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Tópicos Especiais em Tópicos Especiais em Processamento de Sinais Processamento de Sinais
BiológicosBiológicosCOB 860COB 860
Professores:
Antonio Fernando C. Infantosi
Maurício Cagy
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BibliografiaBibliografia “Signal Processing for Neuroscientists – An Introduction
to the Analysis of Physiological Signals”, Win Van Drongelen, 2007.
“EEG Signal Processing”, Saeid Sanei, J.A. Chambers, 2009.
Niedermeyer’s Electroencephalography – Basic Principles, Clinical Applications and Related Fields, 6th edition, Eds.: Donald L. Schomer, Fernando H. Lopes daSilva.
Eletroencefalografia, Eds.: Gomes e Bello, 2008.
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Introdução ao EEGIntrodução ao EEG
Ritmos do Eletroencefalograma:– Delta: 0 - 4 Hz;– Teta: 4 - 8 Hz;– Alfa: 8 - 12 Hz;– Beta: 12 - 32 Hz;– Gama: > 32 Hz.
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Figura ilustrando os principais ritmos do EEG
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NotasNotas
Ritmos EEG:– a) redes interconectadas, permitindo
sincronização de conjuntos de neurônios;– b) cada ritmo deve ser associado ao contexto de
um estado comportamental (não simplesmente à faixa de freqüências);
– c) é necessário o entendimento dos mecanismos celulares envolvidos nos diferentes tipos de oscilação.
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Geração de Ritmos SíncronosGeração de Ritmos SíncronosDois modos:
– Comando de uma estrutura central: marca-passo.
– Compartilhamento de informação entre neurônios, inibindo-se ou excitando-se mutuamente.
Walter Freeman: hipótese pioneira de que os ritmos neuronais servem à coordenação da atividade entre regiões do sistema nervoso, através de “surtos” de sincronização entre neurônios.
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EpilepsiaEpilepsia
Crises epilépticas são atividades cerebrais extre-mamente síncronas, que nunca ocorrem em circunstâncias normais padrões EEG de elevada amplitude.
Balanço delicado entre excitação e inibição sináptica no cérebro.
Crises de Ausência: < 30s - 3 Hz (perda de consciência , com sinais motores súbitos).
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SonoSono
Sono REM e Não-REMAcordado Sono Não-REM Sono REM
EEG Amplitude baixa,rápido
Alta amplitude,lento
Amplitude baixa,rápido
Sensação Vívido, geraçãoexterna
Nebuloso ouausente
Vívido, geraçãointerna
Pensamento Lógico,progressivo
Lógico, repetitivo Vívido, ilógico,bizarro
Movimento Contínuo evoluntário
Ocasional,involunt. (postura)
Atonia, exceçãomúsc. oculares
Mov. Rápido dosOlhos
Freqüente Raro Freqüente
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Ritmos do Sono
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FusosFusos
Marco da sincronização do EEG nos primeiros estágios do sono: ondas 7-14 Hz durando de 1 a 2 s, recorrência de 0,2 a 0,5 Hz.
Geração no Tálamo, mas sua sincronização é influenciada pelo córtex.
Núcleos reticulares (neurônios GABAérgicos cobrindo a superfície rostral, lateral e ventral do Tálamo): pacemaker.
Amplificação e recrutamento das freqüências dos fusos no Tálamo.
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Relação entre Fusos e Relação entre Fusos e Complexos Ponta-OndaComplexos Ponta-Onda
Evidências:– P-O aumentam durante estágio de fuso e são
atenuados ou suprimidos ao acordar;– Estimulação de projeções córtico-talâmicas na banda
dos fusos podem gerar P-O auto-sustentáveis.
Córtex cerebral levaria o tálamo à geração da epilepsia de complexos P-O.
~10Hz (fusos) 3Hz (P-O): aumento da duração dos potenciais inibitórios (Jasper, 1969: “papel de mecanismos inibitórios e não excitatórios”).
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Oscilações Lentas (<1Hz)Oscilações Lentas (<1Hz)Descritas em neurônios neocorticais de animais
anestesiados e, subseqüentemente, durante sono natural em animais e humanos.
Cetamina (bloqueador de receptores NMDA) / Xylazina (agonista de receptores 2): indutores de oscilações lentas.
Origem cortical:– permanência após talamectomia;– ausência no tálamo de animais decorticados;– ausência após desconexão de ligações intracorticais.
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Quais mecanismos estão Quais mecanismos estão envolvidos nos processos de envolvidos nos processos de
Sincronização?Sincronização?
Registros intracelulares duais in vivo revelaram que a sincronização de padrões EEG está associada à hiperpolarização simultânea de neurônios corticais
mecanismos inibitórios
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Complexos KComplexos K
Elemento eletroencefalográfico constituído por um transiente “positivo-superfície” rápido seguido de um componente “negativo-superfície” mais lento e, eventualmente, ondas fusas (estágio 2 do sono).
Evidências indicam que são a expressão de oscilações lentas espontâneas geradas pelo córtex.
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Ritmo DeltaRitmo Delta
Estágios 3 e 4 do sono (“sono-delta”).Oscilações lentas (<1Hz) Delta (1-4Hz):
– O.L.: córtex; : pelo menos um tipo originado no tálamo;– ondas são agrupadas pelas O.L.
Dois tipos de oscilações :– Cortical (persiste após talamectomia);– Talâmica (persiste no tálamo após decorticação).
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Ritmo Delta (cont.)Ritmo Delta (cont.)Oscilação potencializada e sincronizada por
uma rede envolvendo projeções córtico-talâmicas com uma ligação intermediária no núcleo reticular.
É bloqueado por pequenas doses de barbituratos e por seqüências de fusos.
