TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

1. Два тачкаста наелектрисања, оптерећена количинама електрицитета 1Q и 2Q , налазе се у

вакууму, као што је приказано на слици 1. Одредити:

а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А;

б) Електрични скалар потенцијал тачке у односу на референтну тачку која се налази у

бесконачности;

в) Рад потребан да се тачкасто наелектрисање Q пребаци из тачке А у бесконачност.

Нумерички подаци: m1a , QQ 1 , QQ 222 , nC6Q , pC1Q .

Слика 1

________________________________________________________________________________

а) У тачки А електрично поље стварају наелектрисања 1Q и 2Q . Вектор јачине

електростатичког поља који потиче од наелектрисања 1Q је оријентисан од тог

наелектрисања јер је оно позитивно (треба имати у виду чињеницу да је “пробно

наелектрисање”, којим се доказује постојање електричног поља, по дефиницији позитивно па

би Кулонова сила на то наелектрисање била одбојна). Наелектрисање 2Q је негативно због

чега је вектор електричног поља оријентисан ка њему.

Ако је средина у којој се налазе ова оптерећења линеарна у електричном смислу, може се

применити принцип суперпозиције. Резултујући вектор јачине електростатичког поља AЕ ,

који је последица постојања електричног поља које стварају оба наелектрисања, 1E и 2E ,

добија се тако што се та два вектора саберу (Сл. 1.1):

21A EEE

.

Слика 1.1

Важно је напоменути да се тз. “нападна тачка” поставља на месту где се тражи и рачуна

електрично поље (у овом примеру је то тачка А).

Интензитети вектора јачине електростатичког поља 1E и 2E , 1E и 2E , рачунају се на

следећи начин:

A

202

101

a

Qk

a

QkE ,

22

202

202

a

Qk

a

QkE .

Вектори 1E и 2E нису колинеарни па се морају разложити на компоненте у правцу x и y

координате Декартовог правоуглог координатног система:

01 xE ,

2011a

QkEE y ,

202222

2cos

a

QkEEE x ,

202222

2sin

a

QkEEE y .

Пројекције компонентних вектора на y осу једнаке су по апсолутној вредности али

супротног знака, тако да се оне међусобно поништавају. Зато резултујуће електрично поље

има само компоненту у позитивном смеру x осе,

xa

QkxEE x ˆˆ

202A

,

за чији се интензитет, након замене датих нумеричких вредности, добија:

m

Vˆ54A xE

.

б) Електрични (скалар) потенцијал је скаларна величина па се при његовом израчунавању

наелектрисања уносе у израз са одговарајућим знаком (никако не узимати апсолутне

вредности).

Принцип суперпозиције се може применити и на прорачун потенцијала. Укупан електрични

потенцијал у тачки А добија се када се скаларно саберу вредности потенцијала које стварају

наелектрисања 1Q и 2Q , понаособ.

a

Qk

a

Qk

a

Qk 0

20

1021A

2 ,

V54A .

Треба напоменути да потенцијал зависи од избора референтне тачке. У овом случају смо

референтну тачку поставили много далеко од извора електростатичког поља (наелектрисања

1Q и 2Q ), теоријски у бесконачности.

в) На основу познатог израза за извршени рад при пребацивању наелектрисања од једне до

друге тачке у електростатичком пољу, добија се:

AA QQA ,

или након замене датих нумеричких података,

pJ54A .

Референтна тачка је тачка нултог потенцијала, а како се у овом случају налази у

бесконачности, тада је потенцијал 0 .

Знак минус у изразу за рад “говори“ о томе да се он врши против сила електростатичког

поља, т.ј. мора се уложити неки рад против “сила поља“ да би се наелектрисање Q

пребацило из тачке А у бесконачност. То заправо значи да се тачка одакле се позитивно

наелектрисање пребацује (А) налази на нижем потенцијалу у односу на тачку где се

пребацује (“бесконачност“). Када би наелектрисање које се пребацује било негативно

оптерећено, рад би био позитиван, т.ј. пребацивање би се вршило под дејством “сила“

електростатичког поља.

