tecnologias mÓveis: sequências didáticas para o ensino e ... · 1 instituição de ensino:...
TRANSCRIPT
REGINA SCHRÖDER
JOINVILLE, SC 2018
PRODUTO EDUCACIONAL
TECNOLOGIAS MÓVEIS: Sequências Didáticas para o Ensino e Aprendizagem de Matemática
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS, MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS
1
Instituição de Ensino: UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA Programa: ENSINO DE CIÊNCIAS, MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS Nível: MESTRADO PROFISSIONAL Área de Concentração: Ensino de Ciências, Matemática e Tecnologias. Linha de Pesquisa: Tecnologias Educacionais. Título: TECNOLOGIAS MÓVEIS: Sequências Didáticas para o Ensino e Aprendizagem de Matemática Autor: Regina Schröder Orientadora: Ivanete Zuchi Siple Data: 30/07/2018 Produto Educacional: Livro Nível de ensino: Ensino Fundamental II. Área de Conhecimento: Matemática Tema: Teorema de Pitágoras, Função Quadrática, Polígonos e Teorema de Tales. Descrição do Produto Educacional: O presente produto educacional tem por objetivo apresentar sequências didáticas para a utilização de dispositivos móveis no ensino e aprendizagem da matemática com o intuito de contribuir para a integração de tecnologias digitais nos processos de ensino e aprendizagem de matemática no contexto do TPACK. Biblioteca Universitária UDESC: http://www.udesc.br/bibliotecauniversitaria Publicação Associada: TECNOLOGIAS MÓVEIS: Desafios e Perspectivas no Ensino e Aprendizagem de Matemática. URL: http://www.cct.udesc.br
Arquivo *Descrição Formato
0012017.pdf Texto completo Adobe PDF Licença de uso: O autor é titular dos direitos autorais dos documentos disponíveis e é vedado, nos termos da lei, a comercialização de qualquer espécie sem sua autorização prévia (Lei nº 12.853, de 2013).
2
APRESENTAÇÃO
ste produto educacional é resultado do desenvolvimento da pesquisa
intitulada: “TECNOLOGIAS MÓVEIS: Desafios e Perspectivas no Ensino e
Aprendizagem de Matemática” desenvolvida no Mestrado Profissional em
Ensino de Ciências, Matemática e Tecnologias da Universidade Estadual de Santa
Catarina (UDESC), sob a orientação da Profa. Dra. Ivanete Zuchi Siple.
O presente produto educacional tem por objetivo apresentar sequências
didáticas para a utilização de dispositivos móveis no ensino e aprendizagem da
matemática com o intuito de contribuir para a integração de tecnologias digitais nos
processos de ensino e aprendizagem de matemática no contexto do TPACK. Os
conteúdos abordados na proposta destas sequências envolvem tópicos de matemática
do 6º ao 9º ano, portanto são destinadas para o público de professores de matemática
do Ensino Fundamental II. O produto educacional aborda o desenvolvimento de
atividades que envolvem as tecnologias móveis: celulares/tablets, sendo assim foram
explorados aplicativos compatíveis com essas tecnologias. Os aplicativos utilizados
foram o Mentimeter, Socrative, Padlet e o GeoGebra.
As atividades presentes nas sequências didáticas apresentadas neste produto
educacional foram elaboradas considerando o modelo TPACK (Tecnological Pedagogical
Content Knowledge) ou seja, o Conhecimento Tecnológico e Pedagógico do Conteúdo
proposto pelos autores Mishra e Koehler (2006) Para esses autores , ao se integrar as
tecnologias nas práticas pedagógicas, é necessário não apenas a disponibilidade e a
instrumentação técnica, mas envolve as relações entre os conhecimentos Pedagógico,
Tecnológico e do Conteúdo.
Neste produto educacional inicialmente será abordado sobre a elaboração da
sequência didática e em seguida serão apresentadas as sequências didáticas
desenvolvidas para auxiliar na integração das tecnologias digitais no ensino no contexto
do TPACK, posteriormente serão apresentadas as ferramentas utilizadas e um tutorial
explicando passo a passo o que é necessário para utilizar os aplicativos em que foram
utilizados.
E
3
Espera-se que este produto educacional auxilie os professores de matemática a
integrar as tecnologias móveis digitais nos processos de ensino e aprendizagem bem
como os motive a desenvolver as suas próprias sequências didáticas considerando as
ideias apresentadas no contexto do TPACK.
Professora Regina Schröder
4
SUMÁRIO
1 SOBRE AS SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS DESENVOLVIDAS ..................................... 8
2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 1: TEOREMA DE PITÁGORAS ...................................... 10
2.1 Conceitos Básicos no GeoGebra ......................................................................... 11
2.2 Soma dos ângulos internos de um triângulo. ..................................................... 12
2.3 Construindo triângulos retângulos ..................................................................... 14
2.4 Relação entre OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................... 15
2.5 Atividade extra para a interpretação geométrica do teorema de pitágoras ..... 17
2.6 Socialização dos Resultados ............................................................................... 17
2.7 Formalização do conteúdo ................................................................................. 19
2.8 resolvendo Problemas ........................................................................................ 19
2.9 Avaliação ............................................................................................................. 20
2.10 Utilizando o geogebra on-line para propor as atividades .................................. 21
3 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 2: FUNÇÃO QUADRÁTICA .......................................... 23
3.1 Para início de conversa, um vídeo: “Uma parábola para Julia”. ........................ 24
3.2 Resolvendo a situação proposta com o GeoGebra ............................................ 25
3.3 Explorando o gráfico da função quadrática. ....................................................... 26
3.4 Resolvendo problemas envolvendo função Quadrática. ................................... 28
3.5 Integração com debate ....................................................................................... 29
3.6 Socialização dos resultados ................................................................................ 33
3.7 Avaliação ............................................................................................................. 35
4 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 3: POLÍGONOS .......................................................... 36
4.1 Introdução: Reconhecendo os polígonos no cotidiano do aluno ....................... 37
4.2 Mural no Padlet .................................................................................................. 38
4.3 Pesquisa na internet ........................................................................................... 38
4.4 Estudando o quadrado ....................................................................................... 40
4.5 Estudo da Área do quadrado, retângulo, triângulo, losango, paralelogramo e
trapézio ............................................................................................................... 41
5
4.5.1 Quadrado ............................................................................................................ 41
4.5.2 Retângulo ............................................................................................................ 46
4.5.3 Paralelogramo ..................................................................................................... 51
4.5.4 Trapézio .............................................................................................................. 58
4.5.5 Atividade: Estudo da área do trapézio. .............................................................. 59
5 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 4: TEOREMA DE TALES............................................... 60
5.1 Reconhecendo retas paralelas e concorrentes no cotidiano do aluno .............. 61
5.2 Estudo das retas paralelas cortadas por transversais ........................................ 63
5.3 Socialização da atividade .................................................................................... 66
5.4 Relacionando o estudo ao Teorema de Tales ..................................................... 66
6 GEOGEBRA .................................................................................................. 69
6.1 Geogebra no tablet ............................................................................................. 70
6.1.1 Campo de entrada .............................................................................................. 71
6.1.2 Teclado Virtual .................................................................................................... 71
6.1.3 Janela Algébrica .................................................................................................. 72
6.1.4 Janela Gráfica ...................................................................................................... 72
6.1.5 Menu Entrar ........................................................................................................ 72
6.1.6 Menu Pesquisar .................................................................................................. 73
6.1.7 Menu Propriedades ............................................................................................ 73
6.1.8 Menu Editar ........................................................................................................ 73
6.2 Explorando o aplicativo geogebra ...................................................................... 78
7 GEOGEBRA ON-LINE – A ferramenta Grupo. ................................................. 85
8 PADLET ........................................................................................................ 95
8.1 Menu 1: Fazer um Padlet .................................................................................... 96
8.2 Menu 2: Junte-se a um Padlet .......................................................................... 103
8.3 Menu 3: Galeria ................................................................................................ 103
8.4 Menu 4: Pesquisar ............................................................................................ 104
9 MENTIMETER ............................................................................................ 105
9.1 Iniciando uma apresentação ............................................................................ 106
6
10 SOCRATIVE ................................................................................................. 108
10.1 Criando um Questionário ................................................................................. 109
10.2 Lançando um Questionário .............................................................................. 111
10.3 Lançamento do Jogo da Nave Espacial ............................................................. 113
10.3.1 Lançamento de Votações ................................................................................. 114
10.4 Sala de aula ....................................................................................................... 114
10.5 Relatórios .......................................................................................................... 114
10.6 Resultados ......................................................................................................... 115
11 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 117
12 REFERÊNCIAS ............................................................................................. 118
7
Parte 1:
SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS
8
DESENVOLVIMENTO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
1 SOBRE AS SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS DESENVOLVIDAS
O produto educacional proposto compõe algumas sequências didáticas
elaboradas para auxiliar na integração das TDIC no ensino e aprendizagem de
matemática no contexto do TPACK1 e está voltada para o ensino de matemática das
séries finais do Ensino Fundamental, contemplando assuntos: Teorema de Pitágoras,
Função Quadrática, Polígonos e Teorema de Tales, tais sequências podem ser utilizadas
para introduzir um conteúdo e outras como atividades para auxiliar a compreensão dos
conceitos que envolvem o assunto abordado. As sequências didáticas desenvolvidas se
fundamentam em Zabala (1998), e Ponte, Brocardo e Oliveira (2016).
Uma sequência didática é um conjunto de atividades que possibilitam o
desenvolvimento e aprendizado do conteúdo. Nesta dissertação adotaremos a definição
de sequência didática conforme define Zabala (1998) “um conjunto de atividades
ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos
educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos professores como
pelos alunos (...)” (ZABALA, 1998, p.18). De acordo com o autor o desenvolvimento de
uma sequência didática é fundamental para a construção do conhecimento e envolvem
“planejamento, aplicação e avaliação” (ZABALA,1998 p.19).
Dessa forma o autor mostra o desenvolvimento de algumas sequências didáticas,
nomeadas por ele de unidades. Tais unidades são modelos de ensino que envolvem
atividades ordenadas com o objetivo de ensinar um assunto específico. A unidades
apresentadas envolvem: apresentação do conteúdo e objetivo, desenvolvimento das
atividades, conclusões, generalizações, formalização com auxílio de resolução de
exercícios e avaliação. O objetivo do autor ao mostrar as sequências, não era determinar
um modelo único de aplicação, mas sim, analisar a fim de verificar as potencialidades e
limitações de cada uma para determinar qual sequência se adequa melhor a
1 O TPACK é abordado na dissertação no Capítulo 3.
9
necessidade dos alunos. Sendo destacado pelo autor que dependendo do contexto de
ensino e do assunto abordado as sequências podem sofrer alterações
A elaboração da sequência didática envolveu as relações entre o conteúdo, as
estratégias e as TDIC que serão utilizadas, no contexto do TPACK. Porém, o produto
educacional proposto pode ser adaptado, tanto em termos de conteúdo como
metodologia, haja vista que as metodologias e conteúdos podem mudar de acordo com
o nível e contexto de ensino, cabendo ao professor realizar as devidas adaptações, se
necessário.
As sequências didáticas foram desenvolvidas para a utilização no Tablet, porém
podem ser utilizadas também no computador ou no smartphone.
Espera-se que este material contribua para potencializar o ensino e
aprendizagem de matemática e motive mais professores a elaborar suas próprias
sequências com a integração das TDIC.
10
SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS
2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 1: TEOREMA DE PITÁGORAS
Conteúdos:
- Soma dos ângulos internos;
- Triângulos Retângulos;
- Teorema de Pitágoras.
Objetivos:
- Apresentar o software para os alunos explorarem livremente e conhecerem as
funcionalidades do GeoGebra
- Explorar o ambiente do GeoGebra e desenvolver simulações para:
- Identificar que a soma dos ângulos internos é 180o.
- Identificar a propriedade que define o triângulo retângulo, ao construir um triângulo
retângulo dinâmico.
- Compreender a relação existente entre a soma dos quadrados dos catetos e o valor do
quadrado da hipotenusa (Teorema de Pitágoras);
- Representar Geometricamente o Teorema de Pitágoras.
Recursos utilizados:
- Tablet;
- Folha de atividade;
- Lousa Digital;
- Internet.
Aplicativos utilizados:
- GeoGebra;
- Padlet;
- Socrative;
- Mentimeter.
11
Organização da turma:
A turma poderá ser dividida em duplas e trios. Sugere-se que cada equipe tenha
pelo menos um tablet ou smartphone para realizar as atividades.
A segunda etapa envolve pesquisa na internet e acesso ao aplicativo Padlet on-
line, dessa forma é recomendável que seja realizada em um local com fácil acesso a
internet, como a sala de informática, e se necessário os alunos podem realizar as
atividades no tablet e ou no computador.
Fases de aplicação:
Esta sequência tem por objetivo a compreensão do Teorema de Pitágoras, dessa
forma, está voltada para o nono ano do Ensino Fundamental II, ela pode ser aplicada
para introduzir o assunto de Teorema de Pitágoras pois as atividades iniciais revisam
conhecimentos importantes à compressão do Teorema. A sequência é composta por
sete atividades. São elas:
1- Aprendendo Conceitos básicos no GeoGebra;
2- Soma dos ângulos internos de um triângulo;
3- Construindo um triângulo retângulo;
4- Compreendendo o Teorema de Pitágoras.
5- Socialização;
6- Formalização do Conteúdo;
7- Resolvendo problemas;
8- Avaliação.
As atividades exploratórias apresentadas a seguir envolverão os assuntos de
triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras numa perspectiva de trabalho
investigativo e em grupo.
2.1 CONCEITOS BÁSICOS NO GEOGEBRA
Inicialmente, sugere-se que os alunos tenham um tempo para manusear
livremente o aplicativo GeoGebra para aprenderem sobre as suas funcionalidades. Se
12
necessário o professor poderá utilizar a atividade que consta no Capítulo 6.2
“Explorando o aplicativo GeoGebra”.
2.2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO
Esta atividade (quadro 1) envolve a soma dos ângulos internos de um triângulo
qualquer, o objetivo é que os alunos identifiquem e compreendam que a soma dos
ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre 180o.
Quadro 1: Atividade exploratória sobre soma dos ângulos internos.
Qual a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer?
