taller remedial de matemáticas
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Notas del Taller Remedial deMatemáticas
M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017
ESDAI, Universidad Panamericana
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Acerca de mí
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¡Bienvenidas al Taller Remedial de Matemáticas!
Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la“o”.)
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¡Bienvenidas al Taller Remedial de Matemáticas!
Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la“o”.)
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Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Publicaciones
2014 Symplectic capacities on surfaces: ManuscriptaMathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo deInvestigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov
2012 Aplicaciones del Control Estocástico al AnálisisSemiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,69-96, Artículo de exposición.
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Reconocimientos
2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis deLicenciatura en Matemáticas Aplicadas, MenciónHonorífica
2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,ENOAN XXI
2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana deMatemáticas, Delegación Oaxaca
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Experiencia docente
Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,ESDAI, Ciudad de México.
2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias yMatemáticas, Oaxaca.
2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.
2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académiade Matemáticas, Oaxaca de Juárez.
2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.
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Información General
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Temario
1 Introducción2 Porcentajes y reparto proporcional3 Operaciones con expresiones algebraicas4 Productos notables5 Factorización6 Ecuaciones de primer grado con una y dos variables7 Ecuaciones de segundo grado; aplicaciones.8 Sistemas de dos eciaciones con dos incognitas;
aplicaciones
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Bibliografía
1 SPIEGEL, Murray et. al. ”Álgebra Superior”. 3a. ed.México: Series Schaum, McGraw-Hill, 2006.
2 HOFFMANN, Laurence et. el. ”Matemáticas Aplicadas ala Administración y los Negocios”. 1a ed. México:McGraw-Hill, 2014.
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Normativa
La calificación final se compondrá de la siguiente manera:
1 2 evaluaciones parciales x 30 % cada una = 60 %calificación final
2 1 examen final = 40 % calificación final
Cada evaluación parcial se compondrá de la siguiente manera
1 Examen escrito = 40 %2 Guía de examen = 20 %3 Controles de lectura = 40 %
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Normativa
La calificación final se compondrá de la siguiente manera:
1 2 evaluaciones parciales x 30 % cada una = 60 %calificación final
2 1 examen final = 40 % calificación final
Cada evaluación parcial se compondrá de la siguiente manera
1 Examen escrito = 40 %2 Guía de examen = 20 %3 Controles de lectura = 40 %
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Los controles de lectura serán semanales con base en los librosde la bibliografía.
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Los controles de lectura serán semanales con base en los librosde la bibliografía.
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Algunos puntos importantes a considerar son:
1.) El límite de faltas es el 20 % del total de las sesiones y nohay justificante para las mismas.
2.) En clase, no se podrá hacer uso de dispositivoselectrónicos, excepto de calculadora científica no graficadora.
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Competencias
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Habilidad para trabajar de forma autónoma
Competencia necesaria en la ejecución independiente de lasactividades o en la resolución de problemas. Supone responderde manera proactiva sin esperar autorizaciones o consultas.
Proponer mejoras.Decidir.Estar orientado a la acción.Utilizar la iniciativa y la rapidez como ventajacompetitiva.Asumir riesgos.Establecer prioridades.
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Habilidad para trabajar de forma autónoma
Competencia necesaria en la ejecución independiente de lasactividades o en la resolución de problemas. Supone responderde manera proactiva sin esperar autorizaciones o consultas.
Proponer mejoras.Decidir.Estar orientado a la acción.Utilizar la iniciativa y la rapidez como ventajacompetitiva.Asumir riesgos.Establecer prioridades.
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Resolución de problemas
Competencia necesaria para proponer soluciones viables aproblemas presentes y futuros.
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Motivación de logro
Competencia necesaria para encausar la actitud de la personahacia el cumplimiento de las metas en la vida personal ylaboral.
Implica el convencimiento de que cada persona es capaz derealizar con éxito una tarea o elegir el enfoque adecuado pararesolver un problema.
Esto incluye abordar nuevos y crecientes retos con una actitudde confianza en las propias capacidades, decisiones ocapacidades, decisiones o
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Motivación de logro
Competencia necesaria para encausar la actitud de la personahacia el cumplimiento de las metas en la vida personal ylaboral.
Implica el convencimiento de que cada persona es capaz derealizar con éxito una tarea o elegir el enfoque adecuado pararesolver un problema.
Esto incluye abordar nuevos y crecientes retos con una actitudde confianza en las propias capacidades, decisiones ocapacidades, decisiones o
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Motivación de logro
Competencia necesaria para encausar la actitud de la personahacia el cumplimiento de las metas en la vida personal ylaboral.
Implica el convencimiento de que cada persona es capaz derealizar con éxito una tarea o elegir el enfoque adecuado pararesolver un problema.
Esto incluye abordar nuevos y crecientes retos con una actitudde confianza en las propias capacidades, decisiones ocapacidades, decisiones o
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1 Conjuntos de Números
Los números enteros
Los números racionales
2 Razones y proporciones
Razones inversas
Ejemplos
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Conjuntos de Números
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Conjuntos de Números
Los números enteros
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Los números naturales son el conjunto de números
N = {0, 1, 2, 3, ...}
¿Para que nos sirve N?Este conjunto de número nos sirve paracontar.
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Los números naturales son el conjunto de números
N = {0, 1, 2, 3, ...}
¿Para que nos sirve N?Este conjunto de número nos sirve paracontar.
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Los números enteros son el conjunto de números
Z = {0, ±1, ±2, ...}
¿Para que nos sirve Z?Este conjunto de número nos sirve paracontar, sumar y restar.
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Los números enteros son el conjunto de números
Z = {0, ±1, ±2, ...}
¿Para que nos sirve Z?Este conjunto de número nos sirve paracontar, sumar y restar.
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Definición 4.1.
Diremos que un entero n ∈ Z divide a otro entero c ∈ Zsi existe un tercer entero p ∈ Z tal que
c = n ∗ p.
