UNIVERSIDAD DEL VALLE SEDE TULUÁESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

ASIGNATURA: ANÁLISIS Y MÉTODOS NUMÉRICOSProfesor: Efraín Vásquez Millán.

Semestre 2014 01

TALLER No4.Interpolación y aproximación polinomial

1. Polinomios de Lagrange

1. Para las funciones dadas f(x), sean x0 = 0, x1 = 0·6 x2 = 0·9. Construya polinomios de interpolaciónde grados uno y dos a lo máximo para aproximar f(0·45), y calcule el error real.

a. f(x) = cos x b. f(x) = ln(x + 1) c. f(x) = tanx

2. Construya los polinomios interpolantes de Lagrange para las siguientes funciones y obtenga una cotadel error en el intervalo [x0, xn].

a. f(x) = e2x cos 3x, x0 = 0, x1 = 0·3, x2 = 0·6, n = 2

b. f(x) = sin(lnx), x0 = 2·0, x1 = 2·4, x2 = 2·6, n = 2

c. f(x) = cos x + sin x, x0 = 0, x1 = 0·25, x2 = 0·5, x3 = 1·0, n = 2

3. Sea f(x) = ex, para 0 ≤ x ≤ 2.

a. Aproxime f(0·25) mediante la interpolación lineal con x0 = 0, y x1 = 0·5.

b. Aproxime f(0·75) mediante la interpolación lineal con x0 = 0·5, y x1 = 1.

c. Aproxime f(0·25) y f(0·75) mediante el segundo polinomio interpolante con x0 = 0, x1 = 1 yx2 = 2.

d. ¿Cuáles aproximaciones son mejores y por qué?

4. Cada 10 años se levanta un censo de población en Estados Unidos. En la siguiente tabla se incluyerondatos de la población, en miles de habitantes, de 1940 a 1960.

Año 1940 1950 1960 1970 1980 1990Población(en miles) 132·165 151·326 179·323 203·302 226·542 249·633

a. Use interpolación de Lagrange para aproximar la población en los años, 1930, 1965 y 2000.

b. La población de 1930 fue aproximadamente de 123·203·000 habitantes. ¿ Qué exactitud, a sujuicio, tiene sus cifras correspondientes a los años 1965 y 2000?

5. La función de error definida por

erf(x) =2√π

∫ x

0e−t2dt

1

nos da la probabilidad de que cualquiera de una serie de intentos se encuentre dentro de x unidadesde la media, suponiendo que los intentos presentan una distribución normal con una media 0 y unadesviación estándar

√2

2 . No podemos evaluar esta integral a partir de funciones elementales, por lo cuales preciso recurrir a una técnica de aproximación.

a. Integre la serie de Maclaurin para e−t2 a fin de demostrar que

erf(x) =2√π

∞∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)k!

b. Use la serie de la parte(a) para aproximar erf(1) dentro de 10−7.

c. Use la serie de Maclaurin para construir una tabla de erf(x) con una exactitud de 10−4 paraerf(xi) donde xi = 0···2i, para i = 0, 1, . . . , 5.

d. Use la interpolación lineal y la cuadrática para obtener una aproximación de erf(13). ¿Qué método

le parece más adecuado?

2. Diferencias divididas

6. Si se tiene

Pn(x) =f [x0] + f [x0, x1](x− x0) + a2(x− x0)(x− x1)+ a3(x− x0)(x− x1)(x− x2) + · · ·+ an(x− x0). . . . .(x− xn−1)

Use Pn(x2) para demostrar que a2 = f [x0, x1, x2]

7. Use la fórmula de diferencias divididas interpolantes de Newton para construir polinomios interpolantesde grado uno, dos y tres con los siguientes datos. Use cada uno de los polinomios para aproximar elvalor especificado.

a. f(8·4) Six 8·1 8·3 8·6 8·7

f(x) 16·94410 17·56492 18·50515 18·82091

b. f(0·9) Six 0·6 0·7 0·8 1·0

f(x) −0·17694460 0·01375227 0·22363362 0·65809197

8. Use la fórmula de diferencia progresiva de Newton para construir polinomios interpolantes de grado uno,dos y tres con los siguientes datos. Use cada uno de los polinomios para aproximar el valor especificado.

a. f(−13) Si

x −0·75 −0·5 −0·25 0f(x) −0·07181250 0·02475000 0·33493750 1·10100000

b. f(0·25) Six 0·1 0·2 0·3 0·4

f(x) −0·62049958 0·28398668 0·00660095 0·24822440

2

9. Use la fórmula de diferencias regresivas de Newton para construir polinomios interpolantes de gradouno, dos y tres con los siguientes datos. Por medio de cada uno de los polinomios aproxime el valorespecificado.

a. f(−13) Si

x −0·75 −0·5 −0·25 0f(x) −0·07181250 0·02475000 0·33493750 1·10100000

b. f(0·25) Six 0·1 0·2 0·3 0·4

f(x) −0·62049958 0·28398668 0·00660095 0·24822440

10. a. Aproxime f(0·05) mediante los siguientes datos y la fórmula de diferencias divididas progresivasde Newton:

x 0·0 0·2 0·4 0·6 0·8f(x) 1·00000 1·22140 1·49182 1·82212 2·22554

b. Use la fórmula de diferencias divididas regresivas de Newton para aproximar f(0·65).

c. Aplique la fórmula de Stirling para aproximar f(0·43).

