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Systèmes d’équations du premier degré à deux variables
Résolution par méthodes algébriques :
- méthode de comparaison;
- méthode de substitution;
- méthode de réduction.
Remarque : Tu devrais visionner « Systèmes d’équations du premier degré à deux variables, introduction.ppt » avant de visionner celui-ci.
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Pour résoudre un système d’équations du premier degré à deux variables, de manière algébrique, on peut utiliser 3 méthodes.
La méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations :
y1 = ax + b
y2 = ax + b
La méthode de substitution quand une variable est isolée dans une seule équation :
ax + by1 + c = 0
y2 = ax + b
La méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée :
ax + by1 = c
ax + by2 = c
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Par résolution algébrique
y2 = 2x + 5
y1 = 3x + 2
Nombre de planches
13
0 1 2 3 4 5
Salaires comparés
Montantgagné ($)
121110
9876543210
À ce point précis,
En utilisant cette égalité, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.
les deux équations sont égales.
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La méthode de comparaison
Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2
alors 3x + 2 = 2x + 5
On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.
On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.
On compare ainsi les deux équations.
On utilise la méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations. y1 = 3 x + 2
y2 = 2 x + 5
3x + 2 = 2x + 5
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La méthode de substitution
On utilise la méthode de substitution quand une variable est isolée dans une seule équation.
Exemple :
ax + by1 + c = 0
y2 = ax + b
Dans le plan cartésien, on trace deux droites d’équations.
On voudrait connaître les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.
4x + 2y1 – 8 = 0
y2 = x – 2
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( )
Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2
On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.
On substitue dans la 2e équation la variable par l’expression qui lui est égale.
y2 = x - 2
4x + 2 y1 - 8 = 0
x - 2
4x + 2(x - 2) - 8 = 0
On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.
4x + 2x - 4 - 8 = 0
6x - 12 = 0
6x = 12
x = 2
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Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations.
x = 2
y = x - 2
0 = 2 - 2
Validation :
4x + 2y – 8 = 0
4 X 2 + 2 X 0 – 8 = 0
Couple solution : (2 , 0)
On valide en vérifiant avec l’autre équation.
Donc, x = 2 et y = 0
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Problème
Quel est le couple solution du système suivant ?
x =
y + 3 - 20 = 0x
y - 8
( )
On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.
On peut alors isoler y pour trouver sa valeur.
y + 3(y - 8) - 20 = 0
y + 3(y - 8) - 20 = 0
y + 3y - 24 - 20 = 0
4y - 44 = 0
4y = 44
y = 11
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Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations.
y = 11
Validation :
Couple solution : (3 , 11)
On valide en vérifiant avec l’autre équation.
Donc, x = 3 et y = 11
x = y - 8
y + 3x – 20 = 0
x = 11 – 8
x = 3
11 + 3 X 3 – 20 = 0
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La méthode de réduction
On utilise la méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée.
ax + by1 = c
ax + by2 = c
Exemple 1 : 2x + 3y = 13
x - 2y = - 4
On crée un système équivalent.
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Démarche
1) On multiplie, l’une des équations ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés.
2x + 3y = 13
x - 2y = -4
2x + 3y = 13
x - 2y = -4 X -2 -2x + 4y = 8
Nouveau système : 2x + 3y = 13
-2x + 4y = 8
2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable.
+2x + 3y = 13
-2x + 4y = 8
7y = 21
3) On peut alors isoler la variable : y = 3
( ) =
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4) Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations de départ.
2x + 3y = 13
x - 2y = -4
x - 2 X 3 = -4
x - 6 = -4
5) Validation : On valide en vérifiant avec l’autre équation.
x = 2
y = 3
2 X 2 + 3 X 3 = 13
Couple solution : (2 , 3)
Donc, x = 2 et y = 3
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Exemple 2 : On doit trouver le couple solution du système suivant :
5x + 8y = 29
3x + 6y = 21
( 5x + 8y = 29 )
( 3x + 6y = 21 )
X 3
X -4
= 15x + 24y = 87
= -12x – 24y = -84
Nouveau système : 15x + 24y = 87
-12x – 24y = -84
1) On multiplie, l’une des équations ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés.
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2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable.
+ 15x + 24y = 87
-12x – 24y = -84
3x = 3
3) On peut alors isoler la variable : x = 1
4) Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations de départ.
3x + 6y = 21
3 X 1 + 6y = 21
3 + 6y = 21
6y = 18
y = 3
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5) Validation : On valide en vérifiant avec l’autre équation.
Donc, x = 1 et y = 3
5x + 8y = 29
5 X 1 + 8 X 3 = 29
Couple solution : (1 , 3)
Remarque : On sait que lorsque les deux droites se rencontrent, les deux équations sont égales.
Donc, avec l’une ou l’autre des 3 méthodes, on peut travailler, en
premier, soit avec x soit avec y.
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Problèmes
En 1996, la population de Saint-Jérôme dans les Laurentides, comptait près de 25 600 habitants et habitantes. Une étude prévoyait que cette population devraitcroître de 1 000 personnes par année. Dans la région du Bas-Saint-Laurent, la population de Rimouski atteignait 32 400 la même année; on envisageait un tauxd’accroissement de 600 personnes par année.
1ère étape :
x : le nombre d’années écoulées depuis 1996
y : le nombre de personnes
2e étape :
Identifier les variables :
Établir le système : y1 = 1 000 x + 25 600
y2 = 600 x + 32 400et
C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ?
