Unidades básicas

Magnitud Nombre Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Intensidad de corriente eléctrica

ampere A

Temperatura termodinámica

kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd

Unidad de longitud: metro (m)

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.

Unidad de tiempo

El segundo (s) es la duración de 9 192 631770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Unidad de intensidad de corriente eléctrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro

en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.

Unidad de temperatura termodinámica

El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvin, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K por definición.

Unidad de cantidad de sustancia

El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

Unidad de intensidad luminosa

La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

UnidadesdefinidasapartirdelasunidadesSI,peroquenosonmúltiplososubmúltiplos

decimalesdedichasunidades.

Magnitud Nombre Símbolo Relación Ángulo plano

vuelta 1 vuelta = 2 π rad

grado º (π/180) rad

minuto de ángulo

' (π /10800) rad

segundo de ángulo

" (π /648000) rad

Tiempo minuto min 60 s hora h 3600 s día d 86400 s

UnidadesSIderivadasLas unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1.

Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.

Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton metro al joule.

UnidadesSIderivadasexpresadasapartirdeunidadesbásicasysuplementarias.

Magnitud Nombre Símbolo Superficie metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 Velocidad metro por segundo m/s Aceleración metro por segundo

cuadrado m/s2

Número de ondas

metro a la potencia menos uno

m-1

Masa en volumen

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Velocidad angular

radián por segundo rad/s

Aceleración angular

radián por segundo cuadrado

rad/s2

Unidad de velocidad

Un metro por segundo (m/s o m·s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo.

Unidad de aceleración

Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m·s-2) es la aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s.

Unidad de número de ondas

Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.

Unidad de velocidad angular

Un radián por segundo (rad/s o rad·s-

1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián

Unidad de aceleración angular

Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad·s-2) es la aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.

UnidadesSIderivadasconnombresysímbolosespeciales.

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en otras unidades

SI

Expresión en

unidades SI básicas

Frecuencia hertz Hz s-1 Fuerza newton N m·kg·s-2 Presión pascal Pa N·m-2 m-1·kg·s-2 Energía, trabajo, cantidad de calor

joule J N·m m2·kg·s-2

Potencia watt W J·s-1 m2·kg·s-3 Cantidad de electricidad carga eléctrica

coulomb C s·A

Potencial eléctrico fuerza electromotriz

volt V W·A-1 m2·kg·s-3·A-1

Resistencia eléctrica

ohm Ω V·A-1 m2·kg·s-3·A-2

Capacidad eléctrica

farad F C·V-1 m-2·kg-

1·s4·A2 Flujo magnético

weber Wb V·s m2·kg·s-2·A-1

Inducción magnética

tesla T Wb·m-2 kg·s-2·A-1

Inductancia henry H Wb·A-1 m2·kg s-2·A-2

Unidad de frecuencia

Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo.

Unidad de fuerza Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.

Unidad de presión Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

Unidad de energía, trabajo, cantidad de calor

Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.

Unidad de potencia, flujo radiante

Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.

Unidad de cantidad de electricidad, carga eléctrica

Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.

Unidad de potencial eléctrico, fuerza electromotriz

Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt.

Unidad de resistencia eléctrica

Un ohm (W) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

Unidad de capacidad eléctrica

Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.

Unidad de flujo magnético

Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.

Unidad de inducción magnética

Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.

Unidad de inductancia

Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón

de un ampere por segundo.

Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en

unidades SI básicas

Viscosidad dinámica

pascal segundo Pa·s m-1·kg·s-1

Entropía joule por kelvin J/K m2·kg·s-2·K-1

Capacidad térmica másica

joule por kilogramo kelvin

J/(kg·K) m2·s-2·K-1

Conductividad térmica

watt por metro kelvin

W/(m·K) m·kg·s-3·K-1

Intensidad del campo eléctrico

volt por metro V/m m·kg·s-3·A-1

Unidad de viscosidad dinámica

Un pascal segundo (Pa·s) es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia.

Unidad de entropía Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema

que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible.

Unidad de capacidad térmica másica

Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg·K) es la capacidad térmica másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin.

Unidad de conductividad térmica

Un watt por metro kelvin W/(m·K) es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt.

Unidad de intensidad del campo eléctrico

Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb.

Nombresysímbolosespecialesdemúlt iplosysubmúltiplosdecimalesdeunidadesSIautor izados

Magnitud Nombre Símbolo Relación Volumen litro l ó L 1 dm3=10-3 m3

Masa tonelada t 103 kg Presión y tensión

bar bar 105 Pa

Unidadesdef inidasapartir de lasunidadesSI,peroquenosonmúlt iplososubmúltiplosdecimalesdedichas

unidades.

