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Tema 3Técnicas de Modulación Analógica

MODULACIÓNEN FRECUENCIA

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

Departamento de Ingeniería Electrónica

Vigencia Noviembre 2010H. Romero

Sumario

1. Frecuencia de una señal periódica y frecuenciainstantánea.

2. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM).3. Determinación de la frecuencia instantánea para una señal

modulada en fase y en frecuencia.4. Expresiones complejas para una señal modulada en fase

y en frecuencia.5. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia

cuando la modulante es una señal senusoidal.6. Espectro de frecuencia de una señal modulada en

frecuencia.

Sumario

7. Modulación de frecuencia de banda estrecha o angosta:NBFM .

8. Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM .9. Generación de señales moduladas en ángulo.10.Demodulación de FM .11.Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo.12.Sistema de comunicación con modulación angular en

presencia de ruido.

Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea

Una señal periódica es aquella que se repite cada Tsegundos.

Tf

πfw

twAtg

c

c

1

2

),cos()(

=

=

+=

también y

donde

φ

wt [rad]

g(t)

A

-AT

φ

La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).

Frecuencia Instantánea de una señal

Es el valor que toma la frecuencia de la señal en uninstante de tiempo t i , se conoce como frecuenciainstantánea de la función f(t).

w

f(t)

w

f(t)

tt

tt

wo

2wo

wo

2wo

a) b)

T 2T 3T 4TT 2T

Cambios bruscos de FrecuenciaCambios graduales de

Frecuencia

Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia

En la modulación AM la información se coloca en laamplitud de la señal portadora.

¿Qué desventaja trae esto?

Es posible hacer varia la frecuencia de la señal ymantener constante la amplitud, dando origen a la FM .

Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

Sea la ecuación : )cos()( φ+= twAtg c

))(cos()( ttwAtg c φ+=

Si hacemos variar φ(t), se tendrá unadependencia del tiempo “t” de la fase de laecuación .


X ))(cos()( ttwAtg c φ+=

cos(Wc.t)

)(tm

Considere el diagrama de la figura siguiente


Consideremos la ecuación :

kp es constante m(t) es la modulante

φ ( ) ( )t k m tp=

))(cos()( tmktwAtg pCPM +=

Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)

Fase de la señal


El índice de modulación de PM:

Es la máxima desviación de fase que puede darse a la función gPM(t) y está dado por el

valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante k P

[radianes] max

)(tmk pmp == φβ


Si ctte donde =−∞−∞

== ∫∫ fff kt

dmkt

dmkt ,)()()( ττττφ

))(cos()( ttwAtg c φ+=Sustituyendo en :

−∞+= ∫

tdmktwAtg fcFM ττ )(cos)(

Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)


El índice de modulación de FM:

β φ τ τf m f

max

k m dt

= =−∞∫ ( )

Está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala k f


Técnica Ecuación Índice de Modulación

MODULACIÓN EN FASE

MODULACIÓN EN FRECUENCIA

max

)(∫∞−

==t

dmk fmf ττφβ

−∞+= ∫

tdmktwAtg fcFM ττ )(cos)(

))(cos()( tmktwAtg pCPM +=max

)(tmk pmp == φβ

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia

La frecuencia instantánea se define como :

w td t

dti ( )( )= θ

[ ]w t w kd

dtm ti c p( ) ( )= +

Señal Modulada en Fase

w t w k m ti c f( ) ( )= +

Señal Modulada en Frecuencia

Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima.

Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.

Representación gráfica de una

señal modulada en FASE.


Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima.

Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.