11. Con una función f las diferencias divididas están dadas por

x0 = 0·0 f [x0]f [x0, x1]

x1 = 0·4 f [x1] f [x0, x1, x2] = 507

f [x1, x2] = 10x2 = 0·7 f [x2] = 6

Determine los datos que faltas en la tabla.

3. Spline cúbica

12. Determine el trazador cúbico libre S que interpola los datos f(0) = 0, f(1) = 1, y f(2) = 2.

13. Determine el trazador cúbico sujeto S que interpola los datos f(0) = 0, f(1) = 1, y f(2) = 2 y quesatisface S′(0) = S′(2) = 1.

14. Construya el trazador cúbico libre de los siguientes datos

a.x f(x)

8·3 17·564928·6 18·50515

b.

x f(x)−0·5 −0·0247500−0·25 0·33479350·00 1·1010000

c.

x f(x)0·1 −0·620499580·2 −0·283986680·3 −0·006600950·4 −0·24842440

15. Los datos del ejercicio 14 se generaron usando las siguientes funciones. Utilice los trazadores cúbicosconstruidos en el ejercicio 14 para el valor dado de x, a fin de aproximar f(x) y f ′(x). También calculeel error real.

3

a. f(x) = x ln(x); aproximadamente f(8·4) y f ′(8·4).

b. f(x) = x3 + 4·001x2 + 4·002x + 1·01; aproximadamente f(−13) y f ′(−1

3).

c. f(x) = x cosx− 2x2 + 3x− 1; aproximadamente f(0·25) y f ′(0·25).

16. Construya el trazador cúbico sujeto aplicando los datos del ejercicio 14 y el hecho de que

a. f ′(8·3) = 3·116256 y f ′(8·6) = 3·151762.

b. f ′(−0·5) = 0·7510000 y f ′(0·0) = 4·0020000.

c. f ′(0·1) = 3·58502082 y f ′(0·4) = 2·16529366.

17. Construya un trazador cúbico libre para aproximar f(x) = cos(πx) utilizando para ello los valores quese dan x0 = 0, x1 = 0·25, x2 = 0·5, x3 = 0·75, x4 = 1·0. Integre el trazador cúbico en [0, 1] y compare elresultado con

∫ 10 cos(πx) dx = 0. Aproxime f ′(0·5) y f ′′(0·5), por medio de las derivadas del trazador.

Compare esas aproximaciones con los valores reales.

18. Resuelva el ejercicio anterior para un spline cúbico sujeto con f ′(0) = f ′(1) = 0 y compare los resulta-dos.

19. Un trazador cúbico natural S en [0, 2] está definido por

S(x) =

S0(x) = 1 + 2x− x3, si 0 ≤ x < 1,

S1(x) = a + b(x− 1) + c(x− 1)2 + d(x− 1)3, si 1 ≤ x ≤ 2

Obtenga a, b, c y d.

20. Un trazador cúbico natural S está definido por

S(x) =

S0(x) = 1 + B(x− 1)−D(x− 1)3, si 1 ≤ x < 2,

S1(x) = 1 + b(x− 2)− 34(x− 2)2 + d(x− 2)3, si 2 ≤ x ≤ 3

Si S interpola los datos (1, 1), (2, 1) y (3, 0), obtenga B, D, b y d.

21. Un automóvil va por una carretera y su velocidad se cronometra en varios puntos. Los datos tomadosde las observaciones aparecen en la tabla adjunta, donde el tiempo se anota en segundos, la distanciaen pies y la velocidad en pies por segundo.

Tiempo 0 3 5 8 13Distancia 0 225 383 623 993V elocidad 75 77 80 74 72

a. Use un trazador cúbico sujeto para predecir la posición del automóvil y su velocidad cuandot = 10s.

b. Use la derivada del trazador para determinar si el automóvil rebasa el límite de velocidad de 55mih ;

de ser así, ¿en qué momento el automóvil lo excede?

c. ¿Cuál es la velocidad máxima predecible del automóvil?

22. Interpolar de varias formas la función f(x) = sin(x) en el intervalo [0, π] y realizar algunas compara-ciones.

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a. Determinar los nodos igualmente espaciados necesarios para interpolar la función sin(x) medianteun polinomio de grado 5 en el intervalo [0, π] y el correspondiente polinomio interpolador p. Dibujala función f(x), p(x) y los nodos en una misma ventana gráfica.

b. Determinar los nodos de Chebyshev necesarios para interpolar la función sen(x) mediante unpolinomio de grado 5 en el intervalo [0, π] y el correspondiente polinomio interpolador q. Dibujala función f(x), q(x) y los nodos en una misma ventana gráfica.

c. Construir los splines natural (Sn) y sujeto (Ss) que interpolan la función sen(x) en los nodosigualmente espaciados 0, π

5 ,2π5 , · · · , π Para el spline sujeto utiliza los valores S′1(0) = 1 y S′5(0) =

−1. Dibuja la función f(x), Sn(x) y los nodos en una misma ventana gráfica.

23. El fenómeno de Runge es un problema, debido a la falta de convergencia puntual de los polinomiosinterpoladores con respecto a la función considerada al aumentar el número de nodos, que puede darsecuando los nodos están igualmente espaciados. Para observar este fenómeno consideramos la función:

f(x) =1

1 + 2x2

Sean Pn(x) y Qn(x) los polinomios que interpolan a f(x), en n+1 nodos equiespaciados y en los nodosde Chebyshev respectivamente, en el intervalo [−1, 1]. Hacer un gráfico comparativo de f(x) y Pn(x)para n = 5, 10, 15, 20. Lo mismo para f(x) y Qn(x).

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