Magnitud Nombre Símbolo Relación Ángulo plano

vuelta 1 vuelta= 2 π rad

grado º (π/180) rad

minuto de ángulo

' (π /10800) rad

segundo de ángulo

" (π /648000) rad

Tiempo minuto min 60 s hora h 3600 s día d 86400 s

UnidadesenusoconelSistemaInternacionalcuyovalorenunidades

SIsehaobtenidoexperimentalmente.

Magnitud Nombre Símbolo Valor en unidades SI

Masa unidad de masa atómica

u 1,6605402 10-27 kg

Energía electronvolt eV 1,60217733 10-19 J

Múltiplosysubmúltiplosdecimales

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 1024 yotta Y 10-1 deci d 1021 zeta Z 10-2 centi c 1018 exa E 10-3 mili m 1015 peta P 10-6 micro µ 1012 tera T 10-9 nano n 109 giga G 10-12 pico p 106 mega M 10-15 femto f 103 kilo k 10-18 atto a 102 hecto h 10-21 zepto z 101 deca da 10-24 yocto y

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Magnitudes escalares.- Son las que quedan definidas por un número real (duración de un suceso, área, volumen, temperatura, etc.). Magnitudes dirigidas.- son las que necesitan para quedar definidas, además de un valor numérico, una dirección y un sentido (movimiento de un proyectil, distancia entre dos puntos en un orden determinado, etc.). Representación gráfica de las magnitudes dirigidas.- Estas magnitudes se representan mediante un segmento cuya longitud significa el valor numérico de la medida de la magnitud; con una flecha indicadora del sentido. Características que definen una magnitud dirigida.- Son el módulo, la dirección y el sentido. Magnitudes dirigidas equipolentes.- Son las que tienen la misma dirección y sentido y el mismo módulo. Magnitudes vectoriales.- Son una clase especial de magnitudes dirigidas que gozan de la propiedad de sumarse y se les llama vectores.

Clasificación de los vectores: Vectores libres: Son los que pueden trasladarse a cualquier punto del espacio conservando la dirección el sentido y el módulo. Vectores deslizantes: Son aquellos que sólo pueden trasladarse sobre la recta que los contiene. Las fuerzas son vectores deslizantes. Vectores fijos: son aquellos que están ligados a un origen Vectores axiales: Son los que están ligados a un sentido de rotación. Aplicación de un vector a un punto.- Aplicar un vector a a un punto P, es considerar en P un vector equipolente al a, o bien determinar un punto Q tal que PQ = a.

Vector unitario.- Es cualquier vector dividido por su módulo. El vector que resulta es de la misma dirección y sentido que el vector original pero de módulo unidad. Los vectores unitarios a veces se les llama versores. Con mucha frecuencia se utilizan las letras i, j y k para designar vectores unitarios en las direcciones respectivas de los ejes coordenados X, Y, Z. Vectores opuestos.- Son dos vectores a y b de igual módulo, tales que su dirección es la misma y sus sentidos contrarios. Suma de vectores.- Se define por la regla del polígono que consiste en aplicar a a un punto cualquiera P para obtener Q; aplicar b en Q para

obtener R, etc. Y definir la suma por el vector s = PR. Propiedades de la suma de vectores: Uniforme: PQa ! Si 'aa = PQa =' QRb ! Si 'bb = QRb =' luego:

'' baPRQRPQba +==+=+

'' baba +=+

Conmutativa: PQa ! PSQRb == QRb ! STPQa == como TR ! resulta: PRQRPQba =+=+ PRSRPSSTPSab =+=+=+

de donde: abba +=+ Asociativa: RTcQRbPQa === ;; QRPQba +=+ RTQRcb +=+ PTRTPRcba =+=++ )( PTQTPQcba =+=++ )(

de donde: )()( cbacba ++=++ Diferencia de vectores.- Dados dos vectores a y b definiremos la diferencia (a-b) por otro vector d que se obtiene sumando a con el contrario a b.

)( badba !+==!

P

Q

S

R

T

a

b

s a+ b =

Producto de un escalar por un vector.- De la definición de suma se deduce que la suma de m vectores a dará un vector que tendrá la misma dirección y sentido que a y módulo m veces mayor que el de a. Esto nos conduce a definir el producto de un vector a por un número real m, como un vector ma que tiene la misma dirección y sentido que a (si m > 0) y sentido contrario (si m< 0) y cuyo módulo es ma (m veces el de a). Relación entre dos vectores paralelos.- Cualquier vector dividido por su módulo es un vector unitario de la misma dirección y sentido. Si dos vectores son paralelos, se puede expresar siempre uno de ellos en función del otro y se dice que los vectores están linealmente asociados. Sean dos vectores a y b paralelos, del mismo sentido. Los vectores ab y ba serán iguales por tener además de la misma dirección y sentido el mismo módulo: ab = ba.

