TAMA~NO ¶OPTIMO DE PLANTAS INDUSTRIALES

GABRIEL POVEDA RAMOSEscuela de Formaci¶on Avanzada, Universidad Ponti¯cia Bolivariana, Medell¶³n

RESUMEN. Este trabajo busca llenar un vac¶³o muy serio que existe en la literatura referente a la evaluaci¶on econ¶omicay ¯nanciera de plantas industriales, cual es el de la ausencia de un procedimiento para calcular de modo racional eltama~no o capacidad de la planta en proyecto. Aqu¶i presentamos un m¶etodo para traducir las caracter¶³sticas t¶ecnicasy ¯nancieras de la presunta planta en expresiones matem¶aticas y en funciones; para de¯nir la rentabilidad comofunci¶on del tama~no que se le d¶e; y para calcular por m¶etodos matem¶aticos el tama~no ¶optimo para lograr la plantam¶as rentable. No hay en la literatura ning¶un tratamiento matem¶atico de esta cuesti¶on. Se d¶a un ejemplo de la vidareal.

PALABRAS CLAVES.Evaluaci¶on de proyectos, Dise~no de plantas, Matem¶aticas ¯nancieras, Econom¶³a matem¶atica,Ingenier¶³a econ¶omica.

ABSTRACT. This paper is intended to ¯ll in a very serious gap existing in the literature on the economic and¯nancial evaluation of industrial plants, i.e. the absence of a rational methods to de¯ne the size of the plant to bebuilt. We establish here a procedure designed to translate the technical and ¯nancial caracteristics of the would beplant; into mathematical expressions and to de¯ne its expected pro¯tability as a function of the size to be decidedupon; and to calculate by mathematical methods the optimum size for obtaining the most pro¯table plant othermathematical treatment of this issue is found in the literature. One real-life example is given.

KEY WORDS. Project evaluation, Industrial plants design, Financial mathematics, Mathematical economics, Engi-neering economics.

1 INTRODUCCI¶ON

En el medio universitario colombiano no se encuentracasi ninguna literatura referente al problema indus-trial muy importante de c¶omo escoger el tama~no ocapacidad m¶as conveniente de una f¶abrica nueva quese trata de instalar y que en el futuro no v¶a a sersusceptible de peque~nas y graduales ampliaciones yque, por lo tanto, durante varios a~nos v¶a a permanecercon la misma capacidad de producci¶on con que se ini-cie. Seg¶un la experiencia del autor este problema seplantea cuando se v¶an a construir plantas qu¶³micas,de cemento, cer¶amicas, electroqu¶³micas, f¶abricas deox¶³geno, sider¶urgicas, automotrices, termoel¶ectricas,metal¶urgicas, re¯ner¶³as de petr¶oleo, destiler¶³as de al-cohol, f¶abricas de papel y de varios otros tipos.

Tambi¶en se plantea el mismo problema, aunqueen menor escala t¶ecnica y econ¶omica, cuando se tratade adquirir una m¶aquina o equipo que en s¶³ mismoconstituye una unidad de producci¶on y de bene¯cioecon¶omico. Este es el caso de un tracto-cami¶on dieselcon remolque, para un peque~no transportador; y el deun horno el¶ectrico de inducci¶on para una fundici¶onde metales que es peque~na. Lo es tambi¶en cuandouna peque~na industria proyecta dotarse de una plantadiesel electrogeneradora. Se podr¶³an agregar muchosotros ejemplos tomados de la realidad industrial enColombia y en otros muchos pa¶³ses an¶alogos a ¶este.

En una situaci¶on como las indicadas lo primeroque debe tenerse presente es el tama~no actual de lademanda que v¶a a atender la instalaci¶on en ciernes,y su crecimiento previsible hacia el futuro, respectoal producto o servicio que se trata de proveer. Es in-dispensable tambi¶en tener una noci¶on clara sobre la

con¯guraci¶on y el funcionamiento de la instalaci¶on ysobre sus requerimientos de materias primas e insumospor cada unidad f¶³sica del (o de los) producto(s) que sev¶a a generar en ella. Es necesario conocer los preciosy los costos de dichos productos y de dichos insumosy, por supuesto, toda la informaci¶on tecnol¶ogica, co-mercial y ¯nanciera que es pertinente en una situaci¶oncomo la que estamos tratando.

Este documento se escribe por tres razones:

(i) Porque el problema que aqu¶³ se expone y se re-suelve ha sido y seguir¶a siendo importante y fre-cuente en la industria de Colombia y del mundo.

(ii) Porque es un enfoque te¶orico original y novedosoque no se encuentra en la literatura atinente aestos temas.

(iii) Porque esta metodolog¶³a ha sido aplicada con¶exito por el autor en varios casos de ensanchesindustriales y de nuevas plantas en este pa¶³s y enotros.

2 RELEVANCIA DEL TEMA

Supongamos que se instala una planta demasiadopeque~na. Surgen dos objeciones a saber:

(i) La experiencia mundial indica que para much¶³si-mos tipos de industrias y de m¶aquinas, es mascostoso producir cada unidad f¶³sica de producto(p.e.: tonelada de cemento, barril de gasolina) enuna instalaci¶on peque~na que en una instalaci¶ongrande. Este es el fen¶omeno muy conocido y que sedenomina con el nombre de \econom¶³as de escala".

(ii) Si la demanda crece (que es el escenario donde

22 Poveda

esto se discute), la planta peque~na v¶a a quedarcopada pronto y en los a~nos subsiguientes se de-saprovechar¶a una gran parte de esa demanda fu-tura

Si por el contrario, se instala una planta muygrande, aparecen otras objeciones como las siguientes:

(i) El desembolso inicial de dinero v¶a a ser demasiadogrande, con los correspondientes grandes costos¯nancieros.