Oscilações e fusos surgem com diferentes potenciais de membrana (-60mV -70mV).
Influências corticais facilitam o surgimento de oscilação em células tálamo-corticais.
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Ritmos Rápidos (20 - 50 Hz)Ritmos Rápidos (20 - 50 Hz)
“Ativação” - Moruzzi & Magoun (1949) estimularam o trato reticular de gatos anestesiados: HV-LF LV- HF (similar ao despertar natural).
Estudos posteriores relacionaram a presença de atividade 20-40Hz com aumento do estado de alerta.
Origem cortical, talâmica e, possivelmente, em outras estruturas sub-corticais (estudos de coerência).
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Ritmos Rápidos (cont.)Ritmos Rápidos (cont.)
Vários estudos investigam a presença de oscilações de 40 Hz: bulbo olfatório (Freeman, 1975); córtex visual (Gray et al., 1990); córtex (Steriade et al., 1991 e 1993; Jones, 1985).
O ritmo 40 Hz reflete uma condição de aumento difuso de vigília do cérebro (Steriade, 1993).
Presença de ritmo 40 Hz em neurônios corticais motores durante comportamento de atenção demonstrada por Murthy & Fetz (1992).
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Ritmo TetaRitmo Teta
Primeiro descrito no hipocampo de coelhos; faixa de 4-7 Hz.
Atividade teta normal pobre ou ausente em primatas, sendo negada por alguns autores (Brazier, 1968; Halgreen et al., 1979, 1985).
Não se deve confundir com as “ondas teta patológicas”, descritas por um alentecimento da atividade (e.g., redução do fluxo cerebral, encefalopatias metabólicas)
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Ritmo AlfaRitmo Alfa 8-13Hz: um dos elementos mais importantes do EEG,
com descrição desde Berger (1929). Não se conhecem os mecanismos celulares. Não se deve confundir com fusos, apesar da
superposição de freqüências: : vigília em relaxamento;– fusos: sono.
Opinião de relacionado a atenção visual reduzida desafiada por achados de aumento de atividade durante estimulação visual e tarefas de atenção.
Sugere-se geração e espalhamento no córtex cerebral.
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Teoria da Ressonância do EEG Teoria da Ressonância do EEG (Basar et al., 1995, 1999)(Basar et al., 1995, 1999)
Hipóteses:– EEG consiste da atividade de um conjunto de
geradores produzindo atividade em várias bandas de freqüência;
– Estes ritmos podem ocorrer também sem estimulações físicas, mas por fontes internas;
– A superposição de oscilações evocadas ou induzidas nos vários canais de freqüência do EEG resulta no Potencial Evocado.
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Concluem que a banda Gama (30-70 Hz) exerce o papel de elemento de comunicação entre estruturas cerebrais.
Achados confirmam que ritmos espontâneos do EEG, provavelmente respostas a fontes internas, aparecem em várias condições de comportamento, cognição e sensação.
Consideram as várias atividades rítmicas como “blocos” que acompanham eventos fisiológicos e psicológicos: combinação - comportamento complexo.
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O cérebro possui várias freqüências naturais de oscilação (, , , , ), que podem ocorrer espontaneamente, ou serem evocadas ou induzidas.
EEG não é um ruído: sugerem possibilidade de comportamento caótico.
As freqüências naturais são registradas a nível celular.
Relação: freqüências naturais - funções de transferência.
Transições do EEG de estados desordenados a ordenados.
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Susceptibilidade de resposta do cérebro: PEs internos PEs externos.
Superposição dos diferentes ritmos, que podem ser estabelecidos em fase, dependendo da natureza do estímulo.
“Código EEG”: oscilações seriam o alfabeto cerebral.
Os geradores do EEG são distribuídos seletivamente em todo o cérebro, havendo uma atividade integrada.
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Modelagem da Dinâmica do EEGModelagem da Dinâmica do EEG
Terminologia de Freeman (1975):– Conjuntos de neurônios KI (KIe e KIi);– KII: KIe + KIi;– KIII: 2 KII.
Modelagem Dinâmica:– Loops de Realimentação;– constantes de tempo das sinapses;– constantes de comprimento;– fatores de ganho.
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Modo-Onda Modo-Onda Modo-Pulso Modo-PulsoPotenciais pós-sinápticos podem ser considerados
como modo-onda, enquanto os potenciais de ação representam o modo-pulso.
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Propriedades de TransferênciaPropriedades de Transferência
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Exemplo de Simulação AlfaExemplo de Simulação Alfa
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Relevância da Análise Não-LinearRelevância da Análise Não-LinearVários estudos de modelagem: aproximação
linear.Negligencia importantes características não-
lineares do sistema, como geração de harmônicos.
Sistemas podem ter muitos estados de estabilidade: equilíbrio, ciclos limites e atratores caóticos (“estranhos”).
Transferência: modelos de redes locais de neurônios para modelos complexos espacialmente distribuídos.
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Condicionamento e Aquisição Condicionamento e Aquisição do EEGdo EEG
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Amplitude da ordem de V a dezenas de V; Bandas do EEG normal de adultos:
– Delta (0-4 Hz);– Teta (4-8 Hz);– Alfa (8-12 Hz);– Beta (12-32 Hz);– Gama (>32Hz);
Sistema Internacional 10-20 de posicionamento de eletrodos:
– 20 derivações monopolares; Derivações monopolares ou bipolares; Localização do eletrodo terra:
– FPz;– Nuca;
Referência (física ou virtual):– Lóbulos auriculares interligados;– Cz;– média dos lóbulos;– média de todos eletrodos;
Impedância dos eletrodos < 10 k;
Características Gerais do EEGCaracterísticas Gerais do EEG
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Condicionadores de Sinais para EEGCondicionadores de Sinais para EEG
Pré-Amplificador (Diferencial):– ganhos de 10 a 50;
Filtro Passa-Altas:– empregado quando se deseja remover DC e flutuações lentas;
Amplificador (2o. Estágio):– em geral, apresenta maior ganho (10 a 1000);– quando o equipamento fica ligado eletricamente ao ser humano, deve
incluir isolação; Filtro Passa-Baixas:
– pode servir como anti-aliasing para digitalização.