Entonces de ab = ba, se deduce que bb

aa = si a y

b tienen igual dirección, pero sentidos opuestos

bb

aa != en ambos casos se dice que los dos vectores a y b paralelos están linealmente asociados o que se puede expresar uno en función del otro porque existen dos números !" , tales que

0=+ ba !" siendo 0!" y 0!" .

Si aµ es un vector unitario de la dirección y sentido

de a podemos escribir aaa µ= luego a

aa

1=µ

Componentes de un vector.-

En virtud de la definición de suma, todo vector a puede descomponerse en la suma de sus proyecciones sobre los tres ejes coordenados. Se ve claramente en la

figura adjunta que kajaiaa zyx ++= , es decir: el vector a es igual a la suma de sus proyecciones, a las cuales se les confiere un carácter vectorial multiplicándolas por los correspondientes vectores unitarios i, j, k en las direcciones respectivas de los ejes X, Y, Z. Pues bien, a esas proyecciones se las llama componentes del vector a.

Módulo de un vector.- Es el valor que resulta al extraer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

222

zyxaaaa ++=

Cosenos directores.- Las proyecciones de un vector a sobre los tres ejes coordenados son

Z

X

Y

a

ay

az

ax i

j

k

zyxaaa ,, respectivamente. Dichas proyecciones

forman con el vector a ángulos !" , y ! respec-tivamente, cumpliéndose en cada caso que:

!cosaax= !cosaa

y= !cosaa

z= donde

!cos , !cos , !cos reciben el nombre de cosenos directores del vector a. Suma de vectores dados por sus componentes.- Conocidas las componentes de dos vectores a y b.

kajaiaa zyx ++= kbjbibb zyx ++=

se define la suma a+b como un nuevo vector : s = a + b = kbajbaiba zzyyxx )()()( +++++ es decir: el nuevo vector tiene por componentes la suma de las componentes de los vectores sumandos. Esto se generaliza para el caso de más vectores. Diferencia o Resta de vectores dados por sus componentes.- La diferencia de dos vectores a y b dados por sus componentes es igual a un nuevo vector cuyas componentes son la diferencia de las componentes de los vectores minuendo y sustraendo: d = a - b = kbajbaiba zzyyxx )()()( !+!+! Producto escalar de dos vectores.- Dados dos vectores a y b que forman un cierto ángulo ! entre ellos, se define el producto escalar de ambos, que designamos ba ! por la magnitud escalar que resulta

de: bproyababa =!=! "cos que es equivalente a decir: el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. De la definición resulta que el producto escalar es:

positivo si 2

!" < , nulo si

2

!" = siempre que

0!a y , 0!b puede tomar también valores negativos considerando las situaciones de valor de los vectores y del ángulo que forman establecidas anteriormente. Los vectores unitarios de una terna ortogonal de ejes: i, j y k cumplen las relaciones:

0=!=!=! ikkjji y 1=!=!=! kkjjii El producto escalar es conmutativo: bproyababa =!=! "cos es decir es el producto de dos escalares (de dos números) y como tal es conmutativo. Luego abba !=! El producto escalar es distributivo:

=+! )( cba

cabacproyabproyacbproya !+!=+=+ )( El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo:

2222

zyxaaaaaa ++==! de donde:

222

zyxaaaa ++=

la expresión analítica del producto escalar es: zzyyxx babababa ++=!

la condición de perpendicularidad entre dos vectores se expresa por su producto escalar. Dos vectores se

dice que son perpendiculares cuando su producto

escalar es nulo, pues 02

cos =!

luego

bababa !"==# 02

cos$

para 0!a y 0!b El producto escalar de dos vectores es invariante: En efecto, de la definición de producto escalar

)()()( zzyyxx babababa ++=! . Se observa que el primer miembro no depende nada más que de los dos vectores que se multiplican escalarmente, mientras en el segundo miembro figuran magnitudes (las componentes) que dependen de la posición de los ejes. Sin embargo, la suma de sus productos se mantiene constante independientemente de los ejes adoptados. ************************************************************ Producto vectorial de dos vectores.- Dados dos vectores a y b se puede definir otro vector p que tenga por módulo el área del paralelogramo construido con los vectores dados, dirección perpendicular al plano formado por ellos y sentido el de rotación de un tornillo para ir de a a b por el camino más corto.

