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Técnicas de Visualização para DadosMultivariados
SCC5836 – Visualização Computacional
Prof. Fernando V. Paulovichhttp://www.icmc.usp.br/~paulovic
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC)Universidade de São Paulo (USP)
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Introdução
Técnicas que serão discutidas servem para a visualização delistas e tabelas de dados que não apresentam atributoespacial
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Técnicas baseadas em Ponto
Visualizações baseados em pontos são projeções de instânciasm-dimensionais para pontos em um espaço visualp-dimensional
Um glifo é associado a cada ponto p-dimensional
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Scatterplots ou Matrizes de Scatterplots
Scatterplots são as visualização mais comuns, mas conforme adimensionalidade aumenta, é preciso buscar estratégiasalternativas
Escolha das dimensões: manualmente ou por algum algoritmoRedução do número de dimensões: usando técnicas como PCAIncorporação das dimensões: mapear outras dimensões paraatributos gráficosMúltiplos displays: mostrar usando sobreposição ou justaposição
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Scatterplots ou Matrizes de Scatterplots
Scatterplots são as visualização mais comuns, mas conforme adimensionalidade aumenta, é preciso buscar estratégiasalternativas
Escolha das dimensões: manualmente ou por algum algoritmo
Redução do número de dimensões: usando técnicas como PCAIncorporação das dimensões: mapear outras dimensões paraatributos gráficosMúltiplos displays: mostrar usando sobreposição ou justaposição
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Scatterplots ou Matrizes de Scatterplots
Scatterplots são as visualização mais comuns, mas conforme adimensionalidade aumenta, é preciso buscar estratégiasalternativas
Escolha das dimensões: manualmente ou por algum algoritmoRedução do número de dimensões: usando técnicas como PCA
Incorporação das dimensões: mapear outras dimensões paraatributos gráficosMúltiplos displays: mostrar usando sobreposição ou justaposição
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Scatterplots ou Matrizes de Scatterplots
Scatterplots são as visualização mais comuns, mas conforme adimensionalidade aumenta, é preciso buscar estratégiasalternativas
Escolha das dimensões: manualmente ou por algum algoritmoRedução do número de dimensões: usando técnicas como PCAIncorporação das dimensões: mapear outras dimensões paraatributos gráficos
Múltiplos displays: mostrar usando sobreposição ou justaposição
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Scatterplots ou Matrizes de Scatterplots
Scatterplots são as visualização mais comuns, mas conforme adimensionalidade aumenta, é preciso buscar estratégiasalternativas
Escolha das dimensões: manualmente ou por algum algoritmoRedução do número de dimensões: usando técnicas como PCAIncorporação das dimensões: mapear outras dimensões paraatributos gráficosMúltiplos displays: mostrar usando sobreposição ou justaposição
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Scatterplots ou Matrizes de Scatterplots
Matriz de scatterplots define uma grade de m2 células, sendo mo número de dimensões
Figura: Pontos em vermelho são instâncias selecionadas.
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Projeção Multidimensional
O princípio dos métodos de projeção é tentar preservar noespaço projetado p-dimensional as relações presentes noespaço m-dimensional original
Por exemplo, relações de similaridades, distâncias,vizinhanças, etc.
Se p = 2 o resultado é um conjunto de pontos no planoPontos próximos indicam instâncias relacionadas, pontos distantesindicam instâncias não-relacionadas
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Projeção Multidimensional
O princípio dos métodos de projeção é tentar preservar noespaço projetado p-dimensional as relações presentes noespaço m-dimensional original
Por exemplo, relações de similaridades, distâncias,vizinhanças, etc.
Se p = 2 o resultado é um conjunto de pontos no planoPontos próximos indicam instâncias relacionadas, pontos distantesindicam instâncias não-relacionadas
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Projeção Multidimensional baseada em Distância
δ : xi,xj→ R,xi,xj ∈ X
d : yi,yj→ R,yi,yj ∈ Y
f : X→ Y, |δ (xi,xj)−d(f (xi), f (xj))| ≈ 0,∀xi,xj ∈ X
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Projeção Multidimensional baseada em Distância
δ : xi,xj→ R,xi,xj ∈ X
d : yi,yj→ R,yi,yj ∈ Y
f : X→ Y, |δ (xi,xj)−d(f (xi), f (xj))| ≈ 0,∀xi,xj ∈ X
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Projeção Multidimensional baseada em Distância
δ : xi,xj→ R,xi,xj ∈ X
d : yi,yj→ R,yi,yj ∈ Y
f : X→ Y, |δ (xi,xj)−d(f (xi), f (xj))| ≈ 0,∀xi,xj ∈ X
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Projeção Multidimensional baseada em Distância
δ : xi,xj→ R,xi,xj ∈ X
d : yi,yj→ R,yi,yj ∈ Y
f : X→ Y, |δ (xi,xj)−d(f (xi), f (xj))| ≈ 0,∀xi,xj ∈ X
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Projeção Multidimensional
IDH/ONU de 2006 (http://hdr.undp.org/hdr2006/statistics/)(http://hdr.undp.org/en/data)
http://infoserver.lcad.icmc.usp.br/
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Projeção Multidimensional
Símbolo SignificadoX conjunto de objetos no espaço original m-dimensional.m dimensionalidade do espaço original.xi i-ésimo objeto no espaço original. Quando esse admite
uma representação vetorial, suas coordenadas são dadaspor xi = (xi1,xi2, . . . ,xim).