Para descobrir, resolva a atividade a seguir:
1- Abra o aplicativo GeoGebra e construa um triângulo qualquer.
2- Meça os ângulos internos desse triângulo com o auxílio do aplicativo e anote-os.
_____________________________________________________________________
3- Qual a soma dos ângulos internos desse triângulo?
_____________________________________________________________________
4- Movimente os vértices desse triângulo, alterando as medidas dos lados. Anote as
novas medidas dos ângulos. O que acontece com a soma dos ângulos internos
desse triângulo?
_____________________________________________________________________
5- Se você repetir o procedimento (alterar as medidas dos ângulos, anotar e somar)
o que irá acontecer?
_____________________________________________________________________
6- Qual a sua conclusão sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo?
_____________________________________________________________________
7- O triângulo que você construiu possui alguma característica conhecida?
_____________________________________________________________________
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
13
Após realizar esta atividade espera-se que o aluno tenha compreendido que a
soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180o. Para auxiliar a compreensão
do aluno, podemos utilizar atividades dinâmicas disponibilizadas no fórum do GeoGebra
envolvendo o assunto, como a apresentada na figura 1.
Figura 1: Atividade dinâmica desenvolvida no GeoGebra.
Fonte: Correia, 20182
Esta atividade foi retirada do site oficial do Geogebra e nela o aluno pode
manusear os vértices do triângulo, alterando os valores dos ângulos e verificar que a
soma sempre será 180o. com esta atividade dinâmica pode-se apresentar aos alunos
uma visualização diferente com o recorte dos ângulos internos, conforme pode ser
observado na figura 1.
SUGESTÃO AO PROFESSOR:
Ao realizar a atividade dinâmica da figura 1, questione os alunos com relação ao
que está acontecendo, elabore perguntas que os orientem a organizar os conceitos
que estão a visualizar:
a) Para iniciar, selecione a opção somar ângulos. Em seguida movimente os
vértices os triângulo. Observe a soma dos ângulos internos ao movimentar o
2 Atividades disponível em: http://twixar.me/SKW3, acesso em 02/02/2018.
14
triângulo. O que acontece com essa soma? Qual o resultado que é sempre
obtido?
b) Selecione a opção "Dividir o triângulo", em seguida arraste o seletor que
aparecerá no alto da tela a direita. O que acontece? Descreva.
c) Que ângulo é formado quando o triângulo é dividido e em seguida seus vértices
são unidos? Isso sempre acontecerá em triângulos?
d) Arraste o outro seletor e em seguida selecione as opções para comparar
ângulos. É correto afirmar que os ângulos de mesma cor são iguais?
2.3 CONSTRUINDO TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
Esta atividade abordará a construção de um triângulo retângulo. Os alunos
devem construir um triângulo retângulo, no GeoGebra, de maneira que as suas
propriedades não se alterem ao movê-lo, devendo justificar todas as etapas. O objetivo
é que os alunos compreendam que um triângulo para ser classificado como retângulo,
deve ser formado por dois segmentos de retas perpendiculares. Para o bom
desenvolvimento da atividade sugere-se que os alunos sejam organizados em pequenos
grupos (2 a 3 alunos) para discutirem, relembrarem as características dos triângulos e
analisarem alternativas para a construção de um triângulo retângulo. É importante
destacar que o professor deve deixar claro que os alunos deverão, com seus colegas,
descobrir estratégias para resolver a problemática apresentada e trabalhar em
conjunto. Dessa forma os alunos aprendem a estudar de forma autônoma, podendo
serem aptos a resolver problemas sozinhos. Para orientar os alunos nesta atividade
pode-se utilizar as perguntas do quadro 2.
15
Quadro 2: Atividade exploratória sobre construção de triângulo retângulo.
Construa um triângulo retângulo, no GeoGebra, justifique todas as etapas.
1- Construa um triângulo retângulo.
2- Explique os procedimentos utilizados para a construção desse triângulo
retângulo.
____________________________________________________________________
3- Meça os ângulos internos desse triângulo e anote os valores encontrados.
____________________________________________________________________
4- Movimente os vértices desse triângulo, ele continua retângulo? Explique.
____________________________________________________________________
5- O triângulo construído é retângulo? Justifique.
____________________________________________________________________
6- Como construir um triângulo que não perca as suas características ao ser
movimentado?
____________________________________________________________________
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
SUGESTÃO AO PROFESSOR:
• Nas atividades exploratórias os alunos poderão ter mais dificuldades, dessa
forma quando eles o questionárem procure fazer perguntas para orientá-los
tomando o cuidado de não “dar” respostas prontas.
• O objetivo é fazê-los investigar a solução.
• Se for necessário utilize as atividade do Capítulo 6.2 “Explorando o aplicativo
GeoGebra”.
2.4 RELAÇÃO ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Esta atividade tem por objetivo a interpretação geométrica do Teorema de
Pitágoras. É uma atividade que dispõe de um grau de liberdade maior para o aluno,
16
necessitando que os mesmos estudem em equipes para melhor discutirem e
confrontarem seus argumentos. Num primeiro momento eles terão que construir um
triângulo retângulo, identificar os catetos e a hipotenusa e em seguida anotar as
medidas dos lados, de diversos retângulos com tamanhos diferentes para identificarem
a relação existente entre as medidas dos catetos e da hipotenusa; e representá-la
geometricamente. Esta atividade está no quadro 3.
Quadro 3: Relação entre os lados de um triângulo retângulo.
Vamos descobrir se existe uma relação entre os lados de um triângulo retângulo.
Para facilitar construa triângulos retângulos que possuam números inteiros para as
medidas dos lados.
1- Construa um triângulo retângulo.
2- Identifique a hipotenusa.
3- Identifique os catetos.
4- Meça a hipotenusa. Anote.
_____________________________________________________________________
5- Meça os catetos. Anote estes valores.
_____________________________________________________________________
6- Altere as medidas dos lados do triângulo retângulo, construindo assim um novo
triângulo.
7- Meça a hipotenusa. Anote.
_____________________________________________________________________
8- Meça os catetos. Anote estes valores.
_____________________________________________________________________
9- Observe os valores obtidos nos dois procedimentos.
10- Existe alguma relação entre a medida da hipotenusa e a medida dos catetos?
Se existir, qual é essa relação?
_______________________________________________________________________
17
11- Geometricamente o que significa esta relação?
_______________________________________________________________________
12- Você consegue representá-la geometricamente no papel? E no GeoGebra?
_______________________________________________________________________
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
2.5 ATIVIDADE EXTRA PARA A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DE
PITÁGORAS
Para os alunos que apresentarem maior dificuldade pode-se incluir a atividade
do quadro 4.
Quadro 4: Atividade extra para a compreensão do Teorema de Pitágoras.
Relação entre os lados de um triângulo retângulo – Parte 2
Com o triângulo retângulo construído anteriormente realize os seguintes
procedimentos:
1- Anote os valores dos catetos e da hipotenusa
2- Construa quadrados com as medidas dos lados iguais aos valores anotados.
3- Calcule a área destes quadrados e analise-os.
4- Qual a relação existente entre a área do maior com as dos dois quadrados
menores?
5- Construa outro triângulo retângulo e repita os procedimentos acima.
6- Descreva a relação existente entre os lados dos triângulos e as áreas dos
quadrados formados.
7- Para quais triângulos você considera válida essa relação? Justifique.
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
2.6 SOCIALIZAÇÃO DOS RESULTADOS
18
Ao fim de cada atividade sugere-se que seja realizada a socialização dos
resultados, dessa forma os alunos podem expor suas conclusões, dúvidas e socializar
(discutir/debater) com os colegas o aprendizado obtido durante o processo. Esta etapa
possui extrema importância, pois este é o momento onde os alunos exploram as
atividades desenvolvidas evidenciando seus erros e acertos e argumentando as suas
respectivas conclusões. Para alguns, é o momento onde se tornam claras algumas
dúvidas que ainda persistiram.
Para facilitar a visualização das apresentações durante a socialização pode ser
utilizado o aplicativo Padlet. No Padlet os alunos podem escrever, inserir imagens e
vídeos, construirem juntos um único mural interativo, conforme apresentado na figura
2.
Figura 2: Imagem do mural interativo feito com o Padlet
Fonte: Da autora, 2018.
SUGESTÃO AO PROFESSOR:
• Se houver acesso fácil à internet, solicite que os alunos a medida que realizam
as construções postem no Padlet a finalização para socializar com os colegas.
• Caso o acesso à internet seja limitado, organize previamente as imagens das
atividades realizadas pelos alunos no Padlet, para que eles possam explicar os
procedimentos para a realização da atividade a partir das imagens no Padlet,
na aula de socialização. Por exemplo, na figura 2 estão as imagens da etapa
19
final da sequência, a representação Geométrica da atividade que os alunos
desenvolveram, estas imagens podem ser inseridas previamente à
socialização, seja pelos alunos ou pelo professor para que todos possam
visualizar as diferentes resoluções e assim aprender com os colegas também;
• Instigue os alunos a evidenciar as suas ideias;
• Questione-os sobre as diferentes resoluções encontradas. Será que todas estão
corretas? Dessa forma, a socialização será mais proveitosa.
Após esta etapa de socialização os alunos podem complementar o mural com
mais informações sobre Pitágoras e seu Teorema. As equipes realizam pesquisas sobre
subitens definidos pelo professor e expandem o mural com mais informações.
2.7 FORMALIZAÇÃO DO CONTEÚDO
Após esta etapa apresente a “relação” encontrada como o Teorema de Pitágoras
e passe um desafio para os alunos. Este desafio pode ser mediado com o aplicativo
Mentimeter para dinamizar a atividade.
Neste momento o professor pode formalizar o conteúdo, apresentando e
explicando o teorema, sempre fazendo associação com o que os alunos discutiram em
sala de aula.
2.8 RESOLVENDO PROBLEMAS
Após a socialização e o compartilhamento das novas informações provenientes
das atividades, julga-se apropriado reservar um momento para o aluno resolver mais
situações em que se aplique o Teorema de Pitágoras. Para isso, o professor pode
disponibilizar algumas situações problemas, e outros exercícios simples envolvendo o
Teorema de Pitágoras para os alunos resolvam.
20
É conveniente deixar a disposição do aluno o aplicativo GeoGebra, pois ele
poderá além de utilizar a fórmula já conhecida, fazer simulações no aplicativo para
resolver o problema proposto com a comparação de resultados.
2.9 AVALIAÇÃO
A avaliação deve ser formativa, ou seja, ocorrer durante todo o processo de
aprendizado. Também podem ser realizadas avaliações rápidas durante o processo ou
ao final do trabalho por meio de aplicativos como o Mentimeter e o Socrative.
O Mentimeter é um aplicativo para ser utilizado em sala de aula para gerar
pequenas enquetes acerca da questão a ser estudada, pois permite um feedback
instantâneo, a medida em que os alunos respondem as questões, um gráfico é gerado
com a respostas dos alunos, conforme pode ser visto na figura 3, que mostra a tela do
aplicativo Mentimeter com algumas respostas, onde podemos perceber na parte
superior do gráfico o número de respondentes por alternativa e na parte de baixo, as
respostas (alternativas)para a solução do problemas, a medida que as respostas são
registradas, o gráfico que representa os resultados é gerado em tempo real.
Figura 3: Imagem do aplicativo Mentimeter, questão sobre o Teorema de Pitágoras.
Fonte: Da autora, 2018.
Uma desvantagem encontrada no aplicativo Mentimeter é a limitação quanto ao
número de questões, em cada enquete, na versão gratuita. Dessa forma este aplicativo
21
melhor se aplica para gerar questões de debate nas aulas com assuntos que os alunos
possuem alguma dúvida.
Outro aplicativo para avaliações rápidas em sala de aula é o Socrative. De forma
similar ao Mentimeter, o Socrative pode ser utilizado para fazer avaliações e gerar
enquetes. Pode-se projetar as repostas com a lousa digital no quadro e na medida em
que os alunos respondem uma tabela com os dados das respostas é formada
instantaneamente. O professor pode controlar se as respostas ou os nomes ficam
visíveis ou não, conforme pode ser observado na figura 4 a seguir.
Figura 4: Imagem do Aplicativo Socrative – Respostas dos alunos.
Fonte: Do autor, 2018
Tanto no aplicativo Mentimeter quanto no Socrative pode-se gerar questões de
múltipla escolha, verdadeiro ou falsa, questões abertas, elaboração de questionário
para gerar jogos e competições em sala. Com criatividade é possível elaborar diferentes
planos de aulas com esses aplicativos.
2.10 UTILIZANDO O GEOGEBRA ON-LINE PARA PROPOR AS ATIVIDADES
Para as atividades propostas anteriormente pode-se disponibilizar aos alunos
uma folha impressa para ser resolvida, porém, pode-se também disponibilizar o acesso
as atividades por meio do GeoGebra on-line.
22
O GeoGebra on-line permite desenvolver atividades interativas, com a
associação de perguntas para orientar o aluno em seus estudos, assim, as mesmas
atividades que podem ser disponibilizadas impressas podem ser elaboradas neste
aplicativo. No GeoGebra on-line ainda pode-se utilizar a ferramenta Grupos, assim pode-
se acompanhar as resoluções dos alunos e de ter o registro on-line de tudo que o aluno
fez ou está fazendo. Com o grupo o aluno pode partilhar informações e interagir com o
professor e os demais colegas em qualquer hora e lugar, não precisando
necessariamente estar em uma sala de aula física.
Nesta ferramenta pode-se criar um grupo para cada sala e sempre que
necessário disponibilizar as atividades por meio deste grupo. Ele pode ser utilizado para
enviar tarefas ou atividades para serem resolvidas em sala, no laboratório de
informática, ou em casa como tarefa ou atividades para reforço.
Uma versão desta sequência didática está disponibilizada no livro on-line3
desenvolvido com o auxílio do aplicativo GeoGebra. Neste livro estão disponibilizadas
as atividades interativas propostas nesta sequência e outras relacionadas às demais
sequências apresentadas nos Capítulos 3, 4 e 5.
O livro está disponível em: <https://www.geogebra.org/m/zmydPsXt>. Acesse!
