tema 1. el moviment.pdf

INSTITUT BADALONA VII. DEPARTAMENT DE CINCIES DE LA NATURALESA. FSICA I QUMICA 4ESO.

1

TEMA 1. EL MOVIMENT.

0. CINEMTICA: s la part de la Mecnica que estudia els moviments.

1. DESCRIPCI DEL MOVIMENT.

1.1. MOVIMENT.

El moviment transcrrer el temps.

Els objectes que es mouen s'anomenen mbils.

1.2. POSICI.

Posici (x): s el punt del sistema de coordenades on es troba el mbil, el moviment del qual estudiem.

Per establir sense confusi la posici d'un mbil, cal que la indiquem amb relaci a un punt de referncia o origen.

Per exemple, si volem precisar la posici d'un ciclista en un moment donat, hem d'especificar la distncia que el separa d'algun punt de referncia. El punt de referncia pot ser una casa, una fita de la carretera, etc. ( fig. 1) Diem que el moviment s relatiu perqu les posicions que un mbil va ocupant

depenen del punt de referncia que es prengui (la posici del ciclista no ser la mateixa si s'indica des d'una casa determinada que si es fa des d'una fita de la carretera). La unitat del sistema internacional d'unitats (SI) en qu es mesuren les posicions s el metre (m).

1.3. TRAJECTRIA.

La lnia descrita per les successives posicions ocupades per l'objecte mbil al llarg del temps s la trajectria del moviment.

Per exemple, les marques dels esqus en un pendent nevat indiquen la trajectria seguida per l'esquiador.( fig. 2)

MBILS PUNTUALS.

Per facilitar el treball, en el nostre estudi considerarem que els objectes en moviment tenen la

mbils puntuals. Per aix

considerarem que tota la massa

centre de gravetat.

Fig. 1. sistema de referncia ( origen).

O= Origen x= Posici


2

Les formes de les trajectries sn variades: rectilnies, circulars, ellptiques, parabliques, etc. Aix, un objecte que cau lliurement des de certa altura descriu una trajectria rectilnia; qualsevol punt d'un DVD, una trajectria circular; una pilota de bsquet, una trajectria parablica quan va cap a la cistella; etc. Hi ha molts tipus de moviment, per centrarem el nostre estudi en dos: els rectilinis i els circulars.

Distncia recorreguda.

S'anomena distncia recorreguda la longitud recorreguda per un mbil sobre la

trajectria que segueix des de l'origen fins la posici en qu es troba. La unitat del sistema internacional en qu es mesura la distncia s el metre (m).

1.4. TEMPS.

El temps s un factor determinant en l'estudi del moviment, ja que les posicions d'un

mbil varien amb el pas del temps, tret que estigui en reps. Distingim dos conceptes amb relaci al temps:

Instant inicial (t0): s l'instant en qu posem en marxa el rellotge per a

estudiar el moviment. Normalment, ser zero. Instant (t): s el moment que registra el rellotge quan t lloc qualsevol

esdeveniment. Interval de temps o increment de temps ( que es refereix al temps

transcorregut entre dos instants donats: t= l'instant final t0= l'instant inicial

Els intervals de temps sempre sn positius ( t ) perqu el temps noms transcorre cap a valors creixents.

La unitat del SI en qu es mesura el temps s el segon (s).

s la diferncia entre el seu valor final i el seu

magnitud: temps, posici, velocitat, etc.

t = t t0

Fig. 2. La trajectria de l'esquiador es veu als solcs que

deixa a la neu.


3

Exemple 1

Un passatger d'un cotxe engega el seu cronmetre quan passa per una fita de la carretera que indica 10 km. El cotxe recorre 500 m i s'atura, instant en el qual el

cronmetre indica 50 s.