Diremos que el entero d ∈ Z es el máximo común divisoro mcd de dos enteros a, b ∈ Z si
d divide tanto a a ∈ Z como b ∈ Z y;d es el número entero más grande con esta propiedad.
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Ejemplo 4.1.
Encontrar el mcd de a = 6 y b = 15.
Solución.Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6; mientras que los de 15son ±1, ±3, ±5, ±15. Entonces, los divisores en común de 6 y15 son ±1, ±3. El más grande de todos estos es d = 3 y portanto es el mcd.
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Ejemplo 4.1.
Encontrar el mcd de a = 6 y b = 15.
Solución.Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6; mientras que los de 15son ±1, ±3, ±5, ±15. Entonces, los divisores en común de 6 y15 son ±1, ±3. El más grande de todos estos es d = 3 y portanto es el mcd.
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Ejemplo 4.1.
Encontrar el mcd de a = 6 y b = 15.
Solución.Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6; mientras que los de 15son ±1, ±3, ±5, ±15. Entonces, los divisores en común de 6 y15 son ±1, ±3. El más grande de todos estos es d = 3 y portanto es el mcd.
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Ejemplo 4.1.
Encontrar el mcd de a = 6 y b = 15.
Solución.Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6; mientras que los de 15son ±1, ±3, ±5, ±15. Entonces, los divisores en común de 6 y15 son ±1, ±3. El más grande de todos estos es d = 3 y portanto es el mcd.
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Ejemplo 4.1.
Encontrar el mcd de a = 6 y b = 15.
Solución.Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6; mientras que los de 15son ±1, ±3, ±5, ±15. Entonces, los divisores en común de 6 y15 son ±1, ±3. El más grande de todos estos es d = 3 y portanto es el mcd.
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Ejemplo 4.1.
Encontrar el mcd de a = 6 y b = 15.
Solución.Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6; mientras que los de 15son ±1, ±3, ±5, ±15. Entonces, los divisores en común de 6 y15 son ±1, ±3. El más grande de todos estos es d = 3 y portanto es el mcd.
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Aunque este método para encontrar el mcd es útil cuando haypocos divisores, puede resultar abrumador si ambos númerostienes una gran cantidad de divisores. ¿Existirá un método máseficiente? Sí, pero necesitamos un poco más de maquinaria.
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Aunque este método para encontrar el mcd es útil cuando haypocos divisores, puede resultar abrumador si ambos númerostienes una gran cantidad de divisores. ¿Existirá un método máseficiente? Sí, pero necesitamos un poco más de maquinaria.
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Aunque este método para encontrar el mcd es útil cuando haypocos divisores, puede resultar abrumador si ambos númerostienes una gran cantidad de divisores. ¿Existirá un método máseficiente? Sí, pero necesitamos un poco más de maquinaria.
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Definición 4.2.El valor absoluto de un número entero a ∈ Z es la distancia deeste número, medida desde el origen de la recta númerica.
Figura 4.1: Valor Absoluto
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Definición 4.2.El valor absoluto de un número entero a ∈ Z es la distancia deeste número, medida desde el origen de la recta númerica.
Figura 4.1: Valor Absoluto
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Observación 4.1.Básicamente, el valor absoluto a los números negativos enpositivos; y deja los no-negativos exactamente igual.
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Proposición 4.1 (Teorema del Residuo).Dados dos números enteros, a, b ∈ Z, con b 6= 0, existen otropar de enteros q, r ∈ Z tales que
a = b ∗ q + r (4.1)|r| < |b| . (4.2)
A q se le llama cociente, mientras que a r se le llama residuo.
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Ejemplo 4.2.Si a = 7, b = 2, entonces el cociente es q = 2 y el residuo esr = 1, porque 7 = 2 ∗ 3 + 1
|r = 1| < |b = 2| .
Observe que tambien podríamos tomar q = 1, r = 5 y escribir7 = 2 ∗ 1 + 5, pero como |5| > |2| , entonces r = 5 no satisfacela condición del residuo (4.2), porque |r = 5| ≥ |b = 2| .
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Ejemplo 4.2.Si a = 7, b = 2, entonces el cociente es q = 2 y el residuo esr = 1, porque 7 = 2 ∗ 3 + 1
|r = 1| < |b = 2| .
Observe que tambien podríamos tomar q = 1, r = 5 y escribir7 = 2 ∗ 1 + 5, pero como |5| > |2| , entonces r = 5 no satisfacela condición del residuo (4.2), porque |r = 5| ≥ |b = 2| .
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Proposición 4.2 (Algoritmo Euclidiano).Sean a, b ∈ Z dos número enteros. Consideremos la siguientesucesión de operaciones
a = b ∗ q0 + r0
b = r0 ∗ q1 + r1
r0 = r1 ∗ q2 + r2
...
rN−3 = rn−2 ∗ qN−1 + rN−1
rN−2 = rN−1 ∗ qN + 0.
Entonces el número entero rN−1 es el mcd.
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Como en el ejemplo 4.1, tenemos que
15 = 6 ∗ 2 + 36 = 3 ∗ 2 + 0,
Entonces r = 3 es el mcd...¡Listo, hemos terminado!
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Como en el ejemplo 4.1, tenemos que
15 = 6 ∗ 2 + 36 = 3 ∗ 2 + 0,
Entonces r = 3 es el mcd...¡Listo, hemos terminado!
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Conjuntos de Números
Los números racionales
33
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Los números racionales son el conjunto de números
Q ={
a
b|a, b ∈ Z, b 6= 0
}
¿Para que nos sirve Q? Este conjunto de número nos sirvepara contar, sumar, restar, multiplicar y dividir.
34
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Los números racionales son el conjunto de números
Q ={
a
b|a, b ∈ Z, b 6= 0
}
¿Para que nos sirve Q? Este conjunto de número nos sirvepara contar, sumar, restar, multiplicar y dividir.
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Definición 4.3.
Dos números racionales a
b,
c
dson equivalentes si
a ∗ d − b ∗ c = 0.
Ejemplo 4.3.12 es equivalente a 2
4 porque
(1) (4) − (2) (2) = 0.
