tema 1 fundamentos de la lógica difusa

5/7/2018 Tema 1 Fundamentos de la Lógica Difusa - slidepdf.com

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Tema 1

Fundamentos de la Lógica Difusa

M. en C. Yesenia E. González Navarro

UPIITA‐IPN



Teoría de Conjuntos Clásicos o

CerterosPara los conjuntos certeros A y B que contienen elementos en el universo X,

elemento x que pertenece al universo X

elemento x ue ertenece al con unto A

⇒∈ X x

⇒∈ x

elemento x que no pertenece al conjunto A⇒∉ A x

es comp e amen e con en a en

(si x A, entonces x B)

A está contenida en o es equivalente a B

⇒⊂ B A

⇒⊆ B A

y A B ⊆ A B ⊆⇒= B A



Unión Intersección

AA

{ } B xo A x x B A ∈∈=∪ | { } B x y A x x B A ∈∈=∩ |

BX

BX



A A

Complemento Diferencia (A|B)

X BX

{ } X x A x x A ∈∉= ,| { } B x y A x x B A ∉∈= |



Conmutativa A B B A ∪=∪

Asociativa

A B B A ∩=∩

( ) ( ) C B AC B A ∪∪=∪∪

Distributiva

C B AC B A ∩∩=∩∩ )(

( ) ( )C A B AC B A ∪∩∪=∩∪ )(

Idempotencia

( ) ( ) ( )C A B AC B A ∩∪∩=∪∩

A A A =∪

A A A =∩



Identidad

A X A

A A

=∩

=Θ∪

Transitiva Si , entoncesC B A ⊆⊆ C A⊆

X X A

A

=∪

Θ=Θ∩

Involutiva A A =

Ley del Medio Excluido

Ley de la Contradicción

X A A =∪

Θ=∩ A A

Leyes de D’ Morgan

B A B A ∩=∪ ∪=∩



Transformación de Conjuntos

Clásicos a Funciones



Funciones de Membresía para

Conjuntos CerterosUna mejor representación para la manipulación matemática de los

conjuntos teóricos se logra al convertir estos conjuntos a funciones.

Sea la función característica⎧ ∈

=A x

x,1

)( χ

donde χ A

expresa “membresía” en el conjunto A para el elemento x en

el universo. χ

∉ x,

1 A

00 x



Sean los conjuntos A y B definidos en el universo X. A continuación se

describen las operaciones de estos conjuntos en términos de funciones:

Unión ( ))(),(max)()()( x x x x x B A B A B A B A χ χ χ χ χ =∨=→∪ ∪

χ

1A B

χ

1A B

00 x

00 x



( ))(),(min)()()( x x x x x B A B A B A B A χ χ χ χ =∧=→∩ ∩Intersección

χ χ

1A B

1A B

00 x

00 x



−= A A

χ χ

1A

1A

00 x

00 x



χ χ

, B A

1A B

1A B

00 x

00 x



1. Un conjunto difuso es aquel donde el cambio de pertenencia a no

pertenencia o viceversa es gradual.

2. Un conjunto difuso debe ser continuo y monotónicamente crecienteo ecrec en e.

3. Un conjunto difuso puede pasar de no pertenencia a pertenencia y

de nuevo a no pertenencia, pero, una vez que decae, no puede.

4. Al menos un elemento del conjunto difuso debe tener el mayorgrado de pertenencia posible (uno).

5. El con unto difuso debe estar definido en todo el universo.



Funciones de Membresía Difusas en

Una Dimensión

Funciones discretas referente al ti o de ro ramación .

⎪⎧

≤<−

≤

b xaa x

a x

,

,0

⎪⎪⎧

≤<−

− ≤b xa

ab

a xa x

,,0

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎨

<

≤<−

−−=

xc

c xbbc

xcacba xTriangular

,0

,

,,; ( )

⎪⎪⎪⎨

≤<

−

−≤<=

d xc

cd

xd c xbd cba xlTrapezoida

,

,1,,,;

µ µ,

1A

1A

00 x

a b c

00 x

a b c d



Funciones continuas.µ

( )2

2

1

,;⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −−

= σ σ

c x

ec xGaussiana

A

21

0 x cσ

µ

(Con el valor de b

( )b

a

c xcba xCampana

2

1

1,,;

−+

= 21

usua men e pos vo .0 0 x

ac



µ

( ) ( )c xae

ca xSigmoide−−+

=1

1,;

1 A

0.5

00 x cEl parámetro a controla la razón de

cambio de la pendiente.



Operaciones con Funciones de

Sean los conjuntos A y B definidos en el universo X.

Membresía Difusas

Unión ( ))(),(max)()()( x x x x x B A B A B A B A χ χ χ χ χ =∨=→∪ ∪

χ

1 A B

χ

1 A B

00 x

00 x



( ))(),(min)()()( x x x x x B A B A B A B A χ χ χ χ =∧=→∩ ∩Intersección

χ χ

1A B

1A B

00 x

00 x



1 x x A −=→

χ χ

1A

1A A

00 x

00 x



, B A

χ χ

1A B

1A B

B

00 x

00 x



definido sobre el universo X las operaciones que describen a:

Ley del medio excluido X A A =∪



Caracterización de Universos de

Discurso



Un universo difuso está completamente

caracter za o por sus unc ones e mem res a.

