Tema 2: Genes, evolución y matemáticas aplicadasConcepto de especie Una especie es un conjunto de seres vivos, con antepasados comunes, que se parecen entre sí y que son capaces de originar una descendencia fértil. Por eso, aunque dos individuos de especies distintas como el burro y la yegua, sena capaces de tener descendencia: un mulo, éste es estéril

La explicación a este fenómeno está en los genes. En ellos se encuentran las instrucciones que permiten realizar las funciones que cada ser vivo necesita en cada momento.

Existen millones de especies distintas, aunque la mayoría (75%) pertenecen a un grupo que llamamos insectos y que incluyen especies como: mariposa, escarabajo, hormiga, abeja..

Evolución de las especies

Al estudiar los restos fósiles de seres vivos se ha comprobado que muchas especies actuales no existían antes y que otras que han dejado huella en las rocas desaparecieron hace millones de años.

Desde que aparecieron las primeras formas de vida, los distintos organismos han sufrido, y sufren, cambios en su aspecto y en la forma de relacionarse con su entorno. Este conjunto de cambios que se producen en todos los seres vivos a lo largo del tiempo, para adaptarse mejor al medio en el que viven, se conoce como evolución.

Selección naturalLa evolución de las especies es algo complejo, pero sobre todo es muy lento, suele durar millones de años. La selección natural sería el proceso por el que la Naturaleza escoge, durante este período tan largo de tiempo, a los que están mejor adaptados y puedan sobrevivir mejor.

Un científico llamado Charles Darwin se dio cuenta de este fenómeno en el siglo XIX. Su pensamiento lo podemos concretar en seis ideas:-Todas las especies producen una descendencia muy numerosa, mayor de la que puede sobrevivir.-Los descendientes, aunque se parecen, son distintos unos de otros.-Como el alimento y otros recursos son limitados, tienen que competir por ellos.-Solamente sobreviven aquellos individuos más capacitados.-Por eso generación tras generación se produce una selección de unos individuos en detrimento de otros menos aptos.-Al final, con el paso del tiempo, la especie va cambiando.

AutoevaluaciónEl doberman y el pastor alemán son dos perros distintos pero pertenecen a la misma,_____________ya que pueden cruzarse y obtenemos una ______________fértil. En cambio si cruzamos una yegua con un burro obtenemos un_____________, que es estéril por lo que los padres, aunque pueden cruzarse ____________no se pueden considerar de la misma ____________"

Di cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:a) La evolución es un proceso complejo que puede durar millones de años.b) La selección natural mantiene a los individuos más desfavorecidos y peor adaptados.c) Siempre han existido las mismas especies en el planeta.d) Aunque dos seres vivos no se parezcan entre ellos pueden pertenecer a la misma especie si comparten el mismo tipo de instrucciones en sus células.

La evolución vista por DarwinVamos a explicarte más despacio las ideas de Darwin:Todas las especies producen una descendencia muy numerosa, mayor de la que puede sobrevivir. Los descendientes, aunque se parecen, son distintos unos de otros.¿A qué crees se deben estos cambios? Ya hemos hablado antes del conjunto de instrucciones de cada célula de un ser vivo, que se conoce como genoma.Cada instrucción recibe el nombre de gen y el conjunto de genes es lo que los padres transmiten a los descendientes. Cada descendiente recibe parte de las instrucciones de su madre y otra parte de su padre,

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de manera que dos descendientes distintos reciben información distinta en función de la parte que reciban.La forma y el funcionamiento de cada especie está determinado por los genes. Sin embargo, éstos sufren con cierta frecuencia modificaciones que pueden alterar su función, es lo que se llama mutaciones.¿Cómo se producen las mutaciones? Las mutaciones se producen como consecuencia de la exposicióna radiaciones y a determinadas sustancias o por los mecanismos de división de las células. En cualquiercaso producen cambios que suelen ser muy perjudiciales, aunque algunas veces, muy pocas, aportan unaventaja para el individuo. Las mutaciones están en los genes, y éstos se transmiten a los descendientes.Luego, también ellas se transmitirán a los descendientes.

