Tasa de interés efectiva La tasa de interés efectiva, tasa de interés efectiva anual, tasa anual equivalente (ARE) o simplemente tasa efectiva es la tasa de interés de un préstamo o producto financiero actualizado de la tasa de interés nominal como un tipo de interés anual con un interés compuesto a pagar en mora. [1 ] Se utiliza para comparar el interés anual entre los préstamos con términos compuestos diferentes (diario, mensual, anual, u otros).

El tipo de interés efectivo difiere en dos aspectos importantes de la tasa de porcentaje anual (APR): [2]

1. la tasa de interés generalmente no incorpora los cargos de una sola vez, tales como comisiones de apertura;

2. la tasa de interés efectiva es (en general) no se define por las autoridades legales o reglamentarias (como abril es en muchas jurisdicciones). [3]

Por el contrario, el abril efectiva se utiliza como un término legal, en su primera honorarios y otros costos pueden ser incluidos, según lo definido por la ley local. [2] [3]

porcentaje de rendimiento anual o efectivo anual de rendimiento es el concepto análogo utilizado para el ahorro o productos de inversión, tales como un certificado de depósito . Dado que cualquier préstamo es un producto de inversión para el prestamista, los términos pueden ser utilizados para aplicar a la misma transacción, según el punto de vista.

de interés efectiva anual o el rendimiento se puede calcular o se aplica de manera diferente dependiendo de las circunstancias, y la definición debe ser estudiado cuidadosamente. Por ejemplo, un banco puede referirse a la rentabilidad de una cartera de préstamos después de las pérdidas esperadas como su rendimiento efectivo e incluyen los ingresos de otras tasas, lo que significa que los intereses pagados por cada prestatario pueden diferir sustancialmente de la producción efectiva el banco.

Cálculo

El tipo de interés efectivo se calcula como si compuesto anual. La tasa efectiva se calcula de la siguiente manera, donde r es la tasa efectiva anual, la tasa nominal i, yn el número de períodos de capitalización por año (por ejemplo, 12 para la capitalización mensual):

Por ejemplo, una tasa de interés nominal de 6% de interés compuesto mensual es equivalente a una tasa de interés efectiva de 6,17%. 6% compuesto mensualmente se le acredita como el 6% / 12 = 0,005 cada mes. Después de un año, el capital inicial se incrementa por el factor (1 + 0.005) 12 ≈ 1,0617.

Cuando la frecuencia de la capitalización se incrementa hasta el infinito el cálculo será:

El rendimiento depende de la frecuencia de capitalización:

Tasa efectiva anual basado en la frecuencia de la capitalización Tasa Nominal Semi-Anual Trimestrales Mensuales Diario Continua

1% 1,002% 1,004% 1,005% 1,005% 1,005% 5% 5,062% 5,095% 5,116% 5,127% 5,127% 10% 10.250% 10.381% 10.471% 10.516% 10.517% 15% 15.562% 15.865% 16.075% 16.180% 16,183% 20% 21.000% 21.551% 21.939% 22.134% 22.140% 30% 32.250% 33.547% 34.489% 34.969% 34.986% 40% 44.000% 46.410% 48.213% 49.150% 49.182% 50% 56.250% 60.181% 63.209% 64.816% 64.872%

El tipo de interés efectivo es un caso especial de la tasa interna de retorno .

Si usted tiene la tasa de interés para un cálculo mensual y esta tasa es la misma durante todo el año, la tasa anual efectiva se puede calcular de la siguiente manera:

Tasa de interés real The " real interest rate " is approximately the minus the rate (see and below for exact equation). La "tasa de interés real" es aproximadamente la tasa de interés nominal menos la inflación de la tasa (ver ecuación de Fisher y por debajo de la ecuación exacta). It is the rate of interest an investor expects to receive after subtracting inflation. Es el tipo de interés de un inversionista espera recibir después de restar la inflación. This is not a single number, as different investors have different expectations of future inflation. Esto no es un número único, ya que los inversores diferentes tienen diferentes expectativas de inflación futura. If, for example, an investor were able to lock in a 5% interest rate for the coming year and anticipated a 2% rise in prices, he would expect to earn a real interest rate of 3%. Si, por ejemplo, un inversor se pueda cerrar en una tasa de interés del 5% para el próximo año y prevé un incremento del 2% en los precios, que se espera obtener una tasa de interés real de 3%. [1]

Since the inflation rate over the course of a loan is not known initially, in inflation represents a risk to both the lender and the borrower. Dado que la tasa de inflación en el transcurso de un préstamo no se conoce un primer momento, la volatilidad de la inflación representa un riesgo tanto para el prestamista y el prestatario.

In economics and finance, an individual who lends money for repayment at a later point in time expects to be compensated for the , or not having the use of that money while it is lent. En economía y finanzas, un individuo que presta dinero para el pago en un punto posterior en el tiempo espera a ser indemnizado por el valor temporal del dinero , o no tener el uso de ese dinero al mismo tiempo que se presta. In addition, they will want to be compensated for the of having less when the loan is repaid. Además, tendrá que ser compensados por los riesgos de tener menos poder adquisitivo cuando el préstamo sea pagado. These risks are systematic risks, regulatory risks and inflation risks. Estos riesgos son los riesgos sistemáticos, los riesgos regulatorios y los riesgos de inflación. The first includes the possibility that the borrower will or be unable to pay on the originally agreed upon terms, or that collateral backing the loan will prove to be less valuable than estimated. La primera incluye la posibilidad de que el prestatario por defecto o se puede pagar en el origen de los términos acordados, o que la garantía de respaldo del préstamo resulte ser menos valioso de lo estimado. The second includes and changes in the law which would prevent the lender from collecting on a loan or having to pay more in taxes on the amount repaid than originally estimated. La segunda incluye los impuestos y los cambios en la ley que impediría a la entidad crediticia de la recogida de un préstamo o tener que pagar más en impuestos sobre el importe reembolsado que el estimado originalmente. The third takes into account that the money repaid may not have as much buying power from the perspective of the lender as the money originally lent, that is inflation, and may include fluctuations in the value of the currencies involved. El tercero tiene en cuenta que el dinero pagado no puede tener tanto poder de compra desde la perspectiva del prestamista como el dinero prestado originalmente, que es la inflación, y puede incluir las fluctuaciones en el valor de las monedas involucradas.

Nominal interest rates include all three risk factors, plus the time value of the money itself. las tasas de interés nominal son los tres factores de riesgo, más el valor tiempo del dinero en sí mismo.

Real interest rates include only the systematic and regulatory risks and are meant to measure the time value of money. Las tasas reales de interés incluyen sólo la reglamentación y los riesgos sistemáticos y están destinadas a medir el valor temporal del dinero.

Real rates = Nominal rates minus Inflation and Currency adjustment. Las tasas reales = tasas nominales menos la inflación y el ajuste de moneda. The "real interest rate" in an economy is often the rate of return on a risk free investment, such as US Treasury notes, minus an index of inflation, such as the , or . La "tasa de interés real" en una economía es a menudo la tasa de rendimiento de una inversión libre de riesgo, como bonos del Tesoro de EE.UU., menos de un índice de inflación, como el IPC o deflactor del PIB .

See Véase la ecuación de Fisher

1 + i = (1 + r) (1 + E (I))

where donde

= nominal interest rate; i = tasa de interés nominal;

= real interest rate; r = tasa de interés real; = expected inflation rate. E (I) = tasa de inflación esperada.

For example, if somebody lends $1000 for a year at 10 percent, and receives $1100 back at the end of the year, this represents a 10 percent increase in his purchasing power if prices for the average goods and services that he buys are unchanged from what they were at the beginning of the year. Por ejemplo, si alguien le da $ 1000 para un año en un 10 por ciento, y recibe $ 1100 de vuelta en el final del año, lo que representa un aumento del 10 por ciento en su poder adquisitivo si los precios de los productos promedio y servicios que compra no se han modificado a lo que se encontraban en el comienzo del año. However, if the prices of the food, clothing, housing, and other things that he wishes to purchase have increased 20 percent over this period, he has in fact suffered a real loss of about 10 percent in his purchasing power. Sin embargo, si los precios de la alimentación, el vestido, la vivienda, y otras cosas que desea comprar se han incrementado un 20 por ciento durante este período, que de hecho ha sufrido una pérdida real de cerca de 10 por ciento de su poder adquisitivo.

The will not be known in advance. La tasa de inflación no se conoce de antemano. People often base their expectation of future inflation on an average of inflation rates in the past, but this gives rise to errors. La gente a menudo basan sus expectativas de inflación futura en un promedio de las tasas de inflación en el pasado, pero esto da lugar a errores. The real interest rate ex post may turn out to be quite different from the real interest rate that was expected in advance. La tasa de interés real ex post puede llegar a ser bastante diferente de la tasa de interés real que se esperaba de antemano. Borrowers hope to repay in cheaper money in the future, while lenders hope to collect on more expensive money. Los prestatarios de devolver la esperanza en el dinero más barato en el futuro, mientras que los prestamistas esperan cobrar más dinero caro. When inflation and currency risks are underestimated by lenders, then they will suffer a net reduction in buying power. Cuando los riesgos de inflación y la moneda son subestimados por los prestamistas, a continuación, sufrirán una reducción neta en el poder de compra.

The complexity increases for issued for a long term, where the average inflation rate over the term of the loan may be subject to a great deal of uncertainty. El aumento de la complejidad de los bonos emitidos para un largo plazo, donde la tasa media de inflación durante el plazo del préstamo puede ser objeto de una gran incertidumbre. In response to this, many governments have issued real return bonds (also known as ), in which the principle value and coupon rises each year with the rate of inflation, with the result that the interest rate on the bond is a real interest rate. En respuesta a esto, muchos gobiernos han emitido bonos de rendimiento real (también conocido como índice de inflación ), en la que el valor principal y el cupón se eleva cada año con la tasa de inflación, de modo que la tasa de interés del bono es un interés real tasa. In the US, are issued by the . En los EE.UU., del Tesoro protegidos contra la inflación (TIPS) son emitidos por el Tesoro de los EE.UU. .

The expected real interest rate can vary considerably from year to year. La tasa de interés real puede variar considerablemente de un año a otro. The real interest rate on short term loans is strongly influenced by the monetary policy of central banks. La tasa de interés real sobre préstamos a corto plazo está fuertemente influenciada por la política monetaria de los

bancos centrales. The real interest rate on longer term bonds tends to be more market driven, and in recent decades, with globalized financial markets, the real interest rates in the industrialized countries have become increasingly correlated. La tasa de interés real sobre los bonos ya largo plazo tiende a ser más orientadas al mercado, y en las últimas décadas, con los mercados financieros globalizados, los tipos de interés reales en los países industrializados son cada vez más correlacionados. Real interest rates have been low by historical standards since 2000, due to a combination of factors, including relatively weak demand for loans by corporations, plus strong savings in newly industrializing countries in Asia. Las tasas reales de interés han sido bajos en términos históricos desde el año 2000, debido a una combinación de factores, incluyendo la demanda relativamente débil de los préstamos concedidos por las empresas, además de un ahorro importante en los países de reciente industrialización en Asia. The latter has offset the large borrowing demands by the US Federal Government, which might otherwise have put more upward pressure on real interest rates. Este último ha compensado las demandas préstamos grandes por el Gobierno Federal de los EE.UU., que de otro modo podría haber puesto más presión al alza sobre los tipos de interés reales.

