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Tarea 1. Resuelta
Equation Chapter 0 Section 1
1. Indica qué tipo de aplicación matemática (función, operador, funcional) es cada uno de los
siguientes:
Respuestas
a. Una integral definida
b
a
f x dx F b F a
Toma una función y arroja un número, por lo tanto es un funcional.
b. Una integral indefinida
f x dx F x C
Toma una función y arroja otra función, por lo tanto es un operador.
c. Sacar la raíz cuadrada
a b
Toma un número y arroja otro número, por lo tanto es una función.
d. El producto escalar
,D
f g f x g x dx
Toma dos funciones y les aplica una integral definida, la cual es un funcional.
e. Dividir por la variable
f x
g xx
Toma una función y arroja otra función, por lo tanto es un operador.
2. Efectúa los siguientes productos escalares:
Respuestas
a.
125
†
14
27, 5 3 6 2 8
6 2i
i
u v u v
1 1 5 8
, 5 3 27 6 2 6 2 8 81 36 425 4 25 4
1 1 2559 4
25651.2
5 50 2
5
i i
u v
b. †
16 3
2 3
11, 1 1
42
i
i
ii i
ii
a b a b
59 91 59 182
30 15 30
1
1 1, 1 2 3 1 1 4
2 6 3
12 6 12 62 3 2 3 1 4 2 6 2 6
12 6 144 36 180
2 1 1 1 60 1 90
.97 6.0
12 6 2 6
30 30 15 3 15
7
0
ii i i i
i i
i i ii i i i i i
i
ii i i
ii
i
a b
c. †
1
2
1
11, 1 1
2 i
i
i
iii i
i
a a a a
1 1 1
, 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4
15
215. 5
42
4
i ii i i i
i i
a a
d. 1 1
1 1
,2 2D
i xf g f x g x dx xdx i dx
x x
Aplicando el cambio de variable:
1 32
1 1
uu x
du dx u
3 33
1
1 1
2 ln 3 1 0
2 2, 1 2ln 3 2ln 3 1 2ln 1
2 2ln 3 .197
uf g i du i du i u u i
u
i i i
u
e. , sin cosD
h k h x k x dx x x dx
Aplicando el cambio de variable:
sin
cos
u x
du x dx
2 2 22 sin sin si0
n 0 0,
2 2 2 2
xuh k udu
3. Calcula ln(1.3) usando la serie de Taylor de ln(x) alrededor de x0 = 1. El valor en la
calculadora es 0.262364. Tú puedes detenerte al llegar a 0.2623. Tal vez te sirva continuar
la siguiente tabla:
Respuesta:
Continuando la tabla
n Término algebráico Término sustituido Término evaluado Suma acumulada
0
0
0 00
0ln
0!x
x x dx
dx
0ln x ln(1) = 0 0
1
0
0ln
1! x
x x dx
dx
0
0
x x
x
1.3 – 1 = 0.3 0.3
2
0
2 20
2ln
2!x
x x dx
dx
2
0
2
02
x x
x
20.30.045
2 0.255
3
0
3 30
3ln
3!x
x x dx
dx
3
0
3
03
x x
x
30.30.009
3 0.264
4
0
4 40
4ln
4!x
x x dx
dx
4
0
4
04
x x
x
40.30.002025
4
0.261975
5
0
5 50
5ln
5!x
x x dx
dx
5
0
5
05
x x
x
50.30.000486
5
0.262461
6
0
6 60
6ln
6!x
x x dx
dx
6
0
6
06
x x
x
60.30.0001215
6
0.2623395
4. Para las siguientes funciones, encuentra:
a. El dominio natural
b. Los puntos de discontinuidad
c. Los puntos estacionarios (máximos y mínimos)
d. Las asíntotas
e. Si los hay:
i. Ceros
ii. Paridad
f. Realiza un bosquejo a mano de la gráfica indicando las características relevantes
22
3 3 2
2
10
16
4
ln
x
x
x dx e x x x x x x
x dx
x x e
Respuesta:
2
3xx e
Dominio: x x
Discontinuidades: No tiene
Puntos estacionarios:
Se deriva la función:
2 2 223 3 3
3 2 3x x xd d d
x e e x e xdx dx dx
La derivada obtenida se iguala a cero:
2
32 3 0
xe x
Se resuelve la ecuación para x
2 2 23 33 ln 0 30
333 0 3 3
x xx xex
xx x x
Los valores al infinito son asíntotas , así que sólo hay un punto estacionario en x = 3, la
función vale:
2
3 3 03 1e e
Por lo que el punto estacionario es (3, -1)
Para saber si es máximo o mínimo se obtiene la segunda derivada:
2 2 2
2 2 2
23 3 3
2
2 23 3 3
2 3 2 3 3
2 2 3 2 1 2 3
x x x
x x x
d d d dx e x e x x e
dx dx dx dx
e x e e x
Y se evalúa en el punto estacionario:
2 23 3 03 2 1 2 3 3 2 1 0 2e e
Como 2 > 0, se concluye que es un mínimo
Las asíntotas:
2
2
3
3
lim lim 0
lim lim 0
x
x x
x
x x
x e
x e
Ceros:
2
2
3
3
2
2
0
0
0
3 ln 0
3
3
x
x
x
e
e
x
x
x
x
En este caso no hay ceros porque corresponden a las asíntotas.