2. Два тачкаста наелектрисања, QQ 221 и QQ 2 , налазе се у вакууму и распоређена су

као што је приказано на слици 2. Одредити векторе електричног поља и потенцијале у

тачкама A и B . Израчунати рад који се врши при пребацивању тачкастог наелектрисања

Q из тачке A у тачку B . Нумерички подаци: nC6Q , pC1Q , m1a .

Слика 2

________________________________________________________________________________

Одређивање електричног поља и потенцијала у тачки A

Слика 2.1

У тачки А електрично поље стварају наелектрисања 1Q и 2Q . Како су вектори 1E

и 2E

колинеарни онда је и резултујући вектор AE

колинеаран са њима, а његов интензитет се

добија као алгебарски збир њихових интензитета:

2021

014

22

)2( a

Qk

a

QkE ,

202

202

a

Qk

a

QkE ,

xa

QkxEEE ˆ1

2

2ˆ

2021A

,

m

Vˆ822.15A xE

.

Електрични скалар потенцијал се добија суперпозицијом, т.ј. као алгебарски збир

потенцијала који потичу од наелектрисања 1Q и 2Q , 1 и 2 .

122

02

01

021A a

Qk

a

Qk

a

Qk ,

V14.22A .

Одређивање електричног поља и потенцијала у тачки B

Слика 2.2

У тачки B електрично поље стварају такође наелектрисања 1Q и 2Q . Како вектори 1E

и 2E

нису колинеарни они се морају разложити на компоненте и тек тада сабрати.

Интензитети ових вектора су:

202

101

2

)2( a

Qk

a

QkE ,

202

202

a

Qk

a

QkE ,

а одговарајуће пројекције на x и y осу су:

201112

2

a

QkEEE yx ,

02 xE , 2022

a

QkEE y .

Резултујуће електрично поље у тачки B је:

ya

Qk

a

Qkx

a

QkyEExEE yx ˆˆˆˆ

202020211B

,

т.ј.

m

Vˆ54B xE

.

За потенцијал се добија:

a

Qk

a

Qk

a

Qk 0

20

10B

2 ,

V54B .

Извршени рад при пребацивању тачкастог наелектрисања Q из тачке A у тачку B је

pJ86.31BA QA .

3. Три тачкаста наелектрисања, AQ , BQ и CQ , налазе се у вакууму и распоређена су као на

слици 3. Одредити вектор електричног поља у тачки D . Израчунати рад који се изврши при

пребацивању тачкастог наелектрисања Q из тачке D у бесконачност. Бројни подаци:

nC6A Q , nC24B Q , nC4C Q , m1a , pC1Q .

Слика 3

________________________________________________________________________________

Слика 3.1

Електрично поље у тачки D се добија на следећи начин:

m

V5.13

42

A0A

a

QkE ,

m

V218

2 2B

0B a

QkE ,

m

V36

2C

0C a

QkE ,

m

V18

4cosBB

xx EE ,

m

V18

4cosBB

yy EE ,

yExEEEEEEE yx ˆˆ BACBCBAD

,

m

Vˆ18ˆ5.40D yxE

.

m

V32.44

2

D

2

DDD yx EEEE

;

96.23418.0D

D

D radE

Earctg

x

y .

Електрични потенцијал је алгебарски збир чланова који потичу од сваког наелектрисања

понаособ:

V4522

C0

B0

A0D

a

Qk

a

Qk

a

Qk .

И у овом примеру се референтна тачка нултог потенцијала налази на теоријски бесконачно

великом растојању од извора поља, заправо је 0 .

Зато се за извршени рад добија:

pJ45D QA .

Извршени рад је позитиван, што значи да се он врши под дејством сила електростатичког

поља.

4. Два тачкаста наелектрисања pC4001 Q и pC1002 Q налазе се у диелектрику,

релативне диелектричне константе 2r , на међусобном растојању a2 ( cm1a ), као на

слици 4. Одредити интезитет електричног поља у тачкама A и B , као и рад при

пребацивању тачкастог наелектрисања pC1q из положаја C у положај B .

