20 N y que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal se aplican dos fuerzas paralelas a la superficie de sentido contrario y de valores 8 N y 14 N Calcular:

a) Velocidad que tendrá el cuerpo a los 5 s. b) Espacio que recorrerá en 4 s. Solución: Aplicaremos la ecuación fundamental de la dinámica:

F1 = 8 N F2 = 14 N F = m a

La fuerza resultante vale: F = 14 8 = 6 N P = m. g ; 20 = m 10 ; m = 20 / 10 = 2 kg. 6 = 2 a ; a = 6 / 2 = 3 m/s2.

(a) v = v0 + a t = 0 + 3. 5 = 15 m/s. (b) e = v0 t + 1 / 2 a t2 = 0 + 1 / 2. 3. 42 = 24 m. Ejercicio 12. ¿Qué fuerza hemos de realizar sobre un cuerpo de 3 kg, si queremos:

a) Levantarlo con una velocidad constante de 7 m/s. b) Bajarlo con una aceleración de 4 m/s2. c) Que esté en reposo. d) Subirlo con una aceleración de 2 m/s2. e) Bajarlo con velocidad constante de 5 m/s. f) Bajarlo con una aceleración de 13 m/s2.

Dibuja la fuerza que hay que hacer en cada caso. Solución: P = m. g = 3. 10 = 30 N a) F b) c) F F v = 7 m/s a = 4 m/s2 v = 0 P = 30 N P = 30 N P = 30 N P F = m. a

34

F = P = 30 N 30 F = 3. 4; F = 18 N F = P = 30 N

35

F d) F e) f) a= 13 m/s2 a= 2 m/s2 v = 5 m/s F P = 30 N P = 30 N P = 30 N F + P = m. a F P = m. a F + 30 = 3. 13 F 30 = 3. 2; F = 36 N F = P = 30 N F = 39 30 = 9 N

FUERZAS DE ROZAMIENTO Fuerza de rozamiento es la fuerza que aparece en la superficie de contacto de dos cuerpos cuando se intenta deslizar uno sobre otro. La fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento. La fuerza de rozamiento entre dos cuerpos se debe a que la superficie de contacto nunca es perfectamente lisa, sino que presenta rugosidades. FR F FR = Fuerza de rozamiento F = Fuerza aplicada Movimiento La expresión matemática de la fuerza de rozamiento es: FR = Fuerza de rozamiento FR = . N = Coeficiente de rozamiento dinámico N = Normal La normal (N) es la fuerza perpendicular a la superficie de desplazamiento Es la reacción que realiza el plano contra la acción del peso del cuerpo sobre él.

[ Ejercicio 13. Halla la fuerza de rozamiento y dibújala en los tres casos siguientes: a) b) F1 = 20 N c) F2 = 40 N F = 16 N m = 3 kg m = 5 kg F = 15 N m = 8 kg F = 12 N

= 0,1 = 0,2 = 0,25

Solución: a) N = P = m. g = 3 . 10 = 30 N FR = 3 N F = 16 N FR = . N = 0,1. 30 = 3 N b) N = P + F1 = m. g + F1 = 5. 10 + 20 = 70 N FR = 14 N F = 15 N FR = . N = 0,2. 70 = 14 N c) N = P F2 = m. g F2 = 8. 10 40 = 40 N FR = 10 N F = 12N FR = . N = 0,25. 40 = 10 N

36

Ejercicio 14. Sobre un cuerpo de 500 g que se mueve con una velocidad de 2 m/s

sobre una superficie horizontal se le aplica una fuerza constante de 0,4 Kp paralela a la superficie. Si el coeficiente de rozamiento vale = 0,25. Calcular:

a) ¿En qué momento tendrá una velocidad de 20 m/s.? b) ¿Qué espacio recorrerá en 6 s.?

Solución: F1 = 0,4 kp Calcularemos la aceleración aplicando la FR ecuación fundamental de la dinámica: P F = m. a ; F1 FR = m. a F1 = 0,4 kp = 0,4. 10 = 4 N ; P = m. g = 0,5. 10 = 5 N FR = . N = . P = 0,25. 5 = 1,25 N 4 1,25 = 0,5. a ; 2,75 = 0,5. a ; a = 2,75 / 0,5 = 5,5 m/s2

(a) v = v0 + a. t; 20 = 2 + 5,5. t; 18 = 5,5 t; t = 18 / 5,5 = 3,27 s.

(b) e = v0 t + 1 / 2 a t2 = 2. 6 + 1 / 2. 5,5. 62 = 12 + 99 = 111 m. Ejercicio 15. Responde a los siguientes apartados:

a) ¿Qué fuerza hemos de realizar sobre un cuerpo de 6 kg para bajarlo con una aceleración constante de 4 m/s2?

b) ¿Qué fuerza hemos de realizar sobre un cuerpo de 2 kg para subirlo con una velocidad constante de 3 m/s?

c) ¿Qué fuerza hemos de realizar sobre un cuerpo de 8 kg para bajarlo con una aceleración constante de 12 m/s2?

d) ¿Qué fuerza hemos de realizar sobre un cuerpo de 3 kg para subirlo con una aceleración constante de 5 m/s2?

e) ¿Cuánto debe valer la fuerza F2 del dibujo uno sabiendo que el cuerpo se mueve hacia la izquierda con una aceleración de 0,6 m/s2?

f) ¿Cuál será el valor de F3 en el dibujo dos sabiendo que el cuerpo se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 2 m/s?

g) ¿Cuánto pesará el cuerpo del dibujo tres sabiendo que se mueve hacia la izquierda con una aceleración constante de 2,5 m/s2?