(ii) La planta v¶a a trabajar largo tiempo con capaci-dad de producci¶on sobrante y los costos de ca-pital (como la depreciaci¶on) se v¶an a repartir enuna producci¶on relativamente peque~na, generandofuertes extracostos unitarios a cada unidad de pro-ducto.

Surge pues la necesidad de escoger un tama~no in-termedio que no sea demasiado peque~no ni demasiadogrande. Es decir que aproveche las econom¶³as de es-cala pero que ocasione un desembolso que no sea ex-cesivo; y que aten¶ue los costos ¯jos de producci¶on decada unidad de producto, siendo peque~na, pero no tanpeque~na que pierda mercado futuro desde muy joven.Se trata de un \trade-o®" entre las econom¶³as de es-cala de lo grande y su alto costo ¯nanciero. Y de un\trade-o®" entre los bajos costos ¯jos por unidad quepermite lo peque~no, frente a sus desventajas ante elfen¶omeno de las econom¶³as de escala.

3 LAS ECONOM¶IAS DE ESCALAS. LEYDE WILLIAMS

Si se compra un horno el¶ectrico de arco para haceracero, con capacidad de 500 toneladas diarias, lainversi¶on cuesta, digamos, 1 mill¶on de \denarios".Pero si se compra otro horno el¶ectrico de la mismamarca y del mismo dise~no pero m¶as grande, de 1000toneladas diarias (doble de capacidad), cuesta m¶asque la primera, pero bastante menos de 2 millones de\denarios". Y si se usan el uno y el otro, ambos a plenacarga, el costo de capital (amortizaci¶on del horno) portonelada de acero que produzcan, ser¶a mayor en el maspeque~no y ser¶a menor en el mas grande.

Esto mismo ocurre en much¶³simos tipos espec¶³¯cosde m¶aquinas y de equipos: telares planos, reactoresqu¶³micos, columnas de destilaci¶on, prensas de fricci¶onpara l¶amina met¶alica, motores el¶ectricos de inducci¶on,ollas de masa para cerveza, transformadores el¶ectricosde potencia, hornos electrometal¶urgicos, locomotorasel¶ectricas, motores a gasolina, plantas de refrigeraci¶ony much¶³simos m¶as.

Este hecho, conocido desde hace mucho tiempo,fue expresado muy concretamente en 1947 de unamanera cuantitativa por la llamada ley de Williams.Esta ley establece que, dado un cierto tipo de m¶aquinao de equipo, que se construye en distintos tama~nos ocapacidades, el valor de distintas unidades est¶a corre-lacionado con sus respectivas capacidades mediante laf¶ormula emp¶³rica.

K = AQ®; (1)

en donde

K : es el valor comercial de una unidad nueva, quetiene capacidad Q. Tanto Q como K son variables deuna a otra unidad o pieza. Las unidades de medidade K son d¶olares, u otra moneda dura. Las unidadesde Q son unidades f¶³sicas que miden tama~nos, poten-cia el¶ectrica, caudal, etc¶etera, seg¶un la funci¶on u o-peraci¶on t¶ecnica que ejecute la m¶aquina o equipo.

A: es una constante num¶erica con dimensiones que espropia de cada tipo de equipo, y cuyo valor num¶ericoespec¶³¯co depende de la magnitud f¶³sica o geom¶etricaque se use para medir a Q:

® : es una constante num¶erica sin dimensiones, yque tambi¶en es propia del tipo de bien o de equipo.Sin embargo, el estudio de muchos tipos distin-tos de aparatos y m¶aquinas mec¶anicas, el¶ectricas,hidr¶aulicas, t¶ermicas, etc., ha puesto de mani¯esto queel valor num¶erico de ®, en much¶³simos equipos, es muycercano al n¶umero 2/3 = 0.667. Por esta raz¶on es fre-cuente que a esta ley de Williams la denominen "ley delos dos tercios". El hecho de que ® es num¶ericamentemenor que el n¶umero 1,00 es la expresi¶on algebraicadel fen¶omeno de las econom¶³as de escala.

Los valores de A y de ® para distintos tipos debienes de capital se encuentran tabulados en manua-les de ingenier¶³a mec¶anica, de ingenier¶³a industrial yde otras tecnolog¶³as relacionadas con el tema de losproyectos industriales.

Otra manera de expresar esta ley es que, para unmismo tipo de equipo, si se tienen dos piezas nuevas decapacidades Q1 y Q2, distintas, sus valores monetariosson K1; K2, respectivamente, y est¶an en la relaci¶on

K1

K2=

µQ1

Q2

¶®

;

siendo ® cercana al n¶umero 2/3.

4 UNA EMPRESA EN PROYECTO

Consideremos una empresa E que se est¶a proyectandopara fabricar un producto f¶³sico a partir de una com-binaci¶on de materias primas conocidas, mediante unatecnolog¶³a determinada, tal como se muestra en la¯gura 1

Figura 1. Empresa E que se est¶a proyectando parafabricar un producto ¯sico

Este es el caso, por ejemplo, de una central ter-moel¶ectrica que v¶a a generar energ¶³a a partir de carb¶ony agua. O de una planta de pulpa qu¶³mica de celulosaa partir de madera y de productos qu¶³micos. O una hi-lander¶³a de hilazas de algod¶on. Puede tambi¶en tratarsede un proyecto que v¶a a producir dos o m¶as produc-tos complementarios a partir de un cierto \paquete"de materias primas o insumos. Este es el caso, por

Dyna 130, 2000 23

ejemplo, de una planta electrol¶³tica para soda c¶austica,hidr¶ogeno y cloro a partir de sal com¶un y agua. Mu-chos mas ejemplos podr¶³an darse de proyectos indus-triales, algunos ya existentes en Colombia, y otros quea¶un no existen pero que vendr¶an en el futuro. En to-das estas situaciones puede hablarse de un consumocuantitativo de todas y cada una de las materias pri-mas que es proporcional a la producci¶on de uno de losproductos (si son varios y son complementarios).

