Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.1TEM AV IIC URV A S Y SUPERFIC IES PA RA M ETRIZA DA S VII.1CURVAS PARAMETRIZADAS. En el puntoII.2(Representacin de curvas y superficies) se vio como pueden representarse lascurvasenelplanooenelespacio,yenparticularsedescribieronaquellasquese representan mediante un parmetro. Llamaremoscaminootrayectoriaaunafuncin: nr I

continua,definidaenel intervaloIde , y traza de la trayectoria o curva a la imagen der

en n . Enparticularunatrayectoria: nr I

esregularsi( ) 0 r t

t I .Diremosquees regularatrozos,sielintervaloI puedepartirseenunnmerofinitodesubintervalos,en cadaunodeloscualesr

esregular.Paraestudiarlastrayectoriasesesencialquela misma sea regular o regular a trozos. Una trayectoria regular, se la llama tambin de clase 1C . Ejemplo 1 Lacurvaen 2 definidapor:( ) ( ) r cos ,sen =

esregular ,yaquelascomponentesde( ) ( ) r sen ,cos =

no se anulan simultneamente. Ejemplo 2 La curva en 2definida por:( ) ( )2 32 r t t , t =

es regular0 t , al ser ( ) ( )22 6 r t t , t =

, pierde su regularidad en el origen. Ejemplo 3 Hallarunaparametrizacinregularatrozosdela curvaCen 3que se muestra en la (figura 1). Solucin PuestoqueC estformadaportressegmentos suaves 1 2 3y C , C C, construimos una parametrizaciny Figura 1 ( )10 2 0 C , ,x z ( )212 0 C, ,( )312 1 , ,CClculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.2 para cada uno de ellos y los unimos haciendo que ltimo valor deten iCse corresponda con el primer valor deten 1 iC + (precisamente, para que la curvaCsea regular a trozos, sus funciones componentes tienen que ser continuas, si no lo fueran, no seran diferenciables). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 23:0 20 0 1: 1 20 12 : 1 2 2 2 3C xt , y t t , z t , tC xt t , y t , z t , tC xt , y t , z t t , t= = = = = = = = = Por tantoCviene dada por: ( )( )( )( )0 2 0 0112 0 1 2 12 2 23, t , tr t t , , t, ,t t =

Laparametrizacindeunacurvainduceunaorientacinsobreella.Enestecasolacurva est orientada de manera tal que su direccin va desde( ) 0 0 0 , ,a( ) 12 1 , , . Acontinuacinyamodointroductorio,describiremoslosvectoresposicin,velocidady aceleracin asociados a una trayectoria( ) r t

en el espacio. Vector posicin de un punto, en coordenadas cartesianas ortogonales:( ) ( ) ( ) ( )kt z jt y it x t r + + =

que es la ecuacin de la trayectoria. Vector velocidad en un punto, en coordenadas cartesianas ortogonales: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kt z jt y it x t r t v` ` ` + + = = Vector aceleracinen un punto, en coordenadas cartesianas ortogonales:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kt z jt y it x t r t v t a` ` ` ` ` `

+ + = = = Ejemplo 3 Qu fuerza acta sobre una masa de 2 Kg. que recorre la trayectoria( )( )3 r t t sent ,t cos t , t =

(unidades mks) para el valor detde 1 segundo? Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.3Solucin Sea( ) r t

latrayectoriadeunapartcula,suaceleracinvienedadaporladerivada segunda( ) r t

,ysimultiplicamosestoporlamasadelapartculaobtendremos,porla segundaleydeNewton,lafuerzaqueactasobrelapartculamientrasrecorrela trayectoria. ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )301 2 1 1 2 1 101 2 1 4 1 2 1 4 1 2 10r t sent t cos t ,cos t t sent ,r t cos t cos t t sent , sent sent t cos t ,r cos sen, sen cos,F r cos sen, sen cos, = + = + = = =