F3 F4 = 4,5 N F6 = 10 N

F1 = 8 N F2 m= 4 kg m = 3,9 kg F5 = 8 kp P F7 = 50 N dibujo 1 dibujo 2 dibujo 3 Soluciones: a) F = 36 N b) F = 20 N c) F = 16 N d) F = 45 N e) F2 = 10,4 N

f) F3 = 4,5 N g) P = 80 N Ejercicio 16. Sobre un cuerpo que se encuentra en reposo sobre una superficie

horizontal se aplica una fuerza F paralela a la superficie. A los 5 segundos de iniciado el movimiento tiene una velocidad de 17,5 m/s. Si el coeficiente de rozamiento vale 0,2 y la masa del cuerpo es de 4 kg, ¿cuánto vale F en kilopondios?

Solución: F = 2,2 kp. Ejercicio 17. Sobre un cuerpo que se mueve con una velocidad de 6 m/s sobre una

superficie horizontal se le aplica una fuerza constante de 40 N paralela a la superficie; el cuerpo después de recorrer 50 metros alcanza una velocidad de 21,4 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es 0,3. Halla la masa del cuerpo.

Solución: m = 5,54 kg.

37

RvmFc

2

2dmMGF

FUERZA CENTRÍPETA Todo cuerpo que describe una trayectoria circular, o en general describe una trayectoria curva, posee una aceleración normal que viene dada por la expresión an = v2/ R; por lo tanto, según el principio fundamental de la dinámica, debe existir una fuerza que la produzca; a esa fuerza se le llama fuerza centrípeta. A ESTA FUERZA TAMBIÉN SE LE LLAMA FUERZA NORMAL ya que origina la aceleración normal. v2 Fc = m. a = m. an = m. ------ ; R Cuando el observador del movimiento está en el propio objeto que toma la curva, no percibe la F centrípeta, sino otra fuerza de inercia que tiene igual módulo, dirección y sentido contrario a la F centrípeta. A esta fuerza se le denomina fuerza centrífuga. NUNCA PODEMOS MANIFESTAR LAS DOS A LA VEZ, NO SON ACCIÓN Y REACCIÓN SON DOS ASPECTOS O DOS DESCRIPCIONES DEL MISMO FENÓMENO. F centrífuga F centrípeta

Ejercicio 18. Un cuerpo de 200 gramos de masa se sujeta al extremo de una cuerda de 30 cm de longitud y se le hace girar con movimiento circular uniforme dando 20 vueltas cada 15 segundos. ¿Cuánto valdrá la fuerza CENTRÍPETA?

Solución: v2 20. 2 Fc = m ----- m = 200 g = 0,2 kg.; = ----- = ------------ = 8,37 rad/s. R t 15 R m = 200 g. v = . R = 8,37. 0,3 = 2,51 m/s. v2 (2,51)2 R = l = 30 cm Fc = m ------ = 0,2. --------- = 4,2 N R 0,3

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Los cuerpos que tienen masa se atraen, esta atracción viene regulada por la ley de Newton, que dice: “ La fuerza con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”. Matemáticamente se expresa: M F F m d

G = constante de gravitación universal = 6,67. 10 11 N.m2 / kg2 (S.I.) M y m = masas de los cuerpos que interaccionan.

38

d = distancia entre los cuerpos.

F = fuerza de atracción entre los cuerpos.

EL PESO DE UN CUERPO El peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos. El peso de un cuerpo de masa m sobre la superficie de la Tierra puede ser expresado por: MT . m m P = F = G. ---------------- = m. g MT RT

2 R T Luego: MT

g = G . --------- RT

2

En la superficie de la Tierra g = 9,8 m/s2. El peso de un cuerpo de masa m a una distancia d de la superficie de la Tierra valdrá: d m MT . m P = G. ---------------- = m . g RT P (RT + d)2 P Luego g, a una distancia d de la superficie de la Tierra, valdrá: MT MT g = G . ------------- (RT + d)2 De forma semejante se podría calcular el peso de un cuerpo en la Luna o en otro planeta.

Ejercicio 19. Un cuerpo tiene de masa 3 kg., calcula: a) ¿Cuánto pesará en la superficie de la Tierra? ¿Cuánto vale la aceleración de la

gravedad en la superficie de la Tierra? b) ¿Cuánto pesará en la superficie de la Luna? c) ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en las proximidades de la superficie

lunar? d) ¿Con qué velocidad llegará el cuerpo al suelo lunar si se suelta desde una altura

de 100 metros de la superficie de la Luna? ¿Cuánto tiempo tardará en caer? Datos. ML = 6,7. 10 22 kg ; RL = 1600 km ; MT = 6. 10 24 Kg. ; RT = 6370 km

Solución: MT . m 6. 10 24. 3 120,06. 10 11. 1024 a) P = G. -------------- = 6,67. 10 11 ---------------- = ------------------------- = RT

2 (6,37. 10 6)2 40,57. 1012 MT R T = 2,96. 10 = 29,6 N P = m. g; 29,6 = 3. g ; g = 29,6 / 3 = 9,86 m/s2. ML . m 6,7. 1022. 3 134,06. 10 11. 1022 b) P = G. -------------- = 6,67. 10 11 ---------------- = ------------------------- = RL

2 (1,6. 10 6)2 2,56. 1012 ML R L = 52,36. 0,1 = 5,23 N

c) P = m. g ; 5,23 = 3. g ; g = 5,23 / 3 = 1,74 m/s2. d) v2 = v0

2 + 2 g h ; v2 = 0 + 2 . 1,74. 100 = 348; v = 348 = 18,65 m/s.

39

v = v0 + g. t; 18,65 = 0 + 1,74. t ; t = 18,65 / 1,74 = 10,77 m/s.

Ejercicio 20. La masa de Júpiter es, aproximadamente, 2,25. 10 27 kg, y su radio, 7,2. 10 7 m.

a. ¿Cuánto pesará un cuerpo de 25 kg de masa a 500 km de la superficie de Júpiter? ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad a esa altura?

b. ¿Cuánto pesará dicho cuerpo en la superficie de Júpiter? c. Si se lanzase un proyectil verticalmente hacia arriba desde la superficie de

Júpiter y se disparase con una velocidad de 250 m/s, ¿qué altura máxima alcanzaría?

