teaching maths through automata toys
DESCRIPTION
A report of the piloting experimentation held in Coimbra, Portugal, where children learned maths through automata toys and therefore through art-based activityTRANSCRIPT
Mini-piloting in Portuguese school 2012 Report on mini-piloting
For the CLOHE project - Automata in the classroom
(Portuguese version)
Aprender com o movimento e a arte ou “Aprendi que a partir de duas caixas se podem fazer muitas coisas!”
Piedade Vaz Rebelo Isabel Costa Belo
Ana Paula Alves Rodrigues Carlos Barreira
Disclaimer: The project ‘Clockwork objects, enhanced learning: Automata Toys Construction in 1mary education for Learning to Learn promotion, creativity fostering & Key Competences acquisition’ has been funded with support from the European Commission. This document reflects the views only of the author, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.
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Índice
Introdução …………………………………………………………………... 3
O contexto: características da escola e da turma……………….…
The context: Characteristics of the school and of the class……..… 5
Materiais Materials…………………………………… …………………….7
1ª sessão: Descobrir as causas do movimento…………………..……9
First session: Discovering the causes of the movement…………….9
2ª sessão: Inventar histórias com o movimento e a arte …………..21
2nd session: Inventing stories with the movement and the arts…..21
3ª sessão: Recontar uma história de forma colaborativa.............. 25
3session: Recounting a story together …………………………….….25
4ª sessão: Inventar problemas com o movimento e a arte……… 30
4session: Inventing math problems with the movement and the arts
5ª/ 6ª sessiões: Construção de um automata………………………49
5ª/ 6ª sessions: Constructing an automata…………………………..49
Reflexão final feita pela docente da turma ………………………… 51
Teacher final reflection……………………………………………………51
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Neste relatório apresenta-se o conjunto de atividades desenvolvidas no
âmbito do estudo minipiloto do projeto Clohe realizado em Portugal e que
foi designado por “Aprender com o movimento e a arte”.
As diferentes atividades foram:
“Descobrir as causas do movimento”;
“Inventar histórias com o movimento e a arte”;
“Recontar uma história de forma colaborativa”;
“Inventar problemas com o movimento e com arte”,
“Contruir um autómato”
Decorreram em 5 sessões, entre Abril e Setembro de 2012. Toda a turma
esteve envolvida e uma das sessões decorreu na Biblioteca da sede do
Agrupamento.
No relatório são apresentadas as sessões realizadas descrevendo os objetivos
de cada uma, os procedimentos desenvolvidos, os trabalhos realizados pelos
alunos e uma breve análise dos mesmos.
As atividades desenvolvidas visavam a exploração dos autómatos em
contexto de aula. A sequência metodológica desenvolvida foi estabelecida
pela docente, visando a exploração dos mecanismos associados ao
movimento dos autómatos, mas também a sua utilização no contexto das
atividades curriculares habitualmente desenvolvidas na turma,
nomeadamente, a invenção de histórias e a invenção de problemas de
matemática.
As atividades desenvolvidas tinham por objetivo desenvolver;
A capacidade de observação de diferentes tipos de movimento,
Introdução
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A compreensão e a representação mental do movimento e dos
mecanismos subjacentes;
As relações com conteúdos abordados na área de Estudo do Meio e
na área de Expressão Plástica;
Competências ao nível da Língua Portuguesa, nomeadamente as
funções da linguagem escrita, da linguagem oral, a comunicação
entre alunos e entre eles e a professora;
Competências matemáticas, nomeadamente a formulação de
problemas, o desenvolvimento do raciocínio matemático, a
sensibilização para o uso com compreensão da linguagem
matemática.
Os alunos preencheram os questionários sobre a perceção da sua
participação nas atividades desenvolvidas e relacionadas com o Projeto
Clohe.
Foi-lhe também pedido que formulassem perguntas sobre o funcionamento
dos autómatos.
Não foram usados instrumentos específicos com o objetivo de analisar o
desempenho dos alunos nas várias competências referidas. No entanto,
foram analisados os vários trabalhos desenvolvidos pelos alunos durante as
atividades implementadas.
São também apresentadas as reflexões desenvolvidas pela docente durante
a implementação das atividades e um balanço geral, uma análise SWOT,
feita no final do processo.
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2. O contexto: caracterização da escola e da turma
O estudo apresentado desenvolveu-se na Escola Básica G. P., sede do
Agrupamento de Escolas G. P., num concelho com uma área geográfica de
626.23 Km2 da região centro do litoral português. As turmas do 1ºCiclo
funcionam em regime de horário normal, beneficiam de serviço de almoço e
de atividades de enriquecimento curricular.
A turma X do segundo e terceiro ano da Escola E.B.1 G. P. é constituída por
dezoito alunos, sete raparigas e onze rapazes, o grupo mantém-se desde o
ano letivo anterior. Os alunos encontram-se num nível socioeconómico e
cultural médios. A assiduidade e a pontualidade foram excelentes, sendo o
comportamento satisfatório.
Trata-se de uma turma do segundo e terceiro ano de escolaridade
registando-se a mudança do professor titular da turma, o que implicou toda
uma fase de adaptação dos alunos ao professor e vice-versa. Ao nível do
comportamento, a turma evoluiu satisfatoriamente desde o início do ano
letivo, cumprindo as regras definidas, tendo estas sido afixadas na sala de
aula. Para conhecer melhor a turma e ter uma noção concreta das
dificuldades existentes e dos diferentes ritmos de trabalho, foi feita uma
avaliação diagnóstica no início do ano letivo, que se baseou na realização
de atividades de diagnóstico nas áreas de Língua Portuguesa, Matemática e
Estudo do Meio, e ainda na observação do desempenho e da participação
dos alunos.