Frmules i clculs:

b)Per calcular l de temps total, tT :

tT = t1 + t2 = 50 s + 180 s = 230 s

2. DESPLAAMENT I VELOCITAT EN EL MOVIMENT RECTILINI.

2.1. MOVIMENT RECTILINI.

El moviment rectilini s el moviment corresponent a un mbil que segueix una

trajectria rectilnia ( fig. 1).

Tot seguit, el cotxe reprn la marxa i recorre 1200 m ms, moment en el qual el cronmetre, que s'havia posat a zero en reprendre la marxa, assenyala 180 s. Determina:

1. 1. Les posicions que ha ocupat quan estava aturat.

2. 2. tT, transcorregut. 3.

Fig. 1. Exemple de moviment rectilini: cursa de 100 m llisos.

Resultat: a)La posici de la primera aturada, P1, s 10500 m. La posici de la segona aturada, P2, s 11700 m. b) tT, s 230 s

Dades: x0 = 10 km .1000m = 10 000 m 1 km t0 = 0 x1 = 500 m v1 = 0

t1 = 50 s x2 = 1200 m

t2 = 180 s v2 = 0 a) P1=?

P2=? b) tT=?

a) Per calcular la posici de la primera aturada, P1, :

P1 = x0 + x1 = 10000 m + 500 m = 10500 m

Per calcular la posici de la segona aturada, P2, utilitzem

: P2 = P1 + x2 = 10500 m + 1200 m = 11700 m


4

Per estudiar aquest tipus de moviment hem de tenir en compte les pautes segents:

Es considera que la recta que descriu el mbil correspon a l'eix OX. S'hi indiquen les posicions amb una x.

S'estableix l'origen de l'eix, el punt O, i a continuaci se segueix el criteri de

signes habitual: es consideren positives les posicions ocupades pel mbil que se situen a la dreta de l'origen i negatives les que se situen a l'esquerra de l'origen.

2.2. DESPLAAMENT.

s la mesura de la distncia entre les dues posicions entre les

que s'ha traslladat un cos en l'espai.

x0= posici inicial = posici del mbil en l instant t0 x = posici final= posici del mbil en l instant t

Els desplaaments tant poden ser positius com negatius, depenent del sentit del moviment. Aix, el desplaament s positiu ( figura a) si t lloc en el sentit dels valors de x creixents, per contra, s negatiu ( figura 2 b) si t lloc en el sentit dels valors de x

decreixents.

De tot aix se n dedueix que el desplaament s una magnitud vectorial. En efecte, per descriure completament el desplaament d un mbil sn necessaris:

Un mdul, que n assenyala el valor del desplaament.

Una direcci, definida per la trajectria rectilnia del mbil.

Un sentit, donat pel signe del desplaament, positiu o negatiu. La unitat del SI en qu es mesuren els desplaaments s el metre (m). Tamb

s'utilitzen molt sovint els seus mltiples i submltiples, com ara el quilmetre (km) i el centmetre (cm).

No hem de confondre distncia recorreguda amb desplaament.

s important conixer la diferncia entre distncia recorreguda i desplaament. Per

fer-ho, a tall d'exemple, ara estudiarem el desplaament i la distncia total recorreguda per un ciclista que fa dos desplaaments successius ( fig 2):

x = x x0

Mbil que fa un desplaament: a)

positiu; b) negatiu


5

El primer el fa entre la posici inicial, x0 = 3 m, i la posici final, x1 = 8 m. Per tant, el desplaament efectuat pel ciclista s: xa = x1 x0 = 8 m 3 m = 5 m

i la distncia d1 recorreguda s d1 = 5 m.

El segon desplaament el fa entre la posici inicial, x1 = 8 m, i la posici final, x2

= 2 m. Per tant, el desplaament efectuat pel ciclista s el segent: xb = x2 x1 = 2 m 8 m = 6 m

i la distncia d2 recorreguda s d2 = 6 m.

