techtalk: auf markovketten basierende heuristiken für das feedback-vertex-set-problem
DESCRIPTION
Ein Feedback-Vertex-Set (FVS) eines (gerichteten) Graphen G ist eine Knotenmenge F, durch deren Entfernen G azyklisch wird. Das Feedback-Vertex-Set-Problem besteht aus der Berechnung eines FVSs minimaler Kardinalität. Es modelliert Kernprobleme aus vielen praktischen Bereichen wie z.B. VLSI-Design oder Programmverifikation. Andererseits ist das Problem NP-schwer [Karp72], d.h. im Allgemeinen kann es nicht effizient gelöst werden. Eine Möglichkeit mit diesem Dilemma umzugehen, ist sich mit einer Approximation der Optimallösung zufrieden zu geben. In diesem Vortrag werden auf Markovketten basierende Heuristiken vorgestellt, um solche Approximationen zu bestimmen. Die Pionierarbeit dazu wurde in [Speckenmeyer89] geleistet. Im Mittelpunkt des Vortrags steht eine Verbesserung des ursprünglichen Algorithmus von Speckenmeyer, sowie eine darauf basierende lokale Suchfunktion. Diese beiden Verfahren werden mit bereits bekannten Ansätzen verglichen. Dabei lieferten diese Ansätze signifikant bessere Lösungen als das beste aus der Literatur bekannte Verfahren von Resende. Beispielsweise benötigten sie nur einen Bruchteil der Rechenzeit des Resende-Verfahreens - 733 Sekunden statt 41626 Sekunden auf einem modernen PC - zur Lösung eines Satzes von Benchmark-Graphen. Eine Schlüsselrolle hatten dabei schnelle Methoden zur Lösung dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme.TRANSCRIPT
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Auf Markovketten basierende Heuristiken für dasFeedback-Vertex-Set-Problem
Mile Lemaić
Institut für InformatikUniversität zu Köln
20.01.2010
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Gliederung
1 Das FVS-Problem
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Gliederung
1 Das FVS-Problem
2 Markovsche FVS-Algorithmen
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Gliederung
1 Das FVS-Problem
2 Markovsche FVS-Algorithmen
3 Ergebnisse
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Gliederung
1 Das FVS-Problem
2 Markovsche FVS-Algorithmen
3 Ergebnisse
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
NotationInverser Digraph
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
NotationInverser Digraph
G
• Sei G = (V ,A) ein Digraph
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
NotationInverser Digraph
G G−1
• Sei G = (V ,A) ein Digraph• Dann bezeichnet G−1 den inversen Digraph von G
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
DefinitionenFeedback-Vertex-Set
Definition
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
DefinitionenFeedback-Vertex-Set
DefinitionSei G = (V ,A) ein Digraph.
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
DefinitionenFeedback-Vertex-Set
DefinitionSei G = (V ,A) ein Digraph.
• G heißt azyklisch, falls er keine Kreise enthält
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
DefinitionenFeedback-Vertex-Set
DefinitionSei G = (V ,A) ein Digraph.
• G heißt azyklisch, falls er keine Kreise enthält• F ⊂ V ist ein Feedback-Vertex-Set (FVS) von G ,
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
DefinitionenFeedback-Vertex-Set
DefinitionSei G = (V ,A) ein Digraph.
• G heißt azyklisch, falls er keine Kreise enthält• F ⊂ V ist ein Feedback-Vertex-Set (FVS) von G ,
falls G − F ayklisch ist
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
DefinitionenFeedback-Vertex-Set
DefinitionSei G = (V ,A) ein Digraph.
• G heißt azyklisch, falls er keine Kreise enthält• F ⊂ V ist ein Feedback-Vertex-Set (FVS) von G ,
falls G − F ayklisch ist• Ein FVS minimaler Kardinalität heißt optimal
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Das FVS-ProblemÜberblick
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemÜberblick
FVS-Problem
Eingabe: Digraph G = (V ,A)Ausgabe: Optimales FVS F
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemÜberblick
FVS-Problem
Eingabe: Digraph G = (V ,A)Ausgabe: Optimales FVS F
• FVS-Problem ist NP hart [Karp, 1972]
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemÜberblick
FVS-Problem
Eingabe: Digraph G = (V ,A)Ausgabe: Optimales FVS F
• FVS-Problem ist NP hart [Karp, 1972]• Es gibt polynomiell lösbare Klassen
• completely contractible graphs [Levy/Low, 1988]• Smith-Walford reducible graphs [Wang et al, 1985]• . . .