Y conjunto de pontos no espaço projetado p-dimensional.p dimensionalidade do espaço projetado.yi i-ésimo ponto do espaço projetado. Quando esse admite
uma representação vetorial, suas coordenadas são dadaspor yi = (yi1,yi2, . . . ,yip).
n número de objetos no espaço original e de pontos no pro-jetado.
δ (xi,xj) dissimilaridade entre os objetos i e j no espaço original.d(yi,yj) distância entre os pontos i e j no espaço projetado.
Tabela: Símbolos mais frequentes e seus significados.
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Projeção Multidimensional
Podemos categorizar as técnicas de projeção nos seguintesgrupos
Técnicas baseadas em força (Force-Direct Placement (FDP))Técnicas de decomposição espectralTécnicas de redução de dimensionalidade
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Projeção Multidimensional
Podemos categorizar as técnicas de projeção nos seguintesgrupos
Técnicas baseadas em força (Force-Direct Placement (FDP))
Técnicas de decomposição espectralTécnicas de redução de dimensionalidade
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Projeção Multidimensional
Podemos categorizar as técnicas de projeção nos seguintesgrupos
Técnicas baseadas em força (Force-Direct Placement (FDP))Técnicas de decomposição espectral
Técnicas de redução de dimensionalidade
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Projeção Multidimensional
Podemos categorizar as técnicas de projeção nos seguintesgrupos
Técnicas baseadas em força (Force-Direct Placement (FDP))Técnicas de decomposição espectralTécnicas de redução de dimensionalidade
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Técnicas baseadas em Força
As técnicas de projeção baseadas no Modelo de Molas são asmais simples
Tentam levar um sistema de objetos conectados por molas a umestado de equilíbrioSistema iterativo que, a partir de uma configuração inicial atualizaas forças associadas às molas para puxar ou empurrar os objetosaté atingir uma posição de equilíbrioAs forças no sistema são calculadas proporcionais à diferençaentre as dissimilaridades δ (xi,xj) e as distâncias d(yi,yj)
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Modelo de Molas
Os objetos são modelados como partículas ponto-massaligadas entre si por meio de molas
Conjunto de partículas está sujeito às leis de Newton
f = m×a (1)
Resolve-se um sistema de equação diferenciais ordinárias desegunda ordem. Problema: o custo computacional é alto, O(n2) acada iteração {
v′ = a = f/mp′ = v (2)
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Modelo de Molas
Os objetos são modelados como partículas ponto-massaligadas entre si por meio de molas
Conjunto de partículas está sujeito às leis de Newton
f = m×a (1)
Resolve-se um sistema de equação diferenciais ordinárias desegunda ordem. Problema: o custo computacional é alto, O(n2) acada iteração {
v′ = a = f/mp′ = v (2)
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Force Scheme
Force Scheme [Tejada et al., 2003] é uma outra abordagem,mas ainda com custo computacional alto, O(n2)
1: para iter=1 até k faça2: para todo yi ∈ Y faça3: para todo yj ∈ Y com yj 6= yi faça4: Calcular −→v como sendo o vetor de yi para yj5: Mover yj em direção de −→v uma fração de ∆
6: fim para7: fim para8: Normalizar as coordenadas da projeção no intervalo [0,1] em
ambas as dimensões9: fim para
∆ =δ (xi,xj)−δmin
δmax−δmin−d(yi,yj) (3)
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Sammon’s Mapping
A Sammon’s Mapping [Sammon, 1969] minimiza uma funçãode perda usando o método de gradientes descendentes
S =1
∑i<j δ (xi,xj)∑i<j
(d(yi,yj)−δ (xi,xj))2
δ (xi,xj)(4)
A m-ésima iteração desse método é definida como
ypq(m+1) = ypq(m)−MF×∆pq(m) (5)
Onde ypq denota a coordenada q do ponto p e
∆pq(m) =∂S(m)
∂ypq(m)
/∣∣∣∣∣ ∂ 2S(m)
∂y2pq(m)
∣∣∣∣∣ (6)
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Aproximação de Pekalska
A técnica de Sammon’s Mapping é O(n3). A fim de reduzir essacomplexidade, Pekalska et al [Pekalska et al., 1999] definiramuma abordagem em que apenas uma amostra inicial dos pontosé projetada, e as posições dos demais elementos sãointerpoladas a partir do posicionamento dos pontos projetados.
