system triphasé

8/3/2019 system triphasé

http://slidepdf.com/reader/full/system-triphase 1/10

Exercice corrigé

Enoncé:

Trois impédances Z1, Z2 et Z3 sont connectées en étoile sans fil neutre aux bornes d’unréseau dont la tension est U = 380 V et la fréquence est de 50 Hz. Déterminer les courants

dans les trois récepteurs ainsi que les tensions à leurs bornes.On donne :

- Z1 = 10 et cos = 0,8

- Z2 = 15 et cos = 0,75

- Z3 = 20 et cos = 0,7

Correction:

L'installation peut être représentée de la façon suisvante:

I- Méthode vectorielle:

Les trois impédances sont différentes, ce qui donne un système triphasé déséquilibré en

courant, sachant que le générateur impose un système équilibré en tension (tensions

composées) du fait que les impédances sont couplées en étoile sans fil neutre. Autrement dit, les neutres N du générateur et N' du récepteur ont des potentiels différents et

par conséquent la tension vectorielle VNN' n'est pas nulle.On écrit alors:

V 1

= V ' 1 - V NN '

V 2 =

V ' 2 -

V NN ' V

3= V ' 3 -

V NN '



De même, les expressions des courants correspondants s'écrivent de la façon suivante:

– Pour Z1:I 1

= I ' 1

- I ' ' 1

- Pour Z2:I 2

=

I ' 2 -

I ' ' 2

- Pour Z3:I 3

= I ' 3 - I ' ' 3

On a alors:

Z1 = 10 W et j1 = 36,87°

Z2 = 15 W et j2 = 41,41°

Z3 = 20 W et j3 = 45,57°

De même:

I 1

=V 1

Z1= 22 A

I 2

=V

2

Z =

220

15= 14,67 A

I 3

=V

3

Z 3

=220

20= 11 A

et

I ' 1

=V '

1

Z 1

I ' 2

=V '

2

Z 2

I ' 3

=V '

3

Z '

Par contre on a :

I ' ' 1

=V

NN '

Z

I ' ' 2

=V

NN '

Z

I ' ' 3

=V

NN '

Z

La représentation vectorielle des différentes grandeurs est donnée ci-dessous, en supposant

que les trois impédances sont inductives :



I ' ' 1

, I ' ' 2

et I ' ' 3

représentent les intensités des courants dans Z1, Z2 et Z3

respectivement soumises à la même tension V NN

' .

En additionnant les trois équations vectorielles des courants, on obtient:

I 1

+ I 2

+ I 3

= I ' 1

I ' 2 + I ' 3 – ( I ' ' 1 + I ' ' 2 + I ' ' 3 )

Or, nous avons un couplage en étoile sans fil neutre , ce qui implique :

I ' 1

+ I ' 2 + I ' 3 = 0

Par conséquent, l'équation précédente devient:

I 1

+ I 2

+ I 3

= – ( I ' ' 1

+ I ' ' 2

+ I ' ' 3

)

Qu'on peut écrire aussi:

I = -I ' '

Calculons donc I, en prenant V 1

comme référence.



D'après la représentation de Fresnel, on a:

Dans ce cas,

– le déphasage entre V 1

et I 1

est j1;


et I 2

est j2 + 2π

3;


et I 3

est j3 + 4π

3;

Soit:

Icos j = I1cos j1 + I2cos( j2 + 2π

3) + I3cos( j3 + 4

π

3) = 6,65

Isin j = -I1sin j1 - I2sin( j2 + 2π

3) - I3sin( j3 + 4

π

3) = -7,28

Ce qui donne:

- Module de I

I = 6,6527,282 = 9,86 A

- Déphsage de I par rapport àV

1



j = arcsin( -7,28

9,86) = -47,60°

Le courant I est en opposition de phase avec I ' ' , du fait que I = - I ' '

De même le courant I'' est la résultante des courants I ' ' 1 , I ' ' 2 et I ' ' 3 parcourant

les trois impédances Z1, Z2 et Z3 respectivement sous la tension

V NN ' . C'est comme si ces

impédances étaient branchées en parallèle sous la tension VNN'.

Nous avons donc: VNN' = Z.I''

Déterminons, alors, Z:

D'après le diagramme de Fresnel ci-dessous, on a:

I''cosj'' = I''1cosj1 + I''2cosj2 + I''3cosj3

I''sinj'' = I''1sinj1 + I''2sinj2 + I''3sinj3

En divisant par VNN', les deux équations deviennent:

Ycosj'' = Y1cosj1 + Y2cosj2 + Y3cosj3 = 0,165

Ysinj'' = Y1sinj1 + Y2sinj2 + Y3sinj3 = 0,140

Soit:

Y = 0,16520,1402 = 0,216 s



Z =1

Y = 4,63 W

et

j'' =- arcsin(0,140

0,216) = - 40,4°

Ce qui explique que le courant I ' ' est en retard de phase de 40,4° par rapport à la tension

V NN ' et en opposition de phase avec le courant I .

Connaissant I'', qui est égal à I = 9,86 A, la tension VNN' est donnée par:

V NN

' =Z ×I =4,63×9,86=45,65 V

Déterminons le déphasage de V NN ' par rapport à V 1

, par exemple.