Ntese que esta fuerza viene dada en Newton. Ejemplo 4 La trayectoria de una partcula en el espacio est dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 5 c t cos t i cos t j sent k = + +

a)Calcular su vector velocidadv

y verificar que es perpendicular ac

b)Probar que la partcula se mueve sobre una superficie esfrica centrada en el origen de coordenadas. c)Probar quec

es siempre perpendicular al vector 4 3 i j d)Deb)yc),sepuedeafirmarquelapartculasemuevesobreunacircunferencia? Justificar la respuesta. Solucin a) El vector velocidad estar dado por: ( ) 3 4 5 c t sent i sent j cos t k = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 5 5 c t c t cos t sent cos t sent sent cos t = + + = ( ) ( ) 9 16 25 0 cost sent cost sent sent cost c t c t = + = b)Si consideramos( ) ( ) ( ) ( ) ( )c t xt , yt , z t =

tendremos que: 2 2 2 2 2 2 2 29 16 25 25 25 25 x y z cost cost sen t cost sen t + + = + + = + =Esto es,x, yyzcumplen con la ecuacin de (o sea que pertenecen a) una esfera de radio 5. Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.4 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 3 4 4 3 5 0 0 4 3 c t i j cost cost sent c t i j = + + = d)S.Losvectoresposicinsontodosperpendicularesaunmismovector,loqueimplica quepertenecenaunplanoperpendicularadichovector.Porendelospuntosdela trayectoria,quesonlaspuntasdelosvectoresposicin,pertenecernasimismoaese plano.Porotroladotalespuntospertenecentambinaunaesfera.Comola interseccindeunplanoconunaesferaesunacircunferencia,lapartculasemueve sobre una circunferencia. VII.1.1Longitud de arco. Sea una trayectoriadadaporla funcin vectorial( ) t r

. Supongamos que( ) t r

es derivable y quesuderivadaprimera( ) t r

noseanula (curvaregular),entonces( )2 2s s t = serla longituddearcoocoordenadaintrnseca correspondientealinstante 2t ,estoesla longituddelatrayectoriarecorrida partiendo desde un punto fijo( )0At t = (figura 2). Si la partcula lleg hastaRpasando por P enelinstante 1t yretornalaposicin P P= en el instante 1 2t t > , la longitud de la trayectoria recorrida( )2t ses: ( )2 2s s t = = longitud de arcoAR+ longitud de arcoP R . Deestemodoresultaquelafuncinlongituddearco( ) t s esestrictamentecreciente ( ) ( )0 s t > ` yresultaunafuncinbiyectivadet .Esclaroqueimplicainyectividad,siempre que 1 2t t ocurre que( ) ( )1 2t s t s . Nota:el cuenta kilmetros de un vehculo da( ) t s , aunque el vehculo retroceda,( ) t ssigue aumentando. Cmo se calcula la longitud de arco? Queremoscalcularlalongitudde unalambresuficientementedelgadoysupongamos que lo podemos representarmediante una curva , con extremos enAyB . P( )2t r

( )1t r R' P( )0At t =x y z Figura 2 Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.5Consideremosque( ) Px, y, z esunpunto cualquierasobrelacurva yrealicemosuna particinP demodoquelospuntos 0 1 1 i iP A, P, , P , , P,=nP B = ,dividanala curva enn subarcos,comoseindicaenla figura3.DefinimoslanormaP delaparticin como la longitud del subarco ms largo. Consideraremosahoralapoligonalconvrtices enlos iP ycadasegmento 1 i i P P dela poligonal. Entonces, unaaproximacin a la longitud del alambre( ) l vendr dada por:11nn i iiS PP== y la longitudser un cierto lmite de nS , que ahora trataremos de calcular. Sea( ) t r

conb t a una representacin paramtrica de , luego si reemplazamos P Pi i 1 por rt rti ib g b g 1, obtenemos:( ) ( )11nn i iiS r t r t == . Por otra parte:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 i i i i i i i i r t r t xt xt i y t y t j z t z t k = + + , y por el teorema del valor medio:( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 i i i i i i r t r t x i y j z k t = + + siendo[ ]i i i i it , t , ,1 . Aunque no es exactamente cierto, por simplicidad en la demostracin, se van a sustituir los i i i, , anterioresporunmismo[ ]1 i i i t ,t .Entonces,unaaproximacinalalongituddel alambre ser: ( )1n*ni iiS r t= =