G = 6,67. 10 11 (S.I.)

Solución: MJ . m 2,25. 10 27. 25 375,18. 10 11. 1027 a) P = G. -------------- = 6,67. 10 11 ------------------- = ------------------------- = h d

2 (7,25. 10 7)2 52,56. 1014 R J = 7,13. 10 2 = 713 N MJ P = m. g ; 713 = 25. g ; g = 713 / 25 = 28,52 m/s2. b) MJ . m 2,25. 1027. 25 375,18. 10 11. 1027 P = G. -------------- = 6,67. 10 11 ------------------ = ------------------------- = RJ RJ

2 (7,2. 10 7)2 51,84. 1014 M J = 7,23. 10 2 = 723 N

P = m. g ; 723 = 25. g ; g = 723 / 25 = 28,92 m/s2.

c) v = v0 g. t ; 0 = 250 28,92. t ; t = 250 / 28,92 = 8,64 s. e = v0. t 1 / 2 g t2 ; e = 250. 8,64 1 / 2. 28,92. (8,64) 2 = 1080,6 m.

40

EJERCICIOS de CONSOLIDACIÓN. TEMA 2

1) Clasifica las siguientes fuerzas, según sean de contacto o a distancia:

a) Raquetazo a una pelota de tenis. b) Atracción entre dos cargas eléctricas. c) Peso de un cuerpo.

d) Repulsión entre dos imanes. e) Rozamiento entre un balón y el suelo. 2) Responde con verdadero o falso a los siguientes apartados, justificando la respuesta:

a) La fuerza de rozamiento es una fuerza de contacto. b) La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al movimiento de los cuerpos. c) La fuerza resultante es siempre mayor que las fuerzas que se componen. d) Sobre un cuerpo en reposo no pueden actuar fuerzas. e) Un cuerpo sobre el que no se ejercen fuerzas puede estar en movimiento.

3) Se tira de un muelle de constante K = 3000 N/m con una fuerza desconocida. El muelle que medía 50 cm se alarga hasta medir 62 cm. ¿Cuál es el valor de la fuerza?

Sol.: F = 360 N 4) Al tirar con una fuerza de 100 N de un muelle de 20 cm, éste se alarga hasta alcanzar una longitud de

25 cm. Calcula la constante K del muelle. Sol.: K = 2.000 N/m. 5) Un muelle alcanza una longitud de 35 cm si tiramos de él con una fuerza de 50 N Si lo hacemos con

una fuerza de 100 N, la longitud es de 40 cm. ¿Cuánto mide cuando no actúa ninguna fuerza? ¿Cuál es el valor de la constante K?

Sol.: L0 = 30 cm; K = 1.000 N/m. 6) Calcula el módulo de la resultante de los sistemas de fuerzas representados: a) b) c) 5 N 5 N 5 N 6 N 8 N 16 N 3 N 6 N 12 N 4 N Sol.: a) R = 25 N b) R = 12,37 N c) R = 1,41 N 7) Halla el módulo de la resultante y la posición del punto de aplicación de la resultante de dos fuerzas paralelas y cuyos valores son de 100 y 200 N y la distancia entre ellas es de 1,5 m.

a) Si tienen el mismo sentido. b) Si tienen sentidos opuestos. Sol.: a) R = 300 N; 1 m y 0,5 m. b) R = 100 m; 1,5 m y 3 m. 8) Halla el módulo de la resultante de dos fuerzas de 8 y 6 N, respectivamente, si son

perpendiculares. Sol.: R = 10 N 9) Halla las componentes perpendiculares de la fuerza F = 60 N de la figura. F = 60 N sen 30 = 0,5 30 º cos 30 = 0,86 Sol.: Fx = 51,6 N ; Fy = 30 N 10) Un motor de un automóvil de 1250 kg de masa es capaz de suministrar una fuerza de 6000 N,

pero los rozamientos con el suelo ejercen una fuerza en sentido contrario al avance de 1000 N ¿Cuál será la aceleración que podrá adquirir dicho automóvil?

Sol.: a = 4 m/s2.

41

11) La masa del cuerpo de la figura es de 3 kg. Sobre el mismo actúan dos fuerzas en la misma dirección y sentido contrario tal y como se indica. F2 = 8 N F1 = 20 N ¿Qué dirección y sentido tiene la fuerza resultante? ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo? Sol.: a = 4 m/s2. 12) Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Sobre él actúan dos fuerzas en la misma dirección y sentido. Una de ellas vale 50 N y la resultante de ambas 80 N ¿Qué valor corresponde a la otra fuerza? ¿Qué aceleración adquiere el cuerpo? Sol.: F = 30 N ; a = 8 m/s2. 13) Un cuerpo de 25 kg está sometido a una aceleración de 8 m/s2. La fuerza que actúa sobre el mismo es la resultante de dos que poseen la misma dirección. Si una de ellas vale 300 N ¿Cuánto vale la otra? ¿Actúan en el mismo sentido? Sol.: F = 100 N 14) Sobre un cuerpo de 5 kg que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal se le aplica una fuerza constante de 25 N, paralela a la superficie. ¿Qué velocidad tendrá y qué espacio recorrerá al cabo de 10 s? Sol.: v = 50 m/s ; e = 250 m. 15) Un cuerpo de 5 kg de masa está inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Se le aplica una fuerza de 10 N paralela a la superficie. Determina la velocidad que poseerá a los 3 s de aplicarle la fuerza, despreciando rozamientos. Sol.: v = 6 m/s. 16) En la publicidad de un nuevo modelo de coche, cuya masa es de 1296 kg, se afirma, que partiendo del reposo es capaz de alcanzar los 100 Km/h en 9 segundos acelerando constantemente. Determina la fuerza ejercida por el motor (despreciar los efectos del rozamiento). Sol.: F = 3.991,68 N 17) ¿Cuánto tiempo debe actuar una fuerza de 100 N sobre un cuerpo de 20 kg, inicialmente en reposo, para que alcance una velocidad de 72 km/h? Sol.: t = 4 s. 18) ¿Qué fuerza de frenado han de ejercer los frenos de un coche de 600 kg que marcha con una velocidad de 54 km/h para detenerse en 30 metros? Sol.: F = 2.250 N 19) Al ejercer una fuerza de 10 N sobre un cuerpo de 2 kg de masa, que se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, adquiere una aceleración de 1 m/s2. Determina el valor de la fuerza de rozamiento. Sol.: FR = 8 N 20)_Un cuerpo de 20 kg de masa está en reposo sobre una superficie horizontal. ¿Qué fuerza constante debemos ejercer sobre él, si queremos que en 5 segundos alcance una velocidad de 10 m/s? Calcula el espacio que recorre en ese tiempo. La fuerza de rozamiento con el suelo es de 30 N Sol.: F = 70 N ; e = 25 m. 21)_ Un imán atrae a un alfiler. ¿Atrae también el alfiler al imán? ¿Por qué? 22)_ Un cuerpo está apoyado sobre una superficie horizontal. Se sabe que la fuerza de rozamiento que ejerce la superficie sobre el cuerpo es de 20 N ¿Hacia donde se moverá cuando lo impulsemos con una fuerza de 10 N paralela a la superficie horizontal? 23)_ ¿Por qué las llantas de los coches no son lisas, sino que presentan surcos?