5 PRODUCTOS E INSUMOS

Consideremos que E v¶a a producir tres productos com-plementarios. Sus respectivas producciones durante ellapso (t; dt) ser¶an

P1 (t) dt; P2 (t) ; P3 (t) ;

y por la de¯nici¶on de \productos complementa-rios" se sabe que los cuocientes

P2 (t)

P1 (t)= a;

P3 (t)

P1 (t)= b;

son constantes en todo momento, independien-temente de t. Con cada unidad f¶³sica de producton¶umero 1 se producen tambi¶en a unidades f¶³sicas deln¶umero 2, y b unidades f¶³sicas del n¶umero 3. Esto per-mite tomar como referencia al producto n¶umero 1, yde¯nir como \unidad m¶ultiple de producci¶on" al \pa-quete" formado por una unidad f¶³sica del primero, m¶asa unidades del segundo, mas b unidades f¶³sicas deltercero. Si s¶olo se trata de un producto, tendremosa = 0; b = 0. Si se trata de dos tendremos b = 0. Sise trata de m¶as de tres (que sean complementarios),nuestro m¶etodo sigue siendo v¶alido y solamente v¶a arequerir una notaci¶on o nomenclatura m¶as prolija.

La planta E v¶a a requerir -supongamos- tres in-sumos distintos. Durante el lapso (t; dt) las cantidadesde esos insumos son

S1 (t) :dt; S2 (t) :dt; S3 (t) :dt

Por consideraciones tecnol¶ogicas se sabe que, ennuestro caso, se tiene que los cuocientes (que se lla-man coe¯cientes de insumo/producto) son muy aprox-imadamente constantes:

S1 (t) :dt

P1 (t) :dt= c1;

S2 (t) :dt

P1 (t) :dt= c2;

S2 (t) :dt

P1 (t) :dt= c3;

son constantes con respecto al tiempo y con re-specto a las cantidades de producci¶on. En el caso deun proyecto con m¶as de tres insumos, basta alargar laenumeraci¶on de la \S-es" y de las \c-es".

Sean los precios en moneda dura por unidad f¶³sicade los respectivos tres productos; y sean los preciospor unidad f¶³sica de los respectivos tres insumos. Losconsideraremos invariables en el tiempo por varias ra-zones:

² porque hacer pron¶osticos sobre variaciones de pre-cios en el largo plazo usualmente no es posible singrandes riesgos de error.

² porque si se consideran precios variables enel tiempo, eso complicar¶³a la nomenclatura delm¶etodo, sin bene¯cio y sin necesidad

² porque en el mundo real de la industria se trabajacon precios constantes en estos casos.

² porque, si en alg¶un caso, por excepci¶on, se tra-bajase con precios variables en el tiempo, estem¶etodo sigue siendo v¶alido a condici¶on de hacerlelos ajustes que ser¶³an obvios.

² porque trabajamos en moneda dura y descartamosas¶³la in°aci¶on

TIEMPO

DEM

AND

A Y

VEN

TAS DEMANDA DEL MERCADO: M (t)

0 T

t

M (T

)

CAPA

CID

AD

Mo

Q

τ

Figura 2. Relaci¶on entre la demanda en elmercado y la capacidad.

Al producir una unidad f¶³sica del producton¶umero 1, m¶as las a unidades del n¶umero 2, m¶as las bunidades del numero 3, su valor econ¶omico es

p1 + a:p2 + b:p3

y el valor de los insumos consumidos es, para cadaunidad f¶³sica del producto n¶umero 1,

c1:q1 + c2:q2 + c3:q3:

Por de¯nici¶on, el valor agregado en tal procesovale

v = p1 + a:p2 + b:p3 ¡ c1:q1 ¡ c2:q2 ¡ c3:q3

El valor agregado por la planta E durante un lapsofuturo (t; dt) v¶a a ser

P1 (t) :v:dt

Denotemos tambi¶en los siguientes conceptos:

K: costo de inversi¶on en los activos f¶³sicos depreciablesde E, expresado en moneda dura.

d: coe¯ciente de depreciaci¶on de estos activos, en eltiempo.

L : n¶umero de operarios y t¶ecnicos necesarios para E,en producci¶on.

s : nivel de salario por persona promedio y por d¶iacivil promedio, en d¶olares por persona-d¶³a.

E : extensi¶on de tierra que necesite el proyecto, en

24 Poveda

metros cuadrados, hect¶areas, etc.

l : canon de arrendamiento de la tierra, en d¶olares porhect¶area y por mes (o por metro cuadrado y por a~no,etc¶etera) (l = letra \ele").

6 COSTOS, VENTAS Y UTILIDADES

Escribimos as¶i para un lapso futuro:(t; dt)Valor agregado:V (t) ¢ dt = P1 (t) ¢ v ¢ dtDepreciaci¶on del capital K invertido:K ¢ d ¢ dtCosto de personal:L ¢ s ¢ dtCosto de ocupaci¶on de la tierra:E ¢ l ¢ dtOtros gastos, independientes del nivel de pro-

ducci¶on y del tiempo, llamados industrialmente \gas-tos ¯jos":

G ¢ dtUtilidad industrial que produzca E:U (t) ¢ dt; siendoU (t) = V (t) ¡ d ¢ K ¡ L ¢ s ¡ E ¢ l ¡ Gy que se expresa en d¶olares por d¶³a, por mes, etc.