SetratadeunasumadeRiemanndelafuncin( ) ( ) Ht r t =

en[ ] a,b .Luegotomando limite de las sumas de Riemann cuando 0 P , nos queda: ( ) ( ) ( )01lmbni iPial r t r t dt = = = El trmino( ) ( ) r t s t v = = `en fsica se denomina rapidez.Figura 3 iPx y z 0P A =nP B =1 iP1 nPClculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.6 Definicinde( ) t s : Sea( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t xt , y t , z t = = una curva regular, llamaremos funcin longitud de arco desde el punto( )0r t

a la expresin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 02 2 2t tt ts s t x y z dt r d = = + + =

` ` `

En particular la longitud de arco recorrida a partir de( ) ( )00 r t r = , vendr dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 0t ts s t x y z d r d = = + + =

` ` ` De la definicin anterior y del teorema fundamental del clculo, se tiene que:( )dsr tdt =

que en forma diferencial se puede escribir como:( )dsds dt r t dtdt = =

Ejemplo 6 Sealatrayectoria( ) ( )22 t t ,t , Lnt =

,definidapara0 t > .Hallarlalongituddearcoentrelos puntos( ) 2 10 , ,y( ) 4 4 2 , , Ln . Solucin Examinandolosdospuntosycomparandoconlatrayectoriapodemoscomprobarquelos valoresrespectivosdelparmetroson1 t = y2 t = .Demodoquelalongituddearcoentre ambos puntos ser: ( ) ( )( ) ( )( )2 42 2 2 222 21 1 1 122 22 2 2 2221 1 1 11 1 4 4 12 2 4 42 1 2 112 3 2t tt dt , t , dt t dt dtt t tt tdt dt t dt t Lnt Lnt t t+ + = = = + + = = + + = = = + = + = +

A VII.1.2Reparametrizacin Esposiblecambiardeparmetrosincambiarlacurvaimagen,enefecto,enelejemplo1 podemoshacert = ,dondecte = yt eselnuevoparmetroindependiente (fsicamente interpretamos que es la velocidad angular ytel tiempo), luego tenemos: :x cos try sen t= =

Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.7Perohayinfinitoscambiosposibles,podramoshaberhecho 22t = ,dondecte = , (fsicamenteesunaaceleracinangular),etc.Tenemossiemprelamismacircunferencia comoimagen,perosihemosdedarunainterpretacinfsica,unpuntoP larecorreraen cada caso, con distinta ley de movimiento. De todos modos es importante comprender que dadaunacurva,tenemosinfinitasrepresentacionesparamtricascuyasimgenes coincidenconlacurva.Deestemodo,lareparametrizacindeunafuncinesuncambio de parmetro y estamos enun caso de composicin de funciones tal como se representa en la figura 4. Sea( ) r t

unatrayectoria 2:r D I

y: J D unafuncinbiyectivade clase 1C demodoque( ) 0 s s J .Alatrayectoriacompuesta ( ) ( )( ) ( ) F s f s f s = =

se la llama reparametrizacin del caminor

. Msansi( ) 0 s > s J ,decimosquelareparametrizacinF

conservalaorientacin, mientrasquesi( ) 0 s < s J ,lareparametrizacinF

inviertelaorientacin.Enelprimer caso las trayectoriasr

yF

, tiene sus puntos iniciales y finales iguales y recorren la curva en la misma direccin, mientras que en el segundo caso el punto inicial der

es el punto final de F

y el punto final der

es el punto inicialde F

por lo quer

recorre la traza en sentido contrario aF

. Enlafigura5,semuestralarepresentacinen diagramasdeunareparametrizacinqueusa comonuevoparmetrolalongituddearco, esto es la coordenada intrnseca( ) s s t = . Como( ) 0 t s` es posible tener la funcin inversa ( ) s ty efectuar la composicin:( ) r t s .

s t x y z D W3( ) r t

( ) s t( ) r t s

( ) t sFigura 5 Figura 4 0x r

0sJ Os DOt0txyO( )0 0y , x P0yI F

Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.8 Estafuncinpuedenoserinyectiva( ) ( )2 1r s r s = apesardeque( ) ( )2 1s t s t .Luego,( ) ( )( )yr t r s , tienen la misma curva imagen. Ejemplo 6 Reparametrizarlatrayectoria( ) ( )3 32 t cos t ,sen t ,cos t =

conrespectoalalongituddearco medida desde el punto donde0 t =en la direccin en que se incrementat . Considerar los valores detubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Solucin Para un cierto valor t , la longitud de arco medida desde el0ser: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 222 20 03 3 2 2t ts s t d cos sen sen cos sen d = = = + + =