42

24)_ ¿Qué fuerza hemos de realizar para levantar un cuerpo de 1 kg con velocidad constante? ¿Y si lo queremos levantar con una aceleración de 2 m/s2? Sol.: F = 10 N ; F = 12 N 25)_ ¿Qué fuerzas actúan sobre un avión en vuelo? Dibújalas esquemáticamente. 26)_ Al colgar de un muelle distintas pesas, éste se alarga según los resultados que aparecen en la tabla:

Fuerza (N) 0 50 100 200 Longitud (m) 0,15 0,19 0,23 0,31

Se pide: a) Construye una gráfica con los valores. b) Determina la constante elástica del muelle. c) Calcula la longitud total del muelle al tirar de él con una fuerza de 75 N d) ¿Qué fuerza actúa sobre éste cuando la longitud es de 25 cm?

Sol.: b) K = 1.250 N/m. c) L = 0,21 m. d) F = 125 N 27) El motor de un coche de 1000 kg de masa ejerce una fuerza de 10000 N cuando éste se desplaza por una carretera horizontal. En estas condiciones el coche avanza con velocidad constante de 108 km/h.

d) ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento ejercida por el aire y la carretera? b) Si se para el motor del coche, ¿cuánto tardará en detenerse?

Sol.: a) FR = 10.000 N b) t = 3 s. 28) Un cuerpo tiene 2 kg de masa. ¿Cuánto pesa? Expresa el resultado en N y en kp Sol.: P = 20 N = 2 kp 29) ¿Por qué es más fácil resbalar al caminar sobre un suelo encerado que al caminar sobre el

suelo sin encerar? 30) Un cuerpo de 10 kg se mueve sobre un plano horizontal al actuar sobre él una fuerza constante de

200 N paralela al plano. El coeficiente de rozamiento es 0,1. Halla la aceleración. Sol.: a = 19 m/s2. 31) Una balsa de madera es remolcada a lo largo de un canal por dos caballos que mediante cuerdas tiran

de ella, cada uno por una orilla. Suponiendo que los dos ejercen la misma fuerza y que el rozamiento de la balsa con el agua es de 70 N, calcular la fuerza con que deberá tirar cada uno para que la barca se mueva con movimiento rectilíneo y uniforme.

45º 45º Sol.: F = 49,49 N 32)_ La fuerza centrípeta de un automóvil al tomar una curva de 25 m de radio con una velocidad de 54 km/h es de 2000 kilopondios. ¿Cuál es su masa? Sol.: m = 2.222,22 kg. 33)_ Sobre una masa m, sujeta al extremo de una cuerda de un metro, actúa una fuerza centrípeta de 5 N, que le obliga a girar con movimiento circular uniforme dando 20 vueltas por minuto. Calcula la velocidad angular y la lineal del movimiento y determina la masa m. Sol.: = 2,09 rad/s. ; v = 2,09 m/s ; m = 1,14 kg.

43

34) Un cuerpo de 5 kg de masa ha realizado los movimientos que se describen: a) b) c) v(m/s) v(m/s) v(m/s) 15 15 15 10 10 10 5 5 5 t(s) t(s) t(s) 5 5 5 Determina en cada caso la fuerza a la que ha estado sometido el cuerpo. Sol.: a) F = 0. b) F = 15 N c) F = 10 N 35)_ ¿Con qué aceleración se mueven los cuerpos de la figura? No hay rozamiento. a) 2 kp b) 10 N c) m = 20 kg 10 kp 20 N P = 5 Kp P = 20 N Sol.: a) a = 1 m/s2. b) a = 2 m/s2. c) a = 40 m/s2. 36) ¿Qué espacio recorrerá el cuerpo de la figura en 5 segundos si parte del reposo? El coeficiente

de rozamiento vale 0,15 40 kg 10 kp Sol.: e = 12,5 m. 37) 3 kp Si el cuerpo de la figura tiene una velocidad de 2 m/s. ¿Qué 20 N velocidad tendrá y qué espacio recorrerá después de 5 s? 2 kg El coeficiente de rozamiento vale 0,2. Sol.: v = 27 m/s ; e = 72,5 m 38. Sobre un cuerpo de 20 kg actúan cuatro fuerzas diferentes: la primera de 20 N dirigida hacia el Norte, la segunda de 40 N dirigida hacia el Este, la tercera de 15 N dirigida hacia el Sur, la cuarta de 30 N dirigida hacia el Oeste. Calcula la aceleración con la que se desplaza el cuerpo. Sol.: a = 0,56 m/s2. 39.Indica las unidades en el S.I. de las siguientes magnitudes: Volumen Fuerza Velocidad lineal Masa Aceleración Superficie Espacio Densidad Frecuencia Velocidad angular Tiempo Longitud Periodo Ángulo

40) ¿Cuál es la fuerza con que se atraen dos cuerpos de 60 kg separados por una distancia de un

metro? G = 6,67. 10 11 (S.I.) Sol.: F = 2,4. 10 7 N 41) Un automóvil de 1300 kg que se desplaza a 72 km/h frena, deteniéndose al cabo de 15 segundos

de haber empezado a frenar. ¿Qué fuerza ejercen sus frenos? ¿Cuál sería esa fuerza si se hubiera detenido tras recorrer 100 m?