Pré-Amplificador Filtro Passa-Altas Amp. (2o. estágio) Filtro Passa-Baixas
V+
V-
Terra
T3 -
Cz -
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Pré-AmplificadorPré-Amplificador
Requisitos:– Alta Impedância de Entrada;
– Alta Rejeição de Modo Comum:
– Baixo viés e deriva térmica de tensão de entrada;
– Baixa deriva de corrente de entrada.
Desejável:– Ganho flexível;
– Elevada faixa de tensão de
alimentação• se possível, “rail-to-rail”;
– Baixo consumo;
– Baixo ruído;
– Baixo custo.
21
1ZZZ
ZVG
CMRR
VGVGV
i
ic
cdo
cG
GCMRR 10log20
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Topologia “Clássica”:– 3 Amplificadores Operacionais (1 Diferencial e 2 Buffers)
Pré-AmplificadorPré-Amplificador
Exemplos:CMRR Zi Vbias Vdrift Ibias
AD620 100 (G=10) 10 G < 50 V < 0,6 V/°C < 1 nA
INA129 100 (G=10) 10 G < 20 V < 0,4 V/°C <10 nA
2
3121
R
R
R
RG
ganho
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Filtro Passa-AltasFiltro Passa-Altas
Deve ser omitido quando DC for importante:– Extensometria e Células de Carga;– Termo-pares.
Importante com sinais eletrofisiológicos:– Potencial de meia-célula (interface com o eletrodo);– Artefatos de respiração e outros movimentos.
Elimina influência de viés e deriva de tensão e de corrente.
Arquitetura recomendada:– Bessel passivo ou ativo.
Quando a Interferência de Rede é muito elevada, deve-se cascatear um filtro Notch neste estágio.
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Segundo Estágio de AmplificaçãoSegundo Estágio de Amplificação Apresenta, geralmente, o maior ganho:
– Parte dos sinais indesejáveis que poderiam causar a saturação do sistema já foram eliminados no estágio anterior.
Em sistemas para sinais DC, pode ser omitido juntamente com o Filtro Passa-Altas:– Neste caso, o Amplificador Diferencial responderá pelo
Ganho Total; Sistemas eletricamente ligados ao sujeito:
– Amplificador de Isolação: Analógico: por transformadores, óticos e capacitivos; Digitais: CTF Acoplador Ótico ou Indutivo CFT. Exemplo: 3650/3652 (Burr-Brown – tipo ótico analógico)
Corrente Vazamento Impedância de Isolação Vmax Segura de Isolação
< 0,35 A 1 T 2000 Vp ou VDC
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Filtro Passa-BaixasFiltro Passa-Baixas
Importante na “separação” de sinais indesejáveis de
alta freqüência e interferências RF:– Atenuação do EMG na coleta de EEG;
– Atenuação de ruídos eletromagnéticos.
Assume o papel de filtro anti-aliasing no caso de
digitalização:– Taxa de amostragem deve considerar a freqüência que já
apresente elevada atenuação.
Arquitetura recomendada:– Bessel ativo, com ordem elevada.
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Minimização de Ruídos e ArtefatosMinimização de Ruídos e Artefatos
Uso de eletrodos não-polarizados, e com baixo potencial de “meia-célula”, como Ag/AgCl;
Uso de cabos blindados; Minimização / afastamento de possíveis fontes de
RF; Uso de Gaiola de Faraday; Realimentação tipo “Guarda de Entrada”.
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““Guarda de Entrada”Guarda de Entrada” Realimentação negativa da Tensão de Modo Comum
no próprio sujeito (deve se dar o mais distante possível dos eletrodos que captam o sinal).
![Page 42: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/42.jpg)
Proteção Contra Surtos de Proteção Contra Surtos de TensãoTensão
Protege o Condicionador de surtos de tensão causados, por exemplo, por desfibriladores ou equipamentos eletro-cirúrgicos.
0,6 V 3-20 V 50-90 V
![Page 43: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/43.jpg)
Conversão Analógico-Digital (CAD)Conversão Analógico-Digital (CAD)
Faixa Dinâmica (em volts) Resolução – no. de bits (NOB);
– NOB Efetivo (ENOB): depende da razão sinal-ruído;
Sistemas multi-canais:– “sample-and-hold”?
Taxa de amostragem: Nyquist; Acurácia:
– Erro de quantização;– Não-Linearidade.
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Considerações PráticasConsiderações Práticas
Amplitude muito pequena de grande parte dos sinais biomédicos utilização de componentes SMD, trilhas curtas e placas de pequenas dimensões;
Em sistemas multicanais, as placas de cada canal devem ser separadas das vizinhas por planos de terra – minimizar cross-talking;
Digitalização:– a resolução do CAD (no. de bits faixa dinâmica) deve
ser considerada no dimensionamento do ganho total do condicionador;
– emprego de filtragem Notch digital.
