tanterv - · pdf filesokszínű matematika 9. osztály ms-2309 ... ismereteket a...

T A N T E R V

Matematika

Matematika 9-13. speciális matematika tagozat - PÁLMAT1-12 -(átdolgozás)

Kidolgozandó Bővített - az emelt szintű érettségi általános követelményeit felhasználtuk az átdolgozásnál

Ez a tanterv az Országos Közoktatási Intézet tantervi adatbankjában az

OKI96PÁLMAT1-12 változat alatt szereplő minősített átdolgozott változata. E minősítéssel az Országos Közoktatási Intézet szakmai felelősséget vállal azért, hogy ez a tanterv az általa megjelölt NAT követelményeknek megfelel. Átdolgozva a kétszintű érettségi rendelet és az új iskolai ped. program alapján 2004. júniusában

Felvilágosítás a tantervvel kapcsolatban: Országos Közoktatási Intézet Program- és Tantervfejlesztési Központ 1051 Budapest, Dorottya u. 8., Tel: 118-6531 Fax: 118-6584 e-mail: [email protected]

Felvilágosítás a Profil szoftverrel kapcsolatban:

Mentor Informatika Kft. 1015 Budapest, Batthyány u. 14., Tel: 201-3707 Fax: 202 2047 e-mail: [email protected]

Felvilágosítás a tantervek I Home Page-en keresztüli eléréséről:

Országos Közoktatási Intézet Információs Iroda 9022 Győr, Liszt F. u. 40., Tel és Fax: 96/315-844 e-mail: [email protected]

Matematika 9-13. speciális matematika tagozat OKI96PÁLMAT 9-12. átdolgozott, az érettségi általános követelményeit, a nyelvi előkészítő évet figyelembe vettük

Részei Matematika 9 3. oldal Matematika 10 11. oldal Matematika 11 21. oldal Matematika 12 32. oldal Matematika 13 44. oldal

Óraszám Iskolai: 1045 óra

Megjegyzés A tanterv készítői Pálmay Lóránt vezető-szaktanácsadó FPI, Somfai Zsuzsa gimnáziumi tanár, szaktanácsadó, Budapest, Eötvös J. Gimnázium. Átdolgozta: Békefi Zsuzsa és Katanics Sándorné a veszprémi Lovassy László Gimnázium tanárai

A 9-13. évfolyamon heti 3 + 5+ 7 + 7 + 7 órára készült a tanterv.

A 9-13. évfolyam figyelembe veszi a kerettanterv valamennyi követelményét. Fő témái a kerettantervben megfogalmazott témák (Gondolkodási módszerek; Számtan-algebra; Függvények-sorozatok; Geometria; Valószínűség-statisztika). Ezen témákat bontottuk altémákra.

A tanterv spirális felépítésű. Az éves összóraszámot egyetlen évfolyamon sem osztottuk szét teljesen az öt témakörnek. Mindenütt időt biztosítottunk gyakorlásra, az anyag elmélyítésére vagy bővítésére és az ismétlésre.

Minden évfolyamon azzal indul a tanterv, hogy meghatározza az évfolyamra vonatkozólag a tanítás célját, követelményeit, az előzményeket, a tartalmat, az értékelést, s a feltételeket. Az egyes témáknál (altémáknál) ezekre történnek visszautalások, illetve elsősorban a cél, a követelmény és a tartalom esetében részletes kifejtések.

Fontosnak tartjuk a kerettantervben is leírt rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelést, a megfelelő szintű problémamegoldást.

A 12-13. évfolyam tananyagának összeállításakor figyelembe vettük az emelt szintű érettségi általános követelményeit. Kellő időt biztosítottunk a rendszerezésre.

Ajánlás Ezt a tantervet a speciális matematika tagozaton folyó matematika-tanításhoz használjuk. Azon tanulók számára készült, akik a matematika iránt különösen érdeklődőek, absztrakciós készségük erősen fejleszthető, és a matematikához szorosan kapcsolódó pályára készülnek vagy más tudományág elméleti művelői lesznek.

Tudjuk, hogy a tanulók előtanulmányaik során nemigen részesültek a kerettanterv alapkövetelményeiben megfogalmazottaknál erősebb alapképzésben, tehát a 9. évben a matematika módszereinek, a matematikai modellalkotás folyamatának lassú és körültekintő kialakítására, az első 8 év matematika anyagának új szempontú átismétlésére is szükség van. Ez az ismétlés a leggyakrabban konkrét tartalmak mentén történhet. Általánosításokra, a tételek absztrakt bizonyítására csak nagy körültekintéssel lehet sort keríteni.

matematika 9-13. speciális matematika tagozat

Óraszámok évfolyamok 9. 10. 11. 12. 13. óra/hét 3 5 7 7 7 összóraszám

111 185 259 259 231

A 12-13. évfolyamban olyan anyagrészek is szerepelnek (például az analízis elemei, lineáris algebra elemei, gráfelmélet, ábrázoló geometria), melyek a felsőfokon matematikát tanulók számára tanulmányaik indulását megkönnyítik, ezzel természetesen biztosítják az emelt szintű érettségi letételének lehetőségét.

Cél A tanterv legfontosabb célja a kerettantervben megfogalmazottaknak megfelelően a rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelés, a kreativitás fejlesztése, a tudományos ismeretszerzés módszereinek alkotó módon történő megismerése. Fontos cél és pozitív motívációs eszköz annak megmutatása, hogy a matematika a kultúrtörténet része, hogy a matematikai ismeretek lehetővé teszik a világ mélyebb megismerését.Tudós életpályákkal való ismerkedés minta is lehet a tanulók számára saját életpályájuk megválasztásában A matematikai ismeretek alkalmazása, s a megfelelően fejlett gondolkodás biztosítja több tantárgy megfelelő szintű megértését, tanulását.

A tantervben fontos cél a tevékenységekkel megérlelt fogalmak kialakítása, majd pontos tudása, az életkornak megfelelő matematikai nyelv egyre pontosabb használata. A leírtak érdekében a gondolkodási módszereknek a matematika minden témakörében folyamatosan kell szerepelniük.

Követelmény • A tanterv a NAT-ban megjelölt időszakaszokig a kerettantervkövetelményeinek mindegyikét teljesíti, sőt

ez a tanterv ezeken túllép azzal a megkötéssel, hogy a hagyományos 9-10. évfolyami anyagot a 9-11. években tanítja meg.

• A 12-13. évfolyamra írt tantervekben követelmény az ismeretek pontosítása, rendszerezése, összefoglalása s kellő szintű feladatmegoldással az emelt szintű érettségi eredményes letételére való felkészítés, és ezen felül a sikeres felsőfokú tanulmányok folytatásának, a kutatópályák betöltésének előkészítése.

• A 9-11. évfolyamon a minimális teljesítmény a kerettantervben foglaltaknál kevesebb nem lehet, nyilvánvaló, hogy ebben a tantervben többre van szükség. A tantervet használó pedagógus ismerteti a többlet-követelményt a tanulókkal is.

Értékelés Az értékelés módját évfolyamonként adjuk meg.

Feltételek • A tanterv tanításához a szükséges képesítést a Közoktatási Törvény előírja. (KT 17.§) • A javasolt taneszközöket évfolyamonként meghatározzuk. • A matematikában használt demonstrációs és tanulói eszközök iskolánkban nagyjából rendelkezésre áll.

Sokfüggvényes zsebszámológépre minden tanulónak is szüksége van. A személyi számítógép használata feltétlenül ajánlott, ezért a gépi hozzáférés lehetőségeit a tanárok számára bővíteni szükséges a munltimédiás eszközök is bevonulhatnak a tanórákra.

• Fontosnak tartjuk a jól megválasztott tankönyvet, igényes feladatgyűjteményeket és a KÖMAL és a KÖMAL-CD használatát.

2004. június -2- Lovassy László Gimnázium


Matematika 9 Spec.mat

Részei Az első 8 évfolyam matematika anyagának rendszerező feldolgozása Halmazok, a logika elemei Kombinatorika Algebrai kifejezések Számelmélet Egyenletek, egyenlőtlenségek Függvények Alakzatok, geometriai mértékek Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések

Óraszám Iskolai: 111 óra Tanítási ciklus: 3 óra / 1 hét

Cél • A kreatív gondolkodás erősítése, a tehetséges, érdeklődő tanulók fejlesztése. • Mivel a tanulók különböző iskolákból érkeztek, a legfontosabb cél a közös munka elkezdéséhez a közös

szóhasználat kialakítása, a tanult ismeretek együttes átismétlése, az esetleges hiányok pótlása. • A tanév folyamán megmutatjuk a matematika különböző területeinek összekapcsolódását, fejlesztendő a

bizonyítási igény, a szemléletes fogalmak helyét egyre inkább a definiált fogalmak veszik át. Fontos a természettudományos tantárgyakkal, a társadalomtudományokkal illetve különböző műveltségi területekkel való koncentráció.

• Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok: − az eddigi halmazelméleti ismeretek rendszerezése, összekapcsolásuk logikai műveletekkel, − egyszerű paraméteres egyenletek, kifejezések használatának elsajátítása, − a matematika sokszínűségének megmutatása a számelméleti problémák kapcsán, − a függvényszemlélet fejlesztése, − a síkidomokkal kapcsolatos ismeretek rendszerezése, az euklideszi szerkesztés fogalmának megértetése, − megismerkedés a KÖMAL c. folyóirattal, bekapcsolódás az éves pontversenyekben. − a tanulók felkészítése az Arany Dániel verenyre.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani egyszerű paraméteres egyenleteket, lineáris egyenletrendszereket, algebrai törtes,

egyszerű abszolútértékes egyenleteket; • oszthatósági szabályok és algebrai azonosságok alkalmazásával tudjon megoldani oszthatósági feladatokat; • tudja alkalmazni a megismert függvényeket egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásában, • szöveges problémákhoz találja meg a megfelelő modellt • ismerje a megvizsgált háromszögek, négyszögek tulajdonságait, tudja ezeket alkalmazni szerkesztési és

bizonyítási feladatokban; • ismerje az euklideszi szerkesztés fogalmát; • ismerkedjen a szaktudomány módszereivel, tudatosan használja a szaknyelvet (definíciók, tételek

kimondása, jelölések, tanult tételek bizonyításának pontos ismerete) • ismerje a feldolgozott matematikai anyag kutúrtörténeti szerepét, ismerjen néhány tudósi életpályát.

Előzmény A NAT 8 évfolyamra megfogalmazott követelményei.



Tartalom A tanév anyagát - a NAT témaköreit követve - altémákra osztottuk. A leírt sorrend nem jelent tanítási sorrendet, az egyes altémák tanítási sorrendjének összeállítását az éves tanmenetek tartalmazzák.

T a n a n y a g b e o s z t á s : I. Az első 8 évfolyam mat. anyagának 24 óra rendszerező feldolgozása. (10 óra) . Gondolkodási módszerek:

1.Halmazok ,a logika elemei (4 óra) 2.Kombinatorika (10 óra)

II. Algebra: 30 óra

1.Algebrai kifejezések (10 óra) 2.Számelmélet (10 óra) 3.Egyenletek, egyenlőtlenségek (10 óra)

III. Függvények: 21 óra IV. Geometria: 18 óra

Alakzatok, geometriai mértékek VI. Rendszerezés, kiegészítések 10 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 8 óra

Értékelés • A tanulók tanórai munkájának folyamatos értékelése, házi feladatok ellenőrzése, írásbeli és szóbeli

számonkérések. • A tanév folyamán négy alkalommal témazáró dolgozat 1 órás időtartamban, a tanár által összeállított

feladatlappal. Ezek időpontját, témáját a választott tanítási sorrend szabja meg. • A tanév folyamán egy házi dolgozat a tanmenetben rögzített témából.

Feltételek • A kilencedik évfolyamon egy középiskolai matematika szakos tanár, aki minden tanulót tanít

csoportbontásban. • A tanulóknak:

tankönyv: Sokszínű matematika 9. osztály MS-2309 Matematikai feladatgyűjtemény I.-II. kötet - NTK 13135/I. - II. Geometriai feladatgyűjtemény - NTK 10127/I.- II. Négyjegyű függvénytáblázatok - NTK 13129/1. • Füzetek, körző, vonalzók, sokfüggvényes zsebszámológép, KÖMAL. • A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, tovább tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok,

KÖMAL, KÖMAL-CD, színes kréta, írásvetítő fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramokkal, számítógépes INTERNET-hozzáférés, projektor, videókazetták, lehetőség feladatlapok sokszorosítására.



Az első 8 évfolyam matematika anyagának rendszerező feldolgozása

Halmazok, a logika elemei Kombinatorika 9.1s.m


Cél • A különböző iskolákból jövő tanulók tudásszintjének "bemérése". • A racionális számkör és az alapműveletek tisztázása. • A tanult tételek többféle megfogalmazása. • Geometriai alapismeretek, alapszerkesztések felfrissítése. • Ismerkedés a bizonyítási módszerekkel. • A definíció fogalmának tudatosabb használata. • A matematikai jelölések egységesítése. • A halmazokkal kapcsolatos eddigi ismeretek rendszerezése • A kombinatorikus szemlélet fejlesztése

Követelmény A tanuló • Biztosan tudja alkalmazni a kerettanterv 8. évfolyam végéig megadott szaktárgyi követelményeit. • Ismerje a részhalmaz, valódi részhalmaz, üres halmaz, halmazok metszetének, uniójának, , két halmaz

különbségének szemléletes fogalmát, a metszet és a logikai "és", valamint az unió és a megengedő "vagy" megfelelését.

• Tudja a fenti fogalmakat többféle módon is jelölni, ismerje a Venn-diagramos bizonyítási módot. • Részhalmaz, valódi részhalmaz, üres halmaz szemléletes fogalma. • Halmazok metszete, uniója, két halmaz különbsége. Ezen fogalmak és halmazműveletek szemléletes

alkalmazása különböző feladatokban, kapcsolatuk a konjunkcióval és a diszjunkcióval. Venn-diagramos megjelenítés.

• Véges halmazok számossága és ekvivalenciája. • A szakszerű definíció jellemzői, példák hibás definícióra. • Ismerkedés bizonyítási módszerekkel (direkt, indirekt, teljes indukció – csak ajánlott! ) • Ismerje fel konkrét esetekben egy véges halmaz elemeinek különböző összeszámlálási, kiválasztási

lehetőségeit. • Legyen képes az alkalmazott megoldási módszer helyességének bizonyítására.

Előzmény A kerettanterv követelményei a 8. évfolyamon.Az alábbi tartalmi követelmények ismétlés szinten értendők!