Para serem respeitados os diferentes ritmos de trabalho, quando os alunos
terminavam as atividades propostas para o grande grupo podiam realizar
diferentes tarefas assinaladas numa grelha exposta na sala. As fichas das
diferentes áreas curriculares estavam organizadas em ficheiros (sendo esta
uma boa oportunidade de trabalharem as áreas em que sentem mais
dificuldades) e ajudar os colegas com mais dificuldades.
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Este tempo foi aproveitado pelo professor para fazer um acompanhamento
mais individualizado aos alunos com dificuldades e ajudá-los na conclusão
dos trabalhos, assim como para diagnosticar dificuldades e corrigir trabalhos
individualmente com cada aluno.
As dificuldades encontradas centraram-se sobretudo na área da Língua
Portuguesa, relativamente à Produção Escrita e ao nível da Matemática, em
particular no que concerne ao raciocínio. No que se refere ao Estudo do
Meio todos os alunos revelam interesse pelos conteúdos abordados, embora
exista um pequeno grupo na turma que apresenta alguma dificuldade em
compreender e aplicar os mesmos. É necessária, portanto, uma maior
sistematização e a utilização de outros recursos como livros da biblioteca,
cartazes, Powerpoint, Trabalhos de Projeto, para além do manual para se
concretizarem mais as aprendizagens. Tendo em conta as estratégias de
superação das dificuldades identificadas na Avaliação Diagnóstica, foram
desenvolvidas várias atividades, de forma a serem ultrapassadas as
dificuldades enunciadas atrás.
Existiram na turma situações merecedoras de atenção especial, cinco alunos
abrangidos pelo decreto-lei 3/2008, beneficiando de adequações
curriculares, de apoio por parte de um professor de Educação Especial e de
atividades com tecnologias de apoio.
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Materiais
Com vista à implementação das atividades, foram construídas duas caixas,
em madeira, tendo cada uma, um mecanismo básico de engenharia. Na
figura 1 são apresentadas as caixas e os mecanismos.
Figura 1. Caixa com o mecanismo que roda.
Figura 2. Caixa com o mecanismo que salta.
Seguindo a metodologia proposta no projeto Clohe, na parte superior de
cada caixa, foram colocadas figuras, neste caso, fantoches que
representam personagens de diversas histórias.
As caixas e respetivos mecanismos e bonecos podem ver-se nas figuras 3 e 4.
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Figura 3. Imagens das caixas com os fantoches (à esquerda: o mecanismo que roda, à
direita: o mecanismo que salta).
Figura 4. À esquerda imagem do mecanismo que roda, à direita imagem do mecanismo
que salta.
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1ª Sessão
Descobrir as causas do movimento
Nesta atividade pretendiamos:
Familiarizar as crianças com os autómatos e com o seu movimento;
Explorar as suas expetativas em relação à tarefa;
Promover a capacidade de observação e registo;
Promover a reflexão sobre os possíveis mecanismos associados a esse
movimento;
Desenvolver a expressão escrita e a expressão gráfica.
A docente propôs à turma a participação no Projeto “Clohe Moving Toys in
the Classroom”. Num primeiro momento foram mostradas, à turma, as caixas
de madeira, não sendo dada a possibilidade de as crianças visualizarem os
mecanismos existentes no seu interior. Ou seja, as caixas foram mostradas tal
como aparecem na figura 2
Na primeira sessão estiveram presentes 13 crianças.
A docente começou por colocar a seguinte questão à turma: “Para que
servirão estas caixas?”
Os alunos apresentaram diferentes pensamentos:
“Vamos ver um teatro de fantoches”;
“Vamos ouvir uma história”;
“Se íamos fazer um teatro com os fantoches”;
“A professora vai pedir para fazermos um desenho dos fantoches”;
“Se íamos contar uma história aos colegas”.
Reflexão da professora: Este momento foi extremamente importante, uma
vez que, numa fase inicial, os alunos foram estimulados para a participação
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no projeto e para o desejo de aprender, sendo por isso um momento
favorável à sua motivação e participação das crianças no projeto.
De seguida, cada aluno registou individualmente o que observou, referindo
por que é que os fantoches se movimentaram, e fez uma ilustração relativa
ao que pensou, qual ou quais seriam os motivos daqueles se movimentarem
de determinada forma.
Relativamente à primeira questão, “O que observo?”, todos os alunos
responderam que observaram duas caixas de madeira.
Figura 5. Resposta da aluna B.R.
Figura 6. Resposta da aluna J.C.
Figura 7. Resposta do aluno J. F.
Figura 8. Resposta do aluno J. B.
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Figura 9. Resposta do aluno M. B.
Figura 10. Resposta da aluna M. H.
Figura 11. Resposta da aluna M. O.
Figura 12. Resposta da aluna M. F.
Figura 13. Resposta do aluno R. C.
Figura 14. Resposta do aluno R. S.
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Figura 15. Resposta da aluna R. M.
Figura 16. Resposta do aluno S. B.
Figura 17. Resposta do aluno V. P.
Na segunda questão, “Por que é que os fantoches se movimentam?”, as
respostas foram as mais diversas. Como já foi referido, só dois alunos é que,
numa fase inicial, viram o mecanismo que estava no interior das duas caixas,
os alunos R. C. e M.O., neste caso:
O aluno R. C. refere que o movimento é pela existência de um
mecanismo;
A aluna M. O. refere a existência de uma alavanca.
Algumas das respostas foram:
“Os fantoches movimentam-se porque é a alavanca que roda”. (aluna
B. R.);
“Os fantoches movimentam-se porque, quando rodam os bonecos
rodam e quando rodam os bonecos giram”. (aluno J. F.);
“A alavanca roda, porque tem uma roda atrás”. (aluno M.B.);
13
“Os fantoches movimentam-se quando uma pessoa ou criança gira
com a alavanca e assim os fantoches giram. Os fantoches giram
porque têm um quadrado com peças e a alavanca gira com a mão, e
assim os fantoches movimentam-se”. (aluna M.O.);
“Os fantoches movimentam-se, porque tem um mecanismo dentro das
caixas. É uma alavanca que faz movimentar os fantoches”. (aluno
R.C.);
“Os fantoches movimentam-se pelas manivelas. As manivelas têm que
acabar de dar uma volta para os fantoches se movimentarem”. (aluna
R.M.);
“Os fantoches movimentam-se com a alavanca que roda e os
fantoches rodam”. (aluno V.P.).