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemÜberblick
FVS-Problem
Eingabe: Digraph G = (V ,A)Ausgabe: Optimales FVS F
• FVS-Problem ist NP hart [Karp, 1972]• Es gibt polynomiell lösbare Klassen
• completely contractible graphs [Levy/Low, 1988]• Smith-Walford reducible graphs [Wang et al, 1985]• . . .
• Bester Approximationsalgorithmus hat Güte vonO(log |V | log log |V |) [Even et al, 1998]
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
• Stelle Programm alsFlowchart dar
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
• Stelle Programm alsFlowchart dar
• Wähle Cutpoints
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
• Stelle Programm alsFlowchart dar
• Wähle Cutpoints
• zerlegen Programmin azyklischeTeilstrukturen
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
• Stelle Programm alsFlowchart dar
• Wähle Cutpoints
• zerlegen Programmin azyklischeTeilstrukturen
• representieren Pro-grammspezifikationen
![Page 25: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/25.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
• Stelle Programm alsFlowchart dar
• Wähle Cutpoints
• zerlegen Programmin azyklischeTeilstrukturen
• representieren Pro-grammspezifikationen
• Zeige Kosistenz derSpezifikationen aufTeilstrukturen
![Page 26: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/26.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
• Stelle Programm alsFlowchart dar
• Wähle Cutpoints
• zerlegen Programmin azyklischeTeilstrukturen
• representieren Pro-grammspezifikationen
• Zeige Kosistenz derSpezifikationen aufTeilstrukturen
• Zeige Korrektheit desgesamten Programmsmittels induktiverArgumente
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
Dann gilt: Falls das Programmtertminiert, so arbeitet esformal korrekt.
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
Dann gilt: Falls das Programmtertminiert, so arbeitet esformal korrekt.
Spezifikationen:
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
Dann gilt: Falls das Programmtertminiert, so arbeitet esformal korrekt.
Spezifikationen:◦ a ≥ 0 ∧ b > 0
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
Dann gilt: Falls das Programmtertminiert, so arbeitet esformal korrekt.
Spezifikationen:◦ a ≥ 0 ∧ b > 0
◦ a = bq + r ∧ q ≥ 0 ∧ 0 ≤ r < b
![Page 31: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/31.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
Dann gilt: Falls das Programmtertminiert, so arbeitet esformal korrekt.
Spezifikationen:◦ a ≥ 0 ∧ b > 0
◦ a = bq + r ∧ q ≥ 0 ∧ 0 ≤ r < b
◦ ay = bq + ry
![Page 32: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/32.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest
Eingabe: a, b
Ausgabe: q, r
y := 1q := 0r := a
b := 2by := 2y
r := r-bq := q+y
b := b/2y := y/2
Ja
r > bNein
Ja
r ≥ bNein
Ja
y = 1Nein
Dann gilt: Falls das Programmtertminiert, so arbeitet esformal korrekt.