Como el alimento y otros recursos son limitados, tienen que competir por ellos. Aquellos que consigan más y mejor alimento,u otros recursos, tendrán mayores posibilidades de supervivencia y de reproducirse.

Solamente sobreviven aquellos individuos más capacitados, es decir, aquellos que estén mejor adaptados al medio que les rodea. Se debe tener en cuenta que el medio puede cambiar y convertir en ventaja lo que antes era desventaja o viceversa.

Por eso generación tras generación se produce una selección de unos individuos en detrimento de otros menos aptos.

Al final, con el paso del tiempo la especie va cambiando. El paso de miles de generaciones hará que se vayan acumulando las mutaciones y por tanto la especie cambie su genoma, es decir, evolucione.

AutoevaluaciónRelaciona los siguientes conceptos (conjunto de genes, alimento, gen, alteración del gen, descendencia numerosa), con la palabra correcta:a) Genomab) Mutaciónc) Truchad) Instruccióne) Recurso limitado

El origen de la vida

Hace 4.000 millones de años,en una atmósfera turbulenta y repleta de gases irrespirables para nosotros, aparecieron, dentro de compartimentos, unas moléculas llamadas ARN, que eran capaces de hacer copias de sí mismas. Con el tiempo, en medio de una feroz lucha por la supervivencia, se fueron rodeando de una sencilla capa protectora que les permitieron soportar las duras condiciones de la Tierra en aquella época. Más adelante fueron evolucionando hasta llegar a ser células, que luego se fueron complicando hasta convertirse en los seres vivos actuales,

Estas antiguas moléculas que se replicaban no se perdieron, se fuero adaptando y están en el interior de todos los seres vivos, concretamente en el interior del núcleo de sus células: son los genesTodo esto ocurrió hace muchos millones de años y por entonces los seres humanos no existíamos y aún nos quedaba mucho, muchísimo, para aparecer sobre la Tierra. Nuestros antepasados surgieron hace 8-10 millones de años, y los que lograron desplazarse de pie (bipedismo) hace sólo 4 millones.

Las condiciones que había en la Tierra cuando apareció la vida hace miles de millones de años, las suponemos gracias al experimento realizado por Stanley Miller.

Autoevaluación Completa las siguientes frases con el final que corresponda:a) Hace 4000 millones de años en la Tierra existía..b) Había unas moléculas, llamadas ARN..c) Los compartimentos permitían sobrevivir más tiempo a las moléculas..d) Con el tiempo los compartimentos ser fueron complicando debido a- que eran capaces de replicarse;- que se produjo una importante lucha por la supervivencia;- que guardaban en su interior;

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-una atmósfera muy turbulenta.

Señala si son verdaderas o falsas las siguientes frasesa) La Tierra era un lugar muy tranquilo cuando la vida comenzó a surgir sobre sus océanos.b) Los compartimentos se ayudaban unos a otros para mejorar su supervivencia.c) En los seres vivos actuales ya no queda rastro alguno de lo que fueron los replicadores.d)Los seres humanos actuales han logrado imitar la atmósfera del planeta primitivo.

Cálculo de probabilidades

Los seres humanos son muy distintos entre sí; sin embargo, sólo se diferencian en una mínima parte parte de sus genes. Cualquier humano, que tiene más o menos 100.000 genes, coincide en 99.800 de estos genes con cualquier otra persona.

Autoevaluación¿Cuál es el porcentaje de similitud entre los genes de dos humanos?a) 99,8%b) 0,02%c)200

Entonces.... ¿cómo con una diferencia tan pequeña entre los genes de dos humanos los hace tan diferentes? A lo largo de la historia siempre se ha querido predecir el futuro,conociendo datos del pasado....A mediados del siglo XVII dos grandes pensadores, Pascal y Fermat,iniciaron el conocido como "Cálculo de probabilidades" en el que se fijaban las bases para "predecir" los acontecimientos, para "medir" la incertidumbre.