Related is the concept of "risk return", which is the rate of return minus the risks as measured against the safest (least-risky) investment available. Relacionado es el concepto de "retorno de riesgo", que es la tasa de rendimiento menos riesgos, por comparación con la más segura (menos riesgo) de inversión disponibles. Thus if a loan is made at 15% with an inflation rate of 5% and 10% in risks associated with default or problems repaying, then the "risk adjusted" rate of return on the investment is 0%. Así, si un préstamo se hace en un 15% con una tasa de inflación de 5% y el 10% de los riesgos derivados del incumplimiento o problemas para pagar, entonces el "riesgo ajustado" tasa de retorno sobre la inversión es 0%.

[ editar ] Importancia en la teoría económica

Economics relies on measurable variables, chiefly price and objectively measurable production. Economía se basa en variables mensurables, precio y sobre todo la producción medibles objetivamente. Since production is "real", while prices are relative to the general price level, in order to compare an economy at two points in time, nominal price variables must be converted into "real" variables. Dado que la producción es "real", mientras que los precios son relativos al nivel general de precios, a fin de comparar una economía en dos puntos en el tiempo, las variables nominales de precios se debe convertir en variables "reales". For example, the number of people on payrolls represents a "real" variable, as does the number of hours worked. Por ejemplo, el número de personas en las nóminas representa una "verdadera" variable, al igual que el número de horas trabajadas. But in order to measure productivity, the nominal prices of the goods and services that labor produces must be converted to the "real" purchasing power. Sin embargo, con el fin de medir la productividad, los precios nominales de los bienes y servicios que produce el trabajo debe convertirse en el poder "real" de compra. To do this requires adjusting prices for inflation. Para ello es necesario ajustar los precios a la inflación.

The same is true of investment. Lo mismo puede decirse de la inversión. Investment produces real gains in efficiency, and purchases productive capacity - factories, machines and so on - which is also real. La inversión produce beneficios reales en la eficiencia y la capacidad productiva compras - fábricas, las máquinas y así sucesivamente - que también es real. To find the return on this capital, it is necessary to subtract the increases in its nominal value that are the result of increases in the general level of prices. Para encontrar el rendimiento de este capital, es necesario restar el aumento de su valor nominal, que son el resultado de los aumentos del nivel general de precios. To do this means subtracting the inflation rate from the nominal rate of return. Para ello significa restar la tasa de inflación de la tasa nominal de cambio. For example, a portfolio of stocks that returns 10%, when inflation is running at 4% has a 6% real rate of return. Por ejemplo, una cartera de valores que devuelve el 10%, cuando la inflación es del 4% tiene una tasa del 6% de rendimiento real.

The real interest rate is used in various economic theories to explain such phenomena as the , and . La tasa de interés real se utiliza en varias teorías para explicar fenómenos como la fuga de capitales , ciclo económico y burbujas económicas . When the real rate of interest is high, that is demand for credit is high, then money will, all other things being equal, move from consumption to savings. Cuando la tasa real de interés es alto, es decir, la demanda de crédito es alto, entonces el dinero va, todas las cosas en igualdad de condiciones, pasar de consumo al ahorro. Conversely, when the real rate of interest is low, demand will move from savings, to investment and consumption. Por el contrario, cuando la tasa real de interés es baja, la demanda pasará de ahorro, la inversión y el consumo. Different economic theories, beginning with the work of have had different explanations of the effect of rising and falling real interest rates. Diferentes teorías económicas, comenzando por la obra de Knut Wicksell han tenido diferentes explicaciones sobre el efecto de subir y bajar las tasas de interés real. Thus, international capital moves to markets that offer higher real rates of interest from markets that offer low or negative real rates of interest triggering speculation in equities, estates and exchange rates. Por lo tanto, se mueve a los mercados internacionales de capital que ofrecen tasas de interés real de los mercados que ofrecen tasas de interés reales bajas o negativas de interés activando la especulación en acciones, propiedades y tipos de cambio.

Related to this concept is the idea of a "natural rate of interest", that is, the expected return on savings and capital invested. Relacionado a este concepto es la idea de una "tasa natural de interés", es decir, el rendimiento esperado sobre el ahorro y el capital invertido.

Tipos de interés reales negativas

The real interest rate solved from the is La tasa de interés real de resolver la ecuación de Fisher es

If there is a negative real interest rate, it means that the inflation rate is greater than the interest rate. Si hay una tasa de interés real negativa, significa que la tasa de inflación es mayor que la tasa de interés. If the is 2% and the inflation rate is 10%, then the borrower would gain 7.27% of every dollar borrowed. Si la tasa de fondos federales es de 2% y la tasa de inflación es del 10%, entonces el prestatario ganaría 7,27% de cada dólar prestado.

Cálculo de tasas de interés real utilizando Cambio en el valor.

Bearing in mind that a real interest rate is simply the proportion of return or proportion of loss of a changed revenue stream after inflation has been factored in, we could use a simple change formula to calculate the real rate of change in income based on the new living costs. Teniendo en cuenta que una tasa de interés real es simplemente la proporción de retorno o la proporción de la pérdida de un flujo de ingresos ha cambiado después de la inflación ha sido factor, que podría utilizar una fórmula simple cambio para el cálculo de la tasa real de cambio en el ingreso sobre la base de la nueva costo de la vida.

Using the example above, for negative real rates of interest, where the standard bank loan rate is at 2% and the rate of inflation is 10%, we can use the following formula. Utilizando el ejemplo anterior, para tasas reales negativas de interés, donde la tasa de préstamos bancarios estándar es de 2% y la tasa de inflación es del 10%, podemos utilizar la siguiente fórmula.

RIR = RIR =

Where: Dónde:

RIR= Real Interest Rate NIR= Nominal Interest Rate effect on initial investment I= Inflationary effect on initial investment RIR = Tasa de Interés Real NIR = Tipo de Interés Nominal efecto sobre la inversión inicial I = efecto inflacionario de la inversión inicial

So let's assume a consumer borrows £200,000 from this bank. Así que supongamos que un consumidor toma £ 200.000 de este banco.

Calculating the nominal change on initial value or "NIR" is simply £200,000 + 2% = £204,000 El cálculo de la variación nominal en el valor inicial o "IRC" no es más que £ 200,000 + 2% = £ 204,000

The inflationary effect on the initial value or "I" is calculated as £200,000 + 10%= £220,000. El efecto inflacionario sobre el valor inicial o "I" se calcula como £ 200,000 + 10% = £ 220.000. We calculate this value because we want to find the amount of money

which is required to buy the same volume of goods and services in the following time period as £200,000 did in the preceding period. Se calcula este valor porque queremos encontrar la cantidad de dinero que se requiere para comprar el mismo volumen de bienes y servicios en el período de tiempo después de que £ 200,000 hizo en el período anterior.

So NIR - I = £204,000 - £220,000 = - £16,000. Así IRC - I = £ 204,000 - £ 220 000 = - £ 16,000.

This difference is the top line of the equation and shows that the 'real' debt is negative since the price of the debt rose at a lower rate than the money supply rate. Esta diferencia es la línea superior de la ecuación y demuestra que el "real" de la deuda es negativo ya que el precio de la deuda creció a una tasa menor que la tasa de oferta de dinero. So in effect, the creditor is losing £16,000 at prices in the latest time period. Así pues, en efecto, el acreedor está perdiendo £ 16.000 a precios en el último período de tiempo. This is because the £204,000 return doesn't reflect the same purchasing power in the current time period as £200,000 did in the preceding one. Esto se debe a la £ 204,000 retorno no se corresponde con el mismo poder adquisitivo en el período actual como £ 200,000 hizo en la anterior. Assuming the borrowers annual income is £200,000, if this rose in line with inflation, he/she would gain £16,000 in latest money terms. Suponiendo que los prestatarios de ingresos anual es de 200.000 libras esterlinas, si esta se elevó en línea con la inflación, el / ella ganaría £ 16,000 en términos más dinero. If this income grew at 2%, he would find his loan no less easy or harder to pay but would find other items which grew at a higher rate of inflation more expensive. Si estos ingresos crecieron en un 2%, que iba a encontrar su préstamo no menos fácil o más difícil de pagar, pero se encuentran otros elementos que creció a una tasa más alta de inflación más caro.

This change represents the inflationary adjusted change in value and so by dividing it by this by the inflationary effect on the initial value and then multiplying by 100, we can get the percentage change on value based on the inflated value. Este cambio representa el cambio en el valor de la inflación ajustada por lo que al dividir el presente por el efecto inflacionario sobre el valor inicial y luego multiplicar por 100, podemos obtener el cambio porcentual en el valor basado en el valor inflado.

Therefore: RIR = (-£16,000/£220,000) X 100 = -0.07272 X 100 = -7.27% Por lo tanto: = RIR (- £ 16,000 / £ 220.000) X 100 = -0.07272 X 100 = -7,27%

This means that assuming a person's valued income or wealth rose by the same level of inflation, the loan is around 7.3% lower in real value and would therefore represent a transfer of wealth from the bank to the repaying individual. Esto significa que el supuesto ingreso valor de una persona o de la riqueza aumentó en el mismo nivel de la inflación, el préstamo es de alrededor de 7,3% menor en valor real y por lo tanto representan una transferencia de riqueza desde el banco para pagar el individuo.

Obviously, this would lead to commodity and , as the borrower can profit from a negative real interest rate. Obviamente, esto llevaría a los productos básicos la especulación y los ciclos económicos , ya que el prestatario puede beneficiarse de una tasa de interés real negativa.

El valor real frente nominal La distinción entre valor real y el nominal se produce en muchos campos. Desde un punto de vista filosófico, el valor nominal representa una condición aceptada que es una meta o una aproximación en comparación con el valor real, que siempre está realmente presente. A menudo, un valor «nominal» es un estándar de facto en lugar de una medida típica o promedio.

Cuando la medida se trata, el valor real a menudo tiene las características de un número irracional . En situaciones de medición en el mundo real, la mejora de la técnica de medición con el tiempo comenzará a ceder por lo menos dígitos significativos impredecible. Por ejemplo, un 1 pulgada de largo de bloques patrón medirá a ser exactamente una pulgada de largo hasta las técnicas de medición de alcanzar un cierto grado de precisión. Como las técnicas de mejorar más allá de este umbral, se verá claramente que 1 pulgada no es el valor real de la longitud del bloque de calibre, pero algún otro número que siempre está fuera de alcance.

Sólo contando puede dar un verdadero valor reproducible y exacta, ver la metrología para obtener una explicación.