Paridad:
22 26 93 3x xx xx e e e
x x x x
Esta función no tiene paridad.
Gráfica:
2
2
16
4
xx
x
Dominio: x x
Discontinuidades: No tiene
Puntos estacionarios:
Se deriva la función:
2 2 2 22
22 2
2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
4 16 16 416
4 4
4 2 16 2 4 16 20 402 2
4 4 4 4
d ddx dx
x x x xd d xx
dx dx x x
x x x x x x xx x
x x x x
La derivada obtenida se iguala a cero:
2
2
400
4
x
x
Se resuelve la ecuación para x
2 2 2 22 2
40 0 0 0 00
44 0 4
x x x xx
x xx x
Los valores al infinito son asíntotas , así que sólo hay un punto estacionario en x = 0, donde la
función vale:
2
2
0 16 160 4
0 4 4
Por lo que el punto estacionario es (0, -4)
Para saber si es máximo o mínimo se obtiene la segunda derivada:
2 2 22 2 2 2 22
2 4 42 2 2 2
2 2 2
3 32 2
4 4 4 4 44040 40
4 4 4
4 4 4 340 40
4 4
d ddx dx
x x x x x x xd d xx
dx dx x x x
x x x
x x
Y se evalúa en el punto estacionario:
2
3 3 22
4 3 0 4 40 40 10 50 40 40
4 4 16 4 20 4
Como 5/2 > 0, se concluye que es un mínimo
Las asíntotas:
2 2
2 2
2 2
2 2
16lim lim lim 1
4
16lim lim lim 1
4
x x x
x x x
x xx
x x
x xx
x x
Ceros:
2
2
2 2
1 222
0
160
4
16 0 416 4
44 0
4
x
x
x
x xx x
xxxx
x
Quitando las asíntotas, los ceros se encuentran en x = 4 y x = –4.
Paridad:
2 2
2 2
16 16
44
x xx
xx
x x
Esta función es par.
Gráfica:
22
40
4
d xx x
dx x
Dominio: x x
Discontinuidades: No tiene
Puntos estacionarios:
Se deriva la función:
2
2 32 2
40 4 340
4 4
d d x xx
dx dx x x
La derivada obtenida se iguala a cero:
2
32
4 340 0
4
x
x
Se resuelve la ecuación para x
2 2 2
3 32 2
2 2
2 2 244 3 0 3 43 3 3 3
4 0 44
x x x xxx
x xx xx
Los valores al infinito son asíntotas , así que hay dos puntos estacionarios en x = 2/√3 y
x = -2/√3, donde la función vale:
2 2
3
2 2 22 164
2 3 33
2
3
2 22 4
2 33
402 80 80 80 3 80 9 451.6238
16 2563 3 3 16 33 4 34
402 80 451.6238
3 16 33 44
Por lo que los puntos estacionarios son (1.1547, 1.6238) y (-1-1547, -1.6238)
Para saber si son máximos o mínimos se obtiene la segunda derivada:
3 32 2 2 22 2
3 62 2 2
3 22 2 2 2 2
6 42 2
2 2
4 42 2
4 4 3 4 3 44 340 40
4 4
4 6 4 3 3 4 2 4 4 340 240
4 4
8 2 4240 480
4 4
d ddx dx
x x x xd d xx
dx dx x x
x x x x x x xx
x x
x xx x
x x
Y se evalúa en los puntos estacionarios:
22 4843 3 3
4 4 42 164
2 3 33
22 43 3
4 42 4
2 33
4 42 2 960 960 960 8 3 405480
3 163 3 3 3 3 128 344
4 42 2 960 405480
3 3 3 128 344
De acuerdo con los signos (1.1547, 1.6238) es máximo y (-1-1547, -1.6238) es mínimo.