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Bases Teóricas para o Bases Teóricas para o Processamento do EEGProcessamento do EEG
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Função Delta de KroneckerFunção Delta de KroneckerFunção Delta de KroneckerFunção Delta de Kronecker
][n
]2[ n
k
knkxnnxnx ][][][][][
Elemento neutro da convolução:
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Convolução com a Função DeltaConvolução com a Função DeltaConvolução com a Função DeltaConvolução com a Função Delta][]0[ nx
]2[]2[ nx
k
knkxnnxnx ][][][][][
]1[]1[ nx
]3[]3[ nx
]4[]4[ nx
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Transformada de FourierTransformada de FourierTransformada de FourierTransformada de FourierDiscrete-Time Fourier Transform (DTFT):
Discrete Fourier Transform (DFT):– Assunção de que o trecho de sinal analisado é
periódico espectro discreto;
Algoritmo rápido: Fast Fourier Transform (FFT).
1
0
)/2(][N
n
nNjkk enxa
2
)(][][)( deXnxenxX nj
n
nj
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Transformada Discreta a Transformada Discreta a Cosseno Cosseno
Transformada Discreta a Transformada Discreta a Cosseno Cosseno
Família das transformadas reais;Base do método JPEG de compressão de
imagens;DCT:
v k k u nn k
Nk N
Nk
Nk N
n
N
[ ] [ ] [ ]cos( )
,
[ ] , [ ] ,
2 1
20 1
01 2
1
0
1
onde
para 1
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Função de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoPara um sinal x[n] qualquer:
onde E{...} refere-se à esperança matemática e (*) refere-se ao complexo conjugado.
Para x[n] estacionário:
Para x[n] ergódico:•
• rxx[m] = rxx[-m]
• rxx[0] = E{|x[n]|2} = v.m.q.(x) = x2 se DC=0.
][][],[ * mnxnxEmnrxx
][][][ * mnxnxEmrxx
1*
2
2
][][1
lim][N
NnNxx mnxnx
Nmr
![Page 51: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/51.jpg)
Função de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoEstimador Não-Tendencioso:
Estimador Tendencioso:
tem a vantagem de ser uma função positiva semidefinida.
][][)(
1][ˆ][ˆ *
1
0
mnxnxmN
mrmrmN
nxxxx
][][1
][ˆ][ˆ *1
0
mnxnxN
mrmrmN
nxxxx
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Densidade Espectral de Densidade Espectral de PotênciaPotência
Densidade Espectral de Densidade Espectral de PotênciaPotência
Definição: transformada de Fourier da FAC:
Significância estatística da estimação espectral;
Variância resolução espectral;Para sinais ergódicos:
2
2][)12(
lim)(M
Mn
fnTj
Mxx enx
M
TEfP
][)( mrFfP xxxx
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Densidade Espectral de Densidade Espectral de PotênciaPotência
Densidade Espectral de Densidade Espectral de PotênciaPotência
Sinal finito;Bartlett: promediação da DFT de vários
segmentos do sinal;corresponde à aplicação de janelas
retangulares: “leakage” (vazamento);Welch: utilização de janelas Hann com
superposição de 50%;
![Page 54: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/54.jpg)
Periodograma de WelchPeriodograma de WelchPeriodograma de WelchPeriodograma de Welch
( )~
( )( )P fP
P fW xxp
p
P
1
0
1
~( ) ( )( ) ( )P f
UDTX fxx
p p1 2
U T w nn
D
2
0
1
[ ]
![Page 55: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/55.jpg)
Ruído BrancoRuído BrancoRuído BrancoRuído Branco
Definição: sinal cuja autocorrelação vale
Portanto: Pww( f ) = w2
Caso w[n] seja gaussiano, suas amostras, além de descorrelacionadas, são independentes...
][][ 2 nmr wxx
![Page 56: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/56.jpg)
Modelagem Auto-RegressivaModelagem Auto-RegressivaModelagem Auto-RegressivaModelagem Auto-Regressiva
DEP: significância resolução uso de modelos;
Modelos ARMA, MA e AR;AR mais comumente utilizado;Modelo AR genérico de ordem m:
][][][][1
nuknxkanxm
k
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Equações de Yule-WalkerEquações de Yule-WalkerEquações de Yule-WalkerEquações de Yule-WalkerBuscam-se os coeficientes a[k] que
minimizam a variância (energia) do erro:
Solução das equações de Yule-Walker (para sinais estacionários):
22][ nuE
r r r m
r r r m
r m r m r
a
a m
xx xx xx
xx xx xx
xx xx xx
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
* *
*
0 1
1 0 1
1 0
1
1 0
0
0
0
2
![Page 58: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/58.jpg)
Equações de Yule-Walker Equações de Yule-Walker (cont.)(cont.)
Equações de Yule-Walker Equações de Yule-Walker (cont.)(cont.)