Para essa interpolação, o operador V é encontrado resolvendo osistema linear
D×V = Y
onde D é a matriz de distâncias δ (xi,xj) entre os elementos daamostra e Y é a projeção da amostra
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Classical Scaling (MDS)
A Classical Scaling (MDS) [Borg and Groenen, 2005] foi umadas primeiras técnicas de projeção (definida em 1930)
Sejam xi (i = 1, . . . ,n) as coordenadas de n pontos em umespaço Euclideano m-dimensional, onde xi = (xi1, . . . ,xim)
T , eseja B a matrix do produto interno entre vetores,
[B]ij = bij = xTi xj
Com distância Euclideana entre os pontos i e j dada por
δ̂ (xi,xj)2 = (xi−xj)
T(xi−xj) (7)
A partir de uma matriz da distâncias (δ̂ (xi,xj)2), encontra a
matriz do produto interno B, e a partir de B calcula ascoordenadas dos pontos
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Classical Scaling (MDS)
A matrix B pode ser reescrita como
B =−12
HAH (8)
A é a matrix [A]ij = aij = δ̂ (xi,xj)2
H é a matrix de centragem
Usando decomposição espectral, B pode ser reescrita como
B = VΛVT
Como B = XXT , a matrix de coordenadas X é dada por
X = V1Λ− 1
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Técnicas de Redução de Dimensionalidade
Definição
Técnicas para redução de dimensionalidade buscam encontraruma representação em um espaço de menor dimensão quecapture o conteúdo original dos dados segundo algum critério
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Principal Component Analysis (PCA)
PCA [Jolliffe, 1986] é uma das técnicas de redução dedimensionalidade mais utilizadas
Consegue capturar a maior parte da variabilidade com poucasdimensõesElimina grande parte do “ruído” existente, etc.
Primeiro é criada a matriz de covariância Cm×m dos atributosEm seguida obtém a decomposição espectral, encontrando
C = UAUT (9)
Por fim é obtido o espaço reduzido fazendo
S = X× [u1,u2, ...,up] (10)
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Principal Component Analysis (PCA)
PCA [Jolliffe, 1986] é uma das técnicas de redução dedimensionalidade mais utilizadas
Consegue capturar a maior parte da variabilidade com poucasdimensõesElimina grande parte do “ruído” existente, etc.
Primeiro é criada a matriz de covariância Cm×m dos atributosEm seguida obtém a decomposição espectral, encontrando
C = UAUT (9)
Por fim é obtido o espaço reduzido fazendo
S = X× [u1,u2, ...,up] (10)
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Least-Square Projection (LSP)
Na Least-Square Projection (LSP) [Paulovich et al., 2008]primeiro é selecionada uma amostra das instânciasmultidimensionais, chamados de “pontos de controle”. Essespontos são projetados em um espaço Rp
Para cada objeto é definido um conjunto de vizinhos no Rm.Fazendo uso das relações de vizinhança definidas no Rm éconstruído um sistema linear cuja solução é uma projeção dasinstâncias restantes no fecho convexo de seus respectivos kvizinhos mais próximos
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Least-Square Projection (LSP)
Seja Vi = {pi1 , . . . ,piki} um conjunto de ki pontos em uma
vizinhança de um ponto pi e p̃i sejam as coordenadas de pi noRd
Suponha que as coordenadas p̃i sejam dadas pela seguinteequação
p̃i−∑pj∈Vi αijp̃j = 0
0≤ αij ≤ 1; ∑αij = 1(11)
Quando αij =1ki
teremos pi no centróide dos pontos em Vi
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Least-Square Projection (LSP)
A partir dessa equação é definido um conjunto de sistemaslineares
Lx1 = 0, Lx2 = 0, · · · Lxd = 0 (12)
Onde x1,x2, . . . ,xd são os vetores contendo as coordenadascartesianas dos pontos e L é a matriz n×n cujas entradas sãodadas por
lij =
1 i = j−αij pj ∈ Vi
0 caso contrário
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Least-Square Projection (LSP)
Os pontos de controle são inseridos no sistema como novaslinhas na matrizAssim, dado um conjunto de pontos de controleSc = {pc1 , . . . ,pcnc}, é possível re-escrever o sistema
Ax = b (13)
Em que A é uma matrix retangular (n+nc)×n dada por
A =
(LC
), cij =
{1 xj é um ponto de controle0 caso contrário
E b é o vetor:
bi =
{0 i≤ n
xic n < i≤ n+nc
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Least-Square Projection (LSP)
(a) Grafo de vizinhança. (b) Matrix Laplaciana.
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Least-Square Projection (LSP)
O sistema linear com os pontos de controle apresentarank-completo e pode ser resolvido aplicando-se mínimosquadrados
Encontrar x que minimize ||Ax−b||2, isto é, x = (AT A)−1AT b
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Exemplos de Projeção
Figura: Processando documentos para visualização (bag-of-words).