En proyectos industriales que son muy intensivos encapital (maquinaria) y poco intensivos en mano deobra, el t¶ermino L ¢ s es usualmente constante en eltiempo y, adem¶as, num¶ericamente es bastante menorque d ¢ K . Lo reunimos con G:

G + L ¢ s + E ¢ l = H;

y ponemos

U (t) = V (t) ¡ d ¢ K ¡ H:

Todo proyecto de producci¶on industrial se hacepara que dure varios a~nos. Por lo menos, para que dureel n¶umero de a~nos necesario para depreciarlo contable-mente en la totalidad de su valor. En Colombia estosigni¯ca 10 a~nos. Pongamos, en general, que la vida¶util que se exige de E es un per¶³odo de varios a~nosque llamaremos T , y que, evidentemente, todo inver-sionista exige que sea igual o mayor que el tiempo dedepreciaci¶on. Si hay alguna raz¶on para esperar que lavida ¶util sea corta, el proyecto no se hace.

La capacidad de E se denotar¶a con Q, y se ex-presa en t¶erminos de unidades f¶³sicas del producto dereferencia (el producto n¶umero 1, que dijimos) quela planta puede producir, trabajando normalmente,durante un a~no (o un d¶³a, etc.) m¶as los produc-tos complementarios correspondientes (los productosn¶umeros 2 y 3 que dijimos arriba). Se expresa, pues,

en toneladas/d¶ia, o en litros/segundo, o en megava-tios. En algunos casos la capacidad Q se expresa enotra forma. Por ejemplo: en unidades de un insumo dereferencia, por mes, o algo as¶³.

Es obvio que el proyecto no se contemplar¶³a si lademanda que se v¶a a atender se presentara declinandohacia el futuro. As¶i pues, es preciso realizar las nece-sarias mediciones de la demanda en el mercado que sequiere atender hoy, y sus previsiones de crecimientohacia el futuro. La planta debe nacer holgada porque

si n¶o, se pierden mercados futuros. Pero no debe pre-tender alcanzar a atender la demanda grande al ¯nalde su vida ¶util, es decir, en t = T: Si as¶³se hiciera,trabajar¶³a siempre con capacidad sobrante y ello ser¶iaobviamente antiecon¶omico. En la ¯gura 2 se muestrac¶omo debe ser la relaci¶on entre la demanda en el mer-cado y la capacidad que se le d¶e a E. En todo momento,la producci¶on ser¶a igual a M (t); pero cuando E quedacopada, la producci¶on ser¶a.

P1 (t) = Q

Sea M (t) la demanda diaria (o mensual) que va-mos a atender, en la fecha t. Por lo que ya dijimos, lacapacidad Q deber¶a ser

M0 < Q < M (t)

As¶³se muestra en la ¯gura 2. La planta trabaja holgadadesde t = 0 hasta t = ¿ . Y trabajar¶a copada (M (t) >C;P1 (t) = Q) desde t = ¿ hasta t = T .

7 RENTABILIDAD DEL PROYECTO

El valor presente, descontado, de las utilidades que v¶aa generar E durante su vida ¶util es (como bien se sabe)

TZ

0

U (t) ¢ %¡°tdt

en donde ° es el costo de oportunidad del dineroa largo plazo.

Y la rentabilidad relativa anual es

R (Q) =

TR0

U (t) ¢ %¡°tdt

K ¢ T(1 ¡ x) (2)

siendo x la tasa de gravamen del impuesto a larenta.

Separamos el integral de¯nido en dos partes: una,cuando t < ¿ , con planta E holgada; otra, cuando¿ < t < T , con planta copada. Luego

R (Q) =

¿R0

U (t) ¢ %¡°t ¢ dt + U (Q)TR¿

%¡°t ¢ dt

AQ®T(1 ¡ x)

Al numerador de la expresi¶on anterior lo llamaremosN(C). Y al denominador lo llamaremos

A ¢ T ¢ D (Q) = A ¢ T ¢ Q®

en donde hemos puesto D (Q) = Q®

Luego la rentabilidad relativa anual se escribe

R (Q) =(1 ¡ x)

A ¢ T

N (Q)

D (Q)

La capacidad ¶optima econ¶omica ser¶a, por de¯nici¶onla que le d¶e a R(Q) el m¶aximo valor posible entre lasdistintas opciones posibles de Q:

Dyna 130, 2000 25

8 LAS DOS CONDICIONES DEL ¶OPTIMO

La primera condici¶on del ¶optimo es que

R0 (Q) = 0

o sea que

N (Q) ¢ D0 (Q) = N 0 (Q) ¢ D (Q)

en donde D0 (Q) = ®Q®¡1

Para derivar el numerador N(Q) recordemos laf¶ormula de Leibniz:

d

d¸

b(¸)Z

a(¸)

' (¸ ¢ x) ¢ dx =

b(¸)Z

a(¸)

@

@¸' (¸; x) dx

+' (¸ ¢ b)db

d¸¡ ' (¸ ¢ x)

da

d¸

As¶³se calcula N 0(Q), y la condici¶on R0(Q) = 0resulta ser

®

¿(Q)Z

0

U (t) %¡°tdt =

µdU (¿)

dQ

¶µ1

°

¶³%¡°¿(Q) ¡ %¡°t

´

Pero, en todo momento se tiene

U (t) = P1 (t) ¡ d ¢ AQ® ¡ H

Adem¶as la producci¶on a lo largo del tiempo est¶a dadapor la funci¶on:

P (t) =

½M (t) cuando 0 < t < ¿Q cuando ¿ < t < ¿

La planta se copa en el momento t = ¿ , que es cuando

M (¿) = Q;

o sea cuando

¿ = M¡1 (Q) ;

en donde M¡1 es la funci¶on inversa de M:En resumen, la condici¶on dR=dQ = 0 signi¯ca que

®

¿(Q)Z

0

[v ¢ M (t) ¡ d ¢ A ¢ C® ¡ H] %¡°tdt

=£v ¡ ®adQ®¡1

¤µ1

°

¶¡%¡°¿ ¡ %°T

¢(3)

Una situaci¶on frecuente es cuando se proyecta que ha-cia el futuro, la demanda en el mercado v¶a a crecer enun cierto porcentaje determinado, a~no por a~no. Estoquiere decir que

M (t) = M0 ¢ %kt

en donde M0 = M (0) en la demanda que la planta Ev¶a a comenzar a atender en el momento de arrancar,o sea en el momento t = 0; y la planta se copa en elmomento t cuando

M0%k¿ = Q

o sea cuando

¿ =

µ1

k

¶ln

µQ

M0

¶:

Sustituyendo este valor en las ecuaciones de m¶asarriba, y despu¶es de un c¶alculo prolijo, se encuentraque la primera condici¶on del ¶optimo, con mercado quecrecer¶a a tasa porcentual constante (k), es la condici¶onde que

µ(®vM0)

(k ¡ °)

¶"µQ

M0

¶ 1¡°k

¡ 1

#

¤ [dAQ® + H]

"1 ¡

µM0

Q

¶°k

#

=£v ¡ ®AdQ®¡1

¤µ1

°

¶"µM0

Q

¶°k

¡ %¡°T

#

Esta ecuaci¶on se resuelve por m¶etodos num¶ericos,usando un \paquete" de software para computador,para encontrar a Q. A la soluci¶on que le hallemos lallamaremos Q = Q¤:

La segunda condici¶on del ¶optimo Q es que

R00 (Q¤) < 0;

o sea que (derivando dos veces la funci¶on R(Q)):

sgn [D (Q)N 00 (Q) ¡ N (Q)D00 (Q)] = ¡1

Calculamos N 00 (Q) y D00 (Q), sustituimos y encon-tramos que

sgn [R00 (Q)]

= sgn

0@AdQ®

TZ

¿

%¡°tdt ¡TZ

0

U (t) ¢ %¡°tdt

1A

Interpretemos las dos integrales del lado derecho. Laprimera es

TZ

¿

dK%¡°tdt

y signi¯ca el valor presente, en el momento t = 0, delas depreciaciones que se le carguen a la planta en losa~nos futuros cuando ya trabaje copada.

La segunda integral es

TZ

0

U (t) %°tdt

y signi¯ca el valor presente de las utilidades que generela planta durante toda su vida ¶util. Es evidente queeste ¶ultimo integral tiene que ser muy superior alprimero. Por lo tanto se deduce que

sgn [R00 (Q¤)] = ¡1;

y por lo tanto que la soluci¶on Q¤ s¶³le d¶a su valorm¶aximo a la rentabilidad R(Q). Esta es la capacidad¶optima econ¶omica que debemos elegir para el proyectode planta E.

26 Poveda

Adoptando para E la capacidad ¶optima Q¤, laplanta E v¶a a durar trabajando sin coparse durante eltiempo

¿¤ =

µ1

k

¶ln

µQ¤

M0

¶:

Su rentabilidad futura, en valor presente descontado,durante su vida ¶util T ser¶a la m¶as alta posible

R¤ = R (Q¤) (4)

=

¿¤R0

U (t) %°tdt + U (Q¤)TR

¿¤%¡°tdt

AQ¤T(1 ¡ x) (5)

Se sabe, por consideraciones pr¶acticas y ¯nancieras,que esta rentabilidad que se espera de E, debe ser muysuperior al costo de oportunidad del dinero a largoplazo, o sea R¤ debe ser

R¤ À °

adem¶as de otras condiciones de factibilidad que son detipo ¯nanciero.

9 OTRO CRITERIO DE RENTABILIDAD

Se denomina tasa interna de retorno del proyecto, a lacual designamos con z a una tasa de descuento tal quelos desembolsos, descontados en t = 0, sean compen-sados por los ingresos futuros de dinero, ignorando ladepreciaci¶on. Es decir, que z es, por de¯nici¶on, la ra¶³zde la ecuaci¶on

AQ® ¡¿(Q)Z

0

[vM (t) ¡ H]%¡ztdt

+

TZ

¿(Q)

[vQ ¡ H] %¡°tdt = 0

Llamamos al lado izquierdo de esta ecuaci¶on con lafunci¶on J(Q). Por lo tanto el valor de Q que hace¶optima la tasa interna de retorno es

dJ

dQ´

µ@J=@Q

@J=@z

¶= 0;

en donde

@J

@Q=

µ@J

@Q

¶

¿

+

µ@J

@¿

¶µ@¿

@Q

¶:

La ecuaci¶on que as¶³resulta es m¶as compleja pero puedetambi¶en resolverse con el computador.