Representación gráfica de una

señal modulada en FRECUENCIA


Expresiones complejas para señales moduladas en fase y en frecuencia

{ } { }g t Ae AePMj t j w t k m tc p( ) Re Re( ) ( ( ))= = +θ

][)( )(tmjktjwPM

pc eeAtg •=

Para la Modulación de frecuencia, se tiene:

∫= ∞−

+t

dmktwj

FM

fc

Aetg))((

)(ττ ]))([

)(∫

•=⇒ ∞−

tdmjk

tjwFM

f

c eAetgττ

Para la Modulación en Fase, se tiene:

Considérese, que la señal modulante es:

constantem donde 0 == ),cos()( 0 twmtm m

))(cos()( tmktwAtg pCPM +=:que tiene se Como

Reemplazando por la modulante dada, se tiene:

[ ]g t A w t w tPM c p m( ) cos cos= + βEcuación de PM cuando

la modulante es una onda senusoidal

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Considérese, que la señal modulante es:

constantem donde 0 == ),cos()( 0 twmtm m

Reemplazando la modulante, tiene:

Como: g t A t k m dt

FM c f( ) cos ( )= +−∞

∫ω τ τ

[ ]g t A w t w tFM c f m( ) cos sen= + βEcuación de FM cuando la

modulante es una señal senusoidal

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Se puede determinar la desviación de frecuenciaangular de la señal modulada en frecuenciacuando la modulante es una señal senusoidal.Representa el índice de modulación para FM

β fm

f

f= ∆

modulante frecuencia

frecuencia de desviación

==∆

mf

f

∆f f fi c= −OJO

Modulación de Frecuencia

Desarrollemos las expresiones complejas con una modulante senusoidal

{ })(Re)( tjFM Aetg θ=:Como { }tsenwjtjw

FMmfc eAetg βRe)( =⇒

e F ej w tn

jnw t

n

f m mβ sen =

=−∞

∞

∑

FT

f t e dtT

e e dtnjnw t

T

j w t jnw t

T

m f m m= =− −∫ ∫1 1

( ). senβ

en donde:

Si:

Realizando un cambio de variable:

∫−

−=π

π

ϑϑβ ϑπ

deFnsenj

nf )(

2

1


La solución de la integral se obtiene por medio de lafunción de BESSEL de primera clase y se indica como

donde n es el orden y ββββ es el argumento.

J n ( )β

Teoría de las Funciones de BESSELLa expresión matemática para determinar los valores de cadauno de los componentes espectrales, está definida como:

( )( )

( )( )

( )( )

+

+−

++

+−

= L

!3!3

2/

!21!2

2/

!1!1

2/

!

1

2)(

642

nnnnnJ ffff

fN

βββββ

Usando la función de BESSEL, se puede expresar unaecuación en otra forma. Veamos

∑∞

−∞=

++=+⇒n

n

nnxmJxm

2cos)()coscos(

παα

El argumento de la primera ecuación, es una funcióntrigonométrica, en la segunda es una función trigonométric a conargumento simple.


Teoría de las Funciones de BESSELNormalmente para trabajar con las funciones de Besselno hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Alcontrario, es muy simple empleando las tablas yacalculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL.

Propiedades de las funciones de BESSEL:

Elemento Descripción

Son de valor real

Para n PAR

Para n IMPAR

J n ( )β)()( ββ nn JJ −=)()( ββ nn JJ −−=

Friedrich Wilhelm Bessel


FUNCIÓN DE BESSELPortadora ORDEN DE LA FUNCIÓN

J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J150 1,00 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,1 1,00 0,05 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,2 0,99 0,10 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,25 0,98 0,12 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,5 0,94 0,24 0,03 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0,75 0,86 0,35 0,07 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

1 0,77 0,44 0,11 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

2 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 0,06 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

4 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

5 -0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~

6 0,15 -0,28 -0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~

7 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~

8 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01 ~ ~ ~

9 -0,09 0,25 0,14 -0,18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~ ~

10 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~

11 -0,17 -0,18 0,14 0,23 -0,02 -0,24 -0,20 0,02 0,22 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,03 0,01

12 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0,18 -0,07 -0,24 -0,17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0,12 0,07 0,03

13 0,21 -0,07 -0,22 0,00 0,22 0,13 -0,12 -0,24 -0,14 0,07 0,23 0,29 0,26 0,19 0,12 0,07

14 0,17 0,13 -0,15 -0,18 0,08 0,22 0,08 -0,15 -0,23 -0,11 0,09 0,24 0,29 0,25 0,19 0,12

15 -0,01 0,21 0,04 -0,19 -0,12 0,13 0,21 0,03 -0,17 -0,22 -0,09 0,10 0,24 0,28 0,25 0,18

Generación de Señales Moduladas en Angulo

Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15

β f

Representa la Portadora de la señal Modulada

Para este índice de modulación la portadora se hace

CERO !

