DEPARTAMENTO DE LGEBRAlgebra Lineal y Estructuras MatemticasGrado en Ingeniera Informtica

Curso 2010-2011

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS TEMA 1: Soluciones1.

Sean A, B y X tres conjuntos tal que A, B X. Se define la aplicacin A : X {0, 1} como

1 si x AA (x) =0 si x 6 A

Probar:(a) A = B si y slo si A = B.(b) A (x) = 1 A (x), para todo x X.(c) AB = A B(d) AB + AB = A + B .(e) A\B = A A B .(f) La aplicacin : P(X) {0, 1}X definida como (A) = A es una biyeccin.(Nota: {0, 1}X es el conjunto de aplicaciones con dominio X y codominio {0, 1}.)Solucin:(a) A = B si y slo si A = B.) Si A = B , entonces A (x) = B (x) para todo x X. Por tanto, si x A, entoncesA (x) = 1 = B (x), luego, x B. Con esto tenemos que A B. La otra inclusin es anloga.) Si A = B, entonces sea x X. Claramente, A (x) = B (x), luego, A = B .(b) A (x) = 1 A (x), para todo x

1 si x A1A (x) ==00 si x 6 A

1 siAhora, 1 A (x) = 1 0 si

X.si x 6 Asi x Ax A=x 6 A

0 si x A1 si x 6 A

Siendo por tanto ambas aplicaciones iguales.(c) AB = A B .1 si x A B0 si x 6 A B

1 si x A1 si x By por otro lado: A (x)B (x) =0 si x 6 A0 si x 6 BPor un lado tenemos: AB (x) =

1

Al hacer el producto de estos dos elementos ( A (x) y B (x)) slo puede aparecerun 1 si x est

1 si x A Bsimultneamente en A y en B, esto es, en AB, y port anto A (x)B (x) =0 si x 6 A Bcoincidiendo ambas aplicaciones.(d) AB + AB = A + B .

1 si x A BAB (x) =0 si x 6 A B

1 si x A1 si x B1 si x A BA (x)+B (x)AB (x) =+0 si x 6 A0 si x 6 B0 si x 6 ABEsta aplicacin slo toma el valor 1 si x A B, esto es si est en A, en B o en la interseccin,ya que en cualquier otro caso, toma el valor 0. Para ello se pueden considerar estos cuatro casos.x 6 A B, x A (pero no en B), x B (pero no en A) y x A B.Por tanto, estas aplicaciones coinciden.(e) A\B = A A B .Como A\B = A B, A\B = AB = A B = A (1 B ) = A A B .(f) La aplicacin : P(X) {0, 1}X definida como (A) = A es una biyeccin.Inyectividad: Sean A, B X tal que A = B , por apartado (a), A = B.Sobreyectividad: Sea f {0, 1}X , esto es, una aplicacin f : X {0, 1}. Entonces A =f (1) X es un subconjunto de X de forma que f (a) = 1 para todo a A, y f (a) = 0 sia 6 A, esto es A = f .

2.

Se definen en R2 las siguientes relaciones binarias:(a, b)R1 (c, d) a 2 + b2 = c 2 + d 2(a, b)R2 (c, d) a + b = c + d

Probar si son relaciones de equivalencia. En caso afirmativo calcular [(0, 1)] y describir geomtricamente el conjunto cociente.Solucin R1 :Reflexividad: Claramente (a, b)R1 (a, b) pues a 2 + b2 = a2 + b2 .Simetra: Supongamos que (a, b)R1 (c, d), esto es a 2 + b2 = c 2 + d 2 . Como c 2 + d 2 = a2 + b2 ,esto es (c, d)R1 (a, b).Transitividad: Si (a, b)R1 (c, d) y (c, d)R1 (e, f ), esto equivale a que a 2 + b2 = c 2 + d 2 yc 2 + d 2 = e 2 + f 2 , y por tanto a 2 + b2 = e 2 + f 2 y (a, b)R1 (e, f ).Al ser R1 una relacin binaria cumpliendo estas tres propiedades, R 1 es una relacin de equivalencia.[(0, 1)] = {(x, y ) R2 : (x, y )R1 (0, 1)} = {(x, y ) R2 : x 2 + y 2 = 1}, que es la circunferencia deradio 1 y centro (0, 0).Para describir el conjunto cociente, veamos como es la clase de equivalencia de un punto cualquiera(a, b) R2 .[(a, b)] = {(x, y ) R2 : (x, y )R1 (a, b)} = {(x, y ) R2 : x 2 + y 2 = a2 + b2 }