Spezifikationen:◦ a ≥ 0 ∧ b > 0
◦ a = bq + r ∧ q ≥ 0 ∧ 0 ≤ r < b
◦ ay = bq + ry
◦ · · ·
![Page 33: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/33.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemHeuristiken für die Knotenwahl
![Page 34: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/34.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemHeuristiken für die Knotenwahl
Heuristiken:
![Page 35: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/35.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemHeuristiken für die Knotenwahl
Heuristiken:1 [Lee/Reddy, 1990]: Wähle Knoten mit maximalem Produkt
(bzw. Summe) von Eingangs- und Ausgangsgrad
![Page 36: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/36.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemHeuristiken für die Knotenwahl
Heuristiken:1 [Lee/Reddy, 1990]: Wähle Knoten mit maximalem Produkt
(bzw. Summe) von Eingangs- und Ausgangsgrad2 [Lin/Jou, 1999]: Wähle Knoten mit maximaler Summe von
Eingangs- und Ausgangsgrad sowie Anzahl von Länge-2-Wegen
![Page 37: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/37.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Das FVS-ProblemHeuristiken für die Knotenwahl
Heuristiken:1 [Lee/Reddy, 1990]: Wähle Knoten mit maximalem Produkt
(bzw. Summe) von Eingangs- und Ausgangsgrad2 [Lin/Jou, 1999]: Wähle Knoten mit maximaler Summe von
Eingangs- und Ausgangsgrad sowie Anzahl von Länge-2-Wegen
Problem bei 1 und 2 : Auswahlkriterien sind lokal,aber Kreise sind global
![Page 38: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/38.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Gliederung
1 Das FVS-Problem
2 Markovsche FVS-Algorithmen
3 Ergebnisse
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenDefinitionen
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenDefinitionen
• Eine Markovkette
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenDefinitionen
• Eine Markovkette• ist ein Digraph M = (V , A) mit V = {v1, . . . , vn}
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenDefinitionen
35
25
12 7
1 7
47
1
1 P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 35 0 2
5 00 0 1 0 027 0 0 1
747
0 0 0 0 10 1 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
• Eine Markovkette• ist ein Digraph M = (V , A) mit V = {v1, . . . , vn}• versehen mit stochastischer Matrix P = (pij ), so dass
pij �= 0 ⇐⇒ (vi , vj ) ∈ A
![Page 43: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/43.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenDefinitionen
35
25
12 7
1 7
47
1
1 P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 35 0 2
5 00 0 1 0 027 0 0 1
747
0 0 0 0 10 1 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
• Eine Markovkette• ist ein Digraph M = (V , A) mit V = {v1, . . . , vn}• versehen mit stochastischer Matrix P = (pij ), so dass
pij �= 0 ⇐⇒ (vi , vj ) ∈ A• P heißt Übergangsmatrix von M
![Page 44: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/44.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenDefinitionen
35
25
12 7
1 7
47
1
1 P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 35 0 2
5 00 0 1 0 027 0 0 1
747
0 0 0 0 10 1 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
• Eine Markovkette• ist ein Digraph M = (V , A) mit V = {v1, . . . , vn}• versehen mit stochastischer Matrix P = (pij ), so dass
pij �= 0 ⇐⇒ (vi , vj ) ∈ A• P heißt Übergangsmatrix von M
• Eine Markovkette heißt Random Walk,
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenDefinitionen
12
12
11 3
1 3
13
1
1 P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 12 0 1
2 00 0 1 0 013 0 0 1
313
0 0 0 0 10 1 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
• Eine Markovkette• ist ein Digraph M = (V , A) mit V = {v1, . . . , vn}• versehen mit stochastischer Matrix P = (pij ), so dass
pij �= 0 ⇐⇒ (vi , vj ) ∈ A• P heißt Übergangsmatrix von M
• Eine Markovkette heißt Random Walk,falls je zwei positive Zeilenelemente pij , pik von P gleich sind
![Page 46: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/46.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenDefinitionen
12
12
11 3
1 3
13
1
1 P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 12 0 1
2 00 0 1 0 013 0 0 1
313
0 0 0 0 10 1 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
• Eine Markovkette• ist ein Digraph M = (V , A) mit V = {v1, . . . , vn}• versehen mit stochastischer Matrix P = (pij ), so dass
pij �= 0 ⇐⇒ (vi , vj ) ∈ A• P heißt Übergangsmatrix von M
• Eine Markovkette heißt Random Walk,falls je zwei positive Zeilenelemente pij , pik von P gleich sind
• Jeder Digraph G = (V , A) induziert eindeut. Random Walk MG
![Page 47: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/47.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenStationäre Verteilung
M = (V ,A) Markovkette mit V = {v1, . . . , vn} undÜbergangsmatrix P
![Page 48: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/48.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenStationäre Verteilung
M = (V ,A) Markovkette mit V = {v1, . . . , vn} undÜbergangsmatrix P
