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Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática –––– Professor Renato Tião Professor Renato Tião Professor Renato Tião Professor Renato Tião

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FatoraçãoFatoraçãoFatoraçãoFatoração Fatorar uma expressão algébrica consiste em completar uma identidade usando uma expressão na

forma de um produto. Afinal, as somas são compostas de parcelas, e os produtos compostos de

fatores. Por exemplo, a expressão x+xy, que apresenta duas parcelas, é idêntica à expressão x(1+y),

que apresenta dois fatores. Por isso, dizemos que x(1+y) é a forma fatorada de x+xy.

Algumas das identidades algébricas apresentam expressões fatoradas em um de seus membros,

como em a2+2ab+b2 ≡ (a+b)(a+b), onde é possível notar que partindo de (a+b)(a+b) e efetuando-se a

propriedade distributiva chega-se em a2+ab+ab+b2 de uma forma bem mais simples do que encontrar

uma forma fatorada partindo-se de a2+2ab+b2.

Poderíamos dizer que fatorar é o mesmo que “desdistribuir”, se essa palavra existisse. Mas, devemos

encarar o fato de que fatorar é tarefa bem mais delicada do que efetuar a propriedade distributiva.

Técnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoração Os principais casos de fatoração são apresentados de forma ordenada na intenção de facilitar os

processos que permitem obter formas completamente fatoradas de uma expressão. Por isso, se uma

expressão tiver características de dois casos diferentes, recomenda-se aplicar as técnicas descritas a

seguir de acordo com a ordem dos casos:

1º caso: Fator ComumFator ComumFator ComumFator Comum AB + AC ≡ A ⋅ (B+C)

Se todos os termos de uma expressão apresentam fator comum, este fator comum pode ser

colocado em evidência multiplicando outro fator entre parênteses. Os termos do fator entre parênteses

serão os respectivos quocientes de cada termo da expressão original pelo fator em evidência.

Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:

xxxx2 2 2 2 –––– 2xy + x 2xy + x 2xy + x 2xy + x ≡ x x x x ⋅ (x (x (x (x –––– 2y + 1) 2y + 1) 2y + 1) 2y + 1)

4x4x4x4x2 2 2 2 + 40x + 100 + 40x + 100 + 40x + 100 + 40x + 100 ≡ 4 4 4 4 ⋅ (x(x(x(x2222 + 10x + 25) + 10x + 25) + 10x + 25) + 10x + 25)

Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:

1.1.1.1. Sabendo que uma fração algébrica ou

aritmética só pode ser simplificada se tanto o

numerador quanto o denominador estiverem

fatorados, simplifique as seguintes frações:

a)a)a)a)

2 x +ax

-x-a

bbbb))))

2

2

xy -x

xy - y

cccc))))

2 3+6

3+3

dddd))))

2+2

2

3333.... Encontre todas as soluções reais da equação

3x3 + 2x = 5x2.

2222.... Encontre todas as soluções naturais da

equação 8x2 – xy = 6.

4. 4. 4. 4. Use a equivalência lógica do produto nulo

“x⋅y = 0 ⇔ x= 0 ou y = 0” para verificar que:

“a⋅b = a⋅c ⇔ a = 0 ou b = c”


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2º caso: Diferença de QuDiferença de QuDiferença de QuDiferença de Quadradosadradosadradosadrados

A2 − B2 ≡ (A + B) ⋅ (A − B) A diferença de quadrados equivale ao produto entre a soma e a diferença de suas bases.


xxxx2 2 2 2 – 1111 ≡ ((((xxxx + 1) 1) 1) 1) ⋅ (x (x (x (x – 1) 1) 1) 1) 4 4 4 4 – 9x 9x 9x 9x2222 ≡ (2 (2 (2 (2 + 3x) 3x) 3x) 3x) ⋅⋅⋅⋅ (2 (2 (2 (2 – 3x) 3x) 3x) 3x)

20132013201320132 2 2 2 – 2011 2011 2011 20112222 = (2013 (2013 (2013 (2013 + 2011) 2011) 2011) 2011) ⋅⋅⋅⋅ (2013 (2013 (2013 (2013 – 2011) 2011) 2011) 2011) = 4024 4024 4024 4024 ⋅ 2 2 2 2 = 8048 8048 8048 8048

Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios: Muitos dos edifícios construídos na década

de 70 têm suas paredes exteriores decoradas

com mosaicos de pastilhas quadradas de

cerâmica dispostas em forma de contornos

quadrados cujos tamanhos e espessuras variam

de acordo com o número de pastilhas usadas.

As figuras a seguir apresentam exemplos

desses mosaicos:

1.1.1.1. As pastilhas de cerâmica usadas para este tipo de

decoração são vendidas

presas a cartelas de

papelão.