Simbólicamente se representa por a b!rr

. De la definición se deduce que a b p a b sen! = = "

rr r así

como que a b p! =rr r

y b a p! = "r r r

, es decir: el producto vectorial no es conmutativo. El producto vectorial es distributivo:

( )a c d a c a d! + = ! + !r rr r r r r

Expresión analítica del producto vectorial.- De la definición de producto vectorial se deduce que si dos vectores son paralelos su producto vectorial es nulo y que la terna de vectores unitarios i, j, k cumplen las siguientes relaciones:

, ,i j k j k i k i j! = ! = ! =r r rr r r r r r

y 0i i j j k k! = ! = ! =r rr r r r

según esto y teniendo en cuenta la propiedad distributiva del producto vectorial, se deduce que si los vectores están dados por sus componentes:

)()( kbjbibkajaiaba zyxzyx ++!++=! = zyx

zyx

bbb

aaa

kji

=

= kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy )()()( !+!+!

se cumple también que si a es paralelo a b entonces el ángulo formado por los dos vectores es 0º y el

,0=!sen luego el valor del producto vectorial es nulo lo que conduce a que las componentes que resultaban del producto vectorial, después de planteada la matriz, se anularán todas

y

y

x

x

xyyxb

a

b

ababa =!=! de tal forma que se

cumple globalmente que: z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a== , lo que

permite decir que cuando dos vectores son paralelos sus componentes son proporcionales.

******************************************

PRODUCTO MIXTO DE VECTORES

Se llama producto mixto de los vectores ,u v y wr r ur

al número que se obtiene de la siguiente forma:

Producto mixto de 3 vectores = ( )u v w! "r r ur

Interpretación geométrica del producto mixto

Expresión analítica del producto mixto

, ,

x y z

x y z

x y z

u u u

u v w v v v

w w w

! " =# $

r r ur

Propiedades del producto mixto

Teniendo en cuenta la figura de la izquierda, así como la interpretación geométrica del producto escalar, se llega a la conclusión de que el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores .

Dado que la forma de calcular el producto mixto de tres vectores es la resolución de un determinante de orden tres, de las propiedades de los determinantes se pueden derivar algunas propiedades del producto mixto, como:

1. Si permutamos dos vectores, el producto cambia de signo.

2. Si multiplicamos uno de los vectores por un número, el producto mixto queda multiplicado por dicho número.

3. Si uno de los vectores se descompone en una combinación lineal de otros, el producto mixto se puede descomponer en tantos sumandos como indique dicha combinación lineal.

Es decir que el producto mixto de tres vectores es el determinante de orden tres formado por sus coordenadas. Se encuentra que el volumen V del paralelepípedo definido por estos tres vectores es igual al valor absoluto del producto mixto aquí definido. ********************************************************************** Doble producto vectorial.-

( ) ( ) ( )a b c b a c c a b! ! = " # "r r rr r r r r r

resultado vectorial.

PRODUCTOS DE VECTORES

DEFINICIÓN RESULTADO PROPIEDADES REPRESENTA

ESCALAR a.b= IaI.IbI cos φ Escalar

Conmutativa Distributiva Asociativa Invariante

Asociativa

Un número real

VECTORIAL a x b =IaI.IbI sen φ Vectorial Area paralelogramo

MIXTO a . (b x c ) Escalar Admite permutación

Volumen paralelogramo

DOBLE VECTORIAL a x (b x c) vectorial ------------------- --------------

DERIVADA DE UN VECTOR

Consideremos un punto M de coordenadas (x, y, z)

que se mueve sobre una curva AB. La posición del punto M queda fijada por el vector de posición r xi yj zk= + +

r donde las coordenadas son función del tiempo t. ( ) ; ( ) ; ( )x x t y y t z z t= = = .

El vector r es entonces una función vectorial del escalar t. El punto N próximo a M queda fijado por el vector de posición: 1 1 1 1

r x i y j z k= + +r

AM

N

r

r1

X

Z

Y

B

r

la diferencia entre los dos vectores: 1r r r! = "r r r

y por tanto:

1 1 1( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k xi yj zk! = " + " + " = ! + ! + !r que es un

vector que tiene la dirección de MN. Cuando el punto N tiende a confundirse con el M, la dirección de r!

r tiende a la de la tangente a la curva. Por tanto, el vector derivada: ´ drr

dt= es tangente a la

curva definida por los extremos de los vectores r y r1.

dr dx dy dzi j k

dt dt dt dt= + +

Es decir, la derivada de un vector es otro vector. Para calcularla se derivan las componentes del vector cuya derivada se trata de obtener. De la misma manera, la segunda derivada da como resultado un nuevo vector.