tarea 4 eq1 calif_60

8/18/2019 Tarea 4 Eq1 Calif_60

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MATERIA

CONTROL E INTELIGENCIA COMPUTACIONAL

ALUMNOS

DE LA TORRE MUNIVE OSCAR

FLORES MARTINEZ ROGELIO IGNACIO

PÉREZ DEL ÁNGEL GREGORIO

ROJAS CENTENO ALEJANDRO

CATEDRÁTICO:

Dr. QUINTERO MARMOL MARQUEZ ENRIQUE

REPORTE #4

Cuernavaca, Mor. 25/02/16


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INTRODUCIÓNLos modelos lineales son factibles para analizar, así que convertimos las

funciones no lineales a no lineales, a esto le llamamos linealizacion, esto lo

hacemos mediante una transformaciónes apropiadas de variables, haciendo

simulaciones para comprender el comportamiento de la función, haciéndolo con la

técnica de mínimos cuadrados, llegando al error comparamos el error y podemos

ver que tan desviado esta de los puntos analizados.

Generalmente el modelo que representa un fenómeno natural no es una función

lineal (es decir, su gráfica no es una línea recta). Sin embargo como los modelos

lineales son más fáciles de analizar, se puede tratar de convertir las funciones a la

forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A este procedimiento se le

denomina linealización.

Cuando se requiere realizar el análisis dinámico de sistemas no-lineales, puede

tomarse las siguientes alternativas:

1. Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una transformaciónapropiada de sus variables.

2. Simular el sistema no-lineal usando una computadora analógica o digital ycalcular su solución numéricamente.

3. Desarrollar un sistema lineal que aproxime el comportamiento dinámico delsistema no-lineal alrededor del punto específico de operación.

El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como

técnica de mínimos cuadrados. Consiste en someter el sistema a diferentescondiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y

anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable

dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), ....

(xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin

embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen

perfectamente alineados (ver Fig. 1). El método de mínimos cuadrados determina

los valores de los parámetros a y b de la recta ue mejor se ajusta a los datos

experimentales.


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Imagen 1

Las condiciones para que un sistema no lineal se pueda colocar como un sistema

lineal son las siguientes:

1) Superposición

2) Homogeneidad

Superposición

Es la estrategia con que podemos analizar sistemas y señales si una señal de

entrada X[n], que produce una salida Y[n], la descomponemos en señales más

simples X0[n], X1[n], X2[n],….y hacemos pasar cada uno de estos componentes

por el sistema obtenido Y0[n], Y1[n], Y2[n],….

Sintetizando estas señales obtenemos Y[n]


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Imagen 2

Imagen 3

La señal de salida obtenida sintetizando las componentes es igual a la obtenida

pasando la señal de entrada original por el sistema en lugar de tratar de

comprender como se comporta el sistema para señales complicadas, las dividimos

en señales sencillas y sumamos sus respuestas.

A continuación mostraremos una tabla la cual resume el principio de superposición

haciendo más entendible la forma en la que se debe de interpretar.


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SUPERPOSICION

In Out

X1(t) Y1(t)

X2(t) Y2(t)

X1(t)+ Y1(t) Y1(t)+ Y2(t)

Tabla 1

Homogeneidad

Decimos que un sistema es homogéneo cuando un cambio en la amplitud de la

señal de entrada produce una variación proporcional en la señal de salida, si una

señal de entrada X[n], produce una señal de salida Y[n], una señal de entrada

kx[n] dará lugar a una señal ky[n].

Imagen 4


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Un ejemplo muy típico sería el de una resistencia el cual actúa como un sistema

homogéneo con respecto a la corriente.

La señal de entrada es el voltaje aplicado y la señal de salida es la intensidad de

corriente, si duplicamos el voltaje entonces también duplicamos la corriente, cabe

aclarar que este elemento no es homogéneo con respecto a la potencia.

La respuesta de un sistema lineal a una constante múltiplo βk da como resultado:

Entrada X resultado

Βx1 Βy1

Tabla 2

Así mismo los resultados del proceso de linealización son los siguientes:

Si utilizamos señales pequeñas (∆y ∆x) para linealizar ecuaciones diferenciales:

1) Las condiciones iniciales deben de ser Zero si el punto inicial es el punto de

operación alrededor del cual las ecuaciones fueron linealizadas.

2) Las constantes se eliminan.

3) Los coeficientes de la ecuación linealizada son las derivadas parciales de

una función con respecto a cada variable (jacobiano)

“Cada que se obtiene el jacobiano las variables son las variables de perturbación.”


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EJERCICIOS

A continuación se desarrollaran los ejercicios propuestos de la tarea 4.

CONTROL E INTELIGENCIA COMPUTACIONAL

09MCIEO. Cenidet.eqm. Ene-junio-2016

TAREA 4 PROBLEMAS

5.9, 5.15 (b) (JANG); problema 5 anexo incisos (b)(d).

Problema 5

Derive the weighted LSE in equation 5.26 directriz by setting the derivative of theweighted error measure in equation 5.25 to zero.

b) construir la aproximación de mínimos cuadrados de grado 2 y calcular el error.

d) construir la aproximación de mínimos cuadrados de grado 3 y calcular el error.


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Imagen 5

Problema 5 inciso (b)

Se realizo el siguiente programa para el calculo de la aproximacion de minimos

cuadrados partiendo de la siguiente formula y utilizando los datos mostrados en la

tabla anterior.


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Imagen 6

En la ventana de comandos se muestra el resultado de aproximación de mínimos

cuadrados de grado dos obtenidos asi como también el resultado del error


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Imagen 7

Grafica donde se muestra el estimador de los mínimos cuadrados de cadadato dado se muestra en la siguiente imagen 8

Imagen 8


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Problema 5 inciso

programa realizado en matlab

Inciso (d).

Superposición

Imagen 9

Aproximación de mínimos cuadrados de la forma


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Imagen 10

Problema 5.9

The recursive LSE in equation (5.47) can be derived in another way. From

Exercise 4, it is clear that the error measure after k data pairs have been observedcan be expressed as:

Based on , the error measure after observing the kth data pair (a;y) can be

formulated as


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Solución:

Para poder hacer la demostración se cambia la variable .

Se divide la siguiente la ecuación y queta de la siguiente manera

Del libro Neuro-Fuzzy and Soft Computing, se utiliza la siguiente ecuación,

,

Sustituyéndolo en el resultado de la derivada, así también evaluando cuando

De acuerdo al libro Neuro-Fuzzy and Soft Computing

Para demostrar la respuesta de la derivada que sea igual al valor de la ecuación del libro,se hace uso de las siguientes ecuaciones.


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De la se sustituye la

Se sustituye la ecuación anterior en la ,

Se sustituye la ecuación anterior en la respuesta de la derivada

Haciendo un cambio de variable en la ecuación anterior tenemos que entonces seobtiene:

Problema 5.15 (b)

Show that the following two non linears models are intrinsically linear (a):

Tabla 3

Solución:


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1. Conclusión

Los modelos lineales son factibles para analizar, así que convertimos las

funciones no lineales a no lineales, a esto le llamamos linealizacion, esto lo

hacemos mediante una transformaciónes apropiadas de variables, haciendo

simulaciones para comprender el comportamiento de la función, haciéndolo con latécnica de mínimos cuadrados, llegando al error comparamos el error y podemos

ver que tan desviado esta de los puntos analizados.

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