Respostas dos alunos relativamente à segunda questão.
Figura 18. Resposta da aluna B.R.
Figura 19. Resposta da aluna J.C.
Figura 20. Resposta do aluno J.F.
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Figura 21. Resposta do aluno J.B.
Figura 22. Resposta do aluno M.B.
Figura 23. Resposta da aluna M.H.
Figura 24. Resposta da aluna M.O.
Figura 25. Resposta da aluna M.F.
Figura 26. Resposta do aluno R.C.
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Figura 27. Resposta do aluno R.S.
Figura 28. Resposta da aluna R.M.
Figura 29. Resposta do aluno S.B.
Figura 30. Resposta do aluno V.P.
Analisando as respostas, verifica-se que os alunos, na sua maioria, referiram
que o movimento dos fantoches se devia a outros mecanismos, mecanismos
esses referidos por seis dos alunos como estando associado a uma alavanca.
De uma forma geral, os alunos utilizaram o termo alavanca, uma vez que,
anteriormente na área de Estudo do Meio tinham sido realizadas
experiências, com algumas alavancas e foi referida a sua importância na
realização de algumas tarefas.
Na terceira questão, “Os fantoches movimentam-se. Faz um desenho que
exemplifique qual ou quais os motivos de se movimentarem.”, os desenhos
foram os que a seguir se apresentam. À esquerda, os alunos desenharam o
mecanismo que roda e, à direita, o mecanismo que salta.
Os dois primeiros desenhos são os elaborados pelos alunos que visualizaram o
mecanismo, R.C. e M. O.
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Figura 31. Desenho e justificação do R. C.
Figura 32. Desenho e justificação da M. O.
Seguem-se os desenhos feitos pelos restantes alunos.
Figura 33. Desenho e justificação da B. R.
Figura 34. Desenho e justificação da J. C.
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Figura 35. Desenho e justificação da J. F.
Figura 36. Desenho e justificação do J. B.
Figura 37. Desenho e justificação do M. B.
Figura 38. Desenho e justificação da M.H.
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Figura 39. Desenho e justificação da M.F.
Figura 40. Desenho e justificação do R.S.
Figura 41. Desenho e justificação da R.M.
Figura 42. Desenho e justificação do S.B.
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Figura 43. Desenho do V.P.
Verifica-se que, na sua maioria, à semelhança do que tinha acontecido nas
respostas anteriores, os alunos representam a existência de um mecanismo
dentro das caixas. Apenas um dos desenhos não representa qualquer
mecanismo dentro das caixas.
Verifica-se também que na maioria apresentaram diferentes desenhos e
justificações para os dois tipos de movimento e que o mecanismo associado
à caixa 2 pode ser considerado mais complexo.
As explicações apresentadas pelos alunos foram:
- desenhos com uma, duas ou três rodas;
- desenhos com rodas retangulares ou circulares;
- desenhos com rodas dentadas.
É interessante constatar a diversidade de desenhos e de respostas para
justificar o movimento. Ou seja, as crianças têm diferentes conceções sobre
as causas ou origem do movimento, que se estendem provavelmente ao
movimento de outros objetos, por exemplo, de uma bicicleta, um carro, um
comboio, etc….
No entanto, os alunos, em geral, não conseguiram representar mentalmente
o mecanismo gerador dos movimentos visualizados.
Em síntese, e relativamente a esta sessão, em primeiro lugar os alunos
observaram os fantoches e o seu movimento, pensaram de forma aberta
sobre o fenómeno do movimento, refletiram qual ou quais seriam as causas
desse movimento, criando desenhos que exemplificassem as razões do
mesmo.
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Reflexão da docente: Ao imaginar e refletir sobre o funcionamento dos
mecanismos, ao produzir desenhos e justificações de como funcionavam
esses mesmos mecanismos, a turma desenvolveu competências de
observação, de representação mental, mas também competências
linguísticas e de comunicação. Descrever e explicar o que observaram
permitiu aos alunos melhorar a qualidade da escrita que produzem, sendo
esta uma oportunidade de os sensibilizar para aspetos de coerência e de
coesão dos textos.
No entanto, face à dificuldade em representar mentalmente os mecanismos
subjacentes ao movimento, será do maior interesse a construção de um
autómato e a experimentação do efeito de determinados mecanismos.
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2ª Sessão
Inventar histórias com o movimento e a arte
Esta atividade tinha como objetivos:
Cultivar o gosto pela escrita;
Desenvolver a escrita;
Estruturar um discurso escrito;
Num primeiro tempo, as crianças observaram e manipularam os fantoches
apresentados na aula anterior.
Figura 44. As crianças manipulando os fantoches
Figura 45. As crianças manipulando os fantoches
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Figura 46. As crianças manipulando os fantoches
De seguida, foi proposto que cada aluno individualmente inventasse uma
história em que entrassem os fantoches como personagens. As histórias
foram também redigidas de forma individual.
Figura 47. Escrita de uma história individual.
Figura 48. Alunos a inventarem histórias. Figura 49. Alunos a inventarem histórias.
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Foram elaborados 11 textos, apresentados em anexo 1 e intitulados:
“O escravelho carquelho e os amigos”;
“Os animais jovens”;
“A carochinha e a galinha”;
“Os animais bebés”;
“As invenções”;
“Os animais”;
“O urso, galinha e o alce”;
“O menino Fosca”;
“O escravelho mágico”;
“O panda bebé”;
“O escravelho, panda, a galinha e o veado”.
Breve análise das histórias:
Na história “O escravelho carquelho e os amigos”, escrita pela aluna B.R., a
personagem principal é o escravelho, que gostava de conhecer novos
amigos, mas surgiu-lhe um problema e os novos amigos ajudaram-no.