Sol.: F = 1.729 N ; F = 2.600 N 42) La masa del Sol es de 2. 1030 kg y la de la Tierra es de 6. 1024 kg. Sabiendo que la distancia que

separa ambos astros es de 150 millones de kilómetros, determina la fuerza con que se atraeN

44

Sol.: F = 3,55. 1022 N 43) Dos masas iguales separadas 25 cm, se atraen con una fuerza gravitatoria de 4. 10 5 N ¿Cuál es el

valor de esas dos masas? Sol.: m = 193,39 kg. 44) Halla gráficamente la resultante de los siguientes sistemas de fuerzas: a) b) F2 F1 F2 F1 F3 F3 F4 45) a) Un cuerpo tiene de masa 3 kg. ¿Cuánto pesa en kilopondios en un punto en el que la aceleración

de la gravedad g vale 5 m/s2? b) En un punto de la Luna un cuerpo pesa 27 N, ¿qué masa tiene si la aceleración de la gravedad en

ese punto es de 1,5 m/s2? Sol.: a) P = 1,5 kp. b) m = 18 kg. 46) Un hombre tiene una masa de 70 kg. Calcula: a) ¿Cuánto pesará en la Tierra? b) ¿Cuál será su peso en la Luna? Datos: ML = 6,7. 1022 kg; RL = 1.600 km ; G = 6,67. 10 11 (S.I.) Sol.: a) P = 700 N b) P = 122,19 N

47. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra un cuerpo que en la superficie pesa 30 N, pesará 24 N? Datos: MT = 6. 1024 kg ; RT = 6.370 km ; G = 6,67. 10 11 (S.I.) Sol.: h = 701,06 km 48. Sabiendo que la masa de Marte es 0,11 veces la de la Tierra, y que su radio es aproximadamente la

mitad que el de nuestro planeta, calcula: a) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte. b) ¿Cuál sería el peso en Marte de una persona de 65 kg.? c) Si se lanzase un objeto verticalmente desde la superficie de Marte con una velocidad de 125 m/s, ¿qué altura máxima alcanzaría? d) ¿Cuánto pesaría en la Tierra un objeto cuyo peso en Marte fuese de 255 N?

Datos: MT = 6. 1024 kg ; RT = 6.370 km ; G = 6,67. 10 11 (S.I.) Sol.: a) g = 4,33 m/s2. b) P = 281,45 N c) h = 1.804,27 m. d) P = 588,9 N 49) Un satélite espacial pesa 8.000 N en la superficie terrestre. Se pone en órbita de modo que la fuerza

con que la Tierra lo atrae es la mitad del peso en la superficie. Calcula el radio de la órbita. Datos: MT = 6. 1024 kg ; RT = 6.370 km; G = 6,67. 10 11 (S.I.) Sol.: r = 8,94. 10 6 m. 50) Se suelta un objeto de 8 kg desde una altura de 200 metros en un planeta que tiene de masa

5.1024 kg de masa siendo el diámetro del mismo 14.500 km Calcular: a) ¿Cuánto pesa el objeto? b) ¿Qué velocidad tendrá a los 5 segundos de soltarlo?

c) Velocidad con la que llegará al suelo. d) Tiempo que tardará en llegar al suelo. e) Tiempo que tardará en recorrer los últimos 50 metros.

Sol.: a) P = 50,7 N b) v = 31,65 m/s. c) v = 50,31 m/s. d) t = 7,94 s. d) t = 1,06 s.

45

51. Imagina un mundo SIN ROZAMIENTO (sin fricción) y explica cómo resolverías las situaciones

siguientes: a. Escapar de una pista de hielo. b. Caminar sobre el suelo c. Subir a un árbol

52. Explica hacia dónde colocarías el peralte (inclinación del plano de la carretera) de la carretera en una curva:

a. A la izquierda b. A la derecha

53. Plantea las ecuaciones que relacionan v, R, peralte () y en los casos siguientes. Discute en cada caso las condiciones óptimas de R, peralte () y para una velocidad dada.

Curva plana sin rozamiento Curva plana con rozamiento Curva con peralte sin rozamiento (El peralte es la inclinación del plano de la

carretera) Curva con peralte y con rozamiento.

46

a = 0,6 mis' F

F, =?Jm = 14kg~ F, = sF.d) .

a ~O,S mis' F. =2 5 N

Im=12k9~,'bl

F~46 I ~5N, '~~m=8,5k9~,=15,8N

b)

Fue~a Masa A,:!leración ""150 N 2 m/s'300 N 1000 kg

400 9 1,5 rn/s?

a = 1,2mis'[Iñ]I ~28,5NM=14,3kg

el

a ~ 0,2 mis'F,=l,~ m j-=;6N'al

Leyes de la Dinámica

1. Enuncia la segunda ley de la Dinámica y contesta a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cómo influye la masa en la aceleración que adquiere un cuerpo cuando actúa sobre él una

fuerza impulsora?

b) Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se encuentra en

movimiento es cero, ¿qué ocurrirá?

c) ¿Qué dirección y sentido tiene la aceleración del cuerpo, considerándola como vector?