35
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Definición 4.3.
Dos números racionales a
b,
c
dson equivalentes si
a ∗ d − b ∗ c = 0.
Ejemplo 4.3.12 es equivalente a 2
4 porque
(1) (4) − (2) (2) = 0.
35
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Definición 4.3.
Dos números racionales a
b,
c
dson equivalentes si
a ∗ d − b ∗ c = 0.
Ejemplo 4.3.12 es equivalente a 2
4 porque
(1) (4) − (2) (2) = 0.
35
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Definición 4.4.
1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos simcd(p, q) = 1.
2 Diremos que p
q∈ Q es la forma irreducible de a
b∈ Q si
p
qes equivalente a a
by
p, q son primos relativos.
36
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Definición 4.4.
1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos simcd(p, q) = 1.
2 Diremos que p
q∈ Q es la forma irreducible de a
b∈ Q si
p
qes equivalente a a
by
p, q son primos relativos.
36
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Definición 4.4.
1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos simcd(p, q) = 1.
2 Diremos que p
q∈ Q es la forma irreducible de a
b∈ Q si
p
qes equivalente a a
by
p, q son primos relativos.
36
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Definición 4.4.
1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos simcd(p, q) = 1.
2 Diremos que p
q∈ Q es la forma irreducible de a
b∈ Q si
p
qes equivalente a a
by
p, q son primos relativos.
36
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Definición 4.4.
1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos simcd(p, q) = 1.
2 Diremos que p
q∈ Q es la forma irreducible de a
b∈ Q si
p
qes equivalente a a
by
p, q son primos relativos.
36
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Definición 4.4.
1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos simcd(p, q) = 1.
2 Diremos que p
q∈ Q es la forma irreducible de a
b∈ Q si
p
qes equivalente a a
by
p, q son primos relativos.
36
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Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de 1510 .
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como
1510 = 5 ∗ 3
5 ∗ 2 = 32 ,
entonces 32 es equivalente a 15
10 .
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3
2 es la forma irreducible de 1510 .
37
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Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de 1510 .
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como
1510 = 5 ∗ 3
5 ∗ 2 = 32 ,
entonces 32 es equivalente a 15
10 .
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3
2 es la forma irreducible de 1510 .
37
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Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de 1510 .
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como
1510 = 5 ∗ 3
5 ∗ 2 = 32 ,
entonces 32 es equivalente a 15
10 .
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3
2 es la forma irreducible de 1510 .
37
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Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de 1510 .
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como
1510 = 5 ∗ 3
5 ∗ 2 = 32 ,
entonces 32 es equivalente a 15
10 .
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3
2 es la forma irreducible de 1510 .
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Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de 1510 .
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como
1510 = 5 ∗ 3
5 ∗ 2 = 32 ,
entonces 32 es equivalente a 15
10 .
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3
2 es la forma irreducible de 1510 .
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Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de 1510 .
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como
1510 = 5 ∗ 3
5 ∗ 2 = 32 ,
entonces 32 es equivalente a 15
10 .
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3
2 es la forma irreducible de 1510 .
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Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de 1510 .
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como
1510 = 5 ∗ 3
5 ∗ 2 = 32 ,
entonces 32 es equivalente a 15
10 .
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3
2 es la forma irreducible de 1510 .
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![Page 72: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/72.jpg)
Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de 1510 .
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como
1510 = 5 ∗ 3
5 ∗ 2 = 32 ,
entonces 32 es equivalente a 15
10 .
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3
2 es la forma irreducible de 1510 .
37
![Page 73: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/73.jpg)
La suma entre dos números racionales se define comoa
b+ c
d= ad + bc
bc. (4.3)
Ejemplo 4.5.23 + 4
5 = (2)(5) + (3)(4)(3)(5) = 22
15
38
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La suma entre dos números racionales se define comoa
b+ c
d= ad + bc
bc. (4.3)
Ejemplo 4.5.23 + 4
5 = (2)(5) + (3)(4)(3)(5) = 22
15
38
![Page 75: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/75.jpg)
La resta entre dos números racionales se define comoa
b− c
d= ad − bc
bc. (4.4)
Ejemplo 4.6.23 − 4
5 = (2)(5) − (3)(4)(3)(5) = − 2
15
39
![Page 76: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/76.jpg)
La resta entre dos números racionales se define comoa
b− c
d= ad − bc
bc. (4.4)
Ejemplo 4.6.23 − 4
5 = (2)(5) − (3)(4)(3)(5) = − 2
15
39
![Page 77: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/77.jpg)
Por la definición 4.3, tenemos que para un número racional ab
:
n ∗ a
n ∗ b= a
b,
siempre que n 6= 0.
Ejemplo 4.7.24 = 2 ∗ 1
2 ∗ 2 = 12 .
40
![Page 78: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/78.jpg)
Por la definición 4.3, tenemos que para un número racional ab
:
n ∗ a
n ∗ b= a
b,
siempre que n 6= 0.
Ejemplo 4.7.24 = 2 ∗ 1
2 ∗ 2 = 12 .
40
![Page 79: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/79.jpg)
Definición 4.5.
Diremos que la forma irreducible de una fracción a
bes p
qsi
a
b= p
q,
perop, q son primos relativos.
41
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Observación 4.2.Si d es el máximo común divisor de los enteros a, b 6= 0,
entonces tenemos que p, q son los cocientes en las operacionesa = d ∗ p
b = d ∗ q
42
![Page 81: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/81.jpg)
Ejemplo 4.8.Encuentre la forma irreducible de la fracción
182910 .
43
![Page 82: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/82.jpg)
Ejemplo 4.9.Realice las siguientes y escriba el resultado en su formairreducible:
153 + 5
92
73 + 4
73
54 + 3
24
12 − 1
35
35 − 4
9
44
![Page 83: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/83.jpg)
La división entre dos números racionales se define comoa
b÷ c
d= a ∗ d
b ∗ c. (4.5)
siempre y cuando c 6= 0.
