tb tgas
DESCRIPTION
xdfTRANSCRIPT
Bab 1
1. Apa maksudnya sistem numerasi bersifat aditif?
2. Apa yang disebut dengan sistem numerasi menggunakan nilai tempat?
3. Apa maksudnya sistem numerasi bersifat multiplikasi?
4. Sebutkan beberapa cara menuliskan lambang bilangan dan terjadi pada sistem
numerasi yang mana.
5. Sebutkan basis-basis bilangan yang pernah digunakan.
Jawaban
1. Sistem numerasi disebut bersifat aditif jika nilai bilangan sama dengan jumlah
nilai setiap lambang bilangan yang digunakan.
Contoh:
Mesir Kuno: Lambang ೨ ೨ ೨ ೨ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ∣∣∣2. Sistem numerasi disebut menggunakan nilai tempat jika nilai lambang bilangan
didasarkan pada tempat atau posisi lambang bilangan, artinya lambang yang
sama bernilai berbeda karena posisinya berbeda.
Contoh:
Babylonia: Lambang : r < s
Nilai 71 : (1 x 60) + 10 + 1
Desimal : Lambang : 5 5 5
Nilai setiap lambang 5 berbeda karena letaknya yang berbeda
5 5 5
bernilai lima
bernilai lima puluh
bernilai lima ratus
3. Sistem numerasi disebut multiplikatif jika mempunyai lambang untuk bilangan-
bilangan 1, 2, 3, …, b – 1, b, b2, b3, b3, …, tidak mempunyai lambang nol, dan
menggunakan nilai tempat.
Contoh:
Jepang-China : Lambang : ~ � x y Ђ д ŧ )( Һ ƒ
Nilai : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000
4. Cara menuliskan lambang bilangan
(a) Acak, untuk sistem numerasi Mesir Kuno
(b) Mendatar (horizontal), untuk sistem-sistem numerasi
Babylonia, Yunani (greek), Romawi, Hindu-Arab
(c) Tegak (vertikal), untuk sistem-sistem numerasi Jepang-China dan
Mayan
5. Basis bilangan yang pernah digunakan
(a) Basis 10 : sistem numerasi Jepang-China, Hindu Arab
(b) Basis 20 : sistem numerasi Mayan
(c) Basis 60 : sistem numerasi Babylonia
Bab 2
a. 1. 3 + 3 + 3 + 3 = 122. 2.2.2.2 = 163.
b.Buktikan dengan induksi matematika
1. n < 2n untuk semua n Î Z+
2. n3 – n habis dibagi 3 untuk semua n Î Z+
3. 2n < ! untuk setiap bilangan bulat positif n ³ 4
Jawab
b.
1. S(n) : n < 2n
S(1) : benar sebab untuk n = 1:
n =1 , 2n = 21 = 2, dan 1 < 2
Misalkan s(k) benar, yaitu k < 2k
Harus dibuktikan bahwa S(k+1) benar, yaitu (k + 1) < 2k+1
k < 2k ® k + 1 < 2k + 1
® k + 1 < 2k + 2k (sebab 2k ≥ 1 untuk sebarang k ≥ 1)
® k + 1 < 2.2k
® k + 1 < 2k+1
Jadi: n < 2n untuk setiap n Î Z+
2. S(n) : n3 – n habis dibagi oleh 3
S(1) benar sebab untuk n = 1:
n3 – n = 13 – 1 = 1 – 1 = 0 dan 0 habis dibagi oleh 3.
Misalkan S(k) benar, yaitu k3 – k habis dibagi oleh 3
Harus dibuktikan bahwa S(k + 1) benar, yaitu
(k + 1)3 – (k + 1) habis dibagi oleh 3
(k + 1)3 – (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) – (k + 1)
= (k3 – k) + 3 (k2 + k)
= 3t + 3(k2 + k)
= 3(t + k2 + k)
(k + 1)3 – (k + 1) habis dibagi 3 sebab mempunyai faktor 3
Jadi: n2 – n habis dibagi 3 untuk setiap n Î Z+
3. S(n) : 2n < n! untuk setiap bilangan bulat positif n ³ 4
S(4) benar sebab untuk n = 4
2n = 24 = 16, n! = 4! = 24, dan 16 < 24
Misalkan S(k) benar, yaitu 2k < k!
Harus dibuktikan bahwa S(k+1) benar yaitu:
2k+1 < (k + 1)!
2k + 1 = 2k . 2 < 2 . k !
2k+1 < (k + 1) . k! sebab k + 1 ≥ 2 untuk sebarang k Î Z+
2k+1 < (k + 1) !
Jadi : 2k+1 < (k + 1)! untuk setiap bilangan asli n
Bab 3
1.Carilah masing-masing paling sedikit satu contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah salah.
1. Jika p | q + r, maka p | q atau p | r2. Jika p | qr, maka p | q atau p | r3. Jika p + q | r, maka p | r atau q | r4. Jika p | r dan q | r, maka p = q5. Jika p | q dan p | r, maka q = r
2.
3.
Jawaban
1
. a. 3 | 12, 3 | 8 + 4, tetapi 3 Q 8 dan 3 Q 4
b. 4 | 20, 4 | 2.10, tetapi 4 Q 2 dan 4 Q 10
c. 8 | 16, 3+5 | 16, tetapi 3 Q 16 dan 5 Q 16
d. 2 | 6 dan 3 | 6, tetapi 2 ≠ 3
d. 2 | 4 dan 2 | 6, tetapi 4 ≠ 6
2. Karena p│q + r, maka menurut definisi 3.1 ada x Î Z sehingga q + r = px
Karena p│q, maka menurut definisi 3.1 ada y Î Z sehingga q = py
Jadi,
py + r = px
r = px – py
r = p (x – y)
Anggap x – y = m sehingga r = pm
Karena x, yÎ Z, maka m Î Z
Sehingga p│r
3. n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n(n + 2)(n + 4)
Sesuai dengan teorema algoritma pembagian, n dapat dinyatakan sebagai salah satu
dari n = 3k, n = 3k + 1, atau n = 3k + 2
n(n + 2)(n + 4) memuat faktor 3 jika n diganti dengan n = 3k, n = 3k + 1, atau
n = 3k + 2
bab 4
Carilah buku bacaan tentang Teori Bilangan, misalnya Elementary Number Theory and Its Applications yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen, dan diterbitkan oleh Addison-Wesley Publishing Company.