El desplaament total efectuat s el segent: xT = x2 x0 = 2 m 3 m = 1 m La distncia total recorreguda s la segent: d = d1 + d2 = 5 m + 6 m = 11 m

2.3. VELOCITAT

El concepte de velocitat va associat al moviment, per tant, si un objecte es mou, t

velocitat. La velocitat es pot indicar de diverses maneres.

VELOCITAT MITJANA

La velocitat mitjana, vm, s el quocient entre el valor del desp x, efectuat t, que ha tardat en efectuar-lo:

La unitat del sistema internacional en qu es mesura la velocitat s el metre per segon, m/s. Tamb s'utilitza molt el quilmetre per hora, km/h. Considerem novament l'exemple del ciclista que hem esmentat en treballar el desplaament. Per fer el primer desplaament ha necessitat 2 s i per fer el segon, 5 s 2 s = 3 s; per tant: vm1 = 5 m/2 s= 2,5 m/s ; vm2 = - 6 m/3 s = 2 m/s

t = 0 t = 2 s

vm x x x0) / (t t0)

Fig. 2. sta

en dos intervals de temps.

t = 5 s

x2 = 5 m

X2 = 2 m X0 = 3 m X1 = 8 m X = 0

x0 = - 6 m


6

En cada desplaament, la velocitat mitjana del ciclista ha estat diferent en valor i en signe ( fig. 3).

La velocitat mitjana t signe positiu si el mbil va cap a la dreta i signe negatiu si ho fa cap a l'esquerra; el seu signe coincideix amb el del desplaament.

VELOCITAT INSTANTNIA

La velocitat instantnia, v, s la velocitat que t un mbil en un instant determinat.

La velocitat instantnia pot ser positiva o negativa; el seu signe depn del sentit en qu es desplaa el mbil: si s cap a la dreta, la velocitat instantnia s positiva, i si s cap a l'esquerra, negativa.

RAPIDESA O CELERITAT.

Anomenem rapidesa o celeritat, c, el mdul de la velocitat, tant si s la velocitat mitjana com la instantnia. El mdul d'una magnitud s el valor que t aquesta magnitud amb signe positiu,

independentment del signe que tingui la magnitud. D'aquesta manera, en l'exemple del ciclista, la rapidesa o celeritat del primer recorregut s de 2,5 m/s, i la del segon recorregut, de 2 m/s.

3. MOVIMENT RECTILINI UNIFORME.

3.1. MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU).

El mbil que es desplaa amb un movimient rectilini uniforme descriu una trajectoria

rectilnea amb velocitat constant; efectua desplaaments iguals en temps iguals(fig. 1).

Si la velocitat instantnia s la mateixa en tot moment, vol dir que la velocitat mitjana coincideix amb la instantnia: vm = v. Per tant, si agafem l'expressi de la velocitat mitjana i allem la posici final, x, obtenim:

Vm1 = 2,5 m/s 0

Vm2 = - 2 m/s 0

X2 = 2 m X0 = 3 m X1 = 8 m

Fig. 3. Velocitats mitjanes en els desplaaments d'un ciclista.

x = x0 + v ( t t0) v = vm = (x x0) / (t t0)

Fig. 1. En el moviment rectilini uniforme els desplaaments efectuats sn proporcionals als intervals de temps emprats.


7

Aquesta expressi s l'equaci del moviment i indica la posici del mbil amb el temps. En aquesta equaci, x representa la posici que ocupa el mbil en l'instant t, x0 representa la posici inicial, v s la velocitat constant que t, i t0 l'instant inicial. En els casos en qu t0 = 0, cal anullar aquest terme:

3.2. REPRESENTACIONS GRFIQUES DEL MRU

Les grfiques v-t i x-t completen l'estudi d'un MRU: Grfica v-t. s la representaci de la velocitat en funci del temps. Com que la

velocitat s constant, s una recta horitzontal. Aquesta recta estar per damunt de l'eix del temps si la velocitat s positiva i per sota si s negativa.