Ingeniería

En varios subcampos de ingeniería , un valor nominal es aquella para la que el "nombre" para el valor está cerca de, pero no el mismo que, el valor real. Algunos ejemplos:

Para madera dimensional en América del Norte, un "dos por cuatro" no es de 2 pulgadas por 4 pulgadas, pero entre el 1 de ⅜ y 1 ⅝ pulgadas de espesor en lugar y 3 ⅜ y 3 ⅝ pulgadas de ancho entre, de un tamaño al equivalente cortado la pieza en bruto de coníferas para el diseño estructural nominal propósitos. Las tolerancias ⅛ pulgadas absorber la variación natural y no puede reducirse sin riesgo.

Luz de GESA es nominalmente 230 V en la Unión Europea , pero se le permite variar ± 10%. En América del Norte, la tensión nominal es de 120 V, con una variación permitida de 114 V a 126 V (± 5%). Tensión también se suministra a 208 V, 240 V y 480 V, con tolerancias similares. En general, los aparatos eléctricos están diseñados para funcionar con un nominal de tensión , lo que representa un grupo de posibles tensiones reales, el factor de potencia y de CA formas de onda.

Una máquina está diseñada para funcionar en algún caso particular, a menudo aparece en la placa de identificación del dispositivo. Por ejemplo, una bomba está diseñada para ofrecer su presión nominal y el flujo al funcionar a su velocidad nominal y el poder. Las condiciones reales de operación pueden variar.

NiMH y NiCd baterías recargables tienen un voltaje nominal de 1.2 V, pero en realidad la oferta tensiones reales que van desde alrededor de 1,45 V a 1,0 V durante la descarga.

Tasa de interés nominal In finance and economics nominal interest rate or nominal rate of interest refers to the rate of before adjustment for (in contrast with the ); or, for interest rates "as stated" without adjustment for the full effect of (also referred to as the nominal annual rate ). En las finanzas y la economía la tasa de interés nominal o tasa nominal de interés se refiere a la tasa de interés antes del ajuste por inflación (en contraste con la tasa de interés real ), o bien, las tasas de interés "como se indica" sin ajustar por el efecto completo de la composición ( también se conoce como la tasa nominal anual). An interest rate is called nominal if the frequency of compounding (eg a month) is not identical to the basic time unit (normally a year). Una tasa de interés se llama nominal si la frecuencia de capitalización (por ejemplo, un mes) no es idéntica a la unidad de tiempo básica (normalmente un año).

nominal frente a la tasa de interés real

The real interest rate includes both and the nominal rate of interest. La tasa de interés real incluye tanto la inflación y la tasa nominal de interés. In the case of a loan, it is this real interest that the lender receives as income. En el caso de un préstamo, es el verdadero interés que el prestamista recibe como ingreso. If the lender is receiving 8 percent from a loan and inflation is 8 percent, then the real rate of interest is zero because nominal interest and inflation are equal. Si el prestamista recibe un 8 por ciento de un préstamo y la inflación es del 8 por ciento, entonces la tasa real de interés es cero porque el interés nominal y la inflación son iguales. A lender would have no net benefit from such a loan because inflation fully diminishes the value of the loan's profit. Un prestamista no tendría ningún beneficio neto de un préstamo debido a la inflación disminuye totalmente el valor de las ganancias del préstamo.

The relationship between real and nominal interest rates can be described in the equation: La relación entre las tasas de interés reales y nominales puede ser descrita en la ecuación:

where r is the real interest rate, i is the inflation rate, and R is the nominal interest rate. donde r es la tasa de interés real, i es la tasa de inflación, y R es la tasa de interés nominal. [1]

A common approximation for the real interest rate is: Una aproximación común para la tasa de interés real es:

real interest rate = nominal interest rate - expected inflation tasa de interés real = Tasa de interés nominal - inflación esperada

In this analysis, the nominal rate is the stated rate, and the real interest rate is the interest after the expected losses due to inflation. En este análisis, la tasa nominal es la tasa establecida, y la tasa de interés real es el interés después de las pérdidas esperadas debido a la inflación. Since the future inflation rate can only be estimated, the ex ante and ex post (before and after the fact) real interest rates may be different; the premium paid to actual inflation may be higher or lower. Dado que la tasa de inflación futura sólo puede ser estimado, el ex-ante y ex post (antes y después del hecho) las tasas de interés real puede ser diferente, la prima pagada a la inflación real puede ser mayor o menor. In contrast, the nominal interest rate is known in advance. En cambio, la tasa de interés nominal se conoce de antemano.

nominal frente a la tasa de interés efectiva

The nominal interest rate is the periodic interest rate times the number of periods per year. El tipo de interés nominal es la tasa de interés periódica veces el número de períodos por año. For example, a nominal annual interest rate of 12% based on monthly compounding means a 1% interest rate per month (compounded). A nominal interest rate for compounding periods less than a year is always lower than the equivalent rate with annual compounding. Por ejemplo, un tipo de interés nominal anual del 12% sobre la base de capitalización mensual, un tipo de interés al 1% por mes (compuesto). [2] Un tipo de interés nominal para los períodos de capitalización menos de un año es siempre inferior a la tasa equivalente anual composición. A nominal rate without the compounding frequency is not fully defined: for any interest rate, the cannot be specified without knowing the compounding frequency and the rate. Un tipo de cambio nominal sin la frecuencia de capitalización no está totalmente definido: para cualquier tipo de interés, el tipo de interés efectivo no se puede especificar sin conocer la frecuencia de capitalización y la tasa. Although some conventions are used where the compounding frequency is understood, consumers in particular may fail to understand the importance of knowing the effective rate. A pesar de algunas convenciones se utilizan cuando la frecuencia de capitalización se entiende, los consumidores, en particular, puede no entender la importancia de conocer la tasa efectiva.

Nominal interest rates are not comparable unless their compounding periods are the same; correct for this by "converting" nominal rates into annual compound interest. las tasas de interés nominales no son comparables a menos que sus períodos de capitalización son los mismos, las tasas de interés efectivas correcto para esto "convertir" en las tasas nominales de interés compuesto anual. In many cases, depending on local regulations, interest rates as quoted by lenders and in advertisements are based on nominal, not effective interest rates, and hence may understate the interest rate compared to the equivalent effective annual rate. En muchos casos, dependiendo de las regulaciones locales, las tasas de interés fijado por los prestamistas y en los anuncios se basan en las tasas de interés nominales no, eficaz, y por lo tanto puede subestimar la tasa de interés en comparación con el equivalente a la tasa efectiva anual.

The term should not be confused with simple interest (as opposed to ). El término no debe confundirse con un interés simple (en comparación con el interés compuesto ). Simple

interest is interest that is not compounded. El interés simple es de interés que no se complica.

The is always calculated as if compounded annually. El tipo de interés efectivo se calcula siempre como si compuesto anual. The effective rate is calculated in the following way, where r is the effective rate, i the nominal rate (as a decimal, eg 12% = 0.12), and n the number of compounding periods per year (for example, 12 for monthly compounding): La tasa efectiva se calcula de la siguiente manera, donde r es la tasa efectiva, i la tasa nominal (como un decimal, por ejemplo, 12% = 0,12), y n el número de períodos de capitalización por año (por ejemplo, 12 para la capitalización mensual ):

Ejemplos

Capitalización mensual

Example 1: A nominal interest rate of 6% compounded monthly is equivalent to an of 6.17%. Ejemplo 1: Un tipo de interés nominal del 6% de interés compuesto mensual es equivalente a una tasa de interés efectiva de 6,17%.

Example 2: 6% annually is credited as 6%/12 = 0.5% every month. Ejemplo 2: 6% anual es acreditado como el 6% / 12 = 0,5% cada mes. After one year, the initial capital is increased by the factor (1+0.005) 12 ≈ 1.0617. Después de un año, el capital inicial se incrementa por el factor (1 .005) 12 ≈ 1,0617.

Capitalización diaria

A loan with daily compounding will have a substantially higher rate in effective annual terms. Un préstamo con interés compuesto diario tendrá una tasa sustancialmente más alta en términos efectivos anuales. For a loan with a 10% nominal annual rate and daily compounding, the effective annual rate is 10.516%. Para un préstamo con una tasa de 10% nominal anual y la capitalización diaria, la tasa efectiva anual es 10.516%. For a loan of $10,000 (paid at the end of the year in a single ), the borrower would pay $51.56 more than one who was charged 10% interest, compounded annually. Para un préstamo de $ 10.000 (se paga al final del año en una sola suma global ), el prestatario pagaría 51.56 dólares más que uno que se pagan el 10% de interés compuesto anual.

Time value of money Tiempo de valor del dinero The time value of money is the value of money figuring in a given amount of earned over a given amount of time. El valor temporal del dinero es el valor del dinero que figuran en

una determinada cantidad de intereses devengados durante un período de tiempo determinado.

For example, 100 dollars of today's money invested for one year and earning 5 percent interest will be worth 105 dollars after one year. Por ejemplo, 100 dólares en dinero de hoy invirtió durante un año y ganando cinco por ciento de interés tendrá un valor de 105 dólares después de un año. Therefore, 100 dollars paid now or 105 dollars paid exactly one year from now both have the same value to the recipient who assumes 5 percent interest; using time value of money terminology , 100 dollars invested for one year at 5 percent interest has a future value of 105 dollars. This notion dates at least to (1491–1586) of the . Por lo tanto, ahora pagan 100 dólares o 105 dólares pagados exactamente un año a partir de ahora los dos tienen el mismo valor para el receptor que supone cinco por ciento de interés, utilizando el valor temporal del dinero terminología, 100 dólares invertidos por un año a un interés del 5 por ciento tiene un valor de futuro de 105 dólares. [1] Este concepto data al menos de Martín de Azpilcueta (1491 hasta 1586) de la Escuela de Salamanca .

The method also allows the valuation of a likely stream of income in the future, in such a way that the annual incomes are discounted and then added together, thus providing a lump-sum "present value" of the entire income stream. El método también permite la valoración de un flujo previsible de ingresos en el futuro, de tal manera que los ingresos anuales se descuentan y suman, proporcionando así una suma global "valor presente" de la corriente de los ingresos totales.

All of the standard calculations for time value of money derive from the most basic algebraic expression for the of a future sum, " " to the present by an amount equal to the time value of money. Todos los cálculos estándar de valor de tiempo de sacar dinero de la expresión algebraica más básico para el valor presente de una suma futura, " descuento "en el presente en una cantidad igual al valor temporal del dinero. For example, a sum of FV to be received in one year is discounted (at the rate of interest r ) to give a sum of PV at present: PV = FV − r · PV = FV/(1+r). Por ejemplo, una suma de FV para ser recibido en un año es con descuento (al tipo de interés r) para dar una suma de la energía fotovoltaica en la actualidad: PV = FV - R · PV = VF / (1 + r).