Para ver lo que dan de sí estos "200" genes diferentes en cuanto a la diversidad, realizaremos un juego, en el que combinamos sólo cuatro letras, las de la palabra AMOR, veamos que ocurre:........Consiste en fabricar cuatro bolas y en cada una de ellas escribir una letra de la palabra AMOR (una con la A, otra con la M, otra con la O y, por último, otra bola con la R). Introducimos las cuatro bolas en un bombo de la lotería que gira. Se extraen aleatoriamente, al azar, una a una sin reponerlas y se anota según el orden de salida la palabra (con o sin sentido) resultante.

A las experiencias o juegos como éste en los que influye el azar y no sabemos con total seguridad que puede ocurrir se les denominan experimentos aleatorio.

AutoevaluaciónSeñala si las siguientes experiencias son o no experimentos aleatorios:

Medir la temperatura a la que hierve el agua a distintas altitudes.a) Síb) No

Lanzar un dado cúbico al aire y dejarlo caer sobre una mesa y anotar el número de puntos que salga en la cara superiora) Síb) No

Seguimos con el juego. Ahora a través de una serie de actividades veremos que,aunque no se sepa con exactitud que palabra va a salir, sí que podemos controlar que "posibles" resultados pueden darse.Coge un lápiz y un papel y ve haciendo lo que te proponemos, después compruébalo pinchando en las soluciones

Actividad 1Escribe todas las palabras (con o sin sentido) de cuatro letras que pueden salir del bombo.Solución: Como ves hay 24 palabras posibles que forman lo que llamamos espacio muestral

Actividad 2Comienza el juego y sólo puedes apostar por una palabra ¿cuántas posibilidades diferentes tienes?Cada una de estas posibles apuestas es un suceso elemental (sólo un elemento)

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Actividad 3Escribe las palabras que forman cada una de las tres apuestasA: "palabra con sentido en español"B: "palabra que empiece por la letra O"C: "palabra que tenga dos vocales seguidas"Cada una de estas apuestas se conoce como suceso compuesto (más de un elemento)

Ejercicio:

Tenemos un grupo de cinco personas que compiten en una carrera¿De cuántas formas diferentes puede quedar configurado el pódium (puestos 1, 2 y 3)?

Autoevaluación:Describe los espacios muestrales asociados a los siguientes experimentos aleatorios:Lanzar un dado cúbico al aire y dejarlo caer sobre una mesa y anotar el número de puntos que salga en la cara superiora) 1, 2, 3, 4, 5, 6b) Los números menores que el 6c) Los números del 1 al 6

Extraer, sin mirar, una carta de una baraja española y anotar su paloa) Picas, tréboles, corazones y diamantesb) Sota, caballo y reyc) Oros, copas, espadas y bastos

Ahora pensemos que en lugar de 4 letras, jugamos con 200 genes, ¿cuántas "apuestas" diferentespodríamos hacer?........muchísimas......casi incontables

Calculamos probabilidades de forma muy sencillaEn nuestro cuerpo tenemos detalles heredados (forma de la nariz, etc.) y también otros adquiridos en nuestra vida (ejemplo: una cicatriz). Los primeros se llaman caracteres biológicos heredados y los segundos caracteres biológicos adquiridos.

Vamos a ayudarte ahora a entenderlo mejor con el siguiente juego:

El juego de las cajas y la herencia genética

Es muy sencillo. Necesitas tres cajas, tres tarjetas de color verde y dos de color amarillo.Las normas de este juego se pueden resumir en:En cada caja solamente puede haber dos tarjetas ya sean iguales o diferentes.El juego consiste en coger, sin mirar, dos tarjetas de dos cajas diferentes e introducirlas en una tercera que estaba vacía.Cuando se acierta el color de ambas tarjetas se obtienen dos puntos.Si se acierta si son distintas o iguales, se obtiene un punto.Para entender mejor el juego de las cajas vamos a retomar una de nuevo la probabilidad.Hasta ahora sólo habíamos jugado con las letras de la palabra amor, pero ¿y los números? ¿la probabilidadno es un tema de Matemáticas?.En primer lugar: Las Matemáticas no son sólo números.En segundo lugar: Vamos a asociar a cada suceso o apuesta un número entre el 0 y el 1.¿Por qué entre 0 y 1? Intentaremos descubrirlo con el experimento aleatorio "lanzar un dado cúbico al aire...":