2. Copia esta tabla en tu cuaderno y, aplicando la

segunda ley, realiza los cálculos necesarios para

completar los cuadros sombreados con los datos

que faltan:

Sol.: 75 kg; 0,3 m/s2; 0,6 N

3. Calcula el valor de la aceleración del movimiento en cada uno de los siguientes casos:

Sol.: 2,9 m/s

2;1,61 m/s

2

4. Halla la fuerza o la masa, según corresponda, a partir de los datos que se indican:

Sol.: 22,5 kg; 3,5 N; 9,45 kg; 2,1 N

5. Un objeto de 1400 g de masa se mueve bajo la acción de una fuerza constante con una

aceleración de 0,5 m/s2, sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Suponiendo que el

objeto partió del reposo. Calcula el valor de la fuerza y la velocidad cuando han transcurrido

10 s.

Sol.: 0,7 N; 5 m/s

6. En los siguientes casos, indica cuál es la fuerza de reacción correspondiente a la acción

ejercida:

a) Empujamos una puerta para abrirla.

b) Aplastamos una bola de plastilina.

c) Tiramos de un muelle.

7. Comenta el siguiente enunciado: «Como a toda fuerza de acción le corresponde otra de

reacción igual en módulo y de sentido contrario, realmente todas las fuerzas están en equilibrio,

aunque notemos sus efectos».

Problemas: Dinámica. Fuerzas y movimiento

47

8. Luisa está saltando sobre una cama elástica y, pensando sobre el fenómeno físico y la

explicación que obtendría de acuerdo con la Dinámica, llega a la conclusión de que los saltos se

producen por una fuerza de reacción. ¿Está Luisa en lo cierto? Justifica tu respuesta.

9. Tiramos de un bloque con una fuerza de 50 N que forma 65° con la horizontal. Si la masa

del objeto es de 20 kg y suponemos nulo el rozamiento ¿Qué aceleración se le proporciona al

bloque? ¿Cuánto vale la fuerza normal?

Sol.: 1,06 m/s2; 150,7 N

10. ¿Puede considerarse la fuerza centrífuga la reacción de la fuerza centrípeta? Explica tu

respuesta.

Fuerzas de rozamiento

11. Las fuerzas que actúan sobre un coche en marcha en la dirección del movimiento son la

fuerza impulsora ejercida por el motor y las fuerzas de rozamiento son las que se oponen al

desplazamiento del coche. ¿Qué podemos decir sobre esas fuerzas comparándolas entre sí

cuando circulamos por una carretera con una velocidad constante de 80 km/h?

12. Arrastramos un cuerpo horizontalmente tirando de él con una fuerza de 320 N. ¿Qué valor

debe tener la fuerza de rozamiento para que el cuerpo se mueva con velocidad constante? ¿En

qué ley basas tu respuesta?

13. ¿De qué depende la fuerza de rozamiento en el caso de un objeto que se desplaza

horizontalmente? Calcula la fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de 250 g de masa que se

desliza sobre una superficie sí μ = 0,24.

Sol.: 0,59 N

14. Corrige los errores de los siguientes enunciados:

a) El coeficiente de rozamiento es mayor a medida que aumenta la masa del objeto.

b) La unidad del coeficiente del rozamiento es la misma que la de la fuerza, es decir, el

newton.

15. Un objeto de masa m experimenta una fuerza de rozamiento determinada. Indica qué

ocurre con la fuerza de rozamiento si:

a) Se duplica la masa del objeto.

b) Se cambia de posición el objeto, de forma que aumente la superficie de apoyo.

16. Calcula el coeficiente de rozamiento entre un objeto de 3,2 kg de masa y la superficie

horizontal sobre la que se desliza, sabiendo que la fuerza de rozamiento que experimenta el

objeto es de 15,7 N.

Sol.: 0,5

17. ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento que actúa sobre un objeto en reposo? Justifica tu

respuesta.

18. Se empuja a una vagoneta de 200 kg con una fuerza de 300 N. Sobre la vagoneta actúa

también una fuerza de rozamiento con el suelo de 200 N ¿Cómo será el movimiento de la

vagoneta? ¿Qué velocidad llevará a los 10 s, suponiendo que antes de empezar a empujar, la

vagoneta se encontraba parada?

Sol.: 5 m/s

48

19. Queremos mover un bloque de 500 kg de masa arrastrándolo con un coche grúa. Si el

coeficiente de rozamiento que hay entre el suelo y el bloque es de μ = 0,5 ¿Qué fuerza

paralela al suelo hay que hacer para conseguir moverlo? ¿Qué fuerza hay que hacer si ésta

forma 30° con el suelo?

Sol.: 2450 N; 2195,3 N

Fuerzas en el movimiento circular

20. ¿Por qué decimos que un móvil con movimiento circular uniforme está sometido a una

fuerza? ¿Está esto de acuerdo con la primera ley de la Dinámica?

21. En un parque de atracciones, un grupo de amigos está montado en un tiovivo de

columpios que los hace girar a una velocidad constante de 5 m/s. Considerando que el

diámetro de la atracción es de 6 m, contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Por qué los columpios se separan de la verticalidad?

b) ¿Cuál es el valor de la fuerza centrípeta que experimenta una chica de masa 54 kg?

Sol.: 450 N; 40,38º

22. Un ciclista de 75 kg de masa que corre en una pista circular a una velocidad de 45 km/h

experimenta una fuerza centrípeta de 85 N. Calcula el radio de la pista. ¿Cuál es el valor de la

fuerza que experimenta el ciclista, que tiende a impulsarlo hacia el exterior?

Sol.: 137,9 m; 85 N

23. Un automóvil de 1200 kg de masa toma una curva de 10 m de radio a una velocidad de 90

km/h. Calcula el valor de la fuerza centrípeta.

Sol.: 75000 N

24. Un cuerpo de 250 g gira en un plano horizontal a la velocidad de 4 m/s. Si el radio de giro

mide 80 cm, calcula: a) el periodo, b) la aceleración centrípeta y c) la fuerza centrípeta.