Some standard calculations based on the time value of money are: Algunos cálculos estándar basado en el valor temporal del dinero son:

The current worth of a future sum of money or stream of given a specified rate of return. Valor actual El valor actual de una suma de dinero futuro o corriente de flujos de efectivo debido a una tasa determinada de retorno. Future cash flows are discounted at the discount rate, and the higher the discount rate, the lower the present value of the future cash flows. los flujos de efectivo futuros se descuentan a la tasa de descuento, y cuanto mayor sea la tasa de descuento, menor será el valor presente de los flujos de efectivo futuros. Determining the appropriate discount rate is the key to properly valuing future cash flows, whether they be earnings or obligations. La determinación de la tasa de descuento apropiada es la clave para valorar adecuadamente los flujos de efectivo futuros, ya sean los ingresos y obligaciones. [2]

Present value of an An annuity is a series of equal payments or receipts that occur at evenly spaced intervals. Valor actual de una anualidad Una anualidad es una serie de pagos iguales o recibos que se producen a intervalos espaciados uniformemente. Leases and rental payments are examples. Arrendamientos y pagos de alquiler son algunos ejemplos. The payments or receipts occur at the end of each period for an ordinary annuity while they occur at the beginning of each period for an annuity due. Los pagos o cobros se producen al final de cada período de una anualidad ordinaria, mientras que se producen al comienzo de cada período de una anualidad anticipada. [3]

Present value of a is an infinite and constant stream of identical cash flows. Valor actual de una perpetuidad es una constante y flujo infinito de los flujos de efectivo idénticos. [4]

is the value of an asset or cash at a specified date in the future that is equivalent in value to a specified sum today. Valor futuro es el valor de un activo o efectivo en una fecha determinada en el futuro que es equivalente en valor a una determinada suma en la actualidad. [5]

Future value of an annuity (FVA) is the future value of a stream of payments (annuity), assuming the payments are invested at a given rate of interest. Valor futuro de una anualidad (FVA) es el valor futuro de un flujo de pagos (renta vitalicia), suponiendo que los pagos se invierten a una tasa de interés dada.

Los cálculos

There are several basic equations that represent the equalities listed above. Hay varias ecuaciones básicas que representan las igualdades anteriores. The solutions may be found using (in most cases) the formulas, a financial calculator or a . Las soluciones se pueden encontrar utilizando (en la mayoría de los casos) las fórmulas, una calculadora financiera o una hoja de cálculo . The formulas are programmed into most financial calculators and several spreadsheet functions (such as PV, FV, RATE, NPER, and PMT). Las fórmulas que se programan en la mayoría de las calculadoras financieras y hoja de cálculo de varias funciones (por ejemplo, VA, VF, tipo, nper, y PMT). [6]

For any of the equations below, the formula may also be rearranged to determine one of the other unknowns. Para cualquiera de las siguientes ecuaciones, la fórmula también puede ser reorganizado para determinar una de las incógnitas otros. In the case of the standard annuity formula, however, there is no closed-form algebraic solution for the interest rate (although financial calculators and spreadsheet programs can readily determine solutions through rapid trial and error algorithms). En el caso de la fórmula de anualidad estándar, sin embargo, no hay ninguna solución cerrada de forma algebraica de la tasa de interés (a pesar de las calculadoras financieras y programas de hoja de cálculo puede determinar fácilmente soluciones a través de juicio rápido y algoritmos de error).

These equations are frequently combined for particular uses. Estas ecuaciones se combinan con frecuencia para usos particulares. For example, can be readily priced using these

equations. Por ejemplo, los bonos pueden ser fácilmente precio uso de estas ecuaciones. A typical coupon bond is composed of two types of payments: a stream of coupon payments similar to an annuity, and a lump-sum at the end of the bond's - that is, a future payment. Un bono cupón típica se compone de dos tipos de pagos: una corriente de pago de cupones similar a una renta vitalicia y una suma global retorno del capital al final del enlace de la madurez - es decir, un pago futuro. The two formulas can be combined to determine the present value of the bond. Las dos fórmulas se pueden combinar para determinar el valor presente del bono.

An important note is that the interest rate i is the interest rate for the relevant period. Una nota importante es que el i tasa de interés es la tasa de interés para el período correspondiente. For an annuity that makes one payment per year, i will be the annual interest rate. Para una anualidad que hace un pago por año, voy a ser la tasa de interés anual. For an income or payment stream with a different payment schedule, the interest rate must be converted into the relevant periodic interest rate. Para un flujo de ingresos o el pago con un calendario de pagos diferentes, el tipo de interés se debe convertir en el tipo de interés periódico pertinentes. For example, a monthly rate for a mortgage with monthly payments requires that the interest rate be divided by 12 (see the example below). Por ejemplo, una tasa mensual de una hipoteca con pagos mensuales que requiere que la tasa de interés se divide por 12 (véase el ejemplo de abajo). See for details on converting between different periodic interest rates. Ver el interés compuesto para obtener detalles sobre la conversión entre diferentes tipos de interés periódicos.

The rate of return in the calculations can be either the variable solved for, or a predefined variable that measures a discount rate, interest, inflation, rate of return, cost of equity, cost of debt or any number of other analogous concepts. La tasa de rendimiento en los cálculos pueden ser la variable para resolver, o una variable predefinida que las medidas de una tasa de descuento, el interés, inflación, tasa de rendimiento, costo de capital, coste de la deuda o cualquier número de otros conceptos análogos. The choice of the appropriate rate is critical to the exercise, and the use of an incorrect discount rate will make the results meaningless. La elección del tipo adecuado es fundamental para el ejercicio y el uso de una tasa de descuento incorrecto hará que los resultados sin sentido.

For calculations involving annuities, you must decide whether the payments are made at the end of each period (known as an ordinary annuity), or at the beginning of each period (known as an annuity due). Para los cálculos relativos a las anualidades, debe decidir si los pagos se hacen al final de cada período (conocido como una anualidad ordinaria), o al comienzo de cada período (conocido como una anualidad anticipada). If you are using a financial calculator or a , you can usually set it for either calculation. Si está utilizando una calculadora financiera o una hoja de cálculo , por lo general, la puedes programar para cualquier cálculo. The following formulas are for an ordinary annuity. Las siguientes fórmulas son de una anualidad ordinaria. If you want the answer for the Present Value of an annuity due simply multiply the PV of an ordinary annuity by (1 + i ). Si quieres la respuesta para el valor actual de una renta vitalicia por simplemente multiplique el valor actual de una anualidad ordinaria por (1 + i).

Fórmula

Valor presente de una suma futura

The present value formula is the core formula for the time value of money; each of the other formulae is derived from this formula. La fórmula del valor actual es la fórmula básica para el valor temporal del dinero; cada una de las otras fórmulas se deriva de esta fórmula. For example, the annuity formula is the sum of a series of present value calculations. Por ejemplo, la fórmula de anualidad es la suma de una serie de cálculos de valor presente.

The (PV) formula has four variables, each of which can be solved for: El valor presente (PV), la fórmula tiene cuatro variables, cada una de las cuales pueden ser resueltos para:

1. PV is the value at time=0 VA es el valor en el tiempo = 0 2. FV is the value at time=n FV es el valor en el tiempo n = 3. i is the interest rate at which the amount will be compounded each period i es la tasa de

interés al que la cantidad se verá agravada cada período 4. n is the number of periods (not necessarily an integer) n es el número de períodos (no

necesariamente un número entero)

The cumulative of future cash flows can be calculated by summing the contributions of , the value of cash flow at time=t El acumulado del valor actual de los flujos de efectivo futuros se puede calcular sumando las contribuciones de F V t, el valor del flujo de caja en el tiempo = t

Note that this series can be summed for a given value of n, or when n is Tenga en cuenta que esta serie se puede resumir para un valor dado de n, o cuando n es . This is a very general formula, which leads to several important special cases given below. . [7] Esta es una fórmula muy general, lo que lleva a varios casos especiales importantes que figuran a continuación.

Valor presente de una anualidad para n periodos de pago

In this case the cash flow values remain the same throughout the n periods. En este caso los valores de flujo de efectivo siguen siendo los mismos durante los períodos n. The present value of an (PVA) formula has four variables, each of which can be solved for: El valor

presente de una anualidad (PVA), la fórmula tiene cuatro variables, cada una de las cuales pueden ser resueltos para:

1. PV(A) is the value of the annuity at time=0 PV (A) es el valor de la anualidad en el tiempo = 0

2. A is the value of the individual payments in each compounding period A es el valor de los pagos individuales en cada período de capitalización

3. i equals the interest rate that would be compounded for each period of time i es igual a la tasa de interés que se vería agravada por cada período de tiempo

4. n is the number of payment periods. n es el número de períodos de pago.

To get the PV of an , multiply the above equation by (1 + i ). Para obtener el VA de una anualidad anticipada , se multiplica la ecuación anterior por (1 + i).

[ editar ] Valor presente de una anualidad creciente

In this case each cash flow grows by a factor of (1+g). En este caso, cada flujo de caja crece en un factor de (1 + g). Similar to the formula for an annuity, the present value of a growing annuity (PVGA) uses the same variables with the addition of g as the rate of growth of the annuity (A is the annuity payment in the first period). Similar a la fórmula de una anualidad, el valor presente de una anualidad de crecimiento (PVGA) utiliza las mismas variables con la adición de g como la tasa de crecimiento de la anualidad (A es el pago de la anualidad en el primer período). This is a calculation that is rarely provided for on financial calculators. Este es un cálculo que rara vez se proporcionan para los de las calculadoras financieras.

Where i ≠ g : Donde i ≠ g:

To get the PV of a growing , multiply the above equation by (1 + i ). Para obtener el valor actual de una creciente anualidad anticipada , se multiplica la ecuación anterior por (1 + i).

Where i = g : Donde i = g:

Valor presente de una perpetuidad

When Cuando , the PV of a perpetuity (a perpetual annuity) formula becomes simple division. , El PV de una perpetuidad (una anualidad perpetua), la fórmula se convierte en simple división.

Valor presente de una perpetuidad creciente

When the perpetual annuity payment grows at a fixed rate (g) the value is theoretically determined according to the following formula. Cuando el pago de la anualidad perpetua crece a una tasa fija (g) el valor es teóricamente determinado de acuerdo con la siguiente fórmula. In practice, there are few securities with precise characteristics, and the application of this valuation approach is subject to various qualifications and modifications. En la práctica, hay pocos valores con características precisas, y la aplicación de este método de valoración está sujeta a varias matizaciones y modificaciones. Most importantly, it is rare to find a growing perpetual annuity with fixed rates of growth and true perpetual cash flow generation. Más importante aún, es raro encontrar una anualidad de crecimiento perpetuo con tasas fijas de crecimiento y generación de cierto perpetuo flujo de caja. Despite these qualifications, the general approach may be used in valuations of real estate, equities, and other assets. A pesar de estas calificaciones, el enfoque general pueden ser usadas en las valoraciones de bienes inmuebles, acciones y otros activos.

This is the well known used for . Este es el conocido modelo de Gordon de crecimiento utilizados para valoración de las existencias .

Valor futuro de una suma presente

The (FV) formula is similar and uses the same variables. El valor futuro (FV), la fórmula es similar y utiliza las mismas variables.