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Llamamos frecuencias relativas asociadas a cada cara del dado (sucesos elementales) al número de veces que ha salido esta puntuación dividida entre el número de tiradas totales.Estas frecuencias relativas corresponderán siempre a números entre 0 y 1. La suma de todas estas frecuencias siempre será 1. Así tenemos que:Cuantas más tiradas se hagan con el dado, sin cambiar las condiciones, más estables se muestran dichas frecuencias, que "tienden" a un valor fijo, este número, si no cargamos o trucamos el dado, será el que haremos corresponder a cada suceso y se denominará probabilidad del suceso P(1)= 1/6

Pero, pensemos un momento.......... ¿no te surgen dudas como éstas?.¿Se pueden asignar sin más estos valores?......NO¿Cómo se puede realizar un experimento hasta el infinito? ..... es IMPOSIBLE¿Qué número de veces hay que repetir el experimento para que sea fiable la asignación de probabilidades?...... no se sabe, dependerá del experimento.

Vamos a intentar darles una solución en el apartado siguiente.La forma de definir la probabilidad no es única, se pueden asignar sobre un experimento aleatorio infinitas probabilidades, el matemático o experimentador decidirá, conforme a la ley de los grandes números, cual es la más justa o adecuada.

La fórmula más usual y lógica para asignar probabilidades es la Regla de LaplaceSea A un suceso entonces:

Está claro en el caso del experimento aleatorio "Lanzar un dado cúbico al aire...." que la proba asignada a cada cara es

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En los casos en los que los sucesos elementales NO sean equiprobables (dados cargados, monedastrucadas,.......) NO se podrán asignar probabilidades siguiendo la regla de Laplace.

Autoevaluación:Una empresa tiene en plantilla 10 ejecutivos, 3 encargados para cada una de sus 20 secciones y 25empleados por cada sección. Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a una persona de esta plantilla ésta resulte ser encargado/a.a) 6/57b) 3/38c)20/570

La probabilidad es una medida de la incertidumbre, un intento de cuantificar lo imprevisto, que puede serutilizada para engañar, por ejemplo:

"La probabilidad de morir en un accidente aéreo es de un 95%", esto asusta a mucha gente, pero ¿cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente aéreo? Desde luego, si tenemos en cuenta las cifras de personas muertas en accidentes de aviación y las muertas en accidente de tráfico, éstas últimas ganan por goleada..... lo que ocurre es que las noticias referidas a accidentes aéreos son más espectaculares y producen un impacto que hace que "mentalmente" aumentemos la probabilidad de que estos ocurran.Otro ejemplo es usar mal los referentes lógicos, "El 75% delas estrellas de cine se han sometido a una operación de cirugía estética", puede inducir a pensar que si te sometes a una operación de estética te convertirás en estrella de cine......También existen las paradojas matemáticas, aquí tienes dos ejemplos:

Paradoja del cumpleaños¿Cual crees que es la probabilidad de que, en un grupo de 50 personas,dos de ellas hayan nacido el mismo día? Seguramente creerás que es muy pequeña, pero es de casi un 90%. Incluso en grupos más pequeños de 30 personas, la probabilidad llega al 70%. Si llegas a una fiesta donde haya suficientes personas desconocidas, es una buena forma de ganar una apuesta casi segura.

El juego de los genes

Conociendo los principios de la probabilidad hasta se podría optar a ser un excelente jugador. A un juegosimilar jugaba G. Mendel cuando descubrió las leyes de la herencia.