Ejemplo 4.10.23 ÷ 4
5 = 2 ∗ 53 ∗ 4 = 10
12 .
45
![Page 84: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/84.jpg)
Razones y proporciones
46
![Page 85: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/85.jpg)
La razón de dos números (enteros o racionales) a, b se escribea : b y se representa por la fracción a
b.
Ejemplo 5.1.La razón de 4 a 6 se escribe 4 : 6 y se representa por lafracción 4
6 = 23 .
47
![Page 86: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/86.jpg)
Ejemplo 5.2.La razón de 2
3 a 45 se escribe
23 : 4
5
y se representa por la fracción2345
= 23 ÷ 4
5 = 56 .
48
![Page 87: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/87.jpg)
Diremos que dos razones a : b y c : d son equivalente sia
b= c
d.
En ese caso, escribimos a : b ∼ c : d.
49
![Page 88: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/88.jpg)
Ejemplo 5.3.¿Cuál es el precio unitario de cada artículo?
Una bote con 3 litros de aceite cuesta $54.Una caja de cereales con 700 gramos cuesta $63.
50
![Page 89: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/89.jpg)
Ejemplo 5.4.Exprese las siguientes razones por medio de una fracciónsimplificada
1 96 : 1282 2
3 : 34
51
![Page 90: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/90.jpg)
Ejemplo 5.5.Encuentre la razón entre las siguientes cantidades:
1 6 libras a 12 onzas2 3 cuartos a 2 galones3 3 yardas a 6 pies cuadrados
52
![Page 91: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/91.jpg)
Ejemplo 5.6.Un segmento de 30 pulgadas se divide en dos partes cuyaslongitudes están en razón de 2 : 3. Encuentre las longitudes deambos segmentos.
53
![Page 92: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/92.jpg)
Ejemplo 5.7.Las edades actuales de dos hermanos son 5 y 8 añosrespectivamente. ¿Al cabo de cuantos años, sus edades estaránen razón 3 : 4?
54
![Page 93: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/93.jpg)
Ejemplo 5.8.Divida 253 en cuatro partes propocionales 2 : 5 : 7 : 9.
55
![Page 94: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/94.jpg)
Razones y proporciones
Razones inversas
56
![Page 95: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/95.jpg)
Cuando tratamos de conservar una proporción a : b, hablamosde una razón directa, y podemos representarla por unaequivalencia de fracciones:
a : b ∼ c : d ⇔ a
b= c
d.
57
![Page 96: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/96.jpg)
Por ejemplo, en una recete de hotcakes, tenemos una razón1 : 3
4 entre tazas de harina y tazas de leche.
58
![Page 97: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/97.jpg)
Para mantener la receta, podemos multiplicar las cantidades,pero manteniendo la proporción.
59
![Page 98: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/98.jpg)
Por ejemplo, podemos ocupar 4 tazas de harina para 3 tazasde leche, porque 1 : 3
4 ∼ 4 : 3.
60
![Page 99: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/99.jpg)
En cambio, en ocasiones lo que buscamos es mantener unacantidad total, y no proporción. Generalmente, es unacantidad de trabajo.
61
![Page 100: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/100.jpg)
Por ejemplo, considere el trabajo de pintar una pared dedimensiones fijas. Supongamos que una persona puede pintarlaen 8 horas; pero suponiendo que contratamos un pintor máscon una experiencia similar, ¿cuantas horas se requerirán paraterminar el trabajo? ¿Y si contrataramos 4 pintores? ¿Y sifueran 8?
62
![Page 101: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/101.jpg)
Por ejemplo, considere el trabajo de pintar una pared dedimensiones fijas. Supongamos que una persona puede pintarlaen 8 horas; pero suponiendo que contratamos un pintor máscon una experiencia similar, ¿cuantas horas se requerirán paraterminar el trabajo? ¿Y si contrataramos 4 pintores? ¿Y sifueran 8?
62
![Page 102: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/102.jpg)
Por ejemplo, considere el trabajo de pintar una pared dedimensiones fijas. Supongamos que una persona puede pintarlaen 8 horas; pero suponiendo que contratamos un pintor máscon una experiencia similar, ¿cuantas horas se requerirán paraterminar el trabajo? ¿Y si contrataramos 4 pintores? ¿Y sifueran 8?
62
![Page 103: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/103.jpg)
En el ejemplo anterior, la pared requiere 8 horas-trabajador;esta es la cantidad que debemos conservar, aunque no espermitido variar los trabajadores o las horas de trabajo portrabajador.
63
![Page 104: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/104.jpg)
En este caso, hablamos de una razón inversa.
64
![Page 105: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/105.jpg)
Ejemplo 5.9.Sabiendo que 8 personas tardan 12 días en poner a punto 16maquinas, encuentre el número de días que emplearán 16personas en poner a punto 8 máquinas.
65
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Ejemplo 5.10.Sabiendo que 8 personas tardan 12 días en poner a punto 16maquinas, encuentre el número de días que emplearán 15personas en poner a punto 50 máquinas.
66
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Razones y proporciones
Ejemplos
67
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Ejemplo 5.11.¿Cuál es la mejor compra entre 7 latas de sopas que cuestan$22.50 y 3 latas del mismo producto, que cuestan $9.50.
68
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Ejemplo 5.12.¿Cuál es la mejor compra entre un paquete de 3 onzas dequeso crema que cuesta $4.30 y otro paquete de 8 onzas delmismo producto que cuesta $8.70?
69
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Ejemplo 5.13.Si dos hombres pueden transportar 6 acres de tierra en 4horas, ¿cuántos hombres se necesitan para transportar 18acres en 8 horas?