Tartalom • A szakszerű definíció jellemzői, példák hibás definícióra. • A helyes bizonyítás jellemzői, hibás bizonyítások javítása. • Ismerkedés bizonyítási módszerekkel (direkt, indirekt, teljes indukció – ez csak ajánlott! ). • Algebrai alapismeretek, egyenletmegoldási technikák. • Függvénytani alapismeretek, ábrázolás a koordinátarendszerben. • Egyenlőtlenségek megoldásának különböző módszerei. • Geometriai alapszerkesztések, alapvető mértani helyek. • A háromszög és négyszögről tanultak összegyűjtése. • A természetes, az egész, a racionális, az irracionális, a valós számok fogalma, műveleti alaptulajdonságok,

tizedestört alak. • n különböző elem összes lehetséges sorrendje n! • Ismétlés nélküli és ismétléses variációk, permutációk, kombinációk – feladatokon keresztül.



• Ismerkedés a Pascal-háromszöggel. • Kombinatorikus geometriai feladatok( metszéspontok, tartományok száma, kis n esetén) . • A skatulyaelv egyszerűbb alkalmazása.

Értékelés A házi feladatok részletes megbeszélése, szóbeli és írásbeli számonkérés.

Algebrai kifejezések 9.2a spec. mat.


Cél • Nevezetes azonosságok megismerése • A matematikai gondolatmenetek pontos leírásának fejlesztése.

Követelmény A tanuló tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat algebrai törtekkel végzett műveletek során és

feladatokban.

Előzmény A kerettanterv 8. osztályos követelményei az algebrai kifejezések témában.

Tartalom • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése.

• . ( ) ( 32 ; baba ±± )• ;;; 443322 bababa −−− .33 ba +• Műveletek egyszerűbb algebrai törtekkel.

Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, értékelése, a tanult bizonyítások számonkérése, írásbeli ellenőrzés.

Számelmélet 9.2b spec.mat


Cél • Számelméleti problémák matematikatörténeti érdekességeinek bemutatása; • Gondolatmenetek pontos leírásának fejlesztése. • A számírás és a számfogalom fejlődésének ismerete.

Követelmény A tanuló • ismerje és tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat számelméleti feladatokban, • tudjon megoldani oszthatósági feladatokat, • ismerje a különböző alapú számrendszereket. • ismerje az euklidesi algoritmust.



• ismerje a számírás és a számfogalom fejlődését, a négy alapművelet kialakulási módját.

Előzmény A kerettanterv 8. osztályos követelményei az algebrai kifejezések és a számelmélet témákban.

Tartalom

• Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése • Prímszámok száma, a prímszámok eloszlása, ikerprímek. • Az oszthatóság fogalma, az összetett és a prímszám. • Primszámkereső eljárások. Euklideszi algoritmus. • A számelmélet alaptétele. • Osztók számának meghatározása, osztók összege, tökéletes számok. • Különböző alapú számrendszerek, a kettes alapú számrendszer fontossága. • Oszthatósági szabályok különböző alapú számrendszerekben (csak egyszerűbb esetekben, feladatokon

keresztül, versenyfeladatok is, bizonyítás csak egyszerűbb esetben!). • Alapműveletek a különböző számrendszerekben.

Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, értékelése, a tanult bizonyítások számonkérése, írásbeli ellenőrzés.

Egyenletek, egyenlőtlenségek 9.2c spec.mat


Cél • A különböző egyenletek és egyenletrendszerek megoldásával igyekszünk elérni, hogy ezeket az

ismereteket a matematika további tanulmányozása során alkalmazni és kibővíteni lehessen. • Az egyszerűbb egyenletek ekvivalenciájának vizsgálatával is fejlesztjük a matematikai logikai szemléletet,

erősítjük az önellenőrzés igényét és a diszkusszióskészséget.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani elsőfokú egyszerűbb paraméteres egyenletet, • készség szinten tudjon megoldani kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert, ismerje a megoldások

számának különböző lehetőségeit, • tudjon megoldani többismeretlenes lineáris egyenletrendszert, egyszerűbb algebrai törtet tartalmazó

egyenletet, legfeljebb két abszolútértéket tartalmazó egyenletet, • tudjon megoldani egyszerűbb egyenlőtlenséget algebrai és grafikus módszerrel.

Előzmény A kerettanterv 8. osztályos követelményei az egyenletmegoldás, függvények témákból.

Tartalom • Paraméteres lineáris egyenletek megoldása (szöveges feladat is). • Algebrai törtet tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. • Egyenletek ekvivalenciája, hamis gyök. • Egyszerűbb (legfeljebb két ) abszolútértéket tartalmazó egyenletek megoldása.



Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, értékelése, szóbeli és több írásbeli számonkérés a témából.

Függvények 9.3 spec.mat


Cél • A függvényekkel kapcsolatos korábbi ismeretek, tapasztalatok rendszerezése, ennek kapcsán a

függvényszemlélet fejlesztése. • A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolatának tudatosítása egyszerűbb

esetekben csak! (A geo. trafó csak a következő évben tananyag!) • A függvények matematikában és más tudományokban való alkalmazásainak további bemutatásával a

rugalmas gondolkodás fejlesztése.

Követelmény A tanuló • legyen képes az első 8 évben megismert alapfüggvények grafikonját (esetleg egyszerűbb transzformáltjait)

ábrázolni. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait, • tudja a függvények ábrázolását alkalmazni kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásában,

egyenlőtlenségek megoldásában, egyszerűbb fizikai folyamatok, egyéb természeti jelenségek leírásában.

Előzmény A kerettanterv 8. évfolyamon megfogalmazott követelményei a függvények témakörben.

Tartalom • A függvény fogalmának és elemi tulajdonságaik átismétlése. • Az elsőfokú-, másodfokú-, abszolútértékes-, egészrész és törtrész függvények, lineáris törtfüggvények,

grafikonjainak elkészítése és a függvények elemi tulajdonságai. • Ismerkedés a monotonitás,-a szélsőértékek, a korlátosság fogalmával. • Ismerkedés az összetett függvény fogalmával. • Egyenletek grafikus megoldása. • Egyszerűbb egyenlőtlenségek grafikus megoldása. • Kétismeretlenes egyenletrendszerek grafikus megoldása.

Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, szóbeli és írásbeli számonkérés.



Alakzatok, geometriai mértékek 9.4 spec.mat


Cél A geometriai alapismeretek rendszerezése, pontosítása A tétel és megfordítása közti kapcsolat megértetése, A bizonyítási készség további fejlesztése, diszkussziós készség fejlesztése a szerkesztési feladatok kapcsán.

Követelmény A tanuló • ismerjen mértani helyként is megfogalmazható alapvető ponthalmazokat ( szögfelezők, oldalfelező

merőleges, parabola, ellipszis, , hiperbola, látókörív-alakzat, Thalesz-kör és Thalesz-gömb). • tudja halmazokba rendezni a megismert speciális négyszögeket, lássa kapcsolatukat, • ismerje és tudja bizonyítani a háromszögek nevezetes vonalaira, pontjaira vonatkozó tételeket, tudja ezeket

alkalmazni bizonyítási és szerkesztési feladatokban, • ismerje a háromszög nevezetes köreit,azok sugarainak hosszát tudja számítani az oldalak ismeretében, • ismerje az euklideszi szerkesztés fogalmát, a szerkesztési feladatok megoldási lépéseit, tudjon megoldani

háromszögek, négyszögek szerkesztésére vonatkozó feladatokat. • ismerkedjen a matematikai modellalkotás folyamatáról, foglalkozzon a nem-euklideszi szerkesztések és a

nem-euklideszi geometriák kérdéskörével. • ismerje Bolyai János életét és munkásságát.

Előzmény A kerettanterv 8. osztályos követelményei a geometria témákban.

Tartalom • A háromszögekre, négyszögekre vonatkozó ismeretek rendszerezése. • Geometriai alapfogalmak, axióma, tétel fogalma. • Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszög hozzáírt körei. • A négyszögek osztályozása, speciális négyszögek kapcsolata. • Az euklideszi szerkesztés. A szerkesztési feladatok lépései. • Nem-euklideszi szerkesztések. • Euklidesz, Thalesz, Pitagorasz, Heron munkássága, koruk műveltségeszménye. • Bolyai János élete és munkássága.

Értékelés Házi feladatként otthon részletesen kidolgozott szerkesztési feladatok beszedése, ellenőrzése, megbeszélése. A tanult bizonyítások szóbeli és írásbeli számonkérése



Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések 9.5 spec.mat.


Cél A tanév folyamán megismert legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások összefoglalása, az egyes altémák közötti kapcsolatok megmutatása.

Követelmény A tanuló • legyen képes a tanév folyamán tanított matematikai ismereteit szóban és írásban megfogalmazni, feladatok

megoldásában alkalmazni.

Előzmény A kerettanterv és a 9. spec. mat. évfolyam egyes altémákhoz megfogalmazott követelményei.

Tartalom • Több területről vett ismeretet igénylő feladatok feldolgozásával a tananyag leghangsúlyosabb részeinek

összefoglalása, az esetleges hiányok pótlása. • Versenyfeladatok megoldása.

Értékelés Az egész tanévben végzett munka (KÖMAL is!) alapján.



Matematika 10 spec.mat

Részei A logika elemei Kombinatorika Számfogalom, műveletek Egyenletek, egyenlőtlenségek Gyökfüggvények és exponenciális függvények Geometriai transzformációk Alakzatok, geometriai mértékek Statisztika, valószínűségszámítás Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések


Cél • A matematikát szerető, tehetséges tanulók tudásának továbbfejlesztése. • A valós számkör építésének teljesebbé tétele, a függvényszemlélet továbbfejlesztése újonnan megismert

függvények és függvénytulajdonságok alapján, a matematika további alkalmazási lehetőségeinek megmutatása.

• A tanulók felkészítése a KÖMAL pontversenyére és az Arany Dániel matematika versenyre. • Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok:

− különböző bizonyítási módszerek szerepeltetése, − paraméteres egyenletek, kifejezések használatának elsajátítása − jártasság különböző egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldásában, − pontos fogalomismeret a hatványozással kapcsolatban, − az egybevágósági transzformációk, a hasonlósági transzformáció és a hasonlóság tulajdonságainak

többféle alkalmazása (szerkesztésben, bizonyításban, számításokban) − a ponttranszfomáció, mint függvény értelmezése, a függvényszemlélet fejlesztése − statisztikai elemzések elvégzése, a valószinűségszámítási alapfogalmak, kombinatorikus gondolkodásra

építve.

Követelmény A tanuló • ismerje a direkt és indirekt bizonyítást, a skatulyaelvet, a teljes indukciót, • tudja megkülönböztetni, helyesen alkalmazni a tételeket és megfordításukat, • ismerje a gyökök és együtthatók összefüggését másodfokú egyenleteknél, tudjon megoldani másodfokúra

vezető különböző egyenleteket, egyenletrendszereket, egyenlőtlenséget, • ismerje és tudja alkalmazni az n-edik gyök fogalmát, a racionális törtkitevőjű hatvány fogalmát, az ezekre

vonatkozó azonosságokat, • tudja alkalmazni a megismert függvénytranszformációkat, megállapítani a transzformált függvények

tulajdonságait; • tudja alkalmazni az egybevágósági és hasonlósági transzformációkat, az egybevágóságot és a hasonlóságot

szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatokban, • ismerje a statisztikai és valószínűségszámítási alapfogalmakat, és tudja a kombinatorikai eszközöket

változatos módon használni véges halmaz elemeinek megszámlálásához.



Előzmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei.

Tartalom A tanév anyagát - a kerettanterv témaköreit követve altémákra osztottuk. A leírt sorrend nem jelent tanítási sorrendet, az egyes altémák tanítási sorrendjének összeállítását a szaktanárokra bízzuk. Ahol célszerűbbnek látszik, a magasabb óraszámú altéma két részre bontva is beilleszthető a tanítási sorrendbe.

T a n a n y a g b e o s z t á s :

I. Gondolkodási módszerek: 25 óra

1.A logika elemei (5 óra) 2.Kombinatorika (20óra)

II. Algebra: 45 óra 1.Számfogalom, műveletek (25 óra) 2.Egyenletek, egyenlőtlenségek (20 óra)

III. Függvények: 30 óra 1. Függvények és transzformációik (20 óra) 2. Gyökfüggvények, exponenciális függvények (10 óra)

IV. Geometria: 42 óra 1.Geometriai transzformációk (24óra) 2.Alakzatok, geometriai mértékek (18 óra)

V. Statisztika, valószínűségszámítás: 25 óra VI. Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések: 8 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 10 óra


számonkérés. • A tanév folyamán öt alkalommal témazáró felmérés a szaktanár által összeállított feladatlappal, 1-2 óra

időtartamban. Ezeknek helyét a tanítási sorrend szabja meg. Félévenként egy-egy házi dolgozat a tanmenetben rögzített témából.

Feltételek • Két középiskolai matematika szakos tanár. • A tanulóknak: a 9. évfolyamon megadott könyvek, példatárak mellett az alábbi tankönyvek:

Sokszínű matematika 10. osztály MS-2310 Hajnal- Nemetz- Pintér: Matematika (fakt.B) III.- IV. kötet - NTK 13331/B, 13431/B Nemetz: Valószínűségszámítás - NTK 13234/IV. ill. TY-007 Pintér : Analízis I.- II. - NTK 13234/V.-13234/XII. ill- TY-005 és TY-006 Ajánlott: Reiman: Fejezetek az elemi geometriából - NTK 13234/IX. ill. TY-009 Pogáts: Vektorok, koordinátageomtria, trigonometria - NTK 13234/XI. ill. TY -010 Reiman: Ábrázoló geometria - NTK 13356 Urbán: Matematikai logika - NTK 13234/VI. ill. TY-011 • Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, KÖMAL.



• A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, KÖMAL, KÖMAL CD, színes kréta, írásvetítő fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, számítógépes INTERNET-hozzáférés, videókazetták, lehetőség feladatlapok sokszorosítására.

A logika elemei 10.1a spec.mat.


Cél • A logika nyelvének tudatosabb használata • Törekvés az eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek kifejtésére, a teljes indukció

módszerének elsajátítása.

Követelmény • A többi altémánál fogalmazódik meg. • Önálló követelmény: a tanuló ismerje és egyszerűbb feladatokban tudja alkalmazni a teljes indukciót.

Előzmény Ezen tanterv követelményei a 9. évfolyamra.

Tartalom • A skatulyaelv tudatosítása, alkalmazása feladatok megoldásában. • Az indirekt bizonyítás (a többi altémában beépítve jelenik meg). • Esetszétválasztások alkalmazása mint bizonyítási eljárás (a többi altémába beépítve jelenik meg). • A teljes indukció módszere, alkalmazása különböző témájú feladatok megoldásában.

Értékelés A többi altémánál.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazottak.

Kombinatorika 10.1b spec.mat.


Cél A matematika szépségének, érdekességének hangsúlyozása. Véges struktúrák szerkezetének átlátása.