SUGESTÃO AO PROFESSOR:
• Professor! Acesse o Capítulo 6 e 7 deste Produto Educacional e aprenda a
utilizar todas as vantagens que o GeoGebra oferece, seja aproveitando as
atividades disponibilizadas por outras pessoas participantes da comunidade,
seja desenvolvendo a sua própria atividade.
3 O livro está disponível em: <https://www.geogebra.org/m/zmydPsXt>
23
3 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 2: FUNÇÃO QUADRÁTICA
Conteúdos:
- Função do 2º grau;
Objetivos:
- Associar à função quadrática à situações do cotidiano do aluno;
- Identificar situações que podem ser representadas pelo gráfico da função quadrática;
- Identificar os coeficientes da função quadrática;
- Associar a representação gráfica da função quadrática a uma parábola;
- Identificar o vértice e as raízes da parábola no gráfico;
- Analisar situações problemas com o auxílio do GeoGebra para solucioná-las.
Recursos utilizados:
- Tablet;
- Folha de atividade;
- Lousa Digital;
- Internet.
Aplicativos utilizados:
- GeoGebra;
- Padlet;
- Socrative;
- Mentimeter.
Organização da turma:
A turma poderá ser dividida em duplas e trios. Cada equipe terá pelo menos um
tablet, ou smartphone para realizar as atividades.
Na segunda etapa em que os alunos terão que utilizar a internet para acessar o
Padlet e em seguida pesquisar, é recomendável que seja realizado em um local com fácil
acesso a internet, como a sala de informática, e se necessário os alunos podem realizar
as atividades no tablet, smartphone e no computador.
24
Etapas para a realização
A sequência é composta por sete etapas, são elas:
1- Para início de conversa, um vídeo;
2- Resolvendo a situação proposta com o GeoGebra;
3- Explorando o gráfico da função quadrática;
4- Resolvendo problemas com o GeoGebra;
5- Integração com debate;
6- Socialização;
7- Avaliação.
As atividades exploratórias apresentadas a seguir, foram elaboradas para serem
resolvidas numa perspectiva de trabalho investigativo e em grupo, com o intuito de
promover a aprendizagem.
3.1 PARA INÍCIO DE CONVERSA, UM VÍDEO: “UMA PARÁBOLA PARA JULIA”.
A aula iniciará com o vídeo “Uma parábola para Júlia4”. Este vídeo relata a
história de um casal de adolescentes e descrevendo a seguinte situação: a menina quer
correr para perder calorias, sem conversar para não perder tempo e o menino além de
correr para acompanhá-la quer conversar, e para ajudá-la ele cria uma parábola que
mostra qual é a melhor velocidade e tempo que ela gastará para atingir o máximo de
perda de calorias. Um exemplo prático de uma situação cotidiana. Este exemplo poderá
despertar o interesse e a atenção do aluno para a próxima etapa da aula.
Na segunda etapa o professor poderá levar os alunos a observarem, na escola e
ao redor, situações onde se aplicam a função de segundo grau, após complementaram
a pesquisa realizando uma busca na internet sobre situações em que a parábola pode
aparecer.
4 Fonte: <https://bit.ly/2pw9xSF>, acesso em 02 de fev. 2018.
25
3.2 RESOLVENDO A SITUAÇÃO PROPOSTA COM O GEOGEBRA
A partir da pesquisa realizada anteriormente, provavelmente surgiram situações
como: o trajeto da bola de basquete em um lance à cesta, o trajeto da bola em um jogo
de futebol ou de vôlei, o percurso da água em um bebedor, o formato de uma antena
parabólica, entre outras. Com esses exemplos, em pequenos grupos, sugira aos alunos
que elaborem problemas para serem solucionados. O professor poderá questionar, por
exemplo, como seria a função matemática que descreve o comportamento da trajetória
de uma bola num chute ao gol, ou se for dada a função, pode-se questionar o porquê
do coeficiente a ser negativo, por exemplo. O professor auxiliará na construção dos
problemas com a escolha da função que melhor se aplica a situação. Poderão surgir
problemas como o exemplo a seguir:
Na aula de educação física João chuta a bola ao gol e seu trajeto é determinado
pela função f(x) = –2x2 + 4x, no qual, y representa a altura da bola em metros e x, o
tempo decorrido até a bola tocar o solo, em segundos. Determine em que instante a
bola atinge a altura máxima e qual é a altura máxima.
Para resolver o problema apresentado, utilize o aplicativo GeoGebra. Na situação
apresentada anteriormente, ao inserir a função no GeoGebra, aparecerá o gráfico
completo da função, com pode ser observado na figura 5.
Figura 5: Imagem do GeoGebra, função: f(x) = –2x2 + 4x.
26
Fonte: Da autora, 2018.
Porém, podemos verificar que o domínio para este problema é limitada no
intervalo [0, 2], dessa forma, neste problema a função não está definida para {x ϵ IR І 0˃
x ˃ 2. Assim o professor poderá dar uma noção inicial sobre imagem e domínio da função
no problema a ser resolvido e aplicar o comando Função[˂Função˃, ˂Valor de x Inicial˃,
˂Valor de x final˃], digita-se: Função[–2x2 + 4x, 0,2],e um novo gráfico aparecerá,
representando a real situação, como pode ser observado na figura 6.
Figura 6: Imagem do GeoGebra limitando a função conforme requer o problema.
Fonte: Da autora, 2018.
Neste momento o professor pode analisar o gráfico da situação juntamente com os
alunos e encontrar a resposta para o problema proposto. Esta será a primeira análise
que o aluno fará sobre o gráfico da função de 2º grau, com isso o professor já poderá
dar uma noção de domínio, imagem, raiz da função e sobre máximo e mínimo. Para
explorar a representação gráfica da função quadrática, propomos a atividade a seguir.
3.3 EXPLORANDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA.
Esta atividade tem por objetivo levar os alunos a compreensão do significado dos
coeficientes de uma função do tipo f(x)=ax2+bx+c. Dada uma função inicial o aluno
27
analisará a relação entre os coeficientes da função com o seu gráfico, a atividade se
apresenta no quadro 5. Esta atividade está disponível no livro on-line: TDIC no ensino e
aprendizagem de matemática.
Quadro 5: Atividade exploratória sobre os coeficientes da função quadrática.
Explorando a função quadrática5:
Determine a relação dos valores dos coeficientes da função f(x)=ax2+bx+c com o
seu gráfico.
• Na entrada escrever: f(x)=ax^2+bx+c, em seguida tecle enter.
• Explore a ferramenta, mova os controles deslizantes a, b e c, e verifique o que
ocorre com o gráfico, após responda:
1- O que acontece com o gráfico quando o valor do a é positivo?
_____________________________________________________________________
2- O que acontece com o gráfico quando o valor do a é zero?
_____________________________________________________________________
3- O que acontece com o gráfico quando o valor do a é negativo?
_____________________________________________________________________
4- Coloque novamente o valor do a igual a 1 e mova apenas o controle deslizante do
coeficiente b:
a) O que acontece com o gráfico?
_____________________________________________________________________
5- Coloque novamente o valor do b igual a 1 e mova apenas o controle deslizante do
coeficiente c:
a) O que acontece com o gráfico?
____________________________________________________________________
b) Qual a relação do ponto de intersecção do gráfico com o eixo y e o valor do c?
_____________________________________________________________________
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
5 Atividade disponível em: <https://www.geogebra.org/m/zmydPsXt#material/nf75nbgq>
28
3.4 RESOLVENDO PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÃO QUADRÁTICA.
Esta etapa visa auxiliar o aluno a resolver problemas envolvendo a função
quadrática. O GeoGebra neste momento lhe auxiliará na visualização e na compreensão
da situação problema. O primeiro exercício, por exemplo, trata da altura da bola em
função do tempo, com o gráfico construído no aplicativo o aluno poderá associar mais
facilmente às seguintes relações existentes: ponto de máximo de uma parábola à altura
máxima da bola, tempo para atingir a altura máxima e o instante e que a bola toca o
chão.
Dessa forma, proponha aos alunos a construção do gráfico no GeoGebra e
permita que eles analisem e respondam as questões. Para a resolução o professor
deverá auxiliar os alunos a limitar o gráfico nas raízes da função (quando necessário).
No quadro 6 é apresentado alguns exemplos de situações que podem ser exploradas
com os alunos.
Quadro 6: Exemplos de problemas envolvendo a função quadrática. 1. Uma bola é chutada para o alto e a variação de sua altura (h), em relação ao solo, é dada
em função do tempo (x), pela equação: h(x) = -6x2 + 12x.
a) Construa o gráfico da função com o auxílio do GeoGebra, observe o gráfico e
responda as próximas questões;
b) Qual a altura máxima que a bola atinge;
c) O tempo gasto para o objeto atingir a altura máxima;
d) Em que instante a bola toca o solo novamente.
e) Qual a relação existente entre a altura máxima da bola com o gráfico?
f) Qual a relação existente entre o instante em que a bola toca o chão com o gráfico?
2. Em uma determinada fabrica o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado
por C = x2 – 80x + 2000. Com capacidade de produção de 80 unidades por mês, nestas
condições calcule:
a) A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo.
b) O valor mínimo do custo.
c) Qual a relação existente entre o valor do custo mínimo com o gráfico?
d) Qual é o custo para a produção de 50 unidades?
e) Qual o domínio dessa função? Represente-o graficamente.
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
29
3.5 INTEGRAÇÃO COM DEBATE
Para verificar se o aluno compreendeu o assunto pode-se criar uma dinâmica
com posterior debate entre os alunos sobre os seus pontos de vista. A dinâmica funciona
da seguinte maneira:
Para iniciar, individualmente elabore uma questão na qual o aluno precise
analisar e expor seus conceitos, como o exemplo apresentado no quadro 7:
Quadro 7: Modelo de questão para o estudo da função quadrática em equipes.
Questão sobre custo mínimo:
Os estudos das funções estão relacionados às questões que
envolvem relações entre grandezas e sua aplicabilidade
abrange inúmeras ciências. Enfatizaremos a função custo,
função receita e a função lucro que estão relacionadas aos
fundamentos administrativos de qualquer empresa.
A Função Custo está relacionada ao custo de produção de um
produto, pois toda empresa realiza um investimento na
fabricação de uma determinada mercadoria.
A Função Receita está ligada ao dinheiro arrecadado pela venda
de um determinado produto.
A função lucro é a diferença entre a função receita e a função
custo. Caso o resultado seja positivo, houve lucro; se negativo,
houve prejuízo. Sendo assim: L(x) = R(x) – C(x).
Fonte: https://bit.ly/2NGfeMw. Acesso: 23 fev 2018.
Considerando o exposto anteriormente, determine o gráfico que melhor
representa a situação a seguir:
De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela
expressão matemática L = R – C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a
receita do produto. Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e
verificou que o custo de produção era dado pela função C(x) e a receita
representada por R(x). Determine o gráfico que melhor representa a função lucro
máximo desta empresa.
30
a)
b)
c)
31
d)
e)
Fonte: Elaboração da Autora, 2018.
32
No primeiro momento o aluno vota individualmente em qual alternativa que ele
considera correta para isso pode-se utilizar o Mentimeter. Em seguida, os alunos se
reúnem em pequenos grupos para discutirem os motivos que os levaram a escolher
determinada alternativa, justificando com argumentos o porquê sua escolha é a correta.
Dessa forma os alunos expõem suas estratégias, as quais podem ser validadas ou
refutadas pelo grupo. Ao final da discussão o grupo deve chegar a um consenso da
alternativa correta.
Para lançar esta questão aos alunos pode-se usar o Aplicativo Socrative ou o
Mentimeter. No aplicativo Mentimeter a questão poderia ser formada com a opção
“Image Choice”, nesta seleção pode-se colocar as imagens para os alunos votarem,
conforme figura 7.
Figura 7: Imagem do aplicativo Mentimeter, questão de lucro máximo.
Fonte: Do autor, 2018.
Pretende-se que com esta atividade os alunos analisem a função sob uma nova
visão, partindo do gráfico para analisar os pontos de máximo e mínimo da função.
Quando em equipes os alunos terão que defender a sua posição e justificar a sua
escolha, convencendo os outros colegas.
E por fim após terminada as discussões cada equipe votará novamente, espera-
se que nesta nova votação a maioria tenha votado na opção correta.
33
3.6 SOCIALIZAÇÃO DOS RESULTADOS
Para compartilhar os resultados obtidos pelos alunos, o professor poderá
projetar a imagem do GeoGebra no quadro e analisar a questão com a turma, pode-se
ainda mostrar aos alunos algumas funções do GeoGebra para encontrar, máximos,
mínimos e a raiz da função.
SUGESTÃO AO PROFESSOR:
No exemplo citado anteriormente, e no quadro 6, verifique como pode ser
encontrado o máximo ou mínimo e as raízes da equação (figura 8). Digite no campo
de entrada do GeoGebra:
1- f(x) = 6x^2+12x, para aparecer o gráfico da função;
2- Raiz [f], para serem identificadas as raízes da função;
3- Extremo [f], para serem identificados o máximo ou o mínimo da função
quadrática;
Lembrando que este problema não se aplica para valores de y˂0, dessa forma
digite:
4- Função[-6x2 + 12x, 0,2]
34
Figura 8: Imagem do GeoGebra com a explicação do problema do quadro 6, 1º problema.
Fonte: Da autora, 2018.
Com a imagem projetada no quadro, o professor pode explicar e coordenar um
debate produtivo acerca da resolução da questão, permitindo que os alunos
exponham suas conclusões e dúvidas.
O mesmo pode ser realizado com o segundo exemplo, como pode ser
observado na figura 9.
Figura 9: Imagem do aplicativo GeoGebra, resolução do 2º problema do quadro 6.
Fonte: Da autora, 2018.
35
Neste exemplo, o professor poderá questionar os alunos sobre as raízes da
função, também explicar aos alunos que na situação apresentada a empresa se
limitava a produzir 80 unidades por mês, dessa forma o gráfico se limita a 0 ≤ x ≤ 80.
3.7 AVALIAÇÃO
Para a avaliação pode-se dividir a classe em pequenos grupos e distribuir diversos
problemas diferentes para as equipes apresentarem e explicarem o significado dos
principais pontos no gráfico da função (domínio, imagem, ponto de máximo ou mínimo
e raízes) associando seu significado ao problema a ser resolvido, para isso o aluno
poderá utilizar o GeoGebra.