G. Mendel utilizó la planta del guisante. Su trabajo es muy parecido a nuestro "juego de las cajas".Mendel cortaba los estambres de las flores y las protegía para impedir que se polinizaran de forma natural.Luego, usando un pincel, las polinizaba con el polen que seleccionaba. De esta forma sabía qué plantasintervenían en la formación de las semillas. Sembraba los guisantes y.... cuando crecían se fijaba en los rasgos de las nuevas plantas.

¿Qué vio Mendel?

Al principio, se fijó solamente en una característica, el color de la semilla. Aunque los guisantes que conoces, los que se echan en el arroz o los que se cocinan salteados con jamón serrano, son verdes, los hay de color amarillo.

Él cruzaba plantas con semillas amarillas y otras de semillas verdes. Es curioso, todas las nuevas plantas producían semillas amarillas.

Pero, cuando cruzaba estas plantas hijas aparecían en la siguiente cosecha una pequeña proporción con semillas verdes (un 25 %, aproximadamente). Tiene una explicación fácil. Como en las cajas:

Las semillas contienen, al igual que las cajas de nuestro juego, información por duplicado del color amarillo y del color verde.

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Cada planta trasmite a la nueva generación la mitad de la información que contiene. Si contiene información del color amarillo y del verde, pasará a sus descendientes una de las dos.

Se puede calcular la probabilidad de los rasgos que reciben (heredan) las nuevas plantas.

Algunos rasgos no se manifiestan, como el color verde de las semillas, en presencia de información distinta, como el color amarillo. Se dice que el verde es un rasgo recesivo, frente al amarillo que se llama dominante.

Estas son algunas de las conclusiones que obtuvo Mendel. Hoy en día conocemos mucho mejor los mecanismos por los que se transmite de padres a hijos los caracteres hereditarios.Por ejemplo el color oscuro de cabellos y ojos es un rasgo dominante, así que de un padre rubio y una madre morena, lo más"probable" es que el hijo o hija sea moreno.

También es cierto que, de dos padres con ojos oscuros puede nacer un bebé de ojos azules.......y que no sea del vecino. Vamos a verlo con la siguiente ejemplo:Juan y María tienen los ojos oscuros, su bebé, Alejandro, tiene los ojos azules esto ha podido ocurrir porque tanto Juan como María tenían un antepasado de ojos azules que les dejo en su código genético este "gen recesivo" (está ahí y no se ve). Con este gráfico seguro que lo entiendes:(Si tu gráfico está en blanco y negro, el azul está representado por el círculo más pequeño).Bueno, en realidad esto no es exactamente así, lo hemos simplificado un poco para que te resulte comprensible. En realidad el color de los ojos depende de varios genes y la cosa es algo más complicada.

Autoevaluación¿Qué probabilidad existe de que los ojos de Alejandro sean azules sabiendo que tanto su padre, Juan , como su madre, María, tienen en su código genético un gen recesivo de ojos azules aunque se muestren con ojos oscuros?a) Cerob) 50%c) 25%

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Los estudios de G. Mendel con guisantes se realizaron a finales del siglo XIX. Más tarde, en 1.963, dos jóvenes investigadores J. Watson y F. Crick descubrieron la estructura de un compuesto químico que los seres vivos tenemos en nuestras células, el ADN. En el caso del ser humano, cada una nuestras células contiene 23 pares de moléculas de ADN "empaquetadas" en unas "cajas" que conocemos como cromosomas.

En realidad el cromosoma se parece, al microscopio, a una madeja de hilo. Si pudiésemos desenmarañar laveríamos como cada trocito contiene la información de un rasgo hereditario que determina nuestro aspecto. En cada par de cromosomas hay una media de 4.000 genes.

El juego de la herencia genética es, finalmente, más complicado que nuestro "juego de las cajas".¡Necesitaríamos 23 pares de cajas y 100.000 pares de tarjetas de colores! ¿Quién podría acertar la combinación? Una interesante web que puedes consultar: DEL ADN AL SER HUMANOhttp://www.bbc.co.uk/spanish/extra0006genomaa5.htm

Sucesión de Fibonacci, proporción áurea y número “phi”

El Partenón, La Gionconda y un violín tienen en común algo: las Matemáticas. Cada una de estas figuras contiene en su estructura una misteriosa relación matemática. Al dividir entre sí ciertas medidas clave de sus elementos obtenemos siempre el mismo número: 1,618...,y esto sin tener en cuenta la escala de la imagen, ni el patrón elegido.

