tareas de telecomunicacines

TELECOMUNICACIONES ICastillo valle, Pedro

MODULACIÓN ANALÓGICA LINEAL.

“Montar” la información de una señal x(t) sobre una portadora . Aunque se puede no modular, banda

base, (ejemplo: sistemas de megafonía), se usa la modulación por dos motivos:

1) Tamaño de las antenas menor a mayor frecuencia.2) Permite compartir el canal mediante la multiplexación en frecuencia.

MODULACIÓN DE AMPLITUD (AM).

La información a transmitir modula la amplitud de una portadora sinuosidad, de modo que si no hay señal permanece una portadora (onda sinuosidad pura) con amplitud constante

Si la máxima componente espectral de x(t), W, es mucho menor que fc, y el aspecto de

la envolvente es idéntico al de la señal x(t). Si el índice de modulación, definido como supera 1,

deja de cumplirse que la envolvente sea la réplica de la señal y se pierde información, al producirse una inversión de fase.

La presencia de la portadora permanente, en ausencia de modulación supone:

Ventajas: no hay pérdida de información, sincronismo en la portadora, sencillez en la detección y recuperación de la señal moduladora.

Inconveniente: derroche de energía que no lleva información alguna.

También se llama Doble Banda Lateral con portadora (DSBTC, double sideband transmited carrier).

1


Supongamos que la señal moduladora es un tono de frecuencia fm

La señal modulada tiene tres componentes de frecuencias claramente diferenciadas:

1) La frecuencia de la portadora fc.2) La frecuencia de la señal moduladora “montada” encima de portadora, fc + fm.3) La frecuencia de la señal moduladora “montada” debajo de portadora, fc – fm.

Por tanto, el ancho de banda de una señal AM mediante un tono de frecuencia fm es BT = 2 fm.

Según la transformación de Fourier, toda señal puede suponerse formada por la contribución de todas las frecuencias, cada una en una cuantía distinta. El efecto que le hará una modulación AM a cualquier componente de frecuencia será el mismo que el que le hace a un tono particular.

En general, el espectro de la señal modulada AM, si el espectro de la señal moduladora está limitada en banda a W, será desde fc – W hasta fc + W. La parte de espectro por encima de la portadora se llama banda lateral superior, y su aspecto es idéntico al espectro de la señal moduladora, pero desplazada en frecuencia un valor fc. Mientras que la parte de espectro por debajo de la portadora se llama banda lateral inferior, y su espectro está invertido respecto a la banda lateral superior (o a la banda base). El espectro de la señal AM es simétrico respecto a la frecuencia de la portadora fc. La simetría es par en el módulo e impar en la fase.

La información está duplicada. Cada banda lateral contiene exactamente la misma información que la señal moduladora (banda base). El ancho de banda es .

Reparto de potencia.

Para una señal cualquiera, la potencia total de la señal es ,

siendo Pc la potencia de la portadora y PBL la potencia de cada Banda Lateral. Identificando, resulta que la

potencia de la portadora es y la potencia de las dos bandas laterales es

, con lo que la potencia de cada Banda Lateral se puede expresar como

2

AMPLITUD

f

cA

2cmA

cf mc ff mc ff


. Como y , queda que . De ahí se deduce que

, o bien, como , queda que .

En caso límite en que , siendo , resultaría . Es decir la potencia de la

portadora es siempre mayor o igual que la potencia de las dos bandas laterales. O la potencia de la portadora es siempre mayor o igual a la mitad de la potencia total. Al menos el 50% de la potencia total está en la portadora. Supongamos que . Su potencia es .

con lo que queda

Ejemplo: Sea ,

m = 1 m = 0,8 m = 0,5Pc (W) 50 50 50PBL (W) 12,5 8 3,125PT (W) 75 66 56,25

La detección o demodulación de la señal AM se puede hacer de forma síncrona, multiplicando en el dominio del tiempo por una portadora generada por un oscilador local sincronizado con la portadora o de una forma mucho más sencilla con un simple detector de envolvente (asíncrona).

El diodo rectifica los picos negativos y el filtro paso bajo R1C1 filtra la señal restante obteniendo una réplica de la envolvente. Para ello, el producto R1C1, llamado constante de tiempo, debe tener un valor compromiso. No debe ser demasiado baja, porque en ese caso no conseguiría filtrar las componentes de alta frecuencia (se verían los picos de la portadora) ni demasiado alta, ya que en ese caso no sería capaz de seguir las variaciones rápidas de la señal demodulada x(t). C2 es un condensador que elimina la componente continua de la señal demodulada y R2 es una carga. Los valores de la máxima componente espectral, la constante de tiempo y la frecuencia de la portadora están relacionados por la expresión:

Un valor típico de la constante de tiempo R1C1 para una frecuencia máxima es

, por ejemplo, para , . Una constante de

tiempo del orden de 10 µs que se puede conseguir con y .