Слика 4

________________________________________________________________________________

Слика 4.1

У тачки A компонентни вектори A1E

и A2E

су колинеарни:

xa

QxEE

r

ˆ4

1ˆ

21

0

A1A1

,

xa

QxEE

r

ˆ4

1ˆ

2

2

0

A2A2

,

па је за одређивање резултујућег вектора потребно само алгебарски да се саберу њихови

интензитети:

xQQa

EEEr

ˆ4

1212

0

A2A1A

,

m

kVˆ5.22

m

Vˆ105.22 3

A xxE

.

Сличним поступком се добија и електрично поље у тачки В јер су и у њој компонентни

вектори колинеарни. Вектори који потичу од извора електростатичког поља су:

xa

QxEE

r

ˆ164

1ˆ

21

0

B1B1

,

xa

QxEE

r

ˆ44

1ˆ

22

0

B2B2

,

а резултујуће поље у тачки В је:

xQQa

EEEr

ˆ464

1212

0

B2B1B

,

т.ј.

V0B E .

Да би се одредио рад при пребацивању тачкастог наелектрисања pC1q из положаја C у

положај B потребно је познавати потенцијале у тим тачкама:

21

0

2

0

1

0

B2B1B 216

1

24

1

44

1QQ

aa

Q

a

Q

rrr

,

V5.22B

и

21

0

2

0

1

0

C2C1C 312

1

4

1

34

1QQ

aa

Q

a

Q

rrr

,

V15C .

За извршени рад се добија:

pJ5.7BC qA .

5. Tачкаста наелектрисања, nC11 Q и nC92 Q , налазе се у вакууму на растојању m1d

(слика 5).

а) Одредити координате тачке C у којој је јачина електричног поља једнака нули.

б) Одредити електрични потенцијал у тачкама C и dd,D .

в) Израчунати рад који се изврши при пребацивању тачкастог наелектрисања Cp1q из

тачке C у тачку D .

Слика 5

________________________________________________________________________________

а) Тачка у којој је јачина електростатичког поља једнака нули једино може да се налази у

области 0;0 ydx . Она не може да се нађе у области лево од наелектрисања 1Q нити

десно од 2Q јер би у тим областима вектори електростатичког поља који потичу од

тачкастих извора имали исту отијентацију и не постоји могућност да се пониште.

Слика 5.1

Интензитети вектора електричног поља које потичу од наелектрисања 1Q и 2Q су:

21

01x

QkE

и

22

02)( xd

QkE

.

Вектори 1E

и 2E

су колинеарни, истог правца и интензитета а супротног смера, па је њихов

збир нула вектор.

Из услова да је 21 EE добија се квадратна једначина:

021 22

1

2

dxdx

Q

Q,

чија су решења

21

dx и

42

dx .

Иако квадратна једначина даје два решења, само једно од њих има физичи смисао.

Како је dx 0 , за x координату тачке C усваја се решење m25.04

2C d

xx .

y координата тачке C је нула. Ако би се тачка C налазила ван апсцисне оси, неби постајала

могућност да се пониште y компоненте збирних вектора. Тачка у којој је јачина електричног

поља једнака нули има координате )0m,25.0(C .

До истог решења се долази и без решавања квадратне једначине, ако се коренује лева и десна

страна једначине:

2

2

2

1

)( xd

Q

x

Q

,

и води рачуна да је:

xxx 2

; xdxdxd 2

)( ,

јер је 0x и xd .

б) За потенцијале у тачкама C и D се добија:

V14420

10C

xd

Qk

x

Qk ;

V36.872

20

10D

d

Qk

d

Qk .

в) Извршени рад је:

pJ64.56)( DC qA .

6. Три тачкаста наелектрисања nC41 Q , nC72 Q и nC83 Q налазе се у теменима

једнакостраничног троугла странице cm10a у вакууму. Одредити вектор јачине

електричног поља у тачки А, на половини дужи која спаја наелектрисања 1Q и 2Q (слика 6).