µBa a Media Alta

1Caracterización de la variable“Velocidad” empleando funcionesde membresía discretas.

Velocidad [Km/h]0 200

1Caracterización de la variable“Velocidad” empleando funcionesde membresía continuas.

a a e a ta

00 200 Velocidad [Km/h]



Aparte de cumplir con las condiciones antes mencionadas, al

z ,

estos conjuntos deben traslaparse, ya que es precisamente mediante eltraslape como la lógica difusa manipula la ambigüedad o incertidumbre.

1

µ ¡Sí!

1

µ No

0 0

Universo de discurso Universo de discurso



Es importante mencionar que la difusividad no provienede la aleatoriedad de los elementos que constituyen los

conjuntos, pero sí proviene de la incertidumbre e

imprecisión de pensamientos y de conceptos

.



Operaciones elementales

aplicables a los conjuntos difusos



Notación Convencional para Conjuntos

Difusos

Universo discreto finito:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +++= ∑

i i

i A

n

n A A A

x

x

x

x

x

x

x

x A

)()()()(

2

2

1

1 μ μ μ μ K

Universo

continuo

e

infinito:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∫ x

dx x A A )(μ



Ejemplo de un conjunto difuso con

250200150100500= X

elementos discretos en el universo

donde X es la temperatura en grados centígrados de un horno casero.

A= Temperatura media de cocción μ

0.5

X x x x A ∈= |

0

0 50 100 150 200 250

Tem eratura °C⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++++=250

3.0

200

7.0

150

1

100

7.0

50

3.0

0

1.0 A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3.0,250,7.0,200,1,150,7.0,100,3.0,50,1.0,0= A



Ejemplo de un conjunto difuso con

elementos continuos en el universo+= R X

donde R+ son las edades posibles en los humanos (en años)B = Edades cercanas a 50 años ( ){ } X x x x B B ∈= |)(,

4

10

501

)(

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

= x

x Bμ



Operaciones difusas

Ejemplo 1

uponga as s gu entes unc ones e mem res a scretas

para un transistor y un resistor:⎫⎧ 18.06.04.02.00⎫⎧ 19.08.07.03.00

Para estos dos conjuntos difusos realizar lo siguiente:

⎭⎩ 543210 R

⎭⎩ 543210T

µT µR

2) µT µR 6) Graficar µT

y µR

3 ue re resentan las curvas de ?

RT μ μ ∧

4) Rμ



Ejemplo 2

Considere los conjuntos difusos A, B y C definidos en el

nterva o = , e os n meros rea es por as unc ones

de membresía:

Determine la notación matemática y grafique las

2)(

+= x

x Aμ x

B x−= 2)(μ 2

)2(101)(

−+=

x xC

funciones de membresía para cada una de las siguientes

operaciones:

2) 4)

,,

C BC A B A ∪∪∪ ,,

,,

C AC BC A ∪∩∩ ,,



Operadores

T‐norma y S‐norma



‐

forma general por una función]1,0[]1,0[]1,0[: →×T

que agrega dos grados de membresía de la siguiente manera:

)(*

~

)())(),(()( x x x xT x B A B A B A μ μ μ μ μ ==∩

donde es un operador binario para la función T. Este tipo de

operadores de intersección difusa se conocen como

o eradores T‐norma norma trian ular.

*~



‐

Mínimo:Producto algebraico:

bababaT ∧== ),min(),(min

babaT ap ⋅=),(

Producto frontera: )1(0),( −+∨= babaT bp

⎧ = 1,baro ucto r st co:

⎪⎩

⎨

<

==

1),(,0

1,),(

ba

abbaT dp



‐

Al igual que la intersección difusa, el operador de unión difusa

está especificado en general por una función101010: →×S

que agrega dos grados de membresía de la siguiente manera:

)(~

)())(),(( x x x xS B A B A B A μ μ μ μ μ +==∪

donde es un operador binario para la función S. Este tipo deoperadores de unión difusa se conocen como operadores S‐

norma o T‐conorma.

+~



‐

Máximo:Suma algebraica:

bababaS ∨== ),max(),(max

bababaSas ⋅−+=),(

Suma frontera: )(1),( babaSbs +∧=

⎧ = 0,ba

Suma drástica:⎪⎩

⎨

>

==

0),(,1

0,),(

ba

abbaSds



Aplique los distintos operadores T‐norma y S‐norma a los

siguientes conjuntos difusos descritos en el mismo universo:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++++=5

1

4

8.0

3

6.0

2

4.0

1

2.0

0

0 Rμ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++++=5

1

4

9.0

3

8.0

2

7.0

1

3.0

0

0T μ



Obtener las gráficas de los distintos operadores T‐norma y S‐

norma aplicados a los siguientes conjuntos difusos (considere

= ‐ , .

4

51

1)(

⎟ ⎞⎜⎛ +

+

=

x

x Aμ 25

1

1)(

⎟ ⎞

⎜⎛ −

+

= x

x Bμ

5.7

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