70
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3 Expresiones Algebraicas
Reducción de términos semejantes
Supresión de signos de agrupación
4 Mutiplicación de polinomios
5 División de Polinomios
6 Productos Especiales
Productos notables
Productos para an ± bn
7 Factorización
Procedimientos de factorización
71
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3 Expresiones Algebraicas
Reducción de términos semejantes
Supresión de signos de agrupación
4 Mutiplicación de polinomios
5 División de Polinomios
6 Productos Especiales
Productos notables
Productos para an ± bn
7 Factorización
Procedimientos de factorización
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Expresiones Algebraicas
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Expresiones Algebraicas
Reducción de términos semejantes
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En el álgebra, representamos cantidades desconocidas porsímbolos; generalmente son letras como x, y, z, pero no debeolvidarse que respresentan números.
75
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En el álgebra, representamos cantidades desconocidas porsímbolos; generalmente son letras como x, y, z, pero no debeolvidarse que respresentan números.
75
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Para representar una multiplicación iterada, usamos el símbolode potencia
xn = x ∗ · · · ∗ x︸ ︷︷ ︸n-veces
;
al número x le llamamos base y al número n le llamamospotencia.
76
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Ejemplo 6.1.
1 32 = 3 ∗ 3 = 92 53 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 1253 24 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 16
77
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Ejemplo 6.2.
1 x2 = x ∗ x
2 x3 = x ∗ x ∗ x
3 x4 = x ∗ x ∗ x ∗ x
4 · · ·
78
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Observación 6.1.Observe que x1 = x; mientras que, por convención, x0 = 1.
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Cuando multiplicamos xn por un número diferente de x :
axn = a ∗ x ∗ · · · ∗ x︸ ︷︷ ︸,diremos que a es el coeficiente de xn.
80
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A un número escrito en la forma axn se le llama monomio; ydiremos que dos monomios son semejantes si tienenexactamente la misma base a la misma potencia.
81
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Ejemplo 6.3.Determine cual de los siguientes monomios es semejante a2x3 :
1 3x3;2 2x2;3 2y3;
82
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Dos términos semejantes pueden reducirseaxn + bxn = (a + b) xn
axn − bxn = (a − b) xn
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Ejemplo 6.4.Reduzca los siguientes términos semejantes, escribiendo elcoeficiente en forma irreducible.
1 (4n2 + 5n + 3) + (−3n2 − 2n)2 (−7a3 − a2 − 5a − 2) + (a3 + a2 − 4a + 7)3 (
5u5 − 3u4 + 2u3 − 5u2 + 7u − 7)
+(2u5
3 + 3u4
2 − 2u2
3 + 5u
6 + 54
).
84
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Ejemplo 6.5.Reduzca los siguientes términos semejantes, escribiendo elcoeficiente en forma irreducible.
1 (4n2 + 5n + 3) − (−3n2 − 2n)2 (−7a3 − a2 − 5a − 2) − (a3 + a2 − 4a + 7)3 (
5u5 − 3u4 + 2u3 − 5u2 + 7u − 7)
−(2u5
3 + 3u4
2 − 2u2
3 + 5u
6 + 54
).
85
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Observación 6.2.A la suma de dos o más monomios se le conoce comopolinomio.
Por ejemplo x2 − 2x + 1 o x2 − 2xy + y2.
86
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Expresiones Algebraicas
Supresión de signos de agrupación
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Cuando queremos quitar parentesis u otro signo deagrupación, en una suma o resta de polinomios, basta usar laregla de los signos.
88
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Sin embargo, cuando un polinomio se multiplica por uncoeficiente, se utiliza la siguiente regla
Proposición 6.1 (Ley de la distribución).
a (b + c) = ab + ac (6.1)(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd. (6.2)
89
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Ejemplo 6.6.Simplifique
1 (6 − 7a)(2 − 4a)2 −4(−4w − 5)(4w − 2)3 6(−5v − 7)(4 − 5v)(−2v − 1)v
90
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Mutiplicación de polinomios
91
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Dos monomios se pueden mutiplicar de la siguiente manera
(axn)(bxm) = (ab)xn+m.
92
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Ejemplo 7.1.
1 (2x3) (3x2) = (2 ∗ 3) x2+3 = 6x5.
93
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Ejemplo 7.2.Exprese su respuesta en la forma más simple posible:
1 (6x4)(4 − 3x − 3x2)2 5w3 (−7w3 − 7w2 + 7w + 3)
3a3
3 (−7a5 − 2a4 + 3a3 + a2 − a − 3)
94
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Ejemplo 7.3.Exprese su respuesta en la forma más simple posible:
1 (n2 + 5n
) (−n2 + 6n + 1
)2 (
−6a2 − 3a − 7) (
a3 + a2 + 6a − 7)
3 (9w4
8 + 8w3
9 − 7w2
9 − w
3 + 59
)(−2w3 − 5w + 7
)
95
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Ejemplo 7.4.Exprese su respuesta en la forma más simple posible:
1 (7u4) (6 − 4u − 7u2)2 (3s4) (−7 + s − s2 − 5s3)3 (7x4) (2 + 4x − 7x2)
96
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Ejemplo 7.5.Simplifique
1 (5w4) (−1 + 5w + 4w2 + 6w3)2 (3m4) (−1 − 6m − 3m2 − 7m3 − 4m4)3 5a5 (a3 − 3a2 + 3a − 5)
97
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Ejemplo 7.6.Escriba su respuesta de la forma más simple posible
1
(8n4
9
)(n4 − 3n3 − 4n2 + 3n − 1)
2
(2y5
5
)(−3y4 + 5y3 − 7y2 − 2y − 5)
3
(3s3
7
)(−2s4 − s3 − 5s2 + 2s + 1)
98
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Ejemplo 7.7.Exprese su respuesta en la forma más simple posible
1 (−4x − 5) (−3x3 + 3x2 − 4x − 4)2 (6y − 7y2) (y + 3)
3
(7w2
9 + 4w
9 + 92
)(5w2 + 6w − 7)
99
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Ejemplo 7.8.Simplifique
1 (3x2 + 2x + 3) (6x2 − 4x − 3)2 (4m2 + 3m) (6m3 + 6m2 − 7m + 6)3 (−4x2 + 5x + 5) (3 − 4x)
100
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Ejemplo 7.9.Simplifique
1 (−2s4 − 5s3 + 3s2 + 3s + 2) (7s3 − 3s2 − 2s − 7)2 (5v − v2) (2v2 + 6v + 5)3 (7x3 + 2x2 + 5x − 6) (6x3 + 3x2 − 4x − 4)
101
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Ejemplo 7.10.Simplifique(
2a3
5 − 5a2
6 − 9a
8 + 23
)(3a2 − 2a − 4
)
102
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División de Polinomios
103
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Ejemplo 8.1.