( )24 2 4 209 9 4tcos sen sen cos sen cos d = + + = ( )2 2 2 2 2 209 16tcos sen cos sen cos sen d = + + = 2 2 2 1 5 22 50 025 5t tcos sen d cos sen d sen t t sen s= = = = Deestamanera,podemosexpresarlatrayectoriaentrminosdes ,lalongituddearco, reemplazandotpor su expresin en trminos des : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 1 1 2 2 25 5 52 t s cos sen s ,sen sen s ,cos sen s =( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 3 22 2 45 5 51 1/ /t s s , s , s =

para obtener la ltima expresin, se han usado distintas identidades trigonomtricas. VII.1.3El sistema de referencia T N B Sea( ) r t

unatrayectoriaregularysea( ) 00

t v y ( ) 00

t a paraunpunto( ) ( ) ( ) ( )0 0 0t z , t y , t x P

, definimosacontinuacinalgunosconceptosde inters: Plano osculador: es el plano determinado por los vectoresv

ya

(figura 6).PQv

a

Figura 6 trayectoria plano osculador y x z Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.9SeaQun punto cualquiera del plano osculador, de coordenadas( ) z , y , x , luego como los siguientes tres vectores:PQ x x t i y y t j z z t k = + + 0 0 0b g c h b g c h b g c h` ` ` ( ) ( ) ( ) ( )kt z jt y it x t v0 0 0 0` ` `

+ + =( ) ( ) ( ) ( )kt z jt y it x t a0 0 0 0` ` ` ` ` `

+ + = deben ser coplanares, el producto mixto debe ser nulo: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )00 0 00 0 00 0 0= t z t y t xt z t y t xt z z t y y t x x` ` ` ` ` `` ` ` Desarrollando este determinante resulta la ecuacin del plano osculador que contiene al punto ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0t z , t y , t x P . Versor tangentea la trayectoria2 2 2z y xkz jy ixvvT` ` `` ` `

+ ++ += = Versor binormal (perpendicular al plano osculador) ...a va vB== Lospuntossuspensivosindicanqueel alumnoconunpocodepaciencia puededesarrollarlosproductos indicadosentrminosdelas coordenadasz , y , x ysus derivadas Versornormalprincipal(perpendicularaTyB),estandoascontenidoenelplano osculador.Debeformarunaternadirecta(oderecha)conTyB,entoncessepuede definir as: ...vva va vTBN== =

La terna de versores ortogonales( ) B, N, T se suele denominar de FRENET. Figura 7 PT

N

B

plano osculador y x z Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.10 LosversoresTyNdeterminanelplanoosculador, NyBdeterminanelplanonormalyByTel plano rectificante. Quedan formados tres planos (figura 8): VII.1.4Componentes de la aceleracin. Gracias a la biyeccin entresyt , podemos pensar que la posicin es funcin desy no de t , esto es( ) s r

, o bien( ) [ ] t s r

, luego: dsr dsdtdsdsr ddtr dv

`

= = = entoncesunversortangentealatrayectoria vendr dado por: Tsvvv= =`

, por lo tanto ( ) [ ] Ts t s v`

= , ydvadt=

. Entonces si dvadt=

, resolviendo ( )d T sadt=`

, obtenemos:dtdsdsTds Ts a` ` `

+ =dsTds Ts a2` ` `

+ =pero... cmo es el vector dsTd y que significado tendr? Para empezar a responder a esta pregunta, veamos qu direccin tiene. Cuando un vectorvara solo en direccin, gira manteniendo su mdulo constante. Luego si1 = T, entonces el vectorT vara slo en direccin. Adems dsTd, es perpendicular aT. En efecto, para probar esto hagamos el producto escalar deT consigo mismo:12= = TTT derivando respecto as :0 2 = = +dsTd. TdsTdTT.dsTd Plano normal Plano osculador Plano rectificante TNP( ) t r