Este número "mágico" también se puede escribir de esta forma:

Esta proporción se sabía desde la antigüedad. Se denominaba número de oro, razón áurea y hasta divina proporción. Otro nombre para definir esta proporción era phi (φ o ϕ), en honor a un gran escultor y arquitecto griego de la antigüedad llamado Fidias (principal exponente de la época más gloriosa de la Atenas clásica).

Pero, ¡qué casualidad!, también se ajustaba al nombre de un gran matemático italiano de comienzos del siglo XIII, conocido como Fibonacci (¿te suena de algo este nombre?, piensa,piensa que quizá ya lo hayas visto a lo largo del tema de otra forma...) (su verdadero nombre era Leonardo de Pisa), famoso por la conocida sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos. Esta sucesión está íntimamente ligada al número áureo..... ¡Quién podía imaginarse que la reproducción de los conejos encerraba el "secreto" de la belleza!.... aunque, ¿hay algo más bello que la vida?Los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, ....

AutoevaluaciónLa sucesión anterior llega hasta el número 233, ¿cuál sería el siguiente?a)280b)375c)377

Descubriendo a phiEn esta representación conocida como pentágono regular estrellado o pentagrama, si dividimos entre sí determinados segmentos dará como resultado 1,618.....,.

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Este resultado no dependerá de si el pentágono es mayor o menor, si la unidad de medida que tomemos (en todo caso siempre la misma) sean milímetros, centímetros, pulgadas o kilómetros. Es una proporción estable y que siempre dará como resultado 1,618......φ

Seguimos con el segundo objeto: La concha marina conocida también como Nautilus. Esta preciosa pieza nacarada, equivaldría a una de las figuras matemáticas más bella, la espiral logarítmica. Tomando una representación de dicha espiral logarítmica, o de Durero, podremos observar un hecho curioso:Está formada por sucesivos rectángulos en proporción áurea, por ejemplo el rectángulo ABCD es áureo, esy así sucesivamente.

Además podemos ver otra curiosa cualidad de esta espiral:Para la construcción partimos desde un pequeño rectángulo áureo (de color rojo). Ayudándonos de arcos iremos construyendo cuadrados, que en conjunto se irán formando otros rectángulos áureos. De esta forma los arcos trazados constituyen una espiral logarítmica. Además, podemos observar cómo elementos de la sucesión o serie de Fibonacci aparecen reflejados proporcionalmente a las unidades de medida que hayamos usado para la construcción de la espiral. En la segunda imagen se observa mucho mejor.

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Los conejos, la sucesión de Fibonacci y el número de oroSupongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos, deberán esperar un mes para poder reproducirse, teniendo una nueva pareja de conejitos, así al cabo de dos meses serán dos las parejas: la inicial y la pequeñita. En el tercer mes la primera pareja se vuelve a reproducir, teniendo una nueva parejita, los pequeños no se reproducen porque aún deben madurar. En el cuarto mes ya hay dos parejas reproductivas y una inmadura, en total cinco.Si seguimos la misma pauta aparecerá los números que conforman la serie de Fibonacci, observa la siguiente imagen:

Recogemos los datos en la siguiente tabla:

Jugando con los términos de la sucesión de Fibonacci (que coinciden, como puedes observar con el total de

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pares de conejos) se obtendría una curiosa propiedad: al dividir un término entre el anterior se va obteniendo un cociente que cada vez se aproxima más y más al valor del número de oro.Puedes verlo en esta tabla: (Tomamos como valor aproximado de phi con una precisión de diez cifras decimales al número 1,6180339887)

Muy importante:Jamás podremos escribir con cifras el valor de phi al ser un número irracional, es decir, unnúmero con infinitas cifras decimales no periódicas. Por tanto cualquier valor que tomemos para phi no será más que una mera aproximación. Otros números irracionales famosos serían π, e,√2, etc.....