Grfica x-t. s la representaci grfica de la posici respecte del temps. s

una recta inclinada. A la figura 2a s'hi representen les grfiques v-t i x-t d'un mbil que t una velocitat de 2 m/s i surt de la posici inicial x0 = 3 m en l'instant t0 = 0. La seva equaci del moviment

s la segent: x = 3 + 2 t

La grfica v-t s una recta horitzontal, situada per damunt de l'eix del temps

perqu la velocitat sempre val 2 m/s. La grfica x-t s una recta inclinada cap amunt: els valors de x augmenten amb

el temps pel fet de tenir velocitat positiva. A la figura 2b s'hi representen les grfiques corresponents a un mbil que t una velocitat de 3 m/s i surt de la posici inicial de x0 = 20 m en l'instant t0 = 0. L'equaci

del moviment s la segent: x = 20 3 t

La grfica v-t s una recta horitzontal per sota de l'eix del temps, perqu la velocitat sempre t el valor 3 m/s. Aquesta velocitat correspon a un moviment cap a l'esquerra.

La grfica x-t s una recta inclinada cap avall: els valors de x disminueixen amb el temps; s a dir, el mbil retrocedeix cap a l'esquerra perqu t velocitat negativa.

t0 = 0 x = x0 + v t

Fig. 2.Grfiques v-t i x-t: a) d'un mbil que surt de la posici x0 = 3 m a la velocitat de 2 m/s; b) d'un mbil amb velocitat de 3 m/s que surt de la posici x0 = 20 m.


8

Exemple 1

Un ciclista surt de l'origen i recorre 1000 m a velocitat constant en una carretera recta. Si triga 200 s a recrrer els 1000 m, calcula:

1. La velocitat que duu. 2. L'equaci del seu moviment. 3. La posici que ocupa quan han transcorregut 2 min. 4. El temps que triga a recrrer 1200 m.

3. Expressem el temps en unitats SI: t = 2 min 60 s = 120 s 1 min

Calculem la posici que ocupa transcorregut aquest temps si el ciclista ha sortit de x = x0 + v t.

x = 5 m/s t = 5 m/s 120 s = 600 m

4. Calculem el temps que el ciclista triga a recrrer 1200 m:

Exemple 2 Un vianant circula per un carrer recte a 4 km/h. Determina:

1. La velocitat en m/s. 2. La posici que ocupa al cap de 4 min, si surt a 50 m de l'origen, i la distncia

recorreguda. 3. El temps que tarda a arribar a la posici 500 m. 4. Les grfiques v-t i x-t d'aquest moviment.

Resultats: 1. El ciclista du una velocitat constant de 5 m/s. 2. x = 5 t.

3. La posici del ciclista quan han transcorregut 2 min s 600 m.

4. El temps que el ciclista triga a recrrer 1200 m s de 4 min:

Dades: x0 = 0 x = 1000 m v constant ( MRU)

t = 200 s 1. v= ? 2. x(t) = ? 3. x = ?

t = 2 min 4. t = ?

x = 1200 m

Frmules i clculs: 1.L'equaci general del MRU s x = x0 + v t.

La distncia recorreguda s: d = x x0 = 1000 0 = 1000 m; d = x x0 = v t Substitum les dades i allem la velocitat:

2. L'equaci del seu moviment s: x = x0 + v t x = 5 t.

Dades: 1. v = ? m/s 2. x = ?

t = 4 min x0 = 50 m d = ?

3. t = ? x = 500 m

4. v-t i x-t

Frmules i clculs: 1.

2. Apliquem l'equaci del moviment del MRU: x = x0 + v t

x = 50 + 1,11 t.