Uma pessoa, que decidiu decorar os muros

de seu quintal com contornos quadrados,

comprou algumas dessas cartelas e cortou-as

em pedaços quadrados com 13 unidades de

lado. Depois, retirou algumas pastilhas de cada

pedaço, deixando um buraco quadrado, com 8

unidades de lado, no centro do quadrado maior,

obtendo os mosaicos prontos no papelão, antes

de fixa-los nos muros. Com quantas pastilhas

de cerâmica ficou cada mosaico?

A) 95 B) 105 C) 115 D) 125 E) 161

2.2.2.2. Sendo xxxx o número de pastilhas em cada lado do quadrado maior de um mosaico desse tipo, e

yyyy o número de pastilhas em cada lado do

buraco quadrado em seu interior, qual das

alternativas expressa o número total de

pastilhas em cada mosaico?

A) x⋅(x–y)

B) y⋅(x–y)

C) (x+y)⋅(x–y)

D) x2 + 2xy + y2

E) x2 + y2 – xy

3333.... Outra pessoa montou um mosaico como esse, usando exatamente 39 pastilhas de

cerâmica. Então, o número xxxx de pastilhas, em

cada lado do quadrado maior do mosaico que o

garoto montou, pode ser igual a:

A) 12

B) 11

C) 10

D) 9

E) 8

4444 Mack. Mack. Mack. Mack. Se x e y são números inteiros e positivos, tais que x2 – y2 = 17, então:

A) x e y são primos entre si

B) x = 2y

C) x⋅y = 30

D) x = 3y

E) x – y = 2

a

a

b b

b

(a – b)

(a – b)

b a2222 ––––b2222

(a+b) ⋅ (a–b) (a – b)

a b

(a + b)


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3º caso: Trinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado Perfeito (TQP)(TQP)(TQP)(TQP)

A2 + 2AB + B2 ≡ (A + B)2

A2 − 2AB + B2 ≡ (A − B)2 Se dois termos de um trinômio puderem ser escritos como potências de expoente 2 e, além disso, o

termo restante for igual a mais ou menos o dobro do produto das bases dessas potências, então este

trinômio pode ser escrito, numa forma fatorada, como o quadrado da soma ou da diferença das bases

daqueles termos que são potências de expoente 2, dependendo do sinal do termo restante:


xxxx2 2 2 2 + 2x2x2x2x + 1111 ≡ (x (x (x (x + 1)1)1)1)2222 9999 – 6x6x6x6x + xxxx2222 ≡ ( ( ( (3333 – xxxx))))2222 4444xxxx2222 + 1111 – 4x 4x 4x 4x ≡ ( ( ( (2222xxxx – 1111))))2222

Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:

1.1.1.1. Fatore as seguintes expressões:

a)a)a)a) x2 – 12x + 36

b)b)b)b) 36 – 12x + x2

c)c)c)c) 9x2 + 30x + 100

d)d)d)d) x4 – 50x2 + 625

e)e)e)e) 4x2 + 8x + 16

f)f)f)f) x2 + x–2 + 2

2222.... Determine os valores das constantes k em cada expressão de forma que elas caracterizem

trinômios quadrados perfeitos:

a)a)a)a) x2 – 2x + k

b)b)b)b) x2 + 10x + k

c)c)c)c) x2 + 80x + k

d)d)d)d) x2 – 5x + k

e)e)e)e) x2 + x + k

f)f)f)f) 4x2 + 6x + k

3333.... Determine os valores extremos das funções a

seguir, bem como os valores de x para os quais

essas funções assumem seus valores extremos:

a)a)a)a) y = x2 – 2x + 7

b)b)b)b) y = x2 + 10x + 2

c)c)c)c) y = x2 – x + 3

d)d)d)d) y = –x2 – 6x + 2

e)e)e)e) y = 2x2 + 4x + 5

f)f)f)f) y = 6x – 9x2

4.4.4.4. No estudo da geometria analítica, uma circunferência de raio r > 0 e centro (a, b) pode

ser descrita por uma equação da forma:

(x(x(x(x – a)a)a)a)2222 + (y (y (y (y – b)b)b)b)2222 = r r r r2222

Verifique se as relações cartesianas a seguir

descrevem circunferências.

a)a)a)a) x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0

b)b)b)b) x2 + y2 – x – 7y = 0

c)c)c)c) x2 + y2 + 2x + 6y + 15 = 0

d)d)d)d) x2 + y2 + 12x – 4y + 40 = 0

5555 Unifesp. Unifesp. Unifesp. Unifesp. A equação x2+ y2+ 6x + 4y + 12 = 0,

em coordenadas cartesianas, representa uma

circunferência de raio 1 e centro:

A) (–6,4)

B) (6,4)

C) (3,2)

D) (–3,–2)

E) (6,–4)

6666 FuvestFuvestFuvestFuvest.... Sabendo que x, y e z são números reais e (2x + y – z)2 +(x – y)2 +(z – 3)2 = 0 então,

x+y+z é igual a

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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