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Systemes mecaniques avec frottement :modeles et simulation
F. Cadoux, collab. V. Acary, C. Lemarechal et J. Malick
Inria Rhone-Alpes, equipe-projet Bipop
Seminaire Bipop-Casys13 Novembre 2008
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Objectif
On considere un systeme mecanique avec . . .
• des contraintes unilaterales
• des frottements
• PAS d’impacts pour simplifier (chocs mous)
On veut :
• modeliser le frottement
• formuler le probleme (discretise)→ ecrire l’equation du mouvement
• simuler la dynamique→ resoudre l’equation du mouvement
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Applications
• genie civil (materiaux granulaires, maconnerie non-cohesive)
• automobile (pneus, “crash-tests”)
• informatique graphique (cheveux . . . )
• robotique, . . .
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Mecanique non-reguliere (1)
Situation plus compliquee qu’en mecanique lagrangienne !
pendule rigide pendule a fil inextensible
M ∈ {x : ‖x‖ = 1} M ∈ {x : ‖x‖ ≤ 1}
meca. lagrangienne meca. non-reguliere(sous-variete de R2) (union de sous-varietes)
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Mecanique non-reguliere (2)
Non-regularite. . . :
• spatiale (→ detection de collision)
• temporelle (→ integration en temps par time-stepping)
• en loi (loi de frottement “multivaluee”)
Aujourd’hui, on considere la non-regularite en loi.
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Vocabulaire, notations
En mecanique lagrangienne
θ
(x, y)
q := (θ, x, y)
• inconnues :• coordonnees generalisees q ∈ Rm
• vitesses generalisees v := q ∈ Rm
• equation du mouvement : M(q) v + f (t, q, v) = 0
• equation du mouvement discretisee (systeme lineaire) :
Mv + f = 0
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Vocabulaire, notations
En mecanique non-reguliere :
(x, y)
q := (θ, x, y)θ
u r
• inconnues : q, q ∈ Rm et u, r ∈ Rnd (si n contacts)
• equation du mouvement discretisee :Mv + f = H>ru = Hv + w(u, r) ∈ S “de dimension d”
ou S represente les couples compatibles avec la loi de frottement.
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Plan
1 Modeles de frottement
2 Formulations de la loi de Coulomb
3 Approche par complementarite
4 Illustration numerique
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Plan
1 Modeles de frottement
2 Formulations de la loi de Coulomb
3 Approche par complementarite
4 Illustration numerique
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Tribologie
“Tribologie” : science du frottement
• modele de frottement : couples (u, r) ∈ S admissibles
• differents modeles,
• capturant des phenomenes physiques differents
Trois exemples : frottement . . .
• visqueux
• de Tresca
• de Coulomb
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Frottement visqueux
Pour α ∈ R+ fixe (parametre physique) : r = −αu.
• simple, facile a utiliser
• acceptable en general pour les fluides
• . . . mais pas pour les solides :ne capture pas le phenomene de seuil
• → jamais d’adherence
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Frottement de Tresca
Pour θ ∈ R+ fixe (parametre physique) :
• soit (adherence) ‖rT‖ ≤ θ et uT = 0
• soit (glissement) ‖rT‖ = θ et uT oppose a rT
∃α ≥ 0 : rT = −αuT
• ne capture pas l’augmentation du frottement avec rN
rT
uT = 0
rT
uT
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Frottement de Coulomb (1)
Pour µ ∈ R+ fixe (parametre physique) :
• soit (decollement) uN > 0 et r = 0
• soit (adherence) u = 0 et rT ≤ µrN
• soit (glissement) uN = 0, rT = µrN et rT oppose a uT
∃α ≥ 0 : rT = −αuT
Remarque : r appartient a un cone K = {r : rT ≤ µrN}.
r = 0 r ∈ ∂Kr ∈ K
uN > 0 u = 0 uN = 0
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Frottement de Coulomb (2)
Avantages : capture . . .
• le phenomene de seuil
• l’augmentation du frottement avec rN
Inconvenients :
• µ “pas vraiment constant” en realite : µ↘ quand rN ↗• µ statique > µ dynamique
• plus precisement : µ↗ quand u ↘Neanmoins :
• souvent bon compromis realisme / simplicite
• → on utilise cette loi
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Plan
1 Modeles de frottement
2 Formulations de la loi de Coulomb
3 Approche par complementarite
4 Illustration numerique
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Formulation disjonctive
Problemes :
• pas tres pratique
• suggere de considerer 3n cas (si n contacts)→ cout exponentiel
• probablement une mauvaise idee si beaucoup de contacts
Reformulations :
• par potentiel convexe (?)
• fonctionnelle
• par ”argmin”
• par complementarite
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Formulation par potentiel convexe
• loi multivaluee r ∈ f (u)
• peut-on la representer par un potentiel convexe ?
r ∈ ∂ψ(u)
• non ! (theoreme du a T. Rockafellar)
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Formulation(s) fonctionnelle(s) (1)
Peut-on exprimer la loi de Coulomb comme f (u, r) = 0 ?