Cuanto más prolonguemos esta tabla, veremos como el cociente está cada vez más próximo al valor de las primeras cifras decimales de phi. Los matemáticos tienen una forma peculiar de transcribir esta propiedad, sería algo así:

No te preocupes, es extraño pero sencillo de comprender, significaría que si seguimos dividiendo cada término de esta sucesión entre el anterior hasta el infinito (bueno, lo más que podamos), llegaremos al valorexacto de phi. Esto es lo que se llama un límite en el infinito...... pero calma, no te lo pediremos... ¿o sí?......

Autoevaluación:vigésimo primero y vigésimo de la sucesión de Fibonacci? ¿A cuántas cifras decimales de phi nos aproximaremos?a) 10946 : 6765 = 1,6180339985aproximación a 7 cifras decimales de phib) 10477 : 6475 = 1,6180694980aproximación a 4 cifras decimales de phic) 10477 : 6475 = 1,6180694980aproximación a 5 cifras decimales de phi

Creando con phiEn el antiguo Egipto ya, se trabajaba siguiendo las pautas de la proporción áurea,prueba de ello eran las famosas y misteriosas pirámides. También se encuentra en la Acrópolis de Atenas y en las creaciones del gran Leonardo da Vinci. (por ejemplo: la Gioconda) e incluso en creaciones contemporáneas.

La unión entre Arte y Matemáticas no sólo se basa en la proporción áurea, existen infinidad de ejemplos que llevarían años de estudio. En Andalucía se encuentran dos ejemplos de interés y belleza sin igual, la Proporción cordobesa ( c ) y los frisos y mosaicos de la Alhambra de Granada.La música, los instrumentos musicales y las matemáticas están íntimamente ligados: las "efes" de los violines están colocadas siguiendo la razón áurea. Las sonatas de Mozart, la Quinta de Beethoven, Debussy, etc, tienen relación con la proporción áurea.

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El gran secreto de Phi

Esta proporción está muy relacionada con el concepto de belleza del cuerpo humanoObserva la imagen de la izquierda, es el conocido como"Hombre de Vitrubio" de Leonardo da Vinci. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos del arquitecto de la antigua Roma, Vitrubio,del que el dibujo toma su nombre. El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea.

Conociendo ya el "secreto de phi" no es de extrañar que la proporción áurea impregne muchos de los diseños de los objetos creados por los humanos, desde la forma de un coche, de una ventana, de un libro, de un pupitre, la clásica calculadora, de cómo se ha construir una habitación para que el sonido sea perfecto en ella, un Ipod............. hasta algo muy importante, desgraciadamente para todos, cuando llegamos a fin de mes: la tarjeta de crédito, la billetera y el DNI .

Autoevaluación:Imagina que tienes que deseas que una imagen tenga forma de rectángulo áureo. Sabemos que la altura del rectángulo tiene de medida 450 pixeles, ¿Qué medida, aproximadamente, deberías darle a la base del rectángulo?a) 728 pixelesb) 800 pixelesc)740 pixeles

El número e, clave del crecimiento de las poblaciones

El crecimiento de poblaciones es exponencial, pero con un matiz, es continuo, los nuevos nacidos nosustituían a los progenitores, se acumulan.......igual que el interés bancario.......

La clave del crecimiento continuo de poblaciones la tenía encerrada un número que tardó mucho tiempo en ser "descubierto", concretamente hasta mediados del siglo XVII, gracias a John Napier, y mucho más en conocer todo su potencial, que llegó de manos del gran Leonhard Euler, al que debe su nombre: El número e.

Se trata de un número irracional, recuerda que un número irracional es un número con infinitas cifras decimales no periódicas. Su valor aproximado es 2, 7182818284590452354....... y su definición no es única, la más conocida es:

Crecimiento exponencial de una población (modelo "Malthusiano".)