Követelmény A tanuló • ismerje a Pascal-háromszögben elrendezett számok tulajdonságait, ezeket bizonyítani is tudja, • módszeresen számolja össze halmazok összes részhalmazát, • ismerjen az n elem összes részhalmazának a képletének bizonyítására legalább kétféle módszert, • ismerje a négyzetszámok összegének és a köbszámok összegének képletét bizonyítással együtt, • ismerkedjen meg a binomiális tétellel.



Előzmény Ezen tanterv 9. évfolyamon megfogalmazott követelményei kombinatorikából.

Tartalom • Ismétlés nélküli és ismétléses variációk, permutációk, kombinációk. • A Pascal-háromszög képzési szabályainak azonossága, a binomiális együtthatók tulajdonságai,

szimmetriája, n elemű halmaz összes részhalmazainak összeszámolása, az eredmény képletbe foglalása. • Totózással, lotózással, számjegyek képzésével kapcsolatok kombinatorikus feladatok. • A teljes indukciós bizonyítási módszer alkalmazása • Kombinatorikus problémák a síkban. • Négyzetszámok összege, köbszámok összege. • A Newton-féle binomiális tétel. • További kombinatorikai feladatok, ismétléses kombinációk, a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés

módszere véges halmaz elemeinek megszámlálásához.

Értékelés A házi feladatok részletes megbeszélése, írásbeli és szóbeli feleltetés.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazottak.

Számfogalom, műveletek 10.2a spec.mat


Cél A valós számok fogalmának pontosabbá tétele. Törtkitevőjű hatvány fogalmának ismerete, bevezetésük matematikán belüli indoklása, a permanencia elv érvényesítése. A számítások technikai fejlődése.

Követelmény A tanuló • ismerje a valós szám fogalmát, a valós számhalmaz részhalmazait, az irracionális szám fogalmát, • tudja, hogy milyen az irracionális számok tizedestört alakja, • tudja igazolni, hogy létezik irracionális szám, • tudjon bizonyos irracionális mérőszámú szakaszt többféle úton is szerkeszteni, • tudja definiálni számok n-edik gyökét, ismerje és tudja alkalmazni a gyökökre vonatkozó azonosságokat, • tudja bizonyítani a négyzetgyökökre vonatkozó azonosságokat, • tudja definiálni pozitív számok racionális kitevőjű hatványát, ismerje és tudja alkalmazni az azonosságokat, A tanuló tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat algebrai törtekkel végzett műveletek során és

feladatokban.

Tartalom • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése.

• ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b± ± ± ±2 3 4; ; ; 5

5−7 .

.

• ; . . . a b a b a b a b2 2 3 3 4 4 5− − −; ; ; a bn n− .• a b a b a b3 3 5 5 7+ + +; ;• Műveletek algebrai törtekkel. • Irracionális számok, a valós szám fogalmának átismételése. Példák irracionális számokra. • Annak bizonyítása, hogy ha egy pozitív egész nem teljes négyzet, akkor a négyzetgyöke irracionális.



• Az irracionális számok tizedestört alakja. A valós számok és a számegyenes. • A négyzetgyökökre vonatkozó azonosságok ismétlése, bizonyításuk. • Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. • Racionális kitevőjű hatványok fogalma, a hatványozás azonosságai. Az irracionális kitevőjű hatvány

szemléletes fogalma. • A permanencia-elv a hatványozás fogalmának kiterjesztésénél. Monotonitási követelmény.

Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, írásbeli és szóbeli számonkérés.

Feltételek A tanévre megfogalmazottak közül az ezen tantárgyszakaszhoz szükségesek.

Egyenletek, egyenlőtlenségek 10.2b spec.mat



ismereteket a matematika további tanulmányozása során alkalmazni és kibővíteni lehessen. • Az egyenletek ekvivalenciájának vizsgálatával fejlesztjük a matematikai logikai szemléletet, erősítjük az

önellenőrzés igényét és a diszkusszióskészséget. • A paraméteres egyenletek megoldási módjainak valamint a másodfokú egyenlet megoldóképletének biztos

használatával segítjük a különböző természettudományos tantárgyak tanterveinek megvalósulását is.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani elsőfokú paraméteres egyenletet, • készségszinten tudjon megoldani kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert, ismerje a megoldások

számának különböző lehetőségeit, • tudjon megoldani többismeretlenes lineáris egyenletrendszert, algebrai törtet tartalmazó egyenletet,

abszolútértéket tartalmazó egyenletet, • tudjon megoldani egyenlőtlenséget algebrai és grafikus módszerrel, • ismerje a másodfokú egyenlet megoldóképletét, és készségszinten tudja azt alkalmazni. • ismerje a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között lévő kapcsolatot, • ismerje fel, ha magasabbfokú egyenlet megoldását vissza lehet vezetni másodfokúra, és tudja az ilyen

egyenleteket megoldani, • tudjon megoldani másodfokú egyenletrendszereket, másodfokú egyenlőtlenséget, • tudjon megoldani exponenciális egyenleteket, • tudjon szöveges feladatot leírni az egyenlet nyelvén, megoldását ellenőrizze, • szélsőérték-problémákhoz tudja a célszerű matematikai modellt megtalálni.

Előzmény A kerettanterv és ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatban.

Tartalom • Paraméteres lineáris egyenletek megoldása (szöveges feladat is). • Többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek, új változó bevezetésével megoldható egyenletrendszerek. • Algebrai törtet tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása.



• Egyenletek ekvivalenciája, hamis gyök. • Abszolútértéket tartalmazó egyenletek megoldása. • Másodfokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással, a megoldóképlet, a diszkrimináns. • Legfeljebb másodfokúra vezető szöveges egyenletek. • Egyenletekkel, egyenletrendszerekkel, egyenlőtlenséggel kapcsolatos ismeretek bővítése. • Másodfokúra visszavezethető egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módjainak megismerése,

szöveges feladatokban való alkalmazása. • Másodfokú függvényre visszavezethető gyakorlati és fizikai szélsőérték-problémák megoldása. • A Viete-formulák. Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. • Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldása. • Másodfokú egyenletrendszerek. Szöveges feladatok. • Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. • Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák. • A mértani közép fogalma, n db pozitív szám számtani és mértani közepének összehasonlítása.

Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, szóbeli és több írásbeli számonkérés a téma feldolgozása folyamán.


Függvények és transzformációik 10.3a spec.mat



függvényszemlélet fejlesztése. • A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolatának elmélyítése • A függvények matematikában és más tudományokban való alkalmazásainak további bemutatásával a


Követelmény A tanuló • legyen képes az első 9 évben megismert alapfüggvények grafikonját és transzformáltjait ábrázolni. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait, • ismerje meg az összetett függvény fogalmát és tudja értelmezni egyszerűbb esetekben; • tudja a függvények ábrázolását alkalmazni kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásában,




grafikonjainak elkészítése és a függvények elemi tulajdonságai. • Ismerkedés a monotonitás,-a szélsőértékek, a korlátosság fogalmával. • Ismerkedés az összetett függvény fogalmával.



• A geometriai és függvény-transzformációk kapcsolata; • Egyenletek grafikus megoldása. • Egyenlőtlenségek grafikus megoldása. • Kétismeretlenes egyenletrendszerek grafikus megoldása.


Gyökfüggvények, exponenciális függvények 10.3b spec.mat


Követelmény A tanuló • ismerje a pozitív egész kitevőjű hatványfüggvényeket és gyökfüggvényeket, ezek kapcsolatát, • ismerje a különböző alapú exponenciális függvényeket, grafikonjaikat, elemi tulajdonságaikat, tudja

ábrázolni egyszerűbb transzformáltjaikat. Tudja, hogyan változtatják meg a függvénytranszformációk az alapfüggvény tulajdonságait,

• ismerje fel az alapfüggvényekből képzett összetett függvényeket,

Előzmény A kerettanterv és ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei a hatványozás, a négyzetgyök és a függvényekkel kapcsolatban, ezen tanterv 10. évfolyamon megfogalmazott követelményei a számfogalom, műveletek altémában.

Tartalom • Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények. • Páros függvény, páratlan függvény fogalma. • Gyökfüggvények. • A valós kitevőre értelmezett hatványozás megfogalmazása. Az exponenciális függvény és tulajdonságai. • Az exponenciális- függvények egyszerű transzformáltjai. • Az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus megoldása.


Feltételek Az egész tanévre vonatkozók közül az ezen tantárgyszakaszhoz szükségesek.



Geometriai transzformációk 10.4a spec mat


Cél Az egybevágósági transzformációkra vonatkozó ismeretek rendszerezése, a transzformációs szemlélet fejlesztése, feladatmegoldásoknál annak tudatosítása, hogyan kereshető meg a célszerű transzformáció egy probléma megoldásához Pontos fogalomismeret, a transzformációs szemlélet fejlesztése, a hasonlóság többféle alkalmazási lehetőségének (szerkesztésben, bizonyításokban, számításos feladatokban) megmutatása.

Előzmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei a geometriai transzformációkkal, alakzatokkal kapcsolatban.

Követelmény A tanuló • legyen képes az egybevágósági transzformációkat függvényként értelmezni, • ismerje a tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, a pont körüli elforgatás és az eltolás tulajdonságait,

tudja ezeket alkalmazni szerkesztési és bizonyítási feladatok megoldásánál, • ismerje a vektorok fogalmát, és a vektorok körében végzett összeadást, kivonást és számmal szorzást, ezek

tulajdnságait • ismerje a középpontos hasonlóság, a hasonlósági transzformáció fogalmát, a transzformáció tulajdonságait, • tudja megfogalmazni, bizonyítani és további feladatokban alkalmazni a hasonlóság alkalmazásaként

megtanult tételeket, • legyen képes a hasonlóságot szerkesztési, bizonyítási, valamint számításos feladatokban alkalmazni • tudjon felbontani síkbeli vektorokat adott irányú összetevőkre, ismerje a vektorfelbontás egyértelműségére

vonatkozó tételt.

Előzmény a NAT alapján az előző évek követelményei a geometriai transzformációk témakörben.

Tartalom • A ponttranszformáció mint függvény. Az egybevágósági transzformáció. • A tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, a pont körüli elforgatás, az eltolás tulajdonságai. • Egybevágósági transzformációk szorzata. • Az egybevágósági transzformációk előállítása tengelyes tükrözések szorzataként. • Az egybevágósági transzformációk alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban. • A vektorok fogalma, összeadás és kivonás a vektorok körében • Párhuzamos szelők tétele és bizonyítása a kétoldali közelítés módszerével. Párhuzamos szelők tételének

megfordítása. A párhuzamos szelődarabok tétele. • A középpontos hasonlóság fogalma, tulajdonságai. Szerkesztési feladatok. • A hasonlósági transzformáció fogalma, alakzatok hasonlósága. Háromszögek hasonlóságának alapesetei. • Vektorok számmal szorzása, ennek tulajdonságai



Geometriai alakzatok, mértékek 10.4b spec mat


Cél • A szögmérés további módjának bemutatása, • A tétel és megfordítása közti kapcsolat megértetése, • A bizonyítási készség további fejlesztése, diszkussziós készség fejlesztése a szerkesztési feladatok

kapcsán

Előzmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei a geometriai transzformációkkal, alakzatokkal kapcsolatban.

Követelmény • ismerje az ívmérték fogalmát, a kör részeinek kerület- és területszámítási módját, • ismerje, tudja bizonyítani és alkalmazni a kerületi és középponti szögek tételét és megfordítását, a

húrnégyszögek tételét, az érintőnégyszögek tételét, ismerje a húrnégyszögtétel és az érintőnégyszögek tételének megfordítását,

• ismerje a háromszög nevezetes köreit,azok sugarainak hosszát tudja számítani az oldalak ismeretében, • ismerje az euklideszi szerkesztés fogalmát, a szerkesztési feladatok megoldási lépéseit, tudjon megoldani

háromszögek, négyszögek szerkesztésére vonatkozó feladatokat. • ismerkedjen a matematikai modellalkotás folyamatáról, foglalkozzon a nem-euklideszi szerkesztések és a

nem-euklideszi geometriák kérdéskörével. • ismerje Bolyai János életét és munkásságát.

Tartalom • A forgásszög fogalma, a szög ívmértéke. Körív hossza, a körcikk területének meghatározása. • A kerületi és középponti szögek tétele, a látószögkörív mint mértani hely. • A húrnégyszög tétele és megfordítása, az érintőnégyszög tétele és megfordítása. • A háromszögekre, négyszögekre vonatkozó ismeretek rendszerezése. Geometriai alapfogalmak, axióma,

tétel fogalma. • Az euklideszi szerkesztés. A szerkesztési feladatok lépései. • Nem-euklideszi szerkesztések. • Euklidesz, Thalesz, Pitagorasz, Heron munkássága, koruk műveltségeszménye. • Bolyai János élete és munkássága.

Értékelés Házi feladatként otthon részletesen kidolgozott szerkesztési feladatok beszedése, ellenőrzése, megbeszélése. A tanult bizonyítások szóbeli és írásbeli számonkérése.



Valószínűség, statisztika 10.5 spec.mat.


Cél Statisztikai adatok összegyűjtése és az adatok jellemzése matematikai módszerekkel. A valószínűség szemléletes fogalmának kialakítása valószínűségi kísérletek elvégzése alapján. A valószínűség matematikai fogalmának kiépítése. A kombinatorikus modell alkalmazhatósága. Tapasztalatszerzés a geometriai modell alkalmazására.

Követelmény A tanulók • ismerjék a statisztikai adatsokaság jellemzésére használt legalapvetőbb mutatókat (módus, medián, átlag,

szórás, gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás-függvény), • ismerjék az eseményalgebra alapfogalmait: a biztos esemény,a lehetetlen esemény, az ellentett esemény

fogalmát, az összeg és szorzatesemény fogalmát, a kizáró események fogalmát , • ismerjék az eseményalgebra alapazonosságait (kommutativitás, asszociativitás, kétféle disztrubutivitás, De

Morgan azonosságok), • tudjanak egyszerű eseményalgebrai azonosságokat igazolni, • ismerjék meg az események valószínűségének fogalmát, • tudjanak kísérleti úton meghatározni bizonyos teljes eseményrendszerekhez tartozó relatív gyakoriságokat, • tudják alkalmazni a kombinatorikát bizonyos események valószínűségének kiszámítására,

Előzmény A 9. évfolyam követelményei a kombinatorikából.

Tartalom • Változatos statisztikai adatgyűjtés (pl. iskola tanulóinak magassága, lábbeli mérete, születési hónapja,

keresztneve, születési helye stb.), majd az adatok elrendezése: hisztogram készítés, módus, medián, átlag, szórás meghatározása.

• A szórás és átlag szerepe a számsokaság jellemzésénél. • Az eseményalgebra fogalmainak megismerése, az azonosságok bizonyítása. • Az algebrai struktúra összevetése a valós számok (egész számok) algebrájával, a halmazalgebrával. • Változatos valószinűségi kísérletek elvégzése ( egyenletes eloszlás, együttes eloszlás, bimoniális,

geometriai, hipergeometriai eloszlású valószinűségi változóra, ismert p és ismeretlen p, betűelőfordulás, titkosírásfejtés)

• A kísérletek statisztikai elemzése, módus, medián, átlag, szórás. Eloszlásgörbék.