Divida 6x2 − 26x + 12 entre x − 4. Compruebe.
104
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Solución.
6x2 − 26x + 12 = (x − 4) (6x − 2) + 4
105
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Ejemplo 8.2.
Divida 8x4 + 6x2 − 3x + 1 entre 2x2 − x + 2. Compruebe
106
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Sol.
8x4 + 6x2 − 3x + 1 =(2x2 − x + 2
) (4x2 + 2x
)+ (−7x + 1)
107
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Ejemplo 8.3.Divida 2x3 − 7x2 + 5 entre x − 3. Repita el ejericicio usandodivisión sintética. Compruebe.
108
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Sol.
2x3 − 7x2 + 5 = (x − 3)(2x2 − x − 3
)− 4
109
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Ejemplo 8.4.Realice las siguientes divisiones; comprebe.
1x2 − 6x − 8
x − 4
24x3 + 2x2 − 2x − 3
2x + 1
3x3 + 6x + 3x2 − 2x + 2
46x3 + 2x2 + 22x
2x2 + 5
5x6 + x4 + x2 + 1
x2 + 1
110
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Ejemplo 8.5.Realice las siguientes operaciones, utilizando división sintética.Compruebe.
1x2 − 5x + 4
x − 3
23x2 + 5x
x − 6
3x3 + 2x2 + 2x + 1
x + 2
4x3 − 8x + 2
x + 3
5x5 + 3x3 − 6
x − 1
111
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Productos Especiales
112
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Productos Especiales
Productos notables
113
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A continuación, aparecen algunos de los productos que sepresentan con frecuencia en matemáticas.
114
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Producto monomio-binomio
a(c + d) = ac + ad (9.1)
115
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Ejemplo 9.1.
1 2xy (3x2y − 4y3)2 3x2y3 (2xy − x − 2y)3 (2st3 − 4rs2 + 3s3t) (5rst2)
116
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Diferencia de cuadrados
(a + b) (a − b) = a2 − b2 (9.2)
117
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Ejemplo 9.2.
1 (3a + 5b) (3a − 5b)2 (5xy + 4) (5xy − 4)3 (2 − 5y2) (2 + 5y2)4 (3a + 5a2b) (3a − 5a2b)
118
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Cuadrado de un binomio
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (9.3)(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (9.4)
119
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Ejemplo 9.3.
1 (x + 6)2
2 (y + 3x)2
3 (z − 4)2
4 (3 − 2x2)2
5 (x2y − 2z)2
120
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Producto de dos binomios
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab (9.5)(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd (9.6)
121
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Ejemplo 9.4.
1 (x + 2) (x + 4)2 (x − 4) (x + 7)3 (y + 3) (y − 5)4 (xy + 6) (xy − 4)5 (2x − 3) (4x + 1)6 (4 + 3r) (2 − r)
122
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Cubo de un binomio
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
123
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Ejemplo 9.5.
1 (2x + 1)3
2 (3x + 2y)3
3 (r − 2s)3
4 (x2 − 1)3
5 (ab2 − 2b)3
124
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Cuadrado de un trinomio
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. (9.7)
125
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Ejemplo 9.6.
(x − 2y + z)2 .
126
![Page 168: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/168.jpg)
Productos Especiales
Productos para an ± bn
127
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Ejemplo 9.7.
(a − b)(a2 + ab + b2
)(9.8)
(a − b)(a3 + a2b + ab2 + b3
)(9.9)
(a − b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4
)(9.10)
128
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Ejemplo 9.8.
(a + b)(a2 + ab + b2
)(9.11)
(a + b)(a3 + a2b + ab2 + b3
)(9.12)
(a + b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4
)(9.13)
129
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Ejemplo 9.9.
1 (t − 2) (t2 + 2t + 4)2 (z − x) (x2 + xz + z2)3 (x + 3y) (x2 − 3xy + 9y3)
130
![Page 172: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/172.jpg)
Ejemplo 9.10.
1 (s − 1) (s3 + s2 + s + 1)2 (1 + t2) (1 − t2 + t4 − t6)3 (3x + 2y)2 (3x − 2y)2
4 (x2 + 2x + 1)2 (x2 − 2x + 1)2
5 (y − 1)3 (y + 1)3
6 (u + 2)(u − 2)(u2 + 4)(u4 + 16)
131
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Factorización
132
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Ejemplo 10.1.Factorice cada una de las siguietes expresiones:
1 x2 − 7x + 6 = (x − 1)(x − 6)2 x2 + 8x = x(x + 8)3 6x2 − 7x − 5 = (3x − 5)(2x + 1)4 x2 + 2xy + 8y2 = (x + 4y)(x − 2y)
133
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Factorización
Procedimientos de factorización
134
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Factor monomio común
ac + ad = a(c + d)
135
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Ejemplo 10.2.
1 6x2y − 2x3
2 2x3y − xy2 + 3x2y
136
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Diferencia de cuadrados
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
137
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Ejemplo 10.3.
1 x2 − 252 4x2 − 9y2
138
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Trinomio cuadrado perfecto
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
139
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Ejemplo 10.4.
1 x2 + 6x + 92 9x2 − 12xy + 4y2
140
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Trinomios en general
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d)
141
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Ejemplo 10.5.
1 x2 − 5x + 42 x2 + xy − 12y2
3 3x2 − 5x − 24 6x2 + x − 125 8 − 14x + 5x2
142
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Suma y diferencia de cubos
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2
)
143
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Ejemplo 10.6.