2

Esto es, la clase del (a, b) es el conjunto de puntos que estn sobre la circunferencia con centro elorigen y que contiene a (a, b). Por tanto, R 2 /R1 est compuesta por todas las circunferencias concentro el origen, (0, 0). Para describir este conjunto, nos basta entonces con fijar el radio, y de estaforma, cada circunferencia en el cociente est totalmente descrita. En trminos de elementos de R 2 ,esto es lo mismo que elegir como representante de su clase de equivalencia, el elementop (x, 0) quecorta al eje X. Este elemento define la circunferencia centrada en el origen y con radio |x|.4

3

2

1

( 12 , 0)

0-4

-3

-2

-1

0

1

2

(3, 0)3

4

-1

-2

-3

-4

As, R2 /R1 = {[(a, 0)] : a R+ }, donde [(a, 0)] es la circunferencia centrada en el origen y con radioa.Solucin R2 :Reflexividad: (a, b)R2 (a, b) pues a + b = a + b.Simetra: Si (a, b)R2 (c, d), por definicin a + b = c + d. Como c + d = a + b, tenemos que(c, d)R2 (a, b).Transitividad: Si (a, b)R2 (c, d) y (c, d)R2 (e, f ), esto equivale a que a+b = c +d y c +d = e +f ,y por tanto a + b = e + f y (a, b)R2 (e, f ).As, R1 es una relacin de equivalencia.[(0, 1)] = {(x, y ) R2 : (x, y )R2 (0, 1)} = {(x, y ) R2 : x + y = 1}{(x, y ) R2 : y = 1 x}, queuna recta con pendiente 1 y que pasa por el punto (1, 0).Para describir el conjunto cociente, veamos como es la clase de equivalencia de un punto cualquiera(a, b) R2 .[(a, b)] = {(x, y ) R2 : (x, y )R2 (a, b)} = {(x, y ) R2 : y = a + b x}Esto es, la clase del (a, b) es la recta con pendiente 1 que pasa por (a, b) (esto es y b = a x).Por tanto, R2 /R2 est compuesta por todas las rectas de pendiente 1. En trminos de elementosde R2 , basta de nuevo elegir un representante sobre el eje X:

3

4

3

2

1

0-4

-3

-2

-1

0

( 12 , 0)1

2

(3, 0)3

4

-1

-2

-3

-4

R2 /R2 = {[(a, 0)] : x R}. [(a, 0)], es la recta de pendiente 1 definida como y = a x.3. Sea f : X X una aplicacin biyectiva e Y X tal que f (Y ) Y . Es cierto que la aplicacing : Y Y definida como g(y ) = f (y ) es biyectiva?Solucin:Veamos si es inyectiva y sobreyectiva:Inyectividad: Sean x, y Y tal que g(x) = g(y ). Como g(x) = f (x) y g(y ) = f (y ), tenemosque f (x) = f (y ), y como f es inyectiva, x = y , y por tanto, g es inyectiva.Sobreyectividad: Sea y Y . Para que sea sobreyectiva debe existir x Y tal que g(x) = y .Por ser f sobreyectiva, sabemos que existe x X tal que f (x) = y , pero no tenemos aseguradoque x Y , y por tanto en general g no es sobreyectiva.As, en general g no tiene porqu ser biyectiva!!Por ejemplo f : R R, f (x) = x 3 es biyectiva. Sin embargo si consideramos N R y g : N N,g(n) = n3 , claramente no es sobreyectiva, pues no podemos encontrar, por ejemplo, n N tal quen3 = 7.

4