Las asíntotas:
2 4 32
2 4 32
1lim 40lim 40lim 40lim 0
4
1lim 40 lim 40 lim 40 lim 0
4
x x x x
x x x x
x xx
x xx
x xx
x xx
Ceros: En el ejercicio anterior se obtuvo que el cero para esta función está en x = 0.
Paridad:
2 22 2
40 40
44
x xx
xx
x x
Esta función es impar.
Gráfica:
3 2x x x
Dominio: x x
Discontinuidades: No tiene
Puntos estacionarios:
Se deriva la función:
3 2 2 3
3 2
3 2 3 2
3 2 1 3 2x x x x x x xd dx x x
dx dx x x x x
La derivada obtenida se iguala a cero:
3
3 2
1 3 20
x x x
x x
Se resuelve la ecuación para x 3
2 23 3
1 3 23 2
0 0 0 0
1 0 1 1 1
3 2 0 3 2
0
x x x
x x xx
x x x
x x xx x
Los valores al infinito son asíntotas , así que hay tres puntos estacionarios: x = 0,
x = -1 y x = -2/3 ; donde la función vale:
3 2 3 2
3 2
3 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 0
2 2 2 8 4 12 8 4 4
3 3 3 27 9 27 27 27
x x
Por lo que los puntos estacionarios son (0, 0), (-1,0) y (-2/3, 4/27)
Para saber si son máximos o mínimos se obtiene la segunda derivada:
32
2 3 2
3 2 3 3 3 2
23 2
3 2 3 3
24
3
3
3 2
3 2 3
24
26
2
1 3 2
1 3 2 1 3 2
11 3 2 1 3 2
1
1 3 21 3 2
11 3 2 3 2 1
1
1 33 1 3 2
d ddx dx
d ddx dx
d ddx dx
x x xd dx
dx dx x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x xx x
x x xx x x
x x
x x x x x x xx x
x xx x x
2 24
2
3 2
1 3 23 2 3 2
1
24
2 22 3 2 4
24
24 4
24
24
24
2
3 1 3 2 3 1 3 2
1
1 6 5 3 1 3 2 1 3 2
1
1 6 5 3 1 3 2 1 3 2
1
1 6 5 3 1 3 2 3 2
1
6 5 3 1 3
x x x
x
x
x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x x x
2
2 2
2 2 2
2
2 3 2
1
6 5 3 3 3 2 9 12 4
1
3 7 4 9 15 6 6 8 2
1 1
2 3 4 1
1
x x
x
x x x x x x
x
x x x x x x
x x
x x
x
Y se evalúa en los puntos estacionarios:
2
2
22 2 843 3 9 3
2 13 3
2 3 0 4 0 1 2 10 2
0 1 1
2 3 1 4 1 1 2 3 4 1 2 01 indeterminado
1 1 0 0
2 3 4 1 2 3 12 12 8 12 24 96 1 6
3 1 9 3 9
3 66 2
9 3
De acuerdo con los signos (0, 0) es mínimo, (-1, 0) es un punto de quiebre y (-2/3, 4/27) es
máximo.
Las asíntotas:
3 2 3
3 2 3 3
lim lim lim
lim lim lim lim
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
Esta función no tiene comportamiento asintótico
Ceros:
3 2
2
2
2
0
0
1 0
00 0 0
1 0 11 0 1 0
0
1
x
x x
x x
xx x x
x xx x
x
Los ceros de esta función se encuentran en x = 0 y x = -1.