9

Passem el temps a segons i calculem la posici que ocupa respecte de l'origen:

La distncia recorreguda s: d = x x0 = 316,4 m 50 m = 266,4 m

3.Substitum la dada de la velocitat trobada en 1):

x = x0 + v t x = 500 m = 50 m + 1,11 m/s t

Allem el temps:

4.Donem valors al temps i dibuixem les grfiques v-t (fig. a) i x-t (fig. b):

Grfica v-t

Grfica x-t

t(s) x = 50 + 1,11 t (m)

0 50 1 50+1,111= 51,11 2 50+1,112= 52,22

3 50+1,113=53,33

Dades: 1. La velocitat s de 1,11 m/s. 2. La seva posici s d 316,4 m i la distncia recorreguda s de 266,4 m. 3. El temps que tarda s de 405,4 s.


10

4. MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT.

El concepte d'acceleraci va associat als canvis de velocitat d'un mbil. No tots els

moviments es produeixen a velocitat constant, i l'acceleraci mesura la variaci de la velocitat en un interval de temps.

4.1. ACCELERACI MITJANA.

L'acceleraci mitjana, am, s el quocient entre l'increment de velocitat experimentat v t:

En aquesta expressi: v = representa la velocitat final en l'instant t v0 = representa la velocitat inicial en l'instant inicial t0 L'acceleraci mitjana ser positiva si la velocitat augmenta i negativa en cas que disminueixi. Els casos en qu l'acceleraci s negativa reben el nom de frenades.

La unitat d'acceleraci en el SI s el metre per segon quadrat, m/s2. Un mbil amb

una acceleraci d'1 m/s2 augmenta la seva velocitat 1 m/s cada segon.

A. ACCELERACI INSTANTNIA

L'acceleraci instantnia, a, s l'acceleraci que t un mbil en un instant determinat.

En general, l'acceleraci instantnia no coincideix amb l'acceleraci mitjana, excepte en algun tipus de moviment particular.

Exemple 1 Un ciclista circula a una velocitat de 7 m/s, accelera durant 30 s i assoleix els 12 m/s. Determina'n l'acceleraci mitjana.

am v t = (v v0) / (t t0)

Per exemple, si la velocitat d'un motorista augmenta de 3 m/s a 9 m/s en un interval de 2 s, l'acceleraci mitjana del motorista ser la segent ( fig. 1):

Per a un altre cas en qu la velocitat disminueix des de 10 m/s fins a aturar-se en 4 s(v = 0 s un cas de frenada)( fig. 2):

Fig. 1. La moto accelera a 3 m/s

2

Fig. 2. La moto frena amb una acceleraci de -2 m/s

2

Dades: v0 = 7 m/s t-t0 = 30 s v = 12 m/s a = ?

Resultat: 2

Frmula i clculs:

L'acceleraci s positiva perqu augmenta la velocitat.


11

Exemple 2

Un corredor assoleix la meta a una velocitat de 6 m/s i frena fins que s'atura en 3 s. Determina'n l'acceleraci mitjana.

4.3. MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA)

Un mbil que es desplaa amb un moviment rectilini uniformement accelerat

descriu una trajectria rectilnia amb acceleraci constant. (fig. 3).

Si l'acceleraci instantnia t el mateix valor per a qualsevol instant, significa que l'acceleraci mitjana hi coincideix: am = a.

Per tant, si agafem l'expressi de l'acceleraci mitjana i allem la velocitat final, obtenim:

a = am = (v v0) / (t t0)

Aquesta expressi, anomenada equaci de la velocitat, correspon a la variaci de la velocitat d'un mbil amb el temps en un moviment uniformement accelerat. En aquesta expressi, v representa la velocitat del mbil en l'instant t, v0 s la velocitat inicial, a s l'acceleraci constant que t, i t0, l'instant inicial. En els casos en qu t0 = 0, aquesta

expressi resulta:

Podem demostrar que l'equaci del moviment, que ens dna la posici del mbil a

cada instant s:

si t0 = 0:

v = v0 + a (t t0)

x = x0 + v0 t + a t2

v = v0 + a t

x = x0 + v0 ( t - t0 ) + a ( t - t0 )2

Resultat: - 2 m/s2

Dades: v0 = 6 m/s v = 0 t t0 = 3 s a = ?

