UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

Maestría en ciencias económicas

TAREA II

ECONOMETRÍA

Profesora: Dra. Ma. de la Paz Guzmán Plata.

Alumno: Samuel de la Cruz Carmona

12 de Febrero de 2014

PROBLEMA 1

Se ofrece la siguiente tabla de datos:

Costo Total Producción

Y X

(Dólares) (Producción)

193 1

226 2

240 3

244 4

257 5

260 6

274 7

297 8

350 9

420 10

Tabla 1

En donde Y (variable endógena) representa a la variable dependiente denominada Costo

Total y la variable independiente X (variable exógena) se denomina producción.

En la Teoría tradicional sobre costos de corto plazo para la empresa, los costos totales se

dividen en dos partes, por un lado los costos fijos totales y por el otro los costos variables

totales (CT=CFT+CVT). En donde los costos fijos incluyen depreciación por desgaste de

maquinaria y equipo, amortización y reparaciones en los edificios, entre otros; para los

costos variables se incluyen aquellos generados por costo de la mano de obra directa,

materias primas, gastos corrientes de capital fijo.

En la teoría tradicional, tanto la función de costo variable total como la de costo total

tienen aproximadamente la forma gráfica de una S invertida, mientras que la forma

gráfica de la función de costo promedio y de costo marginal la forma de U (en el corto

plazo), lo cual es un reflejo propiamente de la ley de rendimientos decrecientes. Según

esta ley para una planta dada y en las etapas iniciales de la producción a medida que se

emplea mayor cantidad del factor variable su productividad aumenta y el costo promedio

disminuye; esto continua hasta el punto en el que se alcanza la combinación óptima de los

factores fijos y variables; más allá de este punto si se combinan cantidades crecientes de

los factores, la productividad de los factores variables declina mientras que el costo

promedio aumenta. Es decir inicialmente se declina, se alcanza un mínimo en el nivel de

funcionamiento óptimo de la empresa y consecuentemente comienza a subir.

En este sentido el Modelo econométrico explicativo de la función de costos a desarrollar

es el siguiente:

tt uXXXY 3

13

2

12110

En términos de la teoría tradicional, los parámetros del modelo deben poseer las

siguientes restricciones:

0,0,0,0 3210

Esto porque, tal y como se mencionó anteriormente de la función de costos totales se

derivan las curvas de costo marginal y de costo promedio, en donde la forma gráfica de

estas últimas es en forma de U, entonces por la ley de rendimientos decrecientes, la

función comienza a crecer hasta un punto óptimo de costos mínimos y posteriormente

decrece.

En el modelo econométrico que se propone se tiene que Y es el costo total y X el nivel de

producción; y 0 , 1 , 2 , 3 son los parámetros del modelo y el primer coeficiente

representa al intercepto y los parámetros subsecuentes el sentido de la función. Cabe

destacar que se trata de una función polinomial de costos de corto plazo de grado 3.

A partir del modelo econométrico obtenemos la siguiente tabla de datos:

TABLA DE DATOS Costo Total Producción

Y X1 X2 X3

(Dólares) (Producción) (Producción) (Producción)

193 1 1 1

226 2 4 8

240 3 9 27

244 4 16 64

257 5 25 125

260 6 36 216

274 7 49 343

297 8 64 512

350 9 81 729

420 10 100 1000

Tabla 2

Ahora bien realizando un análisis descriptivo del modelo, podemos tener un acercamiento

al comportamiento de las variables involucradas en el modelo:

Obsérvese que hasta este momento sin realizar ninguna estimación con el modelo, los

gráficos de la función polinomial propuesta, simulan lo que la teoría tradicional postula,

respecto de la relación de costos con la producción a la luz de la ley de rendimientos

decrecientes.

Ahora bien estimando la ecuación del modelo propuesto por mínimos cuadrados

ordinarios, se obtienen los siguientes resultados:

Por lo que nuestro modelo estimado se expresará como sigue:

tt uXXXY 3

1

2

11 939588.096154.1247766.637667.141

Por el valor de los beta estimados, el primer valor representa el intercepto (condición

inicial), el segundo valor representa una relación positiva de la producción respecto de los

costos totales, es decir que a medida que aumenta la producción en una proporción, los

costos aumentan en ese mismo sentido. Para el tercer coeficiente se observa una relación

negativa que representa una proporcionalidad inversa de producción respecto del costo

total, es decir que a medida que se aumenta el nivel de producción disminuyen los costos

o viceversa y finalmente el ultimo coeficiente representa una relación positiva de

producción con respecto a los costos totales, en donde al aumentar el nivel de producción

en una proporción, los costos totales se aumentan en el mismo sentido o viceversa pero

en menor cuantía; es decir cada una de estas relaciones, en suma representan la ley de

rendimientos decrecientes para la función de costos de corto plazo, es decir que los signos

de los coeficientes es conforme a los teóricos esperados.