Valor futuro de una anualidad

The future value of an (FVA) formula has four variables, each of which can be solved for: El valor futuro de una anualidad (FVA), la fórmula tiene cuatro variables, cada una de las cuales pueden ser resueltos para:

1. FV ( A ) is the value of the annuity at time = n FV (A) es el valor de la anualidad en el momento n =

2. A is the value of the individual payments in each compounding period A es el valor de los pagos individuales en cada período de capitalización

3. i is the interest rate that would be compounded for each period of time i es la tasa de interés que se vería agravada por cada período de tiempo

4. n is the number of payment periods n es el número de períodos de pago

Valor futuro de una anualidad creciente

The future value of a growing annuity (FVA) formula has five variables, each of which can be solved for: El valor futuro de una anualidad de crecimiento (FVA), la fórmula tiene cinco variables, cada una de las cuales pueden ser resueltos para:

Where i ≠ g : Donde i ≠ g:

Where i = g : Donde i = g:

1. FV ( A ) is the value of the annuity at time = n FV (A) es el valor de la anualidad en el momento n =

2. A is the value of initial payment paid at time 1 A es el valor del pago inicial pagado en el momento 1

3. i is the interest rate that would be compounded for each period of time i es la tasa de interés que se vería agravada por cada período de tiempo

4. g is the growing rate that would be compounded for each period of time g es la tasa de crecimiento que se vería agravada por cada período de tiempo

5. n is the number of payment periods n es el número de períodos de pago

[Derivaciones

derivación Anualidad

The formula for the present value of a regular stream of future payments (an annuity) is derived from a sum of the formula for future value of a single future payment, as below, where C is the payment amount and n the period. La fórmula para el valor presente de un flujo regular de los pagos futuros (una anualidad) se deriva de una suma de la fórmula de

valor futuro de un pago único futuro, como es abajo, donde C es la cantidad del pago y n el período.

A single payment C at future time m has the following future value at future time n : Un C de pago único en el momento m futuro tiene el futuro valor siguiente en el tiempo n el futuro:

Summing over all payments from time 1 to time n, then reversing the order of terms and substituting : Sumando todos los pagos del tiempo 1 al tiempo n, a continuación, invertir el

orden de los términos y la sustitución de k = n - m:

Note that this is a , with the initial value being , the multiplicative factor being , with

terms. Tenga en cuenta que se trata de una serie geométrica , con el valor inicial de ser un = C, el factor multiplicativo es de 1 + i, con n términos. Applying the formula for geometric series, we get Aplicando la fórmula de la serie geométrica, obtenemos

The present value of the annuity (PVA) is obtained by simply dividing by : El valor actual

de la anualidad (PVA) se obtiene simplemente dividiendo por (1 + i) n:

Another simple and intuitive way to derive the future value of an annuity is to consider an endowment, whose interest is paid as the annuity, and whose principal remains constant. Otra forma sencilla e intuitiva para obtener el valor futuro de una anualidad es considerar una donación, cuyo interés se paga como la anualidad, y cuyo principal se mantiene constante. The principal of this hypothetical endowment can be computed as that whose interest equals the annuity payment amount: El director de esta dotación hipotética puede ser computado como aquel cuyo interés es igual a la cantidad del pago de anualidades:

+ goal Principal = C / i + objetivo

Note that no money enters or leaves the combined system of endowment principal + accumulated annuity payments, and thus the future value of this system can be computed simply via the future value formula: Tenga en cuenta que no hay dinero entra o sale del sistema combinado de capital dotación + acumulado pagos de la anualidad, y por lo tanto el valor futuro de este sistema se puede calcular simplemente a través de la fórmula del valor futuro:

V F V = P (1 + i) n

Initially, before any payments, the present value of the system is just the endowment principal ( ). Inicialmente, antes de cualquier pago, el valor actual del sistema es el director

de dotación (P V = C / i). At the end, the future value is the endowment principal (which

is the same) plus the future value of the total annuity payments ( ). Al final, el valor futuro es la principal dotación (que es lo mismo) más el valor futuro de los pagos de la anualidad total (F V = C / i + F V A). Plugging this back into the equation: Al conectar este en la ecuación:

Derivación Perpetuidad

Without showing the formal derivation here, the perpetuity formula is derived from the annuity formula. Sin mostrar la derivación formal de aquí, la fórmula de perpetuidad se deriva de la fórmula de renta vitalicia. Specifically, the term: En concreto, el término:

can be seen to approach the value of 1 as n grows larger. se puede ver acercarse al valor de 1 cuando n se hace más grande. At infinity, it is equal to 1, leaving En el infinito, es igual a

1, dejando as the only term remaining. como el único plazo restante.

Ejemplos

Ejemplo 1: El valor actual

One hundred euros to be paid 1 year from now, where the expected rate of return is 5% per year, is worth in today's money: Cien euros a pagar un año a partir de ahora, donde la tasa de rendimiento esperada es del 5% al año, vale la pena en dinero de hoy:

So the present value of €100 one year from now at 5% is €95.24. Por lo tanto el valor actual de 100 € dentro de un año en un 5% es € 95.24.

Ejemplo 2: El valor actual de una anualidad - la solución para la cantidad de pago

Consider a 10 year mortgage where the principal amount P is $200,000 and the annual interest rate is 6%. Considere la posibilidad de una hipoteca de 10 años donde el director cantidad P es de $ 200.000 y la tasa de interés anual es del 6%.

The number of monthly payments is El número de pagos mensuales se

and the monthly interest rate is y la tasa de interés mensual es de

The for ( A / P ) calculates the monthly payment: La fórmula de renta vitalicia para (A / P) calcula el pago mensual:

This is considering an interest rate compounding monthly. Esto es considerando una tasa de interés compuesto mensual. If the interest were only to compound yearly at 6%, the monthly payment would be significantly different. Si el interés sólo al compuesto anual del 6%, el pago mensual sería muy diferente.

Ejemplo 3: Solución para el período necesario para duplicar el dinero

Consider a deposit of $100 placed at 10% (annual). Considere la posibilidad de un depósito de $ 100 colocado en un 10% (anual). How many years are needed for the value of the

deposit to double to $200? ¿Cuántos años se necesitan para el valor del depósito a duplicarse a 200 dólares?

Using the algrebraic identity that if: Utilizando la identidad algrebraic que si:

then a continuación,

The present value formula can be rearranged such that: La fórmula de valor presente se puede reorganizar de forma que:

(years) (Años)

This same method can be used to determine the length of time needed to increase a deposit to any particular sum, as long as the interest rate is known. Este mismo método se puede utilizar para determinar el tiempo necesario para aumentar un depósito a una indemnización de particulares, siempre y cuando la tasa de interés que se conoce. For the period of time needed to double an investment, the is a useful shortcut that gives a reasonable approximation of the period needed. Para el período de tiempo necesario para duplicar la inversión, la regla del 72 es un atajo útil que da una aproximación razonable del tiempo necesario.

Ejemplo 4: ¿Qué cambio se necesita el doble de dinero?

Similarly, the present value formula can be rearranged to determine what is needed to accumulate a given amount from an investment. Del mismo modo, la fórmula del valor presente se puede reorganizar para determinar qué tasa de rendimiento que se necesita para acumular una cantidad determinada de una inversión. For example, $100 is invested today and $200 return is expected in five years; what rate of return (interest rate) does this represent? Por ejemplo, $ 100 se invierte hoy un total de $ 200 se espera que en cinco años, ¿qué tasa de rentabilidad (tasa de interés) representa esto?

The present value formula restated in terms of the interest rate is: La fórmula de valor presente actualizado en cuanto a la tasa de interés es:

see also véase también la regla del 72

Ejemplo 5: Calcular el valor de un depósito de ahorros en el futuro.

To calculate the future value of a stream of savings deposit in the future requires two steps, or, alternatively, combining the two steps into one large formula. Para calcular el valor futuro de una corriente de depósito de ahorros en el futuro requiere de dos pasos, o, alternativamente, la combinación de los dos pasos en una fórmula general. First, calculate the present value of a stream of deposits of $1,000 every year for 20 years earning 7% interest: En primer lugar, calcular el valor actual de una corriente de depósitos de $ 1,000 cada año durante 20 años ganando 7% de interés:

This does not sound like very much, but remember - this is future money discounted back to its value today ; it is understandably lower. Esto no suena como mucho, pero recuerda - se trata de dinero futuros descontados a su valor actual, es comprensible inferior. To calculate the future value (at the end of the twenty-year period): Para calcular el valor futuro (al final del período de veinte años):

These steps can be combined into a single formula: Estos pasos se pueden combinar en una sola fórmula:

Ejemplo 6: Precio / ganancias (P / E) El índice de

It is often mentioned that perpetuities, or securities with an indefinitely long maturity, are rare or unrealistic, and particularly those with a growing payment. A menudo se menciona que perpetuidades, o valores a plazo indefinido de largo, son raras o poco realistas, y en particular aquellos con un pago cada vez mayor. In fact, many types of assets have characteristics that are similar to perpetuities. De hecho, muchos tipos de activos tienen características que son similares a las perpetuidades. Examples might include income-oriented real estate, preferred shares, and even most forms of publicly-traded stocks. Los ejemplos pueden incluir los ingresos de bienes raíces orientada, acciones preferidas, e incluso la mayoría de las formas de las poblaciones que cotiza en bolsa. Frequently, the terminology may be slightly different, but are based on the fundamentals of time value of money calculations. Con frecuencia, la terminología puede ser algo diferente, pero se basan en los fundamentos del valor de tiempo de los cálculos de dinero. The application of this methodology is subject to various qualifications or modifications, such as the . La aplicación de esta metodología está sujeta a diversas calificaciones o modificaciones, como el modelo de crecimiento Gordon .

For example, stocks are commonly noted as trading at a certain . Por ejemplo, las existencias suelen señalar como el comercio en una determinada relación P / E . The P/E ratio is easily recognized as a variation on the perpetuity or growing perpetuity formulae - save that the P/E ratio is usually cited as the inverse of the "rate" in the perpetuity formula. La relación P / E es fácilmente reconocible como una variación en la perpetuidad o perpetuidad fórmulas cada vez mayor - salvo que la relación P / E es usualmente citado como el inverso de la "tasa" en la fórmula de perpetuidad.

If we substitute for the time being: the price of the stock for the present value; the of the stock for the cash annuity; and, the discount rate of the stock for the interest rate, we can see that: Si sustituimos por el momento: el precio de las acciones por el valor actual, el beneficio por acción de las acciones de la anualidad en efectivo, y, la tasa de descuento de las acciones de la tasa de interés, podemos ver que:

And in fact, the P/E ratio is analogous to the inverse of the interest rate (or discount rate). Y de hecho, la relación P / E es análoga a la inversa de la tasa de interés (o tasa de descuento).