MODULACIÓN DE AMPLITUD CON PORTADORA SUPRIMIDA (DBL).

3

C2

C1

R1 R2


Al igual que la AM, la información se incorpora en la amplitud de una portadora, pero sin portadora en ausencia de señal. Si no hay señal moduladora x(t), no hay señal modulada. La envolvente no es una réplica de la señal moduladora, ya que cada vez que la señal cambia de signo, la señal modulada cambia de fase. Se puede ver como un caso particular de AM en que . Su expresión matemática es:

El espectro es el mismo que el de la señal AM, quitando la parte de la portadora. En ancho de banda coincide con el de AM.

La potencia total es la potencia de las dos bandas laterales. . Ejemplo, si x(t)

es un tono modulador de amplitud 1 y , , , , es decir,

la misma potencia en cada banda lateral que en AM (para m=1), pero la potencia total es la tercera parte. Mejor aprovechamiento de la potencia que AM, pero el espectro sigue estando duplicado, como en AM.

Consideremos una señal moduladora de frecuencia modulando a una portadora de frecuencia

, es decir , mientras que la portadora será . La señal DBL será:

Ejemplo: si la señal moduladora es un tono de 1 KHz, que modula en DBL a una portadora de 1 MHz, la banda lateral superior tendrá una frecuencia de y la inferior .

La detección o demodulación no es tan sencilla, ya que se necesita una portadora sincronizada. Se obtiene multiplicando en el tiempo por una sinusoide de frecuencia igual a la portadora, con lo que queda:

Al multiplicarse por la portadora , quedan componentes de alta frecuencia,

= 2001 MHz y = 1999 MHz, más una componente de baja frecuencia = 1 KHz. Al filtrar paso

bajo, queda sólo la componente de 1 KHz.

BANDA LATERAL UNICA (BLU, SSB, SINGLE SIDE BAND).

La Banda Lateral única es una mejora de la Doble Banda Lateral economizando espectro, pero complicando la generación y detección. El ancho de banda es el mismo que la señal en banda base, W. Toda la potencia está en la única banda lateral, que puede ser superior o inferior. La envolvente no es una réplica de la señal moduladora. No hay relación lineal entre la envolvente y la señal x(t).

4


Se puede generar igual que la DBL y filtrando paso banda una de las bandas, la superior o la

inferior. La expresión matemática de la BLU si la señal moduladora es un tono de frecuencia es:

o en general, para cualquier señal x(t):

donde representa la Transformada de Hilbert (TH) de la señal x(t), el signo “–“ es para la banda lateral

superior y el signo “+” es para la banda lateral inferior. La TH de una señal es la señal x(t) desfasada 90º.Generación de la BLU

El esquema general de detección síncrona o de producto para la demodulación es el siguiente:

5

DBL

x(t)

FILTROPASO

BANDA

BLU

cos (ct)

Moduladorbalanceado

FILTROPASO BAJO

Señal demodulada

Oscilador local

Multiplicador

Señal modulada

90º90º

x

x

OL

-+

BLS

BLI

)(tx

)(tx

tA cc cos2

1


En general, una señal modulada linealmente se puede expresar como:

Casos particulares:

AM

DBL

BLU

Si multiplicamos la señal general de la modulación lineal por el oscilador local ,

queda:

que es la salida de un detector síncrono o de producto. Siempre que , los términos de frecuencia

se eliminan por filtrado paso bajo quedando:

El oscilador local debe estar sincronizado con la portadora, tanto en frecuencia como en fase. En el caso de AM ( ) aparece una componente continua.

Aunque la detección de producto parece sencilla, en la práctica se complica debido a la necesidad de sincronizar el oscilador local con la frecuencia de la portadora, sobre todo si ésta última ha sido suprimida. Para facilitar la sincronización, se inyecta un pequeño tono de portadora en la onda modulada en el transmisor. Esta portadora piloto se selecciona en el receptor mediante un filtro paso banda muy estrecho, se amplifica y sincroniza el oscilador local.