Sol.: 1,25 s; 20 m/s2; 5 N

25. Un cuerpo de 700 g gira en un plano horizontal con un radio de 90 cm. El cuerpo da 45

vueltas en un minuto, calcula la velocidad lineal y la fuerza centrípeta.

Sol.: 4,24 m/s; 14 N

26. Un objeto de 5 kg tiene un movimiento circular uniforme de 9 m de radio y da 40 vueltas

en 10 minutos. Calcula el espacio recorrido en 2 horas y la fuerza centrípeta.

Sol.: 27,14 km; 7,89 N

27. Un coche pesa en conjunto 2300 kg ¿Qué fuerza centrípeta actúa sobre el coche al

describir un circuito circular de 110 m de radio a 45 km/h?

Sol.: 3267 N

28. Un autobús que circula a una velocidad de 50 km/h toma una curva de 45 m de diámetro.

Un niño de 45 kg viaja apoyado en una de las ventanillas del autobús. Calcula a) la

aceleración que experimenta el niño, b) la fuerza que el autobús ejerce sobre el niño.

Sol.: 4,29 m/s2; 193 N

Fuerzas elásticas. Ley de Hooke

29. Un muelle se alarga 20 cm cuando ejercemos sobre él una fuerza de 24 N. Calcula el valor

de la constante elástica del muelle. Calcula el alargamiento del muelle al aplicar una fuerza de

60 N.

Sol.: 0,5 m

30. Un muelle cuya constante elástica vale 150 N/m tiene una longitud de 35 cm cuando no se

aplica ninguna fuerza sobre él. Calcula la fuerza que debe ejercerse sobre el muelle para que

su longitud sea de 45 cm y la longitud del muelle cuando se aplica una fuerza de 63 N.

Sol.: 15 N; 77 cm

49

31. Un muelle de 20 cm se alarga 5 cm cuando se le aplica una fuerza de 120 N.

a) Calcula su constante elástica mediante la ley de Hooke.

b) ¿Qué alargamiento se observará si se le aplican 140 N?

c) ¿Qué fuerza es necesaria para producir un alargamiento de 2 cm?

Sol.: 2400 N/m; 5,83 cm; 48 N

32. Con un dinamómetro, cuya constante elástica es k = 500 N/m, se han medido los pesos de

dos cuerpos, obteniéndose un alargamiento de 4 y 8 cm, respectivamente. ¿Cuáles son esos

pesos?

Sol.: P1 = 20 N; P2 = 40 N;

Resolución de problemas de dinámica

33. El enunciado de un problema de Dinámica dice así: «Queremos levantar una bolsa de 13

kg de masa, para lo cual aplicamos una fuerza vertical de 120 N. ¿Conseguiremos levantar la

bolsa?». Analiza los datos que nos dan y representa el diagrama de cuerpo libre.

34. Sobre una superficie horizontal, con un coeficiente de rozamiento 0,8 se mueve un objeto

de 12 kg de masa bajo la acción de una fuerza de 105 N. Calcula la fuerza de rozamiento que

se opone al movimiento y la aceleración que adquiere el objeto en su movimiento.

Sol.: 94,08 N; 0,91 m/s2

35. Se lanza horizontalmente un borrador sobre el suelo con una velocidad de 4 m/s. Sabiendo

que la masa del borrador es 280 g y que el coeficiente de rozamiento con el suelo es 0,2

calcula:

a) La aceleración del movimiento.

b) El tiempo que tardará en detenerse por completo.

c) La distancia que recorre desde el lanzamiento hasta que se detiene.

Sol.: -1,96 m/s2; 2,04 s; 4,07 m

36. Un chico arrastra una caja de 10 kg tirando de

ella con una fuerza de 30 N, aplicada a través de

una cuerda que forma un ángulo con la horizontal

de 35°:

a) Calcula las componentes horizontal y vertical

de la fuerza que actúa sobre la caja.

b) Suponiendo que no existe rozamiento, ¿qué aceleración experimentará la caja?

Sol.: 24,5 N; 17,20 N; 2,45 m/s2

37. Un cohete pirotécnico de 2 kg de masa es proyectado verticalmente hacia arriba con una

fuerza de 90 N. ¿Con qué aceleración asciende el cohete? ¿Qué velocidad habrá adquirido a

los 3 s de iniciado el movimiento?

Sol.: 35,2 m/s2; 105,6 m/s

38. Sobre un paracaidista de 90 kg de masa que desciende verticalmente con su paracaídas

abierto, actúa una fuerza de sustentación de 882 N. ¿Cuál es el valor de la aceleración del

movimiento? ¿Qué tipo de movimiento lleva el paracaidista?

Sol.: 0 m/s2

39. Un globo aerostático experimenta una fuerza vertical hacia arriba de 3400 N, debida al

aire caliente contenido en su interior. Sabiendo que la masa del globo es 350 kg, calcula:

a) El tipo de movimiento que lleva el globo. ¿Cuánto vale su aceleración?

b) La masa de lastre que deberá soltar el piloto para que el globo se mueva con movimiento

uniforme.

Sol.: 0,086 m/s2; 3,06 kg

50

40. Una pelota de 600 g de masa y 18 cm de diámetro se sumerge en el agua hasta una

profundidad de 1 m. Al soltarla, asciende verticalmente hacia la superficie.

a) ¿Podemos decir que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la pelota es cero?

b) ¿Cuál es el valor de la fuerza de empuje que experimenta la pelota?

c) ¿Con qué aceleración asciende la pelota?

d) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la superficie?

Sol.: 76,20 N; 117,2 m/s2; 0,13 s

41. Calcula la fuerza de rozamiento que actúa sobre un objeto de 1,5 kg de masa que se

desliza sobre un plano inclinado 45°, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,1. ¿Qué

ocurrirá con la fuerza de rozamiento si disminuye la inclinación del plano? ¿Por qué?