Frmula i clculs:

T signe negatiu perqu es tracta d'un cas de frenada.

Fig. 3. En un moviment rectilini uniformement accelerat, el mbil es desplaa amb una acceleraci instantnia constant.


12

Combinant les dues equacions anteriors (velocitat i posici) en podem trobar una altra, en la qual no hi aparegui el temps, sin que relacioni la velocitat amb l'espai recorregut. Si allem el temps t de la primera i el substitum en la segona:

v = v0 + a (t t0) t-t0 = (v-v0)/a x = x0 + v0 t + a t

2 x = x0 + v0(v-v0)/a + a(v-v0)2/a2

x-x0 = (vv0-v0

2)/a + (v2-2vv0+v02)/a

calculem el denominador com: x-x0 = 2. (vv0-v0

2)/ 2a + (v2-2vv0+v02)/ 2a

desprs de fer les operacions: x-x0 = (v

2-v02)/a

2a(x-x0) = v

2-v02

Exemple 3

Un autobs circula per un carrer recte a 12 m/s quan passa per un encreuament. Aleshores redueix la velocitat amb una acceleraci de 1,5 m/s2 per aturar-se a la

parada segent:

1. Escriu les equacions del moviment i de la velocitat, suposant que l'origen de les posicions s a l'encreuament.

2. Calcula el temps que triga a aturar-se.

3. Calcula la posici on s la parada, mesurada des de l'encreuament.

ser: v = v0 + a t

v = 12 + ( 1,5) t = 12 1,5 t

2. Si s'atura, v = 0. Per tant: v = 12 1,5 t 0 = 12 1,5 t t = 12/1,5 = 8 s

3. Substitum aquest valor del temps, t = 8 s, en l'equaci de la posici: x = 12 t 0,75 t2 x = 12 8 0,75 82 = 96 48 = 48 m

v2 v02 = 2 a (x x0)

Resultats: 1. = 12 t 0,75 t2

velocitat s: v = 12 1,5 t.

2. Triga 8s en aturar-se. 3. La po

Dades: v0 = 12 m/s x0 = 0 a = - 1,5 m/s2 v = 0 1. x(t) i v(t) 2. t = ? v = 0

3. x = ? v = 0

Frmula i clculs:

1. Si considerem l'encreuament com a origen, x0 = 0, i tenim que l'acceleraci s negativa, aleshores substitum aquest valors a

:

x = x0 + v0 t + a t2

x = 0 + 12 t + () ( 1,5) t2 = 12 t 0,75 t2


13

5. REPRESENTACI GRFICA DEL MRUA.

Per a un MRUA podem obtenir aquestes representacions grfiques: Grfica a-t. Com que l'acceleraci s constant, la grfica s una recta

horitzontal. s positiva i

per sota si s negativa. Grfica v-t. Com que la velocitat canvia de manera constant, la grfica s una

recta inclinada. Grfica x-t. La representaci de la posici en funci del temps s una corba

que t la forma d'un arc de parbola.

Acceleraci positiva

Tenim un mbil amb una acceleraci d'1 m/s2 i que surt de la posici 4 m a una velocitat inicial de 2 m/s. Si t0 = 0, les seves equacions sn:

v = v0 + a t v = 2 + 1 t v = 2 + t

x = x0 + v0 t + a t2 x = 4 + 2 t + () 1 t2 x = 4 + 2 t + t2 / 2

A la figura 1 s'hi representen les grfiques a-t, v-t i x-t del mbil en qesti:

La grfica a-t s una recta horitzontal, perqu per a tot instant a = 1 m/s2. La grfica v-t s una recta inclinada cap amunt: els valors de v augmenten

perqu t acceleraci positiva. La grfica x-t s un arc de parbola.