Ist M stark zusammenhängend, so
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenStationäre Verteilung
M = (V ,A) Markovkette mit V = {v1, . . . , vn} undÜbergangsmatrix P
Ist M stark zusammenhängend, so• existiert eindeutiger Spaltenvektor π = (πi ), so dass
tπ · P = tπ undn∑
i=1πi = 1
![Page 50: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/50.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenStationäre Verteilung
M = (V ,A) Markovkette mit V = {v1, . . . , vn} undÜbergangsmatrix P
Ist M stark zusammenhängend, so• existiert eindeutiger Spaltenvektor π = (πi ), so dass
tπ · P = tπ undn∑
i=1πi = 1
• π heißt stationäre Verteilung von M
![Page 51: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/51.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovkettenStationäre Verteilung
M = (V ,A) Markovkette mit V = {v1, . . . , vn} undÜbergangsmatrix P
Ist M stark zusammenhängend, so• existiert eindeutiger Spaltenvektor π = (πi ), so dass
tπ · P = tπ undn∑
i=1πi = 1
• π heißt stationäre Verteilung von M• 1
πiist mittlere Rückkehrzeit zum Knoten vi
![Page 52: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/52.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
![Page 53: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/53.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
![Page 54: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/54.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
• Konstruiere Random Walk MG
![Page 55: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/55.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG
![Page 56: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/56.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG• Wähle Knoten vi mit kleinster mittlerer Rückkehrzeit 1
πi
![Page 57: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/57.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG• Wähle Knoten vi mit kleinster mittlerer Rückkehrzeit 1
πi
Beispiel zu MFVS
![Page 58: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/58.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG• Wähle Knoten vi mit kleinster mittlerer Rückkehrzeit 1
πi
Beispiel zu MFVS
• Berechne stationäre Verteilung
![Page 59: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/59.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG• Wähle Knoten vi mit kleinster mittlerer Rückkehrzeit 1
πi
Beispiel zu MFVS
• Berechne stationäre Verteilung• Wähle Knoten mit
kleinster mittlerer Rückkehrzeit
![Page 60: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/60.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG• Wähle Knoten vi mit kleinster mittlerer Rückkehrzeit 1
πi
Beispiel zu MFVS
• Berechne stationäre Verteilung• Wähle Knoten mit
kleinster mittlerer Rückkehrzeit
![Page 61: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/61.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)
Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}
MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]
• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG• Wähle Knoten vi mit kleinster mittlerer Rückkehrzeit 1
πi
Beispiel zu MFVS
• Berechne stationäre Verteilung• Wähle Knoten mit
kleinster mittlerer Rückkehrzeit• Restgraph vollständig reduzierbar
![Page 62: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/62.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Kernidee
Versuche suboptimale Entscheidungen von MFVS zu vermeiden
![Page 63: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/63.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Kernidee
Versuche suboptimale Entscheidungen von MFVS zu vermeiden
• Konzipiere alternative unabhängige Heuristik gleicher Güte
![Page 64: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/64.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Kernidee
Versuche suboptimale Entscheidungen von MFVS zu vermeiden
• Konzipiere alternative unabhängige Heuristik gleicher Güte• Schlagen beide Heuristiken gleichen Knoten vor, so wähle ihn
![Page 65: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/65.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Kernidee
Versuche suboptimale Entscheidungen von MFVS zu vermeiden
• Konzipiere alternative unabhängige Heuristik gleicher Güte• Schlagen beide Heuristiken gleichen Knoten vor, so wähle ihn• Falls nicht, dann . . .
![Page 66: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/66.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Kernidee
Versuche suboptimale Entscheidungen von MFVS zu vermeiden
• Konzipiere alternative unabhängige Heuristik gleicher Güte• Schlagen beide Heuristiken gleichen Knoten vor, so wähle ihn• Falls nicht, dann . . .
Beobachtung: F FVS von G ⇐⇒ F FVS von G−1
![Page 67: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/67.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Kernidee
Versuche suboptimale Entscheidungen von MFVS zu vermeiden
• Konzipiere alternative unabhängige Heuristik gleicher Güte• Schlagen beide Heuristiken gleichen Knoten vor, so wähle ihn• Falls nicht, dann . . .