10 PROBLEMA RESUELTO

Se pretende construir una planta para produciranh¶³drido ft¶alico a partir de ortoxileno por oxidaci¶oncon aire. La reacci¶on qu¶³mica es

Figura 3. Anh¶³drido ft¶alico a partir deortoxileno.

o sea

C8H10 + 3O2 ! C8H4O3 + 3H2O

si la reacci¶on fuera 100% e¯cienteEl esquema de la planta y su proceso es el si-

guiente:

Figura 4. Planta para producir anh¶idrido ft¶alicoa partir de ortoxileno.

El precio de ortoxileno es de 200 d¶olares portonelada y el del anh¶³drido es de 3000 d¶olares portonelada.

La planta comenzar¶a atendiendo una demanda se-gura de 10 000 ton. de producto en el primer a~no, y¶esta seguir¶a creciendo al 7% anual, acumulativo. Haytres ofertas para suministrar la planta con el corres-pondiente \know-how" b¶asico y de detalle, las que lla-mamos T1; T2; T3. El monto de la inversi¶on para com-prar la planta en las tres alternativas obedece a laconocida ley de Williams

Kj = AjQ®j

y los datos num¶ericos son:

Para T1 : A1 = 60000 dolls ®1 = 0:65 "1 = 0:95Para T1 : A2 = 58000 dolls ®2 = 0:65 "2 = 0:92Para T1 : A3 = 62000 dolls ®3 = 0:65 "3 = 0:97

en donde "j es la e¯ciencia de la reacci¶on con tec-nolog¶³a Tj :

El horizonte de tiempo en que proyecta operar laplanta se escoge igual al tiempo de depreciaci¶on, quees de 10 a~nos

¡® = a~no¡1

¢. El costo de oportunidad

del capital, en el largo plazo es ° = 15% por a~no,en d¶olares constantes; y el tipo de inter¶es bancario acorto y mediano plazo es i = 20% por a~no, en d¶olaresconstantes.

Se trata de escoger el tama~no ¶optimo de laplanta y la tecnolog¶³a ¶optima, desde el punto de vistaecon¶omico.

Escojamos las siguientes denominaciones alge-braicas.

t : Un momento en la vida de la planta, contandodesde el inicio de la producci¶on

Dyna 130, 2000 27

P (t) :Producci¶on por a~no de la planta en la fechat:

b :Tasa acumulativa de crecimiento de la demandaque se atiende, antes de llegar a copar la capacidad dela planta anual

¡b = 7% anual = 0:07 a~no¡1

¢.

Q :Capacidad de la planta que se elija, expresadaen toneladas anuales de anh¶³drido que puede producir,a lo m¶aximo.

h :Duraci¶on de tiempo en que la planta trabajar¶asin coparse (con alguna holgura de producci¶on).

D :Capital de trabajo de la empresa = 2'000.000d¶olares.

Ek :2 millones de d¶olares = costo de inversi¶on enla tierra para la planta.

E :Extensi¶on de tierra necesaria para la planta,que se compra al precio k (por hect¶area).

i :Tasa de inter¶es comercial que cobran los bancospor cr¶editos a corto plazo.

r :Costo de oportunidad del dinero, a largo plazo.Kj (Q) ¢d :Depreciaci¶on de la planta, por a~no, con

tecnolog¶³a Tj :d :Factor de depreciaci¶on anual del valor de los

activos ¯jos depreciables.p :Precio del anh¶³drido = 1000 d¶olares/tonelada.q :Precio del ortoxileno = 200 d¶olares/tonelada.G :Gastos generales por a~no = 1 mill¶on de d¶olares

por a~no.Ls :Costo de mano de obra en producci¶on, por

a~no = 250.000 d¶olares/a~no.L :N¶umero de trabajadores que ocupe la f¶abrica,

con salario anual promedio s cada trabajador.S (t) :Consumo de ortoxileno por a~no, en fecha.

De acuerdo con la estequiometr¶³a de la reacci¶on es

S (t) =106

148"P (t) = 07162

Y (t)

E

= ¸Y (t)

"

dado que 106 es el peso molecular del ortoxilenoy 148 es el del anh¶³drido, y siendo la e¯ciencia dereacci¶on,.entonces:-Valor agregado por a~no:

V (t) = P (t) ¢ p ¡ S (t) ¢ q

V (t) = P (t)³p ¡ ¸ ¢ q

"

´

-Utilidad por a~no

U (t) = V (t) ¡ d ¢ K ¡ D ¢ i ¡ L ¢ s ¡ G

= P (t)³p ¡ ¸ ¢ q

"

´¡ dk ¡ (Di ¡ Ls ¡ G)

Inversi¶on de capital en la empresa:

¦ = K + Z + Ek

Rentabilidad por a~no

R (t) =V (t) ¡ dK ¡ Di ¡ Ls ¡ G

K + Z + Ek

=U (t)

¦=

V (t) ¡ d ¢ AQ® ¡ W

¦

en donde hemos abreviado y hemos escrito D ¢ i +L ¢ s + G = W = (250000 + 1000000) dols=a~no =1250000 dols=a~no; porque el capital de trabajo esaportado, a riesgo, por el due~no del proyecto y poreso no se pagan intereses por capital de trabajo (i =0, en nuestro caso).