“Os animais jovens” história escrita pelo aluno F.G., as personagens são cinco
animais, irmãos e caracterizavam-se por serem muito reguilas. A mãe
habitualmente colocava-os de castigo, aplicando-lhes tarefas que
consistiam em limpar a casa durante um mês e tinham de construir uma casa
com tijolos. Os cinco irmãos construíram a casa com tijolos e tiveram um final
feliz.
Na história, “A carochinha e a galinha” escrita pela aluna J.C., a carochinha
fez um bolo. No dia seguinte, foi com a galinha dar um passeio e
encontraram um alce. Nessa noite ficaram os dois em casa da carochinha.
Na manhã seguinte, os animais foram embora sem avisar e a carochinha
ficou zangada.
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Em “Os animais bebés”, história escrita pelo aluno J.B., a galinha e o marido
tiveram dois filhos e o pai não sabia cuidar dos bebés. A galinha estava
aborrecida, no entanto o marido começou a conseguir ajudar e cuidar dos
filhos, o escravelho carpinteiro e o alce.
Na história “As invenções” escrita pela aluna M.O., a personagem principal é
o grilo Sarilo que descobriu uma flor azul com sementinhas castanhas e com
pintinhas pretas. Encontrou um menino que também já conhecia uma flor
com as mesmas características e ficaram admirados. Foram brincar no
parque. Depois construíram uma máquina do tempo, um microfone e uma
lâmpada e tiveram um final feliz.
“Os animais” história inventada pela aluna M.F., o menino, personagem
principal, foi ao pinhal e encontrou um alce e convidou-o para irem a uma
festa. No regresso a casa encontrou uma galinha e convidou-a para a festa.
O escravelho convidou o menino para irem a uma festa. No dia seguinte o
menino convidou o urso e foram todos à festa. No fim, todos casaram com
as respetivas fêmeas da mesma espécie.
Na história “O urso, galinha e o alce”, escrita pela aluna M.H., surge uma
discussão entre o urso e a galinha, em que o urso dizia que a galinha era feia
e a galinha por sua vez respondeu-lhe que ele tinha pêlo e ela tinha penas.
Não paravam com a discussão e o alce apareceu e disse-lhes que parassem
de discutir.
A história “O menino Fosca” escrita pelo aluno R.C. tem várias personagens,
o Panda, o coelho Farelho, a galinha Sarila e o grilo Lilo. Nesta história as
personagens juntaram-se para comer um bolo.
No “O escravelho mágico”, história escrita pela aluna R.G., a Pepa,
personagem principal, tinha uma galinha mágica. Só mais tarde é que a
Pepa descobriu que a galinha era mágica.
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“O panda bebé” uma história escrita pelo aluno Sérgio, que consiste no
desaparecimento do panda bebé, tendo sido este levado pelos caçadores
que andavam pela floresta. Começou a anoitecer e o panda bebé não
regressou ao local onde habitavam e a mãe começou a ficar preocupada.
Na história “O escravelho, panda, a galinha e o veado” escrita pelo aluno
V.P., os animais compraram gomas deliciosas.
Uma análise das histórias escritas pelos alunos, evidencia que estes
inventaram histórias em que os personagens são os fantoches que se
encontravam nas caixas. Alguns dos alunos atribuíram nomes às
personagens, outros inventaram histórias em que o final foi feliz, outros ainda
deram uma final menos feliz à história. No entanto é de referir que 3 alunos
revelaram dificuldade em terminar a história, sendo difícil compreender a
ideia que o aluno tinha para o texto.
Os temas das histórias envolvem os animais que se encontravam nas caixas,
centrando-se em temáticas como as relações interpessoais, em particular as
familiares e de amizade, os conflitos e a comunicação. O tema da
alimentação também referido, bem como o das características pessoais…
Reflexão da docente: Esta atividade exercitou funcionalmente a linguagem
oral e escrita nas suas várias funções: comunicativa, cognitiva,
metacognitiva, isto é, como instrumento de conhecimento.
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3ª Sessão
Recontar uma história de forma colaborativa
Esta atividade teve por objetivos:
Desenvolver a capacidade de análise de um texto;
Aperfeiçoar textos escritos pelos alunos;
Estimular os alunos para o aperfeiçoamento da linguagem escrita,
para que esta corresponda cada vez melhor àquilo que querem
comunicar;
Desenvolver a escrita colaborativa;
Enriquecer o texto com sugestões dos alunos.
Após a escrita individual das histórias, foi selecionada uma delas, “O menino
Fosca”, escrita pelo R.C.. Foi feito o seu aperfeiçoamento em grupo, com
toda a turma.
Apresenta-se a seguir a história original escrita pelo Rafael, antes do
aperfeiçoamento.
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Figura 50 – A história de R.
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Apresenta-se agora o texto resultante do processo de aperfeiçoamento feito
com toda a turma.
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Segundo a docente, esta atividade reforçou as competências desenvolvidas
na anterior, exercitando funcionalmente a linguagem oral e escrita nas suas
várias funções: comunicativa, cognitiva, metacognitiva, isto é, como
instrumento de conhecimento.
Permitiu melhorar a qualidade da escrita que produzem, sendo esta uma
oportunidade de os sensibilizar para aspetos de coerência e de coesão dos
textos
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Nesta sessão, foi pedido a cada aluno que inventasse um problema de
matemática, tendo como referência os autómatos observados nas sessões
anteriores. Foi-lhes também dito que teriam de resolver o problema e ilustrá-
lo de acordo com o enunciado.
Este tipo de atividade já é uma prática presente na sala de aula desde o
início do ano letivo. A ideia da escrita para aprender surge nos Estados
Unidos nos anos 80, a partir de um movimento de opinião designado por
“escrita através do curriculum” nascido em meados da década anterior.