36
4 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 3: POLÍGONOS
Conteúdos:
- Figuras geométricas planas;
Objetivos:
- Identificar polígonos em situações do cotidiano;
- Reconhecer as características que definem o quadrado;
- Determinar a área de polígonos simples.
Recursos utilizados:
- Tablet;
- Folha de atividade;
- Lousa Digital;
- Internet.
Aplicativos utilizados:
- GeoGebra;
- Padlet;
- Socrative;
- Mentimeter.
Organização da turma:
A turma poderá ser dividida em duplas e trios. Sugere-se que cada equipe tenha
pelo menos um tablet para realizar as atividades.
Na segunda etapa em que os alunos terão que utilizar a internet para acessar o
Padlet e em seguida pesquisar, é recomendável que seja realizado em um local com fácil
acesso a internet, como a sala de informática, e se necessário os alunos podem realizar
as atividades no tablet, smartphone ou no computador.
37
Etapas para a realização
Esta sequência está dividida em 4 etapas. São elas:
1- Reconhecendo os polígonos no cotidiano do aluno;
2- Pesquisa sobre polígonos na internet;
3- Estudo do quadrado;
4- Estudo da área do quadrado, retângulo, triângulo, losango, paralelogramo e
trapézio;
As atividades exploratórias apresentadas a seguir envolverão os assuntos de
identificação e cálculo de área de polígonos, numa perspectiva de trabalho investigativo.
4.1 INTRODUÇÃO: RECONHECENDO OS POLÍGONOS NO COTIDIANO DO ALUNO
Inicialmente, sugere-se ao professor levar os alunos a um passeio ao redor da
escola e com o tablet, ou uma câmera fotográfica para os alunos identificarem e tirarem
fotos de lugares que tenham ou sejam formados por polígonos.
Em sala de aula, em pequenas equipes os alunos escolhem duas a três fotos para
inserir no GeoGebra e destacar os polígonos encontrados, conforme modelo nas figuras
10 e 11, que apresentam alguns dos polígonos destacados.
Figura 10: Imagem do aplicativo GeoGebra, destacando polígonos.
Fonte: Da autora, 2018.
38
Figura 11:Imagem do aplicativo GeoGebra, destacando polígonos.
Fonte: Da autora, 2018.
4.2 MURAL NO PADLET
Um mural com as imagens editadas no GeoGebra pode ser elaborado com os
alunos. Para isso abra um Padlet, disponibilize ao aluno e peça para ele inserir a imagem
que foi editada com o GeoGebra para destacar o polígono e em seguida escrever o nome
dos polígonos encontrados.
4.3 PESQUISA NA INTERNET
Em sala de aula, oriente os alunos a identificarem os polígonos encontrados, bem
como, descrever suas características. Uma série de perguntas podem ser lançadas neste
momento (quadro 8) para ajudá-los na compreensão, como as listadas a seguir, os
alunos podem responder com o auxílio da internet.
39
Quadro 8: Modelo de perguntas para a realização da pesquisa.
1 – Nas fotos que você analisou no GeoGebra, quantos polígonos você encontrou?
_____________________________________________________________________
2 – Descreva suas características no quadro a seguir:
Nome do Polígono
Número de lados
Número de vértices
Número de ângulos internos
Nome do Polígono
Número de lados
Número de vértices
Número de ângulos internos
3 – Quais outros Polígonos você conhece?
_____________________________________________________________________
4 – Faça uma pesquisa e descubra o nome ou a quantidade de lados dos polígonos a seguir,
completando a tabela:
Nomenclatura de Polígonos
Nome do Polígono Número de lados
Triângulo 3
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
40
17
18
19
20
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
4.4 ESTUDANDO O QUADRADO
Esta atividade será realizada com o auxílio do GeoGebra. Oriente o aluno a abrir
o aplicativo e a retirar os eixos cartesianos e entregue a atividade do quadro 9:
Quadro 9: Modelo de atividade para o estudo do quadrado.
1- Desenhe um quadrado, no GeoGebra, e registre os passos para sua construção.
____________________________________________________________________
2- Com a ferramenta “Mover”, selecione um dos vértices e altere o tamanho
do lado do quadrado.
3- O polígono desenhado continua um quadrado? Justifique.
____________________________________________________________________
4- O que é necessário para que o seu polígono seja um quadrado, independente da
maneira como você o movimenta?
____________________________________________________________________
5- Desenhe um quadrado que possa ser movimentado e que possa ser alterado a
medida do lado. Escreva os procedimentos para fazer o seu quadrado.
____________________________________________________________________
6- O quadrado é um quadrilátero? Justifique.
____________________________________________________________________
7- Todo quadrilátero é um quadrado? Justifique.
____________________________________________________________________
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
41
SUGESTÃO AO PROFESSOR
• Oriente os alunos a registrarem todas as construções e a tirarem print screen
da tela a cada passo para que, posteriormente, possa ser compartilhado as
imagens com os colegas por meio do Padlet (Mural interativo) e após possa ser
realizado a socialização e discussão da atividade com os colegas.
• Pode-se também ter acesso a maneira como o aluno construiu a atividade,
consultando o protocolo de construção no GeoGebra, para isso, basta solicitar
ao aluno para salvar o arquivo.
4.5 ESTUDO DA ÁREA DO QUADRADO, RETÂNGULO, TRIÂNGULO, LOSANGO,
PARALELOGRAMO E TRAPÉZIO
Para o estudo e o cálculo da área de polígonos, trabalharemos com figuras
interativas elaboras com o software GeoGebra. Dessa forma esta atividade consiste na
construção dos polígonos no GeoGebra e acompanha um roteiro de perguntas para a
análise e elaboração da fórmula do cálculo da área pelos alunos.
É possível criar o polígono interativo junto com o aluno, o que traz grandes
benefícios, pois quando o aluno participa da construção ele visualiza as propriedades
que determinam o polígono. Ou pode-se apenas levar as figuras interativas para o aluno
manusear e descobrir as particularidades de cada polígono, bem como, elaborar a
fórmula que define a sua área. A tratativa escolhida pelo professor vai depender a
disponibilidade de tempo para a elaboração da atividade. Os polígonos interativos estão
disponíveis em: <https://www.geogebra.org/m/zmydPsXt>.
4.5.1 Quadrado
Para iniciar a atividade pode-se construir um quadrado interativo6 seguindo os
passos a seguir ou utilizar a versão que está disponível no GeoGebra.
Passo para a construção do quadrado interativo:
6 Uma versão on-line e interativa está disponível em: <https://www.geogebra.org/m/zmydPsXt#material/vxrwmxuu>.
42
1. No GeoGebra construa uma reta a partir de dois pontos com a ferramenta
, conforme figura 12.
Figura 12: Imagem do aplicativo GeoGebra.
Fonte: Da autora, 2018
2. Construa um controle deslizante com a ferramenta , click
na tela e parecerá uma janela representada pela figura 13, nomeia como a,
selecione a opção Número, selecione o intervalo mínimo e máximo com
incremento 1. Click em OK.
43
Figura 13: Imagem do aplicativo GeoGebra.
Fonte: Da autora, 2018.
3. Construa um segmento de comprimento fixo, clicando em
, em seguida no ponto A. Na janela que
abrir escreva a (figura 14), dessa forma você estará construindo um segmento
de comprimento que varia de acordo com o controle a, criado anteriormente.
Figura 14: Imagem do aplicativo GeoGebra, segmento de comprimento fixo.
Fonte: Da autora, 2018.
4. Utilize o segmento criado para fazer o quadrado. Que pode ser criado com retas
perpendiculares ou com a ferramenta . Para utilizar esta
ferramenta, após selecioná-la click nos dois pontos A e C, que formam o
segmento, na janela que abrir escreva 4, que é o número de lados do polígono
que queremos criar (figura 15).
44
Figura 15: Imagem do aplicativo GeoGebra.
Fonte: Da autora, 2018.
Pronto! O polígono está formado, um quadrado interativo, a medida do lado
muda conforme movimentamos o controle a. Para estudar a área elabore uma
sequência de perguntas para guiar o aluno, como o exemplo do quadro 10. Uma versão
on-line desta atividade está disponível em: <https://bit.ly/2OQoytp>.
Quadro 10: Modelo de atividade para o estudo do quadrado.
Estudo da área do quadrado
Sabemos que a área é o espaço ocupado pelo polígono.
Nas atividades a seguir considere cada como uma unidade de área, e
calcule o espaço ocupado pelos polígonos.
1. Abra o arquivo do quadrado no GeoGebra, e complete a tabela:
45
A quantidade de quadradinhos é o que chamamos de área.
Um é igual a uma unidade de área.
Se o lado deste medir 1cm, então dizemos que sua área é 1cm2.
2. Sendo assim qual a área das figuras 1, 2, 3, 4, 5 e 6? Complete a tabela:
3. Para calcular a área você contou os quadradinhos. Existe uma maneira mais fácil
para calcular a área?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
4. Você consegue estabelecer uma fórmula para calcular a área de um quadrado?
_____________________________________________________________________
46
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
4.5.2 Retângulo
Para iniciar a atividade pode-se construir um retângulo interativo7 seguindo os
passos a seguir ou utilizar a versão que está disponível no GeoGebra.
Passo para a construção do retângulo interativo:
1. No GeoGebra construa uma reta a partir de dois pontos com a ferramenta
, conforme figura 16.
Figura 16:Imagem do aplicativo GeoGebra.
Fonte: Da autora, 2018.
2. Construa dois controles deslizantes com a ferramenta ,
click na tela e parecerá uma janela representada pela figura 17, nomeia como a,
selecione a opção Número, selecione o intervalo mínimo e máximo com
incremento um. Click em OK.
7 Uma versão on-line e interativa está disponível em: <https://bit.ly/2IbMzsD>.
47
Figura 17: Imagem do aplicativo GeoGebra, controle deslizante.
Fonte: Da autora, 2018.
3. Repita a sequência para criar o controle deslizante a, e crie o controle deslizante
b.
4. A partir do ponto A, crie dois segmentos de comprimento fixo, um com
comprimento a e outro com comprimento b.
5. Deixe o segmento de comprimento a na horizontal e o segmento de
comprimento b na vertical, conforme figura 18.
Figura 18: Imagem do aplicativo GeoGebra, etapas para a construção do retângulo interativo.
Fonte: Da autora, 2018.
48
6. Construa duas retas perpendiculares à reta f, uma passando pelo ponto A e outra
passando pelo ponto C, selecionando , em seguida click no
ponto D e depois no ponto A. Para fazer a outra reta perpendicular, click no
ponto C e depois na reta f. Aparecerá na tela do GeoGebra duas retas
perpendiculares a f, conforme figura 19.
Figura 19: Imagem do aplicativo GeoGebra, etapas para a construção do retângulo interativo.
Fonte: Da autora, 2018.
7. Após, construa uma reta paralela a f, selecionando a ferramenta
, na sequencia click no ponto D e depois na reta f, conforme
mostrado na figura 20.
49
Figura 20: Imagem do aplicativo GeoGebra, etapas para a construção do retângulo interativo.
Fonte: Da autora, 2018.
8. Marque o ponto de interseção entre as retas h e i, selecionando
, em seguida click na reta h e depois na reta i.
9. Construa um polígono com a ferramenta , clicando nos pontos A, C,
D, E e novamente em A.
10. Pronto! Seu retângulo interativo está criado (figura 22). Agora apenas organize
a sua tela, click sobre os objetos que você não quer mais que apareça e tire a
seleção do item “Exibir objeto” (figura 21). Movimente os controles deslizantes
e veja o que acontece.
Figura 21: Imagem do aplicativo GeoGebra, exibir/esconder objetos.
50
Fonte: Da autora, 2018.
Figura 22: Imagem do aplicativo GeoGebra, Retângulo interativo.
Fonte: Da autora, 2018.
Para o estudo do retângulo pode-se aplicar a atividade do quadro 11.
Quadro 11: Modelo de atividade para o estudo do retângulo.
Estudo do retângulo.
1. Abra o arquivo do retângulo no GeoGebra, e movimente os controles deslizantes a
e b, forme diferentes retângulos e complete a tabela.
51
2. Como você fez para calcular a quantidade de “quadradinhos” no retângulo, ou seja,
sua área? Explique.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Existe uma relação entre as medidas dos lados do retângulo e a sua área? Qual?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
4. Você consegue estabelecer uma fórmula para calcular a área do retângulo?
Justifique.
_____________________________________________________________________
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
4.5.3 Paralelogramo
Para iniciar a atividade pode-se construir um paralelogramo interativo8 seguindo
os passos a seguir ou utilizar a versão que está disponível no GeoGebra.
Passo para a construção do retângulo interativo:
1. Construa dois controles deslizantes. Com a ferramenta ,
click na tela e configure o controle deslizante conforme a figura 23.
8 Uma versão on-line e interativa está disponível em: <https://bit.ly/2pwafzj>.
52
Figura 23: Imagem do aplicativo GeoGebra, controle deslizante.
Fonte: Da autora, 2018.
2. Repita a operação para criar o segundo controle deslizante, mas este nomeio
com h, pois irá representar a altura do polígono.
3. Crie um segmento de comprimento fixo, com a ferramenta
. Selecione um ponto na tela do GeoGebra
e na aba que abrir coloque o comprimento b. Mova o controle deslizante b, e
você verá que o segmento muda o seu comprimento conforme modificamos os
valores do controle deslizante b.
4. Passe uma reta com a ferramenta pelos pontos do segmento criado.
Click no ponto A e em seguida no ponto B. Formando uma reta conforme mostra
a figura 24.
53
Figura 24: Imagem do aplicativo GeoGebra, etapas para a construção do Paralelogramo.
Fonte: Da autora, 2018.
5. Faça um ponto sobre o segmento AB (figura 25), selecionando a ferramenta
.
Figura 25: Imagem do aplicativo GeoGebra, inserindo um ponto.
Fonte: Da autora, 2018.
6. Crie um segmento de comprimento fixo a partir do ponto C e de comprimento
h, com a ferramenta , e mova-o para ficar
na vertical (figura 26).
54
Figura 26: Imagem do aplicativo GeoGebra, segmento de comprimento fixo.
Fonte: Da autora, 2018.
