Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesInstituto de Matematicas

Taller numero uno de teorıa de numeros.

1. Demostrar que para todo n ∈ N se cumple.

12 + 22 + 32 + ... + n2 =n(2n + 1)(n + 1)

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2. Demostrar la identidad de Bernoulli.

Si a + 1 > 0, entonces (1 + a)n ≥ 1 + na para todo n ∈ N.

3. Demostrar que las siguientes afirmaciones se cumplen para todo n ∈ N.

a)n∑

i=0

(n

i

)= 2n

b)n∑

i=0

(−1)i(n

i

)= 2n

c)n∑

k=1

k

(n

k

)= n2n−1

d)n∑

i=0

2i

(n

i

)= 3n

4. Usando el algoritmo de la division demostrar:

a) Si n ∈ N, entonces n2 = 3k para algun k ∈ N o n2 = 3k + 1 para algun k ∈ N.

b) Si n ∈ N, entonces n3 = 9k para algun k ∈ N o n3 = 9k + 1 para algun k ∈ N on3 = 9k + 8 para algun k ∈ N.

5. Dados los enteros a, b, c y d demostrar las siguientes afirmaciones.

a) a|b si y solo si ac|bc para c diferente de cero.

b) Si a|b y a|c, entonces a2|bc.

6. Demostrar que para todo n ∈ N se cumple:

a) 8|52n + 7.

b) 5|33n+1 + 2n+1.