Beobachtung: F FVS von G ⇐⇒ F FVS von G−1
Alternative Heuristik: Wende Heuristik von MFVS auf G−1 an
![Page 68: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/68.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
![Page 69: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/69.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
• Berechne stationäre Verteilungen π und π′
der Random Walks MG und MG−1
![Page 70: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/70.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
• Berechne stationäre Verteilungen π und π′
der Random Walks MG und MG−1
• Definiere π̃ = (π̃i) durchπ̃i := h(πi , π
′i ) mit Heuristik h : R
2 → R
![Page 71: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/71.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
• Berechne stationäre Verteilungen π und π′
der Random Walks MG und MG−1
• Definiere π̃ = (π̃i) durchπ̃i := h(πi , π
′i ) mit Heuristik h : R
2 → R
• Wähle Knoten vi mit kleinstem 1eπi
![Page 72: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/72.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
• Berechne stationäre Verteilungen π und π′
der Random Walks MG und MG−1
• Definiere π̃ = (π̃i) durchπ̃i := h(πi , π
′i ) mit Heuristik h : R
2 → R
• Wähle Knoten vi mit kleinstem 1eπi
Wahl v h:
![Page 73: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/73.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
• Berechne stationäre Verteilungen π und π′
der Random Walks MG und MG−1
• Definiere π̃ = (π̃i) durchπ̃i := h(πi , π
′i ) mit Heuristik h : R
2 → R
• Wähle Knoten vi mit kleinstem 1eπi
Wahl v h:• muss symmetrisch sein
![Page 74: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/74.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
• Berechne stationäre Verteilungen π und π′
der Random Walks MG und MG−1
• Definiere π̃ = (π̃i) durchπ̃i := h(πi , π
′i ) mit Heuristik h : R
2 → R
• Wähle Knoten vi mit kleinstem 1eπi
Wahl v h:• muss symmetrisch sein• Kandidaten: arithm. Mittel, geom. Mittel, Maximum, . . .
![Page 75: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/75.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
• Berechne stationäre Verteilungen π und π′
der Random Walks MG und MG−1
• Definiere π̃ = (π̃i) durchπ̃i := h(πi , π
′i ) mit Heuristik h : R
2 → R
• Wähle Knoten vi mit kleinstem 1eπi
Wahl v h:• muss symmetrisch sein• Kandidaten: arithm. Mittel, geom. Mittel, Maximum, . . .• Bestes: arithmetrisches Mittel, d.h. h(x , y) = 1
2(x + y)
![Page 76: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/76.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break
Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?
• Berechne stationäre Verteilungen π und π′
der Random Walks MG und MG−1
• Definiere π̃ = (π̃i) durchπ̃i := h(πi , π
′i ) mit Heuristik h : R
2 → R
• Wähle Knoten vi mit kleinstem 1eπi
Wahl v h:• muss symmetrisch sein• Kandidaten: arithm. Mittel, geom. Mittel, Maximum, . . .• Bestes: arithmetrisches Mittel, d.h. h(x , y) = 1
2(x + y)
Resultierender Algorithmus: MFVSMean
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Beispiel
Beispiel zu MFVSMean
![Page 78: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/78.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Beispiel
Beispiel zu MFVSMean
G
![Page 79: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/79.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Beispiel
Beispiel zu MFVSMean
G
• Berechne stat. Verteilung von MG
![Page 80: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/80.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Beispiel
Beispiel zu MFVSMean
G
G−1• Berechne stat. Verteilung von MG
• Konstruiere inversen Digraphen G−1
![Page 81: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/81.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Beispiel
Beispiel zu MFVSMean
G
G−1• Berechne stat. Verteilung von MG
• Konstruiere inversen Digraphen G−1
• Berechne stat. Verteilung von MG−1
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Beispiel
Beispiel zu MFVSMean
G G
G−1• Berechne stat. Verteilung von MG
• Konstruiere inversen Digraphen G−1
• Berechne stat. Verteilung von MG−1
• Mittele stat. Verteilungen
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Beispiel
Beispiel zu MFVSMean
G
G−1• Berechne stat. Verteilung von MG
• Konstruiere inversen Digraphen G−1
• Berechne stat. Verteilung von MG−1
• Mittele stat. Verteilungen• Wähle Knoten
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|
Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|
Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|
Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F
![Page 91: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/91.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|
Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F• Setze F1 := F \ X
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|
Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F• Setze F1 := F \ X• Digraph G ′ := G − F1 ist zyklisch
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|
Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F• Setze F1 := F \ X• Digraph G ′ := G − F1 ist zyklisch• Bestimme FVS F2 von G ′ mittels MFVSMean
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchKernidee
Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)
• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|
Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F• Setze F1 := F \ X• Digraph G ′ := G − F1 ist zyklisch• Bestimme FVS F2 von G ′ mittels MFVSMean• Ausgabe: F ′ := F1 ∪ F2
![Page 95: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/95.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus
![Page 96: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/96.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G
![Page 97: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/97.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean
![Page 98: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/98.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean
• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu
![Page 99: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/99.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean
• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu• Iteriere t mal:
• Extrahiere FVS F kleinster Kardinalität aus Q• Generiere Nachfolger-FVSs F1, . . . , Fk von F (Schrittweite d)• Füge F1, . . . , Fk zu Q hinzu
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean
• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu• Iteriere t mal:
• Extrahiere FVS F kleinster Kardinalität aus Q• Generiere Nachfolger-FVSs F1, . . . , Fk von F (Schrittweite d)• Füge F1, . . . , Fk zu Q hinzu
• Ausgabe: kleinstes generiertes FVS
![Page 101: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/101.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean
• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu• Iteriere t mal:
• Extrahiere FVS F kleinster Kardinalität aus Q• Generiere Nachfolger-FVSs F1, . . . , Fk von F (Schrittweite d)• Füge F1, . . . , Fk zu Q hinzu
• Ausgabe: kleinstes generiertes FVS
Parameter von MarkovSearch:
![Page 102: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/102.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean
• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu• Iteriere t mal:
• Extrahiere FVS F kleinster Kardinalität aus Q• Generiere Nachfolger-FVSs F1, . . . , Fk von F (Schrittweite d)• Füge F1, . . . , Fk zu Q hinzu
• Ausgabe: kleinstes generiertes FVS
Parameter von MarkovSearch:• Anzahl der Iterationen t
![Page 103: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/103.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean
• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu• Iteriere t mal:
• Extrahiere FVS F kleinster Kardinalität aus Q• Generiere Nachfolger-FVSs F1, . . . , Fk von F (Schrittweite d)• Füge F1, . . . , Fk zu Q hinzu
• Ausgabe: kleinstes generiertes FVS
Parameter von MarkovSearch:• Anzahl der Iterationen t• Anzahl der Nachfolger-FVSs k
![Page 104: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/104.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchAlgorithmus
MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean
• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu• Iteriere t mal:
• Extrahiere FVS F kleinster Kardinalität aus Q• Generiere Nachfolger-FVSs F1, . . . , Fk von F (Schrittweite d)• Füge F1, . . . , Fk zu Q hinzu
• Ausgabe: kleinstes generiertes FVS
Parameter von MarkovSearch:• Anzahl der Iterationen t• Anzahl der Nachfolger-FVSs k• Schrittweite d
![Page 105: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/105.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchOptimale Schrittweite
Was ist die optimale Schrittweite d?
![Page 106: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/106.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchOptimale Schrittweite
Was ist die optimale Schrittweite d?
• Eindeutiger optimaler Wert existiert
![Page 107: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/107.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchOptimale Schrittweite
Was ist die optimale Schrittweite d?
• Eindeutiger optimaler Wert existiert• Schwer zu quantifizieren
![Page 108: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/108.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchOptimale Schrittweite
Was ist die optimale Schrittweite d?
• Eindeutiger optimaler Wert existiert• Schwer zu quantifizieren• Hängt von der Eingabe-Instanz ab
![Page 109: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/109.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MarkovSearchVariierende Schrittweite
0 30 60 90 120 150180
181
182
183
184
185
FVS-
Grö
ße
Schrittweite
100 Iterationen500 Iterationen
FVS-Größe in Abhängigkeit vonSchrittweite d für 100 Zufallsdigraphen(p = 0.05) mit 300 Knoten.
0 50 100 150 200 250457
458
459
460
461
462
FVS-
Grö
ßeSchrittweite
100 Iterationen500 Iterationen
FVS-Größe in Abhängigkeit vonSchrittweite d für 100 Zufallsdigraphen(p = 0.2) mit 500 Knoten.