B) Combien de personnes compteront alors chacune de ces municipalités ?
A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ?
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3e étape : Résoudre le système :
y1 = 1 000 x + 25 600
y2 = 600 x + 32 400
Ici, la méthode de comparaison est préférable.
1 000 x + 25 600 = 600 x + 32 400
400 x = 6 800
x = 17
Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations.
4e étape :
y1 = 1 000 X 17 + 25 600
y1 = 42 600
y1 = 1 000 x + 25 600
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5e étape : Valider la solution avec l’autre équation :
Ensemble-solution : (17, 42 600)
y2 = 600 x + 32 400
y2 = 600 X 17 + 32 400
y2 = 42 600
A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ?
x : le nombre d’années écoulées depuis 1996 =
Réponse : en l’année 2 013
B) Combien d’habitants comptera alors chacune de ces municipalités ?
Réponse : 42 600 personnes
17 ans
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C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ?
Il n’est pas nécessaire de résoudre le système pour répondre à cette question.
Il suffit de calculer le nombre d’années écoulées depuis 1 996 :
Puis, utiliser l’équation représentant l’augmentation de population de Saint-Jérôme pour calculer :
y1 = 1 000 x + 25 600
y1 = 1 000 X 14 + 25 600
y1 = 39 600
Réponse : 39 600 personnes
2 010 – 1996 = 14 ans
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L’assistance à un match de baseball est de 45 000 personnes. On constate qu’il y a 8 fois plus de partisans et partisanes de l’équipe locale que de l’équipe adverse.
Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ?
1ère étape :
x :
y : le nombre de partisans de l’équipe adverse
2e étape :
Identifier les variables :
Établir le système : x = 8y
le nombre de partisans de l’équipe locale
Attention : Les partisans de l’équipe locale sont 8 fois plus nombreux que les partisans de l’équipe adverse.
Pour créer l’égalité,
Exemple : Si x = 16 et que y = 2, alors
16 = 8 X 2
x = 8y
il faudra multiplier par 8 le nombre departisans de l’équipe adverse.
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x + y = 45 000et
2e étape : Établir le système : x = 8y
3e étape : Résoudre le système :
Ici, la méthode de substitution est préférable.
x + y = 45 000
x = 8y
x + y = 45 000
9y = 45 000
y = 5 000
Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations.
4e étape :
x = 8y
x = 8 X 5 000
x = 40 000
x = 8y8y
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5e étape : Valider la solution avec l’autre équation.
Couple solution : (40 000, 5 000)
x + y = 45 000
40 000 + 5 000 = 45 000
Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ?
Réponse : 40 000 partisans et partisanes
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Un serveur de restaurant examine ses pourboires à la fin de la soirée. De la somme qu’il a amassée, il constate qu’il possède 38 pièces de monnaie réparties en pièces de 1,00 $ et 2,00 $ pour un total de 51,00 $.
Combien de pièces de 2,00 $ a-t-il reçu ?
1ère étape :
x : le nombre de pièces de 1,00 $
y : le nombre de pièces de 2,00 $
2e étape :
Identifier les variables :
Établir le système : x + y = 38 pièces
1x + 2y = 51 dollars et
Cette équation ne tient compte que des pièces.
Cette équation tient compte de la valeur des pièces.
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3e étape : Résoudre le système.
Ici, la méthode de réduction est préférable.
x + y = 38
1x + 2y = 51
x + y = 38
1x + 2y = 51
X -1 - x - y = - 38
Nouveau système : - x - y = - 38
1x + 2y = 51
On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec uneseule variable :
- x - y = - 38
1x + 2y = 51 +
y = 13
=( )
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Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations de départ.
4e étape :
x + y = 38
x + 13 = 38
x = 25
5e étape : Valider la solution avec l’autre équation.
Ensemble-solution : (25 , 13)
1x + 2y = 51
1 X 25 + 2 X 13 = 51
Combien de pièces de 2,00 $ a-t-il reçu ?
Réponse : 13 pièces
y = 13
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Remarque : Dans ce problème, x + y = 38
1x + 2y = 51
On aurait pu isoler y dans la première équation et travailler avec la méthode de substitution.
y = 38 – x
1x + 2y = 51 1x + 2( 38 – x ) = 51
On aurait pu aussi isoler y dans les deux équations et travailler avec la méthode de comparaison.
y = 38 - x
y = -x + 512 2
2 238 – x = -x + 51
La méthode à utiliser dépend de l’écriture des équations; on choisit une méthode simplement pour faciliter le travail.
N’importe quelle méthode est bonne.
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Remarque
Certains systèmes ont des ensembles-solution particuliers.
Exemple
Dans le système suivant :
y1 = 2x + 3
y2 = 2x + 5 y2 = 2x + 5
13
0 1 2 3 4 5
121110
9876543210
y1 = 2x + 3
Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à l’origine différentes.
Les droites sont donc parallèles.
Elles ne se rencontreront jamais.
Ensemble-solution : aucun
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Exemple
Dans le système suivant :13
0 1 2 3 4 5
121110
9876543210
y = 2x + 4
y = 2x + 4
2x – y + 4 = 0
Il y aura une infinité de solutions.
En effet, si on ramène la 2e équation sous la forme fonctionnelle.
2x – y + 4 = 0
y = 2x + 4
On constate que les taux de variation et les ordonnées à l’origine sont les mêmes.
Les droites sont donc confondues.
2x – y + 4 = 0
Tous les couples de coordonnées sont solutions de ce système.