Acceleraci negativa

Considerem ara un cas semblant, per amb altres dades, entre les quals una acceleraci negativa de 2 m/s2. En aquest cas, l'acceleraci s constant, la velocitat disminueix i la grfica de la posici s un arc de parbola de concavitat oposada a l'anterior ( fig. 2).

Fig. 1.Representacions grfiques d'un MRUA amb acceleraci positiva.

Fig. 2. Representacions grfiques d'un MRUA amb acceleraci negativa.


14

Exemple 1

Un cotxe surt del reps amb una acceleraci de 3 m/s2. Sabent que descriu una trajectria rectilnia i que surt de l'origen, escriu les equacions de la velocitat i de la posici en funci del temps i determina:

1. La velocitat que assoleix al cap de 20 s. 2. La distncia que recorre en aquest temps. 3. Les grfiques a-t, v-t i x-t d'aquest moviment.

x = x0 + v0 t + a t2 x = 0 + 0 t + 3 t2 x = 1,5 t2

1. Substitum el temps (t = 20 s) en l'equaci de la velocitat:

v = 3 t v = 3 20 = 60 m/s

2. Substitum el temps en l'equaci de la posici:

x = 1,5 t2 x = 1,5 202 = 600 m

Aquesta s la posici que ocupa respecte de l'origen, que coincideix amb la

distncia que recorre.

3. Donem valors al temps i dibuixem les grfiques del moviment: a-t, v-t i x-t.

Dades: v0 = 0 a = 3 m/s2 x0 = 0 v(t); x(t) 1. v= ? t = 20 s 2. x= ?

3. Grfiques a-t, v-t i x-t

Frmules i clculs:

Com v0 = 0, l'equaci de la velocitat s:

v = v0 + a t v = 0 + 3 t v = 3 t

Com x0 = 0, l'equaci de la posici s:

Resultats: 1. Assoleix una velocitat de 60 m/s al cap de 20s. 2. Recorre 600 m en aquests 20 s.

a = 3 m/s2

t v = 3 t 0 3 0 = 0 1 3 1 = 1 2 3 2 = 6

3 3 3 = 9

t x = 1,5 t2

0 1,5 02 = 0 1 1,5 12 = 1,5 2 1,5 22 = 6

3 1,5 32= 13,5


15

Exemple 2

El conductor d'un cotxe que circula per un carrer rectilini a 36 km/h veu una persona coneguda, per la qual cosa decideix frenar fins que queda aturat. Si la distncia a la

qual es troba la persona en aquest moment s de 50 m, determina:

1. L'acceleraci amb qu ha de frenar.

2. El temps que triga a aturar-se.

v2 v02 = 2 a (x x0)

Substitum les dades en aquesta expressi i allem l'acceleraci:

0 102 = 2 a 50 a = 100/(2 50) = 1 m/s2

2.Per trobar el temps, apliquem una de les dues relacions en les quals apareix.

La ms senzilla s :

v = v0 + a t 0 = 10 + ( 1) t = 10 t t = 10 s

6. ENCONTRE DE MBILS.

6.1. ENCONTRE DE DOS MBILS AMB MRU.

Es tracta de casos en qu dos mbils amb MRU s'encreuen ( fig. 1) o l'un avana

l'altre.

Resultat: 1. Frena amb una acceleraci de 1 m/s2 2. El conductor triga 10 s a aturar-se.

Per exemple:

Dos ciclistes que circulen per una mateixa carretera rectilnia a velocitats constants i en sentits oposats passen per una posici en qu s'encreuen. Un autombil que n'avana un altre perqu va a

una velocitat superior.

En aquests casos escrivim les equacions del moviment corresponents a tots dos mbils i posem com a condici per tots dos que s'han de trobar:

Fig. 1. A les carreteres es produeixen molts encontres entre mbils.

Dades: v0 = 36 km/h v = 0 x = 50 m x0= 0 1. a =?

2. t = ?