![Page 110: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/110.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
![Page 111: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/111.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt
![Page 112: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/112.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)
![Page 114: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/114.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:
![Page 115: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/115.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:
• Ist P irreduzibel und aperiodisch, so gilt:limn→∞ Pn = e tπ, wobei e = t (
1 · · · 1)
![Page 116: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/116.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:
• Ist P irreduzibel und aperiodisch, so gilt:limn→∞ Pn = e tπ, wobei e = t (
1 · · · 1)
=⇒ limn→∞ txPn = tπ, für jeden Vektor x mit txe = 1
![Page 117: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/117.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:
• Ist P irreduzibel und aperiodisch, so gilt:limn→∞ Pn = e tπ, wobei e = t (
1 · · · 1)
=⇒ limn→∞ txPn = tπ, für jeden Vektor x mit txe = 1• Bekannt: Für n > d
− log |λ| stimmen txPn und tπ auf ersten dStellen überein (λ subdominanter Eigenwert von P)
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:
• Ist P irreduzibel und aperiodisch, so gilt:limn→∞ Pn = e tπ, wobei e = t (
1 · · · 1)
=⇒ limn→∞ txPn = tπ, für jeden Vektor x mit txe = 1• Bekannt: Für n > d
− log |λ| stimmen txPn und tπ auf ersten dStellen überein (λ subdominanter Eigenwert von P)
Laufzeit mit iterativer Methode: O(|A||F | d− ln |λ|)
![Page 119: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/119.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:
• Rechengenauigkeit üblicherweise beschränkt
![Page 120: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/120.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:
• Rechengenauigkeit üblicherweise beschränkt• Stellenzahl d kann als konstant angenommen werden
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit
• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P
berechnet werden:tπ · P = tπ mit
n∑i=1
πi = 1
Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:
• Rechengenauigkeit üblicherweise beschränkt• Stellenzahl d kann als konstant angenommen werden
Laufzeit mit iterativer Methode: O(|A||F | 1− ln |λ|)
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Gliederung
1 Das FVS-Problem
2 Markovsche FVS-Algorithmen
3 Ergebnisse
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Betrachtete Algorithmen
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Betrachtete Algorithmen
MFVS: Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Betrachtete Algorithmen
MFVS: Speckenmeyers ursprünglicher AlgorithmusMFVSMean: Gemittelte Version von MFVS
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Betrachtete Algorithmen
MFVS: Speckenmeyers ursprünglicher AlgorithmusMFVSMean: Gemittelte Version von MFVS
MarkovSearch: Markovsche lokale Suchfunktion• führt 100 Iterationen aus• generiert jeweils 2 Nachfolger-FVSs
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Betrachtete Algorithmen
MFVS: Speckenmeyers ursprünglicher AlgorithmusMFVSMean: Gemittelte Version von MFVS
MarkovSearch: Markovsche lokale Suchfunktion• führt 100 Iterationen aus• generiert jeweils 2 Nachfolger-FVSs
Simple: Wählt Knoten v ∈ V des Graphen G = (V ,A) mitmaximalem Produkt∑
v∈N−(v)
d−(v) · ∑v∈N+(v)
d+(v)
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Betrachtete Algorithmen
MFVS: Speckenmeyers ursprünglicher AlgorithmusMFVSMean: Gemittelte Version von MFVS
MarkovSearch: Markovsche lokale Suchfunktion• führt 100 Iterationen aus• generiert jeweils 2 Nachfolger-FVSs
Simple: Wählt Knoten v ∈ V des Graphen G = (V ,A) mitmaximalem Produkt∑
v∈N−(v)
d−(v) · ∑v∈N+(v)
d+(v)
GRASP: Multistart-Algorithmus von Resende et al• generiert 2048 FVSs• wird derzeit als bester Algorithmus angesehen
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Deterministische Algorithmen
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
0.05 0.10 0.15 0.20
XXX MFVSMean
XXX MFVSXXX Simple
FVS-Größe für 100 Zufallsdigraphenmit 500 Knoten in Abhängigkeit vonDichte p.
120
140
160
180
200
220
240
260
280
3 5 7 9
XXX MFVSMean
XXX MFVSXXX Simple
FVS-Größe für 100 reguläre Digraphenmit 500 Knoten in Abhängigkeit vomRang k .