7. Passe uma reta pelo ponto D, paralela ao segmento f. Selecione
, click no ponto D e depois no segmento f, veja como ficará na
figura 27.
Figura 27: Imagem do aplicativo GeoGebra, Retas Paralelas.
Fonte: Da autora, 2018.
8. Passe uma reta pelos pontos A e D, com a ferramenta (figura 28).
Figura 28: Imagem do aplicativo GeoGebra, etapas para a construção do Paralelogramo.
Fonte: Da autora, 2018.
55
9. Passe uma reta por B, paralela a que contém os pontos A e D. Utiliza a ferramenta
, click na reta e em seguida no ponto B.
10. Crie um ponto de interseção entre as retas l e j, com a ferramenta
. Selecione a ferramenta, click na reta l e em
seguida na reta j, formando o ponto E (figura 29).
Figura 29: Imagem do aplicativo GeoGebra, etapas para a construção do Paralelogramo.
Fonte: Da autora, 2018.
11. Com a ferramenta , forme o paralelogramo, clicando nos pontos
A, B, E, D e novamente em A.
12. Tire a seleção dos objetos que você não quer que apareça, e o polígono interativo
está formado (figura 30).
56
Figura 30: Imagem do aplicativo GeoGebra, Paralelogramo Interativo.
Fonte: Da autora, 2018.
Para o estudo da área do paralelogramo pode-se utilizar a atividade do quadro
12.
57
Quadro 12: Modelo de atividade para o estudo do paralelogramo.
1. Abra o arquivo do paralelogramo no GeoGebra, e movimente os controles
deslizantes b e h, forme diferentes paralelogramos e complete a tabela.
Dica: Junte as partes , que ficaram cortadas, para contar quantos
completos tem no paralelogramo.
2. Como você fez para calcular a quantidade de “quadradinhos” no paralelogramo, ou
seja, sua área? Explique.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Existe uma relação entre as medidas da altura e da base com a sua área? Qual?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
4. Você consegue escrever uma fórmula para calcular a área do paralelogramo? Tente
fazer uma fórmula para calcular a área no espaço abaixo.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
58
4.5.4 Trapézio
Para iniciar a atividade pode-se construir um trapézio interativo9 seguindo os
passos a seguir ou utilizar a versão que está disponível no GeoGebra.
Para construir o trapézio podemos utilizar os eixos coordenados, seguindo os
passos:
1. Trace uma reta paralela ao eixo x, com a ferramenta , click no
eixo x e em seguida em um ponto acima do eixo.
2. Marque sob as retas dois pontos, conforme indicado na figura 31.
Figura 31: Imagem do aplicativo GeoGebra.
Fonte: Da autora, 2018.
3. Utilize a ferramenta , para formar o trapézio, clicando nos pontos
A, B, C, D e feche em A.
4. Tire a seleção dos eixos coordenados e da reta paralela, formando o polígono
representado na figura 32.
Figura 32: Imagem do Aplicativo GeoGebra.
9 Uma versão on-line e interativa está disponível em: <https://bit.ly/2zqNJh9>.
59
Fonte: Da autora, 2018.
Este polígono pode ser movimentado para alterar as medidas das bases e da
altura, para isso pode-se “segurar” nos pontos e movimentá-los.
4.5.5 Atividade: Estudo da área do trapézio.
Para o estudo do trapézio pode-se aplicar a atividade do quadro 13.
Quadro 13: Modelo de atividade para o estudo do trapézio.
ATIVIDADE PARA O ESTUDO DO TRAPÉZIO.
1. O que ocorre quando movimentamos os pontos A, B, C e D?
_______________________________________________________________________
2. Qual as características que definem o trapézio?
_______________________________________________________________________
3. O que é necessário para que este trapézio se torne um retângulo?
_______________________________________________________________________
4. Complete a tabela construindo diferentes trapézios, para cada trapézio que você
construir anote os valores na tabela.
5. Como você fez para calcular a quantidade de “quadradinhos” no trapézio, ou seja, sua área?
Explique.
_______________________________________________________________________
6. Existe uma relação entre as medidas da altura e das bases com a sua área? Qual?
_______________________________________________________________________
60
7. Você consegue escrever uma fórmula para calcular a área do trapézio? Tente fazer uma
fórmula para calcular a área no espaço abaixo.
_______________________________________________________________________
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
5 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 4: TEOREMA DE TALES
Conteúdos:
- Teorema de Tales;
Objetivos:
- Identificar retas paralelas e retas transversais em situações cotidianas do aluno;
- Explorar o ambiente do GeoGebra para reconhecer o Teorema de Tales como uma
relação de Proporcionalidade.
Recursos utilizados:
- Tablet;
- Folha de atividade;
- Lousa Digital;
- Internet.
Aplicativos utilizados:
- GeoGebra;
- Padlet;
- Socrative;
- Mentimeter.
Organização da turma:
Sugere-se que a turma seja dividida em duplas ou trios e que cada equipe tenha
pelo menos um tablet para realizar as atividades.
Etapas para a realização:
61
Esta sequência tem por objetivo o estudo do Teorema de Tales, estando voltado para
o 9º ano do ensino fundamental. Está dividida em 4 etapas:
1- Reconhecendo retas paralelas e concorrentes no cotidiano do aluno;
2- Estudo das retas paralelas cortadas por transversais;
3- Socialização das atividades;
4- Relacionando o estudo ao Teorema de Tales.
As atividades exploratórias apresentadas a seguir envolverão os assuntos de
Teorema de Tales, numa perspectiva de trabalho investigativo e em grupo.
5.1 RECONHECENDO RETAS PARALELAS E CONCORRENTES NO COTIDIANO DO ALUNO
A partir da utilização do aplicativo Google Earth10, os alunos poderão visualizar o
local onde a escola está situada e identificar as ruas. Cada equipe poderá discutir e
encontrar um jeito de relacionar as ruas de acordo com a posição, com o objetivo de
lembrar os conceitos já vistos sobre retas paralelas, transversais e perpendiculares. As
conclusões e análises devem ser registradas no caderno para posterior debate com a
turma.
Permita que os alunos explorem o aplicativo e tentem encontrar diferentes tipos
de retas (paralelas, perpendiculares e concorrentes). Em seguida peça aos alunos que
cada equipe escolha um lugar, tire um print screen da região e insira a foto no aplicativo
GeoGebra.
Para inserir as fotos no aplicativo deve-se usar a versão on-line do GeoGebra, e
siga os passos
1- Abra o aplicativo e na 10ª aba, escolha a opção “inserir imagem”, conforme
indica a figura 33.
Figura 33: Imagem do aplicativo GeoGebra, inserindo uma imagem.
10 Disponível em: <https://earth.google.com/web/>
62
Fonte: Da autora, 2018. 2- Click em “inserir arquivo” e procure a imagem no computador ou no tablet.
Em seguida peça aos alunos para passarem retas paralelas e concorrentes sobre
as ruas que eles identificaram. Se os alunos ainda não conhecerem o aplicativo mostre-
os as ferramentas para construção de retas a partir de dois pontos e a ferramenta para
construir retas paralelas. Na figura 34, há um exemplo de grupos de retas paralelas e
concorrentes traçadas sobre as ruas que os alunos podem encontrar.
Figura 34: Imagem do aplicativo Google Earth, no GeoGebra.
Fonte: Da autora, 2018.
Para realizar o estudo das retas paralelas cortadas por transversais, peça aos
alunos focarem em um grupo menor de retas paralelas, como o exemplo da figura 35.
63
Figura 35: Imagem do aplicativo Google Earth, no GeoGebra.
Fonte: Do autor, 2018.
5.2 ESTUDO DAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR TRANSVERSAIS
Para o estudo das relações existentes em retas paralelas cortadas por
transversais, pode-se utilizar a atividade do quadro 14, ou utilizar a versão on-line desta
atividade disponível no GeoGebra no livro: “TDIC no ensino e aprendizagem de
matemática”.
Quadro 14: Modelo de atividade para o estudo do Teorema de Pitágoras.
Estudo das retas paralelas cortadas por transversais
1- Insira a imagem que você selecionou com o aplicativo Google Earth no GeoGebra
2- Faça retas paralelas, com a ferramenta no GeoGebra, marcando
as ruas paralelas que você encontrou. Conforme mostra a figura a seguir:
64
3- Faça um segmento de reta entre as retas paralelas. Utilize a ferramenta
, click no espaço entre duas retas, repita o procedimento para
todos os segmentos, conforme indica a figura a seguir.
1- Faça a primeira de reta com a ferramenta:
2- Marque pontos onde você quer passar a reta paralela
3- Selecione a ferramenta e primeiro click na reta inicial e depois nos pontos que você marcou, em seguida as retas paralelas aparecerão.
65
4- Com a ferramenta , meça o
comprimento entre as retas, conforme exemplo na figura 36.
Agora responda:
RETAS PARALELAS
1- FAÇA SEGMENTOS DE
RETA ENTRE OS PONTOS
2- SELECIONE A
FERRAMENTA
PARA MEDIR E DISTÂNCIAS
E CLICK NOS PONTOS
66
a) Existe alguma relação entre as medidas dos segmentos entre as retas paralelas?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
b) Se existir, qual a relação?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
c) O que podemos concluir sobre as medidas dos segmentos entre as retas paralelas?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
d) Salve a sua construção, tire um print screen da sua tela e insira no arquivo do
Padlet.
Fonte: Elaboração da Autora, 2018.
5.3 SOCIALIZAÇÃO DA ATIVIDADE
SUGESTÃO AO PROFESSOR
Professor! Para socializar os resultados obtidos, abra um arquivo no Padlet para os
alunos inserirem as imagens de suas construções. Dessa forma os alunos poderão
comparar as outras construções e cálculos realizados, verificar se a relação que um
grupo encontrou é válida para os outros também e fazer as generalizações para toda
e qualquer reta paralela cortada por transversais.
5.4 RELACIONANDO O ESTUDO AO TEOREMA DE TALES
Após a socialização pode-se pedir aos alunos pesquisarem sobre retas paralelas
cortadas por transversais. Os alunos poderão completar o mural interativo já iniciado
com as imagens das construções de retas paralelas com as informações da pesquisa.
Divida as tarefas, peça para uma equipe focar mais na biografia de Tales, outra em
67
exemplos de como ele descobriu essa relação, outra para pesquisar pequenos vídeos
sobre o assunto, exemplos de problemas resolvidos e assim por diante.
O objetivo é construir um único mural interativo com as informações
pesquisadas pelos alunos para posteriormente servir de material de consulta e estudo.
68
Parte 2:
TUTORIAL DOS APLICATIVOS
UTILIZADOS
69
6 GEOGEBRA
O GeoGebra é um software de geometria dinâmica e interativa é gratuito e
possui uma interface bastante amigável que proporciona excelente visualização e
interação entre suas janelas geométrica e algébrica, que se apresentam como forte
instrumento para o estudo. É uma importante ferramenta que será utilizada pelos
alunos para desenvolver atividades experimentais. Uma das principais vantagens é a
possibilidade de trabalhar a geometria dinâmica de uma forma bem diferenciada que
facilita a visualização. O software possibilita a construção de tabelas e gráficos, com
diversos recursos que permite a análise a exploração de todas as características do
objeto estudado. Com este software é possível trabalhar diversos conteúdos
matemáticos pois associa a parte algébrica, gráfica, diversos cálculos, tabelas e
informações estatísticas em um único sistema.
Dentre as áreas de visualização do GeoGebra, a que utilizaremos com mais
frequência é a algébrica e a gráfica. Esta área inicial possui um campo de entrada, onde
são inseridos os comandos e as equações algébricas e um teclado virtual com diversos
caracteres matemáticos que auxiliam na escrita dos comandos e equações, conforme
mostrado na figura 36.
Figura 36: Imagem do software GeoGebra, tela de entrada.
70
Fonte: Da autora, 2018.
Grande parte das ferramentas disponíveis no GeoGebra está acima da janela
algébrica, a esquerda, na tela de entrada, estas ferramentas estão divididas em 11 abas
(figura 37).
Figura 37: Imagem do software GeoGebra, abas do menu editar.
Fonte: Da autora, 2018
No desenvolvimento das atividades propostas indicarei a ferramenta a ser
utilizada e sua Aba associada. Por exemplo, a ferramenta , está na segunda
aba, como pode ser observado na figura 37.
6.1 GEOGEBRA NO TABLET
O GeoGebra possui três aplicativos para serem utilizados no tablet, Calculadora
Gráfica GeoGebra, GeoGebra Geometria e Calculadora Gráfica GeoGebra 3D.
Calculadora Gráfica GeoGebra, GeoGebra Geometria, são aplicativos para
smartphone, possuem funcionalidades similares e as versões diferem minimamente.
São aplicativos de matemática dinâmica, que assim como as versões para
71
computadores, associam geometria, álgebra e cálculo. Permitem a criação de gráficos
instantaneamente a medida que digitamos as funções e pode-se construir polígonos
apenas com o arraste do dedo na tela. Todas as movimentações são feitas com o arraste
do dedo na tela, como movimentar um objeto ou a janela gráfica, aumentar e diminuir
o zoom, entre outras. Torna-se fácil, prático e dinâmico realizar as construções
algébricas e geométricas utilizando-se o tablet.
Na figura 38, pode ser observado a tela inicial do aplicativo do software
GeoGebra no Tablet.
Figura 38: Imagem do software GeoGebra no tablet.
Fonte: Da autora, 2018.
6.1.1 Campo de entrada
O Campo de entrada é meio pelo qual inserimos os comandos e as equações
desejadas, ao selecionar o campo de entrada abrirá o teclado virtual.
6.1.2 Teclado Virtual
72
O Teclado Virtual é utilizado para digitar as informações no campo de entrada.
Possui diversos caracteres que facilitam a escrita matemática.
6.1.3 Janela Algébrica
Na janela algébrica aparecem as informações referentes às construções
realizadas, as equações inseridas no campo de entrada e as representações dos objetos
construídos.
6.1.4 Janela Gráfica
Ao inserir um comando ou equação no campo de entrada, aparecerá a sua
representação gráfica nesta janela. Com as ferramentas do Menu Editar é possível
construir nesta janela gráfica, pontos, retas, segmentos de reta, representações de
diversos tipos de gráficos, formas geométricas entre outras.