1 8x3 + 27y3
2 8x3y3 − 1
144
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8 Ecuaciones de segundo grado
Complemento de cuadrados
Intersecciones con los ejes
Diferencia de cuadrados
Ejemplos
Factorización
Aplicaciones9 Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas
Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales
Ejemplos10 Determinantes
Determinantes de Segundo Orden
Ejemplos
Sistemas Indeterminados
145
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Ecuaciones de segundo grado
146
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Una función cuadrática es de la forma
f(x) = ax2 + bx + c;
su gráfica se llama parábola.
147
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Figura 11.1: y = x2 − 4x + 7
148
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Ecuaciones de segundo grado
Complemento de cuadrados
149
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Cualquier función cuadrática se puede reescribir en la forma
f(x) = a(x − h)2 + k,
por el método de complementos de cuadrado.
150
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El punto (h, k) se llama vértice, y corresponde al extremo dela parábola
y = a(x − h)2 + k.
151
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La fórmula para encontrar el vértice de la parábolay = f(x) = ax2 + bx + c esh = − b
2ak = f(h).
152
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Para completar el cuadrado, podemos usar el método dedivisión sintética:
h a b c
↓ +ah . . .
a . . . k
153
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Ejemplo 11.1.Complete el cuadrado de
y = x2 − 4x + 7.
154
![Page 196: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/196.jpg)
Ejemplo 11.2.Complete el cuadrádo de
y = 3x2 + 30x + 63.
155
![Page 197: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/197.jpg)
Ecuaciones de segundo grado
Intersecciones con los ejes
156
![Page 198: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/198.jpg)
Las raíces de un polinomio p(x) son aquellos números reales r
tales que p(r) = 0.
157
![Page 199: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/199.jpg)
Para encontrar las raíces de una polinomio cuadrático,necesitamos resolver la ecuación de segundo grado
a(x − h)2 + k = 0.
158
![Page 200: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/200.jpg)
Si r es una raíz de p(x) = a(x − h)2 + k, entonces la parábolay = a(x − h)2 + k cruza al eje x en el punto (r, 0).
159
![Page 201: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/201.jpg)
Observación 11.1.Si k > 0, entonces a(x − h)2 + k > 0 y por tanto no existenraíces. Por lo tanto, la parábola y = a(x − h)2 + k nuncacruza el eje x.
160
![Page 202: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/202.jpg)
Ejemplo 11.3.Determine si existen raíces de
y = x2 − 4x + 7,
161
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Ecuaciones de segundo grado
Diferencia de cuadrados
162
![Page 204: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/204.jpg)
Una identidad que es muy útil al momento de resolverecuaciones es la diferencia de cuadrados
(a − b) (a + b) = a2 − b2.
163
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Una ecuación de la forma
z2 − c2 = 0
se puede reescribir como
(z − c) (z + c) = 0...
...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son
z = ±c.
164
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Una ecuación de la forma
z2 − c2 = 0
se puede reescribir como
(z − c) (z + c) = 0...
...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son
z = ±c.
164
![Page 207: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/207.jpg)
Ejemplo 11.4.Encuentre las raíces de
y = 3x2 + 30x + 63.
165
![Page 208: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/208.jpg)
166
![Page 209: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/209.jpg)
Ecuaciones de segundo grado
Ejemplos
167
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Ejemplo 11.5.Resuelva las siguientes ecuaciones
1 x2 − 40 = 92 2x2 − 400 = 03 x2 + 36 = 9 − 2x2
168
![Page 211: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/211.jpg)
Ejemplo 11.6.Resuelva las siguientes ecuaciones
1x
16 = 4x
2y2
3 = y2
6 + 2
169
![Page 212: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/212.jpg)
Ejemplo 11.7.Resuelva la siguiente ecuación
1 − 2x
3 − x= x − 2
3x − 1 .
170
![Page 213: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/213.jpg)
Ejemplo 11.8.Resuelva la siguiente ecuación
12x − 1 − 1
2x + 1 = 14 .
171
![Page 214: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/214.jpg)
Ejemplo 11.9.Resuelva la siguiente ecuación
x − 2x
x + 1 = 5x + 1 − 1.
172
![Page 215: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/215.jpg)
Ejemplo 11.10.
Encuentre las raíces de los siguientes polinomios
1 7x2 − 5x
2 x2 − 5x + 63 3x2 + 2x − 54 x2 − 4x + 4
173
![Page 216: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/216.jpg)
Ejemplo 11.11.
Encuentre las raíces de los siguientes polinomios
1 x2 − 6x − 22 3x2 − 5x + 13 4x2 − 6x + 3
174
![Page 217: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/217.jpg)
Ecuaciones de segundo grado
Factorización
175
![Page 218: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/218.jpg)
Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene raíces r1, r2
diferentes, entonces podemos factorizar de la siguiente manera
p(x) = a(x − r1) (x − r2) .
176
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Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene una única raź r1,entonces podemos factorizar de la siguiente manera
p(x) = a (x − r1)2 .
177
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Ejemplo 11.12.
Factorice los siguientes polinomios
1 7x2 − 5x
2 x2 − 5x + 63 3x2 + 2x − 54 x2 − 4x + 4
178
![Page 221: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/221.jpg)
Ejemplo 11.13.
Factorice los siguientes polinomios
1 x2 − 6x − 22 3x2 − 5x + 13 4x2 − 6x + 3
179
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Ecuaciones de segundo grado
Aplicaciones
180
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Ejemplo 11.14.
Encuentre dos números positivos sabiendo que uno de ellos esigual al triple del otro más 5 y que el producto de ambos esigual a 68.
181
![Page 224: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/224.jpg)
Ejemplo 11.15.
Encuentre un número sabiendo que la suma del triple delmismo con el doble de su recíproco es igual a 5.
182
![Page 225: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/225.jpg)
Ejemplo 11.16.
Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuto perímetro esde 50 pies y área es de 150 pies cuadrados.
183
![Page 226: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/226.jpg)
Ejemplo 11.17.