BFigura 8 t s x y z D W3( ) r s

( ) s t( ) ( ) r s t r s t =

( ) t sFigura 9 Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.11QuedaentoncesdemostradalaperpendicularidadentreTy dsTd,estoes: dsTdestenel plano normal, pero sia

es un vector que pertenece al plano osculadortendr que estar en ladireccindeN,oseaNdsTd = ,siendo unaconstantedeproporcionalidad, llamada curvatura de flexin. Volviendo a la aceleracin y reemplazandoNdsTd = , nos queda: Ns Ts a + =2` ` `

donde:= Ts` `aceleracin tangencial y= Ns2` aceleracin normal VII.1.5Curvatura de flexin, crculo osculador y curvatura de torsin.

Sealatrayectoria( ) r s

,unacurva parametrizadaporlalongituddelarcos . CuandonosdesplazarnosdeunpuntoP de coordenada( )0r s

aotropuntoP de coordenada( )0r s s +

,lalongitudrecorridaes s (figura 10) y el versor tangenteT cambia de direccinproduciendoungiro = (figura 11) que se denomina ngulo de contingencia.El cambio promedio de direccin por unidad de distanciasobreelarcos ,eslacurvaturade flexin promedio s =.Luegolacurvaturadeflexin esunescalarquemidecuncurvadaoflexadaestuna trayectoria en cierto punto y se define como 0lmss =. Alosfinesdeencontrarunaexpresinequivalenteaestaltimaperoquenoinvolucrela operacin de lmite, calcularemos el ngulo de contingencia.En la figura 11, observamos que T es una aproximacin a , esto es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 0 0 0 0 02 T s s T s T s s T s s T s T s + = + + +( ) ( ) ( )220 01 2 1 2 1 22 T s s T s cos cos sen + = + = = ( )0T s( ) r s

Figura 10 s PP( )0T s s +

Figura 11 T ( )0T s s +

( )0Ts

Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.12 Para valores pequeos de ,sen , entonces( ) ( )0 02 T T s s T s = + 2 = . Porotrolado,comolalongituddelarcos deunacurvaesunafuncinestrictamente creciente TTs s= , finalmenteen ellmite para0 s , nos queda: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 0 0 0lm lm lm lms s s s T s s T s T s s T sT dTs s s s ds + + = = = = = o sea que la curvatura de flexin, vendr dada por:dTds = . Llamaremos radio de curvatura a =1R .

Clculo de la curvatura de flexin: Paraobtenerunaexpresindelacurvaturadeflexinentrminosde( ) r t

,partimosde Ns Ts a + =2` ` `

y premultiplicamos vectorialmente miembro a miembro porr

: = r r + Tr s

` `Nr s

`2 peror

es paralelo aT, luego0

= Tr , ademsTs r`

= , entonces nos queda: = r r NTs 3` peroBNT= , reemplazando y tomando mdulo: 3s r r` = despejando y poniendor s =

`, nos queda:3r r r =

Crculo osculador: Sobre el plano osculador, correspondiente a un puntoPde latrayectoria,determinamosunpuntoC ,demodoquela distanciaPC alatrayectoriaenladireccinysentidodel versorN, sea =1R . Luego a la circunferencia de radioRycentroC seladenominac rculoosculador.ElradioR se llamaradiodecurvaturayC eselcentrodecurvatura,(figura 12). C RNTFigura 12 P Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.13Estecrculotieneuncontactodesegundoordenconlatrayectoria,esdecir,supuesta conocida la funcin cuya grfica o imagen es el crculo, esta funcin posee enPel mismo valor que la funcin trayectoria( ) t r