6.1.5 Menu Entrar
Ao selecionar este menu , abrirá uma janela com as opções:
1- Abre um novo arquivo;
2-
Abre arquivos já salvos no tablet ou no GeoGebra on-line;
3-
Salva o arquivo que está sendo utilizado, pode-se salvar no tablet ou em sua conta on-line;
4- Possibilita o compartilhamento pelo e-mail ou no Google Drive;
5- Possibilita alternar entre os aplicativos de GeoGebra instalados no tablet;
73
6-
Abre opções de ajuda, pode-se enviar um comentário ou uma pergunta on-line e acessar o Tutorial on-line para utilização do GeoGebra.
6.1.6 Menu Pesquisar
Este menu lhe permite pesquisar as suas atividades e materiais ou de outras
pessoas que estão disponíveis no GeoGebra on-line. Para acessar é necessário fazer uma
conta no GeoGebra on-line11.
Este recurso disponibiliza diversos materiais e objetos digitais prontos para
serem utilizados em sala de aula, auxiliando a prática docente.
6.1.7 Menu Propriedades
Neste Menu é possível alterar as configurações de aparência na janela
gráfica, escolher se os eixos cartesianos ou se as grades ao fundo da tela ficarão visíveis,
determinar qual tipo de grade será utilizada, alterar as proporções de distanciamento
entre os eixos x e y e escolher as opções de arredondamento de casas decimais.
Pode-se também alterar as propriedades dos objetos que estão sendo
construídos, ao manter o objeto pressionado aparecerá uma caixa de propriedades
onde é possível alterar a cor, tipo de linha utilizada, espessura da linha, transparência,
legenda e se o objeto ficará visível ou não.
Neste menu há dois sub menus representados por e . O ícone da casa
, retorna à visualização inicial centrada nos eixos cartesianos. O ícone , ajusta o
zoom para que todos os objetos construídos apareçam na tela.
6.1.8 Menu Editar
11 Link para fazer uma conta no GeoGebra on-line: <https://bit.ly/2xB9d9E>
74
Ao selecionar , abrirá uma barra de ferramentas com as funcionalidades do
software, conforme mostra a figura 39, estas ferramentas estão divididas em 13 abas,
as quais serão explicadas no quadro 1.
Figura 39: Imagem do software GeoGebra, com destaque para o número de “Abas”.
Fonte: Da autora, 2018.
A seguir, no quadro 15 são apresentadas as ferramentas disponíveis no
GeoGebra para tablet e celular e suas respectivas utilidades.
Quadro 15: Descrição da utilidade das ferramentas disponíveis no software.
Abas Símbolos Descrição das ferramentas
1
Volta a tela inicial do aplicativo, onde existe a opção de
Propriedades com o ícone , e o menu , para abrir novo
arquivo de GeoGebra, salvar o processo, pesquisa e ajuda.
2
Volta ou avança para as últimas ações realizadas, ele aparecerá à
medida que realizamos alterações no arquivo
3
Esta seta deve ser selecionada todas as vezes que se desejar
movimentar um objeto na janela algébrica, ou a própria tela de
visualização gráfica.
Possibilita a construção de funções com o arraste do dedo na tela,
dentro das suas limitações o GeoGebra adapta a função criada
com o arraste do dedo na tela para uma função conhecida.
Utilizada para escrever na janela de visualização gráfica.
4 Insere pontos na tela. Para utilizar esta ferramenta basta
selecioná-la e marcar onde o ponto deverá ser inserido.
75
Insere ponto em uma reta ou em uma figura geométrica, dessa
forma o ponto passa a fazer parte da imagem, do segmento ou
reta.
Tem a função de vincular ou desvincular um ponto a um objeto,
uma reta ou segmento. Para utilizá-la basta selecionar a
ferramenta, clicar no objeto e em seguida no ponto a ser
vinculado ou desvinculado.
Marca a intersecção entre dois objetos, inserindo um ponto em
todos os locais onde as linhas se cruzam.
Insere um ponto médio entre dois pontos, em um segmento de
reta ou marca o centro da circunferência.
Insere pontos de números complexos na janela gráfica e a sua
representação aparecerá automaticamente na janela algébrica.
Otimização: Determina os extremos locais de uma função, marca
os pontos de máximo e mínimo do gráfico.
Determina as raízes de uma função.
5
Constrói uma reta a partir de dois pontos.
Constrói um segmento de reta a partir de dois pontos.
Constrói um segmento de comprimento fixo, ao clicar na tela
aparecerá uma janela para determinar o comprimento do
segmento.
Constrói uma semirreta a partir de dois pontos. O primeiro ponto
será o início da semirreta.
Caminho poligonal: constrói um caminho de segmentos de retas
a medida que inserimos pontos na janela gráfica, esta ferramenta
difere da ferramenta polígono por sempre desconsiderar um dos
lados do polígono, formando apenas um caminho poligonal.
Cria vetores. Para utilizar esta ferramenta, selecione dois pontos
e um vetor será criado.
Cria um vetor proporcional a outro já construído a partir de um
ponto inicial. Para utilizar esta ferramenta, click no ponto e em
seguida no vetor a ser copiado.
6
Constrói uma reta perpendicular a um segmento ou a uma outra
reta.
Constrói uma reta paralela a um segmento ou a uma outra reta.
Determina a mediatriz de um segmento.
Determina a Bissetriz a partir de três pontos ou duas retas
76
Determina retas tangentes a partir de um ponto em secções
cônicas.
Cria reta polar ou reta diametral em secções cônicas.
Forma uma reta de regressão linear a partir dos pontos
selecionados.
Cria um lugar Geométrico entre dois pontos quando houver
dependência entre eles. Também pode ser obtido entre um
ponto e um controle deslizante.
7
Constrói polígonos a partir da seleção de pontos na janela gráfica.
Constrói polígonos regulares, ao clicar na tela aparecerá uma
janela para determinar a quantidade de lados.
Cria um polígono fixo, ao criar um polígono com esta ferramenta
pode-se movê-lo no plano, mas não é possível alterar o seu
tamanho.
Cria um polígono semi-deformável, que ao mover o primeiro
ponto, move-se o polígono e ao mover os demais pontos pode-se
alterar as medidas de seus segmentos.
8
Cria uma circunferência a partir de dois pontos. O primeiro será o
centro e o segundo definirá o comprimento do raio.
Cria uma circunferência a partir do centro e o raio que será
definido pelo usuário.
Cria uma circunferência a partir de dois pontos já existentes.
Utiliza a distância entre dois pontos para determinar o raio.
Determina um círculo a partir de três pontos. Se os pontos
selecionados forem colineares aparecerá uma reta
representando parte de uma circunferência de dimensões
infinitas.
Cria um semicírculo a partir de dois pontos.
Cria um arco circular a partir de três pontos, sendo o primeiro a
origem do arco o segundo o centro do arco circular e o terceiro o
fim do arco circular.
Arco circuncircular: Cria um arco circular a partir da seleção de
três pontos. O primeiro será o início do arco, o segundo será um
ponto que pertence ao arco e o terceiro será o fim do arco.
Cria um setor circular a partir da seleção de três pontos.
Setor circuncircular: cria um setor circular a partir de três pontos
de forma similar ao arco circuncircular.
77
9
Cria uma elipse a partir da determinação de dois pontos que
serão os focos e o terceiro ponto que pertencerá a elipse.
Cria uma hipérbole a partir da determinação de dois pontos que
serão os seus focos e o terceiro ponto que pertencerá a
hipérbole.
Cria uma parábola a partir de um ponto que será o foco e uma
reta diretriz.
Cria uma cônica a partir da seleção de cinco pontos.
10 Mede as medidas dos ângulos internos e externos.
Realiza a rotação de um objeto em torno de um ponto.
Calcula a medida de um segmento, o perímetro ou o
comprimento de uma circunferência
Determina a inclinação de uma reta, semirreta ou segmento.
Determina a relação entre dois objetos.
11
Faz a reflexão de um objeto em torno de uma reta. Para utilizar
esta ferramenta basta selecionar o objeto e em seguida a reta.
Faz a reflexão de um objeto em relação a um ponto.
Inverte um objeto em relação a um círculo.
Rotação em Torno de um Ponto: um novo objeto é criado a partir
da rotação de um primeiro, que será rotacionado em torno de um
ponto. Para utilizar essa ferramenta basta selecionar primeiro o
objeto que será rotacionado, o ponto central da rotação e, em
seguida, o ângulo desejado e o seu sentido, seja ele horário ou
anti-horário.
Translação por um Vetor: cria um novo objeto a partir do trajeto
definido por um vetor. Para utilizar esta ferramenta deve-se
selecionar o objeto e em seguida o vetor.
Homotetia: Realiza a ampliação ou redução de figuras
geométricas
12
Cria um controle deslizante para determinar o valor de um
objeto. Pode ser configurado com um valor para máximo e um
para mínimo, sendo útil parra criar parâmetros para serem
utilizados em associação a outras ferramentas.
13
Utilize esta ferramenta para mover a janela de visualização
gráfica ou para mudar a escala entre os eixos coordenados.
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
78
6.2 EXPLORANDO O APLICATIVO GEOGEBRA
Esta atividade foi elaborada visando preparar os alunos para o uso do aplicativo
GeoGebra para que a aprendizagem não fique ofuscada pelas dificuldades técnicas de
utilização dos comandos do software.
Dessa forma foi desenvolvida uma tabela para rever conceitos básicos de
geometria plana e ensinar como construir e encontrar estes objetos no GeoGebra,
conforme quadro 16.
Quadro 16: GEOMETRIA PLANA: Conceitos básicos no GeoGebra
Objeto Conceito No GeoGebra
Ponto
Os pontos são
adimensionais, pois não
possui dimensão;
determinam uma
localização e é
representado por letras
maiúsculas: A, B, C, ...
• Selecione a ferramenta para marcar pontos no plano cartesiano.
Retas
A reta é uma linha
ilimitada
unidimensional (possui
o comprimento como
dimensão). São
representadas por letra
minúsculas: a, b, c, ...
• Selecione a ferramenta , marque dois pontos na janela gráfica e aparecerá uma reta;
• Observe que em uma das extremidades há uma letra minúscula, esta letra identifica a reta.
Retas
Perpendiculares
Quando duas retas
possuem um ponto em
comum, ou seja, elas se
cruzam, são chamadas
de retas concorrentes.
Se elas formarem entre
si um ângulo de 90o,
elas são
perpendiculares.
• Faça uma reta qualquer no plano cartesiano;
• Selecione a opção , em seguida
marque ;
• Coloque um ponto onde você quer que passe a reta perpendicular e em seguida selecione a primeira reta criada.
Retas Paralelas
São retas que não
possuem pontos em
comum.
• Faça uma reta qualquer no plano cartesiano
79
• Selecione a opção , em seguida
marque ;
• Coloque um ponto onde você quer que apareça uma reta paralela e em seguida selecione a primeira reta criada.
Segmento
Diferente da reta, o
segmento de reta é
limitado e corresponde
a parte entre dois
pontos distintos.
• Selecione a ferramenta , e em
seguida a opção marque dois pontos na janela gráfica e aparecerá um segmento de reta;
• Observe que no centro da reta há uma letra minúscula, esta letra identifica a reta, pois retas, segmentos de retas e semirretas são identificadas com letras minúsculas do nosso alfabeto.
Polígono
Figura geométrica plana
formada por segmentos
de reta que não se
cruzam.
• Selecione a ferramenta , em
seguida a opção forme diversos segmentos para formar o polígono;
• Também podemos construir um polígono com as ferramentas que estão
no ícone , apenas marcando pontos na quantidade de vértices que o polígono terá e por último selecione o primeiro ponto marcado para fechar o polígono.
Ângulos
Medida da abertura
entre dois segmentos.
São classificados em:
• Ângulo reto (Â = 90º)
• Ângulo agudo (0º < Â < 90º)
• Ângulo obtuso (90º < Â < 180º)
• Para medir ângulos internos de um
polígono utilize a ferramenta ,
marque a opção e selecione dois lados em sentido horário;
• Para medir ângulos externos de um
polígono utilize a ferramenta ,
marque a opção e selecione dois lados em sentido anti-horário.
80
Área Medida de uma
superfície.
• Podemos calcular a área de polígonos de forma bem simples no GeoGebra,
utilizando a ferramenta , basta formar o polígono, selecionar a ferramenta e após marcar o polígono que deseja calcular a área.
Perímetro Soma das medidas dos
lados
• Podemos calcular o perímetro de um polígono no GeoGebra utilizando a ferramenta
;
• Ao selecionar a ferramenta e em seguida o segmento que forma o lado do polígono, aparecerá a medida de cada um dos lados;
• Se selecionar o meio da figura, aparecerá o perímetro do polígono.
Fonte: Elaboração da autora.
Para melhor orientar os alunos sugere-se a elaboração de um roteiro mostrando
passo a passo as finalidades de cada ferramenta, como o quadro 17, apresentado a
seguir:
Quadro 17: Modelo de atividade para explorar o aplicativo GeoGebra.
CONSTRUÇÕES BÁSICAS NO GEOGEBRA: explorando a ferramenta
1. Ponto
• Selecione a ferramenta . Marque três planos no plano cartesiano e escreva
as suas coordenadas, ________, _________, ________.
Selecione e verifique que é possível mover o ponto no plano cartesiano.
Observe o que ocorre com as coordenadas do ponto na janela de visualização ao
lado.
81
2. Retas Paralelas
• Faça uma reta qualquer no plano cartesiano
• Selecione a opção , em seguida marque .
• Coloque um ponto onde você quer que apareça uma reta paralela e em seguida
selecione a primeira reta criada.
82
• Selecione e mova as retas. Elas continuam paralelas?
_________________________________________________________________
3. Retas Perpendiculares
• Faça uma reta qualquer no plano cartesiano
• Selecione a opção , em seguida marque
• Coloque um ponto onde você quer que passe a reta perpendicular e em seguida
selecione a primeira reta criada.
• Para verificar se as retas são perpendiculares, utilize a ferramenta , marque
a opção selecione as duas retas em sentido anti-horário, e o ângulo
entre elas deverá ser de 90o.
• Selecione e mova as retas. Elas continuam perpendiculares?