• Eseményekhez tartozó relatív gyakoriságok változása a kísérletszám függvényében, a kn

érték stabilitása.

• A valószínűség fogalma mint mérték. • A valószínűség kiszámítása bizonyos esetekben kombinatorikus módszerrel. • A lottó, a totó telitalálatának valószínűsége.



Értékelés A házi feladatok alapos megbeszélése, szóbeli számonkérés a téma elején inkább az önként vállalkozó tanulókkal. Az iskolai közös kísérletek részletes megbeszélése a "játékmesterek" elemzése alapján.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazottak mellett az egyes kísérletekhez kocka, kártya, könyv, újság, pénzérme, az adatok ábrázolásához milliméter papír, számítógépes grafika.

Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések 10.6 spec.mat


Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, összefüggések, eljárások összefoglalása. A különböző témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Összetettebb feladatok megoldása, a munka megszervezése az adott osztály, csoport érdeklődésének, helyzetének megfelelően.

Követelmény Az év során tanított anyag ismerete, alkalmazása, írásban és szóban való érthető megfogalmazása a matematika tanult jelöléseinek segítségével.

Előzmény A kerettanterv és ezen tanterv 10. évfolyamán az egyes altémáknál megfogalmazott követelmények.

Tartalom Az eddig tanult matematika tananyag hangsúlyos részeinek kiemelése, az egyes témakörök közötti kapcsolatok bemutatása, feladatmegoldás.

Értékelés A végső értékeléshez a tanuló ismétlésnél nyújtott teljesítményét és egész évi munkáját együtt tegyük mérlegre.


Részei A logika elemei Kombinatorika Számfogalom, műveletek, algebrai ismeretek Egyenletek, egyenlőtlenségek Logaritmusfüggvények és szögfüggvények Alakzatok, geometriai mértékek Statisztika, valószínűségszámítás Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések




Cél • A matematikát szerető, tehetséges tanulók tudásának továbbfejlesztése. • A valós számkör építésének teljesebbé tétele, a függvényszemlélet továbbfejlesztése újonnan megismert

függvények és függvénytulajdonságok alapján, a matematika további alkalmazási lehetőségeinek megmutatása.

• A tanulók felkészítése a KÖMAL pontversenyére és az Arany Dániel matematika versenyre. • Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok:

− különböző bizonyítási módszerek szerepeltetése, − paraméteres egyenletek, kifejezések használatának elmélyítése − jártasság különböző egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldásában, − alapismeretek a egész együtthatós polinomok elméletéből − pontos fogalomismeret a logaritmussal és a szögfüggvényekkel kapcsolatban − a korlátosság és a monotonitás fogalma, az analizis fogalmainak előkészítése − a hasonlóság tulajdonságainak többféle alkalmazása (szerkesztésben, bizonyításban, számításokban) − a függvényszemlélet fejlesztése, inverz függvények, szögfüggvények − ismerje a periodicitás fogalmát, ennek következményeit a trigonometrikus egyenletek megoldásában − térgeometriai ismeretek, térszemlélet fejlesztése − statisztikai elemzések elvégzése, a valószinűségszámítási alapfogalmak, kombinatorikus gondolkodásra

építve.

Követelmény A tanuló • ismerje a direkt és indirekt bizonyítást, a skatulyaelvet, a teljes indukciót, • tudja megkülönböztetni, helyesen alkalmazni a tételeket és megfordításukat, • ismerje a gyökök és együtthatók összefüggését magasabbfokú egyenleteknél, tudjon megoldani

másodfokúra vezető különböző egyenleteket, egyenletrendszereket, egyenlőtlenséget • ismerjen szorzattábontási technikákat, • ismerje és tudja alkalmazni logaritmus fogalmát, az ezekre vonatkozó azonosságokat, számolási

eljárásokat, • tudja alkalmazni a megismert függvénytranszformációkat, megállapítani a transzformált függvények

tulajdonságait; • ismerje a korlátosság és monotonitás fogalmát, tudja eldönteni és igazolni ezeket a tulajdonságokat; • tudja alkalmazni az egybevágósági és hasonlósági transzformációkat, az egybevágóságot és a hasonlóságot

szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatokban, • ismerje az alapvető testek geometriai összefüggéseit, tudjon számításokat végezni (távolság,

szögmeghatározás) • ismerje az öt szabályos testet • ismerje a statisztikai és valószínűségszámítási alapfogalmakat, és tudja a kombinatorikai eszközöket

változatos módon használni véges halmaz elemeinek megszámlálásához.

Előzmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 10. évfolyamig megfogalmazott követelményei.

Tartalom A tanév anyagát - a kerettanterv témaköreit követve altémákra osztottuk. A leírt sorrend nem jelent tanítási sorrendet, az egyes altémák tanítási sorrendjének összeállítását a szaktanárokra bízzuk. Ahol célszerűbbnek látszik, a magasabb óraszámú altéma két részre bontva is beilleszthető a tanítási sorrendbe.

T a n a n y a g b e o s z t á s :

I. Gondolkodási módszerek: 35 óra

1.A logika elemei (13 óra) 2.Kombinatorika (22óra)



II. Algebra: 60 óra 1.Logaritmus, polinomok (25 óra) 2.Egyenletek, egyenlőtlenségek (35 óra)

III. Függvények: 45 óra 1. Logaritmusfüggvény, összetett függvények (25 óra) 2. Szögfüggvények és transzformációik (20 óra)

IV. Geometria: 66 óra 1.A hasonlóság alkalmazása (20 óra) 2.Trigonometria (24 óra) 3.Alakzatok, geometriai mértékek a térben (22 óra)

V. Statisztika, valószínűségszámítás: 25 óra VI. Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések: 14 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 14 óra


számonkérés. • A tanév folyamán hat alkalommal témazáró felmérés a szaktanár által összeállított feladatlappal, 1-2 óra

időtartamban. Ezeknek helyét a tanítási sorrend szabja meg. Félévenként egy-egy házi dolgozat a tanmenetben rögzített témából.

Feltételek • Két középiskolai matematika szakos tanár. • A tanulóknak: a 10. évfolyamon megadott könyvek, példatárak mellett az alábbi tankönyvek:

Sokszínű matematika 11. osztály MS-2311 Ajánlott: Egységes érettségi feladatgyűjtemény I-II. ( KT-0320, KT -0321)

• Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, KÖMAL. • A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok,

KÖMAL, KÖMAL CD, színes kréta, írásvetítő fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, számítógépes INTERNET-hozzáférés, videókazetták, lehetőség feladatlapok sokszorosítására.

A logika elemei 11.1 spec.mat.


Cél • A logika nyelvének tudatosabb használata • Törekvés az eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek kifejtésére, a teljes indukció

módszerének biztos alkalmazása • Műveletek a logikai értékekkel – ismerkedés a matematikai logika nyelvével • Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor és csak akkor” műveletek tudatos alkalmazása • A tétel és megfordítása logikai értékének egyezése illetve különbözősége • A szükséges és elégséges feltétel tudatos alkalmazása.



Követelmény • A többi altémánál fogalmazódik meg. • Önálló követelmény: a tanuló ismerje és egyszerűbb feladatokban tudja alkalmazni matematikai logika

elemi összefüggéseit.

Előzmény Ezen tanterv követelményei a 10. évfolyamra.

Tartalom • A skatulyaelv tudatosítása, alkalmazása feladatok megoldásában. • Az indirekt bizonyítás és más bizonyítási módszerek összegyűjtése • A logika nyelvének tudatosabb használata: az itéletfogalma, a logikai értékek definiciója • A eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek feltárása, a teljes indukció módszerének

biztos alkalmazása • Műveletek a logikai értékekkel – ismerkedés a matematikai logika nyelvével • Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor és csak akkor” műveletek • A tétel és megfordítása a matematika különböző területeiről összegyűjtve • A szükséges és elégséges feltétel tudatos alkalmazása – feladatokon keresztül (számelméleti, geometriai,

kombinatorikus problémák). • Megoldatlan problémák a tanórán, az iskolai ,matematikában, a matematika történetében.

Kombinatorika, gráfok 11.2 spec.mat


Cél • A kombinatorika feladataival és módszereivel a probléma felismerő és megoldó képesség fejlesztése. a

feladatokkal a matematika használhatóságának és érdekes voltának megmutatása. Az ismeretek, a feladatok megérésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra, pontosságra, kreativitásra, konstruktivitásra nevelés.

• A permutáció, variáció, kombináció fogalmainak átismétlése, alkalmazásuk összetettebb feladatokban is. Változatos színezési feladatokkal a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése. A binomiális tétel szerepének megmutatása különböző alkalmazásokban.

• Gráfokkal kapcsolatos alapismeretek kialakítása, s azok felhasználása modellalkotásra a matematika különböző területein.

Követelmény • Ismerjék fel a permutáció, variáció, kombináció fogalmát (ún. ismétlés nélküli és ismétléses esetek), a

binomiális tételt. Összetettebb feladatokban is tudják ezeket alkalmazni (konstruktív jellegű feladatokban is, pl. futball bajnokság fordulóinak tervezése). Tudjanak kombinatorikus geometriai és színezési feladatokat megoldani.

• Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszerű feladatokat megoldani.

Előzmény Kombinatorikából a korábbiakban szereplő módszerek ismerete (sorbarendezés, kiválasztás, fadiagram alkalmazása, "szorzási szabály", Pascal háromszög).

Tartalom • Permutáció, variáció, kombináció (ismétlés nélküli és általános eset) átismétlése. • Binomiális tétel, binomiális együtthatók tulajdonságainak átismétlése.



• Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, fokszám, egyszerű gráf, összefüggő gráf, komplementer gráf, fagráf, kör, páros gráf).

• Speciális gráfok és részgráfok (teljes gráfok, Euler-vonal, Hamilton-kör). • Az Euler-féle poliéder-tétel. Síkbarajzolhatóság fogalma és feltétele. • Szinezési problémák megoldása csoportelmélet felhasználásával.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. Teljes órás dolgozatban célszerű több kombinatorikai feladatot szerepeltetni.

Logaritmus, polinomok 11.3 spec.mat


Cél A valós számok fogalmának pontosabbá tétele. Törtkitevőjű hatvány, a logaritmus fogalmának ismerete, bevezetésük matematikán belüli indoklása, a permanencia elv érvényesítése. A számítások technikai fejlődése.

Követelmény A tanuló • ismerje a logaritmus fogalmát, • ismerje a logaritmus azonosságait, és tudja azokat alkalmazni, • tudjon megoldani logaritmikus egyenleteket. • ismerjen számítástechnikai eljárásokat, • legyen tisztába a számítások pontosságával: a gépi és egyéb módszerek korlátaival, előnyeivel • ismerje az egész együtthatós polinomok gyökeinek összefüggéseit, • ismerje és tudja alkalmazni a Horner-elrendezést.

Tartalom • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése, a hatványozás fogalmának kiterjesztése. • Műveletek hatványokkal. Inverz műveletek • A logaritmus fogalma, azonosságai. • Logaritmikus egyenletek. • Zsebszámológép alkalmazása a számolásban. Pontosság kérdése. • Zsebszámológép előtti világ "számítás"technikája. • Tudománytörténeti problémák. A gyakorlati számítások idő és helykorlátja. • És mire képes a gép? Mire nem? • Egész együtthatós polinom fogalma, gyökök és együtthatók összefüggése, Horner elrendezés. • Egész együtthatós polinomok racionális és egész gyökei.

Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, írásbeli és szóbeli számonkérés.


Egyenletek, egyenlőtlenségek 11.4 spec.mat





ismereteket a matematika további tanulmányozása során alkalmazni és kibővíteni lehessen. • Az egyenletek ekvivalenciájának vizsgálatával fejlesztjük a matematikai logikai szemléletet, erősítjük az

önellenőrzés igényét és a diszkusszióskészséget. • A paraméteres egyenletek megoldási módjainak valamint a másodfokú egyenlet megoldóképletének biztos

használatával segítjük a különböző természettudományos tantárgyak tanterveinek megvalósulását is.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani paraméteres egyenletet, • tudjon megoldani egyenlőtlenséget algebrai és grafikus módszerrel, • ismerje a másodfokú egyenlet megoldóképletét, és készségszinten tudja azt alkalmazni kölönböző

egyenlet-tipusoknál • tudjon megoldani exponenciális és logaritmusos egyenletet • tudjon egyszerűbb trigonometrikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket megoldani. • ismerje a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között lévő kapcsolatot, és ennek általánosítását

tetszőleges n-ed-fokú polinomra • tudjon szöveges feladatot leírni az egyenlet nyelvén, megoldását ellenőrizze, • szélsőérték-problémákhoz tudja a célszerű matematikai modellt megtalálni. • tudjon gyöktényezős alakra bontani magasabb fokú polinomokat is • meg tudja különböztetni az ekvivalens átalakítást a nem ekvivalens átalakítástól.

Előzmény A kerettanterv és ezen tanterv 10. évfolyamig megfogalmazott követelményei az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatban.

Tartalom • Egyenletek ekvivalenciája, hamis gyök. • Törtes és logaritmikus egyeneletek • Trigonometrikus egyenletek, egyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek • Magasabb fokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással • Gyökök- együtthatók összefüggése • Legfeljebb másodfokúra vezető szöveges egyenletek. • Egyenletekkel, egyenletrendszerekkel, egyenlőtlenséggel kapcsolatos ismeretek bővítése. • Másodfokúra visszavezethető egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módjainak megismerése,

szöveges feladatokban való alkalmazása. • Másodfokú függvényre visszavezethető gyakorlati és fizikai szélsőérték-problémák megoldása. • Egész együtthatós polinom fogalma, gyökök és együtthatók összefüggése, Horner elrendezés. • Egész együtthatós polinomok racionális és egész gyökei. • Az egész együtthatós polinom és gyökei. A Viete-formulák • Másodfokú egyenletrendszerek. Szöveges feladatok. • Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák. • A mértani közép fogalma, n db pozitív szám számtani és mértani közepének összehasonlítása.

Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, szóbeli és több írásbeli számonkérés a téma feldolgozása folyamán.