Paridad:
3 2 3 2x x x x x
x x x x
Esta función no tiene paridad.
Gráfica:
10ln xx x e
Dominio: 0 0x x x
Discontinuidades: x = 0
Puntos estacionarios:
Se deriva la función:
10 10 10 10 9
10
10
1ln ln ln ln 10
10ln
x x x x x
x
d d d dx x e x e e x x e e x
dx dx dx dx x
e xx
La derivada obtenida se iguala a cero:
1010ln 0xe x
x
Se resuelve la ecuación para x
1010 10
ln 00
10 10ln 10 ln 1ln 0 ln
1.7632
x
x
xe x x x
x x x x x ex xx x
x
El valor al infinito es una asíntota, así que hay un punto estacionario en x = 1.7632, donde
la función vale:
10 1.76321.7632 ln 1.7632 0.9726e
Por lo que el punto estacionario es (1.7632, 0.97626)
Para saber si es máximo o mínimo se obtiene la segunda derivada:
210 10 10
2
910 10
2 10 2
10
2
10 10 10ln ln ln
10 10 10 10 10 10ln ln
10 20ln
x x x
x x x
x
d d d dx e x e x x e
dx dx x dx x x dx
xe x e e x
x x x x x x
e xx x
Y se evalúa en los puntos estacionarios:
1.7632 10
2
10 201.7632 ln 1.7632 1.5242
1.7632 1.7632e
Como -1.5242 < 0 el punto es un máximo.
Las asíntotas:
10 10
10 10
10
0 0
lim lim ln lim ln lim 0
lim lim ln lim ln lim
lim lim ln
x x
x x x x
x x
x x x x
x
x x
x x e x e
x x e x e
x x e
Ceros:
10
10 1010 0
0
ln 0
0 ln 0
1ln 0 1
1
x
x
x
x e
e x x x
xx xx e
x
Quitando la asíntota, los ceros de esta función se encuentran en x = 1 y x = -1.
Paridad:
10 10ln lnx xx x e x e
x x x x
Esta función no tiene paridad.
Gráfica:
5. Encuentra la serie de McLaurin de la función α(x) del problema anterior hasta el 4º término
diferente de cero.
Para una serie de Mclaurin:
0 0
1
!
nn
nn x
dx x x
n dx
Calculemos término a término.
n =0:
2 2
03 30 9
00
0
1
0!
x x
xx
de x e e
dx
n =1:
2 2 2
2 2
2
13 3 31
1
0 00
23 3
00
3 9
0
1
1!
3 2 3
2 3 6
x x x
x xx
x x
xx
x
x
d d de x e x e x
dx dx dx
de x x e x x
dx
e x x e x
n =2:
2 2
2 2
2 2
2
23 32 2
2
00
3 3 2
0
3 3 2
0
23 2 9 2
0
1 12 3
2! 2
12 3 3
2
12 3 2 3
2
12 1 2 3 17
2
x x
xx
x x
x
x x
x
x
x
d de x e x x
dx dx
d de x x e x
dx dx
e x e x x
e x x e x
n =3:
2 2
2 2
323 33 3
3
00
2 23 3 3
0
1 12 1 2 3
3! 6
12 1 2 3 1 2 3
6
x x
xx
x x
x
d de x e x x
dx dx
d de x x e x
dx dx
2 2 2
2
323 3 33 3
30
0
23 3 9 3
0
1 12 4 3 1 2 3 2 3
3! 6
14 3 2 1 2 3 30
6
x x x
xx
x
x
de x e x x e x x
dx
e x x x e x
Ya que se han calculado los cuatro términos procedemos a la suma:
9 9 9 2 9 3 9 2 36 17 30 1 6 17 30e e x e x e x e x x xx
6. En la resolución de la ecuación de onda (ver documento de apoyo) se obtiene la relación
frecuencia-longitud de onda tras despejar la frecuencia angular en la ecuación que depende
sólo del tiempo. Ahora despeja el número de onda de la ecuación que depende sólo de la
posición, x, y llega a la misma expresión final.