_________________________________________________________________
83
4 Polígonos
• Selecione a ferramenta , em seguida a opção forme diversos
segmentos para formar o polígono;
• Também podemos construir um polígono com as ferramentas que estão no ícone
. Apenas marcando pontos na quantidade de vértices que o polígono terá e
por último selecione o primeiro ponto marcado para fechar o polígono.
• Construa um triângulo, um quadrilátero, um pentágono e um hexágono.
• Explore as demais ferramentas do ícone :
84
5 Medindo os Ângulos dos Polígonos
Para medir os ângulos internos de um polígono utilize a ferramenta e em
seguida selecione . Selecione os lados dos polígonos em sentido anti-
horário e você verá o ângulo interno deste polígono. Conforme a figura a seguir.
6 Ângulo, Perímetro e Área
• Construa um polígono de 5 lados;
• Determine a medida de seus lados;
• Determine o seu perímetro;
• Calcule a sua área;
• Encontre a medida dos ângulos internos e externos.
Fonte: Elaboração da autora, 2018.
Esta atividade pode ser utilizada para preparar os alunos para as atividades
exploratórias das sequências didáticas apresentadas, dessa forma os alunos estarão
familiarizados com o aplicativo GeoGebra, o que irá diminuir as dificuldades de
manuseio com a ferramenta utilizada.
85
7 GEOGEBRA ON-LINE – A ferramenta Grupo.
Para utilizar o GeoGebra on-line inicialmente deve-se acessar o site
https://www.geogebra.org/ e fazer um cadastro, clicando em “ENTRAR” no canto
superior direito da tela, conforme mostra a figura 40.
Figura 40: Imagem da tela inicial do GeoGebra on-line.
Fonte: https://www.geogebra.org/, 2018.
Após clicar em entrar abrirá uma caixa de diálogo, na qual deverá clicar em “Criar
uma conta” conforme mostra figura 41.
Figura 41: Caixa de diálogo gerada para acessar o GeoGebra on-line.
Fonte: https://www.geogebra.org/, 2018.
Click em entrar para se cadastrar
86
Clicando em “Criar uma conta”, abrirá outra aba (figura 42), onde se deve inserir
as informações do e-mail, nome de usuário e senha, para que seja possível acessar o
GeoGebra on-line. Após esta etapa o cadastro está pronto.
Figura 42: Imagem do GeoGebra on-line solicitando os dados para cadastro.
Fonte: https://www.geogebra.org/, 2018.
No site do GeoGebra encontramos diversos materiais elaborados pelos
colaboradores pertencentes a comunidade do GeoGebra. Os materiais estão disponíveis
na página inicial do site (figura 43) e podem ser utilizados e modificados conforme a
necessidade da atividade pedagógica a ser realizada, respeitando sempre a autoria dos
criadores.
87
Figura 43: Imagem do GeoGebra on-line, acesso aos materiais didáticos.
Fonte: https://www.geogebra.org/, 2018.
Com o GeoGebra on-line é possível acessar todos os aplicativos oferecidos pelo
software, desenvolver atividades didáticas dinâmicas com a associação do software,
sendo permitido compartilhar a atividade desenvolvida com o público, dessa forma o
usuário passa a ser integrante da comunidade GeoGebra.
Na aba , visível na figura 43, tem-se acesso ao perfil, com as opções
para acesso dos seus materiais, enviar um arquivo, pesquisa de materiais já
desenvolvidos, criar novas atividades ou criar um livro (figura 44).
Nesta aba é possível visualizar a sua , em que se visualiza uma linha
do tempo com as atividades desenvolvidas por você e pelas pessoas que você segue. Em
, é possível visualizar as pessoas que você segue. Em , é possível
acessar os grupos nos quais se faz parte e os grupos de sua autoria, veja as indicações
na figura 11.
88
Figura 44: Modelo de Imagem do perfil do GeoGebra.
Fonte: https://www.geogebra.org/, 2018.
O GeoGebra permite o desenvolvimento de diversos materiais para serem
trabalhados no aprendizado de matemática. No ícone é possível
desenvolver atividades associando diversos recursos. Pode-se abrir um campo para
construções no GeoGebra e associado a ele elaborar perguntas para direcionar o
aprendizado, também é possível inserir texto explicativos, imagens, arquivos em pdf,
um vídeo ou link para site da web.
Para desenvolver um material para ser utilizado nas aulas de matemática deve-
se clicar em , em seguida aparecerá uma caixa de opções na qual
deve-se escolher o tipo de atividade que se quer desenvolver, veja indicações da figura
45.
89
Figura 45: Imagem do aplicativo GeoGebra, desenvolvimento de materiais.
Fonte: https://www.geogebra.org/, 2018.
Se optarmos por desenvolver uma atividade no GeoGebra, aparecerá uma nova
janela (figura 46) com as opções para fazer a atividade.
Figura 46; Janela com as opções de atividades no GeoGebra.
90
Fonte: Da autora, 2018.
Nesta janela terás a opção de: procurar uma folha de trabalho já desenvolvida
no GeoGebra, enviar um arquivo do GeoGebra salvo no computados ou criar um novo.
Para este exemplo, link em criar novo. Escolha o tipo do GeoGebra que se queira
trabalhar e na sequência abrirá uma nova janela com o aplicativo de GeoGebra. Agora é
possível realizar construções ou indicar ou orientar ao aluno o caminho a seguir em
forma de perguntas. Após o termino click em salvar. O procedimento se repete para
inserir vídeos e outros recursos disponíveis.
Outra ferramenta que disponibiliza mais recursos ao usuário do GeoGebra on-
line é a ferramenta grupos.
A ferramenta grupo ser quer acessada na página inicial do GeoGebra, na aba a
direita, conforme indica a figura 47.
Figura 47: Indicação do acesso a ferramenta Grupo.
Fonte: Da autora, 2018.
Ao clicar em grupo aparecerá a imagem da figura 48, ao qual pode-se criar um
novo grupo ou acessar um grupo existente. Para criar um grupo basta clicar “criar
grupos” e preencher as informações necessárias. Caso já tenha criado, click em “Ir para
meus grupos”.
91
Figura 48: Janela de acesso aos grupos.
Fonte: Da autora, 2018.
Na página inicial da ferramenta podemos visualizar as possibilidades para a
utilização do grupo, (figura 49).
Figura 49: Página inicial da ferramenta Grupo do GeoGebra.
Fonte: Da autora, 2018.
92
A primeira janela desta ferramenta “Postagens”, permite a postagem de avisos
e das tarefas a serem oferecidas pelos alunos. Na opção pode-se
desenvolver atividades da mesma forma do que explicado anteriormente na opção
. A atividade desenvolvida aparecerá aos integrantes do grupo
no ícone da tarefa.
A segunda, denominada “Membros”, é possível visualizar os integrantes do
grupo. Os nomes dos participantes foram removidos para preservar a sua identidade. É
nesta opção que se pode enviar convite para outras pessoas participarem do seu grupo,
para isso basta enviar o link de acesso e o código do seu grupo como pode ser visto na
figura 50.
Figura 50: Indicação dos membros do Grupo e link de acesso.
Fonte: Da autora, 2018.
Na terceira, “Materiais”, os alunos têm acesso as atividades e materiais que
foram postados. Nesta opção são listadas todas as atividades desenvolvidas, como pode
ser visto na figura 51.
93
Figura 51: Lista de atividades desenvolvidas no Grupo.
Fonte: Da autora, 2018.
Em “Feedback” é possível visualizar o andamento das atividades pelos alunos,
nesta opção pode-se verificar em se o aluno já realizou a atividade ou se a mesma está
em desenvolvimento, e também dar um feedback para o aluno sobre a sua atividade.
Na figura 52 está um exemplo de visualização desta janela, em que se pode observar a
atividade que foi oferecia e na primeira coluna a esquerda, o aluno que está
desenvolvendo.
Figura 52: Imagem da ferramenta grupo, Feedback.
Fonte: Da autora, 2018.
94
Esta opção só aparece na versão do professor, na versão do aluno participante
do grupo a quarta aba é da Tarefa, como pode ser visualizado na figura 53.
Figura 53: Lista de Tarefas, visíveis para os integrantes do grupo.
Fonte: Da autora, 2018.
Os alunos poderão visualizar as atividades pela aba “Materiais” e também na de
“Tarefas”, porém, para resolver ele precisará acessar a atividade em Tarefa, pois caso
contrário as respostas não serão salvas.
95
8 PADLET
O Padlet é uma ferramenta, utilizada on-line, que possibilita o desenvolvimento
de “murais” ou “quadros” interativos para expor informações e pesquisas realizadas
tanto pelo professor como pelo aluno. Com o Padlet é possível associar textos, imagens,
links e vídeos em um único ambiente. Este aplicativo possui a versão gratuita e a versão
paga. Na versão gratuita há uma limitação no número de murais interativos que podem
ser desenvolvidos e armazenados.
Para participar de um Padlet não é necessário um cadastro, apenas o link de um
Padlet já criado. Porém o professor deve fazer um cadastro12 para criar o Padlet inicial e
disponibilizar aos alunos. Para se registrar e ter acesso a todos os recursos do Padlet, na
página inicial deve-se clicar em “Faça Login”, conforme indica a figura 54.
Figura 54: Página de acesso ao Padlet.
Fonte: Da autora, 2018.
Após o cadastro pode-se acessar o aplicativo e começar a utilizá-lo. Na tela inicial
pode ser visualizado cinco menus e, abaixo, as atividades já desenvolvidas pelo usuário,
figura 55.
12 Link para fazer o cadastro no Padlet: https://padlet.com/
96
Figura 55: Imagem do aplicativo Padlet.
Fonte: Da autora, 2018.
8.1 MENU 1: FAZER UM PADLET
No primeiro menu “Fazer um Padlet” tem-se a opção de elaborar
um Padlet do tipo Mural, Tela, Stream, Grade, Prateleira ou Backchannel, como pode
ser visto na figura 56.
97
Figura 56: Opções para criar um Padlet.
Fonte: Da autora, 2018.
Para desenvolver um mural primeiro deve-se escolher o tipo de Padlet que se
deseja criar e em seguida selecionar o modelo escolhido. A seguir serão apresentados
modelos de Padlets que podem ser criados.
No Padlet do tipo “Mural” os quadros dos conteúdos inseridos são “encaixados”
um ao lado do outro e um abaixo do outro automaticamente e todos os conteúdos
novos inseridos aparecem no início do Padlet, dessa forma não se pode escolher a
ordem dos quadros com os conteúdos. Portanto, esta opção deve ser utilizada para
elaborar murais com quadros de informações que não precisão necessariamente
permanecer em uma sequência única.
No Padlet do tipo “Tela” os quadros dos conteúdos podem ser inseridos em
qualquer posição. Dando mais liberdade na elaboração do Padlet e facilitando a
organização dos conteúdos.
O modelo “Stream” apresenta a disposição dos conteúdos inseridos como um
blog, formando um feed de notícias, um quadro abaixo do outro. Este modelo pode ser
utilizado durante a realização de um projeto de ensino, por exemplo, para registrar as
etapas do processo, tanto pelos alunos como pelo professor.
98
O modelo “Grade” organiza os conteúdos em linhas e colunas.
No modelo “Prateleira” os conteúdos e materiais inseridos são organizados em
uma coluna e à medida que se achar necessário pode-se criar uma nova coluna. Com
esse modelo o professor pode criar previamente temas para as colunas de acordo com
objetivo do trabalho, facilitando a organização. Dessa forma os alunos partilham as
informações pesquisadas e inserem no Padlet respeitando os temas das colunas.
No Padlet de modelo “Backchanel” as escritas dos participantes são inseridas
como caixas de chat on-line, uma abaixo da outra. Pode ser utilizado para criar um meio
de comunicação entre alunos e professor, formando um grupo.
Em todos estes modelos tem-se a opção de inserir uma grande diversidade de
materiais, podendo escolher entre: carregar uma foto do computador ou do tablet,
inserir um link para partilhar informações, realizar uma pesquisa no Google diretamente
do Padlet, utilizar a câmera do dispositivo utilizado para tirar fotos, gravar áudio e filmes,
escrever livremente com o mouse ou com o arraste do dedo na tela, inserir um mapa
para marcar uma localização e inserir um link para outros Padlets.
Após escolher o modelo de mural a ser utilizado, o Padlet se abrirá para ser
explorado, com pode ser observado na figura 57.
Figura 57: Quadro para criação de atividade no Padlet.
Fonte: Da autora, 2018.
99
Acesse o ícone para configurar as informações básicas. Ao clicar neste ícone
abrirá uma nova aba com as opções para alterar o título, descrição, papel de parede,
tema, ícone, configurações de postagem e compartilhamento, definir tags e o endereço
para pesquisa.
Para alterar o título e a descrição basta selecionar estas opções e escrever o título
que melhor descreve a atividade (figura 58).
Figura 58: Imagem do Padlet para alterar o título, a descrição e o papel de parede.
Fonte: Da autora, 2018.
Para alterar o papel de parede deve-se escolher uma entre as opções que há no
Padlet ou carregar uma imagem de sua preferência figura 59 e figura 60.
100
Figura 59: Imagem do Padlet, modelos de Papel de Parede.
Fonte: Da autora, 2018.
Nas definições de Tema, pode-se alterar a cor da postagem e o estilo da fonte.
Figura 60: Imagem do aplicativo Padlet para alterar o Tema e a fonte.
Fonte: Da autora, 2018.
101
Pode-se escolher um ícone que aparecerá ao lado do título, ou carregar uma
imagem para representar o Padlet criado. Em postagem e compartilhamento deve ser
definido se o nome do autor da postagem aparecerá, pode-se escolher em habilitar um
filtro que substitui palavrões por emojis, determinar se os alunos poderão comentar,
avaliar e reagir às postagens, conforme pode ser visto na figura 61.
Figura 61: Imagem do aplicativo Padlet para alterar o ícone.
Fonte: Da autora, 2018.
Para Padlets que serão públicos pode-se definir algumas palavras chaves para
facilitar a pesquisa para outras pessoas encontrarem e utilizarem o seu mural interativo
criado e por último definir parte do link utilizado para acessar o Padlet (figura 62).
102
Figura 62: Imagem do aplicativo Padlet para definir as palavras chaves.
Fonte: Da autora, 2018.