Logaritmusfüggvények, összetett függvények 11.5 spec.mat



függvényszemlélet fejlesztése. • Tudja, hogy az azonos alapú exponenciális- és logaritmusfüggvények egymás inverzei. • Az inverz pontpárok, az inverz alakzat és az inverz függvény fogalma • Az inverz függvény fogalmának elmélyítése • A logaritmus-függvény és tulajdonságainak megismerése • Az összetett függvény fogalmának elmélyítése • Az analizis fogalmainak előkészítése: korlátoság, monotonitás, szakadásos függvények • A függvények matematikában és más tudományokban való alkalmazásainak további bemutatásával a


Követelmény A tanuló • legyen képes az első 10 évben megismert alapfüggvények grafikonját és transzformáltjait ábrázolni. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait, • ismerje meg az összetett függvény fogalmát és tudja értelmezni egyszerűbb esetekben; • tudja a függvények ábrázolását alkalmazni kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásában,




grafikonjainak elkészítése és a függvények elemi tulajdonságai. • Az inverz pontpárok, az inverz alakzat és az inverz függvény fogalma • Az azonos alapú exponenciális- és logaritmusfüggvények egymás inverzei. • A logaritmusfüggvény , tulajdonságai, trandszformációi • A monotonitás,-a szélsőértékek, a korlátosság fogalma. • Az összetett függvény. • A geometriai és függvény-transzformációk kapcsolata; • Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása.


Szögfüggvények 11.6 spec.mat




Cél A függvényszemlélet fejlesztése a szögfüggvények megismertetésével. A periodicitás, mint függvénytulajdonság elmélyítése. A függvénytranszformációkról tanultak alkalmazása.

Követelmény A tanuló • ismerje a definiált szögfüggvényeket és elemi tulajdonságaikat, • ismerje ugyanazon szög szögfüggvényei közötti kapcsolatokat, • tudja ábrázolni és tulajdonságaival jellemezni a szögfüggvények transzformáltjait, • a definíciók és a grafikonok segítségével tudjon megoldani trigonometrikus egyenletet.

Előzmény A kerettanterv és ezen tanterv követelményei a 10. évfolyamig a függvényekkel és a vektorokkal kapcsolatban.

Tartalom • Az egységvektor koordinátái, a sinus és cosinus függvény. • A sinus- és cosinusfüggvény alapvető tulajdonságai (periodicitás, zérushelyek, helyi szélsőértékek,

párosság, páratlanság, monotonitás, korlátosság), • a sinus és coninus-függvények ábrázolása, • transzformáltjaik, azok ábrázolása, tulajdonságainak megfogalmazása. • A tg és a ctg függvények definíciója, ábrázolása, tulajdonságai. • Összefüggés ugyanazon szög szögfüggvényei között, a sin és cos függvények között. • Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása a definíciók alapján és grafikus úton. Az ellenőrzés

lehetősége végtelen sok megoldás esetén.

Értékelés Házi feladatok ellenőrzése, írásbeli és szóbeli számonkérések.

A hasonlóság alkalmazása 11.7 spec mat


Cél A hasonlóságra vonatkozó ismeretek rendszerezése, és az alkalmazások kiterjesztése A vektorok sokiráényú felhasználása a geometriai problémák megoldásában.

Előzmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 10. évfolyamig megfogalmazott követelményei a geometriai transzformációkkal: az egybevágósággal, hasonlósággal és az alakzatokkal kapcsolatban.

Követelmény A tanuló • legyen képes a hasonlóság tulajdonságait feladatokban alkalmazni • ismerje és alkalmazza a vektorokról és vektor-műveletekről tanultakat, • ismerje a vektorok fogalmát, és a vektorok körében végzett összeadást, kivonást és számmal szorzást, ezek

tulajdonságait



• tudja megfogalmazni, bizonyítani és további feladatokban alkalmazni a hasonlóság alkalmazásaként megtanult tételeket,

• legyen képes a hasonlóságot szerkesztési, bizonyítási, valamint számításos feladatokban alkalmazni • tudjon felbontani síkbeli vektorokat adott irányú összetevőkre, ismerje a vektorfelbontás egyértelműségére

vonatkozó tételt.

Előzmény a NAT alapján az előző évek követelményei a geometriai transzformációk témakörben.

Tartalom • A hasonlóságról tanultak átismétlése. • A vektorok fogalma, összeadás és kivonás a vektorok körében • Vektorok számmal szorzása, ennek tulajdonságai • A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, szögfelezőtétel, arányossági tételek a

derékszögű háromszögben. • Euler egyenes, Feuerbach féle kör. • Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. • Pont körre vonatkozó hatványa, ezzel kapcsolatos tételek. • Vektorok felbontása síkban és térben. A vektorfelbontás egyértelműségére vonatkozó tétel. • Bázisvektorok, vektor koordinátái.

Értékelés Házi feladatként otthon részletesen kidolgozott szerkesztési feladatok beszedése, ellenőrzése, megbeszélése. A tanult bizonyítások szóbeli és írásbeli számonkérése.

Trigonometria 11.8 spec mat


Cél • A szögfüggvényekkel kapcsolatos ismeretek és Pitagorasz tételének összekapcsolása derékszögű

háromszögekkel kapcsolatos számítási feladatokban. • Térgeometriai számítások • Ezeknek a számításoknak a felhasználása a természettudományos tárgyakban. • Ponthalmazok koordinátákkal való jellemzésével a koordinátageometria módszeres tárgyalásának

előkészítése.

Követelmény A tanuló • készség szinten tudja derékszögű háromszög hiányzó adatait kiszámolni Pitagorasz tételének vagy a

szögfüggvényeknek a felhasználásával, • tudja ezeket a számításokat alkalmazni egyéb síkbeli és térbeli alakzatok hiányzó adatainak

meghatározásához; számításainál használja célszerűen a zsebszámológépet,

Előzmény Ezen tanterv követelményei 10. évfolyamon a hasonlósággal, vektorokkal kapcsolatban.

Tartalom • Pitagorász tétele és megfordítása síkban és térben.



• Szögfüggvények a derékszögű háromszögben • Összefüggésk a hegyesszögek szögfüggvényei között • A szögfüggvények alkalmazása síkbeli és térbeli geometriai, valamint fizikai feladatok megoldására. • Szakasz merőleges vetületének hossza, sokszög merőleges vetületének területére vonatkozó összefüggés

megfogalmazása. • Sibeli és térbeli vektor koorditátái. • Számolás vektorokkal


Alakzatok, geometriai mértékek a térben 11.9 spec mat


Cél • A térelemekkel kapcsolatos ismeretek: távolság és szögfogalom a térben Térgeometriai számítások • Az alapveő testek ismerete (kocka, téglatest, paralelepipedon, tetraéder, gúla, haság, gömb. • A szabályos testek ismerete • A térszemlélet fejlesztése

Követelmény A tanuló • ismerje a térelemeket és azok méretes vonatkozásait, • ismerje néhány sikgeometriai tétel térbeli megfelelőjét • tudja a geometriai tranfszormációkat kezelni a térben • tudjon modellt készíteni az egyszerűbb testekből, ismerjen alapvető számolási eljárásokat

Előzmény Ezen tanterv követelményei 10. évfolyamon a hasonlósággal, vektorokkal, geometriai számításokkal kapcsolatban.

Tartalom • Térelemek és méretes vonatkozások ( távolság és szögfogalom) • A kocka, a téglatest és a paralelepipedon • A tetraéder és a gúla • A hasáb és a poliéder • A szabályos testek származtatása • A szabályos testek tulajdonságai. • Gömb. • Beírásos, érintési feladatok a térben. • Mértani helyek a térben.




Valószínűség, statisztika 11.10 spec.mat.


Cél A valószínűség matematikai fogalmának megszilárdítása. A kombinatorikus modell alkalmazhatósága. Tapasztalatszerzés a geometriai modell alkalmazására. Ismerkedés valószinűségi eloszlásokkal.

Követelmény A tanulók • ismerjék a statisztikai adatsokaság jellemzésére használt legalapvetőbb mutatókat (módus, medián, átlag,

szórás, gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás-függvény), • ismerjék az eseményalgebra alapfogalmait: a biztos esemény,a lehetetlen esemény, az ellentett esemény • ismerjék meg az események valószínűségének fogalmát, • tudjanak kísérleti úton meghatározni bizonyos teljes eseményrendszerekhez tartozó relatív gyakoriságokat, • tudják alkalmazni a kombinatorikát bizonyos események valószínűségének kiszámítására, • ismerjék meg a binomiális -, a geometriai - és a hipergeometriai eloszlást valószínűségi kísérletek elemzése

során • legyen tapasztalatuk arról, hogy egyes események valószínűsége geometriai mértékkel is jellemezhető.

Előzmény Ezen tanterv 9-10.. évfolyamos követelményei kombinatorikából, statisztikából és a valószinűségszámításból.

Tartalom • Változatos statisztikai adatgyűjtés (pl. iskola tanulóinak magassága, lábbeli mérete, születési hónapja,

keresztneve, születési helye stb.), majd az adatok elrendezése: hisztogram készítés, módus, medián, átlag, szórás meghatározása.

• Csebisev tételének bizonyítása, a szórás és átlag szerepe a számsokaság jellemzésénél. • Változatos valószinűségi kísérletek közös tulajdonságainak megkeresése, modellalkotás ( egyenletes

eloszlás, együttes eloszlás, bimoniális, geometriai, hipergeometriai eloszlású valószinűségi változóra, ismert p és ismeretlen p, betűelőfordulás, titkosírásfejtés)

• Az egyenletes eloszlás. A binomiális eloszlás és tulajdonságai • .A geometriai eloszlás. A hipergeometriai eloszlás és tulajdonságai. • Találati valószínűség a céltáblán, járművek megállítása egy útvonal egyik szakaszán, a geometriai

valószínűségi modell bemutatása, egyszerű geometriai valószínűségek kiszámítása.

Értékelés A házi feladatok alapos megbeszélése, szóbeli számonkérés a téma elején inkább az önként vállalkozó tanulókkal. Az iskolai közös kísérletek részletes felidézése a "játékmesterek" elemzése alapján.



Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések 11.11 spec.mat


Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, összefüggések, eljárások összefoglalása. A különböző témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Összetettebb feladatok megoldása, a munka megszervezése az adott osztály, csoport érdeklődésének, helyzetének megfelelően. Azoknak a tanulóknak, akik alapvizsgát kívánnak tenni, a felkészülés biztosítása.

Követelmény Az év során tanított anyag ismerete, alkalmazása, írásban és szóban való érthető megfogalmazása a matematika tanult jelöléseinek segítségével.

Tartalom Az eddig tanult matematika tananyag hangsúlyos részeinek kiemelése, az egyes témakörök közötti kapcsolatok bemutatása, feladatmegoldás.

Értékelés A végső értékeléshez a tanuló ismétlésnél nyújtott teljesítményét és egész évi munkáját együtt tegyük mérlegre.


Részei Halmazok, matematikai logika elemei Kombinatorika, gráfok Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, Lineáris algebra Sorozatok Az analízis elemei Vektorok, trigonometria Komplex számok Koordináta-geometria Valószínűségszámítás, statisztika Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret

Óraszám Iskolai: 259 óra Tanítási ciklus 7 óra / 1 hét

Cél A matematikát szerető, a matematikai problémák iránt érdeklődő tanulók számára érdekes, nehezebb, gondolkodtató feladatok, problémák kitűzésével, a különböző megoldási lehetőségek, diszkussziók megbeszélésével a matematika iránti érdeklődést (a pályaválasztást is segítendő ) tudatosan fejlesztjük. A fejlesztés érdekében célszerű a feladatokat szakköri feladatgyűjteményekből, a KÖMAL-ból is választani.



Cél az ezen osztályba járó tanulók közül azokat, akik várhatóan a matematikai versenyeken is jól szerepelhetnek, a versenyekre is felkészíteni. Ehhez feltétlenül szükséges az is, hogy a feladatok megoldását megfelelően kellő pontossággal és részletességgel le is tudják írni. Ebbe az osztályba járó tanulók zöme feltételezhetően olyan egyetemre, főiskolára fog kerülni, ahol a matematikát mint elméleti- és/vagy mint alkalmazott tudományt fogják tanulni. Ezért nem elég érdekes, a logikát fejlesztő feladatokat feldologozni otthoni munkával és a tanórán, hanem cél felkészíteni olyan ismeretekre is őket, melyek későbbi tanulmányaikat elősegítheti. Így nem hagyható el a többi tanuló számára is kötelezően tanított tananyag (pl. a trigonometria és koordináta-geometria). A gondolkodást fejleszti az alábbi témák problémáinak mélyebb szintű feldolgozása is: logikai feladatok, a kombinatorika, a gráfok, az algoritmusok, különböző játékok. A sikeres továbbtanulásra való felkészítésben például a lineáris algebra, analízis, valószínűségszámítás játszik komoly szerepet.

Követelmény • A tanulók tudják a permutáció, variáció, kombináció fogalmát ismétléses és ismétlés nélküli esetekben

összetettebb feladatokban is alkalmazni. Találkozzanak színezési feladatokkal, a gráfok különböző témakörökben mint modellek is szerepeljenek, s tudják gráfokat alkalmazni is.

• Tudjanak összetettebb exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket (paramétereseket is) megoldani, azonosságokat igazolni. Tudják, hogy a megoldás során mikor végeznek ekvivalens lépéseket, miként zárhatják ki a hamis gyököket. Tudjanak többismeretlenes elsőfokú és kétismeretlenes másodfokúra vezető egyenletrendszereket megoldani. Ismerjék az ellenőrzés fontosságát és módját.Tudjanak harmadfoku egyenleteket megoldani. Ismerjék a mátrix és a determináns fogalmát. A mátrixok között értelmezhető műveleteket, a determinánsra vonatkozó néhány tételt. Ismerjék a mátrix és a determináns felhasználhatóságát (egyes geometriai transzformációk tárgyalásában s az egyenletrendszerek megoldásában).

• Tudják alkalmazni a gráfokat a matematika különböző területein. • Ismerjék az Euler-féle poliéder tételt, tudjanak néhány játékalgoritmust és rendezési algoritmust. • Ismerjék a sorozat fogalmát. Tudjanak számtani és mértani sorozattal kapcsolatos feladatokat megoldani.

Ismerjenek Fibonacci típusú s egyéb rekurzióval megadott sorozatokat. Ismerjék a sorozat határértékének definícióját, s egyes sorozatoknál tudják a határértéket megállapítani. Ismerjék a függvény folytonosságának, határértékének és deriválhatóságának fogalmát. Tudják a tanult differenciálási szabályokat a függvényvizsgálatban. Tudjanak szélsőértékeket megállapítani elemien (a közepek alkalmazásával), s a differenciálás segítségével is.

• Ismerjék a komplex számok fogalmát és tudjanak alapműveleteket végezni a komplex számok körében. Ismerjék a számtestbővítés módszerét, az algebrai csoport és test fogalmát.

• Tudják, hogyan lehet komplex számokkal a sík pontjait jellemezni, bizonyos geometriai feladatokat komplex számok segítségével megoldani.

• Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait. Tudják alkalmazni a trigonometriában és a koordináta-geometriában. Ismerjék a sinus- és cosinus tételt, az addiciós képleteket, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni.

• Ismerjék az egyenes egyenletét, ill. egyenletrendszerét (síkban és térben), a sík egyenletét, a kör és a gömb, a kúpszeletek tanult egyenleteit. Tudjanak metszési, érintési, és ponthalmaz keresési feladatot koordináta-geometria segítségével megoldani.