, y adems los valores de la primera y segunda derivadas sonigualesparaunayotrafuncin.Noencontraremosaqulaecuacindelcirculo osculador. Curvatura de torsin: Cuando un punto recorre una trayectoria de 3 , en general el plano osculador cambia de orientacin.Lacurvaturadetorsinesunamedidadecuanlejosestlacurvadeseruna curva plana ola rapidez con que una curva se aleja del plano osculador. Cuantificar esta medida es calcular la razn de cambio del vector normal al plano osculador a medida de se mueve sobre la curva, esto esdBds . Por definicin, llamaremos curvatura de torsin a:dsBd= Ejemplo 8 Sea( ) ( ) 0 s cos s,sen s, =

una curvay( ) ( ) 0T s sen,cos s, = el versor tangente. El versor normal lo calculamos del siguiente modo:sidTNds= y dTds =dTdsNdTds =Tluego( ) ( ) 0Ns cos s, sen s, = y el versor binormalB , perpendicular al plano osculador,viene dado por: 0 10 i j k B T N sen s cos s kcos s sen s= = = En la figura 13 se representa la curva imageny los versoresy T, N B . Luego,la0dBds = , la curvatura de torsin es nula0dBds = =y la curvatura de flexin es1dTds = = .Ejemplo 9 Consideremosahoralahlicedefinidapor:( ) ( )22s cos s,sen s,s =

quesemuestraenla figura 14 y sea( )( ) 12sen s,cos s,T s=el versor tangente.xz y NTNT Figura 13 BBClculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.14 El versor normal vendr dado por:( ) ( ) 0dTdsNs cos s, sen s,dTds= = y el versor binormal ser: 112 2 20 i j ksen s cos s B T N sen s i cos s j kcos s sen s= = = + + Finalmente,lacurvaturadetorsinesconstantee iguala:1dBds = = ylacurvaturadeflexines 22dTds = = . Ejemplo 10 En la figura 15 est representada la hlice dada por lasiguientefuncin( ) ( )525s cos s,sen s, s =

.Aligual queenelejemploanteriorcalculemoslosversores tangentes, normal y binormal, esto es:( )( ) 25sen s,cos s,T s=( ) ( ) 0dTdsNs cos s, sen s,dTds= = 115 5 50 i j ksen s cos s B T N sen s i cos s j kcos s sen s= = = + La curvatura de torsin est dada por 1dBds = =y la curvatura de flexin es 55dTds = = . Comoeradeesperar,lashlicesdelafiguras14y15tienenigualtorsin,perolacurvaturade flexin va disminuyendo hasta llegar a ser cero para una paso infinito. Nos preguntamos ahora en qu direccin se encuentra el vector dsBd? Figura 15 x y z NT( )Bs ds +NT( )Bsx z y Figura 14 NT( )Bs ds +N( )BsTClculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.15Sabemos que es perpendicular al propioB, pero hay infinitas direcciones perpendiculares a B,cul de ellas es?Como 0 = BT derivando respecto as , se tiene: 0 = + dsBdTBdsTd,peroNdsTd = , y como 0 = BNresulta0 = dsBdT`,demodoque dsBdestambinperpendicularaT,luegoesperpendicular aB y perpendicular aT, entonces est en la direccin deN (las hlices de las figura 14 y 15 convencenque dsBd est en sentido contrario aN), de modo que: NdsBd = Clculo de en base a( ) t r

:Es posible demostrar que: ( )2r rr r r =

VII.2SUPERFICIESPARAMETRIZADAS Hemosvistocomopuedenrepresentarselassuperficiesenelplano,oenelespacio. Recordemos que una superficie (en 3 ) puede ser definida como la imagen de una funcin vectorial,dedosparmetrosovariablesindependientes.Aqualafuncinvectorialla simbolizaremoscon

r yalosparmetros,engeneral,conlasletrasu yv .Deestemodo, una superficie en 3 , es la imagen de una funcin( ) v , u r

, de tres funciones componentes, por ejemplo, en coordenadas cartesianas (figura 16): ( ) ( ) ( ) ( ) r u,v xu,vi y u,v j z u,v k = + +

. y( )0 0v , uz( )0 0v , u r

xO( ) v , u r

v0vu0uFigura 16 u curvav curva' B' AA B Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.16 Curvasu yv sobrelassuperficies:Simantenemosconstanteelparmetrov en 0v y variamosslou ,lafuncinvectorial( )0v , u r

tienecomoimagenunacurvaenla superficie( ) v , u r

,(figura16).Dichodeotromodo,alsegmentoABdeldomino,le correspondeunacurvaB A enlasuperficie.Lomismopodemosdecirconelotro parmetrov , si0u u = . Vectores tangentes a las curvasv , u : Vector tangente a la curvau :ur x y z Ti j ku u u u = = + +