Frmules i clculs: 1. Passem la velocitat inicial a unitats del SI:

Coneixem la velocitat inicial, la final (zero) i la distncia, per la qual cosa, en aquest cas, utilitzem l'equaci del MRUA que no depn

del temps:


16

Posicions que ocupa amb el temps el mbil 1: x1 = x01 + v1 t

Posicions que ocupa amb el temps el mbil 2: x2 = x02 + v2 t

Quan es troben (s'atrapen, s'encreuen, etc.) sn a la mateixa posici: x1 = x2.

Tot seguit, igualem les dues equacions amb les dades de cada mbil substitudes i allem la incgnita que correspongui. Normalment, s'acostuma a allar en primer lloc la

incgnita del temps; desprs, es calcula la posici de l'encontre.

Podem comprovar de manera grfica el resultat obtingut numricament. Per fer-ho, representem les grfiques x-t dels dos mbils sobre els mateixos eixos i comprovem

que es tallen en el punt i l'instant calculats numricament.

Exemple 1

Dos motoristes passen al mateix temps, movent-se en sentit contrari, per dos punts separats 600 m en una carretera rectilnia. Si les velocitats de les motos sn de 4 m/s i

de 6 m/s, determina:

Segon motorista: x2 = x02 + v2t = 600 6 t

En el segon cas, x02 = 600 m, ja que el motorista ha sortit a 600 m a la dreta de

l'origen. A ms a ms, duu una velocitat amb sentit negatiu.

2.Quan s'encreuen: x1 = x2. Igualem les dues equacions del moviment i allem el

temps:

4 t = 600 6 t 10 t = 600 t = 600/10 = 60 s

Per tant, triguen 60 s a encreuar-se.

1. Les equacions dels dos moviments. 2. El temps que triguen a encreuar-se. 3. La posici on s'encreuen.

4. La distncia que ha fet cada motorista.

Dades: t1 = t2 x1 x2 d = x= 600 m; x01 = 0; x02= 600 m v1 = 4 m/s v2 = - 6 m/s 1. x1(t) ; x2(t) 2. t= t1=t2=? 3. x=? t1=t2 4. x1=?; x2=?

Frmules i clculs:

1.L'equaci general del MRU s x = x0 + v t.

Situem l'origen en el punt de sortida del motorista de l'esquerra; d'aquesta manera, totes

les posicions seran positives.

Escrivim les dues equacions del moviment:

Primer motorista: x1 = x01 + v1t = 0 + 4 t = 4 t


17

3. Substitum el temps de 60 s en les equacions de la posici:

Efectivament, sn a la mateixa posici.

4. El motorista que es mou cap a la dreta ha recorregut x1 = 240 m. El motorista

que es mou cap a l'esquerra ha recorregut:

x2 = 600 240 = 360 m

6.2. ENCONTRE DE DOS MBILS, L'UN AMB MRU I L'ALTRE AMB MRUA.

Igualem aquestes equacions, allem el temps i el substitum en cada una de les equacions.

A ms a ms, per al mbil 1 disposem de l'equaci que en dna la velocitat en funci del temps: v1 = v01 + a t

Aquesta equaci ens permet conixer la velocitat d'aquest mbil en el moment de

l'encontre.

En un encontre entre un mbil amb un MRU i un altre amb un MRUA ( fig. 2), el procediment que hem de seguir s semblant al del cas anterior, per la

resoluci requereix un procs ms llarg.

Suposem que el mbil 1 duu un MRUA, i el mbil 2, un MRU:

Equaci del moviment del mbil 1:

x1 = x01 + v01 t + a t2

Equaci del moviment del mbil 2:

x2 = x02 + v2 t

.

Resultat: 1. Les dues equacions del moviment sn: x1 = 4 t; x2 = 600 6 t

2. Triguen 60 s a encreuar-se 3. S encreuen a la posici de 240 m 4. Cada motorista ha recorregut: x1 = 240 m; x2 = 360 m

tema 1. el moviment.pdf

Documents