Trata-se da escrita para aprender as diversas áreas do saber e tem vindo a
ser desenvolvida e aprofundada nos últimos anos.
A atividade de inventar um problema de matemática teve por objetivos o
desenvolvimento do raciocínio matemático, encorajar os alunos a pensar, a
questionar, a resolver problemas e a discutir as suas ideias, estratégias,
soluções, sendo o erro encarado de uma forma positiva e não como objeto
de críticas ou de sanções.
Foram formulados 9 problemas que são a seguir apresentados, sendo
desenvolvida uma análise das características de cada um dos problemas.
4ª Sessão
Inventar problemas com o movimento e a arte
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Problema 1
Figura 51 Problema da B.R.: “O João foi às compras”.
Tal como está formulado é um problema aberto pois permite diferentes
processos de resolução e diferentes respostas certas. Os processos de
resolução podiam ser o desenho, a tabela de dupla entrada, um esquema,
ou uma explicação escrita (em português). As respostas certas possíveis
(considerando que o João pretendia gastar os 50€ - pois ainda podíamos
considerar outras possibilidades) são 11.
Uma possibilidade de resposta, considerando os pressupostos anteriores, é a
seguinte:
Coelhos Galinhas
Resolução de
cada hipótese
de solução
Total gasto em
€
Nº
de
anim
ais
par
a ca
da
hip
óte
se
0 10 0×5+10×5 50
1 9 1×5+9×5 50
2 8 2×5+8×5 50
3 7 3×5+7×5 50
4 6 4×5+6×5 50
5 5 5×5+5×5 50
6 4 6×5+4×5 50
7 3 7×5+3×5 50
8 2 8×5+2×5 50
9 1 9×5+1×5 50
10 0 10×5+0×5 50
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Neste problema, tendo em conta a resolução apresentada pelo aluno,
parece claro que a sua intenção não era formular um problema aberto, o
que nos leva a pensar na dificuldade em expressar por escrito a ideia que
tinha. Talvez a professora pudesse ter aproveitado o enunciado para
explorar as diferentes possibilidades de resposta, estendendo este trabalho a
toda a turma, apelando ao desenvolvimento do espírito crítico e à
capacidade de reflexão (além do desenvolvimento do raciocínio
matemático).
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Problema 2
Figura 52. Problema do J.B.: “A caixa”.
Tal como o aluno o enunciou trata-se de um problema aberto. O facto de o
aluno não ter referido que em cada caixa devia ficar o mesmo número de
fantoches permite a exploração /descoberta de muitas respostas certas.
Para isso o aluno podia ter usado um esquema, ou um texto, ou ainda uma
tabela. No entanto, e tendo em conta o modo como o aluno resolveu o
problema, fica claro que o que ele pretendia era formular um problema de
cálculo de um passo. Parece que o que ele queria escrever era qualquer
coisa como:
“O Manuel pretende distribuir 90 fantoches por 5 caixas de modo que cada
caixa fique com o mesmo número de fantoches. Quantos fantoches ficarão
em cada caixa?”
Assim, este problema era um problema de cálculo, apenas de um passo,
pois bastava aplicar uma operação (a divisão) aos dados do problema para
o resolver.
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Problema 3
Figura 53. Problema da M.H.: “Caixas com fantoches”.
Trata-se de um problema de cálculo de mais do que um passo. A aluna
decidiu as operações a aplicar aos dados do problema. A primeira
pretendia determinar o número total de fantoches (1º passo) e a segunda
pretendia determinar o número de fantoches a colocar em cada uma das 3
caixas (2º passo). A aluna utilizou o desenho e a multiplicação (talvez o
cálculo mental de 10×6, evidenciado pelo desenho da situação).
Neste problema a resolução apresentada pelo aluno dá resposta ao
enunciado formulado.
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Problema 4
Figura 54. Problema da M.O.: “Fantoches”.
Trata-se de um problema de cálculo de um passo. Este problema foi
resolvido pela aluna sem recurso a qualquer estratégia que demonstre o
raciocínio que efetuou. Podia ter usado um diagrama, por exemplo.
Forneceu a resposta com recurso às frações no seu sentido/significado parte-
todo.
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Problema 5
Figura 55. Problema da M.F.: “Animais domésticos”.
Trata-se de um problema de cálculo de mais de um passo (nas duas alíneas),
pois independentemente das estratégias usadas (podiam ser apenas as
operações), cada alínea admite apenas uma resposta correta.
O aluno utiliza a representação horizontal da adição e também o desenho
como estratégia de resolução. É de notar que, em ambas as alíneas, o aluno
não sente necessidade de explicar o segundo passo. Este facto merece ser
trabalhado com o intuito de melhorar a comunicação do raciocínio
efetuado.
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Problema 6
Figura 56. Problema da M.F.: “A prenda”.
Este problema pode ser considerado como um problema de cálculo que se
resolve em 3 passos. O primeiro passo é o cálculo do perímetro de uma das
faces (2×24+2×25) e o outro é o cálculo do perímetro da outra face
(2×20+2×25). O terceiro passo será adicionar os dois perímetros e ainda os
15cm necessários para o laço e dar resposta.
Mas, para os alunos que ainda não sabem calcular o perímetro de um
retângulo, este problema é mais desafiante, exigindo mais esforço e
criatividade para o resolver. Neste sentido, e para este aluno em particular
(tendo em conta o relato da professora e também os registos do aluno),
podemos considerar que este problema foi um problema de processo. Neste
caso, o aluno não foi capaz de resolver o problema apenas selecionando a
operação (ou operações) apropriadas. Teve de recorrer à estratégia do fio
de lã para compreender as medidas que precisava adicionar.
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Problema 7
Figura 57. Problema do R.S.: “A loja dos animais”.
Trata-se de um problema de cálculo com mais de um passo. Admite apenas
uma resposta certa e diferentes estratégias de resolução, sendo que é
possível decidir qual a operação a aplicar aos dados do problema para o
resolver.