La hipotenusa de un triángulo es igual a 34 pulgadas.Encuentre las longitudes de los catetos sabiendo que uno deellos es 14 pulgadas mayor que el otro.
184
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Ejemplo 11.18.
Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía son 12por 15 pulgadas. Sabiendo que el ancho permanece constante,encuentre su valor a) cuando la superficie de la fotografía esde 88 pulgadas y b) cuando dicha superficie vale 100 pulgadascuadradas.
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Ejemplo 11.19.
Un piloto realiza un vuelo de 600 millas. Sabiendo que siaumenta la velocidad en 40 millas/hora podría recorrer dichadistancia empleando 30 minutos menos, encuentre la velocidadpromedio.
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Ejemplo 11.20.
Un comerciante compra determinado número de camisas por$180 y las vende todas menos 6 con una ganancia de $2 encada camisa. Sabiendo que con el dinero recaudado en laventa podría haber comprado 30 camisas más que antes,calcule el precio de cada camisa.
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Ejemplo 11.21.
Dos operarios A y B juntos, realizan una tarea en 10 días.Trabajando por separado, A tardaría 5 días más que B.Encuentre el número de días que tardarían en hacer la tareatrabajando cada no por sí sólo.
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Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas
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Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas
Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales
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Supongamos que ai, bi, ci, i = 1, 2 son número dados:a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
En el sistema anterior, nuetro objetivos es encontrar dosnúmeros x, y tales que cumplan ambas ecuacionessimultaneamente.
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Ejemplo 12.1.La solución del sistema x + y = 7
x − y = 3
es x = 5, y = 2.
192
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A continuación, ejemplificaremos algunos de los métodos máscomunes para resolver sistemas de ecuaciones.
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Suma y resta
Ejemplo 12.2.
2x − y = 4 (12.1)x + 2y = −3 (12.2)
194
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Método de sustitución
Despejando de (12.1), obtenemos
y = 2x − 4.
Sutituyendo en (12.2), obtenemos
x + 2(2x − 4) = −3.
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Método de sustitución
Despejando de (12.1), obtenemos
y = 2x − 4.
Sutituyendo en (12.2), obtenemos
x + 2(2x − 4) = −3.
195
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Método de igualación
Despejando de (12.1), obtenemos
y = 2x − 4.
Despejando de (12.2), obtenemos
y = −3 + x
2 .
Igualando ambos lados derechos, obtenemos
2x − 4 = −3 + x
2 .
196
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Método de igualación
Despejando de (12.1), obtenemos
y = 2x − 4.
Despejando de (12.2), obtenemos
y = −3 + x
2 .
Igualando ambos lados derechos, obtenemos
2x − 4 = −3 + x
2 .
196
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Método de igualación
Despejando de (12.1), obtenemos
y = 2x − 4.
Despejando de (12.2), obtenemos
y = −3 + x
2 .
Igualando ambos lados derechos, obtenemos
2x − 4 = −3 + x
2 .
196
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Método gráfico
Figura 12.1: 2x-y=4 , x+2y=-3
197
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Tipos de sistemas
198
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Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas
Ejemplos
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Ejemplo 12.3.
2x − y = 4x + y = 5
200
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Ejemplo 12.4.
5x + 2y = 32x + 3y = −1
201
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Ejemplo 12.5.
2x + 3y = 36y − 6x = 1
202
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Ejemplo 12.6.
5y = 3 − 2x
3x = 2y + 1
203
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Ejemplo 12.7.
x − 23 + y + 1
6 = 2x + 3
4 − 2y − 12 = 1
204
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Determinantes
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Determinantes
Determinantes de Segundo Orden
206
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Definición
Definición 13.1. ∣∣∣∣∣∣a b
c d
∣∣∣∣∣∣ = ad − bc.
207
![Page 253: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/253.jpg)
Ejemplo 13.1. ∣∣∣∣∣∣ 2 3−1 −2
∣∣∣∣∣∣ =
208
![Page 254: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/254.jpg)
Si consideremos el siguiente sistema de ecuacionesa1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2... (13.1)
209
![Page 255: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/255.jpg)
...y definimos
∆ =
∣∣∣∣∣∣a1 b1
a2 b2
∣∣∣∣∣∣∆x =
∣∣∣∣∣∣c1 b1
c2 b2
∣∣∣∣∣∣∆y =
∣∣∣∣∣∣a1 c1
a2 c2
∣∣∣∣∣∣ ...
210
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...entonces
x = ∆x
∆y = ∆y
∆
(13.2)
211
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Ejemplo 13.2.Resuelva el sistema 2x + 3y = 8
x − 2y = −3
212
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Determinantes
Ejemplos
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![Page 259: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/259.jpg)
El método de solución de sistemas de ecuaciones linales, pormedio de determinantes, se conoce como Regla de Cramer.
214
![Page 260: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/260.jpg)
Ejemplo 13.3.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer4x + 2y = 5
3x − 4y = 1
215
![Page 261: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/261.jpg)
Ejemplo 13.4.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer3u + 2v = 18
−5u − v = 12
216
![Page 262: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/262.jpg)
Determinantes
Sistemas Indeterminados
217
![Page 263: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/263.jpg)
Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una únicasolución si y solo si su determinante principal ∆ 6= 0.
En este caso, decimos que el sistema es consistente.
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![Page 264: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/264.jpg)
Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una únicasolución si y solo si su determinante principal ∆ 6= 0.
En este caso, decimos que el sistema es consistente.
218
![Page 265: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/265.jpg)
Si ∆ = 0, entonces o bien existen multiples soluciones, o bienno existe alguna en absoluto.
En cualquier caso, decimos que el sistema es inconsistente.
219
![Page 266: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/266.jpg)
Determine si 5x − 2y = 1010x − 4y = 20
es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.
220
![Page 267: Taller Remedial de Matemáticas](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042611/58cf539f1a28aba17e8b5bcb/html5/thumbnails/267.jpg)
Determine si 5x + 3y = 1510x + 6y = 60
es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.
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