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Randomisierte Algorithmem I
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
0.05 0.10 0.15 0.20
XXX MarkovSearchXXX GRASP
FVS-Größe für 100 Zufallsdigraphenmit 300 Knoten in Abhängigkeit vonDichte p.
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
0.05 0.10 0.15 0.20
XXX MarkovSearchXXX GRASP
Laufzeit in Sekunden.
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Randomisierte Algorithmem II
120130140150160170180190200210220230240
4 6 8 10
XXX MarkovSearchXXX GRASP
FVS-Größe für 100 reguläre Digraphenmit 400 Knoten in Abhängigkeit vomRang k .
0
5000
10000
15000
20000
25000
4 6 8 10
XXX MarkovSearchXXX GRASP
Laufzeit in Sekunden.
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MFVSMean vs. GRASP vs. MarkovSearch
![Page 133: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/133.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MFVSMean vs. GRASP vs. MarkovSearch
Resende Digraphen:
![Page 134: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/134.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MFVSMean vs. GRASP vs. MarkovSearch
Resende Digraphen:
• 40 Digraphen
![Page 135: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/135.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MFVSMean vs. GRASP vs. MarkovSearch
Resende Digraphen:
• 40 Digraphen• verschiedene Größen (50—1000 Knoten)
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MFVSMean vs. GRASP vs. MarkovSearch
Resende Digraphen:
• 40 Digraphen• verschiedene Größen (50—1000 Knoten)• verschiedene Dichten
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MFVSMean vs. GRASP vs. MarkovSearch
Resende Digraphen:
• 40 Digraphen• verschiedene Größen (50—1000 Knoten)• verschiedene Dichten
Optimum MFVSMean GRASP MarkovSearchFVS-Größe ≤ 6576 6964 6941 6749Laufzeit (Sek.) 193 41626 733
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
MFVSMean vs. GRASP vs. MarkovSearch
Resende Digraphen:
• 40 Digraphen• verschiedene Größen (50—1000 Knoten)• verschiedene Dichten
Optimum MFVSMean GRASP MarkovSearchFVS-Größe ≤ 6576 6964 6941 6749Laufzeit (Sek.) 193 41626 733
Weitere Informationen: M. Lemaić, E. Speckenmeyer.Markov-Chain-Based Heuristics for the Minimum FeedbackVertex Set Problem,zaik2010-596, http://www.zaik.uni-koeln.de, 2010
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Zusammenfassung
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Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Zusammenfassung
• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch
![Page 141: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/141.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Zusammenfassung
• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch• erzielen gute Resultate
![Page 142: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/142.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Zusammenfassung
• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch• erzielen gute Resultate
• MFVSMean
• ist eine signifikante Verbesserung gegenüber MFVS
![Page 143: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/143.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Zusammenfassung
• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch• erzielen gute Resultate
• MFVSMean
• ist eine signifikante Verbesserung gegenüber MFVS• übertrifft bekannte deterministische Algorithmen
![Page 144: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/144.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Zusammenfassung
• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch• erzielen gute Resultate
• MFVSMean
• ist eine signifikante Verbesserung gegenüber MFVS• übertrifft bekannte deterministische Algorithmen• nur marginal schlechter als GRASP
![Page 145: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/145.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Zusammenfassung
• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch• erzielen gute Resultate
• MFVSMean
• ist eine signifikante Verbesserung gegenüber MFVS• übertrifft bekannte deterministische Algorithmen• nur marginal schlechter als GRASP
• MarkovSearch• übertrifft GRASP in puncto FVS-Größe als auch Laufzeit
![Page 146: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/146.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Zusammenfassung
• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch• erzielen gute Resultate
• MFVSMean
• ist eine signifikante Verbesserung gegenüber MFVS• übertrifft bekannte deterministische Algorithmen• nur marginal schlechter als GRASP
• MarkovSearch• übertrifft GRASP in puncto FVS-Größe als auch Laufzeit• derzeit bester Algorithmus für FVS-Problem
• Markovketten sehr gut geeignet für FVS-Problem
![Page 147: Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060200/55980deb1a28ab717c8b4588/html5/thumbnails/147.jpg)
Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse
Vielen Dank!