Todas estas opções aparecerão a direta da tela em uma nova aba. Após
configurado, o Padlet pode ser utilizado. Para criar uma postagem deve-se clicar no
ícone localizado no canto direito inferior e em seguida aparecerá uma caixa com
algumas opções, como pode ser visto na figura 63.
Figura 63: Imagem do aplicativo Padlet para elaborar um post.
103
Fonte: Da autora, 2018.
Diversos outros arquivos ainda podem ser carregados, além dos já mencionados,
pode-se ainda: fazer um filme, gravar voz, desenho a mão livre, inserir um mapa ou
inserir um link para outro Padlet, como pode ser observado na figura 64.
Figura 64: Imagem do aplicativo Padlet com as opções para criar post.
Fonte: Da autora, 2018.
A seguir serão descritos os demais menus da tela inicial.
8.2 MENU 2: JUNTE-SE A UM PADLET
No menu “Junte-se a um Padlet” pode-se inserir o link de
outros padlets ao qual se queira participar.
8.3 MENU 3: GALERIA
104
No menu “Galeria” encontram-se exemplos de Padlets criados pela
própria equipe do Padlet ou de outras pessoas que participam da comunidade Padlet.
Todos os exemplos podem ser utilizados, copiados e editados.
8.4 MENU 4: PESQUISAR
No menu “Pesquisar” pode-se pesquisar entre os padlets
já desenvolvidos pelo usuário.
O diferencial do Padlet é que os alunos podem elaborar um mural
simultaneamente. A medida que eles pesquisam já podem inserir a informação e
visualizar o que os outros colegas colocaram, trabalhando de forma colaborativa, assim
no trabalho não haverá informações repetidas.
O professor tem a opção de compartilhar um Padlet para os alunos apenas
visualizarem, ou para inserir informação, mas sem autorização para excluir, ou então
com autorização para inserir e modificar posts criados por eles e por outros alunos. Há
ainda a opção de comentar nas postagens. Para iniciar é aconselhável que crie Padlets
com autorização para apenas inserir e visualizar os conteúdos criados, para evitar que
ocorram erros de exclusão ou modificação desnecessários.
105
9 MENTIMETER
O Mentimeter é uma ferramenta interativa, utilizada on-line, habilitada para
tablets e smartphones nas plataformas Android e IOS, com versão gratuita. Há também
as versões pagas, com mais recursos. Mesmo as funções básicas das versões gratuitas
possibilitam ao professor obter respostas instantâneas dos alunos quando eles são
submetidos a uma determinada atividade, tais como enquetes e questionários,
permitindo interatividade on-line e instantânea no momento em que as discussões são
realizadas. Os recursos disponíveis nessas ferramentas possibilitam aos alunos
expressarem suas opiniões em relação a um determinado tema e, ao professor,
trabalhar com essas respostas, identificando como está a compreensão da turma.
A utilização do Mentimeter é limitada em questionários com no máximo 2
perguntas e 5 testes por apresentação, porém não há limitação de respondentes.
Para utilizar o Mentimeter deve-se inicialmente fazer um cadastro13 on-line.
Após realizado o cadastro e o login, na tela inicial do Mentimeter teremos 5 menus
iniciais, conforme observa-se na figura 65.
No Menu Your presentations tem-se a opção de criar uma nova apresentação ou
criar uma nova pasta, também pode ser visualizada as apresentações já realizadas.
13 Link para fazer o cadastro no Mentimeter: https://www.mentimeter.com
106
Figura 65: Imagem do aplicativo Mentimeter, tela inicial.
Fonte: Da autora, 2018.
No menu Inspiration há vários modelos e ideias para utilizar o Mentimeter,
também pode-se optar em participar de webnars on-line para aprender mais sobre o
aplicativo e visualizar mais exemplos de utilização.
Em Upgrade tem-se as opções para compra de assinatura do aplicativo, ficando
com uma versão sem limitações.
No menu Account tem-se todas as opções de configuração de contas.
E por último o menu Help, que possibilita um suporte para esclarecer dúvidas de
utilização.
9.1 INICIANDO UMA APRESENTAÇÃO
Para iniciar deve-se clicar em “Nova Apresentação”, e
automaticamente abrirá uma caixa para salvar a apresentação que será criada, escolha
um nome e em seguida abrirá uma nova página que possibilitará o desenvolvimento da
apresentação, conforme figura 66.
107
Figura 66: Imagem do aplicativo Mentimeter, página para desenvolver as apresentações.
Fonte: Da autora, 2018.
Há nove modelos de perguntas que podem ser utilizados. Em todos os modelos
o aplicativo disponibiliza a elaboração de um gráfico com as respostas em tempo real. A
medida que os alunos respondem a atividade o gráfico é criado instantaneamente.
Pode-se com este aplicativo elaborar duas perguntas escolhidas entre: múltipla
escolha; múltipla escolha com a associação de imagens; perguntas para que a resposta
seja apresentada em nuvem de palavras; perguntas para que a resposta se apresente
em uma escala ou em porcentagem; perguntas para respostas em aberto, possibilitando
que as respostas de todos os participantes sejam visualizadas na tela, e perguntas para
criar uma votação, nesta opção um troféu aparecerá acima do nome do vencedor.
Além destas duas perguntas, pode-se elaborar mais seis questionários. Dessa
forma o aplicativo possibilita criar questionários diversificados para avaliar a
compreensão do aluno durante o estudo de determinado assunto, sejam elas teóricas
ou algébrica ou para elaborar questões para auto avaliação, entre outras.
108
10 SOCRATIVE
O Socrative possibilita a elaboração diversos modelos de questionários e é uma
ferramenta de interatividade habilitada para tablets, laptops e smartphones. Utilizado
principalmente para realizar avaliações rápidas para determinar o desenvolvimento do
aluno. Com ele o professor tem um recurso a mais para verificar os conhecimentos
prévios e analisar a melhor ação a ser tomada de acordo com as respostas dos alunos,
para utilizá-lo o professor precisa realizar um cadastro 14on-line. Este aplicativo possui a
versão gratuita e a versão paga. Na versão gratuita há uma limitação nas configurações
dos questionários e no número de ambientes (salas) disponibilizados.
Na página inicial do aplicativo pode-se visualizar cinco menus iniciais, conforme
se apresenta na figura 67.
Figura 67: Imagem do aplicativo Socrative, página inicial.
Fonte: Da autora, 2018.
A seguir apresentaremos as funcionalidades de cada um dos menus.
14 Link para fazer o cadastro no Socrative: https://www.socrative.com/
109
10.1 CRIANDO UM QUESTIONÁRIO
Para criar um questionário basta clicar na opção “Quizzes” e em seguida
no menu a direita da tela “Adicionar Quiz”, como mostra a figura 68.
Figura 68: Tela do Socrative para criar questionário.
Fonte: Da autora, 2018.
Ao selecionar o menu “Quizzes” abrirá uma nova página onde pode ser
visualizado os questionários já elaborados pelo usuário e tem-se a opção de criar um
novo questionário ou editar um já elaborado.
Em seguida abrirá uma nova página com 3 opções (figura 69) para elaboração
das perguntas. Pode-se optar entre elaborar uma pergunta de múltipla escolha, uma
pergunta de verdadeiro ou falso e perguntas com respostas em aberto. Em todas as
opções pode-se inserir imagens para facilitar a compreensão.
110
Figura 69: Tela do Socrative com as opções para a elaboração da pergunta.
Fonte: Da autora, 2018.
No início do questionário deve-se inserir o nome do teste e depois clicar em
salvar. Ao clicar em Múltipla Escolha abrirá o campo para elaborar a questão. Pode-se
inserir uma imagem, adicionar ou retirar alternativas e ainda escrever uma explicação
para cada questão (figura 70).
111
Figura 70: Tela do Socrative com um exemplo de questão de múltipla escolha.
Fonte: Da autora, 2018.
10.2 LANÇANDO UM QUESTIONÁRIO
No menu “Lançamento” tem-se as opções para lançar questionários
já elaborados, iniciar um jogo, verificar os resultados do questionário aplicado e iniciar
uma votação. Este menu é utilizado toda vez que se queira possibilitar que o
questionário criado seja disponibilizado aos respondentes.
Para possibilitar que um questionário pronto seja disponibilizado aos alunos
responderem deve-se clicar no menu “Lançamento”. Ao clicar neste menu abrirá uma
nova aba onde inicialmente deve-se escolher o questionário, em seguida realizar as
configurações para o questionário ser lançado, serão disponibilizadas as seguintes
opções (figura 71 e figura 72):
1- Feedback instantâneo: os alunos respondem as perguntas em ordem e não
podem alterar a resposta, pois a medida que eles respondem uma tabela com os
resultados é gerada instantaneamente e os resultados podem ser visualizados
em tempo real.
2- Navegação aberta: os alunos respondem as perguntas em qualquer ordem e
podem alterar as respostas antes de enviar. Uma tabela com os resultados é
gerada instantaneamente e os resultados podem ser visualizados em tempo real.
112
3- Ritmo do professor: os alunos só respondem quando o professor liberar a
pergunta, o professor controla o ritmo das respostas, podendo pular questões
ou retornar a outra já respondida. Da mesma forma como as demais as respostas
podem ser visualizadas em tempo real.
Figura 71: Janela do Socrative para Lançar questionário.
Fonte: Da autora, 2018.
113
Figura 72: Tela do Socrative para configuração do questionário.
Fonte: Da autora, 2018.
Após escolher entre estas três opções ainda deve-se determinar se o
questionário exibirá os nomes dos respondentes, se as perguntas aparecerão em ordem
aleatória, se as respostas podem ser inseridas em ordem aleatória, se a pergunta de
feedback será exibida ou se deve apresentar a pontuação final e por fim clicar em
começar.
Durante o desenvolvimento do questionário pode-se acompanhar as respostas
clicando em resultados.
10.3 LANÇAMENTO DO JOGO DA NAVE ESPACIAL
O Jogo da Nave Espacial é elaborado a partir dos questionários elaborados pelo
professor. Ao lançar ente jogo em sala de aula o aplicativo separa automaticamente os
alunos em equipes para competirem. Dessa forma os alunos vão respondendo uma série
de questões até que todos terminem as questões, o vencedor será a equipe que obtiver
maior número de acertos. Uma imagem do jogo pode ser vista na figura 73.
114
Figura 73: Tela do Socrative no Jogo da nave espacial.
Fonte: Da autora, 2018.
10.3.1 Lançamento de Votações
Utilizado para fazer enquetes rápidas em sala de aula onde o professor pergunta
oralmente e abre o questionário para os alunos responderem rapidamente.
10.4 SALA DE AULA
No menu “Sala de aula” pode-se visualizar e alterar o nome da
sala de aula. Cada usuário do Socrative possui um nome de sala diferente e é este nome
que os alunos inserem para fazer login e realizar um questionário aberto.
10.5 RELATÓRIOS
Em “Relatórios” tem-se o histórico de todos os questionários já
lançados e seus respectivos resultados. Dessa forma pode-se acessar a qualquer
momento o resultado de um questionário já realizado.
115
Os relatórios são fornecidos de forma individual e coletivamente, gerando um
único relatório para toda a turma se achar necessário. Um exemplo de relatório
individual pode ser visualizado na figura 74.
Figura 74: Modelo de relatório gerado com as respostas dos alunos no Socrative.
Fonte: Da autora, 2018.
10.6 RESULTADOS
O menu “Resultados” estará disponível quando um
questionário estiver em andamento. O professor deve selecionar este menu para
acompanhar e projetar as respostas se necessário, como mostra o exemplo da figura 75.
Pode-se optar por mostrar ou não as respostas e os nomes.
116
Figura 75: Tela do Socrative no menu Resultado.
Fonte: Da autora, 2018.
Estes aplicativos (GeoGebra, Padlet, Mentimeter e Socrative) foram utilizados nas
sequencias didáticas apresentadas.
117
11 CONSIDERAÇÕES FINAIS
As sequências didáticas desenvolvidas podem ser adaptadas para outros
conteúdos matemáticos e também para outras disciplinas, sendo importante destacar
que o recurso tecnológico pensado para o desenvolvimento das sequências foi o tablet,
por ser oferecido pelo município de aplicação do projeto a todos os alunos da rede.
Os conhecimentos que envolvem o TPACK (MISHRA e KOEHLER, 2006) auxiliaram
a autora no desenvolvimento das atividades propostas, pois a relação entre conteúdo,
pedagogia e tecnologia são importantes para o desenvolvimento das atividades. A
relação entre estes três campos de conhecimento pode potencializar as atividades de
matemática.
Assim, ao propor atividades é importante levar em consideração que não basta
determinar o conteúdo, a tecnologia e a estratégia a ser utilizada isoladamente, sem
considerar estes três campos de forma integrada. Pois a escolha do conteúdo irá
influenciar na escolha da metodologia e da tecnologia a ser utilizada. Dessa forma pode-
se determinar o conteúdo a ser aplicado, em seguida estuda-se a tecnologia que mais
se aplique a esse conteúdo, isto envolve o conhecimento e a análise dos softwares e
aplicativos que possibilitem melhores maneiras de explorar e potencializar este
conteúdo; associa-se a estes conhecimentos a melhor estratégia de ensino. Neste
processo não há uma sequência a seguir, por vezes ao determinar a pedagogia, pode-se
verificar que a tecnologia não é a mais adequada para aquela metodologia e neste caso
há a necessidade de repensar a estrutura, num processo de ida e volta até se determinar
a melhor integração entre conteúdo, pedagogia e tecnologia.
Dessa forma, com este produto educacional, buscamos contribuir com a
integração dos dispositivos móveis no ensino e aprendizagem de matemática, com o
intuito de promover uma reflexão sobre as potencialidades e as limitações das
tecnologias móveis.
Esperamos que as sequências elaboradas e o material de apoio exposto neste
produto educacional inspirem outros professores e educadores a desenvolver suas
próprias sequências didáticas contribuindo para o ensino e aprendizagem de
matemática com a integração das TDIC.
118
12 REFERÊNCIAS
MISHRA, Punya, KOEHLER, Matthew J. TechnologicalPedagogicalContentKnowledge: A Framework for TeacherKnowledge. Teachers College Record, v. 108, n. 6, p. 1017-1054, jun. 2006. ZABALA, Antoni. A prática educativa. Tradução: Ernani F. da F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998.