Sol.: 1,03 N

42. Se deja caer un objeto de 100 g por un plano inclinado con coeficiente de rozamiento

0,24. La inclinación del plano es de 20°. Calcula:

a) El valor de la fuerza de rozamiento.

b) La resultante de todas las fuerzas que actúan en la dirección del movimiento.

c) La aceleración del objeto.

d) El tiempo que tardará en llegar a la base del plano, sabiendo que recorre 90 cm.

Sol.: 0,22 N; 0,11 N, 1,14 m/s2; 1,25 s

43. Por un plano inclinado 30° sin rozamiento, se hace subir un objeto de 0,7 kg de masa

aplicándole en la dirección paralela al plano y hacia arriba una fuerza de 4 N. Calcula la

aceleración con la que sube.

Sol.: 0,81 m/s2

44. Calcula la velocidad máxima con la que un coche de 1000 kg de masa puede tomar una

curva de 200 m de radio, si la fuerza de rozamiento entre las ruedas y el asfalto en la dirección

perpendicular a la carretera es de 1512 N.

Sol.: 17,38 m/s

45. Por una pista circular vertical de 50 cm de diámetro lanzamos un coche de juguete cuya

masa es de 270 g, a una velocidad de 1 m/s.

a) ¿Qué condición se ha de cumplir, en el punto más alto de la pista, para que el coche

complete el giro?

b) ¿Cuál es el valor de la fuerza centrípeta que experimenta el coche en ese punto?

c) ¿Qué valor debe tener la fuerza centrífuga en ese mismo punto?

d) Considerando que durante todo el recorrido el coche mantiene su velocidad constante,

¿logrará completar el giro o se caerá al pasar por el punto más alto?

Sol.: Fc P; 2,6 N;

46. Se considera una esfera de 10 kg de masa ¿Con qué fuerza atrae la Tierra a la esfera? ¿Y

con qué fuerza la esfera atrae a la Tierra?

47. Un coche de 1000 kg se ha quedado sin batería en una calle horizontal. Tres personas lo

empujan para tratar de ponerlo en marcha; cada una ejerce una fuerza de 150 N paralela al

suelo. La fuerza de rozamiento que se opone al deslizamiento del coche vale 100 N ¿Durante

cuánto tiempo tienen que empujar para que el coche adquiera una velocidad de 9 km/h? ¿Qué

espacio habrá recorrido?

Sol.: 7,14 s

48. Un cuerpo está apoyado sobre un plano inclinado 30° sin rozamiento. Dibuja las fuerzas

que actúan sobre el cuerpo y las correspondientes reacciones. Calcula la aceleración con que

cae.

Sol.: 4,9 m/s2

49. Un niño de 30 kg se tira por un tobogán de 4 m de longitud y 45° de inclinación.

Despreciando el rozamiento, calcula cuánto tiempo tardará en llegar al suelo.

51

Sol.: 1,07 s

50. Un cuerpo de 25 kg de masa desciende por un plano inclinado 30° con la horizontal.

Calcula:

a) La aceleración del cuerpo si no se considera el rozamiento.

b) La aceleración del cuerpo si el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y la

superficie del plano es μ=0,35.

Sol.: 4,9 m/s2; 1,93 m/s

2

51. Juana y Juan están patinando sobre una pista de hielo. Estando ambos en reposo, Juana

empuja a Juan con una fuerza de 70 N. Explica que sucede y calcula la aceleración que

adquiere cada uno, si las masas de Juana y Juan son 58 kg y 50 kg, respectivamente.

Considera que entre la pista de hielo y los patines el rozamiento es despreciable.

Sol.: 1,2 m/s2; 1,4 m/s

2

52. Calcula la resistencia mínima que debe tener una cuerda para levantar un objeto de 50 kg:

a) Con velocidad constante.

b) Con una aceleración de 2 m/s2.

Sol.: 490 N; 590 N

53. Un cuerpo de 2,4 kg de masa se desliza bajo la acción de una fuerza impulsora de 12 N

sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento es μ = 0,3. Halla:

a) La aceleración del movimiento.

b) El tiempo que tardará el objeto en alcanzar una velocidad de 10 m/s, suponiendo que partió

del reposo.

c) La posición del objeto a los 10 s de iniciado el movimiento, con respecto al punto de

partida.

Sol.: 2,06 m/s2; 4,85 s; 103 m

54. Calcula el peso de un cuerpo que experimenta una fuerza normal de 35 N cuando está

apoyado sobre una superficie inclinada 45° respecto a la horizontal.

Sol.: 49,5 N

55. Determina el valor de la fuerza normal que actúa sobre un automóvil de 1200 kg de masa

en los siguientes casos:

a) El automóvil circula por una carretera horizontal.

b) El automóvil sube una rampa inclinada 30° respecto a la horizontal.

Sol.: 11760 N; 10184 N

56. Un coche todo terreno de 1200 kg de masa sube una pendiente de 40° con velocidad

constante. Calcula la fuerza que debe realizar el motor. Se considera despreciable el

rozamiento.

Sol.: 7559 N

57. Para arrastrar con velocidad constante un piano de 150 kg de masa sobre el suelo

horizontal hay que realizar una fuerza de 600 N. Calcula el coeficiente de rozamiento.

Sol.: 0,41 58. Calcula la masa de una caja colocada sobre una superficie horizontal, si se sabe que

cuando se tira de, ella con una fuerza de 100 N (también horizontal) se mueve con velocidad

constante. Como dato se conoce el coeficiente de rozamiento entre la caja y el suelo: μ= 0,5.

Sol.: 20,4 kg 59. Se quiere elevar un cubo cargado de cemento, de 20 kg de masa, utilizando una polea y

una cuerda de masa despreciable.

a) ¿Qué fuerza debe ejercer una persona para subirlo a velocidad constante?

b) ¿Y si se quiere subir con una aceleración de 0,2 m/s2?

Sol.: 196 N; 200 N

52