Vector tangente a la curvav : vr x y z Ti jkv v v v = = + +

Cuandoevaluamosestosvectoresparaunpuntodelasuperficieyresultannonulosy adems no paralelos, o sea que el producto vectorial0 u v T T , se dice que el punto es no singular,ordinario,oquelasuperficieessuaveendichopunto.Adems:elvector

N T T u v = ,esperpendicularalplanotangentealasuperficie.Enlafigura17 representemos tal situacin y mostramos cmo se transforma un rectngulo de ladosdu , dvensuimagen.Si0 du y0 dv ,laporcinsombreadapuedeasimilarsecomouna seccininfinitsima de la superficie. VII.2.1rea de una superficie y el versor normal Lasintegralesdoblesnospermitenencontrarelvalornumricodelreadeunaregin 2R , mediante la expresin R dA. Si lo que queremos ahora es encontrar el rea de una ( )0r u,v

v uT T N

=rduu

rdvv

v0vu0udvduFigura 17 0u du +Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.17superficie en 3 , utilizaremos la misma expresin, esto es: R dA, pero la dificultad radica en encontrar qu forma tiene eldA . Diferencial de rea de una superficie en 3 . Cuando0 du ,0 dv dijimosquelaporcinsombreadaenlafigura17,puedeser considerada como perteneciente a la superficie, el rea de esta porcin es: dv duvrurdA= (escalar positivo) y el rea vectorial es simplemente:dArurv du dv N du dv ==

( N

en general no es unitario) Desarrollando el producto vectorial por componentes cartesianas, obtenemos: i j ky z x z x yr r x y zu u u u u u dA du dv dudv i j k dudvy z x z x y u v u u ux y zv v v v v vv v v = = = +

Observemos que los determinantes que multiplican a los versores son los jacobianos: ( )( )( )( )( )( )y, z z, x x, y dA i j k dudvu,v u,v u,v = + +

El mdulo o valor escalar positivo del vectordAes:dAyzuvz xuvx yuvdu dv =FHGIKJ+FHGIKJ+FHGIKJ,,,,,,b gb gb gb gb gb g2 2 2 Luego el rea de una superficie alabeada en el espacio, ser: = =RdA Au vDT Tdu dv ( )( )( )( )( )( )2 2 2Ry, z z, x x, ydudvu,v u,v u,v = + + Clculo II Facultad de Ingeniera - Universidad Nacional de Ro CuartoVII.18 y el versor normalunitario n

a la superficie, viene dado por: ``,,`,,`,,,,,,,,nNNrurvrurviyzuvjz xuvkx yuvyzuvz xuvx yuv= ==++FHGIKJ+FHGIKJ+FHGIKJ

b gb gb gb gb gb gb gb gb gb gb gb g2 2 2 CasoparticularI:cuandolasuperficiesepuededefinircomolagrficadeunafuncin explcita( ) y , x f z = ,podemosaprovecharloanteriorsuponiendoquey x, v u = = ,de modo que la funcin vectorialviene dada por:( ) ( ) r x, y x i yj f x, y k = + +

, luego: ( )( )( )( )( )( )0 1 1 0 11 0 0 1y, z z, x x, y f x f y f f, , ,f x f y x, y x x, y y x, y = = = = = = Entonces: 221 f fdA dx dyx y = + +

y el diferencial de rea vectorial es: 1 00 1 i j kr r f f f dA du dv dxdy i j k dxdyu v x x yfy = = = + +

CasoparticularII:cuandolasuperficiesepuededefinirparamtricamentecomo ( ) ( ) 0 x f u,v; y g u,v; z = = = , esto significa que la superficie est en el planoxy , luego: 0 0 00Jacobiano i j k i j kf fr r x y z f gu v dA du dv dudv dudv i j k dudvg g u v u u u u ux y z f gu vv v v v v = = = = +

. luegoeldA

noesotracosaqueeljacobianodelatransformacin ( ) ( ) ( )x yr u,v f u,v , g u,v =

.., esto esdA Jdu dv =

.