D'après le diagramme, V NN ' est en retard de phase pa rapport à V 1

d'un angle de :

(180° + j – j'') = 180° + 47,60 – 40,40 = 187,2°

On peut dire encore que la tension V NN ' est en avance de phase par rapport à V 1

de

360°-187,2°=172,8°

Remarque1: On a pris les valeurs absolues des angles j et j'' en tenant compte du

diagramme de Fresnel.

Remarque2: La position du vecteur V NN ' sur le diagramme général de Fresnel a été

choisie proche de celle calculée.

Calculons les tensions simples aux bornes des impédances, pour cela on trace le diagrammede Fresnel suivant:



– Pour Z1:V ' 1 = V

1+ V NN '

V ' 1= V 12V NN '

22×V 1×V NN ' ×cosV 1,V N

= 174,8 V

I ' 1

=V '

1

Z 1

=17,48 A

V '

1est déphasé de V

1de arcsin

V NN '

V ' 1×sin172,80 = 1,8°

– Pour Z2:V '

2= V

2+ V NN '

V ' 2= V 22V NN '

22×V 2×V NN ' ×cosV 2,V N

= 241,4 V

I ' 2

=V '

2

Z 2

= 16,09 A

V ' 2 est déphasé de V 2

de arcsin−V NN '

V ' 2×sin 240

°−172,8

° = -10°

Remarque: le déphasage entre V 2

et V NN ' est égal à (240° - 172,8° = 67,2°).

– Pour Z3:V ' 3 = V

3+ V NN '

V ' 3= V 32V NN '

22×V 3×V NN ' ×cos V 3,V N = 250,25 V



I ' 3

=V '

3

Z 3

= 12,5 A

V ' 3

est déphasé de V 3

de arcsinV NN '

V ' 3×sin172,8

°−120

° = 8,35°

Remarque: le déphasage entre V 3

et

V NN ' est égal à (172,8° – 120° = 52,8°).

Pour bien voir ces différents vecteurs et leurs déphasages, on fait la représentation vectorielleen faisant coïncider les deux neutres N et N', ce qui donne:



II- Méthode des nombres complexes:

On peut redessiner l'installation de la façon suivante:

D'après le théorème de Millmann, on peut écrit:

V OP

=

V 1

Z 1

V 2

Z 2

V 3

Z 3

1

Z 1

1

Z 2

1

Z 3

Sachant que:

V 1=220e

j0 , = 220 , V

1 est prise comme référence.

V 2=220e

− j120 = -110 – j 190,5

V 3=220e

− j240 = -110 + j 190,5

D'où:

V OP

=

220

10e j36 ,87

220e

− j120

15e j41 ,41

220e

− j240

20e j45 ,57

1

10e j36 ,87

1

15e j41 ,41

1

20e j45 ,57

=22e

− j36 ,8714,67e

− j161 ,4111e

− j285 ,57

0,1e− j36 ,87

0,067e− j41 ,41

0,05e− j45 ,57

V OP

=17,6−j13,2−13,9−j4,672,95j10,6

0,08−j0,060,05−j0,0440,035−j0,036=

6,65−j7,27

0,165−j0,14=

9,85e− j47 ,55

0,216e− j40 ,31



V OP =45,6e− j7 ,24=45,24−j5,75

Or la tension V OP = - V NN ' , ce qui veut dire qu'elles sont égales en module mais

déphasées de 180° l'une par rapport à l'autre.

Donc si l'argument de V NN ' par rapport à V OP est de 180° et que l'argument de V OP

par rapport à V 1

est égal à -7,24°, alors l'argument de V NN

' par rapport à V 1

est égal

à: 180 + (-7,24) = 172,76°.

Calcul des tensions simples aux bornes des impédances:

– Pour Z1:

V ' 1=V

1−V OP =V

1V NN '

V ' 1=220−45,24j5,75=174,76j5,75=174,85e

j1 ,88

I ' 1=

V ' 1

Z 1

=174,85

10=17,5 A

– Pour Z2:

V ' 2=V

2−V OP =V

2V NN '

V ' 2=−110− j190,5−45,24 j5,75=−155,24− j184,75=−155,24 j 184,75

V ' 2=e

− j180

×241,3e

j50

=241,3e

− j130

L'argument représente le déphasage de V ' 2 par rapport à V 1, ce qui implique que le

déphasage de V ' 2

par rapport à V 2

est donné par (-130°+120°= -10°).

I ' 2=

V ' 2

Z 2

=241,3

15=16,09 A

– Pour Z3:

V ' 3=V

3−V

OP =V

3V

NN '

V ' 3=−110 j190,5−45,24 j5,75=−155,24 j195,75=−155,24− j195,75

V ' 3=e

− j180 ×249,8e− j51 ,6=249,8e

− j231 ,6

L'argument représente le déphasage de V ' 3 par rapport à V 1

, ce qui implique que le

déphasage de V ' 3

par rapport à V 3

est donné par (-231,6° + 240 = 8,4°).

I ' 3=

V ' 3

Z 3

=249,8

20 =12,5 A

N.B: Prière de signaler toute erreur éventuelle.

system triphasé

Documents