taxa média de variação e taxa instantânea de variação
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Taxa Média de Variação
e
Taxa Instantânea de Variação
Novo EspaçoPorto Editora
1. Variação da altura = f(8) - f(4)= 58 – 48 = 12
2. Taxa média de variação no intervalo [4,8]= 34
12
48
48
)(f)(f
8484 ,v.m.t),,f(v.m.t
Taxa Média de Variação
Dada uma função real de variável real f e dois pontos a e b do seu
domínio, chama-se taxa média de variação de f entre a e b a:
ab
)a(f)b(f)b,a,f.(v.m.t
• b-a representa a variação de x;
• f(b)-f(a) representa a variação de f(x) quando x varia de a para b;
• representa a variação de f(x) por cada unidade de variação
de x quando o seu valor passa de a para b;
ab
)a(f)b(f
Interpretação geométrica da Taxa média de variação
Reta secante ao gráfico de f , definida
pelos pontos A(a,f(a)) e B(b,f(b))
O declive da reta AB , ab
)a(f)b(fmAB
tg
1612435
2
)(f)(f
h
35
3553
)(f)(f.v.m.t , 8
2
16
Adaptado Novo EspaçoPorto Editora
238
23381(3,1)
8 8
secante reta a Seja
53
xy:s
bbs
bxy:s.v.m.tm
s
,s
hh)(f)h(f,IRh 633 2
1. Seja f uma função e domínio IR.
Sabe-se que:
1.1 Determine o valor da t.m.v.[3,5]
1.2 Sabendo que f (3)=1, escreva a equação da reta secante ao gráfico da função f ,que
passa nos pontos de abcissas 3 e 5.
2. Relativamente a uma função f, sabe-se que é positiva.
Indica se são verdadeiras ou falsas as afirmações:
I: f(b)>f(a)
II: f é necessariamente crescente em [a,b]
b,a.v.m.t
Novo EspaçoPorto Editora
R: A afirmação I é verdadeira e a afirmação II é falsa
3. Considera, num referencial o.n., o gráfico de uma função f e a reta r que
interseta o gráfico de f nos pontos A e B de abcissas, respetivamente, a e b.
Sabe-se que:
• A reta r interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 3;
• A taxa média de variação de f entre a e b é igual a -2.
Escreva a equação reduzida da reta r.
MT11Texto
r: y=-2x+6
66003
2 logo
2 03
bbr),(
bxy:r
.v.m.tmr),( b,ar
Taxa instantânea de variação de f num ponto.
Derivada de uma função num ponto
Seja f uma função real de variável real e x0 um ponto do seu domínio.
Chama-se taxa instantânea de variação de f em x0 ou derivada de f no ponto x0, ao limite
caso exista e seja finito, e representa-se por f ´(x0).
Diz-se neste caso que f é derivável ou diferenciável em x0.
0
0
0 xx
)x(f)x(flim
xx
h
)x(f)hx(flim)x´(fh
00
00
Nota: se fizermos uma mudança de variável : x - x0 =h
a fórmula da derivada toma outra forma:
Interpretação geométrica da derivada
Reta tangente ao gráfico de f
no ponto A(x0,f(x0))
declive da reta t:0
00
0
xx
)x(f)x(flim)x´(fm
xxt
1. Utilizando a definição de derivada num ponto calcule g´(-1), sendo g a
função definida por xx)x(g 22
1
32
1
11
2
11
x
xxlim
x
)(g)x(glim)´(g
xx
31123
C.A.
2 )()()(g
1
12
32
1
x
)x)(x(
limx
12
3
4
2411032 2
xx
xxx
52
52
2
32
1
)()x(lim
x
Adaptado Máximo 11Porto Editora
2. Considere a função f definida em IR+ por
2.1 Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa .3
6
3x)x(f
2.2 Sabendo que a reta r tangente ao gráfico de f num ponto x=a é perpendicular
à reta s, de equação y= - 4x+2, determine o valor de a.
3
33
3
x
)(f)x(flim)´(fm
xt
2.1 Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto 3x
)x(
xlim
x
x
limxx 36
33
3
2
3
63
3
3
3
2
3
6
333
6
33
36
333 2
3
2
3
)xx(lim
)x(
)xx)(x(lim
xx
Então .bxy:t 2
3Como 33
2
3
2
3
2
33 bbt),(
Portanto: 32
3 xy:t
2
3
6
333
C.A.
)(f
2.2 Sabendo que a reta r, tangente ao gráfico de f num ponto x=a, é perpendicular
à reta s, de equação y= - 4x+2, determine o valor de a.
sr
mmsr
1
4
1 rm
4
1 é isto
4
1 Então
ax
)a(f)x(flim )a´(f
ax
)ax(
axlim
ax
ax
limax
)a(f)x(flim
axaxax 6
6633
33
66
2222 aaxxlim
)ax(
)aaxx)(ax(lim
axax
26
3 22 aa
2
2 é isto
4
1
2 Então
2
aa
2
2 então Como aIRa
Dimensões 11Santilhana
3. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy. parte do gráfico da função f,
definida por f(x)=x2 -4x+5 ; a reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1; e o
triângulo [OBA], sendo A e B os pontos de interseção de r com os eixos Ox e Oy,
respetivamente.
Calcule a área do triângulo.
2][
OBOAA OBA
1
254
1
1 2
11 x
xxlim
x
)(f)x(flimm
xxr
231
31
11
)x(lim
x
)x)(x(lim
xx
.bxy:r 2 Então.xy:r 42
40 Se
20 Se
yx
xy),(B),(A 40 e 02
42
42
13
2
12164034 2
xx
xxx
42221 bbr),(
251411
C.A.
2 )(f
1
342
1
x
xxlimx
Exercícios que podem resolver nos vossos manuais
• Determinação do valor da taxa média de variação num intervalo
• Determinação da derivada de uma função num ponto
• Interpretação geométrica da taxa média de variação num intervalo
e da derivada de uma função num ponto