La rentabilidad respecto a la inversi¶on, por a~nopromedio de la vida T que se proyecta para la planta,descontada en valor presente, es

R =

TR0

%¡°t ¢ U (t) ¢ dt

¦ ¢ T

Pero la funci¶on P (t) est¶a descrita por dos tramos

P (t) =

½P0¢%bt : 0 < t < h

Q : h < t < T

El momento t = h cuando la capacidad de laplanta llega a coparse est¶a de¯nido por la condici¶on

P0¢%bt = Q

o sea

h =1

bln

µQ

Y0

¶

entoncestZ

0

P (t) ¢ %¡°t ¢ dt

=

hZ

0

P0 ¢ %¡(°¡b)t ¢ dt +

TZ

h

Q ¢ %¡°t ¢ dt

Para comparar las diferentes alternativas tec-nol¶ogicas entre ellas vamos a construir una funci¶onque expresa el °ujo neto de caja, descontando en elinstante inicial, al arrancar la planta, y antes de reem-bolsarnos el valor invertido en ella (mediante la reservapara depreciaci¶on D (t) = d ¢ K). Dicho valor est¶a ex-presado por la funci¶on

F (Q) = ¡ [K (Q) + I] ¡TZ

0

%¡°t ¢ W ¢ dt

+

h(Q)Z

0

v%¡°tY0%bk ¢ dt

+

TZ

h(Q)

v%¡°tQ ¢ dt:

cuyos s¶³mbolos signi¯can?:

? En este ejercicio usamos como criterio de evaluaci¶onecon¶omica y de optimizaci¶on el °ujo neto de caja proyectadoy descontado por tres razones: (1) porque este criterio tambi¶en

28 Poveda

F (Q) : Flujo neto de caja, proyectado, descontado a latasa °, continua y compuesta, igual al costo de oportu-nidad del dinero, a largo plazo, expresado en monedadura (por ejemplo en d¶olares constantes, como con-venimos de aqu¶³en adelante).

Q : Capacidad de producci¶on de la planta que se es-coja, que se expresa en toneladas/a~no de anh¶³dridoft¶alico.

K (Q) : Valor de compra de equipos e instalaciones dela planta de capacidad Q, expresado en d¶olares cons-tantes.

.Figura 5. Producci¶on anual de la planta,

hasta copar su capacidad Q :

I = D + E ¢ k : Inversi¶on inicial en capital detrabajo, m¶as el valor de la tierra para la planta =4¶000.000 d¶olares. porque

D : Capital de trabajo, que suponemos constante enel tiempo, e independiente de Q, que vale 2¶000.000d¶olares. Es aportado por el due~no del mismo proyecto.

E : Extensi¶on de tierra que se compra para la planta= 1 hect¶area = 10.000 metros cuadrados.

k : 200 d¶olares metro cuadrado: precio de compra dela tierra.

T : Horizonte de tiempo que se contempla para laplanta, en su trabajo y para su depreciaci¶on (T = 10a~nos, en este caso).

P (t) : Producci¶on anual de la planta, en fecha t(0 < t < T ), que se expresa en toneladas por a~no.

V : Valor agregado por tonelada de producto, en lafabricaci¶on.

P0 = P (0) : Producci¶on de la planta al momento deiniciar, en t = 0:

b : Tasa acumulativa y continua de crecimiento de la

es muy usado para este ¯n; (2) porque es el que pre¯eren losbanqueros, m¶as que el de la rentabilidad promedio; (3) comoejercicio did¶actico. La de¯nici¶on de °ujo neto de caja, proyec-tado, y descontado se encuentra en cualquier texto de Evalu-aci¶on de Proyectos, como el de Varela (ver bibliograf¶ia).

demanda que la planta va a atender, antes de coparsu capacidad Q:

P0%bt : Producci¶on anual de la planta, antes de co-

parse, en fecha t:U (t) = v ¢ P (t) ¡ d ¢ K (Q) ¡W : Utilidad anual en laplanta, despu¶es de imputar la depreciaci¶on.W = D ¢ i + L ¢ s + G : Costos del proceso no depen-dientes de t ni de Q:i : Tasa de inter¶es del cr¶edito que tomamos en ban-cos para capital de trabajo = 20% anual, en d¶olaresconstantes. Es nuestro caso consideremos que el in-versionista aporta el capital de trabajo de su propiopeculio, es decir que i = 0:L : N¶umero de personas que se ocupen en producci¶on.s : Salarios m¶as otros costos laborales, por persona ypor mes promedio.L ¢ s : 250.000 d¶olares/a~no.

G : Gastos de administraci¶on y generales = 1¶000.000d¶olares/a~no, luegoW : 1¶250.000 d¶olares/a~no.h (Q) : Duraci¶on del tiempo que trabaje la plantaantes de coparse. Se calcula as¶³:

P0 = %bk = Q

luego

h =1

bln

µQ

Y0

¶y por eso

dh

dQ=

1

(bQ):

En cualquiera de las tres tecnolog¶³as, el tama~no deplanta, Q, que haga m¶axima la funci¶on F (Q), exigeque

dF

dQ= 0

derivando a F (Q) se obtiene

dF

dQ= ¡

µdK

dQ

¶241 + d

TZ

0

%¡°tdt

35

+v ¢ %¡°h ¢ Q ¢ v

bQ

+v

TZ

h(Q)

%¡°tdt ¡ v%¡°h

b;

en donde hemos usado la f¶ormula de Leibniz paraderivar integrales de¯nidos respecto a sus l¶³mites:

d

d¸

0B@

b(¸)Z

a(¸)

Á (x; ¸) dx

1CA

=

b(¸)Z

a(¸)

dÁ (x;¸)

d¸dx + Á (b (¸) ; ¸)

db

d¸

¡Á (a (¸) ; ¸)da

d¸

Dyna 130, 2000 29

y simpli¯cando algunos t¶erminos se encuentra

dF

dQ= ®AQ®¡1

µ1 +

d

°

¡1 + %°t

¢¶

+%¡°hQ

µv

bQ

¶+

v

°

¡%¡°h ¡ %¡°t

¢

¡v

b%¡°h

= ¯Q®¡1 ¡ v

°Q

°b P

°b

0 ¡ v

°%°T ;

en donde

¯ = ®A

µ1 +

d

°

¡1 ¡ %¡°t

¢¶:

Los datos del problema y los otros par¶ametros quehemos formado tienen los siguientes valores num¶ericosen las tres tecnolog¶³as que se nos ofrecen

datosyparametros T1 T2 T3

Ãj 60000 52000 68000®j 0:65 0:67 0:60"j 0:95 0:92 0:97¯j 39000 38860 37200vj 2849:26 2844:30 2852:33vj

° 18995:07 18962:0 18015:53

en donde Ãj = Aj

¡EnKj = AjQ®j

¢:

Entonces, para las tres tecnolog¶³as, la condici¶onde ¶optimo se escribe:para:

T1 :

µ¡39000 ¢ Q¡0:35

+982710 ¤ 106 ¢ Q¡2:14284 ¡ 1263

¶= 0

T2 :

µ¡38860 ¢ Q¡0:33

+976862 ¤ 106 ¢ Q¡2:14284 ¡ 1256

¶= 0

T3 :

µ¡37200 ¢ Q¡0:40

+986157 ¤ 106Q¡2:14284 ¡ 1267

¶= 0

En un computador personal, y usando el programaMath-cad, se encuentra:

Q1 = 9669 tons = a~noQ2 = 9149 tons = a~noQ3 = 10970 tons = a~no

Los costos de las respectivas plantas se calculan conla f¶ormula de Williams, y resultan ser:

K1 = 60000 ¤ 96690:65 = 230370000 dolsK2 = 58000 ¤ 91490:67 = 260150000 dolsK3 = 62000 ¤ 10970060 = 160460000 dols

Obs¶ervese que la segunda derivada de F respecto a Qes

d2F

dQ2= ¡¯ (® ¡ 1)Q®¡2 ¡ v

bP

°b

0 Q¡°b¡1 < 0;

cuya expresi¶on es negativa para todo valor positivo deQ. Por lo tanto los valores hallados para Q correspon-den al m¶aximo de F (Q).

Sustituyendo los valores num¶ericos de Q y de lospar¶ametros respectivos en la funci¶on de F (Q) quede¯nimos m¶as arriba, encontramos que los m¶aximos°ujos de fondos para las tres tecnolog¶³as son

F1 = 2580300000 dolsF2 = 780940000 dolsF3 = 1010300000 dols

calculando para 10 a~nos de trabajo, descontando a15% anual y sin pensar en la depreciaci¶on de la planta.

En conclusi¶on: la mejor tecnolog¶ia es T1. Antesde reembolsarnos el valor invertido en la planta (K1= 23¶370.000 d¶olares), deja 258¶300.000 d¶olares, quecorresponden a una rentabilidad promedio sobre la in-versi¶on que puede esperarse de:

F (K + D + E ¢ k)

=3580300000

(210450000 + 2 ¤ 20000000) ¤ 10 a~nos ¤ dols

antes del impuesto a la renta.

11 RESUMEN Y CONCLUSIONES

² El tama~no o capacidad que se le d¶e a una plantaindustrial, cuando se construya, determinar¶a engran medida su rentabilidad. Usualmente esa in-cidencia depende del principio de las econom¶³asde escala y del comportamiento del mercado delproducto que se trata de fabricar.

² El costo de capital de una planta (para un pro-ducto dado, o para un servicio dado) es tantomayor cuanto mayor sea la planta. En el casode un gran n¶umero de tipos de planta, el costodepende del tama~no seg¶un una relaci¶on emp¶³ricacuantitativa que se llama "ley de Williams"(F¶ormula 1).

² La rentabilidad previsible de una inversi¶on como¶esta est¶a dada por la F¶ormula 2 que ning¶un libropresenta ni deduce.

² Dada la ley de Williams, el tama~no ¶optimo de unaplanta en proyecto est¶a de¯nido por la ecuaci¶on3, de manera bastante general. En el caso partic-ular (pero que es muy frecuente) de que la pro-ducci¶on vaya a crecer con tasa anual constante,dicha ecuaci¶on adopta la forma 4. Estas ecua-ciones, en la pr¶actica, tienen una ra¶³z ¶unica queel ¶optimo que buscamos.

² La mejor rentabilidad que puede esperarse deun proyecto del mismo producto, en las mismascondiciones, est¶a expresada por la ecuaci¶on 5.

² Este m¶etodo es original del autor. No est¶a pre-sentado en ning¶un libro. El autor lo ha aplicadoen numerosos casos reales de plantas industrialesnuevas en Colombia y en otros pa¶³ses.

² Los textos que se presentan en las referencias (ymuchos otros que se exploraron) tratan el temade la evaluaci¶on de plantas industriales, ex-ante.Pero ninguno trata el sub-tema del tama~no delproyecto.

30 Poveda

REFERENCIAS

Blanck, L. T. y A. J Tarquin, Ingenier¶³a Econ¶omica.Mc Graw-Hill. M¶ejico, Bogota, etc. 546 pags. 1989.

Maynard, H.B. (compilador) y C. A Jos¶e (traduc-tor).Manual de Ingenier¶³a de la Producci¶on Indus-trial M¶ejico. Editorial Revert¶e. 8 secciones con pag-inaci¶on variable, 1960.

Varle V., Evaluaci¶on Econ¶omica de Inversiones Cali,Grupo Editorial Norma. 512 pags. 1989.

Vilbrandt, F. C. y C. E Dryden, Chemical Engineer-ing Plant Desing. New York. Mc Graw-Hill BookCompany, Inc.. 575 p¶ags. 1960.