A partir dos coeficientes auto-regressivos, pode-se obter a DEP através do Método da Máxima Entropia (MEM):
2
1
2
2
][1
)(
p
k
fkTj
MEM
eka
TfP
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Equações de Yule-Walker Como um Equações de Yule-Walker Como um Método de Mínimos QuadradosMétodo de Mínimos Quadrados
Equações de Yule-Walker Como um Equações de Yule-Walker Como um Método de Mínimos QuadradosMétodo de Mínimos Quadrados
Minimização da energia de u[n]:
Xa = x
]1[]3[]2[
]0[]2[]1[
0]3[]2[
00]0[
mNxNxNx
xmxmx
mxmx
x
X
]1[
]1[
Nx
x
x
][
]2[
]1[
ma
a
a
a
Xa)(xXa)(x t
Nnu
Ns
N
nu
1][
1ˆ1
0
22
xXX)(Xa t1t
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Seleção da Ordem do ModeloSeleção da Ordem do ModeloSeleção da Ordem do ModeloSeleção da Ordem do Modelo Critérios tipo função-custo (a serem minimizados):
– Final Prediction Error (Akaike, 1970):
– Akaike Information Criterion (Akaike, 1974):
– Minimum Description Length (Rissanen, 1978):
– Criterion Autoregressive Transfer Function (Parzen, 1976):
mmN
mNmFPE ̂][
mNmAIC m 2ˆln][
NmNmMDL m lnˆln][
ii
m
i mi N
N
NmCAT
ˆ
1~onde,~
1~11
][1
![Page 61: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/61.jpg)
Função de Correlação CruzadaFunção de Correlação CruzadaFunção de Correlação CruzadaFunção de Correlação CruzadaPara x[n] e y[n] ergódicos:
• rxy[m] rxy[-m] não é necessariamente par;
• rxy[m] = ryx*[-m];
•
Estimadores:
1*
2
2
][][1
lim][N
NnNxy mnynx
Nmr
][][)(
1][ˆ *
1
0
mnynxmN
mrmN
nxy
][][1
][ˆ *1
0
mnynxN
mrmN
nxy
irrir yyxxxy 21
]0[]0[][
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Espectro CruzadoEspectro CruzadoEspectro CruzadoEspectro CruzadoDefinição: transformada de Fourier da
Função de Correlação Cruzada:
• como rxy[m] não é necessariamente par, Pxy( f ) não é puramente real;
•
Para sinais ergódicos:
M
Mn
fnTjM
Mn
fnTj
Mxy enyenx
M
TEfP 2*2 ][][
)12(lim)(
][)( mrFfP xyxy
ffPfPfP yyxxxy 21
)()()(
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Coerência EspectralCoerência EspectralCoerência EspectralCoerência EspectralDefinição: Espectro Cruzado normalizado
pela raiz do produto das DEPs:
– como Pxy( f ) é complexo, a coerência também o é.
Magnitude Quadrática da Coerência (MSC):
)()(
)()(
fPfP
fPf
yyxx
xyxy
)()(
)()()(
2
22
fPfP
fPff
yyxx
xy
xy
![Page 64: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/64.jpg)
Respostas Induzidas e EvocadasRespostas Induzidas e EvocadasRespostas Induzidas e EvocadasRespostas Induzidas e EvocadasTipos de sincronização:
– no tempo: time-locked respostas “induzidas”: ERD/ERS ou ERSP; TFE (uma modalidade de ORD).
– na fase: phase-locked respostas “evocadas”: Média coerente; Técnicas de Detecção Objetiva de Respostas
(ORD).
![Page 65: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/65.jpg)
Média CoerenteMédia CoerenteMédia CoerenteMédia CoerentePressupõe que haja uma parcela consistente de sinal
a cada época pós-estímulo embebida por um ruído de média nula:
• quando• Marcação do gatilho (trigger):
• Atrasos sistemáticos;• Atrasos aleatórios (Jittering).
][][][ nrnsnx ii
M
ii
M
i
M
ii nr
Mns
Mnx
Mns
111
][1
][1
][1
][̂
][][̂ nsns M
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y
x
M
ii
y
M
ii
x
yy
xx
fYM
fXM
fP
fPfTFE
1
2
1
2
)(~1
)(~1
)(ˆ)(ˆ
)(yx MMFfTFE 2,2~)(
M
iii
M
ii
xx
xx
ffnXffnXM
fnXM
ffnffnP
fnPfnTFE
1
2
0
2
0
1
2
0
00
00
).(~
).(~
21
).(~1
]).[],.([ˆ).(ˆ
).(
MMFfTFE 4,2~)(
Teste F Espectral (TFE)Teste F Espectral (TFE)Razão de Potências ou de DEP:
Sob H0 (ausência de resposta):
![Page 67: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/67.jpg)
Medida de Sincronismo de Medida de Sincronismo de Componentes (CSM)Componentes (CSM)
Mede a consistência da fase da componente de freqüência em questão:
Sob H0 (ausência de resposta):
2
1
2
1
)(sin1
)(cos1
)(
M
ii
M
ii f
Mf
MfCSM
MfCSM
2~)(
22
![Page 68: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/68.jpg)
Magnitude Quadrada da Magnitude Quadrada da Coerência (MSC)Coerência (MSC)
A MSC entre um sinal periódico e um sinal aleatório depende apenas do último e pode ser reescrita como:
Sob H0 (ausência de resposta): Sob H1 (presença de resposta):
M
jj
M
jj
fXM
fX
fMSC
1
2
2
1
)(~
)(~
)(
1,1~)( MfMSC
,22,222
,22,222
)(1/())((11
)(1/())((1
Mcrit
Mcritcrit FffMM
FffMMSC
)(1
)(42
)(1)(
22 2
22
2
2
ff
Mf
fM
![Page 69: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/69.jpg)
Detector de Potenciais Evocados (EPD) Inspira-se na MSC como ORD, mas refere-se ao domínio do
tempo:
Sob H0 (ausência de respostas), EPD segue uma distribuição
Beta:
– EEG como um ruído branco: EPD ~ N / 2, N (M-1)/2
– EEG como um ruído colorido: EPD ~ Nfit / 2, Nfit (M-1)/2,
onde Nfit é ajustado com base na FAC do EEG…
1
1
2
12
1
][
][
Nn
nn
M
jj
Nn
nn
M
jj
i
i
i
i
nxM
nx
EPD 1 SNRSNREPD
![Page 70: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/70.jpg)
ERD/ERS em Função do TFE Considerando-se x[n] como o sinal de referência e y[n] como
o sinal durante indução de resposta:
Sob H0 (ausência de respostas) :
x
y x
M
ii
M
i
M
iii
yx
fX
fXfY
f
1
2
1 1
22
)(
)()(
100)(̂
1
)(
)(
100)(ˆ
1
2
1
2
x
y
M
ii
M
ii
yx
fX
fY
f
yx MMyx Ff 2,2~1100/)(ˆ
![Page 71: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/71.jpg)
Variância e CovariânciaVariância e CovariânciaVariância e CovariânciaVariância e CovariânciaPara um sinal x[n] ergódico:
onde E{...} refere-se à esperança matemática.