• oui ! Et il y a de nombreuses possibilites, par exemple :
u := u + µ‖uT‖e ∈ K ∗
r = PK (r − ρu) (ρ > 0)
• formule explicite pour PK (!!!)
K
u
r
u
r
K∗
e e
K
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Formulation(s) fonctionnelle(s) (2)
En effet si r = PK (r − ρu) :
• soit (adherence) r ∈ int(K ) alors u = 0 donc u = 0
• soit (decollement) r = 0 alors −u ∈ K ◦ donc uN ≥ 0
• soit (glissement) r ∈ ∂K et u ∈ NK (r) donc uN = 0 et uT
oppose a rT
r = 0
u = 0
r
K K K
K◦
K◦
K◦
−u −u
r
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Formulation(s) fonctionnelle(s) (3)
Avantages :
• se prete bien a l’algorithme de Newton (non-regulier)
• evaluations de f et ∇f peu couteuses
• convergence super-lineaire en pratique (malgre le caracterenon-regulier)
• reste utilisable si le probleme est non-lineaire
Inconvenients :
• convergence locale
• couteux en memoire
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Formulation par un argmin (1)
On peut aussi exprimer la loi de Coulomb comme
(u, r) ∈ argmin φ(u, r)
• idee : pour une formulation fonctionnelle f (u, r) = 0, poser
φ(u, r) :=1
2‖f (u, r)‖2
• il existe des fonctions φ qui ne sont pas de cette forme
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Formulation par un argmin (2)
Avantages :
• le probleme d’optimisation est “raisonnable”
• on beneficie de la stabilite des algorithmes de descente
• econome en memoire (quasi-Newton a memoire limitee . . . )
Inconvenients :
• minima locaux
• assez lent (apparemment)
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Formulation par complementarite
Formulation tres compacte : K ∗ 3 u ⊥ r ∈ K .
• equivalent a la formulation disjonctive
• en effet . . .• soit r ∈ int(K ) et u = 0 donc u = 0• soit r = 0 et u ∈ K∗ donc uN ≥ 0• soit r ∈ ∂K et u ∈ ∂K∗ oppose a r donc uN = 0 et uT oppose
a rT
u
r
K∗
e
K
u := u + µ‖uT‖e ∈ K ∗
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Conclusion (provisoire)
On sait exprimer la loi de Coulomb de quatre manieres
• formulation disjonctive : peu pratique
• formulation fonctionnelle : la plus utilisee (Alart-Curnier)
• formulation par argmin : peu utilise (De Saxce)
• formulation par complementarite : utilisee dans notreapproche revolutionnaire
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Plan
1 Modeles de frottement
2 Formulations de la loi de Coulomb
3 Approche par complementarite
4 Illustration numerique
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Probleme complet
On veut resoudre :Mv + f = H>r (a)
u = Hv + w + EDs (b)K ∗ 3 u ⊥ r ∈ K (c)
s i = ‖uiT‖, i = 1, . . . n (d)
ou (b) est la version matricielle de
u = u + µ‖uT‖e
u = Hv + w
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Astuce
• (a,b,c) est equivalent a{min 1
2v>Mv + f >v (quadratique, strict. convexe)Hv + w + EDs ∈ K ∗ (contraintes coniques)
• et aussi a (par dualite)min 1
2 r>Wr + b>r (quadratique, convexe)r ∈ K (contraintes coniques)W = HM−1H>
b = −HM−1f + w + EDs
On sait resoudre numeriquement (QP si d = 2, SOCP sinon)
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Probleme reduit
• il reste a resoudre (c)
s i = ‖uiT (s)‖, i = 1, . . . n
• c’est un probleme de point fixe
• en dimension n seulement
• iterations de point fixe : non convergent
• algorithme de Newton : tres efficace
Exemple : dimension d = 3, m = 150 degres de liberte, n = 100contacts
Iter. 1 2 3
critere 1.1 ∗ 103 4.8 ∗ 10−3 1.7 ∗ 10−10
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Conclusion
Avantages :
• on exploite bien la structure (H, H>)
• algorithme de Newton en dimension plus petite que dansl’approche fonctionnelle
• pas de parametres de reglage mysterieux (ρ . . . )
• stabilite (Newton stabilise)
Inconvenients :
• chaque iteration est couteuse
• implementation delicate
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Plan
1 Modeles de frottement
2 Formulations de la loi de Coulomb
3 Approche par complementarite
4 Illustration numerique
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Exemple : billes 2D
On considere des billes (d = 2)
• rigides
• soumises a la gravite
• qui tombent dans une boıte
animation
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Exemple : carre deformable 2D
On considere un carre (d = 2)
• discretise par elements finis
• loi de comportement elastique lineaire
• pose sur un plan horizontal avec frottement
• charge sur le cote gauche
animation
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The end . . .
Plus de details dans :“An algorithm for Coulomb’s frictional contact”
a paraıtre dans Esaim Procs
Plus d’animations sur :http://www.inrialpes.fr/bipop/people/cadoux/software.html
Merci pour votre attention !