Respuesta:
Se despeja –k2 de (1.22)
2 fk
f
Se sustituye el cociente de f’s en la ecuación (1.19)
2 2 2 2 2v k v k
Se despeja v: 2 2
2
2 2v
k k
vk
Finalmente se sustituyen las relaciones vistas en clase:
2
2v
Con lo que se completa la demostración.
7. La ecuación de onda tiene un número infinito de soluciones. Sustituye la siguiente
propuesta de solución unidimensional:
, exp |n
u x t A kx t n
Y comprueba que se cumpla la igualdad,
2 2
2
2 2, ,u x t v u x t
t x
.
Nota que u(x,t) escrita de esta forma no puede escribirse como f(x)g(t) más que para n = ±1.
Respuesta:
Hay que derivar con respecto a t y con respecto a x,
Del lado izquierdo tenemos:
2 2
2 2, exp
nu x t A kx t
t t
Para la primera derivada, usando regla de la cadena:
1
1
exp exp exp
exp
exp
n n n n n
n n
n n
A kx t A kx t A kx t A A kx t kx tt t t
A A kx t n kx t kx tt
A A kx t n kx t
Acomodando la expresión:
1
exp expn n n
A kx t n A kx t A kx tt
Y la segunda derivada, usando la derivada de un producto:
21
2
1
1
exp exp
exp
exp
n n n
n n
n n
A kx t n A kx t A kx tt t
n A kx t A kx tt
A kx t kx tt
Trabajando la derivada del segundo sumando se tiene:
1 2 2
2
1 1
1
n n n
n
kx t n kx t kx t n kx tt t
n kx t
El primer término de la suma contiene exactamente a la primera derivada que ya se obtuvo,
entonces:
21 1
2
2
exp exp
1 exp
n n n n
n n
A kx t n A kx t n A kx t A kx tt
n kx t A kx t
Reacomodando los términos:
22 2 22
2
22
exp exp 1
exp 1
n n n n
n n n
A kx t n A A kx t nA kx t n kx tt
n A kx t A kx t nA kx t n
Lo que seguiría es derivar ahora con respecto a x, pero si nos damos cuenta de que ωt hace el
mismo papel que –kx en la función, entonces podemos concluir que:
2
22
2exp exp 1
n n n nA kx t nk A kx t A kx t nA kx t n
x
Y al sustituir en la ecuación de onda se llega a que:
22
22 2
exp 1
exp 1
n n n
n n n
n A kx t A kx t nA kx t n
v nk A kx t A kx t nA kx t n
Eliminando todos los términos iguales a ambos lados de la igualdad:
2 2 2v k
vk
Esta última expresión corresponde a uno de los pasos de la demostración en el problema
anterior. Por lo que podemos decir que la igualdad sí se cumple.
8. Calcula los siguientes parámetros ondulatorios:
Respuestas:
a. El número de onda, k, para una onda acústica (investiga la rapidez del sonido en el
vacío) con frecuencia, ν = 494 Hz (nota musical SI).
12 rad 494 s2 2 2
3
988 rad m
43 m9.
s05 rad m
343k
v v
b. El periodo, T, para una onda con longitud λ = 2.5 cm y que se propaga a 300 m/s.
5
4
1 1 0.025 m
300 m s
1 s 8.33 10 s
1.2 10T
v v
c. La frecuencia espacial, en cm-1
, para un rayo de luz infrarroja con frecuencia
angular ω = 1.13×1014
rad/s.
14 51
1
4 1
8
4
1.13 10 rad s1 1 2 1.88 10 m 6.00 10 m
2 2 rad 3.00 10 m s
6.00 10 1 m
1 m 100 c600
mcm
v v v v
d. La rapidez de propagación de una onda con frecuencia espacial = 321 cm-1
y
periodo T = 3.21×10-4
s.
1 4
21 1
321 cm 3.21 10 s9.70 cm s 9.70 10 m sv
T
e. La frecuencia angular de una onda luminosa con longitud λ = 498 nm.
8
9
2 rad 3.00 10 3.7
m s22
498 10 m8 rad s
v