Of course, stocks may have increasing earnings. Por supuesto, las acciones pueden tener aumento de la renta. The formulation above does not allow for growth in earnings, but to incorporate growth, the formula can be restated as follows: La formulación anterior no permite el crecimiento de los ingresos, sino incorporar el crecimiento, la fórmula puede ser reformulada de la siguiente manera:

If we wish to determine the implied rate of growth (if we are given the discount rate), we may solve for g : Si se desea determinar la tasa implícita de crecimiento (si se nos da la tasa de descuento), podemos resolver para g:

capitalización continua

Rates are sometimes converted into the continuous compound interest rate equivalent because the continuous equivalent is more convenient (for example, more easily differentiated). Precios a veces se convierten en el interés compuesto continuo tasa

equivalente porque el continuo equivalente es más conveniente (por ejemplo, más fácilmente diferenciadas). Each of the formulæ above may be restated in their continuous equivalents. Cada una de las fórmulas anteriores pueden ser actualizados en sus equivalentes continua. For example, the present value at time 0 of a future payment at time t can be restated in the following way, where is the base of the and r is the continuously compounded rate: Por ejemplo, el valor actual en el tiempo 0 de un futuro pago en el tiempo t puede ser reformulada de la siguiente manera, donde e es la base de los logaritmos naturales yr es la tasa compuesta continuamente:

This can be generalized to discount rates that vary over time: instead of a constant discount rate r, one uses a function of time In that case the discount factor, and thus the present

value, of a cash flow at time T is given by the of the continuously compounded rate Esto puede ser generalizado a las tasas de descuento que varían con el tiempo: de una constante, la tasa de descuento r se utiliza una función del tiempo (t r). Lugar En ese caso, el factor de descuento, y por lo tanto el valor actual de un flujo de caja en el momento T viene dada por la integral de la tasa compuesta en forma continua r (t):

Indeed, a key reason for using continuous compounding is to simplify the analysis of varying discount rates and to allow one to use the tools of calculus. De hecho, una razón clave para el uso de capitalización continua es simplificar el análisis de las tasas de descuento diferentes y permitir que se debe usar las herramientas de cálculo. Further, for interest accrued and capitalized overnight (hence compounded daily), continuous compounding is a close approximation for the actual daily compounding. Además, por intereses devengados y capitalizados durante la noche (por lo tanto, se capitaliza diariamente), compuesto continuo es una buena aproximación para la capitalización diaria real. More sophisticated analysis includes the use of , as detailed below. Más sofisticado análisis incluye el uso de ecuaciones diferenciales , como se detalla a continuación.

[ editar ] Ejemplos

Using continuous compounding yields the following formulas for various instruments: Uso de los rendimientos continua agravando las siguientes fórmulas de distintos instrumentos:

Annuity Anualidad

Perpetuity Perpetuidad

Growing annuity Crecimiento anualidad

Growing perpetuity Crecimiento perpetuidad

Annuity with continuous payments Anualidad con pagos continuos

Ecuaciones diferenciales

and (ODEs and PDEs) – equations involving derivatives and one (respectively, multiple) variables are ubiquitous in more advanced treatments of financial mathematics . Ordinarias y parciales ecuaciones diferenciales (EDO y EDP) - ecuaciones con derivados y uno (respectivamente, múltiple) las variables son muy abundantes en los tratamientos más avanzados de matemáticas financieras . While time value of money can be understood without using the framework of differential equations, the added sophistication sheds additional light on time value, and provides a simple introduction before considering more complicated and less familiar situations. Mientras que el valor temporal del dinero se puede entender sin necesidad de utilizar el marco de las ecuaciones diferenciales, la sofisticación agregó arroja luz adicional sobre el valor del tiempo, y contiene una introducción básica antes de considerar las situaciones más complicadas y menos conocidos. This exposition follows ( , pp. 6–7). Esta exposición sigue ( Carr y Flesaker 2006 , pp 6-7).

The fundamental change that the differential equation perspective brings is that, rather than computing a number (the present value now ), one computes a function (the present value now or at any point in future ). El cambio fundamental que la perspectiva de la ecuación diferencial trae es que, en lugar de calcular un número (el valor presente de ahora), uno calcula una función (el valor presente ahora o en cualquier punto en el futuro). This function may then be analyzed – how does its value change over time – or compared with other functions. Esta función puede entonces ser analizados - ¿cómo cambia su valor con el tiempo - o en comparación con otras funciones.

Formally, the statement that "value decreases over time" is given by defining the linear differential operator Formalmente, la afirmación de que "el valor disminuye con el tiempo" viene dada por la definición del operador diferencial lineal as: como:

This states that values decreases (−) over time ( Esto indica que los valores disminuye (-) el paso del tiempo ( ) at the discount rate ( ). ) En la tasa de descuento (r (t)). Applied to a function it yields: Aplicado a una función que da como resultado:

For an instrument whose payment stream is described by the value satisfies the

inhomogeneous first-order ODE Para un instrumento cuyo pago corriente es descrita por f (t), el valor de V (t) satisface la no homogénea de primer orden ODE ("inhomogeneous" is because one has f rather than 0, and "first-order" is because one has first derivatives but no higher derivatives) – this encodes the fact that when any cash flow occurs, the value of the instrument changes by the value of the cash flow (if you receive a $10 coupon, the remaining value decreases by exactly $10). ("No homogéneo" es porque se tiene f en lugar de 0, y "de primer orden" es porque uno tiene primeras derivadas, pero no los derivados más) - este codifica el hecho de que cuando se produce ningún flujo de caja, el valor de los cambios acto mediante la valor del flujo de efectivo (si usted recibe un cupón de $ 10, el valor restante disminuye por exactamente $ 10).

The standard technique tool in the analysis of ODEs is the use of , from which other solutions can be built. La herramienta técnica estándar en el análisis de EDOs es el uso de las funciones de verde , de la que otras soluciones se pueden construir. In terms of time value of money, the Green's function (for the time value ODE) is the value of a bond paying $1 at a single point in time u – the value of any other stream of cash flows can then be obtained by taking combinations of this basic cash flow. En términos de valor temporal del dinero, la función de Green de la (por el valor de tiempo ODE) es el valor de un bono que paga $ 1 en un solo punto en u tiempo - el valor de cualquier otra corriente de flujos de efectivo puede ser obtenido a partir de combinaciones de este flujo de efectivo de base. In mathematical terms, this instantaneous cash flow is modeled as a En términos

matemáticos, este flujo de efectivo instantáneo se modela como una función delta u δ (t) = δ (t - u).

The Green's function for the value at time t of a $1 cash flow at time u is La función de Green para el valor en el tiempo t de un flujo de caja 1 $ en u hora

where H is the – the notation " " is to emphasize that u is a parameter (fixed in any instance – the time when the cash flow will occur), while t is a variable (time). donde H es la función escalón de Heaviside - la notación "u" es hacer hincapié en que u es un parámetro (fijada en cualquier instancia - el momento en que el flujo de caja se produce), mientras que t es una variable (tiempo). In other words, future cash flows are exponentially

discounted (exp) by the sum (integral, En otras palabras, los flujos de caja futuros son

descontados de forma exponencial (exp) por la suma (integral, ) of the future discount

rates ( ) De las tasas de descuento en el futuro ( for future, for discount rates), while past

cash flows are worth 0 ( ), because they have already occurred. para el futuro, r (v) las

tasas de descuento), mientras que los flujos de efectivo últimos valen 0 (H (u - t) = 1 si t> <u, 0 si t u), porque ya han ocurrido. Note that the value at the moment of a cash flow is not well-defined – there is a discontinuity at that point, and one can use a convention (assume cash flows have already occurred, or not already occurred), or simply not define the value at that point. Tenga en cuenta que el valor en el momento de un flujo de caja no está bien definida - hay una discontinuidad en ese punto, y se puede utilizar una convención (asumir los flujos de efectivo ya se han producido, o no ocurrió ya), o simplemente no definir el valor en ese punto.

In case the discount rate is constant, En el caso de la tasa de descuento es constante,

this simplifies to esto simplifica a

where is "time remaining until cash flow". donde (u - t) es "el tiempo restante hasta que el flujo de efectivo".

Thus for a stream of cash flows ending by time T (which can be set to Así, para una

corriente de flujos de efectivo f (u) que termina en un tiempo t (que se puede establecer en

for no time horizon) the value at time t, is given by combining the values of

these individual cash flows: sin horizonte de tiempo) el valor en el tiempo t, V (t, T) está dada por la combinación de los valores de estos flujos de efectivo individuales:

This formalizes time value of money to future values of cash flows with varying discount rates, and is the basis of many formulas in financial mathematics, such as the Black–Scholes formula with . Esto formaliza el valor temporal del dinero para los valores futuros de los flujos de efectivo con diferentes tasas de descuento, y es la base de muchas fórmulas de matemática financiera, como la fórmula Negro-Scholes con los tipos de interés variable .

Compound interest El interés compuesto

20% growth on a $1000 investment Crecimiento de 20% de una inversión de $ 1000

Compound interest arises when is added to the , so that from that moment on, the interest that has been added also itself earns interest. El interés compuesto se produce cuando los intereses se agrega a la principal , de modo que desde ese momento, el interés que se ha agregado también se gana intereses. This addition of interest to the principal is called compounding . Esta adición de interés para el director se llama compuesto. A bank account, for example, may have its interest compounded every year: in this case, an account with $1000 initial principal and 20% interest per year would have a balance of $1200 at the end of the first year, $1440 at the end of the second year, and so on. Una cuenta de banco, por ejemplo, puede tener su interés compuesto cada año: en este caso, una cuenta con el director de 1.000 dólares iniciales y 20% de interés anual que tiene un saldo de $ 1200 al final del primer año, 1.440 dólar al final de el segundo año, y así sucesivamente.

In order to define an interest rate fully, and enable one to compare it with other interest rates, the interest rate and the compounding frequency must be disclosed. Con el fin de definir un tipo de interés plenamente, y le permiten a uno lo compara con las tasas de interés, la tasa de interés y la frecuencia de capitalización debe ser divulgada. Since most people prefer to think of rates as a yearly percentage, many governments require financial institutions to disclose the equivalent yearly compounded interest rate on deposits or advances. Dado que la mayoría de la gente prefiere pensar en las tasas como un porcentaje anual, muchos gobiernos exigen las instituciones financieras a revelar el equivalente anual de tasa de interés compuesto en los depósitos o anticipos. For instance the yearly rate for a loan with 1% interest per month is approximately 12.68% per annum (1.01^12 - 1). Por ejemplo, la tasa anual para un préstamo con el 1% de interés mensual es de aproximadamente 12,68% anual (1,01 ^ 12 - 1). This equivalent yearly rate may be referred to as (APR), (AER), , , effective annual rate , and by other terms. Esta tasa anual equivalente se conoce como tasa de porcentaje anual (APR), tasa anual equivalente (ARE), porcentaje de rendimiento anual , tasa de interés efectiva , la tasa efectiva anual, y por otros términos. When a fee is charged up front to obtain a loan, APR usually counts that

cost as well as the compound interest in converting to the equivalent rate. Cuando se cobre una tarifa por adelantado para obtener un préstamo, generalmente abril cuenta que el costo, así como el interés compuesto en la conversión a la tasa equivalente. These government requirements assist consumers to compare the actual costs of borrowing more easily. Estos requerimientos de los gobiernos ayudar a los consumidores comparar los costos reales de los préstamos con más facilidad.