1. Jelaskan dan buktikan Teorema Dasar Aritmetika
2. Buktikan [p,q](p,q) = pq dengan menggunakan Teorema Dasar Aritmetika
3. Nyatakan bentuk umum (p,q) dan [p,q] dengan menggunakan pemfaktoran prima, dan berilah
masing-masing dua contoh.
Jawaban
1. Teorema Dasar Arithmetic (Teorema Dasar Aritmetika)
Setiap bilangan bulat positif lebih dari satu dapat dinyatakan sebagai kelipatan atau
faktor-faktor prima secara tunggal, dalam urutan yang tidak menurun.
Bukti :
Untuk membuktikan teorema dasar aritmetika diperlukan dua teorema pendukung yaitu (a) jika p, q, r Z, (p,q) = 1 dan p │ qr , maka p │ r
(b) jika p adalah suatu bilangan prima, p │ x1x2 …xn , dan x1,x2, …xn Z, maka tentu ada
bilangan bulat i dengan 1 ≤ i ≤ n sedemikian hingga p │ xi
Selanjutnya akan dibuktikan dengan cara tidak langsung.
Anggaplah ada bilangan-bilangan bulat positif yang tidak dapat ditulis sebagai factor-faktor
prima. Ambil bilangan-bilangan itu yang terkecil adalah , maka menurut prinssip urutan ra-
pi, n pasti ada.
Jika n adalah suatu bilangan prima, maka n memuat factor prima n.
Jika n adalah bukan suatu bilangan prima, maka n adalah suatu bilangan komposit, misal-
kan n = ab, 1 < a < n , dan 1 < b < n.
Karena a < n dan b < n , maka sesuai dengan teorema (b) di atas, a dan b masing-masing
mempunyai faktor prima, dengan demikian n dapat dinyatakan sebagai kelipatan bilangan-
bilangan prima.
Untuk membuktikan ketunggalan pemfaktoran, dimisalkan pemfaktoran n tidak tunggal,
yaitu n dapat dinyatakan dalam dua pemfaktoran yang berbeda :
N = p1 p2…pi dan n = q1 q2 … qj
dimana p1 ,p2,,…pi dan n = q1, q2, … qj semuanya adalah bilangan-bilangan prima dan
p1 ≤ p2 ≤…≤ pi dan n = q1 ≤ q2 ≤ … ≤ qj
Dengan demikian dapat ditentukan bahwa :
p1 p2…pi = q1 q2 … qj
Jika factor-faktor prima persekutuan ruas kiri dan ruas kanan dihapus, maka setelah penga-
turan ulang diperoleh :
p1 p2…pm = q1 q2 … qn
p1 (p2…pm ) = q1 q2 … qn
Dengan demikian p1 │ q1 q2 … qn , dan sesuai dengan teorema (b) di atas, p1 │ qr untuk
suatu r yang mana 1 ≤ r ≤ n. Karena p1 dan qr keduanya adalah bilangan prima, maka
p1 = qr , terjadi kontradiksi, yaitu p1 p2…pm dan q1 q2 … qn masih mempunyai factor per-
sekutuan. Jadi pemfaktoran prima dari n adalah tunggal.
2. Misalkan pemfaktoran prima dari p dan q adalah :
p = aa… a dan q = bb… b
dimana masing-masing bilangan pangkat adalah suatu bilangan bulat tidak negative, dan
bilangan-bilangan prima yang menjadi factor x sama dengan yang menjadi factor y, yaitu
dengan pangkat bilangan nol
Dengan demikian :
(p,q) = aa… a
[p,q] = aa... a
Jika min(ri,si) = ki dan mak(ri,si) = Ki , maka :
(p,q) = aa...a
[p,q] = aa...a
sehingga :
(p,q)[p,q] = (aa...a)( aa… a)
= aa... a
Kita dapat membuktikan suatu teorema bahwa :
min(r,s) + mak(r,s) = r + s
sebagai berikut :
Jika r ≥ s, maka min(r,s) = s dan mak(r,s) = r sehingga min(r,s) + mak(r,s) = r + s
Jika r < s, maka min(r,s) = r dan mak(r,s) = s sehingga min(r,s) + mak(r,s) = r + s
Akibatnya, kita dapat menentukan bahwa :
p= p= p
Dengan demikian :
(p,q)[p,q] = aa... a
= aa... a
= (aa...a)(aa...a)
= pq
3. Jika p = bb... b dan q=bb...b maka :
(p,q) = bb...b
[p,q] = bb...b
Contoh :
1. x = 18 = 21.32
y = 24 = 23.31
(x,y) = 2min(1,3).3min(2,1) = 21.31 = 2.3 = 6
[x,y] = 2mak(1,3).3mak(2,1) = 23.32 = 8.9 = 72
2. x = 36 = 22.32.50
y = 45 = 20.32.51
(x,y) = 2min(2,0).3min(2,2).5min(0,1) = 20.32.50 = 1.9.1 = 6
[x,y] = 2mak(2,0).3mak(2,2).5mak(0,1) = 22.32.51 = 4.9.5 = 180