3.5.4. BANDA LATERAL RESIDUAL O VESTIGIAL.

La modulación SSB es buena para el caso de voz en donde no tenemos componentes a baja frecuencia de forma que se puede demodular la señal de forma sencilla. Cuando la señal moduladora m(t) tiene componentes a frecuencias extremadamente bajas (como en el caso de señales de TV), la banda lateral superior e inferior se juntan a la frecuencia de la portadora. Por ello, la modulación SSB no es apropiada debido a la dificultad de aislar una de las bandas laterales. Esto sugiere otro tipo de modulación: la banda lateral residual (VSB: Vestige Side Band), que establece un compromiso entre SSB y DSB. En este tipo de modulación se transmite

6

x FPBajo

Filtro del pilotoAmplificador

y(t) + piloto


casi completamente una de las bandas laterales, mientras que la otra sólo se transmite una parte muy pequeña (la banda residual).

7


3.6. Modulación analógica angular.

3.6.1. Modulación de Frecuencia (FM) y Fase (PM).

Sea un fasor , siendo

La señal modulada angularmente es la proyección del fasor sobre el eje de abscisas, es decir, su parte real:

Se llama pulsación instantánea a . Representa la velocidad angular instantánea a

la que gira el fasor en radianes por segundo. Si se divide por se obtiene la frecuencia instantánea, que representa la velocidad angular de giro instantánea en vueltas por segundo.

En modulación lineal, la frecuencia instantánea es constante y varía la amplitud de la señal

moduladora. La fase varía linealmente con el tiempo .

En modulación angular, por el contrario, la amplitud permanece constante y la frecuencia

instantánea (FM) o fase instantánea (PM) varía con la amplitud de la señal moduladora. La potencia

permanece constante independientemente de la modulación y su valor es . La fase no es

lineal con el tiempo. La señal modulada no es una réplica de la señal moduladora .

Para ambos tipos de modulación (FM y PM), el ángulo de fase se puede expresar como

, siendo la fase relativa, con lo que la expresión general de la señal modulada

es:

EN FM, la frecuencia instantánea varía linealmente con la señal moduladora alrededor de la frecuencia de la portadora.

En PM, la fase relativa instantánea varía linealmente con la señal moduladora .

De esta forma quedan las siguientes expresiones:

8

)(t

cA


FM:

PM:

Teniendo en cuenta la relación entre la frecuencia instantánea y la pulsación instantánea, se puede encontrar la siguiente tabla:

FM: modulación de frecuencia PM: modulación de faseFase relativa

Frecuencia instantánea

Las formas de onda en el dominio del tiempo de las señales moduladas en fase y frecuencia se pueden ver en las figuras adjuntas.

3.6.2. Modulación de Frecuencia por tono.

La expresión general de FM la particularizamos para una señal moduladora que sea un tono puro de frecuencia fm, cuya expresión es .

La frecuencia instantánea se puede expresar como , con lo que

expresión que se puede poner como:

9


donde se conoce como índice de modulación y representa la desviación de fase producida por el

tono fm. Dicha ecuación también se puede expresar como

siendo

La función es periódica en t con período . Por tanto, también lo será con el

mismo período la exponencial compleja , que admitirá un Desarrollo en Serie de Fourier de la forma:

donde cada uno de los términos se calcula con la expresión:

Haciendo el cambio de variable y operando, resulta

donde es una integral especial que da lugar a la llamada Función de Bessel de orden n en el

argumento . Dicha función es conocida para cualquier n y cualquier argumento y se representan en la Figura y Tabla adjuntas.

Tabla de función de Bessel

J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J140.00 1.00 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------0.25 0.98 0.12 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------0.50 0.94 0.24 0.03 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------1.00 0.77 0.44 0.11 0.02 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------1.50 0.51 0.56 0.23 0.06 0.01 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------2.00 0.22 0.58 0.35 0.13 0.03 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------

10

EXCEL:Herramientas, Complementos,Herramientas para Análisis


2.40 0.00 0.52 0.43 0.20 0.06 0.02 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------2.50 -0.05 0.50 0.45 0.22 0.07 0.02 0.01 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------3.00 -0.26 0.34 0.49 0.31 0.13 0.04 0.01 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------4.00 -0.40 -0.07 0.36 0.43 0.28 0.13 0.05 0.02 ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------5.00 -0.18 -0.33 0.05 0.36 0.39 0.26 0.13 0.05 0.02 ------- ------- ------- ------- ------- -------6.00 0.15 -0.28 -0.24 0.11 0.36 0.36 0.25 0.13 0.06 0.02 ------- ------- ------- ------- -------7.00 0.30 0.00 -0.30 -0.17 0.16 0.35 0.34 0.23 0.13 0.06 0.02 ------- ------- ------- -------8.00 0.17 0.23 -0.11 -0.29 -0.10 0.19 0.34 0.32 0.22 0.13 0.06 0.03 ------- ------- -------9.00 -0.09 0.25 0.14 -0.18 -0.27 -0.06 0.20 0.33 0.31 0.21 0.12 0.06 0.03 0.01 -------10.00 -0.25 0.05 0.25 0.06 -0.22 -0.23 -0.01 0.22 0.32 0.29 0.21 0.12 0.06 0.03 0.01