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de coleção com artigos científicos (LSP).
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de coleção com artigos científicos (LSP).
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de coleção com artigos científicos (LSP).
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de coleção notícias curtas de jornal RSS (LSP).
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de dados de sensores (PCA).
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de dados de sensores (Force Scheme).
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de dados de sensores (Force Scheme). Escolhendo omelhor sensor.
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de dados de sensores (Force Scheme). Escolhendo omelhor sensor.
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de dados de sensores (Force Scheme). Escolhendo omelhor sensor.
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Exemplos de Projeção
Figura: Projeção de dados de sensores (Force Scheme). Escolhendo omelhor sensor.
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Técnicas baseadas em Pontos
Outra técnica baseada em pontos bastante conhecida é aRadViz
Para um conjunto m-dimensional, m âncoras são definidas eposicionadas uniformemente ao longo de uma circunferência
Uma instância de dado é mapeada na posição v considerandouma circunferência de raio 1 centrada na origem, fazendo
Seja x̂ = (x0,x1, . . . ,xm−1) o vetor normalizado representando umainstância x̂, e um conjunto de vetores unitários A, em que Ajrepresenta a jesima âncora no plano, o vetor v dá a posição deequilíbrio do ponto:
m−1
∑j=0
(Aj− v)xj = 0
v =∑
m−1j=0 (Ajxj)
∑m−1j=0 xj
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Técnicas baseadas em Pontos
Outra técnica baseada em pontos bastante conhecida é aRadViz
Para um conjunto m-dimensional, m âncoras são definidas eposicionadas uniformemente ao longo de uma circunferência
Uma instância de dado é mapeada na posição v considerandouma circunferência de raio 1 centrada na origem, fazendo
Seja x̂ = (x0,x1, . . . ,xm−1) o vetor normalizado representando umainstância x̂, e um conjunto de vetores unitários A, em que Ajrepresenta a jesima âncora no plano, o vetor v dá a posição deequilíbrio do ponto:
m−1
∑j=0
(Aj− v)xj = 0
v =∑
m−1j=0 (Ajxj)
∑m−1j=0 xj
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RadViz
É importante considerar que ordenações diferentes dasâncoras levarão a resultados diferentes
Interação pode ajudar o usuárioTécnicas que automaticamente maximizam o espalhamento dospontos são boas alternativas
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RadViz
Figura: Diferentes ordenações das âncoras no RadViz. Preço do carro émapeado para a cor do glifo.
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Técnicas Baseadas em Linhas
Nas representações usando linha, características dos dadospodem ser percebidas por meio de cruzamentos, curvatura,etc.
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Gráficos de Linhas
Um gráfico de linha representa no eixo vertical a faixa devalores de difrentes atributos das instâncias e no horizontalalguma ordenação dessas instâncias
Visualização univariada para poucas dimensões (atributos)
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Gráficos de Linhas
Sobreposição não deve ser empregada com muitas dimensõespor problemas de oclusão
Possíveis soluções
Empilhar as linhas usando como base a dimensão anterior (difícilde avaliar o valor)Ordenar as instâncias com base em uma dimensão
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Gráficos de Linhas
Sobreposição não deve ser empregada com muitas dimensõespor problemas de oclusão
Possíveis soluçõesEmpilhar as linhas usando como base a dimensão anterior (difícilde avaliar o valor)
Ordenar as instâncias com base em uma dimensão
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Gráficos de Linhas
Sobreposição não deve ser empregada com muitas dimensõespor problemas de oclusão
Possíveis soluçõesEmpilhar as linhas usando como base a dimensão anterior (difícilde avaliar o valor)Ordenar as instâncias com base em uma dimensão
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Gráficos de Linhas
(a) (b)
(c) (d)
Figura: Gráficos representando salários de professores em 100universidades. (a) sobreposição (b) empilhamento (c) sobreposiçãoordenada (d) empilhamento ordenado.