En cuanto a la bondad de ajuste (medida que nos dice que tan bien se ajusta la línea de

regresión muestral a los datos) de la línea de regresión conforme al dato que se muestra

en la tabla, nos indica que el 99% de lo que pasa en Y (variaciones) se explica por las

variables X. Sin embargo es importante determinar si los coeficientes beta son

individualmente significativos y esto se determina a partir de la probabilidad del

estadístico t, en donde particularmente es inferior a 0.05 y por tanto las variables

individuales son estadísticamente significativas en los cambios de la variable dependiente.

En cuanto a la prueba de significancia conjunta de los coeficientes beta, se realiza a partir

de la probabilidad del estadístico F y particularmente conforme a nuestra tabla de datos la

F posee un valor inferior a 0.05 y por tanto son conjuntamente significativas las variables

en la explicación de las variaciones en la variable dependiente Y.

PRUEBA DE RESTRICCIÓN EN LOS PARAMETROS

Por la prueba de Wald se determina si se acepta o rechaza la hipótesis nula o alternativa:

31

2

2131

2

20 3:3: HH

Al realizar dicha prueba, se obtienen la probabilidad de los estadísticos F y Chi-cuadrado

muy inferiores a 0.05 y por tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa, es

decir no se cumple la hipótesis nula.

PRUEBA DE NORMALIDAD DE LOS ERRORES

Esta prueba consiste en representar gráficamente en un histograma la forma de los

errores, en ella se puede observar si esta sigue una forma parecida a la de la distribución

normal, dado que se suponen errores normalmente distribuidos. Por otra parte se realiza

una prueba de hipótesis en la que se toma en cuenta el estadístico Jarque-Bera y toma el

siguiente criterio: si el estadístico es mayor que 0.05, se encuentra en la zona de no

rechazo de la hipótesis nula, es decir, no se rechaza la hipótesis nula de normalidad en los

errores del modelo a un nivel de confianza del 95.0%.

Por tanto en nuestro caso particular, conforme a la figura que se presenta, se observa que

por el valor de la probabilidad del estadístico de Jarque-Bera no se rechaza la hipótesis

nula dado que es superior a 0.05 y decimos que los errores efectivamente se distribuyen

normalmente.

PRUEBA DE FORMA FUNCIONAL CORRECTA

Para esta prueba se pueden ofrecer dos caminos distintos, la prueba de White y la prueba

de RESET:

Prueba RESET

En esta prueba se obtienen dos estadísticos. Por

lo que la hipótesis nula a probar es que el modelo

tiene la forma funcional correcta o no tiene

problemas en la media. Entonces si el valor de la

probabilidad de los estadísticos es mayor que

0.05, se encuentra en la zona de no rechazo de la

hipótesis nula. En otras palabras la forma

funcional del modelo es la correcta. Para este

caso particular se tiene que la probabilidad de los

dos estadísticos es superior a 0.05 y por tanto no

se rechaza la hipótesis nula y por tanto decimos

que la forma funcional del modelo es la correcta.

Prueba de White

Para esta prueba también se obtienen dos

estadísticos. Por lo que en este caso la hipótesis

nula a probar de igual manera que en la prueba

RESET, es que el modelo tiene la forma funcional

correcta o no tiene problemas en la media,

entonces si el valor de la probabilidad de los

estadísticos es mayor que 0.05, se encuentra en

la zona de no rechazo de la hipótesis nula y por tanto la forma funcional del modelo es la

correcta. Para esta prueba se tiene que los valores de la probabilidad de los estadísticos

son superiores a 0.05 y por tanto decimos que la forma funcional del modelo es la

correcta.

MULTICOLINEALIDAD

Para la multicolinealidad vamos a elaborar la matriz de correlaciones entre las variables:

Decimos que existe correlación entre las variables si los coeficientes de los pares de

variables es superior a 0.88 en términos absolutos además si la 2R posee un valor cercano a uno y el valor de la probabilidad de estadístico t es mayor que 0.05 se establece que existen problemas de multicolinialidad. En particular se observa que los datos se encuentran entre 0.9 y 1, la R cuadrada posee un valor cercano a 1, con un valor de 0.99, sin embargo el estadístico t posee un valor igual a cero, por lo que rechazamos la existencia del problema de multicolinealidad.