Neste caso o passo que permite perceber que o Rui não tinha dinheiro
suficiente para comprar os 2 pássaros e os 3 coelhos não foi explicado pelo
aluno. Pensamos que seria enriquecedor promover uma discussão sobre isto,
de modo a permitir ao aluno melhorar a sua comunicação matemática.
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Problema 8
Figura 58. Problema da R.M.: “Caixas pequenas e grandes”.
A aluna R.M. no enunciado do problema indicou a quantidade de caixas
que pretendiam comprar, estabeleceu um valor em euros para a caixa
pequena e outro para a caixa grande. A aluna utilizou papel quadriculado e
régua para desenhar os cubos necessitando de ajuda numa fase inicial.
Após os desenhos feitos legendou as imagens e colocou o respetivo preço
na parte inferior de cada desenho.
Trata-se de um problema de cálculo com mais do que um passo.
A aluna ao utilizar o algoritmo da multiplicação, trocou as quantidades com
o valor em euros, isto é, para calcular o valor gasto na compra de 10 caixas
pequenas utilizou a operação 8 x 8 em vez de 10 x 8. Para calcular valor em
euros das caixas grandes, utilizou 12,50 x 10 em vez de 8 x 12,50. Esta troca
não levou a aluna a encontrar uma resposta correta, no entanto a aluna
utilizou a operação correta para resolver o problema.
40
Problema 9
Figura 59. Problema do S.B.: “Caixas”.
O primeiro problema que o S.B. inventou, foi sem dúvida devido à influência
do último conteúdo dado na fase final do ano letivo (horas, minutos e
segundos).
O aluno estabeleceu que uma volta demora 5 segundos, perguntando
quanto tempo demora o mecanismo a dar 4 voltas e 12 voltas. Para
responder a estas questões o aluno recorre ao algoritmo da multiplicação: 4
voltas: 4 x 5 = 20; 5 voltas: 12 x 5 = 60, concluindo o tempo para cada número
de voltas. Como as 12 voltas correspondem a 60 segundos o aluno colocou,
“60 segundos ou 1 minuto”.
Relativamente ao segundo problema, utilizou unidades de massa,
considerou que a caixa tem 10 rodas de madeira em que cada roda pesa
15 gramas. Utilizou o algoritmo da multiplicação para responder à questão
do problema.
Cada alínea é um problema de cálculo de um passo.
41
Os alunos formularam diferentes tipos de problemas, problemas relacionados
com dinheiro, com a distribuição de determinada quantidade, com frações,
com unidades de medida (de massa, de comprimento, de tempo).
Relativamente ao tipo de problemas inventados, verifica-se que foram
formulados tanto problemas abertos como problemas fechados.1
Na resolução desses problemas, os alunos utilizaram diferentes estratégias
como desenhos, tabelas, algoritmos, cálculo mental, a utilização de uma
escala, retas numéricas, régua, fios de lã para concretizar uma medida.
Os problemas inventados pelos alunos estão relacionados com diversos
conteúdos do Programa de Matemática do 1º ciclo do Ensino Básico e
permitiram uma dinâmica na sala de aula, estimulante e potenciadora da
apropriação de linguagem matemática.
Alguns alunos revelaram dificuldades na resolução dos problemas que
formularam, nomeadamente no percurso a seguir de forma a chegar a uma
resposta correta. Estas dificuldades permitiram uma análise das reais
dificuldades do grupo, permitindo posteriormente em grupo analisar os
enunciados e identificar alguns erros cometidos nas resoluções
apresentadas.
1 Há várias tipologias de classificação de problemas matemáticos. Tendo em conta o ciclo
de ensino, opta-se por uma classificação simples que consta da brochura “A Experiência
Matemática no Ensino Básico” (Boavida, A., Paiva, A. et al (2008). Lisboa: ME-DGIDC,
disponível em http://area.dgidc.min-
edu.pt/materiais_NPMEB/005_Brochura_experiencia_matematica.pdf). Esta classificação
considera apenas problemas de cálculo, problemas de processo e problemas abertos.
Problemas de Cálculo: São os que requerem decisões quanto à operação ou operações a
aplicar aos dados apresentados. Depois de lido e interpretado o problema os alunos
decidem qual ou quais as operações que consideram adequadas para aplicar aos dados.
Podem diferenciar-se problemas de um passo ou de mais de um passo.
Problemas de Processo: Estes problemas diferem dos de cálculo porque não podem ser
resolvidos apenas por seleção da(s) operação(ões) apropriada(s). Em geral estão inseridos
em contextos mais complexos e requerem um maior esforço para compreender a
matemática necessária para chegar à solução, uma vez que tem de se recorrer a
estratégias de resolução mais criativas para descobrir o caminho a seguir. Requerem
persistência, pensamento flexível e uma boa dose de organização.
Problemas Abertos ou Investigações: Estes problemas podem ter mais do que um caminho
para chegar à solução e mais do que uma resposta correta. Para os resolverem, os alunos
têm de fazer explorações para descobrir regularidades e formular conjeturas, apelando, por
isso ao desenvolvimento do raciocínio, do espírito crítico e da capacidade de reflexão.
42
43
Considerando a análise dos problemas formulados pelos alunos como uma
oportunidade de avaliação formativa e reguladora do processo de ensino e
aprendizagem, há três perspetivas que merecem a nossa atenção:
1ª) A resolução apresentada pelo aluno tendo em conta o modo como
pensou elaborar o problema, mas não como o redigiu (uma vez que fica
claro, através das resoluções apresentadas, que alguns alunos redigiram um
enunciado que não corresponde à sua intenção);
2ª) O que o aluno devia ter feito, como devia ter resolvido o problema, tendo
em conta o enunciado redigido;
3ª) O que o aluno fez, como resolveu o problema, tendo em conta o
enunciado que escreveu (e não aquele que se percebe que gostaria de ter
escrito).