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Gráficos de Linhas
Essa técnica só funciona se existir um relacionamento entreas unidades das diferentes dimensões
Possíveis soluções
Múltiplos eixos verticais podem ser usados para as diferentesdimensõesCriar múltiplos gráficos empilhados coordenados
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Gráficos de Linhas
Essa técnica só funciona se existir um relacionamento entreas unidades das diferentes dimensões
Possíveis soluçõesMúltiplos eixos verticais podem ser usados para as diferentesdimensões
Criar múltiplos gráficos empilhados coordenados
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Gráficos de Linhas
Essa técnica só funciona se existir um relacionamento entreas unidades das diferentes dimensões
Possíveis soluçõesMúltiplos eixos verticais podem ser usados para as diferentesdimensõesCriar múltiplos gráficos empilhados coordenados
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Coordenadas Paralelas
Na técnica Coordenadas Paralelas, os eixos são paralelos (nãoortogonais) espaçados uniformemente, e as instâncias de dadossão polilinhas que interceptam esses eixos em uma posiçãodeterminada pelo valor do atributo associado ao eixo
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Coordenadas Paralelas
Na interpretação desse tipo de visualização podemos
Localizar grupos de polilinhas semelhantesLocalizar pontos de cruzamentoLocalizar polilinhas diferentes
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Coordenadas Paralelas
Na interpretação desse tipo de visualização podemosLocalizar grupos de polilinhas semelhantes
Localizar pontos de cruzamentoLocalizar polilinhas diferentes
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Coordenadas Paralelas
Na interpretação desse tipo de visualização podemosLocalizar grupos de polilinhas semelhantesLocalizar pontos de cruzamento
Localizar polilinhas diferentes
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Coordenadas Paralelas
Na interpretação desse tipo de visualização podemosLocalizar grupos de polilinhas semelhantesLocalizar pontos de cruzamentoLocalizar polilinhas diferentes
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Coordenadas Paralelas
Interpretar relações entre dimensões não consecutivas podeser difícil
Interação pode ajudar a superar esse problema
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Coordenadas Paralelas
Existem diversas variantes da técnica de coordenadas paralelas
Coordenadas paralelas hierárquicas mostra agrupamentos enão os dados originaisSemi-transparência pode ser usada para mostrar grupos emgrandes bases de dadosAgrupamento, re-ordenação e diferentes espaçamentos baseadasem correlaçãoIncorporação de histogramas nos eixos para ajudar nainterpretação das distribuiçõesUsar curvas nos pontos de intersecção para melhorar acontinuidade entre eixos
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Coordenadas Paralelas
Existem diversas variantes da técnica de coordenadas paralelasCoordenadas paralelas hierárquicas mostra agrupamentos enão os dados originais
Semi-transparência pode ser usada para mostrar grupos emgrandes bases de dadosAgrupamento, re-ordenação e diferentes espaçamentos baseadasem correlaçãoIncorporação de histogramas nos eixos para ajudar nainterpretação das distribuiçõesUsar curvas nos pontos de intersecção para melhorar acontinuidade entre eixos
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Coordenadas Paralelas
Existem diversas variantes da técnica de coordenadas paralelasCoordenadas paralelas hierárquicas mostra agrupamentos enão os dados originaisSemi-transparência pode ser usada para mostrar grupos emgrandes bases de dados
Agrupamento, re-ordenação e diferentes espaçamentos baseadasem correlaçãoIncorporação de histogramas nos eixos para ajudar nainterpretação das distribuiçõesUsar curvas nos pontos de intersecção para melhorar acontinuidade entre eixos
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Coordenadas Paralelas
Existem diversas variantes da técnica de coordenadas paralelasCoordenadas paralelas hierárquicas mostra agrupamentos enão os dados originaisSemi-transparência pode ser usada para mostrar grupos emgrandes bases de dadosAgrupamento, re-ordenação e diferentes espaçamentos baseadasem correlação
Incorporação de histogramas nos eixos para ajudar nainterpretação das distribuiçõesUsar curvas nos pontos de intersecção para melhorar acontinuidade entre eixos
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Coordenadas Paralelas
Existem diversas variantes da técnica de coordenadas paralelasCoordenadas paralelas hierárquicas mostra agrupamentos enão os dados originaisSemi-transparência pode ser usada para mostrar grupos emgrandes bases de dadosAgrupamento, re-ordenação e diferentes espaçamentos baseadasem correlaçãoIncorporação de histogramas nos eixos para ajudar nainterpretação das distribuições
Usar curvas nos pontos de intersecção para melhorar acontinuidade entre eixos
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Coordenadas Paralelas
Existem diversas variantes da técnica de coordenadas paralelasCoordenadas paralelas hierárquicas mostra agrupamentos enão os dados originaisSemi-transparência pode ser usada para mostrar grupos emgrandes bases de dadosAgrupamento, re-ordenação e diferentes espaçamentos baseadasem correlaçãoIncorporação de histogramas nos eixos para ajudar nainterpretação das distribuiçõesUsar curvas nos pontos de intersecção para melhorar acontinuidade entre eixos
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Coordenadas Paralelas
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Curvas de Andrews
Na técnica de Curvas de Andrews, cada ponto multivariadoD = (d1,d2, . . .dN) é usado para criar uma curva da forma
f (t) =d1√
2+d2 sin(t)+d3 cos(t)+d4 sin(2t)+d5 cos(2t)+ . . .
Com −π ≤ t ≤ π
Para número impar de dimensões o termo final é dN cos(N−12 t) e
para número par é dN sin(N2 t)
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Curvas de Andrews
Figura: Resultados da técnica de Curvas de Andrews usando diferentesordenações das dimensões (dados da Iris).