------- significa despreciable

Por tanto, la expresión de la señal FM modulada por un tono puro queda

que, como se puede ver, es la contribución de infinitos términos por encima y por debajo de la portadora, cuyas amplitudes dependen del valor de la función de Bessel de orden n en el argumento .

Teniendo en cuenta que las funciones de Bessel cumplen la propiedad ,

es una función impar para orden impar, y par para orden par, la contribución de los infinitos términos se muestra en la gráfica adjunta

La principal conclusión que se obtiene de este estudio es que el ancho de banda teórico de una señal FM, modulada por un tono puro, es infinito.

3.6.3. Anchura de Banda en Modulación de Frecuencia.

Si , sólo son significativos los términos de orden 0 y 1, con lo cual el ancho de banda es

, el doble de la frecuencia del tono modulador. Esta es una modalidad de FM en banda

estrecha (NFM, Narrow FM) que se aproxima a la AM. Sin embargo, en el caso de que , esto no es así y habrá que considerar un número suficiente de rayas espectrales. Estamos en el caso de FM banda ancha (WFM, Wide FM) y el espectro y el ancho de banda es totalmente distinto.

En general, ¿cuántas líneas se deben tomar?. La respuesta es: tomar un número tal que sea significativa la potencia dentro de las rayas espectrales incluidas. Un criterio numérico utilizado es tomar

11

f

)(0 J

)(1 J)(2 J

)(1 J

)(2 J


un valor de M tal que y . El valor de M que cumpla esta condición se toma con valor a elegir. De esta manera habrá M parejas de rayas significativas, además de la portadora, en total 2M+1 rayas espectrales.

Si hay 2M+1 rayas espectrales significativas, el ancho de banda será , que, como se ve, depende de M.

La relación entre M y se puede aproximar con la sencilla relación , donde es una constante de valor comprendido entre 1 y 2.

Por tanto, el ancho de banda se podrá expresar como

Como se puede observar, el ancho de banda crece linealmente con la frecuencia del tono modulador .

En general, para una señal cualquier x(t) limitada en banda a W, se define la relación de desviación como

que se puede ver como particularizado para .

De esta forma, el ancho de banda se podrá expresar (suponiendo a=1) como o bien

que constituye la expresión de la llamada Regla de Carson. Si estamos en el caso de banda

estrecha (NFM) y el ancho de banda es el doble que el ancho de banda base, como en AM ( ).

Si (por encima de D = 10) estamos en el caso de banda ancha (WFM) y el ancho de banda es el

doble de ( ).

Ejemplos:

1) Determinar el ancho de Banda si y . Valores típicos de la radiodifusión

comercial de FM.Respuesta:

2) Determinar el ancho de Banda si y

Respuesta:

3) Para un modulador de FM con , señal moduladora de 1 KHz y portadora de 500 KHz, ¿Cuál es en número de rayas significativas? ¿Cuáles son sus amplitudes?

Respuesta: a la vista de la tabla, hay M = 3, total 2M+1 = 7 rayas significativas.

12


Respuesta: a la vista de la misma tabla, para la portadora de 500 KHz, J0(1) = 0,77; para las frecuencias de 499 y 501 KHz, J1(1) = 0,44; para las frecuencias de 498 y 502 KHz, J2(1) = 0,11; y para las frecuencias de 497 y 503 KHz, J3(1) = 0,02.

4) Para un modulador FM con una excursión de frecuencia y una frecuencia del tono

modulador de , con una portadora de 1.000 KHz, determinar el ancho de banda mínimo

según la tabla de función de Bessel, según la regla de Carson y dibujar el espectro de potencia.

Respuesta: . Si se calculan las funciones de Bessel de distintos órdenes en 2,6, resulta que:

, , , , ,

, , , ,

con lo que hay M = 5,

Según la regla de Carson, .

13

975 985 995 1000

965 970 980 990 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 f (KHz)

portadora

tareas de telecomunicacines

Documents