• Ismerjék a valószínűségi változó, a várható érték és a szórás fogalmát. Tudjanak klasszikus valószínűségi feladatokat megoldani. Egyszerűbb esetekben ismerjék fel a binomiális-, a geometriai- és a hipergeometriai valószínűségi változót. Találkozzanak valószínűségi játékokkal. Ismerjék a feltételes valószínűséget.

Előzmény Ezen tanterv 11. osztály végéig előírt követelményeiben megfogalmazott, s a 12. osztály tanításakor szükséges ismeretek és módszerek. (Ezek folyamatos ismétlésére az új anyagrészek bevezetésekor célszerű sort keríteni.)



Tartalom I. Gondolkodási módszerek: 40 óra

1.Halmazok, matematikai logika elemei (18 óra) 2.Kombinatorika (22 óra)

II. Számtan-algebra: 30 óra 1.Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek (20 óra) 2.Lineáris algebra (10 óra)

III. Függvények, sorozatok: 62 óra 1.Sorozatok (26 óra) 2.Az analízis elemei (36 óra)

IV. Geometria: 72 óra 1.Vektorok, trigonometria (18 óra) 2.Komplex számok (18 óra) 3.Koordináta-geometria (36 óra)

V. Valószínűségszámítás, statisztika: 24 óra VI. Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret: 10 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 21 óra

Értékelés a/ Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése b/ Az írásbeli ellenőrzés formái:

1. iskolai dolgozatok, 2. az év során hét 1 -2 órás dolgozat s ezeknek teljes órában történő értékelése, 3. az év során három házi dolgozat. Legalább az egyik témája az emelét szintű érettségi anyagához kapcsolódik. A téma megjelölése és az időpont a tanmenetben található.

Feltételek • Két középiskolai matematika szakos tanár. A tanulóknak: tankönyvek, matematikai és geometriai feladatgyűjtemények (a 9. -11. évfolyam elején felsoroltak). • Sokszínű matematika 12. – MS-2312. • Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, zsebszámológép, KÖMAL. A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, KÖMAL, KÖMAL CD, színes kréta, írásvetítő fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, számítógépes INTERNET-hozzáférés, videókazetták, lehetőség feladatlapok sokszorosítására.



Halmazok, matematikai logika elemei 12.1 spec.mat.


Cél • A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböző területein: egyenleteknél

függvényeknél, az analízisben, ponthalmazoknál. • A logikai szita formula használata. • Véges és végtelen halmazok ekvivalenciájának megismerése. • A megszámlálható és kontinuum számosság fogalmának kialakítása. • A logikai értékek Boole-algebrájának megismerése. Boole-algebrák • A feltételek, következtetések, bizonyítási módszereknél a matematikai logika elemeinek alkalmazása. Az

ekvivalencia, az implikáció, a konjunkció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásakor.

• A kvantorok fogalmának megismerése, szerepük felismerése (pl. az analízis fogalmainak kiépítésekor).

Követelmény • A tanulók két, három halmazra biztosan tudják feladatokban alkalmazni a logikai szita formulát. • A tanulók értsék meg a dedukciós következtetési módszert. • A tanult bizonyításokat tudják reprodukálni, tudjanak egyszerű bizonyítási feladatokat önállóan megoldani. • Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszereket, s tudják, hogy ha erre nincs lehetőség,

akkor ellenőrzéssel bizonyítható, hogy egy gyök megoldás, illetve ellenőrzéssel szűrhető ki a hamis gyök. • Értsék és megfelelően használják a minden és van, olyan szavakat. • Tudjanak állításokat tagadni. • Értsék a megszámlálható halmaz fogalmát, és tudják, hogy a valós számok halmaza nem megszámlálható. • Ismerjék a logikai értékek Boole-algebráját, tudják azt egyszerűbb esetekben alkalmazni. • Ismerjék a konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia logikai műveleteket; tudják az egyszerübb

matematikai állításoklogikai vázát felépíteni, ismerjék az egyszerübb bizonyítások logikai formuláját is.

Előzmény Az előző tanévekben szereplő halmazelmélet és a matematikai logika elemeinek ismerete.

Tartalom • Halmazelméleti ismeretek összefoglalása, műveletek tulajdonságai. Boole-algebra • Véges és végtelen halmaz ekvivalenciája, halmazok számossága. • Végtelen halmaz végtelen részhalmazának számossága . • A racionális és valós számok halmazának számossága. • Paradoxonok a matematikában. • A naiv halmazelmélet hiányosságai. A Russel paradoxon. • A logikai értékek algebrája. • Boole- algebra és a számtest összevetése • A konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia • Logikai szita formula. • Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. • Univerzális és egzisztenciális kvantor.



Kombinatorika , gráfok, algoritmusok 12.2 spec.mat.


Cél • A bizonyításokban az és, a vagy, a nem, a következik, az akkor és csak akkor stb. szavak, kifejezések

helyes alkalmazása. A skatulyaelv, a teljes indukció, az indirekt bizonyítási módszer alkalmazása. • A gráfokról tanultak bővítése. A gráfok használatának megmutatása matematikatörténeti feladatokban is. • Az algoritmikus szemlélet fejlesztése. • Az algoritmusok elemzésével a fegyelmezett, ugyanakkor rugalmas gondolkodást is erősítjük. • A diszkussziós képesség fejlesztése. • Ismerjék a "magyar matematika" jelentőségét a XX. században, ismerkedjenek művelőinek életpályájával

(Kőnig Dénes, Neumann János, Kalmár László, Péter Rózsa, Erdős Pál, Lovász László). • Ismerjék a tanult anyagban szereplő bizonyítási módszereket, s tudják alkalmazni. • A matematikai bizonyítások eszközei és módszerei.

Követelmény

• Az Euler-féle poliédertétel alkalmazásainak megismerése. • Az ötszintétel bizonyításának megismerése. • A négyszíntétel bizonyításának problematikája. • Játék - algoritmusok ismerete (pl. barkochba, Hanoi torony stb.) • Rendezési feladatok.

Előzmény A korábban szerepelt kombinatorikai és a gráfokról tanult ismeretek. A számítástechnikában és a matematikában tanult algoritmusok ismerete, tudatos elemzése.

Tartalom • Euler-féle poliédertétel többfajta bizonyítása. • Szinezési problémák. Az ötszíntétel és bizonyítása a síkbarajzolhatóság felhasználásával. • A négyszíntétel problematikájának felvetése. • Játék-algoritmusok vizsgálata. • Sorbarendezés (Buborék-algoritmus, összefésülés). • Magyar matematikusok a XX. században a tudomány előrevívői, módszereik. • Kőnig Dénes, Neumann János, Erdős Pál, Kalmár László, Péter Rózsa, Lovász László munkássága.

Értékelés Szóbeli számonkérés, házi feladat ellenőrzés. Írásbeli dolgozat.



Egyenletek, egyenlőtlenségek, azonosságok 12.3 spec. mat.


Cél • Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek bővítése. • A harmadfokú egyenlet megoldási algoritmusa, a megoldások vizsgálata. • Egyenletek gyökeinek közelítő meghatározása, gépi algoritmusok, a pontosság kérdése • Első, másod- illetve harmadfokúra visszavezethető-, reciprok-, exponenciális-, logaritmikus- és

trigonometrikus egyenletek megoldása. • Periodikus függvényt szerepeltető egyenletekben a végtelen sok gyök ellenőrzési módjának megismerése.

Követelmény • Ismerjék az algebra alaptételét, és tudják a valós együtthatós polinomok irreducibilis tényezőkre

bonthatóságát. • Ismerjék a harmadfokú egyenlet megoldási algoritmusát. • Tudjanak exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket,

egyenletrendszereket megoldani. • Tudják, hogy az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen

szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor. • Tudják, hogy az egyenlet megoldása során melyek az ekvivalens átalakítások. • Tudják, hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, s tudják, hogy ilyen esetben

hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta. • Tudjanak azonosságokat igazolni, s a tanult azonosságokat (pl. az addíciós tételeket) feladatok

megoldásában alkalmazni.

Előzmény Az egyenletet, egyenlőtlenséget, egyenletrendszerek megoldásának korábban tanult eljárásainak, tanult azonosságoknak ismerete.

Tartalom • Elsőfokúra és másodfokúra visszavezethető-, exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus-, reciprok

egyenletek. (Paraméteres egyenletek is.) • Harmadfokú egyenletek megoldás, a Cardano-féle képlet. • Az egyenletmegoldási technikák fejlődése az évszázadok során. • Trigonometrikus azonosságok. Addíciós tételek.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontok. A tanult egyenletmegoldási eljárások számonkérése kétórás órás dolgozat(ok)ban szerepel.

Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Lineáris algebra 12.4 spec.mat.




Cél

• A két és háromismeretlenes egyenletrendszerek megoldási algoritmusa alapján az n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek általános megoldásának módját megmutatva a matematikai modellalkotásának egyik lehetséges útjára is rávilágíthatunk.

• A korábban tanult egy és kétváltozós műveletek konkrét tulajdonságainak elemzése alapján az egy- és kétváltozós művelet fogalmának kialakítása, a műveleti tulajdonságok tudatosítása.

• A mátrix és a determináns fogalmának kiépítésével, a mátrixok közötti műveletek megismerésének segítségével olyan hatékony algoritmust tudunk ajánlani a tanulóknak, amelynek segítségével a lineáris egyenletrendszerek megoldása, bizonyos geometriai transzformációk, egyszerű kétszemélyes mátrix játékok egyszerűen tárgyalhatók.

Követelmény • A tanulók ismerjék az egy- és kétváltozós művelet fogalmát, ismerjenek műveleti tulajdonságokat • Ismerjék a mátrix fogalmát, mátrixok között értelmezett műveleteket. • Ismerjék a determináns fogalmát, tulajdonságait. • Ismerjék a mátrixok geometriai felhasználhatóságát, a Gauss-féle fokozatos kiküszöbölés módszerét

lineáris egyenletrendszerek megoldására.

Előzmény A korábban tanult művelet értelmezések, műveleti azonosságok (pl. vektoroknál).

Tartalom • A korábban tanult egy- és kétváltozós műveletek rendszerezése a műveleti tulajdonságok szerint. • A mátrix fogalma, négyzetes mátrix, egység mátrix, nullmátrix, inverz mátrix. • Kétszemélyes mátrixjátékok. • Műveletek a mátrixok körében (összeadás, kivonás, számmal szorzás, szorzás, invertálás). • A determináns fogalma és tulajdonságai. • A mátrixok és a vektorműveletek. • Néhény lineáris programozási feladat • Origo körüli forgatás megadása mátrix-szal. • Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszerével.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, részt.

Sorozatok 12.5 spec.mat.


Cél • A számtani és mértani sorozat általános tárgyalása, s ezeknek gyakorlati alkalmazásában (pl. kamatos-

kamatszámítás, törlesztési feladatok, járadékszámítás) való megmutatása. • Azonosan teljesülő egyenlőtlenségek ismerete, becslési eljárások használata. • Fibonacci típusú s egyéb rekurzióval megadható sorozatok ismerete. • Sorozatokkal kapcsolatos fontos ismeretek (monotonitás, konvergencia, korlátosság ismerete) és

feladatokon való alkalmazása. • Végtelen mértani sor összegképletének használata. Végtelen szakaszos tizedestörtek és a racionális számok

kapcsolatának bizonyításával a számfogalom mélyítése.



Követelmény • Ismerjék és tudják alkalmazni a számtani és mértani sorozat n-edik tagjára és összegére vonatkozó

képleteket. • Ismerjenek néhány rekurzióval megadott sorozatot. • Ismerjék a számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közép fogalmát, tudják nagyságrendjüket. • Értsék a sorozat korlátosságának, monotonitásának, konvergenciájának fogalmát, tudják meghatározni

sorozatok határértékét. • Ismerjék a végtelen mértani sort, tudják az összeg-képletet levezetni. • Tudják, hogy a végtelen szakaszos tizedestört hogyan és miért írható fel két egész szám hányadosaként.

Előzmény A sorozatokról a korábbi években tanultak ismerete. A teljes indukciós bizonyítási módszer biztos használata. A négyzetszámok és köbszámok összegképlete. A számtani- és mértaniközép tétele.

Tartalom • A számtani és mértani sorozat fogalma. Az n-edik tag és az összegképlet. • Fibonacci-sorozat, rekurzív sorozatok. • Számtani, mértani, harmonikus és négyzetes közép összehasonlítása. • Sorozatok korlátossága, monotonitása. • A határérték fogalma. • A konvergens sorozatok tulajdonságai. Határértékszámítási módszerek.

• A 1 1 1 1 1

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

n n

n n

; sorozatok és az e szám.

• Sorozatok konvergenciája. • A végtelen mértani sor.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. Sorozattal kapcsolatos feladatok feltétlenül szerepelnek teljes órás felmérésben.

Az analízis elemei 12.6 spec.mat


Cél • Az analízis elemei bővítik a függvényekről tanultakat. A függvényhatárérték, a folytonosság, a

differenciálhányados fogalma a matematikában, a természettudományokban egyaránt igen fontos szerepet játszik (érintő, sebesség, gyorsulás stb.). A differenciálási szabályokkal célszerű megismertetni a matematika iránt érdeklődő s a matematikát a későbbiekben is használni akaró tanulókat.

• Olyan függvények vizsgálata is célunk, melyeket elemi úton nem tudunk megismerni. • Fontos az elemi szélsőérték vizsgálatok (másodfokú függvénnyel, közepekkel történő módszerek) mellett a

differenciálszámítás eszközeinek ismerete.

Követelmény • Ismerjék a tanulók a függvény határértékének és folytonosságának fogalmát. • Tudják a tanult függvények adott helyhez tartozó határértékét megállapítani. Tudjanak példákat adni

folytonos és nem folytonos függvényekre. • Ismerjék és értsék a differenciálhányados fogalmát. Ismerjék az összeg, szorzat, hányados deriválási

szabályát. Tudjanak polinomot, algebrai törtfüggvényeket és trigonometrikus függvényeket differenciálni. • Ismerjék az összetett függvény deriválási szabályát.



• Ismerjék az inverz függvények deriváltjainak összefüggését. • Ismerjék az exponenciális- és a logaritmus-függvény deriválási szabályát. • Ismerjék a differenciálszámítás középérték-tételeit. (Rolle- és Lagrange-tétel) • Tudják, hogy a deriváltfüggvény segítségével hogyan vizsgálható a függvény menete, hogyan lehet

meghatározni a függvény lokális szélsőértékeit. • Ismerjenek elemi módszereket is a szélsőértékek megállapítására. • Ismerjék meg a konvexitás és konkavitás fogalmát, és ezen tulajdonságok kapcsolát a deriváltfüggvények

menetével. • Tudják, hogyan változott a függvényfogalom, a függvények tulajdonságainak vizsgálati módszere a

matematikatörténet során, és kinek a munkássága volt a legnagyobb hatással e tudományág fejlődésére.