A tabela que se segue foi construída de acordo com a terceira perspetiva, a
real, constituindo as outras duas um ponto de partida para o trabalho a
desenvolver na sala de aula, com o intuito de superar as dificuldades
evidenciadas pelos alunos.
Enunciado Contexto Intervenientes
Operação
necessária
/acção
Recurso
ao
desenho
Tipo de
problema
Problema 1
1. O Joao foi às compras.
O João tinha 50 euros.
Cada galinha e cada
coelho custavam 5 euros.
Quantas galinhas e
coelhos podiam comprar
na loja do Sr. António?
Ir às
compras.
Gerir o
dinheiro
Menino
Animais
Multiplicação e
adição
Sim.
Podia ter
usado:
Tabela;
texto
escrito;
esquema
Aberto
Problema 2
2. O Manel pretende
distribuir 90 fantoches
por cinco caixas.
Quantos fantoches ficam
em cada caixa?
Distribuir Menino
Fantoches
Caixas
Divisão
Apenas
para
embelezar
a resolução
Aberto
Problema 3
3. Os fantoches
Um professor tem 10
caixas, cada caixa tem 6
fantoches. Pretende
arrumá-los de igual
forma em 3 caixas.
Quantos fantoches ficam
em cada caixa?
Distribuição
equitativa
Fantoches
Caixas
Multiplicação
Sim. Cálculo de 2
passos.
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Enunciado Contexto Intervenientes
Operação
necessária
/acção
Recurso
ao
desenho
Tipo de
problema
Problema 4
4. Os fantoches
A Inês tem uma caixa
com 4 fantoches: uma
galinha, um grilo, um
menino e um coelho.
Que fração representa os
insetos?
a) Que fração
representa os animais
que têm penas?
b) Que fração representa
os animais com penas
c)Que fração representa
os mamíferos?
Partes de um
todo (a
unidade/todo
é um
conjunto de
4 animais)
Fantoches
Caixas
Fracções no
sentido parte-
todo
Não. Cálculo de 1
passo
Problema 5
5. Animas domésticos
Preço de cada galinha e
de cada coelho: 5 euros.
O João tem 50 euros.
Quantas galinhas poderá
comprar com este
dinheiro?”
A Joana afirma: “Se o
João comprar uma
galinha e dois coelhos,
serão um total de 12
patas. A Joana tem
razão?
Comprar;
gerir
dinheiro
Animais
Adição/Cálculo
mental
Sim.
Cálculo de 2
passos.
Problema 6
6. A Prenda
O João pretende usar
fita para colocar na
prenda. A caixa tem a
medida que está na
figura.
Comprimento=24cm;
Altura=25cm.
Largura=20cm
Quantos cm de fita o
João vai precisar para
colocar à volta da
prenda, sabendo que
para o laço vai precisar
de 15 cm.
Situação
real,
envolvendo
medidas de
comprimento
Caixas e fita
Adição
Diferentes
estratégias
Dificuldades
Sim. Cálculo de 3
passos (ou
mais de 1
passo)
Problema 7
7. Lojas de animais
O Rui tem 50 euros e
quer comprar 2 pássaros
e 3 coelhos. O pássaro
custa 10 euros e o coelho
custa 12, Será que o Rui
tem dinheiro suficiente?
Comprar;
gerir
dinheiro
Animais
Recurso ao
desenho;
Adição com
recurso à reta
numérica (saltos
de 10 em 10)
Sim. Cálculo com
mais de 1
passo
45
Enunciado Contexto Intervenientes
Operação
necessária
/acção
Recurso
ao
desenho
Tipo de
problema
Problema 8
8. Caixas pequenas e
grandes
O Raul que é educador
num JI pretende
comprar 10 caixas
pequenas e 8 grandes.
Quanto vai gastar para
as comprar? Caixa
pequena=8euros, Caixa
grande=12.5
Calcular
com euros
Caixas
Multiplicação
Adição
Sim, mas
apenas
para
ilustrar o
problema
(não como
estratégia
de
resolução)
Cálculo com
mais do que
um passo.
Nota:
certamente
que por
distração a
aluna não
resolveu
corretamente
o problema.
Problema 9
9. Caixas
Sabendo que uma volta
demora 5 segundos.
Quanto tempo demora a
dar 4 voltas? Quanto
tempo demora a dar 12
voltas? A caixa precisa
de 10 rodas de madeira.
Cada roda pesa 15g.
Quanto pesa a caixa?
Unidades de
medida de
tempo e de
massa;
movimento
produzido
por
mecanismos
Caixas
mecanismos
Multiplicação
(raciocínio
proporcional);
Sim, apenas
para
ilustrar.
Cálculo de
um passo
(cada uma
das alíneas).
46
O trabalho com os autómatos e a formulação de
problemas
A ligação entre o trabalho realizado com os autómatos e a formulação de
problemas pelos alunos no estudo Minipiloto não foi estudada com nenhum
instrumento de mediada (questionário aos alunos, por exemplo). No entanto,
constatámos que os nove problemas formulados pelos alunos têm uma
característica em comum, os diferentes elementos que constam dos
autómatos e posteriormente da história construída pelos alunos, em grupo,
partindo dos autómatos e dos bonecos que o constituem. Este aspeto pode
evidenciar que os autómatos e a sua manipulação/uso podem ter criado
um contexto de trabalho agradável, rico, significativo para os alunos, no
sentido de proporcionar boas experiências e por consequência potenciar
melhores aprendizagens.
É de notar que alguns alunos escolheram como cenário para o problema
que formularam a caixa (ou caixas) e também os mecanismos (apenas 1),
relacionadas de forma inequívoca com os autómatos (uma vez que a
professora da turma estimulou os alunos a formularem conjeturas sobre o
conteúdo das caixas).
Pensamos que com a realização deste trabalho um aspeto ficou claro:
apesar da reduzida exploração do mecanismo e ausência da construção
do autómato, esta professora conseguiu integrá-lo muito bem na sua prática
letiva, criando um bom contexto de aprendizagem e produtos que permitem
uma avaliação reguladora do processo de aprendizagem (a análise dos
problemas elaborados pelos alunos, dificuldades sentidas na construção dos
enunciados e também nas respetivas resoluções).