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Técnicas de Eixos Radiais
Para cada técnica em que os eixos são paralelos existe umacorrespondente com os eixos radiais
Circular line graph é um exemplo, especialmente útil paraeventos cíclicos
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Técnicas baseadas em Região
Técnicas baseadas em região apresentam valores empregandopolígonos preenchidos mapeados para tamanho, cor, formaou outros atributos
Apesar das limitações cognitivas muitas técnicas vem sendodesenvolvidas
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Gráficos de Barras e Histogramas
Uma visualização muito empregada são os gráficos de barras
(a) (b)
Figura: Exemplos de gráficos de barras. (a) empilhados (b) agrupados.
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Gráficos de Barras e Histogramas
Se a tarefa é estudar a distribuição dos dados, pode-se usarhistogramas
Com valores nominais ou em um intervalo de poucos inteiros ésimples – mesmo número de barras quanto de valores distintos
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Gráficos de Barras e Histogramas
A versão 3D do gráfico de barras é conhecido como CityscapeSe todas as células forem populadas também recebe o nome deHistograma 3DTécnica bastante popular para dados geo-referenciados
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Displays Tabulares
No caso dos dados estarem organizados como uma tabela,visualizações podem ser facilmente geradas
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Displays Tabulares
Heatmaps mapeiam os valores de uma tabela em cores,renderizando-os como quadrados/retângulos coloridos
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Displays Tabulares
Pode aplicar Permutações e Reordenações de linhas oucolunas para melhorar a visualização
Maximizar a diagonal
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Displays Tabulares
Survey Plots varia o tamanho das células ao invés de colorirEvita problemas de percepção causados por interferência emcores adjacentes
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Displays Tabulares
TableLens combina todas essas ideias e adiciona mecanismosque permitem visualizar uma tabela como um todo, assim comoter uma visão detalhadaProcure por TableLens demo
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Combinação de Técnicas
Existe uma gama de técnicas que combinam característicasde duas ou mais classes de técnicas apresentadas
A criação de glifos
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Glifos e Ícones
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Glifos e Ícones
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Glifos e Ícones
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Glifos e Ícones
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos são
Profiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barras
Stars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentro
Anderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raios
Stick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membro
Trees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.
Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixas
Boxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.
Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessura
Faces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.
Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, cor
etc.
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Glifos e Ícones
Alguns exemplos de glifos sãoProfiles – altura e cor de barrasStars – tamanho de raios igualmente espaçados emanando docentroAnderson/metroglyphs – tamanho de raiosStick figures – tamanho, ângulo, cor do membroTrees – tamanho, espessura, ângulos dos ramos, etc.Autoglyph – cor de caixasBoxes – altura, comprimento, profundidade, etc.Hedgehogs – picos em um campo vetorial, com variação emorientação e espessuraFaces – tamanho e posição dos olhos, nariz, boca, etc.Arrows – tamanho, comprimento, coretc.
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Glifos e Ícones
Figura: Exemplos de glifos multivariados.
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Glifos e Ícones
Na escolha do glifo vários aspectos devem ser considerados
Viés imposto dependendo do atributo gráfico usado (linha podeser melhor que orientação)Glifos adjacentes serão mais facilmente comparados dos queos afastados
Uma vez escolhido o glifo, existem N! possibilidades distintasde se mapear as dimensões às prorpeiedades visuais do glifo
Qual a melhor escolha de mapeamento?
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Glifos e Ícones
Na escolha do glifo vários aspectos devem ser consideradosViés imposto dependendo do atributo gráfico usado (linha podeser melhor que orientação)
Glifos adjacentes serão mais facilmente comparados dos queos afastados
Uma vez escolhido o glifo, existem N! possibilidades distintasde se mapear as dimensões às prorpeiedades visuais do glifo
Qual a melhor escolha de mapeamento?
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Glifos e Ícones
Na escolha do glifo vários aspectos devem ser consideradosViés imposto dependendo do atributo gráfico usado (linha podeser melhor que orientação)Glifos adjacentes serão mais facilmente comparados dos queos afastados
Uma vez escolhido o glifo, existem N! possibilidades distintasde se mapear as dimensões às prorpeiedades visuais do glifo
Qual a melhor escolha de mapeamento?
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Glifos e Ícones
Na escolha do glifo vários aspectos devem ser consideradosViés imposto dependendo do atributo gráfico usado (linha podeser melhor que orientação)Glifos adjacentes serão mais facilmente comparados dos queos afastados
Uma vez escolhido o glifo, existem N! possibilidades distintasde se mapear as dimensões às prorpeiedades visuais do glifo
Qual a melhor escolha de mapeamento?