Analogamente, a covariância entre 2 sinais x[n] e y[n] 0 é definida por:
222
222
2
]0[][
][][
][][]0[])[var(
xxxx
xx
xx
rnxE
nxEnxE
nxEnxEcnx
yxxyyx
xy
rnynxE
nyEnynxEnxEcnynx
]0[][][
][][][][]0[])[],[cov(
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Matriz de CovariânciaMatriz de CovariânciaMatriz de CovariânciaMatriz de CovariânciaSejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n]:
Se os sinais são todos reais, C é uma matriz simétrica, que pode ser dada por:
onde X é uma matriz (N k) cujas colunas são os sinais subtraídos de suas respectivas médias.
1
N
XXC
t
kk
kk
kk
xNxxNxxNx
xxxxxx
xxxxxx
]1[]1[]1[
]1[]1[]1[
]0[]0[]0[
2211
2211
2211
X
]0[]0[]0[
]0[]0[]0[
]0[]0[]0[
21
22212
12111
kkkk
k
k
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
ccc
ccc
ccc
C
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Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)
Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n] correlacionados entre si (não ortogonais):• sua matriz de covariância C não é diagonal.
Existe um conjunto de k outros sinais descorrelacionados entre si (ortogonais e de média nula), s1[n] a sk[n] (componentes principais), tais que:
Problema: achar A e S...
tt SAX
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Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Multiplicando-se ambos os lados por X:
– mas os sinais si[n] são ortogonais por pressuposição, de modo que StS é uma matriz diagonal. Dividindo-se ambos os lados por N1, tem-se que:
o que evidencia que A é a matriz que diagonaliza ortogonalmente C:
• decomposição por auto-valores e auto-vetores de C.
tttt ASSAXSAXX
tADAC
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Incerteza, Informação e Incerteza, Informação e EntropiaEntropia
Incerteza, Informação e Incerteza, Informação e EntropiaEntropia
Sejam k e x variáveis aleatórias (discreta e contínua respectivamente). A “Quantidade de Informação” (I) de uma observação é dada por:
– A Entropia de Shannon é o valor esperado de I:
)(log)(
1log)()(log
)(
1log)( tb
tbtib
ibi xpdf
xpdfxIkp
kpkI
dxxpdfxpdfxIExH
kpkpkIEkH
t
ib
n
iii
)(ln)()()(
)(log)()()(1
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Propriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaContinuidade;Valor máximo (p.ex. var. discreta):
Entropia conjunta:
Se k e l são independentes:
1
1,...,
1
1,
1
11,...,
1,
1
1,...,
1,
1,...,,
1
21
nnnH
nnnH
nnnHpppH
nn
nnn
),()()|()()|(, klHkHklHlHlkHlkH
)()|()()|( lHklHkHlkH
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Propriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaExemplo:
– Processo de Bernoulli: k1 = 0;
k2 = 1;
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Informação MútuaInformação MútuaInformação MútuaInformação MútuaH(k): medida de incerteza da variável k;H(k|l): incerteza remanescente de k após se
observar l;Informação Mútua:
– representa a quantidade de incerteza sobre k que foi resolvida ao se observar l.
– se k e l são independentes:
0);()|()()|()(; klIklHlHlkHkHlkI
0)()()|()(; kHkHlkHkHlkI
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Análise de Componentes Independentes Análise de Componentes Independentes (ICA)(ICA)
Análise de Componentes Independentes Análise de Componentes Independentes (ICA)(ICA)
Análoga à PCA mas visa a componentes estatisticamente independentes:– Minimização da Informação Mútua:
Ex.: Algoritmos baseados na Medida de Divergência de Kullback-Leibler;
– Maximização da Não-Gaussianidade: Curtose: ; Negentropia J(pdf(x)) = H(N(0,))H(pdf(x,)).
– Algoritmos comuns: Infomax (Redes Neurais, Maximização da Entropia); JADE (cumulantes de 4a. Ordem – Curtose); FastICA (PCA Maximização de Não-Gaussianidade via
função não-linear)...
3
)(
)()(
22
4
xE
xExCurtEx
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FiltrosFiltrosFiltrosFiltros
Sinal + ruído ou interferência;Interferência da rede (60Hz);Interferência de outros sinais fisiológicos;Coincidência dos espectros do sinal e do
ruído;Uso de filtros: IIR FIR.