Слика 6

________________________________________________________________________________

Слика 6.1

Интензитети вектора поља у тачки А од појединих наелектрисања су:

42

101

a

QkE ,

42

202

a

QkE ,

43 23

03a

QkE ,

па је

yExEEEA ˆˆ 312

.

ya

Qkx

a

Qk

a

QkEA ˆ

3

4ˆ

4423

02

102

20

.

m

kVˆ6.9ˆ8.10 yxEA

.

m

kV45.14 AA EE

.

7. Тачкаста наелектрисања AQ и BQ налазе се у теменима једнакостраничног троугла

странице a , као на слици 7.

а) Одредити вектор јачине електричног поља у темену C .

б) Одредити рад који изврше силе поља при пребацивању тачкастог наелектрисања pC1Δ q

из тачке C у бесконачност.

Познато је: pC10BA QQ , m1a .

Слика 7

________________________________________________________________________________

а) Најпре рачунамо интензитетe свих вектора поља у тачки C .

Слика 7.1

2A

0Aa

QkE ,

2B

0Ba

QkE .

Затим сваки вектор разлажемо на x и y компоненту:

23cos A

AA

EEE x

,

2

3

3sin A

AA

EEE y

,

23cos B

BB

EEE x

,

2

3

3sin B

BB

EEE y

.

Резултујуће поље одређујемо тако што сабирамо посебно x компоненте и посебно y

компоненте. Све компоненте чији се смер поклапа са позитивним смером x или y осе узимају

се са позитивним знаком, у противном узимају се са негативним знаком.

yQQa

kyEExEEEEE yyxx ˆ

2

3ˆˆ BA2

0BABABAC

,

m

Vˆ1039

2C yE

.

Електростатичко поље у тачки C има само y компоненту јер се x компоненте вектора AE

и

вектора BE

поништавају.

б) Да би одредили рад који изврше силе поља при пребацивању тачкастог наелектрисања qΔ

из тачке C у бесконачност потребно је да израчунамо потенцијал тачке C . Ако се

референтна тачка налази у бесконачности ( 0 ) тада је:

210B

0A

0C QQa

k

a

Qk

a

Qk ,

V10182

C

,

па се добија

pJ18.0C qA .

8. Tачкаста наелектрисања AQ , BQ , CQ и DQ распоређена су у вакууму, као што је

приказано на слици 8.

а) Одредити резултујућу силу на наелектрисање DQ .

б) Одредити електрични потенцијал у тачки O .

Бројни подаци: nC2A Q , nC4B Q , nC2C Q , nC1D Q , m3.0a .

Слика 8

________________________________________________________________________________

а) Силу на наелектрисање DQ могуће је одредити тако што се најпре одреди вектор јачине

електростатичког поља у тачки D , DE . Он се добија као векторски збир вектора који

стварају сва остала наелектрисања, осим наелектрисања DQ . Сила која делује на DQ се

израчунава множењем тог наелектрисања и резултујућег вектора поља:

DDD EQF .

Слика 8.1

Електрично поље се одређује на исти начин као што је и у претходним приметима урађено:

2

A0A

4a

QkЕ ,

2

B0B

2a

QkЕ ,

2

C0C

a

QkЕ ,

AA ЕЕ x , 0A yЕ ,

45cosBB ЕЕ x ,

45sinBB ЕЕ y

0C xЕ, CC ЕЕ y ,

m

V42.191CBAD xxxx ЕЕЕЕ

,

yyyy EEEE CBAD ,

m

V0D yE .

yExEE yx ˆˆ DDD ,

m

Vˆ42.191D xE .

За електростатичку силу на наелектрисање DQ се добија:

nNˆ42.191D xF

б) Електрични потенцијал у координатном почетку је:

V1802

D0

C0

B0

A00

a

Qk

a

Qk

a

Qk

a

Qk .

9. Два позитивна наелектрисања ( 1Q ) и једно негативно наелектрисање ( 2Q ) распоређена су

у теменима квадрата као на слици 9. Одредити:

а) Однос 2

1

Q

Q, ако је познато да је електрично поље у тачки A једнако нули.