Desde J1 Hasta J15

representan las

bandas laterales

Índice de Modulación

A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas

Laterales


Las funciones de Bessel pueden ser graficadas,obteniéndose por ejemplo las siguientes graficaspara valores de n = 0 a n = 4

Retomando el análisis, la ecuación

puede ser reescrita como:

y empleándola en la expresión general para FM :

e F ej w tn

jnw t

n

f m mβ sen =

=−∞

∞

∑

e J ej w tn

jnw t

n

m mβ βsen ( )==−∞

∞

∑

g t Ae J eFMjw t

njnw t

n

c m( ) Re ( )=

=−∞

∞

∑ β

∑∞

−∞=

+=⇒n

mcnFM tnwwJAtg )cos()()( β


Calculo de Ancho de Banda

Según las ecuaciones Bessel el ancho de banda esinfinito.

Una banda lateral es significativa si tiene magnitudigual ó mayor al 1 % de la magnitud de la portadora nomodulada.

J n ( ) .β ≥ 0 01

SI limitamos la información a las bandas lateralessignificativas, podemos calcular el ancho de banda segúnBessel:

mnwW 2=

W w wm= +2( )∆ )1(2 β+≈⇒ mwW

La regla de Carlson también puede usarse paradeterminar el ancho de banda:

Donde n el numero de bandas lateralesWm es el ancho de banda de la señal modulante


Análisis espectral para una señal modulada en

frecuencia para diferentes índices de

modulación.


Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

FM posee un ancho debanda amplio.

Lo cual se constituye en una limitación cuando ladisponibilidad de ancho banda es limitada.

La excelente relación señal a ruido que posee la haceinteresante aún a pesar de la limitación anterior.

Es por esto que se busca disminuir su ancho de banda

La ecuación de una señal modulada en frecuencia es:

[ ]tsenwtwAtg mfcFM β+= cos)(

También puede ser reescrita usando identidadestrigonométricas como:

φ β βFM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen )= −


Considerando:

En primer lugar, que los valores de ββββ son pequeños,entonces:

cos( sen )β f mw t ≈ 1 tsenwtsenwsen mfmf ββ ≈)(y

Segundo, los valores de ββββf, pueden ser tomados comomenores a 0,2

Así que:

φ βNBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen= +


Esta es la ecuación para la modulación de frecuencia debanda angosta y se denota como NBFM, donde ββββf es elíndice de modulación para FM .

φ βNBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen= +

Señal Portadora

Índice de Modulación

Señal Modulante

En ausencia de modulante, solo está presente la portadora defrecuencia w c llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, lafrecuencia de la señal portadora se desvía por encima y por de bajo dewc en un valor dado según ββββf


Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente:

�Ambas modulaciones poseen dos bandas lateralesy su ancho de banda es igual a 2w m.

�En AM la modulación se agrega en fase con laportadora mientras que en NBFM se hace encuadratura.

�La modulación AM proporciona variación deamplitud sin desviación de fase mientras que NBFMda origen a una variación de fase con muy pequeñocambio de amplitud.



Generación de NBFM y NBPM.

CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación:

)()(cos)( twsentwsenAtwAtg cmfcNBPM β−=

∑

cos wc

t

90

f(t)X kp +

+

a) Caso NBPM

g tNBPM

( )


Generación de NBFM y NBPM.

CASO DE NBFM: Si se integra la función antes de ingresaral sistema, se tiene NBFM , según vimos.

Entonces para generar NBFM se tiene:

∑

90

f(t)X kf +

+

∫

cos wc

t

g tNBFM

( )

Tarea:

- Investigue las técnicas de demodulación de FM yPM

- ¿Como se calcula la potencia en las bandaslaterales?

Actividades:

- Realice ejercicios prácticos

Fin del Tema 3Final del Tema 3

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