For any given interest rate and compounding frequency, an "equivalent" rate for any different compounding frequency exists. Para cualquier frecuencia dada la tasa de interés y la composición, un "equivalente" para cualquier tipo de frecuencia de diferentes compuestos existe.

Compound interest may be contrasted with , where interest is not added to the principal (there is no compounding). El interés compuesto puede ser contrastada con un interés simple , donde el interés no se agrega al principal (no hay interés compuesto). Compound interest is standard in finance and economics, and simple interest is used infrequently (although certain financial products may contain elements of simple interest). El interés compuesto es estándar en las finanzas y la economía, y el interés simple se utiliza con poca frecuencia (aunque ciertos productos financieros puede contener elementos de interés simple).

Terminología

The effect of compounding depends on the frequency with which interest is compounded and the periodic interest rate which is applied. El efecto de la capitalización depende de la frecuencia con la que el interés es compuesto y la tasa de interés periódica que se aplica. Therefore, in order to define accurately the amount to be paid under a legal contract with interest, the frequency of compounding (yearly, half-yearly, quarterly, monthly, daily, etc.) and the interest rate must be specified. Por lo tanto, con el fin de definir con precisión el monto a pagar en virtud de un contrato legal con el interés, la frecuencia de capitalización (anual, semestral, trimestral, mensual, diaria, etc) y la tasa de interés debe ser especificado. Different conventions may be used from country to country, but in finance and economics the following usages are common: convenios pueden usar diferentes de país a país, pero en las finanzas y la economía de los usos más comunes serían:

Periodic rate: the interest that is charged (and subsequently compounded) for each period, divided by the amount of the principal. tasa periódica: el interés que se cobra (y, posteriormente, compuesto) para cada período, dividido por el monto del principal. The periodic rate is used primarily for calculations, and is rarely used for comparison. La tasa periódica se utiliza principalmente para los cálculos, y rara vez se utiliza para la comparación. The nominal annual rate or is defined as the periodic rate multiplied by the number of compounding periods per year. La tasa anual nominal o tipo de interés nominal se define como la tasa periódica multiplicado por el número de períodos de capitalización por año. For example, a monthly rate of 1% is equivalent to an annual nominal interest of 12%. Por ejemplo, una tasa mensual del 1% es equivalente a un interés nominal anual del 12%.

: this reflects the effective rate as if annual compounding were applied: in other words it is the total accumulated interest that would be payable up to the end of one year, divided by the principal. La tasa efectiva anual : esto refleja la tasa efectiva anual de interés compuesto, como si se aplica: en otras palabras, es el acumulado total de intereses que tendría que pagar hasta el final de un año, dividido por el director.

Economists generally prefer to use effective annual rates to allow for comparability. Los economistas en general, prefieren utilizar la tasa efectiva anual para permitir la comparabilidad. In finance and commerce, the nominal annual rate may however be the one quoted instead. En las finanzas y el comercio, la tasa nominal anual sin embargo, puede ser el que se cita en su lugar. When quoted together with the compounding frequency, a loan with a given nominal annual rate is fully specified (the effect of interest for a given loan scenario can be precisely determined), but the nominal rate cannot be directly compared with loans that have a different compounding frequency. Cuando se cita junto con la frecuencia de capitalización, un préstamo con una determinada tasa nominal anual es completamente especificado (el efecto de interés para un escenario de préstamo dado puede determinarse con precisión), pero la tasa nominal no se pueden comparar directamente con los préstamos que tienen una composición diferente de frecuencia.

Loans and finance may have other "non-interest" charges, and the terms above do not attempt to capture these differences. Los préstamos y las finanzas pueden tener otros "sin interés" los cargos y los términos anteriores no tratan de captar estas diferencias. Other terms such as and may have specific legal definitions and may or may not be comparable, depending on the jurisdiction. Otros términos tales como tasa de porcentaje anual y el porcentaje de rendimiento anual pueden exigir ciertas definiciones jurídicas y pueden o pueden no ser comparables, según la jurisdicción.

The use of the terms above (and other similar terms) may be inconsistent, and vary according to local custom or marketing demands, for simplicity or for other reasons. El uso de los términos anteriores (y otros términos similares) puede ser inconsistente, y varían de acuerdo a las demandas de las costumbres locales o la comercialización, por simplicidad o por otras razones.

Excepciones

US and Canadian T-Bills (short term Government debt) have a different convention. T de EE.UU. y Canadá-Bills (deuda a corto plazo del Gobierno) tienen un convenio diferente. Their interest is calculated as (100 − P )/ Pbnm , where P is the price paid. Su interés se calcula como (100 - P) / Pbnm, donde P es el precio pagado. Instead of normalizing it to a year, the interest is prorated by the number of days t : (365/ t )×100. En vez de normalizar a un año, el interés se prorratea por el número de días t: (365 / t) x 100. (See ). (Véase la convención cuenta de los días ).

The interest on corporate bonds and government bonds is usually payable twice yearly. El interés de los bonos corporativos y bonos del gobierno por lo general a pagar dos veces al año. The amount of interest paid (each six months) is the disclosed interest rate divided by two (multiplied by the principal). El importe de los intereses pagados (cada seis meses) es la tasa de interés declarado, dividido por dos (multiplicado por el capital). The yearly

compounded rate is higher than the disclosed rate. La tasa anual compuesta es más alta que la tasa de divulgación.

Canadian are generally semi-annual compounding with monthly (or more frequent) payments. Canadá los préstamos hipotecarios son generalmente semi-anual con capitalización mensual (o más frecuente) los pagos. [1]

US mortgages generally use monthly compounding (with corresponding payment periods). hipotecas de EE.UU. utilizan generalmente compuesto mensual (con plazos de pago correspondiente).

It is sometimes mathematically simpler, eg in the valuation of to use continuous compounding , which is the as the compounding period approaches zero. A veces es matemáticamente más simple, por ejemplo, en la valoración de los derivados de usar composición continua, que es el límite que se acerca el período de capitalización cero. Continuous compounding in pricing these instruments is a natural consequence of , where are valued at ever increasing frequency, until the limit is approached and the derivative is valued in continuous time. composición continua en los precios de estos instrumentos es una consecuencia natural de cálculo de Itō , donde los derivados se valúan a su cada vez mayor frecuencia cada vez, hasta que el límite se acerca y el derivado se valora en tiempo continuo.

Las matemáticas de las tasas de interés

Cálculo simplificado

Formulae are presented in greater detail at . Las fórmulas se presentan en mayor detalle en el valor temporal del dinero .

In the formula below, i is the effective interest rate per period. FV and PV represent the future and present value of a sum. n represents the number of periods. En la siguiente fórmula, i es la tasa de interés efectiva por periodo. FV y fotovoltaica representan el valor presente y futuro de una suma. N representa el número de períodos.

These are the most basic formulas: Estas son las fórmulas más básicas:

The above calculates the future value ( FV ) of an investment's present value ( PV ) accruing at a fixed interest rate ( i ) for n periods. Lo anterior se calcula el valor futuro (FV) de los presentes un valor de la inversión (PV) derivados a una tasa de interés fija (i) para los n periodos.

The above calculates what present value ( PV ) would be needed to produce a certain future value ( FV ) if interest ( i ) accrues for n periods. Lo anterior lo calcula el valor presente

(PV) sería necesaria para producir un determinado valor futuro (FV) en caso de interés (i) se acumula para n periodos.

The above calculates the compound interest rate achieved if an initial investment of PV returns a value of FV after n accrual periods. Lo anterior se calcula la tasa de interés compuesto lograrse si una inversión inicial de PV devuelve un valor de FV después de n periodos de devengo.

The above formula calculates the number of periods required to get FV given the PV and the interest rate ( i ). La fórmula anterior, calcula el número de períodos necesarios para obtener FV dado el PV y la tasa de interés (i). The log function can be in any base, eg natural log (ln), as long as consistent bases are used all throughout calculation. La función de registro puede ser en cualquier base, por ejemplo, logaritmo natural (ln), siempre y cuando se utilizan bases consistentes a lo largo de todo cálculo.

Compuestos

Formula for calculating compound interest: Fórmula para el cálculo de interés compuesto:

Where, Cuando,

A = final amount A = cantidad final P = principal amount (initial investment) P = cantidad principal (inversión inicial) r = annual nominal interest rate (as a decimal) r = tasa de interés nominal anual (como un

decimal) n = number of times the interest is compounded per year n = número de veces que el

interés se capitaliza al año t = number of years t = número de años

Example usage: An amount of $1500.00 is deposited in a bank paying an annual interest rate of 4.3%, compounded quarterly. Ejemplo de uso: Una cantidad de $ 1,500.00 se deposita en un banco el pago de una tasa de interés anual del 4,3%, compuesto trimestralmente. Find the balance after 6 years. Encontrar el equilibrio después de 6 años.

A. Using the formula above, with P = 1500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4, and t = 6: A. Utilizando la fórmula anterior, con P = 1,500, r = 4.3/100 = 0,043, n = 4, y t = 6:

So, the balance after 6 years is approximately $1,938.84. Así, el saldo después de 6 años es de aproximadamente $ 1,938.84.

capitalización periódica

The amount function for compound interest is an exponential function in terms of time. La función de la cantidad de interés compuesto es una función exponencial en términos de tiempo.

= Total time in years t = tiempo total en años

= Number of compounding periods per year (note that the total number of compounding periods is n = Número de períodos de capitalización al año (nótese que el número total de períodos de capitalización es ) )

= expressed as a decimal. r = tasa de interés nominal anual expresado como un decimal. eg: 6% = 0.06 por ejemplo: 6% = 0,06

As increases, the rate approaches an upper limit of . A medida que aumenta n, la tasa se

acerca a un límite superior de R E - 1. This rate is called continuous compounding , see below. Esta tasa se denomina composición continua, véase más adelante.

Since the principal A ( 0 ) is simply a coefficient, it is often dropped for simplicity, and the resulting is used in instead. Desde la A principales (0) es simplemente un coeficiente, que con frecuencia se prescinde de la sencillez, y la consiguiente acumulación de la función se utiliza en la teoría del interés en su lugar. Accumulation functions for and compound interest are listed below: La acumulación de funciones simples de interés compuesto y se enumeran a continuación:

Note: A ( t ) is the amount function and a ( t ) is the accumulation function. Nota: A (t) es la función de la cantidad y (t) es la función de acumulación.

capitalización continua

Continuous compounding can be thought of as making the compounding period infinitesimally small; therefore achieved by taking the of n to . capitalización continua se puede pensar en como hacer que el período de capitalización infinitesimalmente pequeña, por lo que logra al tomar el límite de n al infinito . One should consult for the mathematical proof of this limit. Hay que consultar las definiciones de la función exponencial para la demostración matemática de este límite.

take t as 1 so P 1 = P 0 t r e t tome como un modo

) n l (1 P / P 0) r = l n = (1 + R)

where R is simple return and r is called log return because it is the logarithm of normal return. donde R es el retorno simple y r se llama cambio de registro, ya que es el logaritmo del rendimiento normal.

a (t) = e r t

The amount function is simply La función de la cantidad no es más que

A (t) = A 0 e t r

The interest rate expressed as a continuously compounded rate is called the force of interest. El tipo de interés expresado en una tasa de capitalización continua se llama la fuerza de interés. The annual force of interest is simply 12 times the monthly force of interest. La fuerza de interés anual no es más que 12 veces la fuerza mensual de intereses.