б) Рад при пребацивању наелектрисања μC1q из бесконачности у тачку B (средиште

квадрата), ако је μC21 Q и m1a .

Напомена: Референтна тачка се налази у бесконачности.

Слика 9

________________________________________________________________________________

а) Да би неки вектор био нула-вектор потребно је да му све компоненте буду једнаке нули.

Ако се решава 3D проблем тада се три компоненте нула-вектора изједначавају са нулом и на

тај начин се формирају три једначине. Ако се решава 2D проблем добијају се две једначине, а

за случај система са једним степеном слободе само једна једначина.

У овом примеру, три наелектрисања чине једну раван и у тој истој равни се налази тачка A у

којој је поље нула (слика 9.1).

Слика 9.1

Може се закључити да се ради о дводимензионом простору (планарном проблему-у једној

равни) и да се могу формирати две једначине.

Интензитети збирних вектора јачине електростатичког поља су:

2

101

a

QkE ,

2

202

2a

QkE ,

а пројекције вектора 2E на апсцисну и ординатну осу Декартовог координатног система су:

2

222 EE x ,

2

222 EE y ,

па је резултујући вектор електричног поља у тачки A :

ya

Qk

a

Qkx

a

Qk

a

QkE ˆ

2

2

2ˆ

2

2

2 2

202

102

202

10A

.

Изједначавањем компоненти овог вектора са нулом ( 0АА yx EE ) могу се у општем случају

добити две једначине. У овом примеру се добија само једна једначина, заправо једна

двострука једначина, јер је проблем симетричан у односу на раван 0 yx (т.ј. праву xy

ако се систем посматра у равни 0z ):

04

2 21

QQ 353.0

4

2

2

1 Q

Q.

б) Ако је μC21 Q , тада је на основу претходног израза μC242 Q . Како је референтна

тачка у бесконачности ( 0 ), за потенцијал тачке B у односу на ту тачку се добија:

2

2

2

22 2

01

0Ba

Qk

a

Qk ,

kV0876.21B .

Извршени рад је:

mJ0876.21)( B qA .

Напомена: На основу израза за извршени рад при пребацивању тачкастог

наелектрисања q из тачке M у тачку N ( MNNM )( UqqA ), и на основу познате

чињенице да електрични напон између две тачке не зависи од избора референтне тачке,

добила би се иста вредност за рад и да је референтна тачка постављена у било којој

тачки простора.

10. На крајевима хипотенузе правоуглог троугла налазе се наелектрисања AQ и BQ (слика

10). Систем се налази у вакууму.

а) Одредити вектор јачине електричног поља у трећем темену троугла (тачка C ).

б) За колико ће се променити потенцијал у тачки C ако наелектрисања AQ и BQ замене

своја места?

Познато је: nC5A Q , nC9B Q , cm4a , cm3b , cm5c .

Слика 10

________________________________________________________________________________

а) Електрично поље у тачки C , CE , векторски је збир вектора АE и BE , под условом да је

средина линеарна (слика 10.1)

Слика 10.1

Интензитети збирних вектора су:

m

V108125.2

4

2

А0А

a

QkE ,

m

V109

4

2

B0B

b

QkE .

Вектор електричног поља у тачки C је

yExEEEE ˆˆ BABAC

,

чији је интензитет

и који са позитивним смером x осе заклапа угао:

7.72arctanA

B E

E .

б) У задатку није наглашено где се налази референтна тачка. Електрични скалар потенцијал

тачке у околини оптерећења Q , која се налази на растојању r од њега, у односу на

референтну тачку која је удаљена од извора на pr је:

Kr

Qk

r

Qk

r

Qk

p

,

где је K адициона константа интеграције.

Потенцијал у тачки C када су наелектрисања у првобитном положају је:

uKb

Qk

a

QkK

b

QkK

a

Qk B

0A

0B

0A

01B1A1C ,

m

V3.94

m

V1043.9

42B

2AC EEE

где је uK нека нова константа која је за овај случај KKu 2 .