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Glifos e Ícones
Algumas estratégias para escolher o mapeamento
Dimensões correlacionadas podem ser mapeadas para atributosvisuais adjacentes – ajuda a revelar padrões e outliersDimensões mapeadas de forma a compor glifos simétricos –glifos assimétricos serão facilmente reconhecidosDimensões podem ser mapeadas de acordo com seus valoresem uma ’instância de referência’Dimensões podem ser mapeadas manualmente, de acordo com oconhecimento do usuário
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Glifos e Ícones
Algumas estratégias para escolher o mapeamentoDimensões correlacionadas podem ser mapeadas para atributosvisuais adjacentes – ajuda a revelar padrões e outliers
Dimensões mapeadas de forma a compor glifos simétricos –glifos assimétricos serão facilmente reconhecidosDimensões podem ser mapeadas de acordo com seus valoresem uma ’instância de referência’Dimensões podem ser mapeadas manualmente, de acordo com oconhecimento do usuário
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Glifos e Ícones
Algumas estratégias para escolher o mapeamentoDimensões correlacionadas podem ser mapeadas para atributosvisuais adjacentes – ajuda a revelar padrões e outliersDimensões mapeadas de forma a compor glifos simétricos –glifos assimétricos serão facilmente reconhecidos
Dimensões podem ser mapeadas de acordo com seus valoresem uma ’instância de referência’Dimensões podem ser mapeadas manualmente, de acordo com oconhecimento do usuário
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Glifos e Ícones
Algumas estratégias para escolher o mapeamentoDimensões correlacionadas podem ser mapeadas para atributosvisuais adjacentes – ajuda a revelar padrões e outliersDimensões mapeadas de forma a compor glifos simétricos –glifos assimétricos serão facilmente reconhecidosDimensões podem ser mapeadas de acordo com seus valoresem uma ’instância de referência’
Dimensões podem ser mapeadas manualmente, de acordo com oconhecimento do usuário
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Glifos e Ícones
Algumas estratégias para escolher o mapeamentoDimensões correlacionadas podem ser mapeadas para atributosvisuais adjacentes – ajuda a revelar padrões e outliersDimensões mapeadas de forma a compor glifos simétricos –glifos assimétricos serão facilmente reconhecidosDimensões podem ser mapeadas de acordo com seus valoresem uma ’instância de referência’Dimensões podem ser mapeadas manualmente, de acordo com oconhecimento do usuário
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Glifos e Ícones
Existem três diferentes estratégias de layout (posicionamento)
uniforme: glifos são escalados e posicionados com espaçamentouniforme para ocupar a tela inteira – evita sobreposiçõesdirigido-a-dados: os valores de dados determinam a posição dosglifos – podem ser posicionados usando scatterplots ou projeçõesmultidimensionaisdirigido-a-estrutura: se existir alguma estrutura implícita, comocíclica ou hierárquica, essa pode ser usada para posicionar osglifos
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Glifos e Ícones
Existem três diferentes estratégias de layout (posicionamento)uniforme: glifos são escalados e posicionados com espaçamentouniforme para ocupar a tela inteira – evita sobreposições
dirigido-a-dados: os valores de dados determinam a posição dosglifos – podem ser posicionados usando scatterplots ou projeçõesmultidimensionaisdirigido-a-estrutura: se existir alguma estrutura implícita, comocíclica ou hierárquica, essa pode ser usada para posicionar osglifos
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Glifos e Ícones
Existem três diferentes estratégias de layout (posicionamento)uniforme: glifos são escalados e posicionados com espaçamentouniforme para ocupar a tela inteira – evita sobreposiçõesdirigido-a-dados: os valores de dados determinam a posição dosglifos – podem ser posicionados usando scatterplots ou projeçõesmultidimensionais
dirigido-a-estrutura: se existir alguma estrutura implícita, comocíclica ou hierárquica, essa pode ser usada para posicionar osglifos
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Glifos e Ícones
Existem três diferentes estratégias de layout (posicionamento)uniforme: glifos são escalados e posicionados com espaçamentouniforme para ocupar a tela inteira – evita sobreposiçõesdirigido-a-dados: os valores de dados determinam a posição dosglifos – podem ser posicionados usando scatterplots ou projeçõesmultidimensionaisdirigido-a-estrutura: se existir alguma estrutura implícita, comocíclica ou hierárquica, essa pode ser usada para posicionar osglifos
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Glifos e Ícones
Figura: Exemplos de posicionamento de glifos uniforme.
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Glifos e Ícones
(a) (b)
Figura: Exemplos de posicionamento de glifos dirigido-a-dados. (a) usandodimensões (b) usando PCA.
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Glifos e Ícones
(a)
(b)
Figura: Exemplos de posicionamento de glifos dirigido-a-estrutura. (a)estrutura em espiral (b) estrutura hierárquica.