The per year is El tipo de interés efectivo anual es

i = e r - 1

Using this i the amount function can be written as: El uso de este i función de la cantidad se puede escribir como:

A (t) = A 0 (1 + i) t

or o

A = P (1 + i) t

See also . Véase también logarítmica o capitalización continua retorno .

[Fuerza de interés    Part of a series of articles on Parte de una serie

de artículos sobre

The mathematical constant La constante

matemática e

· logaritmo natural · Función exponencial Applications in: · & · & exponential /

Aplicaciones en: compuesto de interés · la identidad de Euler y la fórmula de Euler · vidas medias y exponencial crecimiento /

decadencia

Defining : · representations of · Definir e: la prueba de que e es irracional ·

representaciones de e · Teorema de Lindemann-Weierstrass

People · La gente de John Napier · Leonhard Euler

la conjetura Schanuel

In mathematics, the accumulation functions are often expressed in terms of , the base of the . En matemáticas, las funciones de acumulación se expresa a menudo en términos de e , la base del logaritmo natural . This facilitates the use of calculus methods in manipulation of interest formulae. Esto facilita el uso de los métodos de cálculo en la manipulación de las fórmulas de interés.

For any continuously differentiable a(t) the force of interest, or more generally the is a function of time defined as follows: Para cualquier continuamente diferenciable función de acumulación a (t) la fuerza de interés, o más generalmente el rendimiento o continuamente agravado logarítmica es una función de tiempo definido de la siguiente manera:

which is the rate of change with time of the natural logarithm of the accumulation function. que es la tasa de cambio con el tiempo del logaritmo natural de la función de acumulación.

Conversely: Por el contrario:

(since ) (Desde un (0) = 1)

When the above formula is written in differential equation format, the force of interest is simply the coefficient of amount of change. Cuando la fórmula anterior está escrito en formato de ecuaciones diferenciales, la fuerza de interés es simplemente el coeficiente de la cantidad de cambio.

For compound interest with a constant annual interest rate r the force of interest is a constant, and the accumulation function of compounding interest in terms of force of interest is a simple power of e: Por el interés compuesto con una constante interés r tasa anual de la fuerza de interés es una constante, y la función de la acumulación de compuestos de interés en términos de la fuerza de interés es un poder simple de correo:

The force of interest is less than the annual , but more than the . El grupo de interés es inferior a la anual de tasa de interés efectiva , pero más que la tasa de descuento efectiva anual . It is the reciprocal of the time. Es el recíproco de la e-plegables tiempo. See also . Véase también la notación de los tipos de interés .

Compuestos base

See Véase el Día de convenciones cuenta

To convert an interest rate from one compounding basis to another compounding basis, the following formula applies: Para convertir un tipo de interés de base de una composición a otra base de capitalización, aplíquese la fórmula siguiente:

where r 1 is the stated interest rate with compounding frequency n 1 and r 2 is the stated interest rate with compounding frequency n 2 . donde r 1 es la tasa de interés establecida con compuestos n de frecuencias de 1 y r 2 es la tasa de interés establecida con compuestos n de frecuencias de 2.

When interest is : Cuando el interés es compuesto continuamente :

where R is the interest rate on a continuous compounding basis and r is the stated interest rate with a compounding frequency n . donde R es la tasa de interés sobre una base continua y composición r es la tasa de interés establecida con una frecuencia n capitalización.

Pagos de hipoteca mensuales

The interest on mortgages is often compounded monthly. El interés de las hipotecas es a menudo compuesto mensualmente. The formula for payments is found from the following argument. La fórmula de pago se encuentra desde el siguiente argumento.

Notación

I = Note percentage rate I = Nota tasa

i = Monthly percentage rate = I/12 (so that the APR = (1+i)^12 - 1) i = tasa mensual = I/12 (de modo que la TAE = (1 + i) ^ 12 - 1)

T = Term in years T = Plazo en años

Y= I•T Y = I • T

X = ½ I•T = ½ Y X = ½ I • T = ½ S

n = 12•T = term in months n = 12 • T = plazo en meses

L = Principal or amount of loan L = Capital o importe del préstamo

P = monthly payment P = pago mensual

fórmula exacta para P

If the term were only one month then clearly Si el término sólo un mes y luego con claridad

so that (1 + i) L = P, de manera que . . If the term were two months then

so that Si el término de dos meses, entonces (1 + i) ((1 + i) L - P) = P, de manera que

. . For a term of n months then Por un período de meses,

entonces n . .

This can be simplified by noting that Esto se puede simplificar al señalar que

and taking the difference: y tomando la diferencia:

so that de manera que

This formula for the monthly payment on a US mortgage is exact and is what banks use. Esta fórmula para el pago mensual de una hipoteca de EE.UU. es exacta y es lo que usan los bancos.

fórmula aproximada para P

A formula that is accurate to within a few percent can be found by noting that for typical US note rates ( and terms (T=10-30 years), that the monthly note rate is small compared to

1: so that the Una fórmula que tiene una precisión de un pequeño porcentaje se puede

encontrar haciendo notar que para las tasas típicas de EE.UU. en cuenta (I <8% y las condiciones (T = 10-30 años), que el tipo de cuenta mensual es pequeña en comparación

con un: i < <1, de modo que el which yields a simplification so that que

produce una simplificación para que

which suggests defining a auxiliary variables lo que sugiere la definición de algunas variables auxiliares

. .

is the monthly payment required for a zero interest loan paid off in installments. P 0 es el

pago mensual requerido para un préstamo de interés cero pagado en cuotas n. In terms of these variables the approximation can be written En términos de estas variables a la aproximación se puede escribir

The function La función is even: implying that it can be

expanded in even powers of . es par: f (y) = f (- Y) lo que implica que puede ser

ampliado en los poderes, incluso de Y.

It follows immediately that De ello se deduce inmediatamente que can be expanded in even powers of plus the single term: puede desarrollarse en potencias de Y

aun más el solo término: S / 2

It will prove convenient then to define Será conveniente demostrar a continuación, para definir

so that de manera que which can be expanded: que se puede ampliar:

where the ellipses indicate terms that are higher order in even powers of . donde los puntos

suspensivos indican términos que son de orden superior, incluso en los poderes de X. The expansion La expansión

is valid to better than 1% provided Es válido superior al 1% previsto . .

Ejemplo

For a mortgage with a term of 30 years and a note rate of 4.5% we find: Para una hipoteca con un plazo de 30 años y una tasa de nota de un 4,5% se encuentran:

T = 30

I = 0.045

which suggests that the approximation lo que sugiere que la aproximación

is accurate to better than one percent for typical US mortgage terms in January 2009. tiene una precisión mejor que el uno por ciento para las típicas condiciones de las hipotecas de EE.UU. en enero de 2009. The formula becomes less accurate for higher rates and longer terms. La fórmula se vuelve menos precisa de mayores tasas y plazos más largos.

For a 30-year term on a loan of $120,000 and a 4.5% note rate we find: Por un período de 30 años para un préstamo de $ 120.000 y una tasa de 4,5% en cuenta se encuentran:

L = 120000

so that de manera que

The exact payment amount is so the approximation is an overestimate of about a sixth of a

percent. La cantidad exacta de pago es P = $ 608.02 por lo que la aproximación es una sobreestimación de aproximadamente una sexta parte de un por ciento.

Otras aproximaciones

The approximate formula La fórmula aproximada yields los

rendimientos which is a slight underestimate of the exact result. que es una ligera subestimación del resultado exacto. This underestimate results from the

approximation Esto da lugar a subestimar a la aproximación . . Keeping the next correction in the expansion of Mantener la corrección siguiente en la expansión de

results in an approximate formula resultados en una

fórmula aproximada which is off by two tenths of a cent. que se fuera por dos décimas de un centavo. The simplest approximation discussed La aproximación más simple discutido

is good to within better than a percent for typical US mortgages in early 2009. Es bueno en mejor que una típica por ciento para hipotecas en EE.UU. a principios de 2009. The

approximation La aproximación is an underestimate of around 10% for such mortgage payments. es una subestimación de alrededor del 10% para pagos de la hipoteca tal.

Historia

Compound interest was once regarded as the worst kind of , and was severely condemned by , as well as the of many other countries. El interés compuesto se consideró una vez como el peor tipo de usura , y fue condenado severamente por la ley romana , así como las leyes comunes de muchos otros países. [2]

Richard Witt's book Arithmeticall Questions , published in 1613, was a landmark in the history of compound interest. Witt libro Arithmeticall Preguntas Richard, publicado en 1613, marcó un hito en la historia del interés compuesto. It was wholly devoted to the subject (previously called anatocism ), whereas previous writers had usually treated compound interest briefly in just one chapter in a mathematical textbook. Se dedicó por entero a este tema (previamente llamado anatocismo), mientras que los escritores anteriores habían tratado por lo general brevemente el interés compuesto en un solo capítulo de un libro de texto de matemáticas. Witt's book gave tables based on 10% (the then maximum rate of interest allowable on loans) and on other rates for different purposes, such as the valuation of property leases. libro Witt dio tablas en el 10% (la tasa de continuación de interés máximo permisible de los préstamos) y de otros tipos para diferentes propósitos, tales como la valoración de los arrendamientos de propiedades. Witt was a London mathematical practitioner and his book is notable for its clarity of expression, depth of insight and accuracy of calculation, with 124 worked examples. Witt era un matemático profesional de Londres y su libro es notable por su claridad de expresión, la profundidad de penetración y precisión de cálculo, con 124 ejemplos resueltos. [3] [4]

The explicitly mentions compound interest as a great sin. (oppressive interest), known in Arabic as " ", is considered wrong: El Corán menciona explícitamente el interés compuesto como un gran pecado. usura (interés opresivas), conocido en árabe como " usura ", se considera incorrecto:

“ "

O ye who believe! ¡Oh vosotros que creéis! Devour not usury, doubling and quadrupling (the sum lent). Devorar no la usura, la duplicación y cuadruplicar (la cantidad prestada). Observe your duty to Allah, that ye may be successful. ¡Temed a Alá, para que podáis tener éxito.

” "

- Corán 3:130

In one passage, the addresses the charging of interest in the following manner: En un pasaje, la Biblia se refiere a la percepción de intereses de la siguiente manera:

“ "

Take no usury or interest from him; but fear your God, that your brother may live with you. No tomes la usura o el interés de él, pero teme a tu Dios, que tu hermano pueda vivir con usted. You shall not lend him your money for usury, nor lend him your food at a profit. No se le prestara el dinero para la usura, ni él su comida en un beneficio.