Потенцијал у тачки C када наелектрисања замене места је:

uKa

Qk

b

QkK

a

QkK

b

Qk B

0A

0B

0A

02B2A2C .

Потенцијал се промени за:

V5.101C2C .

Напомена: Израчунати промену потенцијала за случај да се референтна тачка налази на

растојању од система ( AQ , BQ ) које тежи бесконачности.

11. Четири тачкаста наелектрисања QQQ 31 и QQQ 42 налазе се у теменима

квадрата странице а (слика 11). Одредити електрично поље и потенцијал у тачкама А и B,

као и рад при пребацивању наелектрисања Q из тачке А у тачку B. Познато је: pC100Q ,

cm10a , pC1Q .

Слика 11

________________________________________________________________________________

Слика 11.1 Слика 11.2

Електрично поље у тачки А (Слика 11.1):

0

22

4

1

A204321 i

iEEa

QkEEEE

.

Електрично поље у тачки B (Слика 11.2):

42032a

QkEE ,

2041l

QkEE ,

2

54

22aaal .

302014 cosl

Qak

l

a

l

QkEE x ,

xx EE 41 ,

30201412

2sin

l

Qak

l

a

l

QkEEE yy .

yl

a

aQkyEEEExEEEEEEE yyxx ˆ

2

42ˆˆ

3204132414321B

,

m

Vˆ6.655B yE

.

Потенцијали у тачкама А и B:

V0

2

2

2

2

2

2

2

2

40

30

20

10A

a

Qk

a

Qk

a

Qk

a

Qk .

l

Qk

a

Qk

a

Qk

l

Qk 4

03

02

01

0B

22

,

V0B .

Рад при пребацивању наелектрисања Q из тачке А у тачку B је

J0BA QA .

12. Три тачкаста наелектрисања 0A Q , BQ и BC QQ , налазе се у теменима квадрата

странице a , у средини чија је релативна диелектрична константа rε (слика 12). Одредити:

а) Непозната наелектрисања AQ , BQ и CQ , ако су познати потенцијали у тачкама М (четврто

теме квадрата) и N (центар квадрата), M и N ;

б) Интензитетe вектора електричног поља у тачкама М и N, ME и NE .

Познато је: cm20a , 2εr , V0M , V36.26N .

Напомена: Референтна тачка нултог потенцијала налази се у бесконачности.

Слика 12

________________________________________________________________________________

a) a

Qk

a

Qk

a

Qk

rrr

C0B0A0CMBMAMM

2 ,

V0M .

222222

C0B0A0CNBNANN

a

Qk

a

Qk

a

Qk

rrr ,

V36.26N .

Из прве једначине се добија:

BA 22 QQ ,

а пошто је BC QQ , из друге једначине и претходних услова се добија:

nC1

2122 0

NB

k

aQ r

,

nC82.2nC22A Q ,

nC1C Q .

b) Електрично поље у тачки М (слика 12.1):

Слика 12.1

2

B0B

a

QkE

r ,

2

C0C

a

QkE

r ,

2

A0A

2a

QkE

r ,

AAA2

2EEE yx ,

yEExEEE yx ˆˆ ABACM

.

m

V0M E

.

Електрично поље у тачки N (слика 12.2):

Слика 12.2

22

A0A

a

QkE

r ,

22

B0B

a

QkE

r ,

22

C0C

a

QkE

r ,

AAA2

2EEE yx ,

BB2

2EE x , BB

2

2EE y ,

CC2

2EE x , CC

2

2EE y ,

па је

yEEExEEEE yyyxxx ˆˆ CABBACN

,

yxa

QkE

r

ˆˆ4

2

B0N

,

m

Vˆˆ450N yxE

.

m

V2450N E , 43N .

Задатак је било могуће решити једноставније. Наиме, вектори BE и CE су истог правца и

интензитета а супротног смера па се њихови доприноси стварању електричног поља у тачки

N поништавају. Једини збирни вектор који учествује у формирању резултујућег електричног

поља је вектор АE . Зато је: AN EE .