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Display Denso de Pixels
Display Denso de Pixels (técnicas orientadas-a-pixel) mapeiamcada valor para pixels individuais e criam um polígonopreenchido para representar cada dimensão dos dados
Fazem uso completo do espaço de telaCada valor de dado define a cor do pixel
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Display Denso de Pixels
Na forma mais simples, cada dimensão irá gerar uma imagemno display
Os elementos precisam ser desenhados de forma queelementos próximos fiquem próximos
Pode-se criar uma imagem fazendo uma travessia daesquerda-para-direita da direita-para-esquerdaPode-se usar uma travessia em espiralPode-se uma curva recursiva para preenchimento do layout(pontos próximos na lista ficam próximos no display)
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Display Denso de Pixels
Na forma mais simples, cada dimensão irá gerar uma imagemno display
Os elementos precisam ser desenhados de forma queelementos próximos fiquem próximos
Pode-se criar uma imagem fazendo uma travessia daesquerda-para-direita da direita-para-esquerdaPode-se usar uma travessia em espiralPode-se uma curva recursiva para preenchimento do layout(pontos próximos na lista ficam próximos no display)
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Display Denso de Pixels
Na forma mais simples, cada dimensão irá gerar uma imagemno display
Os elementos precisam ser desenhados de forma queelementos próximos fiquem próximos
Pode-se criar uma imagem fazendo uma travessia daesquerda-para-direita da direita-para-esquerda
Pode-se usar uma travessia em espiralPode-se uma curva recursiva para preenchimento do layout(pontos próximos na lista ficam próximos no display)
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Display Denso de Pixels
Na forma mais simples, cada dimensão irá gerar uma imagemno display
Os elementos precisam ser desenhados de forma queelementos próximos fiquem próximos
Pode-se criar uma imagem fazendo uma travessia daesquerda-para-direita da direita-para-esquerdaPode-se usar uma travessia em espiral
Pode-se uma curva recursiva para preenchimento do layout(pontos próximos na lista ficam próximos no display)
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Display Denso de Pixels
Na forma mais simples, cada dimensão irá gerar uma imagemno display
Os elementos precisam ser desenhados de forma queelementos próximos fiquem próximos
Pode-se criar uma imagem fazendo uma travessia daesquerda-para-direita da direita-para-esquerdaPode-se usar uma travessia em espiralPode-se uma curva recursiva para preenchimento do layout(pontos próximos na lista ficam próximos no display)
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Display Denso de Pixels
Figura: Exemplos de padrões de layout para displays densos de pixels.
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Display Denso de Pixels
As imagens de cada dimensão podem ser posicionadas natela de várias formas, como em um grade ou em segmentos decírculo
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Display Denso de Pixels
Outra possibilidade é usar algum método de projeção paraposicionar as dimensões similares proximamente
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Display Denso de Pixels
A ordenação dos dados (quando possível) pode ajudar aidentificação de padrões interessantes
Ordenar com base em uma dimensão (atriubto) ajudar a revelaragrupamentos dentro dessa dimensãoOrdenar com base na distância a um vetor n-dimensional ajuda arevelar agrupamentos em várias dimensões
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Display Denso de Pixels
A ordenação dos dados (quando possível) pode ajudar aidentificação de padrões interessantes
Ordenar com base em uma dimensão (atriubto) ajudar a revelaragrupamentos dentro dessa dimensão
Ordenar com base na distância a um vetor n-dimensional ajuda arevelar agrupamentos em várias dimensões
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Display Denso de Pixels
A ordenação dos dados (quando possível) pode ajudar aidentificação de padrões interessantes
Ordenar com base em uma dimensão (atriubto) ajudar a revelaragrupamentos dentro dessa dimensãoOrdenar com base na distância a um vetor n-dimensional ajuda arevelar agrupamentos em várias dimensões
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Display Denso de Pixels
(a) (b)
Figura: Exemplos de diferentes ordenações. (a) dados ordenados com baseno salário dos professores. Existe pouca correlação com outros atributos. (b)dados ordenados com base em número de “full professors”. Somenterelacionado com o número total de empregados.
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Display Denso de Pixels
Outra opção consiste em posicionar os pixels sobre gráficos debarras padrão
Figura: Exemplo de visualização de atividades de compra online por meio de’pixel bar charts’. (a) cor representa o mês (b) cor representa o valor dacompra (c) cor representa o número de visitas (d) cor representa aquantidade comprada.
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Sumário
1 Introdução
2 Técnicas baseadas em PontoScatterplotsProjeção MultidimensionalOutras Técnicas
3 Técnicas baseadas em Linhas
4 Técnicas baseadas em Região
5 Combinação de Técnicas
6 Referências
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Referências I
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Borg, I. and Groenen, P. J. F. (2005).Modern Multidimensional Scaling: Theory and Applications.Springer, second edition.
Jolliffe, I. T. (1986).Principal Component Analysis.Springer-Verlag.
Paulovich, F. V., Nonato, L. G., Minghim, R., and Levkowitz, H. (2008).Least square projection: A fast high-precision multidimensional projection technique and itsapplication to document mapping.IEEE Trans. Visual. Comp. Graph., 14(3):564–575.
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Referências II
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