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Filtro Passa-Baixas IdealFiltro Passa-Baixas IdealFiltro Passa-Baixas IdealFiltro Passa-Baixas Ideal
.,0
,0,1)(
C
CdH
nn
dnnh CdLP
C
sen1
cos22
1][
0
CcC
dLPndLP nhh
)0cos(
])[(lim]0[ 0
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Filtro Passa-Altas IdealFiltro Passa-Altas IdealFiltro Passa-Altas IdealFiltro Passa-Altas Ideal
.,1
,0,0)(
C
CdH
nn
nh CdHP sen1
][
CcC
dHPndHP nhh
1)0cos()0cos(
])[(lim]0[ 0
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Filtro Passa-Faixa IdealFiltro Passa-Faixa IdealFiltro Passa-Faixa IdealFiltro Passa-Faixa Ideal
.,0
,,1
,0,0
)(
2
21
1
C
CC
C
dH
)sen(sen1
cos22
1][ 12
2
1
nnn
dnnh CCdBP
C
C
121122
0
)0cos()0cos(])[(lim]0[ CCCCCC
dBPndBP nhh
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Filtro Rejeita-Faixa IdealFiltro Rejeita-Faixa IdealFiltro Rejeita-Faixa IdealFiltro Rejeita-Faixa Ideal
.,1
,,0
,0,1
)(
2
21
1
C
CC
C
dH
)sen(sen1
][ 12 nnn
nh CCdBS
12
0 1])[(lim]0[ CCdBSndBS nhh
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Filtros FIR - Método de Filtros FIR - Método de JanelasJanelas
Filtros FIR - Método de Filtros FIR - Método de JanelasJanelas
Idéia: truncar a resposta ao impulso ideal hd[n] correspondente a uma janela retangular no domínio da freqüência;
Fenômeno de Gibbs (janela retangular) emprego de outras janelas;
2
0
)(2
1][ deHnh nj
dd
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Truncamento simples (Janela Truncamento simples (Janela Retangular)Retangular)
Truncamento simples (Janela Truncamento simples (Janela Retangular)Retangular)
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Outras JanelasOutras JanelasOutras JanelasOutras Janelas
Hann:
Hamming:
Blackman:
w nn
Msen
n
MN [ ] cos
1
21
2 2
w nn
MM [ ] , , cos 0 54 0 462
w nn
M
n
MB[ ] , , cos , cos 0 42 0 52
0 084
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Comparação de filtros projetados Comparação de filtros projetados a partir das diferentes janelas:a partir das diferentes janelas:
Comparação de filtros projetados Comparação de filtros projetados a partir das diferentes janelas:a partir das diferentes janelas:
Janela Banda de
Transição (2/M)
Ripple máximo na
banda de rejeição (dB)
Retangular 0,9 -21
Hann 3,1 -44
Hamming 3,3 -53
Blackman 5,5 -74
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Comparação (Hann - linha contínua, Comparação (Hann - linha contínua, Hamming - pontilhada, Blackman - Hamming - pontilhada, Blackman -
tracejada)tracejada)
Comparação (Hann - linha contínua, Comparação (Hann - linha contínua, Hamming - pontilhada, Blackman - Hamming - pontilhada, Blackman -
tracejada)tracejada)
![Page 90: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/90.jpg)
Janela KaiserJanela KaiserJanela KaiserJanela KaiserFamília de curvas com parâmetros flexíveis
(dependendo de ;
onde I0( ) é a função de Bessel modificada de primeira ordem.
w n
I n M
In MK[ ]
( / )
( ), , , ,...,
02
0
1 1 20 1 2
para
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Comparação - Kaiser Comparação - Kaiser (diferentes valores de (diferentes valores de
Comparação - Kaiser Comparação - Kaiser (diferentes valores de (diferentes valores de
Parâmetro Banda de
Transição (2/M)
Ripple máximo na
banda de rejeição (dB)
2,0 1,5 -29
3,0 2,0 -37
4,0 2,6 -45
5,0 3,2 -54
6,0 3,8 -63
7,0 4,5 -72
8,0 5,1 -81
9,0 5,7 -90
10,0 6,4 -99
![Page 92: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/92.jpg)
Filtros FIR Passa-Baixas, Passa-Filtros FIR Passa-Baixas, Passa-Altas, Passa-Faixa e Rejeita-FaixaAltas, Passa-Faixa e Rejeita-FaixaFiltros FIR Passa-Baixas, Passa-Filtros FIR Passa-Baixas, Passa-
Altas, Passa-Faixa e Rejeita-FaixaAltas, Passa-Faixa e Rejeita-Faixa
Fase linear resposta ao impulso simétrica ou anti-simétrica;
Simétrica: Anti-simétrica:
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Filtro FIR Filtro FIR Filtro FIR Filtro FIR Trunca-se a resposta ideal do filtro do tipo
desejado;Ordem par (comprimento ímpar):
Ordem ímpar (comprimento par):
2,...,0,...,
2 para ,
2].[
2
NNn
Nnwnh
Nnh d
h nN
h n w nN
nN N
d
2 2 2
0 5 0 52
[ ]. , ,..., , , , ,..., para
![Page 94: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/94.jpg)
Filtros FIR Passa-Altas e Filtros FIR Passa-Altas e Rejeita-FaixaRejeita-Faixa
Filtros FIR Passa-Altas e Filtros FIR Passa-Altas e Rejeita-FaixaRejeita-Faixa
Polinômios simétricos de ordem ímpar apresentam raiz em –1 (ej);
Este zero determina resposta nula na freqüência de Nyquist;
Logo, filtros FIR passa-altas e rejeita-faixa não podem possuir ordem ímpar.
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (FIR-Kaiser)(FIR-Kaiser)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (FIR-Kaiser)(FIR-Kaiser)
Especificações: ripple e limite(s) da faixa de passagem e ripple e limite(s) da faixa de rejeição;
ripple ajustado através do parâmetro e largura do lobo principal, através da ordem do filtro;
Janela Kaiser pode-se adequar a, praticamente, qualquer especificação;
![Page 96: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/96.jpg)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Faixa de passagem: A’p ripple máximo, delimitada por p (oup1p2);
Faixa de rejeição: A’r de atenuação mínima, delimitada por r (our1r2);
Pode-se projetar um filtro com banda de transição Bt e ripples:
A
A
p
r
201
120
10
10
log
log
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
![Page 98: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/98.jpg)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
1) Freqüência(s) de corte: distanciada(s) de Bt /2 do(s) limites da faixa de passagem;
2) Escolha de :
min( , )1 2
10 05
2
0 05
0 0510
10 1
10 1
,
,
,
'
'
'A
A
Ar
p
p
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
3) Cálculo de Ar:
4) Escolha de :
Ar 20 10log
0 21
0 5842 21 0 07886 21 50
0 1102 8 7 50
0 4
para
para 21
para
A ,
A A A
A A
r
r r r
r r
, ( ) , ( ) ,
, ( , ) ;
,
![Page 100: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/100.jpg)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
5) Escolha do parâmetro D:
6) Ordem N:
D
A
AA
r
rr
0 9222 21
7 95
14 3621
, ,
,
,;
para
para
ND
Bt
2
1
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Filtro IIR ButterworthFiltro IIR ButterworthFiltro IIR ButterworthFiltro IIR Butterworth
Maximamente plano;Filtro passa-baixas:
n
c
jH2
2
1
1)(
)().()().()( *2 jHjHjHjHjH
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Filtro IIR Butterworth (cont.)Filtro IIR Butterworth (cont.)Filtro IIR Butterworth (cont.)Filtro IIR Butterworth (cont.)