Este número e, es también la base de unos logaritmos conocidos como logaritmos neperianos, en honor aNapier, y que se representan como ln, y seguro que lo encuentras en todas las calculadoras científicas en latecla “ln”.

Pero ¿qué tiene que ver este extraño número con el crecimiento de las poblaciones? Pues tiene que ver

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todo. El economista Malthus calculó el crecimiento de la población de la Tierra, el número de habitantes del planeta tomando como instante inicial el año 1961 con la fórmula:

Donde: t serían el número de años transcurridos desde 1961; Mt sería el número de habitantes en la Tierra transcurridos; t años desde 1961;3 061 000 000 es la población mundial en el año 1961; 0,02 es la tasa de crecimiento que calculó Malthus tendría la población mundial; e ≈ 2,718281828459.

Según este modelo, la gráfica correspondiente al número de habitantes del planeta, desde 1961 hasta el año 2008 sería la siguiente:

En general, el término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M que crece con el tiempo de acuerdo con la ecuación:

Donde:Mt es valor de la magnitud en el instante de tiempo t;

M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;

r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el tiempo transcurridoentre t = 0 y el instante de tiempo t;

e ≈ 2,718281828459

Autoevaluación

Coge una calculadora y calcula los habitantes que, según la fórmula anterior y aproximadamente, tendrá latierra en el año 2010.a) 6.667 millonesb) 8.987 millonesc) 5479 millones

Veamos otro ejemplo:

En el año 2004 en la provincia de Huelva se produjeron 5.237 nacimientos y 4.126 defunciones sobre una población media de 483. 792 habitantes. Si la tasa natural de crecimiento se mantuviese durante los próximos 10 años, ¿cuántos habitantes habría en la provincia de Huelva?

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Autoevaluación

En el año 2004 en la provincia de Almería se produjeron 7.505 nacimientos y 4.350 defunciones sobre una población media de 612. 315 habitantes. Si la tasa natural de crecimiento se mantuviese durante los próximos 10 años, ¿cuántos habitantes habría en la provincia de Almería?a) 650. 456 habitantesb) 644. 691 habitantesc) 604. 918 habitantes

Volvamos de nuevo a las bacterias, con un nuevo ejercicio:

Un experimento de cultivo de cierta bacteria, se inicia con 50 bacterias, y al cabo de dos horas se encontró que se habían convertido en 125. Si se sigue el modelo exponencial, ¿cuántas de ellas habrá presentes en el cultivo al cabo de 5 horas?

Solución.Primer paso: Debemos calcular la tasa de crecimiento ( r ), para ello recogemos los datos, que son: M0 = 50 bacterias, Mt = 125 bacterias, t = 2 horas. Sustituimos en la fórmula y tenemos:

Segundo paso: Despejamos r de la fórmula, para ello se debe seguir este proceso.Dividimos los dos miembros de la ecuación entre 50, quedando:

Calculamos el logaritmo neperiano (ln) a los dos miembros de la ecuación:

así tendremos:

para calcular el logaritmo neperiano de 2.5, sólo debes escribir en la calculadora 2.5 y pulsar la tecla “ln”, el logaritmo neperiano del número e, es uno, por tanto en el segundo miembro se nos queda el exponente despejado, que es 2·r.

Dividimos ambos miembros entre 2, quedando:

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Tercer paso: Como ya tenemos la tasa de crecimiento, r, volvemos a sustituir en la fórmula, con los datos:

, así tendremos:

Cuarto paso: Damos la solución, que será, "Al cabo de 5 horas, habrá unas 494 bacterias en el cultivo"

Autoevaluación

En el año 1970 la población en Andalucía era de 5 991 076 habitantes, en el año 2006 la población había aumentado hasta los 7 975 672 habitantes. Continuando con esta tasa de crecimiento, ¿qué población se espera que haya en Andalucía en el año 2020?

a) 10 618 480 habitantesb) 11 894 456 habitantesc) 9 456 782 habitantes

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