Előzmény A korábbi években tanult függvény-fogalom és függvény-tulajdonságok ismerete.

Tartalom • A függvény folytonossága, a folytonos függvények tulajdonságai. • Függvény határértéke a véges helyen és a végtelenben. • Függvény határértéke jobbról és balról, a határérték tulajdonságai, kiszámítási módjai • Határétmeneti tételek. • A differenciálhányados, a differenciálhatóság, a deriváltfüggvény. • Összeg, szorzat, hányados, polinomok, algebrai törtfüggvények, trigonometrikus függvények deriváltja. • Az összetett függvény deriválási szabálya. • Az inverzfüggvény deriváltja. Az exponenciális- és logaritmusfüggvény deriváltja. • Konvexitás, konkavitás. Inflexiós pontok. • A függvénymenet vizsgálatára, a szélsőértékekre vonatkozó tételek. • Teljes függvényvizsgálat az analizis eszközeivel és a számítógéppel. • Az analizis módszereinek fejlődése, a fogalmak tartalmának változása - tudománytörténeti vonatkozások:

Newton, Leibniz, Cantor élete és munkássága.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. A témából 2 órás dolgozatot is iratunk.

Vektorok, trigonometria 12.7 spec.mat


Cél • A térbeli derékszögű koordnátarendszer megismerése, használata • A vektorok skaláris- és vektoriális szorzatának ismerete és a matematikán belül a trigonometriában és a

koordináta-geometriában való alkalmazása. • Ezen szorzatok fizikában való felhasználhatóságának megmutatása (pl. munka, forgatónyomaték). • A sinus- és cosinustétel alkalmazásával háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számítások és bizonyításos

feladatok, a gyakorlatban távolság, magasság, szög, sebesség, erő meghatározása. • A zsebszámológép és a személyi számítógép célszerű használata, gyakorlati feladatokban megfelelő

pontosságú értékek meghatározása.

Követelmény • Ismerjék a skaláris és vektoriális szorzat fogalmát, tulajdonságaik koordinátákkal való kiszámítási módját. • Tudják ezeket alkalmazni a bizonyításokban és feladatmegoldásokban. • Ismerjék a sinus- és cosinustételt (levezetésüket is), s tudják alkalmazni a háromszög hiányzó

alkotórészeinek meghatározásában.



Előzmény A vektorokból és a trigonometriából korábban tanultak. Táblázat és zsebszámológép használata.

Tartalom • Különböző vonatkoztatási rendszerek. A térbeli derékszögű koordinátarendszer. Térbeli vektorok. • A skaláris és vektoriális szorzat fogalma és tulajdonságai. • Koordinátákkal való kiszámítási módjuk. • A vektorműveletek és a kétváltozós műveletek. • A sinus- és cosinustétel. • Összetett számítási feladatok síkban és térben, a térelemek méretes vonatkozásai.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontokat. Fontos, hogy teljes órás dolgozatban szerepeljenek vektorokkal kapcsolatos és trigonometrikus számításos feladatok.

Komplex számok 12.8 spec.mat.


Cél Ismerjék meg a tanulók a számkör-bővítés egyik lehetséges módját. Tudjanak a komplex számokkal alapműveleteket végezni. Ismerjék meg a komplex számok néhány alkalmazását az algebrában, a geometriában és a fizikában .

Követelmény • A tanulók ismerjék meg a komplex számok fogalmát. • Ismerjék a komplex számokon értelmezett alapműveleteket, a hatványozást és a gyökvonást mind a

kanonikus mind pedig a trigonometrikus alakban. • Ismerjék az egységgyökök fogalmát. • Ismerjék a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldási algoritmusát és a diszkussziót. • Ismerjék az algebra alaptételét és annak egyszerübb következményeit. • Tudják valós együtthatós polinomok gyökeit keresni a komplex számtest felett. • Ismerjék a GAUSS-féle számsíkot, és tudjanak az egybevágósági- és hasonlósági transzformációk valamint

a komplex számok közt végzett műveletek kapcsolatáról. • Tudjanak egyszerübb esetekben geometriai feladatokat komplex számsíkon értelmezni és megoldani. • Ismerjék a komplex számok felhasználásának néhány módját fizikából.

Előzmény Az alábbi altémák pontos és alkalmazás-szintű ismerete: • A valós számkör és a műveletek. Polinomok tényezők bontása, a másodfokú egyenletek megoldása, a

megoldás diszkussziója. • A geometriai transzformációk hatása a síkbeli koordinátarendszer pontjaira. • Vektorok koordinátái. Szögfüggvények. Addíciós képletek.

Tartalom • A komplex számok fogalma, a kanonikus és a trigonometrikus alak. Komplex szám konjugáltja és abszolút

értéke. • A GAUSS-féle számsík. • A négy alapművelet elvégzése komplex számokkal.



• A komplex számok teste a valós számok testének egy lehetséges kibővítése: a műveleti azonosságok permanenciája.

• Moivre-tétel. Hatványozás és gyökvonás komplex számokból. Egységgyökök, primitív egységgyökök. • Másod-, harmad-, negyedfokú egyenletek megoldása komplex számok felett. A megoldhatóság vizsgálata. • Az algebra alaptételének egyszerűbb következményei: a valós együtthatós polinomok felbontása

irreducibilis polinomok szorzatára. • Geometriai transzformációk a komplex számsíkon. • Fizikai alkalmazások.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontokat. Fontos, hogy teljes órás dolgozatban szerepeljenek komplex számokkal kapcsolatos feladatok.

Koordináta-geometria 12.9 spec.mat.


Cél • Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenlőtlenségek,

egyenletrendszerek segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.)

• Az egyenes, a kör, a kúpszeletek egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jellegű feladatokban. Térben az egyenes vektor-egyenlettel, egyenletrendszerrel, a sík lineáris egyenlettel adható meg.

• A kúpszeletek: a kúp síkmetszetei. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben (Pl. Kepler-törvények.)

Követelmény • Ismerjék a koordináta-síkban lévő egyenes néhány egyenletét, a párhuzamosság és merőlegesség feltételét,

a kör középpontú és általános egyenletét. • Ismerve a kúpszeletek definícióját, szimmetria tulajdonságait le tudják vezetni a parabola tengelyponti

egyenletét, az ellipszis és hiperbola kanonikus egyenletét. Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni.

• Ismerjék az egybevágósági transzformációk, bizonyos hasonlósági transzformációk és a merőleges affinitás hatását a pontokra, az alakzatokra.

• Ismerjék a kúpszeletek érintőinek geometriai fogalmát, ez érintők szerkesztésének és egyenletük kiszámításának módszereit.

• Tudják összekötni a függvényeknél tanult érintőfogalmat a geometriai érintőfogalommal. • Ismerjék, hogy a henger és a kúp síkmetszete mi lehet. • Tudják a térelemek méretes vonatkozásait megfelelő adatok segítségével meghatározni. • Ismerjék a térbeli egyenes és sík koordináta-geometriai megadási módját.

Előzmény A koordinátarendszerben adott pont az egyenes ábrázolásának biztos ismerete. Vektor műveletek koordinátákkal.

Tartalom • Az egyenes irányvektoros egyenlete (síkban és térben). Síkban az egyenes normálvektoros és általános

egyenlete. Adott ponton átmenő, adott iránytangensű egyenes egyenlete. A párhuzamosság és merőlegesség feltétele.

• A sík egyenlete.



• Két pont távolsága, a kör középponti és általános egyenlete. • Kúpszeletek definíciója, elemi tulajdonságai és speciális egyenletei. • Kúpszeletek érintői és ezek tulajdonságai. Az érintők szerkesztése és egyenletük felírása. • A henger és a kúp síkmetszetei. • A tanult alakzatok egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. Távolsággal kapcsolatos

feladatok.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. A teljes órás felmérésben feltétlenül szerepeljenek koordináta-geometriai feladatok.

Valószínűségszámítás, statisztika 12.10 spec.mat


Cél • Annak átismétlése, hogy adatsokaságokat a számtani (illetve súlyozott) közép és a szórás miként jellemzi.

Stasztikai adatokból levonható következtetések. • Matematikatörténeti feladatok, játékesélyek elemzése. A valószínűségi feladatokban az érdekesség és a

felhasználhatóság megmutatása. • A valószínűség fogalmának elmélyítése: a modellalkotás folytatása. A binomiális-, a geometriai- és a

hipergeometriai eloszlások felismerése, paramétereinek számítása. • Feltételes valószínűségre néhány feladat bemutatása.

Követelmény • Ismerjék az átlag és a szórás fogalmát és meghatározási módját. • Ismerjék, hogy a számsokaság elemeinek eloszlását hogyan jellemzi az átlag és a szórás. • Ismerjék, hogy ha egy valószínűségi kísérletben véges sok elemi esemény lehetséges s azok egyenlően

valószínűek, akkor egy esemény valószínűségi kombinatorikus úton határozható meg. • Értsék meg, hogy egyes események valószínűsége bizonyos feltételektől függhet. • Ismerjék fel egyszerűbb esetekben a tanult valószínűségi változót.

Előzmény A tanult kombinatorikai ismeretek,az eseményalgebra, a statisztika és valószínűség fogalmának elemi ismerete.

Tartalom • Átlag, szórás, módus, medián. • Az átlagtól való eltérés B-szer szórásnyi intervallumban. Csebisev tétele. • Valószínűségi változó, várható érték. • A valószínűség kombinatorikus meghatározási módja. • Az egyenletes eloszlás. A binomiális eloszlás.A geometriai eloszlás. A hipergeometriai eloszlás. • A lottó, a totó telitalálatának valószínűsége. • Találati valószínűség a céltáblán, járművek megállítása egy útvonal egyik szakaszán, a geometriai

valószínűségi modell bemutatása, egyszerű geometriai valószínűségek kiszámítása. • Binomiális eloszlás. • Geometriai eloszlás. • Hipergeometriai eloszlás. • Együttes eloszlások várható értéke, szórása. • Néhány játék valószínűségi elemzése.



• Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele.

Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret 12.11 spec.mat.


Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböző témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Feladatok megoldása.

Követelmény A 12. évfolyam tantervének altémáiban megfogalmazott követelmények.

Előzmény A tanév végén az év során tanított anyag ismerete, a legfontosabb anyagrészek alkalmazása.

Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböző anyagrészek közötti kapcsolatok kimutatása.

Értékelés Az egész évben végzett munka alapján (KÖMAL és OKTV eredmények is).

Matematika 13

Részei Az analízis elemei II. Térgeometriai ismeretek Geometriai mértékek Az ábrázoló geometria elemei Valószínűségszámítás, statisztika Rendszerező összefoglalás

Óraszám Iskolai: 231 óra Tanítási ciklus 7 óra / 1 hét

Cél • A tanév fő feladata az osztály tanulóinak az emelt szintű érettségire s a felsőoktatás igényes

matematikaoktatásában való eredményes részvételre történő felkészítése. • Ennek érdekében szükséges az alapos rendszerező összefoglalás, a biztos feladatmegoldás, s olyan

ismeretekbe, matematikai módszerek alkalmazásába való bevezetés (pl. a térgeometriába, az integrál-számításba), melyek a későbbi tanulmányaikba a matematikai anyag jó megértését s az alkalmazási készséget lehetővé teszik.

• Továbbra is cél az osztály legjobbjainak a versenyekre (OKTV) való felkészítése.

Követelmény • A tanulók legyenek képesek helyes logikai következtetésekre, tanult viszonyítások reprodukciójára,

bizonyítási feladatok megoldására.



• Ismerjék a logikai műveletek (konjunkció, diszjunkció, negáció, implikáció, ekvivalencia) szerepét a bizonyításokban.

• Ismerjék a kétoldali megközelítés módszerét (pl. a terület és térfogatszámításban), az integrál, az integrálhatóság, a primitív függvény definícióját.

• Tudják alkalmazni a Newton-Leibniz tételt, a határozott integrál tulajdonságait. • Ismerjék az integrál néhány fizikai alkalmazását. • Ismerjék az integrálnak a geometriában való fontos voltát, az ún. görbe alatti terület, illetve a forgástestek

térfogatának meghatározásában. Tudják kiszámítani a tanult síkidomok területét, testek térfogatát és felszínét.

• Ismerjék a térelemek hajlásszögének, távolságának fogalmát. Legyenek képesek ezeket feladatokban alkalmazni.

• Ismerjék a merőleges vetítés tulajdonságait, a Monge-féle két képsíkos ábrázolás elemeit. • Legyenek tisztában a várható érték fogalmával. • Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószínűségét is meg tudjuk

határozni, melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. • Tudjanak valószínűségszámítási feladatokhoz modelleket alkotni. • Ismerjék a nagy számok törvényét. • Ismerjék a közvéleménykutatás elemeit. • Ismerjék a matematikai statisztika néhány alapkérdését és módszerét. • Az emelt szintű érettségire való felkészülést rendszerező összefoglalással, összetett és vegyes típusú

feladatokkal segítjük. A tanult témakörökben (a halmazok és matematikai logika; kombinatorika; számfogalom, műveletek, számolási eljárások; egyenletek; lineáris algebra; függvények, sorozatok; analízis; geometriai alakzatok; geometriai transzformációk; geometriai mértékek; vektorok, trigonometria, koordináta-geometria; statisztika és valószínűségszámítás) megerősítjük a tanult fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat.

• Ismerjék a matematikatörténet kultúrtörténeti összefüggéseit. • Tudják, hol és milyen módon alkalmazhatóak a matematika eredményei • Ismerjék néhány matematikus pályaképét.

Előzmény • Az új anyag tanításához szükséges a korábbiakban tanult logikai, gráfokkal kapcsolatos analízisbeli,

geometriai alakzatokra és mértékekre vonatkozó, statisztikai és valószínűségszámítási ismeretek. • A rendszerező összefoglalást segíti, ha a tanult matematika anyag súlypontjait már a korábbi évek

feldolgozásainak végén, az ismétlésekkor és rendszerezésekkor kiemeltük, és a különböző témák közötti összefüggéseire rámutattunk.

Tartalom

I. Függvények: 56 óra 1. Az analízis elemei II. (56 óra)

II. Geometria: 72 óra 1. Térgeometriai ismeretek (26 óra) 2. Geometriai mértékek (26 óra) 3. Az ábrázoló geometria elemei (20 óra)

III. Valószínűségszámítás, statisztika: 22 óra IV. Rendszerező összefoglalás: (Részletezés később) 60 óra V. Témazáró dolgozatok és javítások 21 óra



Értékelés a/ Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellenőrzése. b/ Az írásbeli ellenőrzés formái:

1. dolgozatok, félévente 2-2 házi dolgozat különös tekintettel az emelt szintű érettségi követelményeire. 2. az új anyagból 1-2 órás felmérés és ezeknek teljes órákban történő értékelése. 3. a rendszerező összefoglalásból legalább két alkalommal kétórás felmérés, s ezeknek teljes órákban történő értékelése.