HOMOSCEDÁSTICIDAD

A partir de estas dos pruebas se evalúa si existen problemas de homoscedasticidad, se observan los valores de los estadísticos, los valores de sus probabilidades y las regresiones auxiliares. La hipótesis nula a probar es que los errores del modelo son homoscedásticos, entonces si el valor de la probabilidad de los estadísticos que nos proporciona cada prueba es mayor que 0.05, no se rechaza la hipótesis nula, es decir, decimos que los errores son homocedásticos. Por tanto conforme a los datos que arrojaron las pruebas,

observamos que no se rechaza la hipótesis nula y por tanto decimos que los errores son homoscedasticos.

PERMANENCIA ESTRUCTURAL

Para la prueba de estabilidad en los parámetros beta o bien la prueba de permanencia

estructural que es lo mismo; se conocen los estadísticos CUSUM, CUSUM-Q y Chow.

Entonces la hipótesis nula a probar es que los estimadores beta son estables a través del

tiempo (bien que hay permanencia estructural), entonces si los estadísticos se salen de las

bandas hay cambio estructural y se tiene observar en donde corta la línea a la banda y

anotarlo en la prueba Chow y comprobar si en realidad hubo cambio estructural. En este

sentido, se observa que la gráfica de la izquierda (CUSUM-Q) tiene un corte

aproximadamente en 6.3, por lo que se estima la prueba Chow con el valor de 6 y

obtenemos lo siguiente:

Chow Breakpoint Test: 6 F-statistic 1.304167 Probability 0.477468

Log likelihood ratio 12.83246 Probability 0.012124

Entonces si los valores de la probabilidad de los estadísticos que arroja la prueba son mayores que 0.05 no se rechaza la hipótesis nula que en ese punto no hubo rompimiento, sin embargo el valor de la probabilidad de los estadísticos es inferior a 0.05 y por tanto decimos que se rechaza la hipótesis nula que en ese punto no hubo rompimiento.

AUTOCORRELACIÓN

Para la prueba de autocorrelación de los errores existen diferentes caminos se encuentra el análisis del estadístico Durbin-Watson (D-W), el análisis del correlograma de los errores y la prueba de Multiplicadores de Lagrange. En particular para la prueba por D-W, no tenemos el problema de autocorrelación si este estadístico posee un valor igual a 2 o muy cercano a él; por lo que en este caso práctico se tiene un valor de 1.937, por lo que decimos que no existe problema de autocorrelación en el modelo.

Por la prueba de correlograma encontramos:

Se observa que se sale una barra en la correlación parcial, pero en no así para las barras restantes.

PREDICCIÓN

Agregando 4 datos más a la tabla tenemos:

Y X1 X1CUADRADO X1CUBO

193.0000 1.000000 1.000000 1.000000

226.0000 2.000000 4.000000 8.000000

240.0000 3.000000 9.000000 27.00000

244.0000 4.000000 16.00000 64.00000

257.0000 5.000000 25.00000 125.0000

260.0000 6.000000 36.00000 216.0000

274.0000 7.000000 49.00000 343.0000

297.0000 8.000000 64.00000 512.0000

350.0000 9.000000 81.00000 729.0000

420.0000 10.00000 100.0000 1000.000

NA 11.00000 121.0000 1331.000

NA 12.00000 144.0000 1728.000

NA 13.00000 169.0000 2197.000

NA 14.00000 196.0000 2744.000

Ahora bien realizando la predicción dado los datos que se agregaron a la tabla tenemos una Y estimada para los periodos subsecuentes, como se muestra en la tabla de datos siguiente:

Y YF

193.0000 193.2224

226.0000 224.3925

240.0000 240.9147

244.0000 248.4263

257.0000 252.5650

260.0000 258.9683

274.0000 273.2737

297.0000 301.1186

350.0000 348.1408

420.0000 419.9776

NA 522.2667

NA 660.6455

NA 840.7515

NA 1068.222

Coeficiente de desigualdad de Theil

Según los datos que se encuentran en la tabla y el gráfico se puede observar que la senda

de la función de costos estimada es muy parecida a la función de costos real, es decir que

los costos no se alejan mucho de lo la tendencia o forma de la función de costos.