47
O que disseram as crianças?
Depois de desenvolvido com os alunos o trabalho com os autómatos,
solicitou-se às crianças que respondessem ao questionário que a seguir se
mostra. Pretendíamos avaliar o grau de interesse, utilidade e ainda a
perceção das crianças em relação às competências desenvolvidas com as
atividades. Os resultados são os que se podem ver no questionário abaixo.
GOSTEI MUITO DE FAZER
ESTA ATIVIDADE
13
ESTA ATIVIDADE FOI
MUITO DIVERTIDA
1 12
FIZ ESTA ATIVIDADE
PORQUE QUIS
5 8
ACHO QUE FAÇO BEM ESTA
ATIVIDADE
8 5
ESTA ATIVIDADE FOI MUITO
ÚTIL PARA MIM
4 9
GOSTEI DE FAZER ESTA
ATIVIDADE POR QUE…
Inventámos histórias, problemas de matemática, ilustrámos como imaginámos que as caixas funcionam, foi muito divertido.
COM ESTA ATIVIDADE
APRENDI SOBRETUDO
Aprendi:
Como funcionam as caixas;
A fazer problemas de matemática com fantoches;
A inventar textos relacionados com fantoches;
A manobrar fantoches;
A imaginar como os mecanismos funcionam.
POSSO DAR UM EXEMPLO DO
QUE APRENDI COM ESTA
ATIVIDADE
Inventámos histórias, aprender a escrever melhor, inventámos problemas de matemática relacionados com os mecanismos, como as caixas funcionam. A mexer em fantoches, a imaginar como as caixas funcionam. Aprendi que a partir de duas caixas se podem fazer muitas coisas.
NÃO ME LEMBRO MUITO BEM
DO QUE APRENDI COM ESTA
ATIVIDADE PORQUE…
Os alunos nesta questão não deram resposta.
48
Reflexão da docente
As atividades de formulação e resolução de problemas proporcionam
oportunidades de consolidar e ampliar os conhecimentos, estimulando para
a aprendizagem da Matemática. Neste tipo de tarefa é fundamental a
orientação do professor, para ajudar os alunos a explicitarem os seus
raciocínios, a descreverem os percursos que utilizaram, a trabalhar o sentido
do que escreveram articulando os problemas com a linguagem específica
da Matemática.
Ao trabalhar com os alunos os problemas que eles elaboraram, discutindo,
comparando e registando, estes vão-se apropriando dos conceitos de forma
a melhor compreendê-los. Os alunos verificaram que determinado
enunciado necessita de uma linguagem mais adequada, consequente,
tomando consciência de que a escrita facilita, constrói, desenvolve
diferentes formas de pensar nas aprendizagens em Matemática.
Inventar problemas para aprender matemática proporcionou o
desenvolvimento do raciocínio matemático, encorajou os alunos a pensar, a
questionar, a resolver problemas e a discutir as suas ideias, estratégias,
soluções e onde o erro é encarado duma forma positiva e não como objeto
de críticas ou de sanções.
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5ª e 6ª Sessões
Construir um autómato
Durante estas duas sessões, os alunos construíram um autómato, com base
na história do Menino Fosca, escrita por R. mas aperfeiçoada de forma
colaborativa durante a 3ª sessão.
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51
Reflexão final feita pela docente da turma
Desde o primeiro momento os alunos mostraram interesse, empenho em
todas as tarefas relacionadas com o projeto. No final do ano letivo,
questionei os alunos relativamente às opiniões que tinham no que refere ao
Projeto Clohe, os alunos consideraram um projeto muito interessante,
gostaram de participar e mostraram interesse em continuar a desenvolver
atividades relacionadas com o projeto no próximo ano letivo.
Pontos fortes: Motivação e envolvimento dos alunos, desenvolvimento de
várias competências do currículo, tanto das áreas específicas como da
Língua Portuguesa. Nomeadamente, competências de escrita, de
argumentação, de representação gráfica, construção de um pensamento
mais estruturado, domínio da linguagem matemática, capacidade de
pensar matematicamente, de comunicar, de interagir, de partilhar.
Desenvolve a criatividade: a partir da mesma situação inicial, os alunos
produziram histórias e problemas diferentes.
Pontos fracos: As atividades realizadas necessitam de muito tempo para a
sua concretização.
Oportunidades: Explorar o desenvolvimento de conceitos específicos de
Matemática, de Estudo do Meio e de Língua Portuguesa com base nos
Autómatos.
Favorece a interdisciplinaridade, uma vez que, os alunos utilizaram e
relacionaram conceitos das áreas de Língua Portuguesa, Matemática,
Estudo do Meio e Expressão Plástica.
Constrangimentos: Não foram registados constrangimentos.
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Reflexão final
A utilização dos Autómato em contexto de ensino tem bastantes
potencialidades.
A ligação ao currículo parece mais imediata no âmbito da Língua
Portuguesa ou outras línguas , uma vez que pode ser o motivo ou a base em
torno do qual se podem desenvolver atividades de expressão escrita e oral.
A ligação a outras áreas pode surgir neste contexto, como foi evidente no
caso da história do Menino Fosca.
A formulação de problemas de matemática permitiu relacionar a língua
portuguesa com esta ciência, num contexto lúdico, comum a todos os
alunos, e evidenciou o modo como estas duas áreas estão intimamente
relacionadas (embora este facto nem sempre seja claro para a maioria dos
alunos). Na verdade trata-se de traduzir por palavras, escritas, uma ideia, um
raciocínio.
Muitos outros temas do programa da disciplina de Matemática do 1º ciclo
do ensino básico podiam ter sido explorados neste trabalho.
Consideramos que a ligação do trabalho com os autómatos à matemática
deverá ser mais explorada.
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