Feltételek • Két középiskolai matematika szakos tanár. • A tanulóknak: tankönyvek, matematikai és geometriai feladatgyűjtemények (a 9. -12. évfolyam elején

felsoroltak). Füzetek, körző, vonalzók, függvénytáblázat, zsebszámológép, KÖMAL, térgeometriai modellek készítéséhez alkalmas eszközök.

• A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, KÖMAL, KÖMAL CD, színes kréta, térbeli testek készítéséhez alkalmas készletek (POLYDRON testkészlet), írásvetítő fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, számítógépes INTERNET-hozzáférés, videókazetták, lehetőség feladatlapok sokszorosítására.

Az analízis elemei II. 13.1 spec.mat.


Cél • Az integrálszámítás elemeivel eszközhöz juttatni a tanulókat, melyek mind matematikai (pl. terület és

térfogatszámítás), mind pedig fizikai (pl. sebességből az út meghatározása, a végzett munka) problámák megoldásához segítséget nyújt.

• Átlássák a tanulók a közelítő érték és pontos érték problámáját a határozott integrállal tárgyalható feladatokban is. Eredményeik pontosságát meg tudják becsülni.

• Készítse elő a tanulók természettudományos felsőfokú tanulmányait.

Követelmény • Ismerjék a tanulók a kétoldali közelítés módszerét, és tudják is azt alkalmazni. • Ismerjék a négyzetszámok és köbszámok összegére vonatkozó képletet - levezetéssel együtt. • Ismerjék a határozott integrál fogalmát, tulajdonságát, a primitív függvény fogalmát, a Newton-Leibniz

tételt, s tudják a felsoroltakat feladatokban alkalmazni. • Ismerjék a téglány- és trapézszabályt, s tudják, hogy ezeknél a lépésköz megválasztásától hogyan függ a

pontosság.

Előzmény A függvényekről, sorozatokról, a differenciálszámítás elemeiből tanult ismeretek. Algebrai ismeretek biztos felhasználása az egyenelet és egyenlőtlenségek megoldásában. A becslések szerepének ismerete, és néhány módszerének ismerete.

Tartalom • A parabolikus háromszög területe. • Alsó- és felső közelítő-összegek. • A határozott integrál fogalma és tulajdonságai. • Az integrál mint a felső határ függvénye. • A primitív függvény fogalma és tulajdonságai. • A Newton-Leibniz tétel, és felhasználása határozott integrál kiszámításához. • Közelítő integrálás (téglány és trapéz szabály). • Az integrálszámítás algoritmusai. • Néhány egyszerűbb improprius integrál.



• Néhány egyszerűbb differenciálegyenlet és megoldásuk. • Kapcsolat a geometriai mértékekkel, a fizikai fogalmakkal.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. A témából 2 órás dolgozatot iratunk.

Térgeometriai ismeretek 12.3 spec.mat.


Cél • A gyakorlati életben előforduló síkidomok definícióinak, testek származtatási módjának biztos ismerete. • A korábbi években tanult térgeometriai ismeretek (térelemek távolsága, szöge) kiegészítése s alkalmazása

gyakorlati feladatokban • A térszemlélet fejlesztése. • Testek elkészítése, a modellezés különböző módszereinek ismerete. • Kombinatorikai problémák megoldása a testekkel kapcsolatosan. Síkmetszetek, áthatások felismerése. • Pontok, testek jellemzésének különféle lehetőségei a térbeli koordinátarendszerekben.

Követelmény • Ismerjék a térelemek szögének, távolságának (kitérő egyenesek normál transzverzálisát is) fogalmát, és

tudják ezeket különböző adatokból számítani. Tudják ezeket testekkel kapcsolatos számításokban alkalmazni.

• Ismerjék a merőleges vetítés tulajdonságait. • Tudjanak méretes, illetve metszési feladatokat megoldani. • Tudják bizonyítani, hogy ötféle szabályos test van.

Előzmény A térgeometriából s a szerkesztésekből korábban tanultak ismerete.

Tartalom • Térelemek távolsága, szöge. • Testek származtatása: paralelepipedon, hasáb, gúla, csonka gúla, tetraéder, oktaéder, dodekaéder,

ikozaéder. • Szabályos testek. Ezek származtatása, beírások. • Összetett feladatok térben • Térgeometriai feladatok megldása vektorokkal, koordináta-módszerrel • Henger, kúp, csonkakúp, gömb, ellipszoid, hiperboloid , tórusz, forgástestek.

Értékelés • Lásd az általános rész a, és b, pontját. • Teljes órás dolgozatok.

Geometriai mértékek 13.4 spec.mat.




Cél • A terület, felszín, térfogat szemléletesen megismert fogalmait matematikailag egzakt formába öntjük. • A régről ismert terület-, felszín- és térfogatképleteket igazoljuk. • A kétoldali közelítés módszerének és az integrálszámításnak a fölhasználása a bizonyításokban.

Követelmény • Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszöget, a kör és részeinek értelmezését és tulajdonságait. • Ismerjék a hasáb, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp, gömb származtatását. • Ismerjék a síkidomok területének és a testek térfogatának definícióját. • Ismerjék az alapvető terület, felszín, térfogatképletek bizonyítását, s ezeket a képleteket tudják

feladatokban alkalmazni.

Előzmény A geometriai alakzatokról, mértékekről és az integrálról korábban tanultak ismerete.A számításos geometria módszereinek ismerete (szögfüggvények, sinus- és cosinustétel, koordináta-módszer).

Tartalom • A területfogalom és tulajdonságai. • A téglalap területe, a paralelogramma területe, trapéz, háromszög és deltoid területe. A sokszög területe. • A területszámítás alkalmazásai. • Görbevonalú síkidomok területe. Területszámítás határozott integrállal. • A térfogat fogalma és tulajdonságai. • A téglatest térfogata, a paralelepipedon térfogata, a hasábok térfogata. • A tetraéderek, gúlák és csonkagúlák térfogata. • A szabályos testek térfogata. • Henger, kúp, csonka kúp, gömb, tórusz, ellipszoid, hiperboloid, forgástestek térfogata.

Értékelés Lásd az általános rész a, és b, pontját. A témából célszerű két órás dolgozatot iratni.

Az ábrázoló geometria elemei 13.4 spec. mat


Cél • A korábbi években tanult térgeometriai ismeretek (térelemek távolsága, szöge) kiegészítése s alkalmazása

gyakorlati feladatokban. • A merőleges vetítés. Egyszerű testek két képsíkos ábrázolása, illetve elöl és felülnézeti képből a test

rekonstrukciója mind a műszaki, mind a művészeti felsőoktatásban továbbtanulásra való felkészítés segítségének érdekében.

• A térszemlélet fejlesztése.

Követelmény • Ismerjék a térelemek szögét, távolságát (kitérő egyenesek normál transzverzálisát is). • Ismerjék a merőleges vetítés tulajdonságait. • Tudják hasáboknak, gúláknak, hengereknek, kúpoknak elölnézeti és felülnézeti képét megszerkeszteni, s a

megszerkesztett képekből a testre következtetni.



• Tudják miként biztosítható a Monge-féle ábrázolásban, hogy négy pont vagy két egyenes egy síkban legyen.

• Tudjanak egyszerű méretes, illetve metszési feladatokat megoldani.

Előzmény A térgeometriából s a szerkesztésekből korábban tanultak ismerete.

Tartalom • Térelemek távolsága, szöge. • A két képsíkos ábrázolás elemei: pont, szakasz, egyenes sík, egyszerű testek ábrázolása. • Rekonstrukció. • Egy-két metszési, illetve távolságra vonatkozó feladat speciális felvétel melletti ábrázolása.

Értékelés • Lásd az általános rész a, és b, pontját. • Célszerű teljes órás felmérőben e témakörből is adni egy-két feladatot.

Feltételek Lásd az általános részben leírtakat. Különösképpen fontos testmodellek készítése és alkalmazása.

Valószínűségszámítás, statisztika 13.5 spec.mat.


Cél • A statisztikával és a valószínűséggel kapcsolatos ismeretek átismétlése. • A várható érték szerepének megmutatása. • A valószínűségi szemlélet fejlesztése olyan feladatok tárgyalásával, ahol a kísérletnek végtelen sok

kimenetele lehet. Van nulla valószínűségű, de nem lehetetlen esemény. • Annak beláttatása, hogy a valószínűség meghatározása geometriai mértékek segítségével történhet.

(Hosszúság, terület, térfogat.) • A nagy számok törvényének megismerése. • A matematikai modellalkotás kérdéseinek tárgyalása • Ismerkedés a közvéleménykutatás elemeivel. • Ismerkedés a matematikai statisztika alapkérdéseivel, módszereivel.

Követelmény • Ismerjék a várható érték fogalmát s tudják azt kiszámítani. • Ismerjék a geometriai valószínűség fogalmát. • Végtelen sok kimenetelű kísérlethez tudjanak geometriai modellt készíteni. • Ismerjék a közvéleménykutatás elemi módszereit. • Ismerjék meg a matematikai statisztika alapvető módszereit, alapfogalmait: intervallumbecslés,

konfidencia-intervallum, paraméter-intervallum

Előzmény A statisztikából, a valószínűségről, valószínűségi kísérletről és a geometriai mértékekről korábban tanultak. Csebisev tétele

Tartalom • Várható érték és tulajdonságai.



• A binomiális, a hipergeometriokus, a geometrikus eloszlás várható értéke és szórása. • Feladatok a valószínűség geometriai meghatározására. • Nagy számok törvénye • A közvéleménykutatás elemei és eszközei. • A matematikai statisztika elemi módszerei és alapfogalmai. • Minta, relatív gyakoriság. • Konfidencia-intervallum. • Paraméter-intervallum becslése.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot.

Rendszerező összefoglalás 13.6 spec. mat


Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésének, a tanult témakörök súlyponti fogalmainak, összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával az emelt szintű érettségire s a felsőoktatásban való sikeres részvételre felkészítés. Matematikatörténeti vonatkozások ismerete. A matematika egyes filozófiai kérdéseinek taglalása. A matematika eredményeinek felhasználása a különböző tudományokban.

Követelmény Tudják a tanulók a tanult fogalmak definícióját, tételeket (egyesek bizonyítását is, a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböző területei közötti kapcsolatokat, a matematikával a tudományokban és a gyakorlatban való felhasználhatóságát. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat matematikai feladatokban (bizonyítási feladatokban is) s más tantárgyak megfelelő feladataiban alkalmazni. Ismerjenek nagy matematikai felfedezéseket és a felfedezések történetét, az egyes fogalmak történeti alakulását, az egyes matematikusok életpályáját. Tudják megválaszolni azt a kérdést, hogy mi a matematika.

Előzmény A tanterv korábbi évfolyamain és a 13. évfolyam új témáiban előírt követelmények teljesítése.

Tartalom

G o n d o l k o d á s i m ó d s z e r e k : a/ Halmazok, matematikai logika 4 óra

Halmazok, megadási módjai, részhalmaz, kiegészítő halmaz. Halmazok közötti műveletek. Végtelen halmazok elmélete; számosságok. Állítások, logikai értékük. Negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. Univerzális és egzisztenciális kvantor.

b/ Kombinatorika, gráfok, algoritmusok 5 óra Permutáció, variáció, kombináció.



Binomiális tétel. Pascal háromszög. Elemi gráfelméleti ismeretek. Bejárási problémák, színezései kérdések, Euler-féle poliédertétel, síkbarajzolhatóság, ötszíntétel, négyszíntétel. A bizonyítások fejlődése és a bizonyítási módszerek változása. Egyszerű algoritmusok, játékok. Lépésszám-kérdések.

S z á m t a n - a l g e b r a

a/ Számfogalom, műveletfogalom, számolási eljárások 6 óra

A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. Az alapműveletek és tulajdonságaik. Csoport, gyűrű, test fogalma. Boole-algebrák, számtestek.Testbővítés. Közelítő értékek, kerekítések. Számelméleti alapfogalmak. Kongruenciák, számelméleti függvények, nevezetes diophantoszi problémák. b/ Egyenletek, egyenlőtlenségek, a lineáris algebra elemei 9 óra Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai. Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe. Paraméteres feladatok. Azonosságok. Egyenletrendszerek. A fokozatos közelítés módszere. Szöveges feladatok. Polinomok gyökei. Megoldási algoritmusok. Mátrixok, determinánsok.

F ü g g v é n y e k , s o r o z a t o k

a/ Speciális függvények 4 óra

A függvény fogalma. Speciális függvények: konstans, lineáris, egészrész, törtrész, másodfokú, abszolutérték, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények. A függvények grafikonja s elemi tulajdonságai. Függvény transzformációk.

b/ Sorozatok, sorok 3 óra A sorozat fogalma. Számtani, mértani sorozat. Rekurzióval megadott egyéb sorozatok. Sorozatok monotonitása, konvergenciája. A végtelen mértani sor.

c/ Analízis 7 óra Függvények korlátossága és monotonitása.

Függvény határértéke, folytonossága. Differenciálhányados, derivált függvény.



Differenciálisi szabályok. Függvényvizsgálat differenciálás segítségével. Szélsőérték meghatározási módok. A határozott integrál, a primitív függvény fogalma. A tanult függvények primitív függvényei. Newton-Leibniz tétel. Integrálási módszerek. Differenciálegyenletek fizikai alkalmazásai. Közelítő integrálás.

G e o m e t r i a a/ Geometriai alakzatok, bizonyítások 4 óra

Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. Elemi sík és térgeometriai tételek.

b/ Geometriai transzformációk 3 óra

Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben. A merőleges vetítés, szerepe a két képsíkos ábrázolásban.

c/ Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria 5 óra Vektor fogalma, műveletek a vektorok körében. Vektorok koordinátái. Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinus tétel. A háromszög hiányzó adatainak kiszámolása. Az egyenes egyenletei, egyenletrendszere (síkban és térben). A kör egyenletei. A kúpszeletek definíciója, egyenleteik. A kúp és henger síkmetszetei.

V a l ó s z í nű s é g s z á m í t á s , s t a t i s z t i k a 4 óra Statisztikai alapfogalmak: módus, medián, átlag, szórás, várható érték. Grafikonok, táblázatok készítése és olvasása. Valószínűségi kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság. A valószínűség kiszámítási módjai. Feltételes valószínűség. Binomiális-, geometriai- és hipergeometriai eloszlás. Csebisev tétele és a nagy számok tétele. A közvéleménykutatás elemei. A matematikai statisztika alpvető fogalmai, eljárásai.

D o l g o z a t í r á s r a , é r t é k e l é s r e 6 óra

Értékelés

Lásd az általános rész a, és b/1, b/3, pontját.


tanterv - · pdf filesokszínű matematika 9. osztály ms-2309 ... ismereteket a...

Documents