Fazendo-se s=j ,
n
cj
ssHsH
2
1
1)().(
)()1( 2/1c
nk js
![Page 103: T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando C. Infantosi Maurício Cagy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062623/552fc10b497959413d8c2d78/html5/thumbnails/103.jpg)
Filtros IIR ChebychevFiltros IIR ChebychevFiltros IIR ChebychevFiltros IIR Chebychev
Filtros equiripple: Chebychev I - faixa de passagem; Chebychev II - faixa de rejeição;
Passa-baixas normalizado do tipo I:
Cn() é o polinômio de Chebychev de ordem n;
)(1
1)(
22
2
nCjG
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Filtro IIR Chebychev (cont.)Filtro IIR Chebychev (cont.)Filtro IIR Chebychev (cont.)Filtro IIR Chebychev (cont.)
Definição dos polinômios de Chebychev:
1,)cosh.cosh()(
e
10),cos.cos()(
1
1
nC
nC
n
n
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Filtros IIR Chebychev (cont.)Filtros IIR Chebychev (cont.)Filtros IIR Chebychev (cont.)Filtros IIR Chebychev (cont.)
Relação de recorrência para os polinômios de Chebychev:
1.2)(e)(sendo
,0)()(..2)(2
21
11
CC
CCC nnn
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Transformações Espectrais Transformações Espectrais para Filtros Analógicospara Filtros Analógicos
Transformações Espectrais Transformações Espectrais para Filtros Analógicospara Filtros Analógicos
Filtros passa-baixas normalizados para quaisquer tipos de filtros;
Freqüência de corte:– Butterworth : 3dB;– Chebychev : final da faixa de passagem (dB);
s f s ( )
10 1 110log ( / ( ))
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Transformações Espectrais Transformações Espectrais (cont.)(cont.)
Transformações Espectrais Transformações Espectrais (cont.)(cont.)
Tipo de Filtro Transformação s f s ( )
Passa-Baixas css /
Passa-Altas ss c /
Passa-Faixa )( 12
212
s
ss
Rejeita-Faixa 21
212 )(
s
ss
H s H sdesejada normalizada s f s( ) ( ) ( )
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Transformação BilinearTransformação BilinearTransformação BilinearTransformação Bilinear
Passar do domínio s (analógico) para o domínio z (digital);
Definição:
sT
z
z
2 1
1
1
1
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Transformação Bilinear (cont.)Transformação Bilinear (cont.)Transformação Bilinear (cont.)Transformação Bilinear (cont.)
Warping:
Solução: pre-warping - se o filtro digital é caracterizado pelas freqüências i, o filtro analógico deve possuir suas freqüências correspondentes em:
2tan
2 1 T
T
2tan
2 T
Ti
i
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Efeito Efeito WarpingWarpingEfeito Efeito WarpingWarping
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (IIR)(IIR)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (IIR)(IIR)
Funções do Matlab (butter e cheby1);Especificações: ripple e limite(s) da faixa de
passagem e ripple e limite(s) da faixa de rejeição;
Faixa de passagem: Rp ripple máximo, delimitada por p (oup1p2);
Faixa de rejeição: Rs de atenuação mínima, delimitada por r (our1r2);
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
1) pre-warping das freqüências limites do filtro digital desejado;
2) Obter um filtro passa-baixas normalizado:
P
SA
:baixas-passa
S
PA
:altas-passa
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
1,2= para ,)(
:faixa-passa12
212
iPPSi
PPSiAi
1,2= para ,)(
:faixa-rejeita21
212 i
PPSi
PPSiAi
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
3) Determinação da ordem; para passa-faixa e rejeita-faixa, pega-se o menor dos Ai :– Butterworth:
– Chebychev: A
R
R
p
s
N10
.1,0
.1,0
10
log2
110
110log
A
R
R
p
s
N1
.1,0
.1,01
cosh110
110cosh
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
4) Exclusivamente para Butterworth: 4.a) achar freqüência de 3dB:
4.b) voltar ao modelo analógico:
N R
A
s2 11,00
10
PC
0 :baixas-passa
0
:altas-passa P
C
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
)(2
)(4
)(2
)(4
:faixa-passa
120
212
12
20
2
120
212
12
20
1
PPPPPPC
PPPPPPC
0
212
02
12122
0
212
02
12121
2
4)(
2
4)(
:faixa-rejeita
PPPPPPC
PPPPPPC
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Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)
4.c) Voltar ao domínio digital:
onde, para filtros passa-faixa e rejeita-faixa, i=1,2.
Cici
1tan2
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Filtro Filtro NotchNotch Digital DigitalFiltro Filtro NotchNotch Digital DigitalEstrutura básica de segunda ordem:
22
2
cos2
1cos2)(
rrz
zzH
n
n